Pág. Página 5 PRACTICA Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución =, =. + 7 = + = a) b) 4 = Sustituimos en cada ecuación =, = operamos: + = a) b) 4 = 0 Comprueba si =, = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: 7 + 4 = + = a) b) = 7 + 6 = Sustituimos los valores en cada ecuación vemos si se cumplen: a) 7 ( ) + 4 = 4 + = ( ) = 6 = 7 Se cumplen las ecuaciones: =, = es solución del sistema. b) + = + = No se cumple. No es solución. 5 = + 7 = 4 5 = Resuelve por sustitución: = + 5 a) b) = 9 5 4 = 7 c) d) 6 = 9 = 5 4 + = 6 5 + = = a) = + 5 = 9 Solución: = 7; = ( + 5) = 9 6 + 5 = 9 4 = 4 = = + 5 = 7
= 6 9 =. Solución: = ; = Solución: = 0; = 8 4 Resuelve por igualación: = a) 5 b) = 4 9 + = 5 c) d) = 5 + = e) f) + = 9 Solución: = ; = Solución: = ; = 6 5 = 7 = 0 6 7 0 0 = 5 = = 6 = = 5 6 c) + = 5 = = 5 = + 5 = + = = = + = Solución: = ; = Pág. b) = 5 4 + = 6 5 4 4 + = 6 = 4 4 = = Solución: = ; = 5 c) 5 4 = 7 6 = 9 = 6 9 5 4(6 9) = 7 5 4 + 6 = 7 9 = 9 = d) + = = + = = 0 = 0 = + = = 8 = 6 5 = 7 4 = 5 = + 7 = 8 5 = a) = 5 = 4 9 = 4 9 = 0 45 45 = 8 5 45 5 = = = = 8 5 5 b) = 6 5 = 7 = 6 5 = 7
Pág. d) 4 = 5 = + 4 = = = = = 4 Solución: = ; = 6 = 4 5 = 6 + 4 = = 6 6 + = 5 6 + = 5 0 = 6 + e) f) 5 + = + = 9 = 9 = 7. Solución: = 7 ; = 7 7 7 = 8 5 = 8 + = 7 + = 5 8 + + = 7 5 8 + = =. Solución: = ; = 7 5 + = = 9 5 + = 9 5 + = 8 4 7 = = 7 7 40 + 0 = 7 + = = 5 Resuelve por reducción: + = a) b) = 9 0 = c) d) 0 + = 5 = 9 6 = 6 = +5 = 5 a) + = = 9 Sumando: = = = 6 = = Solución: = 6; = b) 5 = 9 6 = 6 ( ) 6 + 0 = 8 6 = 6 Sumando: 8 = 4 = 4 = 8 9 + 5 = =. Solución: = ; =
d) = ( ) + 6 = 4 + 5 = 5 + 5 = 5 Sumando: = 77 = 77 = 7 = + = 0 Solución: = 0; = 7 Pág. 4 c) 0 = 0 + = Sumando: 0 4 = 4 = = 0 5 Restando: 6 = = = 6 Solución: = ; = 5 6 Resuelve por el método que consideres más adecuado: = 6 a) 4 b) 5 + = 4 5 + = 6 c) d) = 4 = e) 5 5 f) 5 5 = 6 = 5 + 6 = 5, + 0,7 = 7 0,5 =,5 5 = 4 = 0 a) = 6 6 = = 4 5 + = 4 Solución: = ; = 4 4 0 + = 4 = 4 4 = = = 4 b) 6 = 5 + 6 = 5 6 = 0 + 6 = 5 Sumando: 5 = 5 = = 6 5 =. Solución: = ; =
