Matrices de permutaciones

Matrices de permutaciones Egor Maximenko con correcciones de Román Higuera García Instituto Politécnico Nacional, ESFM, México 5 de diciembre de 2014 1 / 68

Contenido Objetivos y requisitos Permutaciones Repaso rápido Multiplicación de matrices Delta de Kronecker Matrices de permutaciones Multiplicación de matrices de permutaciones Matrices que intercambian dos renglones 2 / 68

Qué aprenderemos? 1. Escribir en la forma expĺıcita la matriz de permutación asociada a la permutación dada: P 3,2,4,1 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0. 2. Dada una matriz de permutación en la forma expĺıcita, escribir la permutación correspondiente: 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 = P 2,3,1,4. 4 / 68

Qué aprenderemos? 3. Multiplicar una matriz de permutación por un vector: P 4,1,3,2 4 7 1 5 = 5 4 1 7. 4. Multiplicar una matriz de permutación por una matriz: P 3,1,4,2 3 7 1 5 2 4 3 4 0 1 2 2 5 5 7 2 = 0 1 2 2 3 7 1 5 5 5 7 2 2 4 3 4. 5 / 68

Qué aprenderemos? 5. Multiplicar dos matrices de permutación: P 3,1,4,5,2 P 5,3,2,4,1 = P 2,5,4,1,3. 6. Demostar la fórmula para el producto de dos matrices de permutación: P ϕ P ψ = P ψϕ. 7. Multiplicar una matriz de intercambio de dos renglones por una matriz de permutación: E 2 4 P 3,1,5,2,4 = P 3,2,5,1,4. 6 / 68

Qué se necesita para comprender bien la presentación? Permutaciones, multiplicación de permutaciones. Notación para vectores y matrices, multiplicación de matrices. Delta de Kronecker, sumas con la delta de Kronecker. 7 / 68

Resolver ejercicios simples incluidos en la presentación Para aprender a jugar el fútbol, no es suficiente sólo ver partidos por la televisión. Esta presentación incluye varios ejercicios simples. Se recomienda resolver cada ejercicio en papel antes de continuar con la presentación. 8 / 68

Ejemplos de permutaciones La función (mapeo, aplicación) ϕ: {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} definida mediante la siguiente regla es una permutación del conjunto {1, 2, 3, 4}: ϕ(1) = 3, ϕ(2) = 2, ϕ(3) = 4, ϕ(4) = 1. Por lo común se usa alguna notación más concisa: 1 2 3 4 ( ) 1 2 3 4 ϕ = = 3 2 4 1 3 2 4 1 = (3, 2, 4, 1). Otra permutación del conjunto {1, 2, 3, 4}: 1 2 3 4 4 1 3 2. 10 / 68

Definición de permutaciones Una permutación del conjunto {1,..., n} es una función biyectiva {1,..., n} {1,..., n}. Biyectiva significa inyectiva y suprayectiva. Por ejemplo, la función ϕ: {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} definida por ϕ = 1 2 3 4 3 2 4 1 es inyectiva porque 3, 2, 4, 1 son diferentes a pares, y es suprayectiva porque 3, 2, 4, 1 son todos los elementos de {1, 2, 3, 4}. En realidad, aquí sería suficiente exigir cualquiera de estas dos propiedades, y la otra se cumpliría automáticamente. 11 / 68

Ejemplos Las siguientes dos funciones son permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}: 1 2 3 4 5 3 5 4 1 2, 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4. Las siguientes dos funciones mandan {1, 2, 3, 4, 5} en {1, 2, 3, 4, 5}, pero no son permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}: 1 2 3 4 5 3 5 1 5 2, 1 2 3 4 5 5 1 2 3 1. 12 / 68

Ejercicios Complete la definición de ϕ de tal manera que ϕ sea una permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar. ϕ = 1 2 3 4 5 3 4 1 5?. 13 / 68

Ejercicios Complete la definición de ϕ de tal manera que ϕ sea una permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar. ϕ = 1 2 3 4 5 3 4 1 5 2. 13 / 68

Ejercicios Complete la definición de ϕ de tal manera que ϕ sea una permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar. ϕ = 1 2 3 4 5 3 4 1 5 2. Encuentre los valores de la función ϕ en los elementos 1 y 4. Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar. ϕ(1) =, ϕ(4) =. 13 / 68

Ejercicios Complete la definición de ϕ de tal manera que ϕ sea una permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar. ϕ = 1 2 3 4 5 3 4 1 5 2. Encuentre los valores de la función ϕ en los elementos 1 y 4. Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar. ϕ(1) = 3, ϕ(4) = 5. 13 / 68

El conjunto de las permutaciones del conjunto {1,..., n} Se denota por S n el conjunto de todas las permutaciones del conjunto {1,..., n}. Por ejemplo, el conjunto S 3 consiste de 6 permutaciones: ( 1 2 3 1 2 3 ( 1 2 3 2 3 1 ) ),, ( 1 2 3 1 3 2 ( 1 2 3 3 1 2 ) ),, ( 1 2 3 2 1 3 ( 1 2 3 3 2 1 ) ),. 14 / 68

El conjunto de las permutaciones del conjunto {1,..., n} Se denota por S n el conjunto de todas las permutaciones del conjunto {1,..., n}. Por ejemplo, el conjunto S 3 consiste de 6 permutaciones: ( 1 2 3 1 2 3 ( 1 2 3 2 3 1 ) ),, ( 1 2 3 1 3 2 ( 1 2 3 3 1 2 Escriba todos los elementos del conjunto S 2, es decir, todas las permutaciones del conjunto {1, 2}: ) ),, ( 1 2 3 2 1 3 ( 1 2 3 3 2 1 ) ),. 14 / 68

