INTRODUCCIÓN A ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS UTILIZANDO GEOGEBRA

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1 Revisa de Invesigación en Modelos Maemáicos Aplicados a la Gesión y la Economía Año 2 (2015) ISSN ISSN (En línea) ) INTRODUCCIÓN A ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS UTILIZANDO GEOGEBRA ALEJANDRA ZAIA Faculad de Ciencias Económicas Universidad de Buenos Aires Buenos Aires, Resumen Córdoba AAQ Ciudad Auónoma de Buenos Aires República Argenina alejazaia@yahoo.com.ar El presene rabajo de clase fue preparado con la inensión de ener en cuena la problemáica relacionada con la enseñanza-aprendizaje del ema de ecuaciones en diferencias finias: resolución y/o análisis de la esabilidad de las soluciones, en el curso de Maemáica para Economisas, desinado a los alumnos de las carreras Licenciaura en Economía y Acuario. Esá enfocado desde el marco de la Socioepisemología: las gráficas ienen un uso que se desarrolla siuacionalmene de al manera que es facible explorar la nauraleza del conocimieno maemáico involucrado y favorecer su resignificación. Se inena analizar a las gráficas no como un objeo, sino como una herramiena que sosiene una argumenación y apora significados relaivos a la consrucción de ese conocimieno maemáico. Palabras claves: diferencias finias, sisemas dinámicos discreos, GeoGebra 29

2 INTRODUCTION TO FINITE DIFFERENCE EQUATIONS USING GEOGEBRA ALEJANDRA ZAIA Faculad de Ciencias Económicas Universidad de Buenos Aires Buenos Aires, Córdoba AAQ Ciudad Auónoma de Buenos Aires República Argenina Absrac This class paper has been prepared in order o consider he issues associaed o eaching/learning equaions in finie differences: resoluion and/or analysis of soluion sabiliy, in he course Mahemaics for Economiss, inended for sudens in Economics and Acuarial Science B.Sc. courses. The approach used involves Social Episemology: graphs enable heir siuaional use, so ha i is feasible o explore he naure of he mahemaical knowledge involved, favoring is new meaning. The aim is o analyze graphs no as an objec, bu as a ool supporing an argumen and conribuing meaning for he consrucion of he mahemaical knowledge concerned. Keywords: finie differences, discree dynamical sysems, GeoGebra 30

3 1. Inroducción Hay res nociones de fundamenal imporancia en el aprendizaje de ecuaciones en diferencias finias que esán profundamene relacionadas enre sí: la de sucesión recursiva, la de función y la de límie. Su enseñanza presena disinos problemas relacionados con las diversas concepciones de los objeos a considerar y con los obsáculos cogniivos que ellos raen aparejados. Uno de los concepos que a los alumnos les dificula manejar en ese ema es la noción de límie infinio; la consrucción de esa noción debe ser conexualizada bajo diferenes significados asociados a los emas que son relevanes para el alumno de una carrera de Ciencias Económicas. Los sisemas dinámicos discreos son una manera diferene de acercarse a dicha noción: es un área imporane de la maemáica, paricularmene accesible para los no maemáicos, pues se puede analizar a parir de procesos ieraivos. Ese es un rabajo de inroducción a las nociones de sisemas dinámicos discreos. El propósio es rabajar procesos ieraivos desde la prácica a ravés de problemas económicos conocidos por los alumnos, con la inención de que las acividades propuesas puedan llevarse a cabo en el aula a parir de los concepos de funciones que ellos saben, para luego poder inroducir el concepo de ecuaciones en diferencias finias lineales con coeficienes consanes, eniendo presene que esas ienen solución pero, que en general, no siempre es posible enconrar solución para cualquier ecuación en diferencias finias, aunque sí es posible predecir el comporamieno del sisema en el iempo a ravés de los diagramas de fases. Desde la socioepisemología se busca reconocer que las gráficas ienen un uso que se desarrolla siuacionalmene de al manera que es facible 31