Pág. 5 c) d) e) f) = 6 5 = 4. Solución: = ; = 4,8 + 0,6 + 0,7 = 7, = 5, = 5, = 4, =,5 + 0,5 =,5. Solución: =,5; = 4 Sumando: = 5 Sumando: 9 = 8 = 8 = = 5 + = 6 9 Solución: = ; = 6 7 Resuelve los sistemas: a) 5 + = 6 = 4, + 0,7 = 7 0,5 =,5 = 5 5 5 5 = = 5 + 5 = = 7 = 9 5 5 5 Solución: = 9 ; = 5 5 5 = 4 = 0 = 6 5 (6 5) = 4 =,5 + 0,5,(,5 + 0,5) + 0,7 = 7 6 5 = 5 5 = 5 = 4 + = 0 ( ) + ( + 4) = ( + ) 9 = + 0 = 4 6 = 6 = = 5 + 6 = 5 5 = 5 + 8 = 5 5 = b) c) d) + = 5 ( ) + = 9 ( + ) 5 ( +)= 9 5 + 4 + = 5 0,,7 = 6,, + 0,8 =,75
Pág. 6 a) ( ) + ( + 4) = ( + ) 9 = + + = 6 + 9 = 8 + = 8 = 8 8 + Sumando: = 0 = 0 = = 6 Solución: = 6; = 0 b) + = 5 ( ) + = 9 + = 5 6 + = 9 = 5 9 + 6 6 = 9 = = + 5 = + = 6 = = + = 7 Solución: = 7; = c) ( + ) 5( + ) = 9 5 + 4 + = 5 + 6 5 5 = 9 8 + 5 + = 0 5 = 8 8 + = 5 5 9 5 = 4 40 + 5 = 5 Sumando: 49 = 49 = = 5 8 = Solución: = ; = d) 0,,7 = 6,, + 0,8 =,75 0,8,7 Sumando:,5 0,,6 = 4,88,09 +,6 = 6,75 =,55 =,55 = 5 =,75, =,5 0,8 Solución: = 5; =
Pág. 7 PIENSA Y RESUELVE 8 Calcula dos números cua suma sea 9 su diferencia 67. Llamamos e a los números que buscamos. Tenemos que: Sumando: = 58 = 58 = 9 = 9 = 6 Solución: = 9; = 6 9 Dos kilos de peras tres de manzanas cuestan 7,80. Cinco kilos de peras cuatro de manzanas cuestan,0. A cómo está el kilo de peras? Y el de manzanas? Llamamos al precio del kilo de peras e al precio del kilo de manzanas. Tenemos que: + = 7,8 5 + 4 =, Sumando: 7 = 8,4 = 8,4 =, =, 7 = 7,8 =,8 =,8 Solución: El kilo de peras cuesta, el de manzanas,,8. 0 Para pagar un artículo que costaba, he utilizado nueve monedas, unas de 0 céntimos otras de 50 céntimos. Cuántas monedas de cada clase he utilizado? Llamamos al número de monedas de 0 céntimos e al número de monedas de 50 céntimos. Tenemos que: + = 9 0 + 50 = 00 + = 9 = 67 ( 4) = 9 + 5 = 0 8 =, 5 + = 9,6 + 5(9 )= 0 + 45 5 = 0 = 5 = 5 = 5; = 9 = 4 Solución: Hemos utilizado 5 monedas de 0 céntimos 4 monedas de 50 céntimos. Página 6 Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0, por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,4 por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 00 bombillas, obteniendo unos beneficios de 484,4. Cuántas bombillas válidas cuántas defectuosas se han fabricado en ese día?
