Si Sócrates es un ser humano, entonces Sócrates es mortal Sócrates es un ser humano

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1 Capítulo I Lógica, Pruebas e Inducción La lógica es el estudio de razonamiento correcto. Más específicamente en nuestro contexto matemático, estamos interesados en razonamiento deductivo. En un argumento, una conclusión debe estar justificada por sí misma, o se debe deducir de afirmaciones precedentes. Un ejemplo clásico es Si Sócrates es un ser humano, entonces Sócrates es mortal Sócrates es un ser humano Sócrates es mortal El símbolo con los tres puntos se lee por lo tanto. En este ejemplo, las dos primeras afirmaciones están justificadas por sí mismas, y la última se deduce de las precedentes. La validez de la deducción depende sólo de la forma de las afirmaciones implicadas. I.1. Lógica de Proposiciones Una proposición es una afirmación que sin ambiguedad debe ser verdadera o falsa. Estos valores de verdad posibles los denotamos con V y F. Una proposición se construye de proposiciones más básicas usando conectivos lógicos. A diferencia de conectivos usados en el lenguaje diario, estos tienen un significado preciso que en algunos casos puede ser diferente. Ejemplo. son: Algunos de los siguientes enunciados son proposiciones, otros no los - Todas las vacas tienen cuatro patas - Hay más de 200 estudiantes en la clase de matemáticas discretas - Existe vida en otros planetas - Sócrates es mortal

2 2 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN - 5 < 3 - Venga aquí - Los cretanos son siempre mentirosos. Epimenides (cretano) - Este enunciado es falso - El enunciado siguiente es falso. El enunciado anterior es verdadero. Las tres últimas son paradojas que resultan de permitir que las afirmaciones mismas sean el objeto del cual se afirma algo. Esto en general no se permite. I.1.1. Proposiciones Compuestas Usamos las variables p, q, r,... para denotar proposiciones de tal forma que podemos construir proposiciones compuestas en terminos de estas proposiciones usando conectivos lógicos. Por ejemplo, Sócrates es mortal y = 4 Si todas las vacas tienen cuatro patas, entonces existe vida en otros planetas tienen las formas p y q y si r entonces s. Estos ejemplos reflejan que las proposiciones que se conectan son arbitrarias; no se requiere relación semántica entre ellas. A continuación para cada conectivo damos su tabla de verdad, la cual indica el valor de verdad de la proposición compuesta para cada combinación de valor de verdad de p y q. Negación Corresponde a la conectiva linguística no y se denota por. La negación de p se escribe p, se lée no p, y es verdadera exactamente cuando p es falsa. p p V F F V Conjunción Corresponde a la conectiva linguística y y se denota por. Por ejemplo Sócrates es mortal y es 4.

3 I.1. LÓGICA DE PROPOSICIONES 3 La conjunción de las proposiciones p y q se escribe p q, se lée p y q, y es verdadera exactamente cuando ambas proposiciones p y q son verdaderas: p q p q V V V V F F F V F F F F En el lenguaje ordinario, con frecuencia otras preposiciones (que dan un significado adicional) reemplazan la conjunción: Los estudiantes de las últimas filas no escuchan bien a pesar de que el profesor está usando el micrófono. Disyunción Corresponde a la conectiva linguística o y se denota por. La disyunción de p y q se escribe p q, se lée p y q, y es falsa exactamente cuando ambas p y q son falsas. p q p q V V V V F V F V V F F F Note que la disyunción lógica es inclusiva, p y q pueden ser ambas verdaderas. Por otra parte, en el lenguaje ordinario la conectiva o es usualmente exclusiva, p o q pero no ambas pueden ser verdaderas, como en la pregunta Quiere té o café? Implicación Corresponde a la conectiva linguística implica y se denota por. La implicación de p a q se escribe p q, se lée p implica q, y es falsa exactamente cuando p es verdadera y q es falsa. La justificación radica en que de una falsedad de puede deducir cualquier afirmación (véa la anécdota a continuación): si hay 500 estudiantes en esta aula entonces yo soy de marte. p q p q V V V V F F F V V F F V

4 4 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Note que la tabla de p q es igual a ésta (sólo es F cuando ambas p y q son F, o sea cuando p es V y q es F). Se puede tomar p q como la definición de p q: las dos formas son lógicamente equivalentes (esto se define más adelante). Una proposición condicional puede aparecer en diferentes formas en el lenguaje. Por ejemplo, la imlicación si p entonces q puede escribirse como - q, si p - p solo si q - p es una condición suficiente para q - q es una condición necesaria para p - q, siempre que p - q provisto que p - no p, a menos que q - q, a menos que no p Con frecuencia, en el lenguaje ordinario la implicación tiene un significado diferente; por ejemplo en: Si haces la tarea entonces puedes ir a cine esta noche denota la necesidad de que la primera parte sea verdadera (que haga la tarea) para que la segunda parte pueda ser verdadera (ir a cine). Es decir la implicación es en el sentido contrario: si puede ir a cine entonces es porque ha hecho la tarea. La interpretación p sólo si q no se aplica algunas veces en el lenguaje ordinario: si llueve entonces no voy y llueve sólo si voy. Anéctoda. La definición de implicación puede ser difícil de aceptar para algunas personas. La idea de que una afirmación falsa implica cualquier afirmación (si P es falso, entonces P Q es cierto sin importar que es Q) es impugnada con frecuencia. En una reunión, el gran matemático y filósofo Bertrand Russell trataba de explicar este punto a un individuo obstinado quien finalmente acordó aceptarlo si Russell podía probar que 0 = 1 implicaba que Russell era el Papa. Russell reflexionó brevemente y entonces argumentó: si 0 = 1, entonces 1 = 2. Puesto que yo y el Papa somos dos, entonces yo y el Papa somos uno. Q.E.D. (aparece en el libro Infinitesimal Calculus de J. M. Henle y E. M. Kleinberg). Doble Implicación Corresponde a la conectiva linguística si y sólo si y se denota por. La doble implicación de p y q se escribe p q, se lée p si y sólo si q, y es verdadera exactamente cuando p y q son ambas verdaderas o ambas falsas.