El conjunto de las permutaciones del conjunto {1,..., n} Se denota por S n el conjunto de todas las permutaciones del conjunto {1,..., n}. Por ejemplo, el conjunto S 3 consiste de 6 permutaciones: ( 1 2 3 1 2 3 ( 1 2 3 2 3 1 ) ),, ( 1 2 3 1 3 2 ( 1 2 3 3 1 2 Escriba todos los elementos del conjunto S 2, es decir, todas las permutaciones del conjunto {1, 2}: ( 1 2 1 2 ), ) ),, ( 1 2 2 1 ). ( 1 2 3 2 1 3 ( 1 2 3 3 2 1 ) ),. 14 / 68

Multiplicación de permutaciones Definición (el producto de dos permutaciones) Sean ϕ, ψ S n. El producto ϕψ se define como la composición ϕ ψ. En otras palabras, la función ϕψ : {1,..., n} {1,..., n} se define mediante la regla: (ϕψ)(j) := ϕ(ψ(j)) (j {1,..., n}). Por ejemplo, si ( ) 1 2 3 4 5 ϕ =, ψ = 3 5 4 1 2 entonces ( 1 2 3 4 5 2 4 1 5 3 (ϕψ)(1) = ϕ(ψ(1)) = ϕ(2) = 5, (ϕψ)(2) = ϕ(ψ(2)) = ϕ(4) = 1,... Resultado: ϕψ = ( 1 2 3 4 5 5 1 3 2 4 ). ), 15 / 68

Multiplicación de permutaciones, otro ejemplo ϕ = ( 1 2 3 4 5 6 3 1 6 4 2 5 ), ψ = ( 1 2 3 4 5 6 6 3 5 1 2 4 Para calcular (ϕψ)(3), uno puede pensar según el siguiente diagrama: ). 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 3 1 6 4 2 5 6 3 5 1 2 4 Escriba en papel el producto ϕψ: ( 1 2 3 ϕψ = 2 4 5 6 ). 16 / 68

Multiplicación de permutaciones, otro ejemplo ϕ = ( 1 2 3 4 5 6 3 1 6 4 2 5 ), ψ = ( 1 2 3 4 5 6 6 3 5 1 2 4 Para calcular (ϕψ)(3), uno puede pensar según el siguiente diagrama: ). 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 3 1 6 4 2 5 6 3 5 1 2 4 Escriba en papel el producto ϕψ: ( ) 1 2 3 4 5 6 ϕψ =. 5 6 2 3 1 4 16 / 68

La inversa de una permutación Por definición, cada permutación ϕ es una función invertible. La permutación inversa ϕ 1 es la función inversa de ϕ. Por ejemplo, si ϕ = De alĺı ( 1 2 3 4 5 3 5 4 1 2 ), entonces ϕ(1) = 3, ϕ(2) = 5, ϕ(3) = 4, ϕ(4) = 1, ϕ(5) = 2. ϕ 1 (3) = 1, ϕ 1 (5) = 2, ϕ 1 (4) = 3, ϕ 1 (1) = 4, ϕ 1 (2) = 5. Hemos construido la permutación inversa de ϕ: ( ) ϕ 1 1 2 3 4 5 =. 4 5 1 3 2 17 / 68

Transposiciones (ciclos de dos elementos) Definición Sean p, q {1,..., n}, p q. Denotemos por τ p,q (n) a la permutación del conjunto {1,..., n} que intercambia p y q y deja inmovibles los demás elementos. Escribimos simplemente τ p,q cuando n se deduce del contexto. Ejemplos (en S 6 ): τ 3,5 = τ (6) 3,5 = ( 1 2 3 4 5 6 1 2 5 4 3 6 τ 1,4 = τ (6) 1,4 = ), 18 / 68

Transposiciones (ciclos de dos elementos) Definición Sean p, q {1,..., n}, p q. Denotemos por τ p,q (n) a la permutación del conjunto {1,..., n} que intercambia p y q y deja inmovibles los demás elementos. Escribimos simplemente τ p,q cuando n se deduce del contexto. Ejemplos (en S 6 ): τ 3,5 = τ (6) 3,5 = ( 1 2 3 4 5 6 1 2 5 4 3 6 τ 1,4 = τ (6) 1,4 = ( 1 2 3 4 5 6 4 2 3 1 5 6 ) ),. 18 / 68

Multiplicación de una permutación por una transposición Ejemplo Sea ϕ = ( 1 2 3 4 5 6 3 6 4 1 2 5 ). Haga el siguiente cálculo en papel: ( 1 2 3 4 5 6 ϕτ 2,4 = 3 6 4 1 2 5 = ( 1 2 3 4 5 6 ) ) ( 1 2 3 4 5 6 1 4 3 2 5 6. ) 19 / 68

Multiplicación de una permutación por una transposición Ejemplo Sea ϕ = ( 1 2 3 4 5 6 3 6 4 1 2 5 ). Haga el siguiente cálculo en papel: ( 1 2 3 4 5 6 ϕτ 2,4 = 3 6 4 1 2 5 = ( 1 2 3 4 5 6 3 1 4 6 2 5 Al comparar ϕτ 2,4 con ϕ vemos que se hizo un intercambio de los valores ϕ(2) y ϕ(4). ) ( 1 2 3 4 5 6 1 4 3 2 5 6 ). ) 19 / 68