Llamamos al número de bombillas válidas e al número de bombillas defectuosas. Tenemos que: Pág. 8 + = 00 0, 0,4 = 484,4 = 00 0, 0,4( 00 ) = 484,4 0, 840 + 0,4 = 484,4 0,7 = 4,4 = 4,4 = 89 = 00 = 08 0,7 Solución: Se han fabricado 89 bombillas válidas 08 defectuosas. Una empresa aceitera ha envasado 000 litros de aceite en 00 botellas de dos de cinco litros. Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 5 litros l l Llamamos al número de botellas de dos litros e al número de botellas de cinco litros. Tenemos que: + = 00 + 5 = 000 = 00 = 00 Solución: Se han utilizado 000 botellas de dos litros 00 botellas de cinco litros. En un bar se venden bocadillos de jamón a,5 bocadillos de tortilla a. En una mañana vendieron 5 bocadillos la recaudación final fue de 49. Cuántos se vendieron de cada clase? Llamamos al número de bocadillos de jamón e al número de bocadillos de tortilla. Tenemos que: + = 5,5 + = 49 = 5 = = 5,5 + (5 ) = 49,5 + 04 = 49,5 = 45 = 45/,5 = 0 Solución: Se vendieron 0 bocadillos de jamón de tortilla. = 00 + 5( 00 ) = 000 + 6 000 5 = 000 000 = = 000
Pág. 9 4 En un test de 0 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta se restan 0,5 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 0,5, cuántos aciertos cuántos errores he tenido? Llamamos al número de aciertos e al número de errores. Tenemos que: + = 0 0,75 0,5 = 0,5 = 0 0,75 0,5(0 ) = 0,5 0,75 7,5 + 0,5 = 0,5 = 8 = 0 = Solución: He tenido 8 aciertos errores. 5 Una empresa de productos plásticos recibe el encargo de fabricar cierto número de macetas para un día determinado. Al planificar la producción, el gerente advierte que si fabrican 50 macetas diarias, faltarían 50 macetas al concluir el plazo que les han dado. Si fabrican 60 macetas diarias, entonces les sobrarían 80 macetas. Cuántos días de plazo tenían cuántas macetas les encargaron? Llamamos a los días de plazo que tenían e al número de macetas que encargaron. Tenemos que: 50 + 50 = 60 80 = 50 + 50 = 60 80 0 = 0 = = 50 + 50 = 5 900 Solución: Tenían días de plazo les encargaron 5 900 macetas. Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A B. Para fabricar una del modelo A, se necesitan kg de acero kg de aluminio, para una del modelo B, kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg de acero 0 kg de aluminio, cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar? Llamamos al número de bicicletas del tipo A e al número de bicicletas del tipo B. Tenemos que: Acero + = 80 Aluminio + = 0 Restando: = 40 = 0 80 = = 0 Solución: Puede fabricar 0 bicicletas del tipo A 0 del tipo B.
7 La base maor de un trapecio es cm más larga que la menor; la altura del trapecio es 8 cm su área 48 cm. Cuánto miden las bases? Llamamos a la base maor e a la base menor: + + = = 0 = 5 = + = 7 Solución: La base maor mide 7 cm la menor, 5 cm. Pág. 0 = + ( + ) 8 Área = 48 8 cm = + = + ( + ) 4 = 48 + = 8 En una parcela rectangular de 44 m de perímetro se hace un jardín rectangular bordeado por un camino de m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es de 45 m. Llamamos e a las dimensiones de la parcela: 4 4 Perímetro + = 44 + = Área jardín ( 4)( 4) = 45 = ( 4)( 4) = 45 ( 4)(8 ) = 45 8 7 + 4 = 45 0 = ± 484 468 ± + 7 = = = = ± 4 = = 9 = 9 = Solución: Las dimensiones de la parcela son m 9 m. 9 María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 5%. Marta ha comprado otro abrigo 5 más caro, pero ha conseguido una rebaja del 0%, con lo que solo ha pagado 8 más que María. Cuál era el precio de cada abrigo? Llamamos al precio (sin rebajar) del abrigo de María e al precio (sin rebajar) del abrigo de Marta. Tenemos que:
Pág. = + 5 0,80 = 0,85 + 8 Solución: El abrigo de María costaba 40 el de Marta, 65. 0 Un capital, colocado en el banco durante un año, ha producido un beneficio de 800. El beneficio habría sido el mismo si el capital se hubiera aumentado en 000 el interés anual se hubiera disminuido en un punto (en un %). A cuánto asciende el capital a qué tanto por ciento ha estado colocado? Llamamos al capital (en euros) e al tanto por ciento al que ha estado colocado. Tenemos que: = 800 00 ( + 000) ( ) = 800 00 ( + 80 000 000)( ) = 80 000 80 000 + 0 000 000 000 = 80 000 + 0 000 000 000 = 0 + 000 0 000 000 = 0 000 ± 4 000 000 + 640 000 000 = = = 000 ± 5 77, 0,80( + 5) = 0,85 + 8 0,80 + 0 = 0,85 + 8 = 0,05 = = 40 = + 5 = 65 0,05 = 688,58 = 688,58 (no vale) = 80 000 = 6,84% Solución: El capital es de 688,58 el tanto por ciento, 6,84%. Por un pantalón unos zapatos he pagado. Si el precio del pantalón aumentara en un 4%, entonces sería el 75% del precio de los zapatos. Cuánto pagué por cada uno? = 80 000 ( + 000)( ) = 80 000 80 000 = Pantalón Aumenta un 4%,4 Zapatos El 75% de 0,75 + =,4 = 0,75 =,4 = 0,75( ),4 = 94,5 0,75,89 = 94,5 = 94,5/,89 = 50 = = 76 Solución: El pantalón costaba 50 los zapatos, 76.