5 I.1. LÓGICA DE PROPOSICIONES 5 p q p q V V V V F F F V F F F V La doble implicaión es equivalente a la conjunción de la implicación en ambas direcciones: (p q) (q p). Otras Notaciones La notación que hemos usado no es completamente estándar. Otras notaciones para la negación son, y una raya sobre la variable; para la conjunción el cual se puede omitir; para la disyunción +; para la implicación (que nosotros usamos para la implicción lógica más adelante) y. 16 Funciones Lógicas Binarias Obviamente, otros conectivos de dos proposiciones son posibles: cada una de las 2 4 = 16 diferentes tablas de verdad posibles corresponde a un conectivo diferente. Pero cualquiera de ellos se puede expresar (es equivalente) a una forma proposicional (este concepto se define a continuación) con los conectivos ya definidos. Todas las 16 posibilidades aparecen en la siguiente tabla. p q V p q p q p p q q p q p q V V V V V V V V V V F F F F F F F F V F V V V V F F F F V V V V F F F F F V V V F F V V F F V V F F V V F F F F V F V F V F V F V F V F V F V F p q p q q p q p p q p q F Como se ve, todas se pueden expresar en términos de las cuatro básicas y la negación. Entre estas son importantes el o exclusivo, y las negaciones de. o denotadas con y, llamadas también las barras de Sheffer. Estas últimas son importantes en el contexto de circuitos digitales donde las compuertas correspondientes se llaman NAND y NOR. Estos conectivos tienen la propiedad de ser cada uno sól un conjunto completo de conectivos, esto es, cualquier otra función booleana puede expresars en términos de cada una de ellas solamente (ver solución del taller 1). Otros conjuntos completos de conectivos son, y,, lo que se puede verificar con las leyes de de Morgan (ver más adelante). 22

6 6 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN I.1.2. Formas Proposicionales Un hecho esencial en lógica es que la validez de una deducción depende sólo de la forma de que ella tenga. En el ejemplo inicial, si tomamos p : Sócrates es un ser humano y q : Sócrates es mortal entonces la deducción allí se puede reescribir como p q p q La deducción es igualmente válida independinentemente de que proposiciones sustituyan las variables p y q. Sólo depende de la forma proposicional de las premisas y la conclusión. Definición. Una forma proposicional es cualquier expresión formada por: a) variables proposicionales como p, q, r,... b) conectivos lógicos,,, c) paréntesis ( y ) de la siguiente manera 1. una variable es una forma proposicional 2. si A y B son formas proposicionales, entonces son también formas proposicionales. ( A), (A B), (A B) y (A B) El propósito de los paréntesis es eliminar posible ambiguedad. Cuando esta no existe entonces se pueden omitir. Precedencia. Usualmente se da precedencia en el orden,,,,. I.1.3. Valor de Verdad y Tabla de Vedad Una asignación de valor de verdad V ó F a cada una de las variables proposicionales involucradas se extiende a cualquier fórmula proposicional C de la siguiente manera 1. si C es una variable proposicional p entonces v(c) = v(p) 2. si C es de una de las formas ( A), (A B), (A B) ó (A B), entonces v(c) esta dado en términos de v(a) y v(b) por la tabla de verdad del conectivo correspondiente.

7 I.1. LÓGICA DE PROPOSICIONES 7 Los valores de verdad de una fórmula proposicional dependiendo de los posibles valores de verdad asignados a las variables proposicionales involucradas se listan en una tabla de verdad para la fórmula proposicional. Veamos algunos ejemplos: p q: p q p p q V V F V V F F F F V V V F F V V (p q) p q: p q p q (p q) p q p q (p q) p q V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V φ = (p (q r)) ((p q) (p r)): Primero, el diagrama arriba (árbol de análisis gramático) muestra los pasos que se siguen en la construcción de φ. Entonces la tabla de verdad se construye siguiendo esos pasos en orden inverso. p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r) φ V V V V V V V V V V V F V V V F V V V F V V V F V V V V F F F F F F F V F V V V F F F F V F V F V F F F F V F F V V F F F F V F F F F F F F F V

8 8 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN I.1.4. Tautología y Equivalencia Definición. Una forma proposicional es una tautología si toma el valor V cualquiera que sea la asignación de valores a las variables proposicionales involucradas. Similarmente, una forma proposicional es una contradicción si toma el valor F cualquiera que sea la asignación de valores a las variables proposicionales involucradas. Por ejemplo veamos que p ( p) es una tautología (principio del medio excluido): y (p q) ( p q); p p p ( p) V F V F V V p q p q p ( p q) (p q) ( p q) V V V F V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V Definición. Se dice que A y B son lógicamente equivalentes, y se escribe A B, si la forma proposicional (A B) es una tautología. (Johnsonbaugh usa para denotar equivalencia lógica.) I.1.5. Propiedades de los Conectivos Cada una de las siguientes propiedades de los conectivos,, se verifica por medio de una tabla de verdad. En los ejemplos de tablas de verdad arriba ya hemos verificado dos de ellas (una ley de De Morgan y una ley distributiva). Las otras son igualmente fáciles de verificar. Nombre 1 Conmutatividad: p q q p p q q p 2 Asociatividad: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 3 Distributividad: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 4 Identidad: p V V p F p 5 Negación: p p V p p F 6 Doble negación: ( p) p 7 Idempotencia: p p p p p p 8 De Morgan: (p q) p q (p q) p q 9 Dominación: p V V p F F 10 Absorción: p (p q) p p (p q) p 11 Neg. de V y F: V F F V

9 I.1. LÓGICA DE PROPOSICIONES 9 Algunas equivalencia que involucran la equivalencia se listan a continuación (estas no se usan con frecuencia; no se discutieron en clase, pero algunas aparecieron en una tarea o taller): Nombre 1 Conmut.: p q q p p q q p 2 Asociat.: (p q) r p (q r) p (q r) (p q) r 4 Distrib.: p (q r) (p q) (p r) (p q) r (p r) (q r) p (q r) (p q) (p r) 5 Ident.: p F p V p p 6 Negac.: p p V p p V 7 Idempot.: p p p p p p 8 DeMorg.: (p q) p q (p q) p q 9 Domin.: p V V F p V 10 Absorc.: p ( p q) p p (p q) p (p q) p p I.1.6. Formas Normales Disyuntiva y Conjuntiva Primero una aclaración. Los conectivos y son binarios y asociativos: p (q r) = (p q) r; p (q r) = (p q) r Con base en esto se pueden extender a cualquier número de argumentos sin importar la asociación: la conjunción de varios argumentos es V exactamente cuando todos los argumentos son V, y la disyunción de varios argumentos es F exactamente cuando todos los argumentos son F. Así que la disyunción y conjunción de varios argumentos está bien definida. Consideremos como ejemplo la siguiente función de valores de verdad f(p, q, r): p q r f(p, q, r) V V V V V V F F V F V F V F F V F V V F F V F V F F V V F F F F Para cada una de las líneas en la tabla con f(p, q, r) = V se obtiene fácilmente una forma que es V sólo para los valores de verdad de p, q, r en esa línea. En orden para las cuatro líneas con V (1,4,6,7) estas formas son p q r, p q r, p q r, p q r.

