Unidad 3. Ec ua c iones entera s d e p rimer grado. Objetivos. La matemática es un mapa y la incógnita es el tesoro. J. S.

Transcripción

1 La matemática es un mapa y la incógnita es el tesoro. J. S. Unidad Ec ua c iones entera s d e p rimer grado Objetivos elementales de la aritmética. elementales de la aritmética. ecuación.

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3 ÁLGEBRA Introducción E l álgebra está íntimamente relacionada con el estudio de las ecuaciones, y en la práctica son muchos los problemas que se modelan y se resuelven a través de una ecuación. En la Antigüedad los babilonios y los egipcios ya hacían álgebra. Sin embargo, la notación, o sea, la forma como ellos epresaban sus desarrollos, dista mucho de la usada en la actualidad. Uno de los grandes problemas fue que el alfabeto no había sido inventado aún, por lo cual en esos tiempos no podían utilizarse letras para representar las incógnitas y en su lugar usaban pequeños símbolos. En las ecuaciones los primeros intentos de simbolismo se le deben a Diofanto y tuvieron lugar precisamente mediante el uso de letras para representar las variables. Como hemos mencionado en la introducción de este libro, la palabra "álgebra" se deriva del término árabe al jabr que significa "unir". En la Edad Media, un algebrista era un "pega huesos" o bien alguien que resolvía ecuaciones..1. Nociones básicas Una ecuación (del latín aequare, que significa "igualar") es una igualdad que involucra variables; es, dicho de esta manera, un enunciado que asegura la igualdad entre dos epresiones algebraicas. Ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad en donde el eponente de cada una de las variables es 1. Tiene la forma: a a a n n = b, en donde las a con subíndice no son todas cero y representan números reales y b es también un número real. a 1, a 2,..., a n se llaman coeficientes. 1, 2,..., n se llaman variables (son las incógnitas). a 1 es el coeficiente de 1, a 2 es el coeficiente de 2, a n es el coeficiente de n. La b se llama término independiente. Una ecuación entera de primer grado es una ecuación lineal de primer grado con coeficientes y término independiente enteros. 95

4 Unidad Ejemplos: es una ecuación de primer grado con incógnitas que son 1, 2 y 7. El coeficiente de 1 es, el de 2 es 8, el de es y el término independiente es es una ecuación entera de primer grado con dos incógnitas que son 1 y 2. El coeficiente de 1 es 7, el de 2 es 8 y el término independiente es es una ecuación entera de primer grado con una incógnita 1. El coeficiente de 1 es 5 y el término independiente es Cuando el número de variables no es muy grande, se acostumbra utilizar las últimas letras 4 del alfabeto para evitar escribir subíndices. Así, la igualdad 5 y z 5w 0 es una ecuación de primer grado con cuatro incógnitas, que son, y, z y w. El coeficiente de es 5, el de y es 4 y el de z es 1, porque z = ( 1)z = 1z y el de w es 5. El término independiente es Propiedades básicas de las igualdades 1. Propiedad simétrica. + 2 = 5 es lo mismo que 5 = + 2; 76 = es lo mismo que = 76. En general, a= es lo mismo que = a Propiedad transitiva. Si + 6 = 2+ 1 y 2+ 1= 65 62, entonces + 6= Si 5 y 7 5 2, entonces En general, si = a y a = b, entonces = b En general, si b 0, entonces b b En general, si 0, entonces a 1 a a En general, si b 0, entonces b a 1 b a a b b. 6. En general, a a 1 a 1 a a b b b b b. Cuando en una ecuación cada variable toma un valor real específico y se satisface la igualdad, se dice que se ha encontrado una solución particular de la ecuación. Cuando se encuentran todos los valores reales que pueden tomar las variables, de tal forma que se satisface la igualdad, entonces se ha encontrado la solución general de la ecuación, sólo entonces puede decirse que la ecuación está resuelta. 96

5 ÁLGEBRA Ejemplos: 5. = 2 es solución particular de 2 = 7 + 6, ya que ( 2) 2 = 7( 2) + 6. Así, = 0 no es solución de esta ecuación porque: (0) 2 7(0) = 1 y y = 7, es una solución particular de 5 y = 2, ya que: 5(1) ( 7 ) = 5 7 = 2. La solución general deberá incluir todos los valores que pueden tomar Qué r esolver una ecuación? y y para que la igualdad se cumpla. En este caso eiste un número infinito de soluciones, entre las cuales se encuentran: = 0 y y = 2 ; = 1 5 y y = 1; = 2 y y = Sustituye estos valores para comprobar que cada pareja es una solución de la ecuación 5 y = 2. Ejercicio 1 D etermina si los valores numéricos de las variables son solución de la ecuación dada ; ecuación 7 2 = = y y= 2; ecuación + 2y= 5.. = 1, y = 2 y z = 0; ecuación 7 y 5z = + 6y z. 4. La suma de 2 números, uno 24 unidades mayor que el otro, es 100. Considerando que la ecuación es + (+ 24)= 100, determina si el número menor es Tres veces la edad de Pedro, más 0 da 87. Si la ecuación correspondiente es + 0= 87, determina si la edad de Pedro es 12 años..2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita En esta unidad estudiaremos cómo resolver las ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita. 97

