Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo Orden con Coeficientes Constantes. La ecuación de segundo orden con coeficientes constantes se escribe como: d y d dy p q y f p y q son constantes d Si f es igual a cero entonces se dice que la ecuación es homogénea. d y dy p q y... d d Teorema : Si y y es una solución de la ecuación homogénea, entonces y a y también será una solución de dicha ecuación, donde a es un factor constante. Demostración: Si y a y es una solución de () entonces Como a es constante podemos escribir: d ay d ay p q ay d d d y d y d y d y a a p a q y a p q y d d d d a Como se satisface la igualdad el teorema queda demostrado. Teorema : Si y y y y y son soluciones de la ecuación () entonces y y también será una solución de (). Demostración: Sustituyendo y y en la ecuación (): d y y d y y p q y y d d Como la derivada es un operador lineal, podemos escribir la ecuación anterior como:
d y d y p d y p d y q y q y d d d d Agrupamos a la derecha los términos que contienen y y a la derecha los que contienen y : d y d y d y d y p q y p q y d d d d Como se cumple la igualdad entones el teorema queda demostrado. Definición : Dos soluciones particulares de la ecuación se denominan linealmente dependientes si una de ellas puede obtenerse multiplicando la otra por un factor constante. En caso contrario las soluciones serán linealmente independientes. Teorema 3: Si y y y y y son soluciones particulares de la ecuación () y además son linealmente independientes, entonces la solución general de () puede escribirse como y c y c y. Demostración: Sustituyendo y c y c y en la ecuación (): d y dy d c y c y d c y c y p q y p q c y c y d d d d d c y d c y d c y d c y p q c y p q c y d d d d d y dy d y dy c c p c q y c c p c q y d d d d d y dy d y dy c p q y c p q y d d d d c c Al cumplirse la igualdad, queda demostrado el teorema.
Definición : Las soluciones linealmente independientes de la ecuación () tienen la forma: Si () es una solución de () entonces: y e m. () y y m y m m m m e e e Sustituyendo estas epresiones en (): d y d dy p q y m p m q d m m m e e e m m pm q e Para que esta última igualdad se cumpla la única posibilidad es que: m pm q A esta epresión le llamaremos ecuación característica. Si resolvemos la ecuación característica mediante la fórmula general tenemos lo siguiente: p p 4q m Las soluciones de esta ecuación pueden ser de tres tipos:. Si p 4q las raíces serán reales y diferentes. En tal circunstancia la solución general de la ecuación () quedará epresada como: y c e c e m m. Si p 4q las raíces serán reales y repetidas. Para formar la solución general de la ecuación () se considera: m y c e c e m 3. Si p 4q las raíces serán imaginarias m a bi m a bi La solución quedará epresada como abi a bi y c e c e. i En cursos de análisis matemático se demuestra que e cos i sen y i e cos i sen. Sustituyendo estas epresiones en la solución general podemos establecer que si las raíces de la ecuación característica son imaginarias, la solución de () será: a y e c cos b c sen b
Ejemplo : Obtenga la solución de la siguiente ED. y y 6 La ecuación característica asociada a la ecuación diferencial es Los valores de m se obtienen con la fórmula general: m m6. 4 6 5 5 m m m 5 5 m 3 m Como las raíces son reales y diferentes la solución de la ecuación diferencial 3 será y c e c e. Ec. Dif. y y 6 Sol. y c e c e 3 Ejemplo : Obtenga la solución de la siguiente ED: y y y Procedemos a obtener la ecuación característica m m. La solución de esta ecuación es m m. Como las raíces son reales e iguales la solución quedara epresada como y c e c e. Ec. Dif. y y y Sol. y c e c e Ejemplo 3: Obtenga la solución de la siguiente ED: y y y La ecuación característica es m m y su solución: m m m m i m i 4 4 Por lo que a y b. La solución quedara epresada como: y e a c cos b c sen b y e c cos c sen Ec. Dif. y y y Sol. y e c cos c sen i
Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:. y y 3y y c e c e 3. y 4y 4y y c e c e 3. y y 8y y c e c e 4 4. y y 5y y e c cos c sen 5. y 6y 9y y c e c e 3 3 5. 6. y 3y 7y y e c cos. 8 c sen. 8 7. y y y y c e c e 4 5 8. y 4y 6 y y e c cos 3. 46 c sen 3. 46 9. y y 3y y e c cos. 66 c sen. 66 y c e c e. y y 4 y. 7. 7
UNIVERSIDAD DEL MAR MATEMÁTICAS II ALUMNO: TAREA # Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: Fecha de entrega: 3 de abril.. y 5y 6y y c e c e 3. y 3y y c c 3 e 3. y y 4y y c e c e. 4 9. 58 4. 4y y 4y y c e c e. 5 5. y y y y ce ce 6. y 4y 8y y e c sen c cos 7. y 9y y y 6 y c e c e 3 8. y 3y y y y 3 y 5e 4e 9. y 5y 6y y e c sen. 99 c cos. 99 5 4. y 5y 3y y c e c e. 697 4. 33
Ecuaciones Diferenciales Reductibles a una Ecuación de Segundo Orden con Coeficientes Constantes. Ecuaciones de la Forma: p q y y y Las ecuaciones de este tipo se pueden reducir a una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes usando el siguiente cambio de variable: dz d i) z ln ln dz d d d dy dy dz dy dy ii) por la regla de la cadena. d dz d d dz iii) u v d y d dy d dy dy d dy d d d d dz dz d dz dy d dy dy d y dz dz dz dz dz Sustituyendo estas epresiones en : dy d y p dy q dy d y p dy q y y dz dz dz dz dz dz Multiplicamos por toda la ecuación y agrupamos términos: dy d y p dy q dy d y dy y p q y dz dz dz dz dz dz d y dy p q y dz dz Esta última ecuación constituye una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes, con variable independiente z. Después de resolver la ecuación diferencial, la solución quedará epresada en términos de z, por lo que hay que volver a la variable original haciendo z ln.
4 Ejemplo 4: Obtenga la solución de la siguiente ED: y y y La ecuación diferencial asociada en términos de z es: d y dy d y dy d y dy dz dz dz dz dz dz p q y 4 y 3 y Y la ecuación característica que resulta es solución m y m. La solución de la ED en términos de z resulta: m 3m, que tiene por z y c e c z e. Regresando a la variable original: z z ln ln ln ln y c e c e y c e c e y c e c e c c c c y c c y y Ec. Dif. 4 y y y Sol. c c y 3 Ejemplo 5: Obtenga la solución de la siguiente ED: y y y La ecuación diferencial asociada en términos de z es: d y dy d y dy d y dy dz dz dz dz dz dz p q y 3 y y Y la ecuación característica que resulta es solución m m. m m, que tiene por z z La solución de la ED en términos de z resulta: y c e c ze. Regresando a la variable original:
ln ln ln ln y c e c ln e y c e c ln e y c c ln c c ln c c ln y y Ec. Dif. 3 y y y Sol. c c ln y Ejemplo 6: Obtenga la solución de la siguiente ED: y y y La ecuación diferencial asociada en términos de z es: d y dy d y dy d y p q y y y dz dz dz dz dz Y la ecuación característica que resulta es m i, m i. m, que tiene por solución La solución de la ED en términos de z resulta: y e c cos z c sen z y c cos z c sen z. Regresando a la variable original: y c cos z c sen z y c cos ln c sen ln Ec. Dif. y y y Sol. y c cos ln c sen ln
Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:. 3 y y y. 3. 4. 866 866 3 y c cos. ln c sen. ln 4 y y y 5 6 y y y 8 y y y c y c 3. 56. 56 y c c 4. 73. 7 c c ln y 5. 3 y y y C y. 79 C 3. 79
UNIVERSIDAD DEL MAR MATEMÁTICAS II ALUMNO: TAREA # 3 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: Fecha de entrega: 3 de abril.. 6 9 y y y. 4 4 y y y 3. y y y 4. y y y 5. y y y 6. 9 y y 4 y y 7. 8. y y 3 y y y 9.. y y