Pág. Página 7 He pagado 90,50 por una camisa un jerse que costaban, entre los dos, 0. En la camisa me han rebajado un 0% en el jerse, un 5%. Cuál era el precio original de cada artículo? Llamamos al precio original de la camisa e al precio original del jerse. Tenemos que: + = 0 0,80 + 0,85 = 90,5 0,80 + 9,5 0,85 = 90,5 = 0,05 = = 60 = 50 0,05 Solución: La camisa costaba 60 el jerse, 50. En un centro escolar ha matriculados 795 estudiantes entre los dos cursos de Bachillerato. El 45% de primero el 5% de segundo son mujeres, lo que supone un total de 84 alumnas entre los dos cursos. Cuántos estudiantes ha en cada curso? Llamamos al número de estudiantes de º- de Bachillerato e al número de estudiantes de º- de Bachillerato. Tenemos que: + = 795 0,45 + 0,5 = 84 = 795 0,45 + 0,5(795 ) = 84 0,45 + 4,4 0,5 = 84 9,4 = 0,07 = 9,4 = 40 = 795 = 75 0,07 Solución: Ha 40 estudiantes en º- 75 estudiantes en º-. 4 Dos comerciantes emprenden un negocio para cua realización fue necesario invertir 00 000. A la hora de repartir beneficios, el primero cobró 0 el segundo, 440. Qué cantidad invirtió cada uno? Llamamos a la cantidad que invirtió el primero e a la cantidad que invirtió el segundo. Total invertido = 00 000 Beneficio total = 0 + 440 = 600 600 : 00 000 = 0,06 de beneficio corresponden a cada euro invertido. Al primero le corresponden 0,06 = 0 = 60 000 Al segundo le corresponden 0,06 = 440 = 40 000 Solución: El primero invirtió 60 000 el segundo, 40 000. = 0 0,80 + 0,85(0 ) = 90,5
Pág. 5 Tres socios han obtenido un beneficio de 900. Qué cantidad corresponde a cada uno si para iniciar el negocio el primero aportó / de lo que aportó el segundo este, 5/6 de lo que aportó el tercero? Primero aportó 5 = 0 = 5 6 8 9 Segundo aportó 5 6 Tercero aportó Suma = + 5 + 5 = 4 aportaron entre los tres. 6 9 8 900 : 4 = 5 400 de beneficio corresponden por cada euro invertido. 8 Primero le corresponden 5 5 400 = 000 9 Segundo le corresponden 5 5 400 = 4 500 6 Tercero le corresponden 5 400 = 5 400 Solución: Al primero le corresponden 000, al segundo, 4 500, al tercero, 5 400. 6 Un bodeguero ha mezclado dos cubas de vino: la primera, de mejor calidad, a /litro la segunda, de calidad inferior, a, /litro. De esta forma ha obtenido hl de un vino de calidad intermedia que sale a,5 /litro. Cuál era el contenido de cada cuba? MEJOR CALIDAD CALIDAD INFERIOR MEZCLA CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE TOTAL ( ),, + = 600,5 +, =,5 600 + = 600 +, = 4 000 = 600 +,( 600 ) = 4 000 + 50, = 4 000 0,8 = 480 = 480 = 600 0,8 = 600 = 000 Solución: La de mejor calidad contenía 600 litros la de calidad inferior contenía 000 litros. 7 El aceite de oliva cuesta el doble que el de orujo, si se mezclan en una proporción de 5 a (en litros), resulta un aceite de calidad intermedia que cuesta,6 /litro Cuál es el precio de cada clase de aceite?
