Soluciones del capítulo 3 Ecuaciones no lineales de pime oden Hécto Lomelí y Beatiz Rumbos 9 de mazo de 200 3 32 a xt = t b xt = t c xt = 2 t a yx = sin 2 x 2 + b y log y + 2 = log x + 4 d xt = tan t + π 4 e xt = 3 2 t + 3/2 4 2 + c yt = 2 et + 2 e3t 33 a Nt = N + N N e N kt 0 paa N 0 N Si N 0 = N entonces Nt N b lim t Nt = N ; es deci, el númeo de pesonas que habá oído el numo cuando t sea muy gande tendeá al númeo total de pesonas del pueblito c uévano, Plan de Abajo 34 Haciendo w = k α se obtiene la ecuación ẇ = αs αn + nw Po lo tanto, wt = c exp[ αn + δt] + De ahí que la solución solución paa k es de la foma s n + δ [ kt = wt α = c exp[ αn + δt] + s ] α, n + δ [ ] s donde c es una constante Además, lim kt = α = k t n + δ
35 a 36 L L = α β L Y = α β L K γ L γ b Haciendo w = L γ se obtiene la ecuación y po ende [ Po lo tanto, Lt = wt γ = β c lim Lt = t αk γ a Notemos que = α β Lγ K γ Po lo tanto, L = αl β wt = L γ 0 γ α γ = K β Sea y = P L, entonces Po oto lado, ẏ = Ṗ = ẇ = γ αw + βγ K γ, L γ 0 β αk γ e αγ t + β αk γ ] β αk γ e αγ t + β γ αk γ α L = L Lγ + K γ, donde K es constante P P 2 E = P 2 + P E αy y 2 = α 2 P L P L 2 = P L P L + α 2 = P L P L Al multiplica los factoes del polinomio se obtiene la igualdad b Sea w = y La ecuación paa w es ẇ = αw + Su solución esta dada po wt = ke αt α, donde k es una constante Despejando la constante, obtenemos que k = /y 0 + /α Esto implica que yt = αy 0 y 0 + αe αt y 0 La solución paa P es Pt = yt + L, donde y 0 = P 0 L c Notemos que y 0 + α = P 0 L + α = P 0 L Po lo tanto, si P 0 > L, entonces y 0 + α > 0 En tal caso lim yt = 0 y lim Pt = L t t 2
37 a xt = 2t 2+ce t b Sea w = y 2, entonces su solución es wx = x + 2 + ce2x Po lo tanto yx = ± x + 2 + ce2x 2 El signo depende de la condición inicial que se utilice c Sea w = y Entonces w satisface la ecuación w + x w = x, cuya solución es wx = x+c x x Po lo tanto yx = x+c d Sea w = y 3 Resolviendo la ecuación difeencial paa w, obtenemos wx = x 3 2x 3 + c Po lo tanto, yx = x 2x 3 + c 3 38 a Sea w = x 6, entonces w satisface ẇ = 6w 6 y la solución es wt = + ce 6t Po lo tanto xt = + ce 6t /6 onsideando la condición inicial, se obtiene c = 0 y po tanto xt = b Sea w = x 4, entonces w satisface ẇ = 44 w 4 t t 2 Po ende, la solución es wt = 43 4 t +ct 44 y po lo tanto xt = la condidicón inicial se encuenta que c = 47/43 4 43 t + ct 44 /4 Al sustitui c Sea w = y 2, entonces su solución es wt = t + ct /2 Po lo tanto yt = t + ct /2 /2 onsideando la condición inicial, yt = t con t 0 39 a x = 0 equilibio inestable; x = 2 equilibio estable b x = 0, x = 2 equilibios inestables; x = 3 equilibio estable 3
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c x = 2nπ equilibios inestables; x = 2n + π equilibios estables d x = k equilibio estable 30 a Si x 0 < 2 entonces xt convege a 2 Si x 0 > 2 entonces xt divege b Si x 0 < 0 entonces xt convege a 0 Si x 0 > 0 entonces xt convege a x = es un punto de equilibio estable En cada caso, apaecen puntos que no son asintóticamente estables c Si x 0 < 0 entonces xt convege a 0 Si x 0 > 0 entonces xt divege 3 a alculando la deivada con especto a w, se obtiene que d u dw u = u 2 + u u u 2 = + u u u 2 = k, 5