Multiplicación de una permutación por una transposición El mismo ejemplo 1 2 3 4 5 6 τ 2,4 ϕ 1 2 3 4 5 6 3 6 4 1 2 5 ( 1 2 3 4 5 6 3 6 4 1 2 5 ) τ 2,4 = ( 1 2 3 4 5 6 3 1 4 6 2 5 ). 20 / 68

Multiplicación de permutaciones por transposiciones Ejercicios Calcule los siguientes productos (escriba las respuestas en papel antes de continuar): ( 1 2 3 4 5 6 6 1 4 3 2 5 ( 1 2 3 4 5 6 2 5 1 3 6 4 ( 1 2 3 4 5 6 5 2 6 1 4 3 ) ) ) τ 1,3 = τ 3,4 = τ 1,6 = 21 / 68

Multiplicación de permutaciones por transposiciones Ejercicios Calcule los siguientes productos (escriba las respuestas en papel antes de continuar): ( 1 2 3 4 5 6 6 1 4 3 2 5 ( 1 2 3 4 5 6 2 5 1 3 6 4 ( 1 2 3 4 5 6 5 2 6 1 4 3 ) ) ) τ 1,3 = τ 3,4 = τ 1,6 = ( 1 2 3 4 5 6 4 1 6 3 2 5 ( 1 2 3 4 5 6 2 5 3 1 6 4 ( 1 2 3 4 5 6 3 2 6 1 4 5 ) ) ),,. 21 / 68

Importancia de notación En el siglo XVI fue inventado el simbolismo algebraico: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 23 / 68

Notación para construir vectores la tupla de longitud n cuya k-ésima componente es igual a k k+1 para cada índice k desde 1 hasta n [ ] k n k + 1 k=1 24 / 68

Notación para construir vectores la tupla de longitud n cuya k-ésima componente es igual a k k+1 para cada índice k desde 1 hasta n [ ] k n k + 1 k=1 Por ejemplo, [ ] k 3 = k + 1 k=1 24 / 68

Notación para construir vectores la tupla de longitud n cuya k-ésima componente es igual a k k+1 para cada índice k desde 1 hasta n [ ] k n k + 1 k=1 Por ejemplo, [ ] k 3 = k + 1 k=1 1/2 2/3 3/4. 24 / 68

Notación para las componentes de vectores en R 3 Dado un vector v R 3, denotamos sus componentes por v 1, v 2, v 3 : v 1 v = v 2. v 3 Esta notación es muy general. Si el vector se llama, entonces sus componentes son 1, 2, 3 : 1 = 2. 3 25 / 68

Notación para las componentes de vectores en R 3 Escriba la segunda componente del vector a (b c): Aquí no es necesario saber el sentido de los signos y.? 26 / 68

Notación para las componentes de vectores en R 3 Escriba la segunda componente del vector a (b c): (a (b c)) 2. Aquí no es necesario saber el sentido de los signos y. 26 / 68

Notación para vectores en R n Dado un vector v R n, denotemos por v j su j-ésima componente. Dos vectores u y v se llaman iguales si son de la misma longitud (digamos n) y para cada índice j sus j-ésimas componentes son iguales: j {1,..., n} u j = v j. 27 / 68

Notación para matrices Denotemos por M m n al conjunto de todas las matrices de tamaño m n con entradas reales. Si A es una matriz, entonces denotemos su entrada (j, k) por A j,k. Por ejemplo, si M 2 3, entonces = [ 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 ]. Si (P Q) M 2 2, entonces [ ((P Q) (P Q) ) 1,1 ((P Q) ) 1,2 = ((P Q) ) 2,1 ((P Q) ) 2,2 ]. A veces es necesario definir una matriz mediante una fórmula para sus componentes: [ 10j + k 2 ] [ ] 2,3 11 14 19 j,k=1 =. 21 24 29 28 / 68

Notación para los renglones de una matriz Dada una matriz A, denotemos por A j, a su renglón j. Por ejemplo, si A M 3 2, entonces A = A 1,1 A 1,2 A 2,1 A 2,2 A 3,1 A 3,2 y A 2, = [ A 2,1 A 2,2 ]. 29 / 68

Notación para los renglones de una matriz Dada una matriz A, denotemos por A j, a su renglón j. Por ejemplo, si A M 3 2, entonces A = A 1,1 A 1,2 A 2,1 A 2,2 A 3,1 A 3,2 y A 2, = [ A 2,1 A 2,2 ]. Dada una matriz B, escriba B 3, : B = 6 1 3 4 2 3 7 0 2, B 3, = 29 / 68

Notación para los renglones de una matriz Dada una matriz A, denotemos por A j, a su renglón j. Por ejemplo, si A M 3 2, entonces A = A 1,1 A 1,2 A 2,1 A 2,2 A 3,1 A 3,2 y A 2, = [ A 2,1 A 2,2 ]. Dada una matriz B, escriba B 3, : B = 6 1 3 4 2 3 7 0 2, B 3, = [ 7 0 2 ]. 29 / 68

Producto de una matriz por un vector (ejemplo) Consideremos una matriz general A M 2 3 y un vector general b R 3 : [ ] b A1,1 A A = 1,2 A 1 1,3, b = b A 2,1 A 2,2 A 2. 2,3 b 3 Escriba el producto Ab, luego escriba por separado las componentes de Ab: Ab =??, (Ab) 1 = A 1,1 b 1 + A 1,2 b 2 + A 1,3 b 3 = (Ab) 2 =? 3 A 1,k b k ; k=1 Generalizando estas expresiones escriba una fórmula para (Ab) j :? (Ab) j = A?,? b? (j {1, 2}). k=? 30 / 68