Pág. 4 OLIVA ORUJO MEZCLA CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE TOTAL ( ) 5 = 5 8,6 5 + = 8,6 = 5 + = 0,8 5 + = 0,8 0 + = 0,8 0,8 = 0,8 = =,6 =, Solución: El de oliva cuesta, /l el de orujo,,6 /l. 8 Juntando el agua de una cazuela que está a 5 C con la de otra cazuela, a 60 C, se ha llenado una olla de 9 litros que ha resultado a una temperatura de 45 C. Cuántos litros había en cada cazuela? ª- CAZUELA ª- CAZUELA MEZCLA CANTIDAD (l ) TEMPERATURA ( C) 5 C 5 60 C 60 + = 9 45 C 5 + 60 5 + 60 = 45 9 + = 9 5 + 60 = 405 = 9 5 + 60(9 ) = 405 5 + 540 60 = 405 5 = 45 = 5 = 45 = 9 = 6 Solución: En la ª- cazuela había litros en la segunda, 6 litros. 9 Se ha fundido una cadena de oro del 80% de pureza junto con un anillo del 64% de pureza. Así se han obtenido gramos de oro de una pureza del 76%. Cuántos gramos pesaba la cadena cuántos el anillo? CADENA ANILLO MEZCLA CANTIDAD (g) PUREZA CANTIDAD DE ORO (g) 80% 0,8 64% 0,64 + = 76% 0,8 + 0,64 = 0,76 + = 0,8 + 0,64 = 9, = 0,8 + 0,64( ) = 9, 0,8 + 7,68 0,64 = 9, 0, =,44 =,44 = 9 0, = = Solución: La cadena pesaba 9 gramos el anillo, gramos.
Pág. 5 0 Un tren de cercanías sale de una estación a 90 km/h. Media hora más tarde, sale otro más rápido en la misma dirección a 0 km/h. Cuánto tardará en alcanzar al primero? El primer tren ha recorrido 45 km en / hora. (e = v t) 90 km/h h; 45 km 45 + 0 km/h er TREN -º TREN ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO 90 t + 45 0 t = 90t + 45 = 0t 45 90t + 45 = 0t 45 = 0t t = =,5 h = h 5 min 0 = 90,5 = 0,5 km Solución: Tardará,5 h, es decir, h 5 min, en alcanzarlo. Un tren que avanza a 70 km/h lleva una ventaja de 90 km a otro tren que avanza por una vía paralela a 0 km/h. Calcula el tiempo que tarda el segundo tren en alcanzar al primero la distancia recorrida hasta lograrlo. 90 km 0 km/h 70 km/h er TREN -º TREN ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO 70 t + 90 0 t = 70t + 90 = 0t 70t + 90 = 0t 90 = 40t t =,5 h = 70t = 57,5 + 90 = 47,5 Solución: Tarda,5 h, es decir, h 5 min, en alcanzarlo. Hasta ese momento recorre 47,5 km. Dos ciclistas avanzan por la misma carretera en el mismo sentido les separa una distancia de 7,5 km. Si sus velocidades están en relación de a 4, el segundo tarda 45 minutos en alcanzar al primero, cuál era la velocidad de cada uno? t = 45 min = h = 0,75 h 7,5 km 4 4 v v er CICLISTA -º CICLISTA ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO (km) (km/h) (h) v 0,75 + 7,5 4v 0,75
Pág. = v 0,75 + 7,5 = 4v 0,75 Solución: El primero llevaba una velocidad de 0 km/h el segundo, de 40 km/h. Página 8 Dos ciudades, A B, distan 50 km. En un determinado momento un coche inicia su viaje de A hacia B, simultáneamente, un camión inicia el suo de B hacia A. Cuál es la velocidad de cada uno, sabiendo que tardan hora 45 minutos en cruzarse que la velocidad del coche supera a la del camión en 0 km/h? A coche v = 0 km/h 4v = 40 km/h ( + 