Esto implica que u u = k w + A, donde A es una constante abitaia Po lo que se tiene u u = A + k w Podemos esolve la ecuación difeencial anteio Si k, obtenemos que donde B es una constante abitaia Al intega, Si k =, obtenemos que u w = B A + k w /k, uw = En cada caso, A, B y son constantes abitaias b A, B > 0 y k 0 B A + k wk 2/k k 2 uw = ABe w/a + c Si k = 0 entonces B A w2 uw = +, 2 donde A, B > 0 y 0 < w A Si u es una función RRA, entonces necesaiamente se tiene que la constante A = 0 omo w > 0 y además se cumple que u > 0 y u < 0, entonces se tiene que k > 32 + a Pimeo esolvemos paa m y obtenemos mt = m 0 + µt Al sustitui en 34 obtenemos ṗt = αλ [µ + αm 0 + αµt αpt] La solución de la anteio es pt = m 0 + µλ + µt + p 0 m 0 µλ exp α αλ t Además lim pt = y lim ṗt = µ = ṁ t t 6
b En el segundo caso se esuelve la ecuación 33 La solución de la anteio es Además lim pt = lim ṗt = t t a La ecuación paa p e es Resolviendo se obtiene donde ṗt = λ [pt mt] = λ [pt m 0 µt] pt = m 0 + µλ + µt + p 0 m 0 µλ exp ṗ e = α τd p e t = p + p e 0 p exp p = Po oto lado, pt = α ṗe t + p e t y, po tanto, pt = p Además lim t pe t = lim t pt = p α p e τd αt, α αt pe 0 p exp λ t b Si τ aumenta inespeadamente a τ, entonces el valo del pecio de equilibio p pasa a un nuevo pecio de equilibio p que es meno a p En el momento del cambio la deivada ṗt pasa de se ceo a se negativo el pecio tiende a disminui Después ṗ aumenta en el tiempo y el sistema pocede asintóticamente hacia el nuevo equilibio p < p El antiguo pecio de equilibio se puede considea como condición inicial al tiempo T Po lo tanto, la expesión paa las soluciones a pati del instante T seían αt T p e t = p + p p exp, donde t T y p = τd/ pt = p α p p exp αt T, c La solución es pt = [ p 0 ] τd e t + τd d El nivel de pecios divege a menos que al momento del aumento inespeado se tenga que pt = τd 7
34 Si hacemos entonces podemos escibi f P = P P E, f P = P2 + P E La función f es cuadática y su gáfica es una paábola que abe hacia abajo EL disciminante de la función es = 2 4 E = 4E El númeo de puntos fijos del sistema dinámico está elacionado con el signo de Tenemos tes casos E < /4 El disciminante es positivo y po lo tanto la función f tiene dos aíces Es deci, el sistema tiene dos puntos fijos y la dinámica se divide en tes intevalos En dos de ellos P decece y en uno cece E = /4 El disciminante es ceo y po lo tanto la función f tiene una aíz El sistema tiene un sólo punto fijo y la dinámica se divide en dos intevalos En ambos, P decece E > /4 El disciminante es negativo y po lo tanto la función f no tiene aíces La función P siempe decece 35 Se tiene la siguiente ecuación Ṗ = f P = gα δ P γ P + β Notemos que f P = g α δ P γ P + βδ γ Esto implica que f P = g0 = 0, f P = g 0δ γ < 0 Po el teoema 33, el punto P es asintóticamente estable 8