Producto de una matriz por un vector (definición formal) Sean A M m n, b R n. Entonces Ab se define como [ n Ab = A j,k b k]m. k=1 j=1 En otras palabras, Ab R m, y las componentes de Ab se calculan por la siguiente fórmula: n (Ab) j = A j,k b k k=1 (j {1,..., m}). 31 / 68

Producto de dos matrices (ejemplo) Sean A M 3 2, B M 2 4 : A = A 1,1 A 1,2 A 2,1 A 2,2 A 3,1 A 3,2, B = [ B1,1 B 1,2 B 1,3 B 1,4 B 2,1 B 2,2 B 2,3 B 2,4 ]. Entonces AB M??. Calcule la matriz AB y escriba por separado sus siguientes entradas: (AB) 2,3 = A 2,1 B 1,3 + A 2,2 B 2,3 = (AB) 1,4 =? (AB) 2,1 =? Escriba la fórmula general para (AB) i,j. 2 A 2,k B k,3 ; k=1 32 / 68

Producto de dos matrices (definición formal) Sean A M m n, B M n p. Entonces AB se define como [ n ] m,p AB = A i,k B k,j. k=1 i,j=1 En otras palabras, AB M m p, y las entradas de AB se calculan mediante la siguiente regla: n (AB) i,j = A i,k B k,j k=1 (i {1,..., m}, j {1,..., p}). 33 / 68

Delta de Kronecker La función δ : Z Z {0, 1} está definida mediante la regla: { 1, si p = q; δ p,q = 0, si p q. Por ejemplo, δ 3,5 = 0, δ 7,7 = 1, δ 1,6 = 0, δ 2, 2 = 1. 35 / 68

Delta de Kronecker La función δ : Z Z {0, 1} está definida mediante la regla: { 1, si p = q; δ p,q = 0, si p q. Por ejemplo, δ 3,5 = 0, δ 7,7 = 1, δ 1,6 = 0, δ 2, 2 = 1. Evalue la delta de Kronecker en los pares dados (escriba las respuestas en papel antes de continuar): δ 4,4 =?, δ 2,3 =?, δ 6, 6 =?, δ 5,4 =?. 35 / 68

Delta de Kronecker La función δ : Z Z {0, 1} está definida mediante la regla: { 1, si p = q; δ p,q = 0, si p q. Por ejemplo, δ 3,5 = 0, δ 7,7 = 1, δ 1,6 = 0, δ 2, 2 = 1. Evalue la delta de Kronecker en los pares dados (escriba las respuestas en papel antes de continuar): δ 4,4 = 1, δ 2,3 = 0, δ 6, 6 = 1, δ 5,4 = 0. 35 / 68

Ejemplo de una suma con la delta de Kronecker En la siguiente suma sobrevive sólo el sumando con el índice j igual a 4: 5 δ j,4 a j = δ 1,4 a 1 + δ 2,4 a 2 + δ 3,4 a 3 + δ 4,4 a 4 + δ 5,4 a 5 = a 4. }{{}}{{}}{{}}{{}}{{} j=1 = 0 = 0 Podemos llegar a la misma respuesta con un razonamiento más formal ( separar las moscas de las albóndigas ): = 0 = 1 = 5 δ j,4 a j = δ j,4 a j + δ j,4 a j = 1 a j + 0 = a j. }{{}}{{} j=1 j {4} j {1,2,3,5} = 1 = 0 0 36 / 68

Ejercicios simples con sumas de Kronecker Para cada una de las siguientes sumas escriba en papel los razonamientos y la respuesta: 4 δ j,3 2 j = δ j,3 2 j + δ j,3 2 j =? }{{}}{{} j=1 j {3} j {1,2,4} 4 δ k,2 b k =? k=1 5 δ p,5 c p =? p=1 4 δ q,3 d q =? q=1 =? =? 37 / 68

Ejercicios simples con sumas de Kronecker Para cada una de las siguientes sumas escriba en papel los razonamientos y la respuesta: 4 δ j,3 2 j = δ j,3 2 j + δ j,3 2 j = 8, }{{}}{{} j=1 j {3} j {1,2,4} 4 δ k,2 b k = b 2, k=1 5 δ p,5 c p = c 5, p=1 4 δ q,3 d q = d 3. q=1 = 1 = 0 37 / 68

Fórmula para las sumas con la delta de Kronecker Proposición Si a 1,..., a n son algunos números y p {1,..., n}, entonces n δ j,p a j = a p. j=1 Demostración: p δ j,p a j = δ j,p a j + δ j,p a j = 1 a p + 0 = a p. }{{}}{{} j=1 j {p} j {1,...,n}\{p} = 1 = 0 38 / 68

Ejemplo de una matriz de permutación A cada permutación ϕ del conjunto {1,..., n} le vamos a asociar mediante cierta regla una matriz n n. Por ejemplo, ϕ = ( 1 2 3 4 4 1 3 2 ) P ϕ = Lo escribiremos de manera más breve: 0 0 0 1 1 0 0 0 P 4,1,3,2 = 0 0 1 0. 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0. 40 / 68

Ejemplos de matrices de permutación P 2,5,3,1,4 = P 2,4,1,3 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0, P 2,1,3 =, P 3,1,2,4 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1, 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Antes de pasar a la siguiente página, escriba la siguiente matriz:. P 2,3,4,1 = 41 / 68