10 10 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Conectando estas formas con disyunción se obtiene una forma que tiene la misma tabla dada para f(p, q, r): (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r). Esta es la llamada forma normal disyuntiva para f(p, q, r), y consiste de una disyunción de conjunciones de variables ó sus negaciones. Existe una forma dual que consiste de conjunciones de disyunciones. Para obtener ésta nos concentramos en las líneas con f(p, q, r) = F. Para cada una se obtiene una disyunción que es F sólo para los valores de p, q, r en esa línea. Para las líneas 2,3,5,8, son p q r; p q r; p q r; p q r Y la conjunción de estas es equivalente a f(p, q, r): ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) Esta es la forma normal conjuntiva. I.1.7. Reglas de Inferencia Definición. Si A y B son formas proposicionales se dice que A implica lógicamente B, y se escribe A B, si la forma proposicional (A B) es una tautología. Una impilicación lógica A B se llama una regla de inferencia. Por ejemplo, una de las reglas de inferencia más importantes es: p (p q) q Esta se le llama modus ponendo ponens que quiere decir (más o menos que) el modo de afirmar por medio de una afirmación, o más brevemente modus ponens. La implicación lógica también se expresa como B es una consecuencia lógica de A A es una condición suficiente de B B es una condición necesaria de A Usualmente en una regla de inferencia la forma A es una conjunción de formas llamadas premisas y la forma B es la conclusión. La siguiente tabla muestra las principales reglas de inferencia. Las premisas a la derecha de cada regla y que aparecen separadas por una coma se entienden implícitamente unidas por medio de conjunción. Así que la regla 3 es trivial, pero se introduce porque como veremos las premisas aparecen en líneas diferentes de una prueba.

11 I.1. LÓGICA DE PROPOSICIONES 11 Nombre Premisas Conclusión 1 Simplificación conjuntiva (Simp): p q p 2 Adición disyuntiva (Adic): p p q 3 Conjunción (Conj): p, q p q 4 Modus Ponens (MP): p, p q q 5 Modus Tollens (MT): q, p q p 6 Silogismo disyuntivo (SD): p, p q q 7 Silogismo hipotético (SH): p q, q r p r 8 Dilema constructivo (DC): p q, p r, q s r s 9 Prueba trivial (Trivial): q p q 10 Prueba vacía (Vacía): p p q 11 Prueba por contradicción (Contr): p F p 12 Reducción al absurdo (Abs): p q, p q p 13 Separación de casos (Casos): p q, p r, q s r s Otra regla importante es modus tollens ó modus tollendo tollens ( modo de negar negando ó método de negar el consecuente). Esta regla usa el contrapositivo (ver adelante), mientas que modus ponens usa la implicación directa. Contrapositivo, Converso, Inverso Para un condicional si p entonces q (p q) se definen los siguientes condicionales relacionados: Contrapositivo: si no q entonces no p q p Converso: si q entonces p q p Inverso: si no p entonces no q p q El contrapositivo es equivalente a la proposición original, y el converso y el inverso lo son entre sí, pero estos no son equivalentes a la proposición original. Ejemplo. Para la proposición original: si a > b entonces a 2 > b 2 tenemos (cambiando el signo de desigualdad para formar la negación) Contrapositivo: si a 2 b 2 entonces a b Converso: si a 2 > b 2 entonces a > b Inverso: si a b entonces a 2 b 2 I.1.8. Argumentos, Validez y Pruebas Definición. Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Todas estas excepto la última se llaman premisas (o supuestos ó hipótesis), La afirmación final es la conclusión. El símbolo se lee por lo tanto y usualmente se escribe antes de la

12 12 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN conclusión. En una forma de argumento aparecen variables proposicionales en lugar de proposiciones y se dice que es válida si sin importar que proposiciones se sustituyen por las variables proposicionales en las premisas, si las premisas resultantes son todas verdaderas, entonces la conclusión es también verdadera. Se dice que un argumento es válido si su forma es válida. Definición. Dado un argumento con premisas P 1, P 2,..., P n y conclusión Q, una prueba formal de la validez del argumento consiste de una lista de proposiciones que terminan con Q, tal que cada proposición en la lista satisface uno de los siguentes criterios: (a) es una premisa de el argumento (b) se deriva de una o más de las proposiciones anteriores en la lista usando una de las reglas de inferencia (c) se obtiene de una de las proposiciones anteriores usando una equvalencia lógica Ejemplo. Consideramos el siguiente argumento: Si las gafas están en la mesa de la cocina las habría visto al desayunar. Leí el periódico en la sala o en la cocina. Si leí el periódico en la sala entonces están sobre la mesa de centro. No ví las gafas al desayunar. Si leí un libro en la cama entonces las gafas están en la mesa de noche. Si leí el periódico en la cocina entonces las gafas están sobre la mesa de la cocina. Primero damos nombre a las siguientes proposiciones: P: las gafas están en la mesa de la cocina Q: ví las gafas al desayunar R: leí el periódico en la sala S: leí el periódico en la cocina T: gafas están en la mesa de centro U: leí un libro en la cama V: las gafas están en la mesa de noche Con esto, se tiene la siguiente información: 1. P Q 2. R S 3. R T 4. Q 5. U V 6. S P

13 I.1. LÓGICA DE PROPOSICIONES 13 Queremos deducir T de esta información, es decir queremos verificar la validez de la forma de argumento (realmente no es necesario pasar a una forma con variables p, q, r,...; podríamos dejarlo en términos de P, Q, R....). p q premisa r s premisa r t premisa q premisa u v premisa s p premisa t donde hemos reemplazado varibales (variables minúsculas) por las proposiciones. La siguiente es una prueba de la validez de esta forma de argumento: 1. p q premisa 2. r s premisa 3. r t premisa 4. q premisa 5. u v premisa 6. s p premisa 7. p MT 1,4 8. s MT 6, 7 9. r SD 2,8 10. t MP 3,9 A la derecha escribimos para cada afirmación si es una premisa o la regla de inferencia que se ha usado y las afirmaciones previas a que se ha aplicado. I.1.9. Método de Prueba Condicional Para establecer la validez de un argumento: p 1, p 2,..., p n q r verificamos el argumento de p 1, p 2,..., p n, q r La justificación de esto es que p (q r) (p q) r Ejemplo. Probar la validez del siguiente argumento usando el método de prueba condicional:

