Narración de una ineracción discursiva en el aula: la linealidad y lo que no es la linealidad Jaime Lorenzo Arriea Vera Deparameno de Maemáica Educaiva, Cinvesav, I.P.N. México j_arriea@homail.com Resumen Se hace referencia, principalmene, a la puesa en escena de dos secuencias didácicas: la linealidad como herramiena para inerprear y ransformar fenómenos de la nauraleza y las maemáicas del movimieno. Ambas secuencias planean la esis de que la linealidad sólo se consruye en la oredad, es decir en la confronación con lo que no es ser lineal, de ora forma, por ejemplo, se aplica la regla de res indiscriminadamene, no se permie hacer la coordinación con oras versiones de la linealidad, la modelación de fenómenos es inaccesible, en general no se permie la consrucción de argumenos. Paricularmene, nos proponemos, presenar evidencias empíricas de que la maemáica no es neura, depende del conexo social en donde se aborda. La maemáica iene senido, exacamene, en conexos sociales concreos. Esos conexos remien a diversas prácicas sociales aneriores escolares o no escolares, ese conexo social es deerminane en la uilización de las esraegias, herramienas y procedimienos ane una siuación. Ni la mene sola, ni la mano sola, pueden lograr mucho sin las herramienas que las perfeccionan. Francis Bacon ciado por Vygosky en Though and Language. En aneriores exposiciones sobre el rabajo de invesigación La modelación de fenómenos como proceso de maemaización en el aula, que desarrollo como esis docoral, dirigida por los docores Ricardo Canoral y Francisco Cordero, he inenado exponer las concepciones generales que lo guían. Ahora el ineno es dirigido a presenar, de una forma más paricular, algunas evidencias empíricas sobre la perinencia de ese rabajo. Se hace referencia, principalmene, a la puesa en escena de dos secuencias didácicas: la linealidad como herramiena para inerprear y ransformar fenómenos de la nauraleza y las maemáicas del movimieno. Ambas secuencias planean la esis de que la linealidad solo se consruye en la oredad, es decir en su confronación con lo que no es ser lineal, de ora forma, por ejemplo, se aplica la regla de res indiscriminadamene, no se permie hacer la coordinación con oras versiones de la linealidad, la modelación de fenómenos es inaccesible, en general no se permie la consrucción de argumenos. Paricularmene, nos proponemos, presenar evidencias empíricas de que la maemáica no es neura, depende del conexo social en donde se aborda. La maemáica cobra vida, iene senido, exacamene en conexos sociales concreos. Esos conexos remien, a los esudianes y profesores, a diversas prácicas sociales aneriores escolares o no escolares y son deerminane en la uilización de las esraegias, las herramienas y los procedimienos ane una siuación. Lineamienos generales de las secuencias Definimos una inencionalidad, esablecer un conexo en donde las herramienas, procedimienos y nociones maemáicas cobren vida, en el ineno de inerprear e inervenir en los fenómenos de la nauraleza. En ese senido hemos rescaado prácicas en donde se combina la inervención en la nauraleza, el rabajo y el experimeno con la especulación maemáica. A la 9
esrucuración discursiva de esas prácicas en el aula es lo que llamamos la modelación como proceso de maemaización en el aula. El carácer discursivo de esas prácicas nos remie a acividades que desarrollan ineracivamene docenes y alumnos en un salón de clases, confronando y argumenado diferenes versiones de un fenómeno de la nauraleza (comprendidos los fenómenos sociales, económicos, ec.). Una de las caracerísicas de ese proceso es la ariculación de diferenes modelos con la experimenación, como un insrumeno de validación de las diferenes versiones en compeencia.. La modelación como acividad humana, en el senido de acividad con la inención de comprender y ransformar la nauraleza, la consideramos como fuene que desarrolla procesos de maemaización, donde el alumno consruye argumenos, significados, herramienas y nociones relacionados con las maemáicas en la inervención con los fenómenos de la nauraleza. La ciencia no es enendida como consiuida sólo por hechos cieníficos sino, sobre odo, como recursos argumenaivos que esablecen los hechos cieníficos y la experimenación y los daos empíricos como un recurso para argumenar y no para esablecer la verdad. Condiciones experimenales Las siuaciones se aplicaron a un grupo de esudianes del Conalep Acapulco II (nivel medio superior, preuniversiario), disribuidos en res equipos de cuaro esudianes, los esudianes del equipo C cursaban el quino semesre, los del equipo B el ercero y los del A el primer semesre. La edad de los esudianes es enre 15 y 18 años. La linealidad como herramiena para inerprear y ransformar fenómenos de la nauraleza En esa secuencia los esudianes y el profesor consruyen diferenes modelos para explicar un fenómeno, la elasicidad de resores, e inervenir en él. En general forman diferenes modelos (idenificando sus caracerísicas disinivas y sus parámeros), hacen predicciones del fenómeno uilizando cada modelo y esablecen una coordinación enre ellos. Se analizan diferenes esquemas didácicos para el raamieno de la linealidad uilizados en el discurso maemáico escolar y se propone un esquema para el diseño de la secuencia. organizar las observaciones hechas en la manipulación del fenómeno pasar de un algorimo numérico a la ecuación Elasicidad de resores Tabla numérica: abla con x consane p Fórmula algebraica: x=k p+p0 Inerprear los parámeros k y p0 geoméricamene punear Gráfica: la reca. 10