Ejemplos de matrices de permutación P 2,5,3,1,4 = P 2,4,1,3 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0, P 2,1,3 =, P 3,1,2,4 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1, 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Antes de pasar a la siguiente página, escriba la siguiente matriz: 0 1 0 0 0 0 1 0 P 2,3,4,1 = 0 0 0 1. 1 0 0 0. 41 / 68

Hacia la fórmula para la matriz de permutación Queremos escribir una fórmula general para las entradas de P ϕ. Consideremos un ejemplo: ( ) 0 1 0 1 2 3 ϕ =, P 2 3 1 ϕ = 0 0 1. 1 0 0 Entre las entradas del primer renglón de A solamente una es igual a 1, y las demás son nulas. Verifique que (P ϕ ) 1,j = { 1, si j = 2, 0, si j 2 = δ 2,j = δ ϕ(1),j. (P ϕ ) 2,j = δ 3,j = δ ϕ(2),j, (P ϕ ) 3,j = δ 1,j = δ ϕ(3),j. Escriba una fórmula general para (P ϕ ) i,j. 42 / 68

Matrices de permutación Definición formal Definición Sea ϕ S n. Entonces En otras palabras, P ϕ M n n, y P ϕ = [ δ ϕ(i),j ] n i,j=1. (P ϕ ) i,j = δ ϕ(i),j (i, j {1,..., n}). 43 / 68

Producto de una matriz de permutación por un vector Ejemplo Sea v R 4 y sea Calcule el producto P ϕ v: ϕ = P 3,1,4,2 v = ( 1 2 3 4 3 1 4 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ). v 1 v 2 v 3 v 4 =? Escriba por separado las componentes del vector P ϕ v: (P ϕ v) 1 = v?, (P ϕ v) 2 = v?, (P ϕ v) 3 = v?, (P ϕ v) 4 = v?. Encuentre una fórmula general. Sugerencia: (P ϕ v) i = v ϕ(?). 44 / 68

Producto de una matriz de permutación por un vector Fórmula general Proposición Sean ϕ S n, v R n. Entonces En otras palabras, P ϕ v R n, y P ϕ v = [ v ϕ(i) ] n i=1. (P ϕ v) i = v ϕ(i) (i {1,..., n}). Demostración. (P ϕ v) i = n n (P ϕ ) i,j v j = δ ϕ(i),j v j = v ϕ(i). j=1 j=1 45 / 68

Producto de una matriz de permutación por una matriz Ejemplo ( ) 1 2 3 4 5 Sea ϕ = y sea A una matriz general de clase M 4 1 5 3 2 5 2. Entonces 0 0 0 1 0 A 1,1 A 1,2 A 4,1 A 4,2 1 0 0 0 0 A 2,1 A 2,2 A 1,1 A 1,2 P ϕ A = 0 0 0 0 1 A 3,1 A 3,2 = A 5,1 A 5,2. 0 0 1 0 0 A 4,1 A 4,2 A 3,1 A 3,2 0 1 0 0 0 A 5,1 A 5,2 A 2,1 A 2,2 46 / 68

Producto de una matriz de permutación por una matriz Fórmula general Proposición Sea ϕ S m y sea A M m n. Entonces En otras palabras, P ϕ A M m n, y P ϕ A = [ A ϕ(p),q ] m,n p,q=1. (P ϕ A) p,q = A ϕ(p),q (p {1,..., m}, q {1,..., n}). Demostración. m m (P ϕ A) p,q = (P ϕ ) p,k A k,q = δ ϕ(p),k A k,q = A ϕ(p),q. k=1 k=1 47 / 68

Producto de una matriz de permutación por una matriz Ejercicios Calcule los siguientes productos en papel antes de continuar: P 2,4,3,1 P 3,1,4,2 7 2 4 1 0 3 2 1 5 2 3 1 5 7 1 2 3 4 6 4 7 2 1 0 3 7 1 2 = = 48 / 68

Producto de una matriz de permutación por una matriz Ejercicios Calcule los siguientes productos en papel antes de continuar: P 2,4,3,1 P 3,1,4,2 7 2 4 1 0 3 2 1 5 2 3 1 5 7 1 2 3 4 6 4 7 2 1 0 3 7 1 2 = = 2 1 5 7 2 4 2 3 1 1 0 3, 3 4 6 4 3 7 1 2 7 2 1 0 5 7 1 2. 48 / 68

Producto de una matriz de permutación por una matriz Ejercicios Encuentre una permutación ϕ S 5 tal que P ϕ 2 7 2 2 0 3 7 9 2 5 5 2 6 3 0 5 9 2 3 4 = Escriba la respuesta en papel antes de continuar. 9 2 3 4 2 5 5 2 2 7 2 2 6 3 0 5 0 3 7 9. 49 / 68

Producto de una matriz de permutación por una matriz Ejercicios Encuentre una permutación ϕ S 5 tal que P ϕ 2 7 2 2 0 3 7 9 2 5 5 2 6 3 0 5 9 2 3 4 = Escriba la respuesta en papel antes de continuar. ( ) 1 2 3 4 5 ϕ =. 5 3 1 4 2 9 2 3 4 2 5 5 2 2 7 2 2 6 3 0 5 0 3 7 9. 49 / 68

Producto de una matriz por una matriz de permutación Ejemplo Multipliquemos A M 3 4 por P ϕ, donde ϕ = AP 2,4,1,3 = = A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4 A 2,1 A 2,2 A 2,3 A 2,4 A 3,1 A 3,2 A 3,3 A 3,4 A 1,3 A 1,1 A 1,4 A 1,2 A 2,3 A 2,1 A 2,4 A 2,2 A 3,3 A 3,1 A 3,4 A 3,2 ( 1 2 3 4 2 4 1 3 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 El producto B = AP 2,4,1,3 se obtiene de la matriz original A al cambiar el orden de columnas, por ejemplo,. B,1 = A,3 = A,ϕ 1 (1). ) : 50 / 68