14 14 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Si compro el libro entonces debo prestárselo a Juan y María. Si se lo presto a Juan ó María entonces debo prestárselo también a Rosa. Por lo tanto, si compro el libro entonces debo prestárselo a Rosa. Simbolizamos las proposiciones: C: Compro el libro J: Se lo presto a Juan M: Se lo presto a María R: Se lo presto a Rosa La conclusión que se busca es C R. Usando el método de prueba condicional (PC) agregamos C a las premisas y se tiene la siguiente prueba: 1. C J M premisa 2. J M R premisa 3. C premisa PC 4. J M MT 1,3 5. J Simp 4 6. J M Adic 5 7. R MT 2,6 9. C R PC 3,7 I Pruebas por Resolución Las reglas de inferencia que se han estado usando no son independientes. Una puede ser reemplazada por otras junto equivalencias lógicas. Por ejemplo MT puede ser reemplazado con SD: 1. p q premisa 2. p premisa 3. p q equivalencia de 1 4. p eqivalencia de 2 5. q SD 3,4 Resolución es otra regla de inferencia que aplica a premisas en forma de cláusulas, esto es, disyunciones de variables o sus negaciones (hemos llamado estas literales antes). Por ejemplo u v w La regla de resolución toma dos cláusulas y produce una cláusula: (p l 1 l m ) ( p l 1 l n) (l 1 l m l 1 l n) donde las l i y l j son literales. Informalmente, se cancelan p y p y quedan las otras literales. No lo vamos a probar aquí, pero dadas la premisas en forma de cláusulas, una prueba puede restringirse a usar sólo la regla de resolución. Una froma de ver la validez de la regla de resolución es que p ó p es V:

15 I.1. LÓGICA DE PROPOSICIONES 15 si p es V entonces p es F y por lo tanto l 1 l n es V si p es V entonces p es F y por lo tanto l 1 l m es V Por lo tanto se tiene que l 1 l n ó l 1 l m : (l 1 l m ) (l 1 l n) (l 1 l m l 1 l n) Ejemplo. Consideramos el argumento: p q premisa p r premisa r s premisa q s y la prueba usando sólo resolución 1. p q premisa 2. p r premisa 3. r s premisa 4. p s resolción 2,3 5. q s resolución 1,4 Si las premisas ó conclusión no están en forma de cláuslas, éstas deben ser transformadas a cláusulas por medio de equivalencias. Cualquier forma proposicional tiene una equivalente en forma normal conjuntiva, la cual es una conjunción de cláusulas; cada una de esas claúsulas se convierte en una premisa. Además es usual que las pruebas de resolución se realcen por contradicción: se asume la negación de la conclusión, la cual entonces puede convertirse en más de na premisa. En este caso se debe llegar a una falsedad (F). Ejemplo. Consideramos el argumento (en la tarea, pero no asignado): p (r s) premisa t s premisa u p premisa w premisa u w premisa t w conclusión Primero reescribimos todas las premisas y negación de la conclusión como cláusulas (disyunciones de variables o sus negaciones): Usando equivalencias, obtenemos: p (r s) p (r s) p (r s) t s t s, (p r) (p s), u p u p.

16 16 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Primero reescribimos el argumento con sólo cláusulas: p r premisa p s premisa t s premisa u p premisa w premisa u w premisa t w conclusión Una prueba directa usando resolución: 1. p r premisa 2. p s premisa 3. t s premisa 4. u p premisa 5. w premisa 6. u w premisa 7. t p resolución 2,3 8. t u resolución 4,7 9. t w resolución 6,8 Para escribir una prueba por contradicción, primero negamos la conclusión ( t w) t w t w, que entonces debe escribirse como dos premisas (escribimos de nuevo w aunque no es necesario porque está allí como premisa) en la prueba: 1. p r premisa 2. p s premisa 3. t s premisa 4. u p premisa 5. w premisa 6. u w premisa 7. t premisa prueba por contrad. 8. w premisa prueba por contrad. 9. s resolución 3,7 10. p resolución 2,9 11. u resolución 4, w resolución 6, F resolución 5,12 Alternativamente, haciendo la prueba directa y luego resolviendo con la negación de las conclusión:

17 I.1. LÓGICA DE PROPOSICIONES p r premisa 2. p s premisa 3. t s premisa 4. u p premisa 5. w premisa 6. u w premisa 7. t premisa prueba por contrad. 8. w premisa prueba por contrad. 9. t p resolución 2,3 10. t u resolución 4,9 11. t w resolución 6, w resolución 7,11 13 F resolución 5,12. En este caso ambas alternativas tienen la misma longitud (pero no es necesariamente el caso). I Paradoja de Carroll: Lo que la tortuga le dijo a Aquiles (Este es un ejemplo de las paradojas que pueden aparecer cuando se mezcla la deducción en diferentes niveles de discurso.) En una historia escrita por Lewis Carroll (autor de Las aventuras de Alicia en el país de las maravillas y cuyo nombre real era Charles Lutwidge Dodgson), Aquiles trata de convencer a la tortuga de que A y B implican Z a continuación: A : Dos cosas que son iguales a una misma cosa son iguales una a la otra B : Dos lados de este triángulo son cosas iguales a la misma cosa Z : Dos lados de este triángulo son iguales uno al otro La tortuga dice que no puede aceptar a menos que acepte el condicional C: A: Dos cosas que son iguales a una misma cosa son iguales una a la otra B: Dos lados de este triángulo son cosas iguales a la misma cosa C: Si A y B son ciertas entonces Z es cierta Z: Dos lados de este triángulo son iguales uno al otro Pero una vez Aquiles escribe la nueva premisa C y la tortuga la acepta, ésta afirma que antes de aceptar Z ahora una nueva premisa D es necesaria: A: Dos cosas que son iguales a una misma cosa son iguales una a la otra B: Dos lados de este triángulo son cosas iguales a la misma cosa C: Si A y B son ciertas entonces Z es cierta D: Si A, B y C son ciertas entonces Z es cierta Z: Dos lados de este triángulo son iguales uno al otro

18 18 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN y una vez aceptada la premisa D, igualmente un nuevo condicional es necesario antes de que la tortuga peda aceptar Z: A: Dos cosas que son iguales a una misma cosa son iguales una a la otra B: Dos lados de este triángulo son cosas iguales a la misma cosa C: Si A y B son ciertas entonces Z es cierta D: Si A, B y C son ciertas entonces Z es cierta E: Si A, B, C y D son ciertas entonces Z es cierta Z: Dos lados de este triángulo son iguales uno al otro lo cual puede continuar indefinidamente... I Un Acertijo En un programa de concurso hay dos puertas, una de ellas lleva al gran premio y la otra a un premio de consolación. Cada una de las puertas tiene escrita sobre ella dos afirmaciones cada una de las cuales es verdadera o falsa. Cual puerta escogería? Puerta 1 Exactamente dos de estas afirmaciones son verdaderas Puerta 2 Exactamente tres de estas afirmaciones son falsas La puerta del premio tiene al menos un afirmación verdadera Todas estas cuatro afirmaciones son falsas Solución: Llamemos las proposiciones en la puerta derecha A (arriba) y B (abajo) y las proposiciones en la puerta izquierda C (arriba) y D (abajo). Si D fuera cierta entonces habría una inconsistencia (debe ser falsa). Para que se tenga consistencia, en cualquier caso - D debe ser falsa y al menos una entre A, B y C debe ser cierta. A, C afirman que hay exactamente 2 y 3 afirmaciones falsas respectivamente. Por lo tanto - a lo más una entre A y C puede ser cierta. Tenemos tres casos: - si A es cierta, entonces C es falsa y B es cierta (porque debe haber dos ciertas), y entonces el premio debe estar detrás de la puerta 1.

