1.8. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Interpretación Algebraica de Enunciados Verbales.

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1 .8. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Interpretación Algebraica de Enunciados Verbales. Una de las herramientas más importantes que podemos adquirir con el estudio del álgebra es la solución de problemas, ya que muchas aplicaciones de las ciencias, la economía, la administración, las finanzas, la medicina y de otros muy variados campos, se pueden plantear en términos algebraicos. Una de las ventajas que ofrece el álgebra elemental es la de poder escribir simbólica y abreviadamente epresiones que en lenguaje corriente ocupan muchas palabras. Es costumbre designar en álgebra las cantidades desconocidas o incógnitas por medio de las últimas letras del abecedario. Ejemplo: LENGUAJE COMÚN Un número El duplo de un número El doble de un número Dos veces un número El 200% de un número El triple de un número Tres veces un número El 300% de un número El cuádruplo de un número Cuatro veces un número El 400 % de un número Un número disminuido en su mitad Un número disminuido en un cuarto de él Un número disminuido en un 25 % de él Un número disminuido en un cuarto Un número disminuido en un 25% de uno Un número disminuido en 4 veces 5 Un número disminuido en a veces b El eceso de un número sobre 4 LENGUAJE ALGEBRAICO a b 4 El doble, de un número aumentado en cinco 2 ( + 5)

2 Un número par Un número impar Números enteros consecutivos Números pares consecutivos Números impares consecutivos El sucesor de un número entero El siguiente de un número entero El antecesor de un número entero El anterior de un número entero El inverso aditivo de un número El inverso multiplicativo de un número El recíproco de un número La suma de dos números La diferencia de dos números El eceso de un número sobre otro (y) El producto entre dos números El producto de dos pares consecutivos El cuociente entre dos números La razón entre dos números número La división entre dos números El cuociente de dos números disminuido en uno 2 2 +, +, + 2, 2, 2 + 2, 2 + 4, 2 +, 2 + 3, 2 + 5, + + y y y y y 2 ( 2 +2 ) La mitad de la suma dos números Un número de una cifra Un número de dos cifras Un número de tres cifras +y y y + z Interpretación Verbal de Enunciados Algebraicos. El proceso inverso del que acabamos de ver, es decir, dada una epresión algebraica o alguna fórmula, se trata de enunciar verbalmente o en palabras el significado de la epresión o fórmula en cuestión. Ejemplo: 4 ( y) Esta epresión es el cuádruplo de la diferencia entre e y. 2 2 a +b La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de a y b. El primer paso al resolver un problema es traducir en forma correcta los enunciados verbales al lenguaje algebraico, se debe ser capaz de escribir ecuaciones que describan con eactitud las relaciones que se mencionan en el problema.

3 PROBLEMAS DE PLANTEO: ESTRATEGIAS PARA PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN Para resolver problemas de enunciado verbal debemos ser capaces de escribir ecuaciones o inecuaciones que describan con eactitud las relaciones entre las cantidades que se mencionan en el problema. Las directrices para resolver problemas son: Primero: ENTIENDE el problema Que es lo que quiero encontrar? De que datos dispongo? He resuelto con anterioridad un problema semejante? Segundo: Elabora y lleva a cabo un PLAN Qué estrategias podría seguir para resolver el problema? Cómo podría llevar a cabo correctamente las estrategias que he seleccionado? Tercero : Encuentra la RESPUESTA y COMPRUÉBALA Es correcta la solución propuesta? Cuál es la respuesta al problema? Parece razonable la respuesta? He epresado con toda claridad la respuesta? Ejemplo. Un estudiante debe leer una novela en una semana. Entre lunes y martes lee del libro y 5 el miércoles lee 3 del resto. Si para los restantes días de la semana todavía le quedan 64 páginas de lectura, entonces cuál es el número total de páginas del libro? Lenguaje común Debe leer una novela Lenguaje algebraico Lunes y Martes lee un quinto del libro 5 Miércoles lee un tercio del resto del 3 Otros días 64 resto = = 4 5 Es decir: { { { = { 5 5 otros lunes martes miércoles días total 4 Resolviendo: = 64 / = = 64 5 = Análisis de la solución encontrada: Lunes leyó un quinto de 20, es decir: Martes a miércoles leyó un tercio de 96, es decir: Los restantes días debe leer: Ejemplo 2: páginas 32 páginas 64 páginas Total: 20 páginas Problema de números: La suma de dos números pares consecutivos es 6 Cuáles son los números? = 8 5 = 20