Producto de una matriz por una matriz de permutación Fórmula general Proposición Sea A M m n y sea ϕ S n. Entonces esto es, AP ϕ M m n y AP ϕ = [ ] m,n A i,ϕ 1 (j) i,j=1, (AP ϕ ) i,j = A i,ϕ 1 (j) (i {1,..., m}, j {1,..., n}). 51 / 68

Producto de una matriz por una matriz de permutación Ejercicios Escriba los siguientes productos en papel antes de continuar. 6 4 1 2 3 3 7 2 3 2 P 3,5,1,4,2 = 6 4 8 7 8 9 6 7 3 4 3 1 9 1 2 7 4 6 3 0 1 8 1 4 2 P 4,2,5,3,1 = 52 / 68

Producto de una matriz por una matriz de permutación Ejercicios Escriba los siguientes productos en papel antes de continuar. 6 4 1 2 3 3 7 2 3 2 P 3,5,1,4,2 = 6 4 8 7 8 9 6 7 3 4 3 1 9 1 2 7 4 6 3 0 1 8 1 4 2 P 4,2,5,3,1 = 1 3 6 2 4 2 2 3 3 7 8 8 6 7 4 4 6 3 9 7 2 1 1 3 9 0 4 3 7 6 2 8 4 1 1,. 52 / 68

Producto de matriz por una matriz de permutación Ejercicios Encuentre una permutación ϕ S 5 tal que 2 7 3 2 1 0 6 2 7 8 5 4 6 0 3 2 7 8 1 8 P ϕ = Escriba la respuesta en papel antes de continuar. 3 1 7 2 2 2 8 6 7 0 6 3 4 0 5 8 8 7 1 2. 53 / 68

Producto de matriz por una matriz de permutación Ejercicios Encuentre una permutación ϕ S 5 tal que 2 7 3 2 1 0 6 2 7 8 5 4 6 0 3 2 7 8 1 8 P ϕ = Escriba la respuesta en papel antes de continuar. ( ) 1 2 3 4 5 ϕ =. 5 3 1 4 2 3 1 7 2 2 2 8 6 7 0 6 3 4 0 5 8 8 7 1 2. 53 / 68

Producto de dos matrices de permutación Ejemplo ϕ = ( 1 2 3 4 5 4 1 5 2 3 P ϕ P ψ = P 4,1,5,2,3 ), ψ = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 ( 1 2 3 4 5 5 4 2 3 1 = Por otro lado, ( ) 1 2 3 4 5 ϕψ =, ψϕ = 3 2 1 5 4 Adivine la fórmula general para P ϕ P ψ. ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ( 1 2 3 4 5 3 5 1 4 2.. ). 55 / 68

Producto de dos matrices de permutación Fórmula general Teorema Sean ϕ, ψ S n. Entonces P ϕ P ψ = P ψϕ. 56 / 68

Producto de dos matrices de permutación Fórmula general Teorema Sean ϕ, ψ S n. Entonces P ϕ P ψ = P ψϕ. Vamos a demostrar la fórmula. Tenemos que verificar dos cosas: 1 Las matrices P ϕ P ψ y P ψϕ son del mismo tamaño. 2 Para cada par de índices p y q, las matrices P ϕ P ψ y P ψϕ tienen la misma entrada (p, q): (P ϕ P ψ ) p,q = (P ψϕ ) p,q. 56 / 68

Demostración: P ϕ P ψ y P ψϕ son del mismo tamaño ϕ S n P ϕ M n n P ϕ P ψ M n n ϕψ S n P ψϕ M n n P ψ M n n ψ S n 57 / 68

Demostración: p, q {1,..., n} (P ϕ P ψ ) p,q = (P ψϕ ) p,q (P ϕ P ψ ) p,q 58 / 68

Demostración: p, q {1,..., n} (P ϕ P ψ ) p,q = (P ψϕ ) p,q (P ϕ P ψ ) p,q (i) === n (P ϕ ) p,k (P ψ ) k,q k=1 Justificación de los pasos: (i) definición del producto de dos matrices 58 / 68

Demostración: p, q {1,..., n} (P ϕ P ψ ) p,q = (P ψϕ ) p,q (P ϕ P ψ ) p,q (i) === n k=1 (P ϕ ) p,k (P ψ ) k,q (ii) === n δ ϕ(p),k δ ψ(k),q k=1 Justificación de los pasos: (i) definición del producto de dos matrices (ii) definición de la matriz de permutación 58 / 68

Demostración: p, q {1,..., n} (P ϕ P ψ ) p,q = (P ψϕ ) p,q (P ϕ P ψ ) p,q (i) === n (ii) n (P ϕ ) p,k (P ψ ) k,q === δ ϕ(p),k δ ψ(k),q k=1 k=1 δ ϕ(p),k δ ψ(k),q + δ ϕ(p),k δ ψ(k),q }{{}}{{} k {p} k {1,...,n}\{p} 1 0 (iii) == Justificación de los pasos: (i) definición del producto de dos matrices (ii) (iii) definición de la matriz de permutación dividimos la suma en dos partes para simplificar δ ϕ(p),k 58 / 68