6 Unidad Forma general: a = b, a 0. La solución o la raíz de una ecuación de este tipo es única, con a y b enteros. Primer miembro a = b Segundo miembro.2.1. Solución de ecuaciones enteras usando suma o resta Dos personas A y B nacieron el mismo día y, por lo tanto, tienen la misma edad, digamos a años: simbólicamente se escribe como a = a. Dentro de un año ambas tendrán un año más: simbólicamente a+ 1= a+ 1. Suponiendo que ninguna de las dos fallezca y que k sea un número "razonable", dentro de k años A y B tendrán k años más: simbólicamente a+ k = a+ k. Dos tiendas en competencia ofrecen al público el mismo producto al mismo precio, digamos pesos, simbólicamente se escribe como =. Ambas tiendas deciden rebajarlo una misma cantidad y, por lo cual los precios siguen siendo iguales. Simbólicamente, y = y, o de manera equivalente + ( y)= + ( y). Estos sencillos ejemplos nos sirven para ilustrar la propiedad en la cual está basado nuestro primer método de solución: Propiedad de adición de una igualdad. Sean, y, númerosreales. Si =, entonces + = +. Si = y < 0, + = +, significa que se restó lo mismo en ambos miembros. Por ejemplo: =, entonces + ( 2) = + ( 2), es decir 2 = 2. Una ecuación es como una balanza en equilibrio, en donde cada platillo representa un miembro de la ecuación. 98

7 ÁLGEBRA Si en ambos lados de una ecuación se suma o se resta un mismo número, entonces la nueva igualdad es una ecuación equivalente a la primera. Esto significa que las dos ecuaciones tienen eactamente los mismos resultados, las mismas incógnitas y el mismo grado. A continuación estudiaremos algunos ejemplos en los que se aplicará la propiedad de adición de las igualdades para encontrar la solución de una ecuación. La forma de resolver una ecuación de este tipo es dejar en un miembro de la ecuación la variable con coeficiente igual a 1, y en el otro el término independiente. A este procedimiento se le conoce como despejar la incógnita. Ejemplos: 7. + = 8 Restando en ambos miembros de la ecuación: + = 8 Reduciendo términos semejantes: = = 4 Sumando 5 en ambos miembros de la ecuación: 5+ 5 = 4+ 5 Reduciendo términos semejantes: = 9 9. El precio de un artículo con un descuento de $16.00 es $ Cuál es el precio original? Al precio original lo llamamos: Precio original menos $16.00 igual a $42.00: 16 = 42 Ec. a resolver. Sumando 16 en ambos miembros de la ecuación: = Reduciendo términos semejantes: = 58 Precio original del artículo $ Comprobación. Sustituyendo en la ecuación: (58) 16 = 42 Ejercicio 2 Resuelve las ecuaciones siguientes: = 7 99

8 Unidad 2. 1 = 6. 8 = = El largo de un terreno es 5 m mayor que su anchura. Si su anchura mide 97 m, cuántos metros tiene de largo?.2.2. Solución de ecuaciones enteras usando división En la sección anterior aprendimos a resolver ecuaciones enteras de primer grado en donde el coeficiente de la variable era 1 ó 1. Ahora aprenderemos a resolver ecuaciones enteras de primer grado con coeficiente (entero) cualquiera. Consideremos el siguiente problema: la altura de un triángulo es el triple de su base. Si la altura mide 75 cm, cuánto mide la base? A la base la llamamos: La altura es veces la base y mide 75 cm: = 75 Cómo despejar cuando su coeficiente no es 1 ó 1? La propiedad que nos indica la manera de hacerlo es la siguiente: Propiedad de división de una igualdad Sean, y, números reales, 0. Si a =, entonces a c b c. Cantidades iguales divididas por una cantidad igual siguen siendo iguales. Ahora ya estamos en condiciones de despejar en la ecuación: = Dividiendo entre ambos miembros de la ecuación: D ividiendo para despejar : = 25 Por lo tanto, la base mide 25 cm. Comprobación: (25)= 75 Ejemplos: 10. =

9 ÁLGEBRA Dividiendo entre ambos miembros de la ecuación: Dividiendo para despejar : = = Dividiendo entre 5 ambos miembros de la ecuación: 5 5 Despejando : = El precio de cierta chamarra es 5 veces el precio de cierto par de calzado. Si la chamarra cuesta $ , cuánto cuesta el calzado? Al precio del calzado lo llamamos: La chamarra de $ cuesta 5 veces el precio del calzado: 5 = Ec. a resolver Dividiendo entre 5 ambos lados de la ecuación: 5 5 D ividiendo para despejar : = Por lo tanto, el calzado cuesta $ Comprobación 5(71.40) = Ejercicio 1. 7 = = 7 En los problemas, 4 y 5 escribe la ecuación correspondiente y resuélvela.. La edad de un padre es el cuádruple de la de su hijo. Si ambas edades suman 60 años, cuántos años tiene el padre y cuántos años tiene el hijo? 4. Una maestra compró el triple número de lápices que de cuadernos para sus alumnos. Por cada lápiz pagó $.00 y por cada cuaderno $1.00. Si el importe de la compra fue de $198.00, cuántos lápices y cuántos cuadernos compró? 5. Se tienen cestas de naranjas. La segunda contiene el doble de la primera y la tercera el triple de la primera, cuántas naranjas hay en cada cesta si el total es 144? 10 1