4 explorar la nauraleza del conocimieno maemáico involucrado y favorecer su resignificación. Se inena analizar a las gráficas no como un objeo, sino como una herramiena de rabajo que sosiene una argumenación y apora significados relaivos a la consrucción de ese conocimieno maemáico. 2. Concepos generales previos El modelo que se planea inicialmene es el modelo de ofera y demanda, que son relaciones funcionales enre precios y canidades; ambas variables son a su vez funciones desconocidas del iempo y, dependiendo de cuáles son las funciones anedichas, se puede o no conocer la función precio dependiendo del iempo. Pero el procedimieno que realizaremos es igualmene uilizable para cualquier modelo dinámico. Como los períodos a rabajar son días, semanas, meses, años, ec., esas funciones de ofera y demanda, que pueden ser coninuas, son consideradas discreas en el momeno de analizarlas desde la variable iempo. Analizar la esabilidad de la rayecoria emporal del modelo es equivalene a analizar el límie de la función discrea precio (incluso al vez sin conocerla) a medida que ranscurre el iempo, es decir, el límie a infinio de la función precio, a ravés de las funciones de ofera y demanda. Se lo considera un modelo dinámico. Los alumnos que deben analizar modelos de ese ipo se encuenran con un doble problema al enfrenarse a ellos: El rabajo con funciones coninuas (ofera y demanda) que, si bien son la base del problema, no son las funciones a analizar. El rabajo con una función discrea, la función que realmene deben analizar, que puede no conocerse y si se conoce, al vez enga caracerísicas disinas a las funciones que el alumno esá 32

5 acosumbrado a rabajar, ya que pueden ser funciones exponenciales con base negaiva, muy enriquecedoras desde el puno de visa económico, pero nunca analizadas aneriormene por el alumno pueso que en las maerias previas sólo se esudian funciones coninuas: para el alumno, siempre la base de las funciones exponenciales fueron posiivas y disinas de 1. Se produce una rupura enre los conocimienos que el alumno posee, y que se deben seguir uilizando, y los nuevos concepos, que a veces parecen conraponerse con los aneriores. Se crea un obsáculo episemológico enre los conocimienos adquiridos por ellos en las maerias Análisis I y Análisis II y los nuevos concepos que deben adquirir ahora: analizar una función a ravés de oras dos. El objeivo es llevar al alumno a consruir ese concepo a ravés de la experimenación en clase, experimenación que si se realiza graficando esas siuaciones con lápiz y papel puede requerir mucha precisión y genera inconvenienes. Las gráficas realizadas en el pizarrón por el docene o en la carpea por los alumnos, requieren demasiado iempo de ejecución y presenan las dificulades de no poseer la exaciud necesaria en la solución de un problema: es necesario buscar las inversas de las funciones ofera y demanda, ya que esas son funciones precios dependiendo de las canidades y sin embargo, en el modelo se dan como canidades en función de los precios. es necesario adecuar las unidades sobre los ejes en cada uno de los ejercicios, sin saber a priori qué esperar respeco al comporamieno de la función precio-iempo; cada precio inicial genera una rayecoria disina; dos rayecorias disinas siempre ienen el mismo comporamieno respeco a la esabilidad; 33

6 dos rayecorias disinas pueden ener el disino comporamieno respeco al crecimieno, ya sea esable o inesable; la represenación de una rayecoria se ve acoada a la gráfica realizada de las funciones ofera y demanda, que, dado un precio inicial, al vez no permia visualizar la rayecoria adecuadamene; ec. 3. Jusificación del rabajo en GeoGebra Si se puede acercar la compuadora como maerial didácico para inenar superar esas dificulades, llevar al alumno a consruir ese concepo a ravés de la experimenación uilizando un sofware adecuado, sofware que no requiera mucho iempo de aprendizaje para su uilización y que dicho aprendizaje sea simuláneo con la consrucción del concepo, el alumno puede visualizar que: el programa, al inroducir las funciones ofera y demanda, con conocer cuál de las variables se desea que sea dependiene e independiene, sólo se encarga de graficar las inversas. no es necesario adecuar las unidades sobre los ejes en cada uno de los ejercicios, pueso que alcanza con uilizar el zoom para poder visualizar la siuación cómodamene; cada precio inicial genera una rayecoria disina, que se puede deerminar solamene cambiando el precio inicial, moviendo un puno ; dos rayecorias disinas siempre ienen el mismo comporamieno respeco a la esabilidad, que se comprueba rápidamene al mover el precio inicial; dos rayecorias disinas pueden ener el disino comporamieno respeco al crecimieno, ya sea esable o inesable, que ambién se comprueba rápidamene al mover el precio inicial; 34