Específicamene, en esa secuencia, la modelación de fenómenos como proceso de maemaización en el aula, significa idenificar las caracerísicas del fenómeno en el modelo, uilizar ese como una herramiena para enender e inervenir en él, en ese caso hacer predicciones con el modelo y coordinar los diferenes modelos, sus parámeros y sus formas de predicción con el fenómeno a modelar. Resalamos res fases de esa secuencia: la argumenación a parir de coordinar la inclinación de la reca y la elasicidad del resore y la razón de incremenos, la argumenación a parir de coordinar la posición inicial del porapesas y la alura de la reca y la elaboración de un esquema que coordine la elasicidad de resores, sus diferenes modelos, sus parámeros y sus formas de predicción. Más o menos elásico Mayor o menor X / P Mayor o menor consane a en la ecuación x = ap +b Inclinación de la reca Coordinación enre la inclinación de la reca, la elasicidad del resore, la razón de incremenos y el coeficiene a de p. Posición inicial de la regla Cambio en la condición inicial p = 0, x = b Mayor o menor consane b en la ecuación x = ap +b Alura de la reca Coordinación enre la alura de la reca, la posición inicial de la regla, la posición inicial x 0 y el coeficiene independiene b. 11
Predicción por aneo Regla de res. Uso del algorimo x = ( x / p)p+b Manipulación algebraica Inerpolación lineal Coordinación enre las formas de predicción con diferenes modelos. El análisis del desarrollo de esa secuencia arroja evidencias en el senido de la imporancia del conexo social en donde los esudianes y profesor desarrollan acividades maemáicas. En la resolución de problemas con una misma esrucura maemáica, los esudianes y profesores, operan con diferenes esraegias, de acuerdo al conexo en que lo hacen. En la ineracción con el fenómeno surgen diferenes versiones de él, y la argumenación uilizada para su validación uiliza recursos omados del conexo. Las maemáicas del movimieno La idea fundamenal de esa secuencia es consruir un conexo argumenaivo donde los esudianes y profesor, ineracivamene, en el aula, consruyan argumenos, herramienas y significados a parir de la ineracción con un fenómeno, en ese caso con el movimieno de un móvil. El conexo argumenaivo se cenra en esablecer una coordinación enre los movimienos de un móvil, los modelos de la gráfica disancia iempo, la gráfica velocidad iempo y fórmulas algebraicas. v d 3 3(/2) Movimieno Esa secuencia consa de dos pares, una sobre el movimieno uniforme (movimieno con velocidad consane) y la ora sobre el movimieno uniforme disforme (movimieno uniformemene acelerado) Enre las hipóesis predicivas de la secuencia, resalamos las siguienes. Los esudianes consruyen diferenes versiones de los hechos, en ese caso de las diferenes siuaciones de movimieno de un móvil. Los esudianes consruyen una versión gráfica (llamada figuración de la cualidad) del devenir de las disancias y del devenir de las velocidades. 12
Los esudianes esablecen una ariculación enre el movimieno y gráficas iempo disancia y iempo velocidad. Los esudianes esablecen la relación enre el área bajo la reca velocidad iempo con la gráfica disancia iempo y ese es el argumeno principal para esablecer el hecho de que la disancia varía como el cuadrado del iempo en un movimieno uniforme disforme. El desarrollo de secuencia obedece al esquema que se muesra a coninuación: Coordinar las gráficas velocidad - ie mpo y disancia - ie mpo Coordinar la gra fica dis ancia iempo con el fenó meno El m ovi mien o de u n m óvil Gr áfic a dis ancia - iempo Gr áfic a veloci dad - iem po Coordinar e l á rea bajo la gráfica ve locidad ie mpo y pos ición del móvil Fór mul a algebr aica x=a(-b) 2 +c Inerprear geomérica mene los parámeros a, b y c Enre oras evidencias obenidas en el análisis de esa secuencia es que los esudianes consruyen, a parir de las gráficas que se obienen de un sensor de movimieno, diferenes versiones de las siuaciones de movimieno de un móvil. En esa secuencia se observan dos versiones en compeencia donde los esudianes consruyen argumenos conexuales, como la velocidad. Aquí, la velocidad no solo significa disancia enre iempo, sino ambién, por ejemplo, inclinación de la reca en la gráfica disancia iempo. La velocidad significa coordinar dos variables. Algunos esudianes no muesran inmediaamene esa coordinación, manejando solo una variable, bien sea la disancia o el iempo. La velocidad esa presene como pare del discurso escolar, mas, en ocasiones, no es movilizada como una herramiena para explicar el movimieno. Referencias bibliográficas Canoral, R., Farfán, R. (1998). Pensamieno y lenguaje variacional en la inroducción al análisis. Epsilon Núm. 42, pp. 353-369, España Candela, A. (1999) La ciencia en el aula. Los alumnos enre la argumenación y el consenso., México: Paidos Educador. Confrey, J., Cosa, S. (1996). A Criique of he Selecion of "Mahemaical objecs" as Cenral Meaphor for Advanced Mahemaical Thinking. Inernaional Journal of Compuers for Mahemaical Learning, volumen 1. Cordero, F. (2001). La disinción enre consrucciones del cálculo. Una episemología a ravés de la acividad humana. Revisa Lainoamericana de Invesigación en Maemáica Educaiva, núm. 2-2001, en prensa. 13