Mesura d'angles 1. En una circumferència de 5 cm de radi, un arc fa 1, m. Troba el seu angle central corresponent en radians i en graus sexagesimals.. Expressa en radians de manera exacta els angles següents, donats en graus: a) 0 b) 0 c) 7 d) 10 e) 00. Expressa en radians els angles de la següent figura:. Expressa en radians els angles de la següent figura: 5. Completa la següent taula: α ( ) 0 0 5 0 90 10 15 150 180 α (rad)
Raons trigonomètriques d'un angle agut. El costat desigual d'un triangle isòsceles fa cm i l'angle oposat 50. Calcula el perímetre del triangle i la seva àrea. 7. Els braços d'un compàs mesuren 1 centímetres. Calcula l'angle que formen els braços del compàs quan hi tracem una circumferència de 5 centímetres de diàmetre. 8. Calcula el radi de les circumferències inscrita i circumscrita d'un octàgon regular de 1 cm de costat. 9. Calcula el volum d'un con si la generatriu fa 5 cm i l'angle que forma amb l'altura és de 9 rad. 10. Des de terra veiem el terrat d'un gratacel sota un angle de 0. Amb quin angle el veuríem des d'una distància al peu del gratacel doble de l'anterior? 11. Des de un punt del terra es veu el punt més alt d'una torre sota un angle de. Si s'avança 5 m en direcció a la torre, l'angle és de 7. Calcula l'alçada de la torre.
Raons trigonomètriques d'un angle qualsevol 1. Busca les següents raons trigonomètriques d angles donats en radiants. Expressa el resultat amb tres xifres decimals: a) sin(1,95) b) cos( 0,75) c) tan(1,57) d) csc(,5) 1. Indica quin és el signe de cadascuna de les raons trigonomètriques dels següents angles: 5, 0, 15, 50, 70 i 1000. 1. a) Si sinα= 0,8, en quin quadrant pot estar l angle α? b) Si cosβ= 0,, en quin quadrant pot estar l angle β? c) Si tan γ= 1,5, en quin quadrant pot estar l angle γ? 15. Busca els angles més petits que 0 que satisfan les condicions següents: a) sinα=0,11 b) cosα= 0, c) tanα=,8 d) csc α=1,5 e) sec α=, f) cot α=0,19 1. Calcula de manera exacta les raons trigonomètriques d'un angle α del segon quadrant, sabent que sinα=0,8. 17. Calcula de manera exacta les raons trigonomètriques d'un angle α del quart quadrant, sabent que tan α= 0,5. 18. Calcula de manera exacta les raons trigonomètriques d'un angle α del tercer quadrant, sabent que sinα= 5 1. Reducció al primer quadrant 19. Relaciona les raons trigonomètriques de l angle de 10 amb les d un angle del primer quadrant. 0. Considera un angle de 850. Redueix-lo a un angle més petit de 0 i relaciona n les raons trigonomètriques amb les d un angle del primer quadrant. 1. Un angle β tal que 0 < β < 0 verifica: sinβ= sin0 i cosβ=cos 0. a) A quin quadrant pertany l angle β? b) Quant mesura β?
. Calcula de manera exacta les raons trigonomètriques dels següents angles 150, 5, 0, 0, 05 i 570.. a) Determina tots els angles compresos entre 0 i 0 la tangent dels quals sigui igual a 1. b) Determina tots els angles compresos entre 0 i 0 el sinus dels quals sigui igual a 1.. Si sinα=0, i < α <, calcula: cosα, tan α, sin( α), cos( α) i α. 5. Si cosα= 0,9 i 180 <α<70, calcula: sinα, tanα, sin( α), cos( α), tan( α) i α. Raons de la suma i de la diferència de dos angles. Raons dels angles doble i meitat. a) Dedueix una expressió que et permeti calcular sin(α) en funció de sinα i cosα. b) Dedueix una expressió que et permeti calcular cos( α) en funció de sinα i cosα. c) Fes servir les expressions dels apartats anteriors i les raons trigonomètriques de 0 per calcular el sinus i el cosinus de 90. 7. a) Dedueix una expressió que et permeti calcular sin( α) en funció de sinα i cosα. b) Dedueix una expressió que et permeti calcular cos( α) en funció de sinα i cosα. 8. Sense utilitzar la calculadora, determina les raons trigonomètriques dels angles de 75 i 15 a partir de les raons trigonomètriques dels angles de 5 i 0. 9. Sabent que cosα=0,8, amb 0 < α < 90 i sinβ=0,, amb 90 < β < 180, calcula: a) sin(α+β) b) cos(α+β) c) sin(α β) d) cos(α β) e) sin(α) f) cos(α) g) sin(β) h) cos(β) 0. Sabent que tanα= i tan β=, calcula: a) tan(α+β) b) tan(α β) c) tan( α) d) tan(β) 1. Sabent que sinθ= 0,8, amb 180 < θ < 70, calcula: a) sin ( θ ) b) cos ( θ ) c) tan ( θ )