7 la represenación de una rayecoria ya no se ve acoada a la gráfica realizada de las funciones ofera y demanda, ya que con el zoom o un simple corrimieno de ejes de coordenadas, se visualiza perfecamene la siuación, cualquiera sea el precio inicial. El sofware elegido para el raamieno de ese ema es el programa GeoGebra, que es un programa de ipo Freeware (grauio) y que se consigue rápida y fácilmene en Inerne a ravés de su página oficial. Ese programa se uiliza para realizar gráficos de funciones a ravés de sus fórmulas y ambién para graficar elemenos geoméricos por definición o por sus propiedades. Para ese ema en paricular necesiaremos de los concepos geoméricos, el de puno sobre reca, puno de inersección enre recas y funciones y vecores que son los que permiirán represenar la rayecoria ineremporal del precio. Como se dijo en el párrafo anerior, se uilizará GeoGebra (cualquier versión) para analizar la siuación planeada por una ecuación o sisema de ecuaciones dinámicos. Se elige ese sofware para analizar la esabilidad de la rayecoria del precio pues es necesario un programa que permia graficar funciones desde su ecuación, que en general es q f p, pero es necesario uilizar p g q gráficamene la función, es decir, es necesario manejarse 1 p f gráficamene con q, que ese programa grafica inmediaamene q f p al inroducir pueso que siempre considera q ( x en el programa) como variable independiene. También es necesario que permia en el mismo gráfico razar las rayecorias del precio, solución de nuesro sisema dinámico, que se hará mediane vecores cuyos exremos sean punos de ambas gráficas para un mismo precio o para una misma canidad según corresponda. 35

8 A su vez, ese programa permie rápidamene, analizar la rayecoria del precio solución de un modelo, sin necesidad de resolverlo pueso que una vez consruida la rayecoria para un modelo en paricular, se puede uilizar dicho gráfico cambiándoles las funciones del modelo para resolver cualquier oro modelo, o ecuación en diferencias, inclusive no lineal. 4. Expecaivas de logro A ravés de la uilización del sofware, los alumnos pueden visualizar en disinas siuaciones cuál es el comporamieno de la rayecoria ineremporal del precio en el modelo de Ofera Demanda. Se espera que mediane la uilización del sofware, los esudianes puedan comprobar qué significa el resulado obenido en el análisis de la esabilidad de la rayecoria emporal del precio: Que sea convergene al precio de equilibrio y cómo lo es (en forma creciene, en forma decreciene, de manera oscilane). Que sea divergene pese a exisir un precio de equilibrio y cómo diverge (en forma creciene, en forma decreciene o bien es oscilane). Que no converja ni diverja, pues se maniene oscilane enre dos valores, y cuáles son esos. 5. Observaciones Las acividades que serán propuesas se analizarán ínegramene mediane la uilización del sofware indicado. La guía presenará una organización diferenciada en dos pares, pueso que se uilizará la primera pare como planilla para resolver la segunda, ya que la consrucción inicial puede ser muy engorrosa si se la llevara a cabo 36

9 en cada ejercicio, y además generaría la pérdida de inerés por pare de los alumnos. En la primera pare se propondrá la consrucción de una siuación paricular (Modelo de ofera- Demanda), con el objeo de conocer los comandos necesarios y el orden en que deben efecuarse dichos comandos y de consruir simuláneamene el concepo de rayecoria ineremporal del precio. Esa siuación paricular será la uilizada de planilla poseriormene, como fue mencionado en el párrafo anerior. En la segunda pare se proponen acividades en las que se uilizarán como planilla la consrucción primera, con disinas siuaciones para que los alumnos puedan visualizar y sacar conclusiones de odas las posibilidades exisenes, ya sea de modelos económicos como de la resolución maemáica de ecuaciones en diferencias finias, incluso cuando esas al vez no se puedan resolver. 37