10 Unidad.2.. Solución de ecuaciones enteras usando varias operaciones La mayoría de las ecuaciones que plantean un problema requieren de más de una operación para encontrar su solución. En esta sección estudiaremos cómo resolver este tipo de ecuaciones. Consideremos el siguiente problema: la suma de las edades de José y Juan es 75 años; si José tiene 15 años más que Juan, cuál es la edad de cada uno? A la edad de José la llamamos: La edad de Juan es 15 años menos que la de José: 15 La suma de las edades es 75 años: + ( 15) = = 75 Ec. a resolver Sumando 15 en ambos miembros de la ecuación: = Sumando: 2 = Dividiendo entre 2 ambos miembros de la ecuación: 2 2 Despejando : = 45 Por lo tanto, José tiene 45 años y Juan tiene: 15 = (45 15) = 0 años. Comprobación: = 75 Ejemplos: = 25 Restando 4 en ambos miembros de la ecuación: = 25 4 Efectuando operaciones: 7 = Dividiendo entre 7 ambos miembros de la ecuación: 7 7 Despejando : = 14. La suma de enteros consecutivos es 84. H allar los números. Al menor de los números lo llamamos: Entonces los dos enteros que siguen son: + 1 y + 2 La suma de estos enteros es 84: Conmutando y asociando: + = 84 + (+ 1)+ (+ 2)= 84 Ec. a resolver Restando en ambos miembros de la ecuación: + = 84 Sumando: = Dividiendo entre ambos miembros de la ecuación: Despejando : = 27 Por lo tanto, los números son: 27, 28 y 29 Comprobación: =

11 ÁLGEBRA 15. H allar 2 números impares consecutivos cuya suma sea 80. Al menor de los números lo llamamos: Entonces el impar que sigue de es: + 2 La suma de estos 2 números debe ser 80: + ( + 2) = 80. Ec. a resolver. Asociando: = 80 Restando 2 en ambos miembros de la ecuación: = 80 2 Sumando: 2 = Dividiendo entre 2 ambos miembros de la ecuación: 2 2 Despejando : = 189 impar. Por lo tanto, los números son: + 2 = = 191 Comprobación: = L os problemas no siempre tienen solución. Por ejemplo: hallar dos números pares consecutivos cuya suma sea 40. Al menor de los números lo llamamos: Entonces el par que sigue de es: + 2 La suma de estos 2 números debe ser 40: + ( + 2) = 40. Ec. a resolver. Asociando: = 40 Restando 2 en ambos miembros de la ecuación: = 40 2 Sumando: 2 = Dividiendo entre 2 ambos miembros de la ecuación: 2 2 Despejando : = 19 impar Por lo tanto, no eisten números pares consecutivos cuya suma sea 40. Ejercicio = 65 En los problemas 2,, 4 y 5 escribe la ecuación correspondiente y resuélvela. 2. Dividir 20 objetos en dos partes, de tal forma que la primera eceda en 2 a la segunda.. Luis tiene el cuádruple del dinero que Rosario; si juntos tienen $ , cuánto dinero tiene cada uno? 10

12 Unidad 4. La suma de las edades de personas es 106 años. La de enmedio tiene 14 años más que la menor y la menor tiene 17 años menos que la mayor. H allar las edades de las personas. 5. Cinco cajas contienen 884 libros. La primera caja tiene 25 libros más que la segunda, 12 menos que la tercera, 4 menos que la cuarta y 7 más que la quinta. Cuántos libros tiene cada caja?.. Solución de ecuaciones enteras con la variable en ambos lados de la igualdad H asta ahora hemos estudiado cómo resolver una ecuación entera de primer grado cuando la variable se encuentra en un solo lado de la igualdad. Sin embargo, son varios los problemas que tienen a la variable en ambos lados de su ecuación. Por ejemplo, + 8 = + 28, o el siguiente problema: Dos personas: A y B tienen en conjunto $ Si A gana $0.00 más y tiene el doble de lo que B posee en este momento, cuánto dinero tiene cada una? Cómo despejar la incógnita cuando está en ambos lados de la ecuación? A la cantidad que tiene A la llamamos: Entonces B tiene: 78 Si A gana $0.00 más tendría: es el doble de lo que tiene B: + 0 = 2(78 ). Ec. a resolver. Multiplicando: + 0 = Sumando 2 en ambos miembros de la ecuación: = Conmutando y asociando: + 0 = 156 Restando 0 en ambos miembros de la ecuación: = Sumando: = Dividiendo entre ambos miembros de la ecuación: 126 Despejando : 42 Por lo tanto, A tiene $42.00 y B tiene $(78 42) = $6.00. Comprobación: = 72 = 2(6) Las ecuaciones de la forma: a + b = c + d, a, b, c, d Z se resuelven sumando c en ambos miembros de la igualdad, para desaparecer la incógnita del segundo miembro de la ecuación. 10 4