Demostración: p, q {1,..., n} (P ϕ P ψ ) p,q = (P ψϕ ) p,q (P ϕ P ψ ) p,q (i) === n (ii) n (P ϕ ) p,k (P ψ ) k,q === δ ϕ(p),k δ ψ(k),q k=1 k=1 δ ϕ(p),k δ ψ(k),q + δ ϕ(p),k δ ψ(k),q }{{}}{{} k {p} k {1,...,n}\{p} 1 0 (iii) == (iv) == δ ψ(ϕ(p)),q Justificación de los pasos: (i) definición del producto de dos matrices (ii) (iii) (iv) definición de la matriz de permutación dividimos la suma en dos partes para simplificar δ ϕ(p),k definición de la δ de Kronecker 58 / 68

Demostración: p, q {1,..., n} (P ϕ P ψ ) p,q = (P ψϕ ) p,q (P ϕ P ψ ) p,q (i) === n (ii) n (P ϕ ) p,k (P ψ ) k,q === δ ϕ(p),k δ ψ(k),q k=1 k=1 δ ϕ(p),k δ ψ(k),q + δ ϕ(p),k δ ψ(k),q }{{}}{{} k {p} k {1,...,n}\{p} 1 0 (iii) == (iv) (v) == δ ψ(ϕ(p)),q === δ (ψϕ)(p),q Justificación de los pasos: (i) definición del producto de dos matrices (ii) (iii) (iv) (v) definición de la matriz de permutación dividimos la suma en dos partes para simplificar δ ϕ(p),k definición de la δ de Kronecker definición del producto de dos permutaciones 58 / 68

Demostración: p, q {1,..., n} (P ϕ P ψ ) p,q = (P ψϕ ) p,q (P ϕ P ψ ) p,q (i) === n (ii) n (P ϕ ) p,k (P ψ ) k,q === δ ϕ(p),k δ ψ(k),q k=1 k=1 δ ϕ(p),k δ ψ(k),q + δ ϕ(p),k δ ψ(k),q }{{}}{{} k {p} k {1,...,n}\{p} 1 0 (iii) == (iv) (v) (vi) == δ ψ(ϕ(p)),q === δ (ψϕ)(p),q == (P ψϕ ) p,q. Justificación de los pasos: (i) definición del producto de dos matrices (ii), (vi) (iii) (iv) (v) definición de la matriz de permutación dividimos la suma en dos partes para simplificar δ ϕ(p),k definición de la δ de Kronecker definición del producto de dos permutaciones 58 / 68

Producto de dos matrices de permutación Ejercicios Calcule los siguientes productos. Se recomienda usar la fórmula que acabamos de demostrar. Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma expĺıcita. P 1,5,4,2,3 P 3,1,4,2,5 = 59 / 68

Producto de dos matrices de permutación Ejercicios Calcule los siguientes productos. Se recomienda usar la fórmula que acabamos de demostrar. Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma expĺıcita. P 1,5,4,2,3 P 3,1,4,2,5 = P 3,5,2,1,4, 59 / 68

Producto de dos matrices de permutación Ejercicios Calcule los siguientes productos. Se recomienda usar la fórmula que acabamos de demostrar. Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma expĺıcita. P 1,5,4,2,3 P 3,1,4,2,5 = P 3,5,2,1,4, P 3,1,5,2,4 P 1,4,2,5,3 = 59 / 68

Producto de dos matrices de permutación Ejercicios Calcule los siguientes productos. Se recomienda usar la fórmula que acabamos de demostrar. Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma expĺıcita. P 1,5,4,2,3 P 3,1,4,2,5 = P 3,5,2,1,4, P 3,1,5,2,4 P 1,4,2,5,3 = P 2,1,3,4,5, 59 / 68

Producto de dos matrices de permutación Ejercicios Calcule los siguientes productos. Se recomienda usar la fórmula que acabamos de demostrar. Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma expĺıcita. P 1,5,4,2,3 P 3,1,4,2,5 = P 3,5,2,1,4, P 3,1,5,2,4 P 1,4,2,5,3 = P 2,1,3,4,5, P 4,1,3,2,5 P 5,2,1,3,4 = 59 / 68