19 I.2. LÓGICA DE PREDICADOS 19 - Si C es cierta, entonces las otras tres son falsas, y el premio debe estar detrás de la puerta 1 (porque es la puerta sin afirmaciones verdaderas). - Si A y C son falsas, entonces B debe ser cierta (porque debe haber al menos una cierta entre todas), y el premio debe estar detrás de la puerta 1 (porque es la única con al menos una afirmación verdadera. En cualquier caso en que hay consistencia resulta que el premio debe estar detrás de la puerta 1. I.2. Lógica de Predicados La lógica proposicional que hasta ahora hemos considerado es insuficiente para formalizar argumentos como el siguiente Todo ser humano es mortal Sócrates es un ser humano Sócrates es mortal Para esto debemos introducir las funciones proposicionales o predicados como una forma concisa de afirmar o negar una propiedad de diferentes objetos. Y, además, los cuantificadores universal y existencial que hacen posible calificar el conjunto de objetos que satisface una sentencia de predicados. I.2.1. Predicados Un predicado es una forma concisa de expresar una colección de proposiciones que afirman (o niegan) una misma propiedad de diferentes objetos. Por ejemplo, para expresar 2 es par, 3 no es par, 40 es par, no es par, se introduce entonces el predicado par(n) cuyo argumento n es un número entero y cuyo valor cuando se substituye n por un valor es una proposición que afirma que n es par, y la cual puede ser V ó F. Así podemos expresar lo anterior como par(2), par(3), par(40), par(10001). Definición. Un predicado es una sentencia que contiene un número un número finito de variables y se convierte en una proposición cuando se sustituyen valores específicos de las variables. El dominio ó universo de discusión de una variable del predicado es el conjunto de valores que se puede sustituir por la variable. El conjunto de verdad del predicado P(x) es el conjunto de todos los elementos del dominio para los que P(x) es verdadero. Ejemplo. Consideremos en la siguiente figura las regiones denotas a, b,..., g y el predicado N(x, y) que afirma que x es vecino de y en el diagrama. Asumimos que una región no es vecina de si misma: N(a, a) es falso, etc. Se observa por ejemplo que N(a, b) y N(b, d) son verdaderos, mientras que N(e, h) y N(f, c) son falsos.

20 20 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN I.2.2. Cuantificadores Una función proposicional P(x) (predicado, ó proposición abierta) da lugar a una proposición cuando se asignan valores concretos del universo de discurso U a la variables x. Otra forma de cerrar una sentencia abierta es con el uso de cuantificadores universales y existenciales: Cuantificador Universal: Para todo objeto x en el universo de discurso U, se verifica P(x). Se escribe simbólicamente x U P(x) Esta proposición es verdadera si para todo x U se tiene que P(x) es verdadera. Cuantificador Existencial: Existe un objeto a en el universo de discurso U, para el cual se verifica Q(a). Se escribe simbólicamente x U Q(x) Esta proposición es verdadera si existe (al menos) un x U tal que P(x) es verdadera. Aunque no es estándar, aquí vamos a incluir cuando sea conveniente por claridad dos puntos : antes del predicado: x U : P(x), x U : Q(x) Si el universo de discurso es claro en el contexto, entonces se puede omitir la parte U y simplemente se escribe x : P(x), x : Q(x) Ejemplo. Considere la relación menor < sobre el conjunto de números naturales (con el cero), enteros, racionales positivos y racionales respectivamente. Decidir el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

21 I.2. LÓGICA DE PREDICADOS 21 (a) x y, x < y: Para todo x y y, x es menor que y. Falso en todos los casos. (b) x y, x < y: Para todo x existe un y mayor. Verdadero en todos los casos. (c) x y, y < x: Para todo x existe un y menor. Falso en los naturales (no hay elemento menor que 0). Verdadero en los otros casos. (d) x y, x < y: Existe un x menor que todo y. Falso en todos los casos. Pero casi cierto para los naturales, excepto que 0 no es menor que sí mismo. (e) x y, y < x: Existe un x mayor que todo y. Falso en todos los casos. (f) x y, x < y: Existen dos elementos, uno menor que el otro. Verdadero en todos los casos. I.2.3. Formas de Predicados En la lógica de proposiciones se definió una forma proposicional a partir de los elementos básicos. Análogamente en la lógica de predicados se construyen expresiones complicadas a partir de predicados básicos P, Q, R,..., variables x, y, z,..., conectivos lógicos,,,,, cuantificadores, paréntesis (, ) y constantes a, b, c,... (del universo de discurso). Una variable esta libre si no está cuantificada, y está ligada si está cuantificada. Una forma de predicados es una expresión formada de la siguiente manera: 1. un predicado básico con una variable como argumento 2. si A y B son formas de predicados entonces son formas de predicados ( A), (A B), (A B), (A B), (A B) 3. si A es una forma de predicados con variable libre x, entonces ( x A(x)) y ( x A(x)) son formas de predicados, como también A(a) para a en el universo de discurso. Aquí también se omiten paréntesis si no existe ambiguedad. Ejemplo. En el ejemplo de las regiones arriba, con universo de discurso igual al conjunto de las regiones y predicado N(x) tenemos las las siguientes proposiciones. (Cuál es el significado de las siguientes afirmaciones, y cual es el valor de verdad? Solución en taller) (a) x yn(x, y) (b) x y(n(x, y) z(n(x, z) N(z, y))) (c) x y(n(x, y) z((n(x, z) N(z, y)) z ((N(x, z) N(z, z ) N(z, y))))) (d) x y z(n(x, y) N(x, z) t(((t x) (t y) (t z)) N(t, x))))

22 22 I.2.4. CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Reglas de negación de cuantificadores Supongamos que un universo de discurso está definido. Entonces para cualquier función proposicional P(x) x P(x) x P(x) x Q(x) x Q(x) (Observación omitida en clase: Para un dominio de discurso finito con elementos a 1, a 2,..., a k entonces x P(x) (P(a 1 ) P(a 2 ) P(a 3 ) P(a k ) y x P(x) (P(a 1 ) P(a 2 ) P(a 3 ) P(a k ) y las reglas de negación de cuantificadores son simplemente las reglas de de Morgan.) Ejemplo. Probar que Solución: Tenemos las equivalencias x(p(x) Q(x)) (P(x) Q(x)) x(p(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) entra la negación x ( P(x) Q(x)) equivalencia de la implicación x ( P(x) Q(x)) ley de de Morgan x (P(x) Q(x)) simplificación Los cuantificadores pueden restringirse a un subconjunto del universo de discurso. Por ejemplo, para A U, podemos escribir Estas formas son equivalentes a x A : P(x) y x A : Q(x) x U : (x A P(x)) y x U : (x A Q(x)) Veamos que esto es consistente con las reglas de negación arriba: ( x A : P(x)) x U : (x A P(x)) x U : (x A P(x)) x U : (x A P(x)) x A : P(x).