10 5.1 Primera Pare: SECUENCIA DIDÁCTICA Barra de Menú Comandos Visa Algebraica Visa Geomérica Hoja de rabajo Flecha La panalla del GeoGebra esá dividida en dos pares: La visa Algebraica, donde se visualizará algebraicamene odas las consrucciones que iremos razando. La visa Geomérica, donde iremos consruyendo el modelo de la Telaraña. 1) Buscar cuáles son las variables que uiliza el Programa GeoGebra para graficar funciones. Se pueden enconrar en la barra del menú Opciones y luego Avanzado y denro del cuadro, Preferencias. 2) Inroducir en el GeoGebra al modelo de Ofera Demanda siguiene: 38

11 q q q D S S 4 7. p p q D 1 y analizar la esabilidad de la rayecoria del precio. Noa: Recordar que las gráficas se hacen considerando al precio en función de las canidades, independienemene de cómo esén dados los daos. Qué variables represenan al precio y a las canidades? a) Para hacerlo, inroducir cada una de las funciones en la Enrada que se encuenra en la pare inferior de la venana y luego Ener. b) Cada una de las ecuaciones inroducidas van a aparecer escrias en la Visa Algebraica, la primera con nombre a y la segunda con nombre b. Hacer click sobre cada ecuación con el boón derecho del mousse. Aparecerá un desplegable que permiirá cambiarle el nombre ( Renombra ) por D o S según corresponda a la demanda u ofera, respecivamene, y luego OK. c) Es posible cambiar el color de cada una de las funciones represenadas (recomendable) para disinguirlas con más facilidad. Para ello, hacer doble click sobre la función, aparecerá un recuadro al cosado, elegir Propiedades de Objeo, luego Color y seleccionar un color. Qué sucede en la Visa Algebraica? d) Hallar la inersección de las dos funciones. Para hacerlo, seleccionar en el desplegable del comando la opción Inersección de Dos objeos y luego hacer click sobre ambas funciones. Qué sucede? Hacer doble click sobre el puno, 39

12 aparecerá un cuadro, clickear en Propiedades de Objeo, se abrirá oro cuadro: i) En la solapa Básico, en Nombre, cambiar por P y desclickear Eiquea visible (para no ener anos nombres en el gráfico que enorpezcan la visualización de los fuuros punos a hallar) ii) En la solapa Color, elegir color rojo (si no fue uilizado con las funciones). iii) Cerrar el cuadro. e) Con el comando razar una reca perpendicular al eje verical que pase por el puno de inersección de ambas funciones. i) Hallar puno de inersección de esa reca con el eje verical, llamarlo P* y ponerle el mismo color que P (En panalla sólo aparece P). Clickeando en el comando, selecciona la lera y acomódala a la izquierda del eje, a la alura del puno. Ese úlimo comando sirve para desacivar cualquier comando. ii) Hacer doble click sobre esa úlima reca hallada, en el cuadro seleccionar Propiedades de Objeo, y en la solapa Básico desclickear Objeo Visible, o bien, en la Visa Algebraica clickear el círculo de color que se halla al lado de su ecuación. Quedará una circunferencia gris, sin pinar. iii) Desplegar el comando Segmeno enre dos punos, y P*. y seleccionar el comando y clickear sobre los punos P 40