0) km/h = ( + 0),75 50 =,75 50 =,5v + 7,5 = v B camión km/h =,75 + 5 = 50,75,5v + 7,5 = v 7,5 7,5 = 0,75v v = = 0 km/h 0,75 t = h 45 min = h + h =,75 horas,75 + 5 = 50,75 5,5 = 5 = = 90,5 + 0 = 0 Solución: La velocidad del coche es de 0 km/h la del camión, de 90 km/h. 4 Un camión de transportes hace, una vez a la semana, la ruta entre las ciudades A B. Si va a 80 km/h, tarda, solo en ir, tres horas más que si va a 00 km/h. Cuál es la distancia entre las ciudades? ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO (km) (km/h) (h) COCHE CAMIÓN = 80(t + ) = 00t 80(t + ) = 00t 80t + 40 = 00t 80 t + 40 = 0t t = 40 = h 00 t 0 = 00t = 00 km Solución: La distancia entre A B es de 00 km. A 50 km 4 B ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO (km) (km/h) (h) + 0,75 50,75
Pág. 7 5 La suma de las dos cifras de un número es 0. Si las invertimos, obtenemos otro número que es igual al triple del anterior menos. Cuál es el número inicial? Cifra de las decenas: Cifra de las unidades: Valor del número: 0 + Valor del número invertido: 0 + -ª condición: + = 0 -ª condición: 0 + = (0 + ) + = 0 0 + = (0 + ) + = 0 0 + = 0 + + = 0 9 7 = = 0 9 7(0 ) = 9 70 + 7 = 6 = 7 = 7 = 6 = 0 = 8 Solución: El número inicial es 8. 6 La suma de las dos cifras de un número es. Si la invertimos, obtenemos otro número igual al doble del anterior menos. Cuál es el número inicial? número = 0 + Decenas Unidades número = 0 + Llamamos a la cifra de las decenas e a la cifra de las unidades. + = 0 + = (0 + ) + = 0 + = 0 + + = 9 8 = = 9 8( ) = 9 96 + 8 = 7 = 08 = 08 = 4 7 = = 8 Solución: El número inicial es 48. 7 Un número de tres cifras es capicúa. La cifra de las centenas es tres unidades menor que la de las decenas. La suma de las tres cifras es doce. Calcula dicho número. Centenas Decenas Unidades Llamamos a la cifra de las unidades (que coincide con la de las centenas) e a la cifra de las decenas. Tenemos que:
Pág. 8 = + + = = + = ( ) + = 6 + = 8 = 8 = = 6 = = Solución: El número es 6. REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 8 Escribe un sistema de ecuaciones con dos incógnitas cua única solución sea =, =. Por ejemplo: + = + = = = 0 9 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO 40 Resuelve, por tanteo, los siguientes sistemas de ecuaciones: + = 0 + = 0 a) b) = = 0 c) + = 5 + = d) + = 5 = 0 a) = 6 ; = 4 b) = 5 ; = 5 c) (0, 5) (5, 0) d) = ; = 4 Identifica entre los siguientes sistemas los que tienen infinitas soluciones, los que tienen solo una los que no tienen ninguna: + 5 = 4 + = 9 a) b) 6 + 0 = 8 = 5 5 = 4 c) d) 5 + = + 5 + 5 = + 5 = 5 + = 4 = e) f ) 0 + = 4 6 = a) Infinitas soluciones (la ª- ecuación es el doble de la ª-). b) Una solución. c) Infinitas soluciones (las dos ecuaciones son en realidad la misma). d) Ninguna solución (las ecuaciones son contradictorias). e) Ninguna solución (ecuaciones contradictorias). f) Ninguna solución (ecuaciones contradictorias).