4 Dos números pares consecutivos: 2, La suma de dos números pares consecutivo es 6: = 6 Planteada la ecuación, resolvemos: 2 + (2 + 2) = = 6 4 = 4 = El valor de es, luego los pares pedidos son 2 y 4. Efectivamente, son pares consecutivos y su suma nos da 6. Ejemplo 3: Problema de edades: En este tipo de problemas debemos definir las incógnitas en algún instante de tiempo, es decir, presente, pasado o futuro. La edad actual de Juan (J) es el cuádruplo de la de Pedro (P), en cinco años más será el triple. La edad actual de Juan: J Es: = El cuádruplo de la de pedro 4 P En cinco años más: J+ 5, P + 5 Será : = El triple: J + 5 = 3 (P+ 5) Planteando la ecuación: ( 4 P +5) = 3 (P + 5) 4 P + 5 = 3P + 5 P = 0 Luego, la edad de Juan es 40 y la de Pedro 0. Puede que el planteo de una ecuación de origen a una ecuación de segundo grado, al resolver esta ecuación se obtienen dos valores para la incógnita. Solamente se aceptan como soluciones del problema los valores que satisfagan las condiciones del problema y se rechazan los que no las cumplan. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: Hay muchas aplicaciones posibles para los sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas de la vida diaria. Frente a un determinado enunciado o problema, el procedimiento es el mismo utilizado anteriormente, dados en las directrices para resolver problemas. Ejemplo 4: Encontrar dos números tales que el doble del primero se suma con el trile del segundo resulta 79 y si al triple del primero se resta el segundo resulta 36. Entender el problema, ordenamos los datos y. Elaborar y llevar a cabo un plan, traducimos a lenguaje algebraico PROBLEMA LENGUAJE MATEMÁTICO Dos números tales que Sea el primer número Sea y el segundo número Si el doble del primero 2 Se suma con el triple del segundo y Resulta y = 79 Si al triple del primero Se resta el segundo Resulta 36 Encuentra la respuesta y comprueba: 3 3 y 3 y = 36

5 Luego formamos el sistema de ecuaciones lineales y = 79 3 y = 36 Resolviendo este sistema obtenemos: = 7 y = 5; S = {( 7,5) } Por lo tanto los números buscados son 7 y 5. Verifica que cumplen las condiciones del problema. Ejemplo 5: En una bodega hay 20 botellas de distintos tipos: de bebidas, de soda y de aceite. La décima parte del número de botellas de bebida más la octava parte del número de botellas de soda más la quinta parte del número de botellas de aceite equivale a 6, y la suma de botellas de aceite y de bebidas es 80 Cuántas botellas de cada tipo hay? Entender el problema: Se trata de botellas de distintos tipos Sea el número de botellas de bebidas y el número de botellas de soda z el número de botellas de aceite. De acuerdo con el enunciado, Elaborar y llevar a cabo un plan: + y + z = 20 Consiste en traducir el problema a lenguaje algebraico z + + = z + = 80 Encontrar la respuesta y comprobar: Resolviendo el sistema nos da = 50, y = 40 ; z = 30 Por lo tanto, hay 50 botellas de bebidas, 40 de soda y 30 de aceite. APLICANDO INECUACIONES A continuación presentamos una lista de enunciados verbales y su interpretación algebraica que puede ayudar a decidir entre la inecuación: Enunciado verbal Epresión algebraica Es mayor que > Es menor < No es mayor que < Es a lo más < No es menor que > Es al menos > Ejemplo: El producto de 3 y aumentado en 2 es al menos 2, se traduce como: 3( + 2) 2 Si un problema es epresable mediante una inecuación, este se resuelve considerando la variable en R. Obtenido el conjunto solución, es necesario analizar si estas soluciones corresponden al problema. Es lo que se llama eistencia y pertinencia de las soluciones. En el conteto del problema, debe observarse si las soluciones, por ejemplo, son positivas o valores enteros, o si pueden ser decimales, asegurándose si sólo es posible una determinada cantidad de cifras decimales como ocurre con centésimos. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS I. PLANTEAR Y RESOLVER UNA ECUACIÓN PARA CADA PROBLEMA: ) Pienso en un número. Si le resto 8 y luego multiplico esa diferencia por 3, obtengo como resultado 5. Cuál es el número que pensé?

6 2) Una retroecavadora demora un día en ecavar una zanja. Otra retroecavadora más grande demora 4 horas. Cuánto demoran las dos juntas en ecavar la misma zanja? II. RESUELVE LAS INECUACIONES ) > 2 4 2) 2 5 < ) 3 (4 + 7) / 2(6 ) ) (2 + 3) / (4 ) 5) 6) < III. PLANTEAR Y RESOLVER ) Marcela tiene un pequeño casino donde vende café, bebidas y sándwich. Ella sabe que al menos 40 sándwich y como máimo 65. Si el valor de cada sándwich es $500 entre qué valores está la venta de este producto? 2) Un comerciante compra un artículo en $3500. Considerando diferentes gastos, su sueldo y que además conviene hacer algún descuento a clientes frecuentes, estima que el precio de venta se obtiene agregando entre 35% y 42% de recargo. Cuál es el precio de venta?