13 ÁLGEBRA Ejemplos: 17. La suma de dos números es 85 y el triple del mayor equivale al cuádruple del menor. H allar los números. Al menor lo llamamos: Entonces el mayor es: 85 El triple del mayor es igual al cuádruple del menor: (85 ) = 4. Ec. a resolver. Multiplicando: = 4 Sumando en ambos miembros de la ecuación: = 4 + Sumando: = Dividiendo entre 7 ambos miembros de la ecuación: 7 7 Despejando : = 165 Por lo tanto, el menor de los números es 165 y el mayor es: = 220 Comprobación: (220) = 660 = 4(165) 18. Las edades de un tío y su sobrino suman 87 años. Si la edad del tío se disminuyera en 19 años tendría el triple de la edad del sobrino. H allar las edades del tío y del sobrino. A la edad del sobrino la llamamos: Entonces la edad del tío es: 87 La edad del tío disminuida en 19 es veces la del sobrino: (87 ) 19 =. Ec. a resolver. Conmutando y asociando: 68 = Sumando en ambos miembros de la ecuación: 68 + = + Sumando: 68 = Dividiendo entre 4 ambos miembros de la ecuación: 4 4 Despejando : = 17 Por lo tanto, la edad del sobrino es 17 años y la del tío: = 70 años. Comprobación: = 51= (17) 19. En una clase en donde hay 45 alumnos, el doble de mujeres menos 1 ecede en 15 al triple del número de varones, disminuido en 8. H allar el número de mujeres y de varones. Al número de mujeres lo llamamos: Entonces el número de varones es: 45 El doble del número de mujeres menos 1 es: 2 1 El triple del número de varones disminuido en 8 es: (45 ) 8 El doble del número de mujeres menos 1 ecede en 15 el triple del número de varones disminuido en 8: (2 1) 15 = (45 ) 8. Ec. a resolver. Asociando, distribuyendo y conmutando: 2 28 = Sumando en ambos lados de la ecuación: =

14 Unidad Conmutando y asociando: 5 28 = 127 Sumando 28 en ambos miembros de la ecuación: = Sumando: 5 = 155 Dividiendo entre 5 ambos miembros de la ecuación: Despejando : = 1 Por lo tanto, el número de mujeres es 1 y el número de varones es 45 1 = 14 Comprobación: 2(1) 1 = 49 ecede en 15 a (14) 8 = 4 Ejercicio 5 En cada uno de los siguientes problemas escribe la ecuación que corresponde y resuélvela. 1. La suma de dos números es 67 y el número menor aumentado en 52 equivale al triple del mayor disminuido en 19. Encuentra los números. 2. El número de horas que ha trabajado Karina es 5 veces el número de horas que ha trabajado Manuel. Si Karina hubiera trabajado 18 horas menos y Manuel 4 horas más, ambos habrían trabajado el mismo número de horas. Cuántas horas trabajó cada uno?. Sergio tiene el triple de dinero que Lucía. Si Sergio pierde $45.00 y Lucía pierde $9.00, Sergio tendrá $25.00 más que Lucía. Cuánto dinero tiene cada uno? 4. La edad de Elia es el doble de la de Graciela y hace 2 años la edad de Elia era el cuádruple de la de Graciela. Cuántos años tiene cada una? 5. En una cesta en donde hay 98 frutas entre manzanas y naranjas, el triple del número de manzanas, menos 9, ecede en 21 al triple del número de naranjas, disminuido en 12. Encuentra el número de manzanas y el de naranjas..4. Ecuaciones lineales enteras con más de una variable Al principio de esta unidad mencionamos que la forma general de una ecuación lineal es: a1 1 a an n b, en donde las a representan números reales y no todos son cero; las con subíndice representan las variables, y la b es el término independiente, también un número real. 10 6

15 ÁLGEBRA En esta sección estudiaremos la forma como se resuelve una sola ecuación lineal con más de una variable. El procedimiento es muy similar al que hemos seguido hasta ahora. La única diferencia es que, cuando se despeja una variable, digamos z, su valor depende de las otras. En lenguaje matemático esto se epresa como: resolver la ecuación con respecto a la variable z, en donde z puede ser cualquiera de las variables que aparecen en la igualdad. Cuando una ecuación de este tipo se resuelve con respecto a z, se dice que z es una variable dependiente y el resto de las variables se llama independiente. Variable independiente variable dependiente Una variable es independiente si puede tomar cualquier valor real, ecepto los que carezcan de sentido en la ecuación estudiada. Una variable se llama dependiente si su valor está sujeto a los valores que tomen la otra u otras variables en la ecuación estudiada. El tipo de ecuaciones lineales con varias variables que resolveremos en esta unidad serán enteras. Ejemplos: 20. Resolver con respecto a la siguiente ecuación lineal con tres incógnitas: z+ 8= 5y+ 9 z+ 8= 5y+ 9. Ec. a resolver. Sumamos z en ambos miembros de la ecuación: z+ 8+ z = 5y+ 9+ z Conmutando y asociando: 8 = 5y+ z+ 9 Dividiendo entre 8 ambos miembros de la ecuación: 8 5 y z y z 9 Despejando : 5 y z 9 8 Por lo tanto, es la solución general respecto a. Observa que esta epresión 8 involucra un número infinito de valores para, ya que y y z son las variables independientes y, por lo tanto, pueden tomar cualquier valor real. Por ejemplo, si y = 1 y z= 1, entonces: 5( 1) ( 1) 9 8 Comprobación: ( 1) ( 1) Por lo tanto,, y = 1 y z = 1 es una solución particular. 8 5( 0) ( 4) 9 Si y = 0 y z = 4, entonces: 8 8 Comprobación: ( 4)+ 8, y = 0 y z= 4 es una solución particular. 8 Por lo tanto, = 12 = 9 = 5(0)