13 iv) Seleccionar el segmeno, Propiedades de Objeo y en el cuadro elegir la solapa Esilo, y en Esilo de Trazo seleccionar un puneado. Cerrar cuadro. f) Con el comando razar una reca perpendicular al eje horizonal que pase por el puno de inersección de ambas funciones. i) Hallar puno de inersección de esa reca con el eje horizonal, llamarlo Q* y ponerle el mismo color que P (en panalla sólo aparece Q). Clickeando en el comando y acomodarla debajo del eje, a la alura del puno., seleccionar la lera ii) Hacer doble click sobre esa úlima reca hallada, en el cuadro seleccionar Propiedades de Objeo, y en la solapa Básico desclickear Objeo Visible o bien, en la Visa Algebraica clickear el circulo de color que se halla al lado de su ecuación. iii) Desplegar el comando Segmeno enre dos punos, y Q*. y seleccionar el comando y clickear sobre los punos P iv) Seleccionar el segmeno, Propiedades de Objeo y en el cuadro elegir la solapa Esilo, y en Esilo de Trazo seleccionar un puneado. Cerrar cuadro. g) Seleccionar en el desplegable del comando la opción Puno en Objeo y clickear sobre un puno cualquiera del eje verical, cercano a P*. A ese puno se lo llamará Po (será el precio inicial). Cambiarle el color por un color llamaivo, que será uilizado desde 41

14 ahora. Seleccionar el puno Po y moverlo hacia cualquier lugar del plano. Qué sucede? Siempre al ubicar un puno con ese comando sucederá lo mismo? Mueve el nombre del puno a la izquierda del eje verical. Noa: A medida que se lleva adelane la consrucción, al vez puede ser necesario agrandar o achicar la imagen. Para ello, sobre cualquier pare de la hoja de rabajo, uilizar la ruedia del Mouse, y para correr el eje de coordenadas, uilizar el comando. i) Trazar una reca perpendicular al eje verical que pasa por Po. ii) Hallar la inersección de esa reca con la reca S. Ese puno se llamará nauralmene A. Cambiarle el color por el mismo color de Po. iii) Ocular la reca que pasa por Po y A (clickear el boón que se encuenra a la izquierda de la ecuación de la reca en la Visa Algebraica, se verá el círculo gris, sin color). iv) Trazar la reca perpendicular al eje horizonal que pase por A. v) Hallar la inersección de esa reca con la reca D. Ese puno se llamará nauralmene B. Cambiarle el color por el mismo color de Po. vi) Ocular la reca que pasa por A y B. vii) Trazar reca perpendicular al eje verical que pase por B. viii) Hallar la inersección de esa reca con la función S. Ese puno se llamará nauralmene C. Cambiarle el color por el mismo color de Po. 42

15 ix) Ocular la reca que pasa por B y C. x) Trazar reca perpendicular al eje horizonal que pase por C. xi) Hallar la inersección de esa reca con la función D. Ese puno se llamará nauralmene E (D es el nombre de la función Demanda). Cambiarle el color por el mismo color de Po. xii) Ocular la reca que pasa por C y E. xiii) Trazar reca perpendicular al eje verical que pase por E. xiv) Hallar la inersección de esa reca con la función S. Ese puno se llamará nauralmene F. Cambiarle el color por el mismo color de Po. xv) Ocular la reca que pasa por E y F. xvi) Trazar reca perpendicular al eje horizonal que pase por F. xvii) Hallar la inersección de esa reca con la función D. Ese puno se llamará nauralmene G. Cambiarle el color por el mismo color de Po. xviii) Ocular la reca que pasa por F y G. xix) Trazar reca perpendicular al eje verical que pase por G. xx) Hallar la inersección de esa reca con la función S. Ese puno se llamará nauralmene H. Cambiarle el color por el mismo color de Po. xxi) Ocular la reca que pasa por G y H. xxii)trazar reca perpendicular al eje horizonal que pase por H. 43

