4.3 Subespacios vectoriales Concepto de subespacio vectorial Un subconjunto H de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V si, con las operaciones de V de suma de vectores y multiplicación por escalares, el propio H es un espacio vectorial. Para ello es suficiente que se cumplan estas tres condiciones: (a) H contiene al vector cero de V. (b) La suma de dos vectores de H es otro vector de H. (c) Al multiplicar un escalar cualquiera de V por un vector de H se obtiene otro vector de H. Otra definición. Otra forma de definir el concepto de subespacio vectorial es la siguiente: Un subconjunto H de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V si para cualquier subconjunto S de H, el conjunto Gen(S) (de todas las combinaciones lineales de vectores de S) está contenido en H. El subespacio generado por un conjunto de vectores Caso del conjunto vacío. Se puede dar sentido a la pregunta de cuál es el espacio Gen generado por el conjunto vacío? Puede tener sentido la idea de sumar o formar una combinación lineal con ningún vector? Sí tiene sentido y ese sentido lo exige la lógica de la misma manera que exige que una suma de ningún sumando da cero y que cualquier producto de ningún factor es igual a 1. Esto último es, quizás, más conocido para el estudiante por estar acostumbrados a ver y usar igualdades como 2 0 = 1 y como 0! = 1, aunque rara vez nos paramos a pensar cuál es la necesidad lógica de estas igualdades, la cual se puede explicar de la siguiente forma: El producto de ningún factor tiene la propiedad de que multiplicado por cualquier número lo deja inalterado. De esto se deduce que el producto de ningún factor es la unidad. De forma similar se deduce la necesidad de admitir que una suma con ningún sumando es igual a cero. Se puede dar un ejemplo de la vida real que nos ayude a entender esto: Mientras no se efectúe ningún reintegro, el saldo de una cuenta bancaria es la suma de todos los ingresos que ha habido. Cuál es el saldo si no ha habido ningún ingreso? El conjunto de ingresos es vacío, su suma es cero. Igualmente, el espacio generado por un conjunto vacío de vectores es el espacio cero que sólo tiene como único elemento el vector cero: Gen = {0}. Caso general. Dado un conjunto S de vectores de un espacio vectorial V, el conjunto de todos los vectores de V que son combinaciones lineales de vectores pertenecientes a S, Gen(S), tiene las siguiente propiedades: (a) Gen S contiene al vector 0. 1
(b) La suma de dos combinaciones lineales de vectores de S es otra combinación lineal de vectores de S (la suma de dos elementos de Gen(S) es otro elemento de Gen(S)). (c) Al multiplicar un escalar por una combinación lineal de vectores de S se obtiene otra combinación lineal de vectores de S (el producto de un número por un elemento de Gen(S) es otro elemento de Gen(S)). Debido a estas tres propiedades, el conjunto de combinaciones lineales Gen(S) constituye un subespacio vectorial de V que se llama el subespacio generado por S. Caso de conjuntos de uno o dos vectores. El subespacio generado por un solo vector es: (a) Si el vector dado es cero entonces el subespacio generado es el subespacio cero o nulo (que contiene un único vector que es el vector cero): Gen{0} = {0} (= Gen ). (b) Si el vector dado no es cero entonces el subespacio generado es la recta que pasa por el origen y por el punto cuyo vector posición es el vector dado. El subespacio generado por un conjunto formado por dos vectores es: (a) El plano que pasa por el origen y por los puntos representados por los dos vectores si éstos no son uno múltiplo del otro. (b) La recta que pasa por el origen y por el punto representado por un vector no nulo de los dos dados si uno es múltiplo del otro pero no son los dos vectores iguales a cero (Obsérvese que este caso contiene tanto el caso de que uno de los dos vectores sea