16 Unidad 21. Resolver la misma ecuación: z + 8 = 5y + 9, con respecto a y. Por simetría obtenemos: 5y + 9 = z + 8 Restando 9 en ambos miembros de la ecuación: 5y = z Sumando: 5y = z Dividiendo entre 5 ambos miembros de la ecuación: 5 5 y z Despejando y: z 8 9 y 5 z 8 9 Por lo tanto, y es la solución general respecto a y. En el ejemplo anterior 5 comprobamos sólo dos casos con valores particulares. Esto no es suficiente para asegurar que la solución que encontramos es correcta. Para estar completamente seguros debemos sustituir en la ecuación original z+ 8= 5y+ 9 ese valor que encontramos (en este caso) para y y verificar que se cumple la igualdad: 5 y 9 5 z Por lo tanto, hemos demostrado que y ( z 8 9) 9 z z 8 z 8 9 sí es la solución general de la ecuación Se han comprado varios metros de tipos de tela, de tal forma que 7 veces la cantidad de la tela A, menos el doble de la cantidad de la tela B, menos el triple de la cantidad de la tela C, es igual al triple de la cantidad de la tela A, menos la cantidad de la tela C disminuida en 9 m. Encontrar formas diferentes de cómo se pudo haber realizado la compra. A la cantidad en metros de la tela A la llamamos: A la cantidad en metros de la tela B la llamamos: A la cantidad en metros de la tela C la llamamos: 7 veces la cantidad de la tela A, menos el doble de la de B, menos el triple de la de C es: La cantidad de la tela C disminuida en 9m es: z 9 y z 7 2y z El triple de la cantidad de la tela A, menos la cantidad de la tela C disminuida en 9m es: (z 9) 7 veces la cantidad de la tela A, menos el doble de la de B, menos el triple de la de C es igual al triple de la cantidad de la tela A, menos la cantidad de la tela C disminuida en 9m: Resolvemos respecto a y: 7 2y z = (z 9). Ec. a resolver. Sumando 7+ z en ambos miembros de la ecuación: 7 2y z 7+ z= (z 9) 7+ z Conmutando y asociando: 2y = 4 + 2z

17 ÁLGEBRA Dividiendo entre 2 ambos miembros de la ecuación: 2 2 y z Despejando y: 4 2z 9 y 2 4 2z 9 Por lo tanto la solución general con respecto a y es y. En la siguiente tabla 2 las últimas columnas representan formas diferentes de realizar la compra: A B y C z 5 7 Ejercicio 6 5z Comprueba que y es solución general de 2y + 5z = En un almacén un cliente compró dos tipos de artículos por los que pagó $ Si un artículo cuesta $7.00 y el otro cuesta $5.00, cuántos artículos compró de cada uno, si la suma de artículos es 9? En los problemas del al 5, encuentra la solución general y da tres soluciones particulares.. H allar dos números enteros positivos de tal forma que si uno se multiplica por 5 y el otro por 8 la suma de los productos sea De cuántas formas se pueden pagar $ con billetes de $10.00 y $20.00, y monedas de $1.00 y de $5.00? 5. Ocho veces la edad de, menos el triple de la edad de y, más el doble de la edad de z es igual al cuádruple de la de y, menos la edad de hace 8 años. Cuál es la edad de cada uno? Encontrar soluciones distintas. 6. Resuelve para y la siguiente ecuación z y + 67 = 15y z 45. Caso práctico de aplicación Un hombre recibió un cheque por una cantidad de 2 cifras, pero al cobrarlo el cajero confundió la cifra de las decenas con la cifra de las unidades y viceversa. Sin darse cuenta de la confusión, el 10 9