23 I.2. LÓGICA DE PREDICADOS 23 Similarmente: ( x A : Q(x)) x U : (x A Q(x)) x U : (x A Q(x)) x U : (x A) Q(x)) x U : (x A Q(x)) x A : Q(x). Ejemplo. Veamos como ejemplo la definición de convergencia de una sucesión de números reales. De acuerdo con el libro de Stewart: la sucesión {a n } converge si existe α tal que podemos hacer los términos a n tan cercanos a α como queramos tomando n suficientemente grande. Para formalizar existe α, tan cercanos como queramos, suficientemente grande, necesitamos usar cuantificadores (usamos R para denotar el conjunto de números reales y N para denotar el conjunto de números naturales 1, 2, 3,...): Una sucesión a 1, a 2, a 3, a 4,... de números reales converge si existe un número real α tal que para todo número real positivo ɛ existe entero N 1 tal que para todo entero n si n N entonces se tiene que a n α < ɛ: α R ɛ R + N N n N : n N a n α < ɛ Si introducimos la convención de que variables como α y ɛ son reales, y variables como n y N son naturales, entonces podemos escribir α ɛ > 0 N n N : a n α < ɛ (Note las desigualdades ɛ > 0, n N y a n α < ɛ. La primera realmente tiene que ser estricta porque en general a n no tiene que tomar el valor α eventualmente. Las otras dos pueden ser estrictas o no estrictas.)

24 24 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Que quiere decir entonces que la sucesión no es convergente? Aplicando la regla de mover la negación dentro del cuantificador mientras se cambia éste de universal a existencial y viceversa, la negación de la fórmula anterior (la segunda versión) es En palabras α ɛ > 0 N n N : ( a n α < ɛ) = α ɛ > 0 N n N : a n α ɛ Para todo α existe un intervalo alrededor de α (I = (α ɛ, α + ɛ)) tal que la sucesión no permanece eventualmente en ese intervalo (para todo N existe n N tal que a n no está en I). Trate de usar estas definiciones formales para verificar que a n = 1/n converge a 0 y que b n = ( 1) n no es convergente. I.2.5. Deducción Consideremos el argumento Todos los seres humanos son mortales Sócrates es un ser humano Sócrates es mortal Definiendo los predicados H(x): x es humano M(x): x es mortal el argumento se puede reescribir en forma simbólica como x, H(x) M(x) H(Sócrates) M(Sócrates) Esta deducción es similar a una aplicación de la regla modus ponens, pero estrictamente aquella no es aplicable debido a la presencia del cuantificador. Se puede entonces introducir una regla de inferencia Modus Ponens Universal: Para cualquier par de predicados, P(x), Q(x) sobre un dominio de discurso U, el siguiente argumento es válido: x, P(x) Q(x) P(a) para cualquier a U Q(a)

25 I.2. LÓGICA DE PREDICADOS 25 Pero tendríamos que introducir otras reglas de inferencia como Modus Tollens Universal, etc. Además, se tiene la situación análoga con el cuantificador. Una mejor alternativa es introducir la regla Instanciación Universal: Dada un predicado P(x), de la verdad de P(x), podemos inferir P(a) para cualquier a en el universo de discurso U. Simbólicamente x P(x) P(a) para cualquier a U (a es arbitrario) Usando esta regla de inferencia podemos dar una prueba de la regla Modus Ponens Universal: 1. x (P(x) Q(x)) premisa 2. P(a) para un a U premisa 3. P(a) Q(a) IU 1 4. Q(a) MP 2,3 Para probar la validez de un argumento como x P(x) Q(x) x P(x) x Q(x) necesitamos una regla de inferencia complementaria Generalización Universal: Dada un predicado P(x), de la verdad de P(a) para cualquier a en el universo de discurso U, se puede deducir la verdad de x P(x). Simbólicamente P(a) para cualquier a U (a es arbitrario) x P(x) Con esta regla podemos dar la siguiente prueba de la validez del argumento arriba: 1. x (P(x) Q(x)) premisa 2. x P(x) premisa 3. P(a) Q(a) IU 1 4. P(a) IU 2 5. Q(a) MP 3,4 6. x Q(x) GU 4 Para el cuantificador existencial se requieren dos reglas de inferencia correspondientes: Instanciación Existencial: Dada un predicado P(x), de la verdad de P(x), podemos inferir P(a) para algún a en el universo de discurso U. Simbólicamente x P(x) P(a) para algún a U (a es específico)

26 26 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Generalización Existencial: Dada un predicado P(x), de la verdad de P(a) para algún a en el universo de discurso U, se puede deducir la verdad de x P(x). Simbólicamente P(a) para algún a U (a es específico) x P(x) Los siguientes ejemplos ilustran el uso de estas reglas de inferencia. Ejemplo. Construya prueba formal para el siguiente argumento: Todos los humanos son mamíferos. Algunos humanos son carnívoros. Por lo tanto algunos mamíferos son carnívoros. Simbolizamos las proposiciones: H(x) : x es un humano M(x) : x es un mamífero C(x) : x es carnívoro El argumento simbólicamente es: x (H(x) M(x)) premisa x (H(x) C(x)) premisa x C(x) M(x) conclusión La prueba de validez: 1. x (H(x) M(x)) premisa 2. x (H(x) C(x)) premisa 3. H(a) C(a) IU 2, a particular 4. H(a) M(a) IU 1 5. C(a) H(a) conmut 3 6. C(a) simpl 5 7. E(a) simpl 3 8. M(a) MP 4,7 9. C(a) M(a) conj 6,8 10. x C(x) M(x) GE 9 Ejemplo. Construya prueba formal para el siguiente argumento: Todo empleado es de tiempo parcial o se le paga mensualmente. Todo empleado trabaja dos días a la semana o no trabaja tiempo parcial. Por lo tanto todo empleado al que no se le paga mensualmente trabaja dos días a la semana. Simbolizamos las proposiciones:

27 I.3. EJEMPLOS EN LA TEORÍA DE NÚMEROS 27 M(x) : a x se le paga mensualmente P(x) : x trabaja tiempo parcial D(x) : x trabaja dos días a la semana El argumento simbólicamente es x (P(x) M(x)) premisa x (D(x) P(x)) premisa x ( M(x) D(x)) conclusión La prueba de validez del argumento es: 1. x (P(x) M(x)) premisa 2. x (D(x) P(x)) premisa 3. P(a) M(a) IU 1, a arbitrario 4. D(a) P(a) IU, 2 5. M(a) P(a) conmut, 3 6. M(a) P(a) doble negación, 5 7. M(a) P(a) equiv. implicación, 6 8. P(a) D(a) conmut, 4 9. P(a) D(a) equiv. implicación, M(a) D(a) SH, 7,9 11. x ( M(x) D(x)) UG, 10 I.3. Ejemplos en la Teoría de Números I.3.1. Paridad Definición. Un número entero es par si y sólo si existe un número entero k de tal forma que n = 2k. Un número entero es impar si y sólo si existe un número entero l de tal forma que n = 2l + 1. Un número entero es par ó es impar. Este hecho que es bastante aparente requiere justificación. Esta puede obtenerse del llamado teorema del cociente y residuo: Teorema 1 (Cociente y residuo) Dados n Z y d Z +, existen enteros únicos q y r tal que n = q d + r y 0 r < d. En el teorema, d es el divisor y q y r son el cociente y el residuo. Tomando d = 2 en el teorema, se encuentra que r = 0, 1 y por lo tanto cualquier entero es par o impar (puesto que q y r son únicos, un entero no puede ser par e impar simultáneamente). La prueba de este primer teorema es directa.

28 28 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Teorema 2 Para cualquier entero n, si n es par entonces n 2 es par. Veamos primero una prueba detallada línea por línea: 1. Sea n un número par entero arbitrario 2. Existe un entero k tal que n = 2k definición de par 3. Entonces n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) manipulación aritmética 4. l = 2k 2 es entero enteros son cerrados bajo multipl. 5. Entonces n = 2l es par definición de par 6. Si n es par entonces 3n + 2 es par conclusión de prueba condicional 7. Para todo entero par n, n 2 es par generalización universal Y en la forma más usual, como un texto: Prueba. Sea n un número par arbitrario. Por definición, n = 2k para k algún entero. Entonces n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ), y como 2k 2 es entero, entonces n 2 es par. El converso 1 también es cierto, pero no es claro cómo sería una prueba directa. Se prueba más bien el contrapositivo. Teorema 3 Para cualquier entero n, si n 2 es par entonces n es par. Prueba. Probamos el contrapositivo: si n es impar entonces n 2 es impar. Supongamos que n es impar, entonces por definición n = 2k + 1 para algún entero k. Entonces n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1. Pero l = 2k 2 + 2k es entero. Por lo tanto n 2 = 2l + 1 es impar. Un resultado que usa prueba por casos: Teorema 4 Para cualquier entero n, n 2 n es par. Prueba. Un n arbitrario es par ó impar. si n es par: Entonces n = 2k para algún entero k. Se tiene entonces que n 2 = 4k 2 y n 2 n = 4k 2 2k = 2(2k 2 k), y por lo tanto n 2 es par. si n es impar: Entonces n = 2k + 1 para algún entero k. Se tiene entonces que n 2 = 4k 2 + 4k + 1 y y por lo tanto n 2 es par. n 2 n = 4k 2 + 4k + 1 (2k + 1) = 2(2k 2 k), 1 Recuerde que el converso de p q es q p.

29 I.3. EJEMPLOS EN LA TEORÍA DE NÚMEROS 29 I.3.2. Irracionalidad Irracionalidad de 2 Ahora usamos lo anterior para probar que 2 no es racional. Teorema 5 2 no es racional. Prueba. La prueba es por contradicción: Supongamos como premisa de prueba por contradicción que 2 es racional. Entonces, por definición, existen enteros positivos n y m tal que 2 = m/n. Podemos asumir que m y n no tienen factores comunes porque si los tienen estos se podrían cancelar. Elevando al cuadrado, obtenemos 2n 2 = m 2. Puesto que n 2 es un entero, entonces m 2 es un entero par. Por un teorema anterior, esto implica que m es par. Por lo tanto existe un entero k tal que m = 2k. Reemplazando en la ecuación anterior, se obtiene 2n 2 = (2k) 2 = 4k 2 y por lo tanto n 2 = 2k 2. Puesto que k 2 es un entero, entonces n 2 es un entero par. De nuevo, por un teorema anterior, esto implica que n es par. Por lo tanto existe un entero l tal que n = 2l. Entonces m = 2k y n = 2l y por lo tanto m y n tienen el factor común 2. Esto está en contradicción con lo asumido anteriormente (que m y n no tenían factores comunes). Por lo tanto 2 es racional.

30 30 I.3.3. CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Divisibilidad y Números Primos Definición. Un entero n es primo si y sólo si n > 1 y para todo par de enteros positivos r y s, si n = rs entonces r = 1 ó s = 1. Un entero n > 1 es compuesto si no es primo, es decir, si existen enteros positivos r y s tal que n = rs y r 1, s 1. Definición. Sean n, d enteros y d 0. Se dice n es divisible por d si y sólo si existe un entero k tal que n = kd. También se dice que n es múltiplo de d, d es un factor de n, d es n divisor de n, y que d divide n. Simbólicamente se escribe d n. Teorema 6 Divisibilidad es transitiva: si a b y b c entonces a c. Prueba. Asumimos que a b y b c. Entonces por definición, existen enteros k y l tal que b = ak y c = bl. Entonces c = bl = (ak)l = a(kl) Por lo tanto a c. Infinitud de los Números Primos Teorema 7 Para todo n existe un número primo p tal que p > n. Prueba. - Sea N = n! Para todo k con 2 k n, N mód k = 1 - Por definición, si l N entonces N mód l = 0 - Entonces, para todo k con 2 k n, k N (k no divide N) - Pero existe al menos un p factor primo de N (puede ser N mismo) - Entonces p > n. (Alternativamente, N se podría tomar como el producto de todos los primos menor o igual a n más 1.)