16 xxiii) Hallar la inersección de esa reca con la función D. Ese puno se llamará nauralmene I. Cambiarle el color por el mismo color de Po. xxiv) Ocular la reca que pasa por H e I. xxv)se puede coninuar cuanas veces se quiera h) En el mismo comando que se encuenra Segmeno enre dos punos, en el desplegable, seleccionar Vecor enre Dos Punos. i) Trazar el vecor de origen Po y exremo A. Cambiarle el color por el mismo color de Po y desclickear Eiquea visible. ii) Trazar el vecor enre los punos A y B. Cambiarle el color por el mismo color de Po y desclickear Eiquea visible. iii) Trazar el vecor enre los punos B y C. Cambiarle el color por el mismo color de Po y desclickear Eiquea visible. iv) Trazar el vecor enre los punos C y E. Cambiarle el color por el mismo color de Po y desclickear Eiquea visible. v) Trazar el vecor enre los punos E y F. Cambiarle el color por el mismo color de Po y desclickear Eiquea visible. vi) Trazar el vecor enre los punos F y G. Cambiarle el color por el mismo color de Po y desclickear Eiquea visible. vii) Trazar el vecor enre los punos G y H. Cambiarle el color por el mismo color de Po y desclickear Eiquea visible. viii) Trazar el vecor enre los punos H y I. Cambiarle el color por el mismo color de Po y desclickear Eiquea visible 44

17 Qué van deerminando esos vecores? i) El modelo, es esable o inesable? De qué manera se presena dicha siuación? j) Mover el puno Po de manera que ome valores mayores y menores que P*. Qué sucede? Y si Po = P*? k) Mover el puno P*. Qué sucede? Por qué? l) Guardar el rabajo: Archivo, Guardar Como, aparece un cuadro. Ponerle como nombre al archivo alguno que dé la idea de ser la planilla para sucesivas consrucciones. Debería quedar algo similar a: 45

18 5.2 Segunda pare: SECUENCIA DE ACTIVIDADES Uilizando la gráfica en GeoGebra del modelo de Ofera-Demanda resuelo aneriormene, analizar los siguienes modelos y responder a las consignas: Noa: Recordar que para cambiar las funciones en el modelo resuelo aneriormene, sólo se necesia hacer doble click sobre la función a cambiar e inroducir la nueva función y Ener. En cada caso será mosrada solamene la gráfica correspondiene al enunciado. D 3 q 50. p 2 1) S 1 q 1. p 1 2 S D q q a) El modelo, es esable o inesable? De qué manera se presena dicha siuación? b) Mover el puno Po de manera que ome valores mayores y menores que P*. Qué sucede? Y si Po = P*? 46

19 D q S D q q a) El modelo, es esable o inesable? p S 2) q 2 2. p 1 b) Mover el puno Po de manera que ome valores mayores y menores que P*. Qué sucede? Y si Po = P*? 47

20 D 3 q 2 3) S 1 3 q. p 2 5 S D q q a) El modelo, es esable o inesable? 10. p b) Mover el puno Po de manera que ome valores menores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? c) Mover el puno Po de manera que ome valores mayores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? d) Qué sucede si Po = P*? 1 48

21 D 3 q 20. p 5 S 3 4) q 4. p 1 2 S D q q a) El modelo, es esable o inesable? b) Mover el puno Po de forma que ome valores mayores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? c) Mover el puno Po de forma que ome valores menores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? d) Qué sucede si Po = P*? 49

22 D q 30 2 p S 5) q p 1 S D q q a) El modelo, es esable o inesable? b) Cuáles son las coordenadas del puno P? c) Mover el puno Po de forma que ome disinos valores. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? d) Cuál es el significado económico en esa siuación? 50

23 D q 50 3 p S 6) q p 1 S D q q a) El modelo, es esable o inesable? b) Cuáles son las coordenadas del puno P? c) Mover el puno Po de forma que ome disinos valores. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? d) Cuál es el significado económico en esa siuación? 51

24 7) p p q D S 1 S 250. e q 1 2q 3 q Observación: Considerar que el precio ya esá función de las canidades. a) El modelo, es esable o inesable? D b) Cuáles son las coordenadas del puno P? Se pueden hallar analíicamene? Por qué? c) Mover el puno Po de forma que ome valores mayores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? d) Mover el puno Po de forma que ome valores menores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? e) Ese modelo no es posible resolverlo analíicamene. Explicar por qué. 52