Pág. 9 4 Cuáles de los sistemas del ejercicio anterior son indeterminados? Busca tres soluciones para cada uno. a) (, ) ; (, ) ; ( ) 0, 4 ; son soluciones del sistema. 5 c) (0, 4) ; (, ) ; (, 9) ; son soluciones del sistema. 4 Comprueba si el par (0, ) es solución de este sistema: + = +4 = + 5 = 0 Sustituimos = 0, = en cada ecuación vemos si se cumplen: + = 0 + = Sí se cumple. + 4 = 0 + 4 = 0 + = Sí se cumple. + 5 = 0 0 + 5 = 5 0 No se cumple. Por tanto, (0, ) no es solución del sistema. Página 9 PROFUNDIZA 44 Resuelve, por sustitución, este sistema: + = 4 + = 7 Despejamos la en la primera ecuación sustituimos en la segunda: = 4 + 4 = 7 = 0 + = 4 + = 7 = 4 + 4 = 7 = 0 ± 4 + ± = = = ± 4 = = = = 6 45 Resuelve, por sustitución, los siguientes sistemas: 7 = 0 a) b) + = 4 = 40 = + = 0 c) d) = 9 + = 5 = 5
Pág. 0 a) 7 = 0 = 40 = 7 49 = 40 9 = = ± 9 Ha dos soluciones: = 7, = = 7, = = = b) + = 4 = + c) = 0 = 9 = = 0 = 4 = 8 d) + = 5 = 5 = 5 (5 ) = 5 (5 0 + ) = 5 5 + 0 = 5 0 = 0 = 0 = 0 = 5 = Solución: =, = + + = 4 + 8 = 0 ± 4 + ± 6 ± 6 = = = = = 9 = 9 = ± 9 = = = = 46 La diferencia de dos números es 6 la de sus cuadrados, 44. Calcula esos números. Llamamos e a los números que buscamos. Tenemos que: = 6 = 44 = 6 + (6 + ) = 44 6 + + = 44 = 08 = 08 = 9 = 6 + = 5 Solución: Los números son 5 9. 47 Halla dos números cua suma es 5 la de sus cuadrados es. Llamamos e a los números que buscamos. Tenemos que: + = 5 + = = 5 + (5 ) = + 5 0 + = 0 + = 0 5 + 56 = 0 5 ± 5 4 = = 5 ± = 8 = 7 = 7 = 8 Solución: Los números son 7 8.
Pág. 48 La diagonal de un rectángulo mide 6 m el perímetro 68 m. Calcula sus lados. Llamamos a la longitud de la base del rectángulo e a la longitud de su altura. Tenemos que: 6 cm + = 6 + = 68 + = 676 + = 4 = 4 + (4 ) = 676 + 56 68 + = 676 68 + 480 = 0 4 + 40 = 0 4 ± 56 960 4 ± 96 = = = 4 ± 4 Solución: Los lados del rectángulo miden 0 m 4 m. = 4 = 0 = 0 = 4 49 Calcula e sabiendo que la superficie de A es nueve veces la de B. 5 m A A es un cuadrado de lado. B es un cuadrado de lado. B + = 5 = 9 = 5 (5 ) = 9 5 0 + = 9 0 = 8 + 0 5 0 ± 00 + 800 0 ± 900 = = = = 0 ± 0 Solución: =,5 m; =,75 m 0 = =,5 =,75 =,5 (no vale) 50 La edad de Pedro, ho, es el cuadrado de la de su hija, pero dentro de nueve años será solamente el triple. Qué edad tiene cada uno? HIJA PEDRO HOY DENTRO DE 9 AÑOS + 9 + 9
Pág. = + 9 = ( + 9) = = + 8 = + 8 8 = 0 ± 9 + 7 ± 8 = = = ± 9 Solución: Pedro tiene 6 años su hija, 6. = 6 = 6 = (no vale) 5 En un rombo, una diagonal es doble que la otra el área es 4 dm. Cuánto mide su lado? l Llamamos e a las diagonales del rombo: = Área = 4 = = 8 = 8 = 8 = 4 = ± 4 = (no vale) = = 4 Calculamos el lado del rombo mediante el teorema de Pitágoras: l l = + l = 4 + = 5 l = 5,4 dm Solución: El lado mide 5,4 dm. 5 Si la base de un rectángulo disminue 80 cm la altura aumenta 0 cm, se convierte en un cuadrado. Si la base disminue 60 cm la altura aumenta 0 cm, su área disminue 400 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. Llamamos a la base e a la altura. Tenemos que: 80 = + 0 ( 60)( + 0) = 400 = + 00 + 0 60 00 = 400 = + 00 0 60 = 800 = + 00 = 40 = + 00 = + 40 + 00 = + 40 60 = = 0 = 0 Solución: La base mide 0 cm la altura 0 cm.