. Resol les següents equacions trigonomètriques: a) tan x = 5sin x b) cos x = sin ( x ) c) cos ( x ) + sin x = d) sin x + cos ( x ) = 1 e) cos ( x ) + sin x = cos x f) tan ( x ) tan x = 1 g) sin ( x ) = tan x h) sin x + sin ( x ) + sin ( x ) = 0. Resol els següents sistemes d'equacions trigonomètriques: sin x + sin y = } sin x sin y = } a) sin x sin y = 1 b) cos x sin y = Teoremes del sinus i del cosinus. Resol el triangle en què coneixem a= cm, b=8 cm i Ĉ=75. 5. Els costats d un triangle mesuren a= cm, b=0 cm i c=5 cm. Calcula'n els tres angles.. Volem penjar un llum a una certa distància del sostre d una habitació. Per fer-ho, agafem una corda, hi lliguem el llum i la clavem pels extrems en dos punts del sostre separats per una distància de 10 centímetres, de manera que els angles entre la corda i el sostre són de 0 i 0 a cada un dels extrems. a) Quina serà la longitud total de la corda? b) A quina distància del sostre quedarà el llum? 7. Realitzant el mínim nombre de càlculs possible, classifica aquests triangles segons els seus angles: a) a = 10 cm, b = 8 cm i c = 7 cm b) a = 7 cm, b = 1 cm i c = 15 cm c) a = 0 cm, b = 9 cm i c = 1 cm
Solucions 1.,8 rad 75,01971... 75 1 11,0''. a) 0 b) 9 c) 5 d) 7 e) 0 9. α=, β=, γ= i δ=. α= 7 9 i β= 9 5. α ( ) 0 0 5 0 90 10 15 150 180 α (rad) 0 5. P = ( 1+ 1 sin5 ) 11,5 cm i A = 89 tan5 19,7 cm 7. α = arcsin 1,5 1 11,9 8. r i = tan,5 1,9 cm i r c = sin,5 15,8 cm 9. V = 155 sin 0 cos0 1798,1 cm 10. α = arctan( tan0 ) = arctan ( ) 0,89 11. h = 5 tan7 tan tan 7 tan 7, m 1. a) 0,99 b) 0,7 c) 155,7 d) 1,117 1. α 5 0 15 50 70 1000 sinα + + 0 cosα + + 0 + + tan α + + 0 1. a) Quadrants III o IV b) Quadrants II o III c) Quadrants II o IV 15. a) α 1 =, i α =17,8 b) α 1 =18, i α =1,8 c) α 1 =7,0 i α =5,0 d) α 1 =1,81 i α =18,19 e) α 1 =5,70 i α =9,0 f) α 1 =79, i α =59,
1. sinα= 7 5 17. sinα= 9 1 18. sinα= 5 1 cosα= 5 cosα= 0 1 cosα= 1 1 tanα= 7 tanα= 9 0 tanα= 5 1 19. sin 10 = sin 0 cos 10 = cos 0 tan 10 = tan 0 0. sin 850 = sin 10 = sin 50 cos 850 = cos 10 = cos 50 tan 850 = tan 10 = tan 50 1. a) Al quadrant IV b) 0. α 150 5 0 0 05 570 sinα 1 1 1 cosα 1 tan α 1 1. a) α 1 =15 i α =15 b) α 1 =10 i α =0. cosα = 0,8, tan α = 0,75, sin( α) = 0,, cos( α) = 0,8 i α 1,1 5. sinα = 0,8, tan α 0,9, sin( α) = 0,8, cos( α) = 0,9, tan ( α) 0,9 i α 19,. a) sin(α) = sinα sin α b) cos(α) = cos α cos α c) sin90 = 0 cos90 = 1 7. a) sin( α) = sinα cos α sin α cos α b) cos( α) = cos α sin α cos α + sin α 8. sin75 = cos 15 = + sin15 = cos 75 = 9. a) sin(α+β) = 0 b) cos(α+β) = 1 c) sin(α β) = 0,9 d) cos(α β) = 0,8 e) sin( α) = 0,9 f) cos( α) = 0,8 g) sin( β) = 0,9 h) cos(β) = 0,8 0. a) tan(α+β) = 7 b) tan(α β) = 9 c) tan(α) = d) tan(β) = 8 15 1. a) sin ( θ ) 0.89 b) cos ( θ ) 0.7 c) tan ( θ ). a) 0, 78,, 180 i 81,5 b) 0, 90, 150 i 70 c) 0, 90 i 150 d) 0, 0, 150 i 180 e) 0, 15, 75 i 180 f) 0, 150, 10 i 0 g) 0, 5, 15, 180, 5 i 180 h) 0, 90, 10, 180, 0 i 70
. a) x=0 o 150 { y=90 b) x=0, 150, 10 o 0 { y=5, 15, 5 o 15. c 8,7 cm  1,95 B,05 5.  9,5 B 8,05 Ĉ 11,1. 10 (sin0 +sin 0 ) a) L = sin80 1,9 cm b) h = 7. a) Acutangle b) Obtusangle c) Rectangle 10 sin0 sin 0 sin80 79,1 cm Resolució de l'apartat e) de l'exercici cos(x )+ sin x = cos x (1) cos x sin x cos x + sin x = cos x cos x cos x sin x cos x + sin x =0 cos x (cos x 1) sin x cosx + sin x =0 cos x ( sin x ) sin xcos x + sin x =0 sin x cosx + sin x =0 sin x ( sin x cosx + 1)=0 () sin x ( sin( x )+ 1 )= 0 sin x=0 x=0 x=180 { sin(x)+ 1=0 x=0 x=150 x=15 x=75 (1) Aquí he fet servir el resultat de l'exercici.b) deduït a classe. () I aquí he fet servir la fórmula de l'angle doble que teniu al formulari. Resolució de l'apartat h) de l'exercici sin x + sin(x)+ sin( x)=0 (1) sin x + sin x cos x + sin x cos x sin x =0 sin x (1+ cos x + cos x sin x ) =0 () sin x (1+ cos x + cos x 1 + cos x ) =0 sin x ( cos x + cos x ) =0 sin xcos x (1 + cos x ) =0 {sinx =0 x=0 x=180 cosx =0 x=90 x=70 1 + cos x=0 x=10 x=0 (1) Aquí he fet servir el resultat de l'exercici.a) deduït a classe. () I aquí he fet servir la identitat fonamental de la trigonometria.