el cero y el otro no como el caso de que ninguno sea cero pero sean uno múltiplo del otro.) (c) El origen (o subespacio cero) si los dos vectores dados son cero: Gen{0, 0} = {0} (= Gen ). Espacio columna de una matriz Se llama espacio columna de una matriz real A de m filas y n columnas, y se denota Col A, al subespacio de R m generado por las n columnas de A. Es decir, si A = [a 1 a n ], Col A = Gen{a 1,..., a n }. Número de vectores necesarios para generar R m Si A es una matriz real de m filas, decir que sus columnas generan todo R m es equivalente a decir que tiene m columnas pivote (ver el Capítulo 2). Por tanto, si el espacio columna de A es todo R m entonces el número total de columnas de A es mayor o igual que m: Si A es m n y Col A = R m entonces n m. 1 Ejercicio de tarea. Sean A y B dos matrices de m filas (es decir, cuyas columnas son vectores de R m ), aunque no tienen por qué tener el mismo número de columnas. Demuestra que si el espacio columna de A está contenido en el espacio columna de B entonces el número de pivotes de A es menor o igual que el número de pivotes de B. Pista: Para cada columna ai de A el sistema Bx = ai es compatible. Cómo son las filas de ceros de una f.e. de (B A)? 2 Ejercicio de tarea. Sean A y B dos matrices en las condiciones del ejercicio 1. Usa dicho ejercicio para demostrar que si A y B tienen el mismo espacio columna entonces A y B tienen el mismo número de pivotes. 2
Espacio nulo de una matriz Para cualquier matriz A, se llama espacio nulo de A, y se denota Nul A, al conjunto solución del sistema homogéneo Ax = 0: Definición de espacio nulo Nul A = Conjunto solución del sistema (Ax = 0). El espacio nulo de una matriz real A de m filas tiene la propiedad de ser un subespacio vectorial de R m. Para demostrarlo basta comprobar que cumple las tres condiciones de subespacio: (1) El vector cero es una solución (evidente). (2) Si u y v son soluciones de Ax = 0, también u + v lo es. (3) Si u es solución de Ax = 0, también cu lo es. La (2) y la (3) son consecuencias directas de las propiedades del producto matriz por vector. Si el sistema Ax = 0 tiene k variables libres, la solución de dicho sistema homogéneo expresada en la forma vectorial paramétrica es de la forma x = t 1 u 1 + + t k u k. (1) Los vectores u 1,..., u k que aparecen en esta solución se pueden considerar como las columnas de una matriz U = [u 1 u k ]. Puesto que estos vectores generan el conjunto solución (al que hemos llamado espacio nulo de la matriz A) podemos decir: Las columnas de U generan el espacio nulo de A: Nul A = Gen{u 1,..., u k } Dos formas de definir un subespacio de R n Definición de un subespacio mediante ecuaciones Definir un subespacio H R n mediante ecuaciones es dar un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tal que H es el conjunto solución de ese sistema. Esto es lo que ocurre con el espacio nulo de una matriz ya que el espacio nulo es el conjunto solución de un sistema homogéneo. Por tanto, definir un subespacio de R n mediante ecuaciones es dar una matriz A tal que el subespacio dado es igual a Nul A. En este caso, las ecuaciones de H son las ecuaciones del sistema homogéneo cuya matriz de coeficientes es A y, por tanto, en forma matricial, las ecuaciones de H se reducen a Ax = 0. Este sistema de ecuaciones cuyo conjunto solución es el subespacio H se conoce como las ecuaciones implícitas de H. Por tanto, las ecuaciones implícitas de un subespacio lo definen como el espacio nulo de una matriz. Ecuaciones implícitas Definición de un subespacio mediante generadores Definir un subespacio H R n mediante generadores es dar un conjunto de vectores de R n, S = {u 1,..., u k }, tal que H = Gen S. Esto es lo que ocurre con el espacio columna de una matriz ya que el espacio columna es el subespacio generado por las columnas de la matriz. Por tanto, definir un subespacio de R n mediante generadores es dar una matriz A tal que el subespacio es Col A. 3
