Matemáticas Sesión #3. Ecuaciones cuadráticas y desigualdades.
Contextualización Ahora nos toca estudiar las ecuaciones de segundo grado también conocida por ecuaciones cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas tienen distintos métodos para resolverse y llegar a su solución tales como factorización y la fórmula cuadrática. Extraído de: http://matematica-practica.wikispaces.com/file/view/funcio_cuadratica.gif/167487333/funcio_cuadratica.gif solo para fines educativos. También introduciremos el concepto de desigualdad para aprender a resolver desigualdades lineales y cuadráticas con una sola variable e introducir la notación de intervalo. Aprenderemos también a resolver ecuaciones y desigualdades que contengan valor absoluto.
Introducción Una ecuación cuadrática es una ecuación que puede ser escrita en forma ax 2 + bx + c, donde a, b, y c son constantes y a 0. Una ecuación cuadrática es de grado dos, ya que la potencia más grande que aparece en ella es la segunda. Cómo encontramos las raíces de una ecuación cuadrática? Se podrá dar solución a una ecuación cuadrática con un simple despeje de variable? Qué es una desigualdad lineal? Su solución será igual a la de una igualdad lineal? Suponga que a y b son dos puntos sobre a recta de los números reales. Entonces a y b coinciden, o a se encuentra a la izquierda de b o viceversa Los enunciados a>b y b<a son equivalentes.
Ecuaciones cuadráticas. Se tienen algunos métodos para resolver las ecuaciones de segundo grado uno de ellos es la factorización, a continuación explicaremos el uso de este método. Factorización Un método útil para resolver ecuaciones cuadráticas está basado en la factorización como lo muestran los siguientes ejemplos. EJEMPLO 1: Resolver x 2-2x +3 = 0 a = 1 b = -2 c = 3 (x ) (x ) = 0 [x x = x 2 ] (x + ) (x - ) = 0 Hay que buscar dos números que multiplicados te den el valor de c y sumados te den el valor de b
(x +1) (x 3) = 0 1 y 3 1 + -3 = -2 1-3 = -3 x + 1 = 0 x 3 = 0 x = 0 1 x = 0 + 3 x = -1 x = 3 Estas son las dos soluciones de la ecuación cuadrática, las llamadas raíces.
Algunas ecuaciones no cuadráticas pueden resolverse por factorización. EJEMPLO 2: Resolución de ecuaciones de grado superior por factorización: 9x 9x 3 = 0. Solución: ésta es una ecuación de tercer grado. 9x 9x 3 = 0. 9x (1 x 2 ) = 0. Se saca de factor común el 9x 9x (1 x) (1 + x) = 0. Se factoriza con binomios conjugados. Haciendo cada factor igual a cero, se despeja la variable simple: 9x = 0 1 x = 0 1 + x = 0 X = 0 x = 1 x = -1 Por lo tanto {0, 1, -1} son las raíces de la ecuación de tercer grado.
Formula cuadrática. Las raíces de una ecuación cuadrática ax 2 + bx +c = 0, en donde a, b y c son constantes y a 0, están dadas por: x = b ± b2 4ac 2a EJEMPLO 3: Utilizando la formula general, resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas x = ( 12) ± ( 12)2 4(3)(12) 2(3) x = 12 ± 144 144 6 x = 12 ± 0 6 3w 2 12w + 12 = 0 x1 = 12 6 = 2 x2 = 12 6 = 2
a= 6 b=7 c= -5 6s 2 + 7s 5 = 0 x = 7 ± (7)2 4(6)( 5) 2(6) x = x = x = 7 ± 49 + 120 12 7 ± 169 12 7 ± 13 12 x 1 = 7 + 13 12 = 6 12 = 1 2 x 2 = 7 13 12 = 20 12 = 5 3
Desigualdades y valor absoluto Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor que otro. Los símbolos de desigualdad son: < se lee menor que > se lee mayor que se lee diferente se lee mayor o igual que se lee menor o igual que
Definición de desigualdad lineal. Un desigualdad lineal en una variable x es aquella que puede escribirse en la forma ax+b<0, donde a y b son constantes y a 0. Extraído de: http://1.bp.blogspot.com/_n13uqdqil48/s-town-hs7i/aaaaaaaaajo/n9otxa6sc_4/s320/inec_1_resuelto.jpg solo para fines educativos.
Tipos de intervalos Extraído de: http://3.bp.blogspot.com/_xvdbc0eexyo/sn_yvbhjgji/aaaaaaaaaam/fxvgaw-yzq8/s400/intervalos.jpg solo para fines educativos
Desigualdades con valor absoluto. La siguiente tabla muestra un resumen de las soluciones: Desigualdad (d >0) x < d x d Solución -d < x < d -d x d Ejemplo: 3 2x 4 3 2x 4 (-1)(-2x) 1(-1) x - 1 / 2 x > d X < -d o x > d x d x d o x d 3 2x -4 (-1)(-2x) (-7)(-1) x 7 / 2
Conclusión En esta sesión aprendimos que una ecuación cuadrática es de segundo grado y tiene la forma ax 2 + bx +c = 0, donde a 0. Tiene dos raíces reales y diferentes, exactamente una raíz real o bien no tiene raíces reales. Puede ser resuelta ya sea por factorización o por medio de la formula cuadrática. También aprendimos a solucionar desigualdades lineales y cuadráticas simples dando la solución en notación de intervalo abierto o cerrado y además se incluyó un ejemplo con valor absoluto. Todo esto con el uso de una sola variable. En la siguiente sesión aprenderemos el uso de las Funciones algebraicas y sus gráficas. Extraído de: http://3.bp.blogspot.com/-q9zmrtoe_5q/ul- BvFysmJI/AAAAAAAAATI/lKRANNoyxow/s1600/Funciones+Algebraicas.JPG solo para fines educativos.
Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Math2me. (2010). Tipos de ecuaciones cuadráticas. Consultado el día 10 abril del 2014 de: https://www.youtube.com/watch?v=hal4hx26n60 2013). Intervalos, definición y uso. Consultado el día 10 de abril del 2014 de : https://www.youtube.com/watch?v=e47wul4xvka (2013). Desigualdades de primer grado. Consultado el día 10 de abril del 2014 de : https://www.youtube.com/watch?v=splxejqoxuq Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito
Bibliografía Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.