25 D 375 p q S D q q a) El modelo, es esable o inesable? S 8) p 3q 60 1 b) Cuáles son las coordenadas del puno P? Se pueden hallar analíicamene? c) Mover el puno Po de forma que ome valores mayores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? d) Mover el puno Po de forma que ome valores menores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? e) Ese modelo no es posible resolverlo analíicamene. Explicar por qué. 53

26 D p S D q q a) El modelo, es esable o inesable? 400 q 1 S 9) p q 1 1 b) Cuáles son las coordenadas del puno P? Se puede hallar analíicamene? c) Mover el puno Po de forma que ome valores mayores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? d) Mover el puno Po de forma que ome valores menores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? e) Ese modelo no es posible resolverlo analíicamene. Explicar por qué. 54

27 D 160 p 8q 36 S 10) p 2q 1 S D q q a) El modelo, es esable o inesable? b) Cuáles son las coordenadas del puno P? Se puede hallar analíicamene? c) Mover el puno Po de forma que ome valores mayores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? d) Mover el puno Po de forma que ome valores menores a P*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? e) Ese modelo no es posible resolverlo analíicamene. Explicar por qué. 55

28 En los casos que sea posible de cada uno de los ejercicios aneriores, resolver el modelo analíicamene y realizar un esudio de la rayecoria del precio. 2y Resolver la siguiene ecuación en diferencias finias 1 4y 18 y analizar: a) Cuáles son los ejes de coordenadas (independienemene del nombre que reciban para el programa? b) Cuáles son las funciones que se deben considerar para graficar? c) Cuál son las coordenadas del puno de equilibrio? d) La solución de la ecuación, es esable o inesable? e) Mover el puno Yo de forma que ome valores mayores a Y*. De qué manera se presena la siuación hallada en (d)? f) Mover el puno Yo de forma que ome valores menores a Y*. De qué manera se presena la siuación hallada en (a)? g) Resolver analíicamene. 56

29 6. Conclusiones Es común ener como daos al planear el modelo de ofera y demanda, en ambas funciones a las canidades dependiendo del precio. Pero en realidad, esas funciones son las canidades que se esá dispueso a ofrecer o adquirir por pare de producores y consumidores, respecivamene, dado un precio. Esas canidades ano ofrecidas como demandadas dependen de diferenes circunsancias que se planean en el iempo: el oferene decide el precio que le asignará al arículo en un período en función al precio del mismo en el período anerior, mienras que el demandane decide cuano esá dispueso a abonar por ese arículo dependiendo del precio del arículo en el mismo período de su adquisición. Por lo ano, el precio es una función del iempo, del período en el que se planea hacer la ransacción de compra-vena. Es imporane que se puedan hacer diferencias enre las disinas siuaciones que se pueden dar en esos modelos: 57

30 El modelo iene puno de equilibrio, conocido como precio de equilibrio del mercado, precio al que se hacen las ransacciones de compravena. Si por razones exernas a las propias del modelo el precio no es el de equilibrio: La función precio puede ser convergene: el equilibrio es esable. A largo plazo se espera que el precio sea el precio de equilibrio. La convergencia hacia el precio de equilibrio es creciene. El precio oma valores cada vez mayores hasa que se esabiliza en el precio de equilibrio. La convergencia hacia el precio de equilibrio es decreciene. El precio oma valores cada vez menores hasa que se esabiliza en el precio de equilibrio. La convergencia hacia el precio de equilibrio es oscilane. El precio flucúa omando valores mayores y menores al precio de equilibrio, cada vez más cercano al mismo, hasa que se esabiliza en el precio de equilibrio. La función precio puede ser divergene: el equilibrio es inesable. A largo plazo se espera que el precio se aleje del precio de equilibrio. La divergencia desde precio de equilibrio es creciene. El precio oma valores cada vez mayores (producos escasos con mucha demanda). La divergencia desde el precio de equilibrio es decreciene. El precio oma valores cada vez menores (producos muy abundanes, muy poco demandados). La divergencia desde el precio de equilibrio es oscilane. El precio flucúa omando valores mayores y menores al precio de equilibrio, pero cada vez más alejados del precio de equilibrio (producos 58