31 I.4. INDUCCIÓN 31 Figura I.1: La caída de dominós en cadena ilustra la idea del principio de inducción: si el primer dominó cae, y si cualquiera al caer hace caer al siguiente, entonces todos caen. (Tomado de Rosen, Discrete mathematics. I.4. Inducción Ejemplo. Consideramos el problema de obtener una suma de dinero múltiplo de 10K con billetes de 20K y 50K. Es inmediato que no es posible obtener 10K y 30K. Pero parece posible obtener cualquier múltiplo de 10K mayor o igual a 40K. Veamos: 20K = 20K 40K = 20K + 20K 50K = 50K 60K = 20K + 20K + 20K 70K = 50K + 20K 80K = 20K + 20K + 20K + 20K 90K = 50K + 20K + 20K 100K = 50K + 50K 110K = 50K + 20K + 20K + 20K. Cómo podemos verificar en forma general que para n arbitrario la suma n 10K se puede obtener con billetes de 20K y 50K? Una forma de hacerlo es tomar como punto de partida que 4 10K = 40K se pueden obtener como 20k + 20K, y además dar un procedimiento o algoritmo que permita obtener (n + 1) 10K dado que ya sabemos como obtener n 10K. Esto se puede hacer de la siguiente manera: Tenemos dos casos dependiendo de si entre los billetes sumando n 10K se encuentra un billete de 50K o no: Caso afirmativo: Un billete de 50K se reemplaza por 3 billetes de 20K y de esta manera se obtiene billetes que suman (n + 1) 10K.

32 32 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Caso negativo: Como no hay billetes de 50K y n 10K es por lo menos 40K entonces deben haber por lo menos 2 billetes de 20K. Entonces dos billetes de 20K se reemplazan por un billete de 50K y de esta manera se obtienen billetes que suman (n + 1) 10K. Esto parece un método razonable para inferir que la afirmación es válida para cualquier n. Note sin embargo que la situación aquí es diferente de la generalización universal, donde se ha probado un predicado P(n) para n arbitrario y se concluye n P(n). Aquí lo que se ha probado es P(n 0 ) para algún n 0 (específico) y que P(n) P(n + 1) para n n 0. Se necesita entonces una regla de inferencia nueva, el llamado principio de inducción que es directa consecuencia de los axiomas de los números naturales. I.4.1. Inducción e Inducción Fuerte Pricipio de Inducción Matemática. Sea P(n) un predicado con los números naturales N como universo de discurso. Si se tiene que (1) para algún n 0 N, P(n 0 ) es cierto, y (con frecuencia n 0 es 0 ó 1) (2) para todo n n 0, P(n) implica P(n + 1). entonces P(n) es cierto para todo n n 0. Pricipio de Inducción Matemática Fuerte. Sea P(n) un predicado con los números naturales N como universo de discurso. Si se tiene que (1) para algunos n 0, n 1 N con n 0 n 1, P(n) es cierto para n tal que n 0 n n 1 (en general se pueden necesitar varios casos base de n 0 a n 1 ), (2) y para todo n n 1, P(k) para k tal que n 0 k n implica P(n + 1), entonces P(n) es cierto para todo n n 0. A continuación presentamos varios ejemplos de la aplicación de este principio. Ejemplo. (Factorización en primos.) Cualquier entero mayor que uno se puede escribir como un producto de números primos. Prueba. (La factorización es única excepto reordenamiento, pero esto es más difícil de verificar y no se hace aquí.) Usamos el principio de inducción fuerte para probar que una factorización en primos existe. Caso base: n = 2 es primo y por lo tanto trivialmente es producto de primos.

33 I.4. INDUCCIÓN 33 Hipótesis de inducción: Sea n 2. Para m con 2 m n, m se puede escribir como un producto de primos. Paso de Inducción: Consideremos n + 1 con n 2. Se tiene que n + 1 es primo, o n + 1 es compuesto. Si n + 1 es primo entonces es (trivialmente) producto de primos. Si n + 1 es compuesto, existen enteros r, s con 2 r, s n tal que n + 1 = rs. Por hipótesis de inducción, sabemos que r y s se pueden escribir como productos de primos, dígamos r = p 1 p 2 p k y s = q 1 q 2 q l para algunos enteros k, l y donde los p i y q j son primos. Entonces n + 1 = rs = (p 1 p 2 p k ) (q 1 q 2 q l ) = p 1 p 2 p k q 1 q 2 q l. Así que podemos concluir que n + 1 se puede escribir como un producto de primos. Ejemplo. 2 2n 1 es divisible por 3 para n 0. Caso base: Para n = 0, 2 2n 1 = 0 y es divisible por 3. Hipótesis de inducción: Supongamos que para n 0, 2 2n 1 es divisible por 3. Paso de Inducción: Tenemos que 2 2(n+1) 1 = 2 2n+2 1 = 4 2 2n 1 = 3 2 2n + (2 2n 1). Por hipótesis de inducción, 2 2n 1 es divisible por 3. Entonces existe un entero k tal que 2 2n 1 = 3k y por lo tanto 2 2(n+1) 1 = 3 2 2n + 3k = 3(2 2n + k) = 3l donde l = 2 2n + k es un entero. Por lo tanto, 2 2(n+1) 1 es divisible por 3. Concluímos por el principio de inducción que para n = 0, 2 2n 1 = 0 y es divisible por 3. Ejemplo. Suma de los enteros de 1 a n: n = 1 n(n + 1). 2

34 34 CAPÍTULO I. LÓGICA, PRUEBAS E INDUCCIÓN Primero, denotamos la suma en la izquierda por s n. Informalmente, este resultado se puede obtener de la siguiente manera: 2 Escribiendo los términos de la suma en orden ascendente, debajo en orden descendente, y sumando por filas y por columnas se obtiene n 2 + n 1 + n = s n n + n 1 + n = s n n n n n n n + 1 = n(n + 1) De aquí que 2s n = n(n + 1) y por tanto s n = 1 n(n + 1). 2 Tanto en la definición como en una prueba formal se evita la vaguedad de la elipsis (puntos suspensivos). Formalmente s n se define recursivamente: primero s 1 = 1, y para n 1 s n+1 = s n + (n + 1) (alternativamente, para n > 1, s n = s n 1 + n; también se podría comenzar con s 0 = 0 que corresponde a una suma vacía ). Ahora probamos la afirmación por inducción: Caso base: Para n = 1, por definición s n = 1 y por otra parte n(n + 1)/2 = 1 y por lo tanto de tiene la igualdad. Hipótesis de inducción: s n = n(n + 1)/2. Paso de Inducción: Usando la definición recursiva se tiene para s n+1 s n+1 = s n + (n + 1) por definición recursiva = 1 n(n + 1) + (n + 1) por hipótesis de induccuón 2 = 1 (n + 1)(n + 2) factorizando (n + 1)/2 2 = 1 (n + 1)((n + 1) + 1) reescribiendo. 2 Esta última expresión a la derecha es precisamente lo que se quería probar para n + 1. Ejemplo. Suma geométrica para r 1: 1 + r + r 2 + r r n = rn+1 1 r 1. 2 De acuerdo con una anécdota, el matemático Gauss sorprendió a su maestro de escuela usando este método para resolver rápidamente una larga suma que este les había asignado a sus pupilos para tenerlos ocupado por un buen tiempo.

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