18 Unidad hombre gastó $ Cuando regresó a su casa, descubrió sorprendido que tenía el doble del dinero que importaba el cheque. De qué cantidad era el cheque? Antes de iniciar la solución de este problema, veamos algunos ejemplos sobre el error que cometió el cajero: si el cheque era de $26.00 el cajero pagó $ Si el cheque era de $71.00 el cajero pagó $ También es importante recordar cómo se descompone un número en potencias de 10. Por ejemplo 26 = 10(2)+ 6; 71 = 10(7) + 1. Solución: A la cifra que representa a las unidades la llamamos: A la cifra que representa a las decenas la llamamos: El importe real del cheque es: El cajero pagó: y y = 10( y) + y = 10() + y El hombre gastó $15.00 y se quedó con el doble de la cantidad original: D istribuyendo y simplificando: 10() + y 15 = 2[10( y)+ ] 10+ y 15 = 20y + 2 Restando 20 y + 2 en ambos lados de la ecuación: 10 + y 15 20y 2 = 20y y 2 Conmutando y asociando: 8 19 y 15 = 0 Sumando 15 en ambos miembros de la ecuación: 8 19 y = Sumando: 8 19 y = 15 Resolvemos para : Sumando 19y en ambos miembros de la ecuación: Sumando: 8 19 y + 19y = y 8 = y y Dividiendo entre 8 ambos miembros de la ecuación: y Despejando : y Tenemos entonces que la solución general es, pero falta considerar que y y 8 son las cifras del importe del cheque y en consecuencia son números enteros entre 0 y 9 (incluyendo los etremos). Por lo tanto, los únicos valores que satisfacen las condiciones son: y =, = 9, lo que significa que la cantidad del cheque era de $9.00. Comprobación: 9 15 = 78 = 2(9) 110

19 ÁLGEBRA Ejercicios resueltos 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + 6 = b) 4[( 4) (2 + )] 7 = 5 2 Soluciones: a) + 6 = Ec. a resolver. Restando en cada miembro de la ecuación: + 6 (25+ 6)= (25+ 6) Efectuando operaciones: 26 = 24 Dividiendo entre 26 cada miembro de la ecuación: Despejando y simplificando: = 12 1 Comprueba este resultado. b) 4[( 4) (2 + )] 7 = 5 2. Ec. a resolver. Efectuando operaciones: 4[ 7] 7 = = 5 2 Restando 5 5 en cada miembro de la ecuación: 4 5 (5 5) = 5 2 (5 5) Efectuando operaciones: 9 = 9 Dividiendo entre 9 cada miembro de la ecuación: Despejando y simplificando: = Comprueba este resultado. 2. Entre vacas y gallinas se cuentan 150 patas. Si el números de vacas ecede en 12 al número de gallinas, cuántas vacas y cuántas gallinas hay? Al número de gallinas lo llamamos: Entonces el número de vacas es: + 12 El total de patas de gallinas es: El total de patas de vacas es: 4( + 12) La suma total de etremidades es 150: Asociando y sumando: = ( + 12) = 150. Ec. a resolver. Restando 48 en ambos miembros de la ecuación: = Restando: 6 = 102 Dividiendo entre 6 ambos miembros de la ecuación: D espejando : = 17 Por lo tanto, hay 17 gallinas y = 29 vacas. Comprobación. 2(17)+ 4(29) =

20 Unidad. La suma de números impares consecutivos es igual a 57. Cuáles son los números? Al menor de los números lo llamamos: Entonces los siguientes dos impares consecutivos son: + 2 y + 4 La suma de los números es 57: + (+ 2)+ (+ 4) = 57. Ec. a resolver. Conmutando y asociando: + 6 = 57 Restando 6 en ambos miembros de la ecuación: = 57 6 Restando: = Dividiendo entre 6 ambos miembros de la ecuación: Despejando : = 17 Por lo tanto, los números son 17, 19 y 21. Comprobación: = Se pagaron dólares por una computadora, un mouse y un regulador. El regulador cuesta el doble de lo que cuesta el mouse y dólares menos de lo que cuesta la computadora. Cuánto cuesta cada artículo? Al precio del mouse lo llamamos: Entonces el regulador cuesta: 2 Y la computadora cuesta: El importe total de los artículos es dls: +2+ ( )= Ec. a resolver. Asociando y sumando: = Restando en ambos miembros de la ecuación: = Restando: 5 = 120 Dividiendo entre 5 ambos miembros de la ecuación: Despejando : = 24 Por lo tanto, el mouse cuesta 24 dls, el regulador 2(24) dls= 48 dls y la computadora cuesta 2(24) dls = dls. Comprobación: = Si me pagaran $ tendría el triple de lo que tengo ahora menos $ Cuánto dinero tengo? A la cantidad que tengo ahora la llamamos: Si me pagan $ más tengo: El triple de lo que tengo ahora menos $45.00 es: 45 La cantidad actual más $ es igual al triple de la cantidad actual menos $45.00: = 45. Ec. a resolver. Restando en ambos miembros de la ecuación: =