31 agrícolas, que por períodos pueden ser muy abundanes, y proporcionalmene poco demandados, y en oros períodos pueden ser muy escasos, y proporcionalmene muy demandados). La función precio puede ser oscilane: el precio de equilibrio es inesable pero los precios que se oman son sólo dos, uno superior y oro inferior al de equilibrio, equidisanes con ese. El modelo no iene precio de equilibrio: La función precio puede ser divergene y creciene: El crecimieno se da en forma consane. A largo plazo se espera que el precio sea cada vez mayor, pero conociendo el rimo de crecimieno período a período. El crecimieno se da en forma creciene. A largo plazo se espera que el precio sea cada vez mayor, pero no se conoce el rimo de crecimieno, pese a ser un rimo creciene. La función precio puede ser divergene y decreciene: El decrecimieno se da en forma consane. A largo plazo se espera que el precio sea cada vez menor, pero conociendo el rimo de decrecimieno. El decrecimieno se da en forma creciene. A largo plazo se espera que el precio sea cada vez menor, pero no se conoce el rimo de decrecimieno, si bien es cada vez más pronunciado. Las funciones ofera y demanda son iguales, cualquier puno es puno de equilibrio. Analizar cada una de esas siuaciones se reduce al cálculo de un límie infinio que le crea conflicos al alumno, sobre odo cuando las funciones son oscilanes, pueso que la gráfica es de una siuación que involucra las 59

32 funciones de ofera y demanda y no la función precio que esá analizando, y que, a la vez, es una de las variables de las funciones aneriores. Cuando los puede visualizar desde un principio ese conflico iende a reducirse. La consrucción de ese concepo se verá muy faciliada. Así, rabajando de esa manera, a ravés del sofware se logra rápidamene y de manera versáil, disinguir ano disinas siuaciones en un modelo deerminado, como comparar las diversas condiciones que se presenan en múliples modelos, incluso en el caso de no poder resolverlos, ya que no hay méodos eficienes para resolver ecuaciones en diferencias finias si ésas son no lineales, aunque sean de primer orden. Y además, el alumno podrá observar, analizar disinas rayecorias, compararlas, discriminar e inerprear la información obenida desde disinos precios iniciales, jusificar, corregir y consensuar con sus pares sobre las conclusiones alcanzadas a ravés de la auorreflexión desde su propio rabajo. También fomenará en el alumno la venaja de invesigar por sí mismo, deducir y elaborar conclusiones siendo así sujeo acivo y consrucor de su propio conocimieno. Referencias bibliográficas Blanchard, P.; Devaney, R. y Hall, G.; (1999). Ecuaciones Diferenciales; México; Inernacional Thomson Ediores. Canoral, R.; Moniel, G. (2001). Funciones: visualización y pensamieno maemáico; México; Pearson Educación. Cordero, F. (1998). El enendimieno de algunas caegorías del cálculo y análisis: el caso del comporamieno endencial de las funciones; Relime, 1, Cordero, F.; Solís, M. (1997). Las gráficas de las Funciones como una Argumenación de Cálculo; México; Grupo Ediorial Iberoamérica. Goldberg, S. (1964) Ecuaciones en Diferencias Finias. Barcelona; Marcombo. 60

33 López, J.; Pochulu, M. (2010). Maemáica para Ciencias Económicas En conexo o fuera de conexo? Análisis didácico de acividades. Trabajo presenado en la Novena Conferencia Argenina de Educación Maemáica, Ocubre, Córdoba. Oviedo, L.; Kanashiro, A. (2010). El raamieno de cieras nociones maemáicas mediane los sisemas dinámicos discreos. Trabajo presenado en la Novena Conferencia Argenina de Educación Maemáica, Ocubre, Córdoba. Oviedo, L.; Kanashiro, A.; Benzaquen, M.; Gorrochaegui, M. (2006). Una Aproximación a la Noción de Infinio a ravés de Fracales. Trabajo presenado en Aca Lainoamericana de Maemáica Educaiva, Junio, México. 61