Pág. 5 Un coche tarda en realizar el traecto A-B dos horas más de lo que tarda un camión en realizar el traecto contrario, B-A. Saliendo simultáneamente, tardan horas 55 minutos en cruzarse. Cuánto tarda cada uno en completar su recorrido? horas 55 minutos = ( ) + 55 ( ) horas = + 60 horas = 5 horas Coche Tarda horas en ir de A a B Hace del traecto en hora. Camión Tarda horas en ir de B a A Hace del traecto en hora. Juntos Tardan 5 h en hacer el traecto Hacen del 5 traecto en hora. = + + = 5 + = 5 + 5( + ) = ( + ) + 5 5 + 5 + 70 = + 4 0 = 46 70 = 0 46 ± + 60 46 ± 5 476 = = = 4 4 = 46 ± 74 4 = 5 = 7 7 = (no vale) 6 Solución: El coche tarda 7 horas el camión, 5 horas. 54 Un grifo tarda en llenar una piscina horas menos que su desagüe en vaciarla. Si se abren ambos a la vez, estando vacía, la piscina tarda 6 horas en llenarse. Cuánto tardará cada uno en cumplir su tarea si el otro permanece cerrado? Grifo Tarda horas en llenarla. Llena en hora. Desagüe Tarda horas en vaciarla. Vacía en hora. Juntos Tardan 6 h en llenarse. Se llena en hora. 6
Pág. 4 = = 6 = 6 6( ) = ( ) 6 6 6 + 08 = 0 = 08 ± 9 + 4 ± 44 = = = Solución: El grifo tardará 9 horas en llenarla el desagüe, horas en vaciarla. 55 Resuelve este sistema: + = 5 = + = 4 ± = = 9 = 9 (no vale) Halla la solución de las dos primeras ecuaciones prueba si verifica la tercera. Resolvemos el sistema formado por las dos primeras ecuaciones: + = 5 = = 5 = + 5 = + = = = Veamos si esta solución verifica la tercera ecuación: + = 4 + = 4 Sí la cumple. Por tanto, la solución del sistema es: =, = 56 Resuelve los siguientes sistemas: = a) + = 5 b) + z = 0 + z = 5 c) + z = 4 d) z = 6 + = 7 + z = 8 + z = 9 = z z = 4 + = 6 z a) = + = 5 + z = 0 = = 5 = 5 ( ) = 5 + = 6 z = + = + 6 = 8 = = 6 z = 8 b) + = 7 + z = 8 + z = 9 = 7 + z = 8 7 + z = 9 + z = 8 + z =
Sumando: z = 0 z = 5 = 8 z = 8 5 = = = 7 = 7 = 4 = 4 Solución: =, = 4, z = 5 = 6 = ; = 4 = 4 = ; z = = = Solución: =, =, z = Pág. 5 c) + z = 5 + z = 4 z = 6 6 z = = 4 z 4 = = = = 5 + z = 5 + = 4 = 4 = z = d) = z z = 4 + = 6 z ( ) = 4 + = 6 ( ) + = 4 + = 6 + + = 4 = 6 57 La suma de tres números es, la diferencia entre los dos maores, 4, el producto de los dos más pequeños es 0. Calcula dichos números. Llamamos a los números (ordenados de maor a menor),, z. Tenemos que: + + z = = 4 z = 0 4 + + + z = + z = z = = 4 + z = 0 ( ) = 0 = 0 0 = + 0 0 = 6 + 5 6 ± 6 0 6 ± = = = Ha dos soluciones: 9, 5, 5,, 0 6 ± 4 = 5 = 9, z = = = 5, z = 0