21 ÁLGEBRA Conmutando y asociando: 189 = 2 45 Por la propiedad 1: 2 45 = 189 Sumando 45 en ambos miembros de la ecuación: = Sumando: 2 = Dividiendo entre 2 ambos miembros de la ecuación: 2 2 Despejando : = 117 Por lo tanto, actualmente tengo $ Comprobación: = 06 = (117) La edad de un padre es el doble de la edad de su hijo. La edad que tendrá el padre dentro de 12 años será el triple de la edad que tuvo su hijo hace 8 años. H allar las edades del padre e hijo. A la edad actual del hijo la llamamos: Entonces la edad actual del padre es: 2 La edad del padre dentro de 12 años será: La edad del hijo hace 8 años fue: 8 La edad del padre dentro de 12 años será el triple de la edad que tuvo el hijo hace 8 años: = ( 8). Ec. a resolver. Distribuyendo: = 24 Restando 2 en ambos miembros de la ecuación: = 24 2 Conmutando y asociando: 12 = 24 Por la propiedad 1: 24 = 12 Sumando 24 en ambos miembros de la ecuación: = Despejando : = 6 Por lo tanto, el hijo tiene 6 años y el padre 2(6)= 72 años. Comprobación: = 84 = (6 8) 7. El cuádruple de un número, más equivale al triple de otro número disminuido en 1. H allar la solución general y 2 soluciones particulares. Al primer número lo llamamos: Al segundo número lo llamamos: y El cuádruple del primer número, más es: 4 + El triple del segundo número disminuido en 1: ( y 1) El cuádruple del primer número, más es igual al triple del segundo número disminuido en 1: 4 + = (y 1). Ec. a resolver. Distribuyendo: 4 + = y 11

22 Unidad Restando en ambos miembros de la ecuación: 4 + = y Restando: 4 = y 6 Dividiendo entre 4 ambos miembros de la ecuación: 4 y y 6 Despejando : 4 y 6 Por lo tanto la solución general es. Las soluciones particulares pueden ser: si y = 6, 4 4 Si y = 7, La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 172. H allar los números. Al menor de los números lo llamamos: Entonces el par que le sigue es: + 2 La diferencia de sus cuadrados es 172: ( 2) Ec. a resolver. 2 2 Elevando al cuadrado: Conmutando y asociando: = 172 Restando 4 en ambos miembros de la ecuación: = Restando: 4 = 168 Dividiendo entre 4 ambos miembros de la ecuación: Despejando : = 42 par Por lo tanto, los números son 42 y 44. Comprobación: = El largo de una alberca en forma rectangular es el triple de su ancho. Si el ancho se aumenta en 18m y el largo se disminuye en 7m el área de la alberca no varía. H allar las dimensiones de la alberca. Al ancho le llamamos: Entonces el largo es: El área real es: ( )() = 2 El ancho aumentado en 18m es: + 18 El largo disminuido en 7m es: 7 El área con los cambios no varía: ( 7)( + 18) = 2. Ec. a resolver. Efectuando el producto del primer miembro de la ecuación: = 2 Restando 2 en ambos miembros de la ecuación: =

23 ÁLGEBRA Conmutando y asociando: 126 = 0 Sumando 126 en ambos miembros de la ecuación: = Sumando: = 126 Dividiendo entre ambos miembros de la ecuación: Despejando : Por lo tanto, las dimensiones de la alberca son 2 2 m de ancho y Comprobación: Área real es 2 2 Área con los cambios: m de largo Área real = Área con cambios. 2 m m Demuestra que z = 5 6y + 1, es la solución general de la ecuación: 2 z + 2y 5= 4y 4 z + 8 con respecto a z. Sustituyendo z por 5 6y + 1 en el primer miembro de la ecuación: 2 z + 2y 5 = 2 ( 5 6y + 1)+ 2y 5 Distribuyendo: = y 9 + 2y 5 Conmutando, asociando y sumando: = y 44 Sustituyendo z por 5 6y+ 1 en el segundo miembro de la ecuación: 4 y 4 z + 8 = 4y 4( 5 6y + 1)+ 8 Distribuyendo: = 4y y Conmutando, asociando y sumando: = y 44 Como se obtienen resultados iguales, concluimos que z = 5 6y + 1 es la solución general de la ecuación: 2 z + 2y 5 = 4y 4z + 8, con respecto a z. 115

24 Unidad Ejercicios propuestos 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 8 = 15 b) = 45 c) + 8 = 15 8 d) 4[( 5) (2 7)] 9 = La base de un rectángulo ecede a su altura en unidades. Si su perímetro es de 24 u, cuáles son sus dimensiones?. Reparte $ de tal forma que A reciba $ menos que B. 4. Encuentra enteros consecutivos cuya suma sea Si la edad que tenía Francisco hace 2 años se quintuplica, es 4 años más del doble de la edad que tendrá dentro de 5 años. Cuántos años tiene Francisco? 6. Se tienen libreros. El segundo contiene el cuádruple de libros que el primero, el tercero el doble de libros que el segundo. Si en total hay libros, cuántos libros hay en cada librero? 7. La suma del largo y el ancho de un rectángulo es 770 cm y el sétuple del largo equivale a ocho veces el ancho. H allar las dimensiones del rectángulo. 8. El triple de un número, menos 18, es igual al doble de la suma de su inverso aditivo más 6. H allar el número. 9. La edad de Carmen es el triple de la de Marta y dentro de años la edad de Carmen será el doble de la de Marta. Cuántos años tiene cada una? 116