Cálculo de los generadores a partir de las ecuaciones Si un subespacio está definido por ecuaciones, es posible calcular vectores generadores del mismo resolviendo dichas ecuaciones ya que la solución general de esas ecuaciones, según hemos visto en el tema anterior, es de la forma: x = t 1 u 1 + + t k u k, o también: x = Ut, Ecuaciones explícitas del subespacio. donde t es el vector de parámetros, t = (t 1,..., t k ), y U = [u 1... u k ] es la matriz cuyas columnas son los vectores u 1,..., u k. Las ecuaciones así obtenidas se conocen como las ecuaciones paramétricas del subespacio y, en contraposición a las ecuaciones implícitas, son las ecuaciones explícitas de H. Vemos, pues que las ecuaciones explícitas (o paramétricas) de un subespacio lo definen como el espacio columna de una matriz. Por ejemplo, sea A = 1 1 0 1 1 0 1 2. 1 1 0 3 Cuáles son los generadores del espacio nulo de A?. Para hallarlos no tenemos más que resolver el sistema homogéneo Ax = 0. Por tanto hallamos la forma escalonada reducida de A: A F 2 F 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 F 3 1 0 1 2 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0. F 3 F 1 0 0 0 2 F 1 + F 2 0 0 0 1 0 0 0 1 Escribimos la solución del sistema Ax = 0 y extraemos de ella los generadores: x 1 1 1 x 2 x 3 = x 1 3 1. Sólo hay un vector generador de Nul A: 1 1. x 4 0 0 Cálculo de las ecuaciones a partir de los generadores Si un subespacio está definido por generadores, como es el caso del espacio columna de una matriz, Col A, podemos hallar sus ecuaciones cartesianas buscando las relaciones que debe haber entre los elementos de un vector de términos independientes b para que el sistema Ax = b sea compatible. Para ello basta poner la matriz ampliada (A b) en forma escalonada y escribir las ecuaciones que hacen que no haya pivote en la última columna. Por ejemplo, sea 1 2 3 A = 0 1 0 1 0 1. 1 1 1 Cuáles son las ecuaciones del espacio columna de A?. Los vectores x que son combinación lineal de las tres columnas de A son precisamente aquellos que hacen que el sistema cuya matriz ampliada es (A x) = 1 0 1 x 3 1 1 1 x 4 4
sea un sistema compatible. Por tanto las ecuaciones se hallan poniendo esa matriz en forma escalonada y mirando las expresiones en términos de las x i que hay que igualar a cero para que no haya pivote en la última columna: (A x) F 3 F 1 F 4 F 1 0 2 2 x 3 x 1 0 1 2 x 4 x 1 F 3 + 2F 2 F 4 + F 2 F 4 F 3 y vemos que las ecuaciones de Col A se reducen a: 0 0 2 x 3 x 1 + 2x 2 0 0 2 x 4 x 1 + x 2 0 0 2 x 3 x 1 + 2x 2 0 0 0 x 4 x 1 + x 2 (x 3 x 1 + 2x 2 ) x 4 x 1 + x 2 (x 3 x 1 + 2x 2 ) = 0, o sea: x 2 + x 3 = x 4. Intersección y suma de subespacios Intersección H4K Dados dos subespacios H, K de un mismo espacio vectorial V, la intersección de H y K es el conjunto de todos los vectores de V que pertenecen a ambos subespacios (como ocurre, por ejemplo, con el vector cero) y es denotado H4K. Este conjunto intersección es también un subespacio vectorial de V. Para demostrarlo basta observar que se cumplen las tres propiedades que caracterizan a un subespacio: (1) contiene al vector cero, (2) contiene la suma de dos cualesquiera de sus vectores, y (3) contiene cualquier múltiplo escalar de cualquiera de sus vectores. intersección Suma H + K Se llama suma de dos subespacios H, K de un mismo espacio vectorial V, y se denota H + K, al conjunto de todos los vectores de V que son suma de un vector de H y un vector de K. Es fácil comprobar que la suma de dos subespacios es otro subespacio ya que ese conjunto suma es igual al subespacio generado por todos los vectores de H y de K. En general tenemos: suma de dos subespacios Si H = Gen S y K = Gen T, entonces H + K = Gen ( S K ). Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2. 5