Producto de dos matrices de permutación Ejercicios Calcule los siguientes productos. Se recomienda usar la fórmula que acabamos de demostrar. Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma expĺıcita. P 1,5,4,2,3 P 3,1,4,2,5 = P 3,5,2,1,4, P 3,1,5,2,4 P 1,4,2,5,3 = P 2,1,3,4,5, P 4,1,3,2,5 P 5,2,1,3,4 = P 3,5,1,2,4. 59 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones La siguiente matriz se obtiene de la matriz identidad I 6 al intercambiar los renglones 2 y 5 de lugares: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 R 2 R 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 61 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones La siguiente matriz se obtiene de la matriz identidad I 6 al intercambiar los renglones 2 y 5 de lugares: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 R 2 R 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = E 2 5. Vamos a denotar esta matriz por E 2 5. Es una matriz elemental porque se obtiene de la matriz identidad al aplicar una operación elemental. Hay otros dos tipos de matrices elementales que no estudiamos en esta presentación. Sería más preciso escribir E (6) 2 5 indicando el tamaño de la matriz, pero el tamaño por lo común está claro del contexto y lo omitimos. 61 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones En general, si p, q {1,..., n} y p q, entonces denotemos por E p,q (n) o simplemente por E p,q a la matriz que se obtiene de la matriz identidad I n al intercambiar sus renglones p y q. Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4): E 1,3 = 62 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones En general, si p, q {1,..., n} y p q, entonces denotemos por E p,q (n) o simplemente por E p,q a la matriz que se obtiene de la matriz identidad I n al intercambiar sus renglones p y q. Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4): E 1,3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1, 62 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones En general, si p, q {1,..., n} y p q, entonces denotemos por E p,q (n) o simplemente por E p,q a la matriz que se obtiene de la matriz identidad I n al intercambiar sus renglones p y q. Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4): E 1,3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1, E 2,3 = 62 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones En general, si p, q {1,..., n} y p q, entonces denotemos por E p,q (n) o simplemente por E p,q a la matriz que se obtiene de la matriz identidad I n al intercambiar sus renglones p y q. Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4): E 1,3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1, E 2,3 = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1, 62 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones En general, si p, q {1,..., n} y p q, entonces denotemos por E p,q (n) o simplemente por E p,q a la matriz que se obtiene de la matriz identidad I n al intercambiar sus renglones p y q. Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4): E 1,3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1, E 2,3 = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1, E 1,4 = 62 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones En general, si p, q {1,..., n} y p q, entonces denotemos por E p,q (n) o simplemente por E p,q a la matriz que se obtiene de la matriz identidad I n al intercambiar sus renglones p y q. Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4): E 1,3 = E 1,4 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0, E 2,3 =, 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1, 62 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones En general, si p, q {1,..., n} y p q, entonces denotemos por E p,q (n) o simplemente por E p,q a la matriz que se obtiene de la matriz identidad I n al intercambiar sus renglones p y q. Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4): E 1,3 = E 1,4 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0, E 2,3 =, E 1,2 = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1, 62 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones En general, si p, q {1,..., n} y p q, entonces denotemos por E p,q (n) o simplemente por E p,q a la matriz que se obtiene de la matriz identidad I n al intercambiar sus renglones p y q. Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4): E 1,3 = E 1,4 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0, E 2,3 =, E 1,2 = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1,. 62 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones Las matrices de tipo E p q (donde p q) forman una subclase de las matrices de permutaciones. Por ejemplo, E 2 4 = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = P 1,4,3,2 = P τ2,4. En general, la matriz E p,q corresponde a la transposición τ p,q : E p,q = P τp,q. 63 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones Complete las respuestas de los ejercicios anteriores: E 1,3 =???????????????? = P?,?,?,? = P τ?,? 64 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones Complete las respuestas de los ejercicios anteriores: E 1,3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 = P 3,2,1,4 = P τ1,3, 64 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones Complete las respuestas de los ejercicios anteriores: E 1,3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 = P 3,2,1,4 = P τ1,3, E 2,3 = 64 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones Complete las respuestas de los ejercicios anteriores: E 1,3 = E 2,3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 = P 3,2,1,4 = P τ1,3, = P 1,3,2,4 = P τ2,3, 64 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones Complete las respuestas de los ejercicios anteriores: E 1,3 = E 2,3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 = P 3,2,1,4 = P τ1,3, = P 1,3,2,4 = P τ2,3, E 1,4 = 64 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones Complete las respuestas de los ejercicios anteriores: E 1,3 = E 2,3 = E 1,4 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 = P 3,2,1,4 = P τ1,3, = P 1,3,2,4 = P τ2,3, = P 4,2,3,1 = P τ1,4. 64 / 68

Producto de una matriz de intercambio de dos renglones por una matriz general Sea A una matriz general de clase M 4 4. Calcule el producto E 2 4 : E 2 4 A = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4 A 2,1 A 2,2 A 2,3 A 2,4 A 3,1 A 3,2 A 3,3 A 3,4 A 4,1 A 4,2 A 4,3 A 4,4 =? Nótese que la matriz E 2 4 A se obtiene de la matriz A al hacer una operación elemental: A R 2 R 4 E2 4 A. 65 / 68

Producto de una matriz de intercambio de dos renglones por una matriz de permutación Vamos a multiplicar una matriz de intercambio de dos renglones por una matriz de permutación: E 1 3 P 2,4,1,3 = E 1 3 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 = P 1,4,2,3. 66 / 68

Producto de una matriz de intercambio de dos renglones por una matriz de permutación Vamos a multiplicar una matriz de intercambio de dos renglones por una matriz de permutación: E 1 3 P 2,4,1,3 = E 1 3 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 = Este producto se puede calcular más fácilmente: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 E 1 3 P 2,4,1,3 = P τ1,3 P 2,4,1,3 = P (2,4,1,3)τ1,3 = P 1,4,2,3. En el último paso hicimos el intercambio de los números 1 y 2 que estaban en las posiciones 1 y 3. = P 1,4,2,3. 66 / 68

Producto de una matriz de intercambio de dos renglones por una matriz de permutación Haga cada uno de los siguientes ejercicios de varias maneras. E 1 2 P 3,5,1,2,4 = E 2 4 P 5,1,4,3,2 = E 3 5 P 2,4,3,1,5 = E 2 3 P 1,4,2,5,3 = E 4 5 P 4,3,5,1,2 = 67 / 68

Producto de una matriz de intercambio de dos renglones por una matriz de permutación Haga cada uno de los siguientes ejercicios de varias maneras. E 1 2 P 3,5,1,2,4 = P 5,3,1,2,4, E 2 4 P 5,1,4,3,2 = P 5,3,4,1,2, E 3 5 P 2,4,3,1,5 = P 2,4,5,1,3, E 2 3 P 1,4,2,5,3 = P 1,2,4,5,3, E 4 5 P 4,3,5,1,2 = P 4,3,5,2,1. 67 / 68

Gracias por su atención. Recomiendo resolver todos los ejercicios incluidos en esta presentación. 68 / 68