25 ÁLGEBRA 10. Diez veces la edad de A; más el doble de la edad de B, más 1; más el triple de la edad de C es igual al cuádruple de la de B, más 5; menos la edad de A hace años. Cuál es la edad de cada uno? Encontrar 2 soluciones distintas. 117

26 Unidad Autoevaluación 1. Encuentra la ecuación que plantea el siguiente enunciado: Un joven ha comprado una cantidad de vasos igual a 5 veces el número de refrescos. Por cada refresco pagó $5.00 y por cada vaso $2.00. El importe de la compra fue de $ a) número de refrescos Ecuación: 5 + 2(25) = 225 b) número de refrescos Ecuación: 5 + 2(5) = 225 c) número de refrescos Ecuación: + 2(5) = 225 d) número de refrescos Ecuación: + 25 = 225 e) número de refrescos Ecuación: = El producto de la edad de José hace años por su edad dentro de 6 años es igual al cuadrado de su edad actual. Cuántos años tiene José? a) 6 años. b) 4 años. c) 15 años. d) 12 años. e) 70 años.. H allar números enteros consecutivos, tales que el triple del menor menos el doble del mediano más el cuádruple del mayor sea 6. Cuál es la ecuación que plantea el problema? a) L os números son: 6, 7 y 8. La ecuación es: 5 6 = 6. b) L os números son: 6, 10 y 20. La ecuación es: 5 11 = 6. c) L os números son: 5, 7 y 4. La ecuación es: 7 5 = 6. d) L os números son: 6, 7 y 8. La ecuación es: = 6. e) L os números son: 10, 12 y 14. La ecuación es: 5 20 = Se tienen $45.00 en billetes de $10.00, de $20.00 y monedas de $5.00. Cuántas monedas y cuántos billetes puede haber de cada denominación? Cuál es la solución general del problema si se resuelve con respecto al número de monedas? a) de $5.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00 ó 1 de $5.00, 2 de $10.00 y 1 de $20.00 Solución general: z = 9 2 4y b) 2 de $5.00, 2 de $10.00 y 1 de $20.00 Solución general: z = 9 2 4y. c) 2 de $5.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00 ó 1 de $5.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00 Solución general: z = 9 2 4y 118

27 ÁLGEBRA d) 15 de $1.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00 ó 1 de $5.00, 2 de $10.00 y 1 de $20.00 Solución general: z = y e) 1 de $15.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00 ó de $5.00, 2 de $10.00 y 1 de $20.00 Solución general: z = y 5. Un grupo de ecursionistas ha recorrido 195 km. En automóvil recorrieron el cuádruple que en bicicleta y a pie 9 km menos que en bicicleta. Cuántos kilómetros recorrieron en cada una de las formas? a) 22 km a pie, 6 km en bicicleta y 17 km en carro. b) 25 km a pie, 2 km en bicicleta y 18 km en carro. c) 25 km a pie, 4 km en bicicleta y 16 km en carro. d) 24 km a pie, km en bicicleta y 18 km en carro. e) 25 km a pie, 0 km en bicicleta y 140 km en carro. 119

28 Unidad Respuestas a los ejercicios Ej Sí es solución. 2. Sí es solución.. No es solución. 4. Sí es solución. 5. No es solución. Ej = 9 2. = 19. = 1 4. = m Ej. 1. = = = 60; edad del hijo 12, edad del padre () = 198; Compró 9 cuadernos y 27 lápices. 5. Primera canasta 24 naranjas; segunda, 48 y tercera, 72. Ej = (+ 2)+ = 20; 144 y = 6785; Rosario tiene $ y Luis tiene $ = 106; la persona de menor edad tiene 25 años, la de enmedio 9 y la mayor = 884; la primera caja tiene 174 libros; la segunda, 149; la tercera, 186; la cuarta 208 y la quinta,

29 ÁLGEBRA Ej = (67 ) 19; 2.5 y = + 4; M anuel 1h y Karina 65h.. 45= ; Lucía tiene $0.50 y Sergio tiene $ = 4( 2); Graciela tiene años y Elia = 21 + (98 ) 12; 52 manzanas, 46 naranjas. Ej z z z z de $7.00 y 6 de $ y ; soluciones particulares: = 5, y= 20; = 7, y= 40; = 21, y= = 128 5y 10z 20w; soluciones particulares: = 48, y= 8, z= 2, w= 1; = 2, y= 5, z= 4, w= 2; =, y= 1, z= 2, w= 5. 7 y z soluciones particulares: = 2, y= 4, z= 9; = 14, y= 20, z= 11; = 50, 2 y= 72, z= y Ejercicios propuestos 1. a) = 2 b) = 26 c) = 1 d) = Altura 4.5u y base 7.5u.. A recibe $ y B $ , 16 y

30 Unidad 5. Francisco tiene 8 años. 6. El primer librero tiene 125 libros; el segundo, 500 y el tercero, Ancho 0 cm y largo 440 cm Marta tiene años y Carmen A tiene años, B tiene 25 y C tiene 8, ó A tiene 6 años, B tiene 1 y C tiene 1. Autoevaluación 1. b) 2. a). d) 4. a) 5. c) 122