Nombre estudiante: Fecha: D / M / A Asignatura: MATEMÁT. Educador: Luz Dari Lindarte Clavijo. Socialización con estudiante y padre familia, firma:

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1 EVALUACIÓN ACADÉMICA Gestión Académica Versión 3 / Nombre estudiante: Fecha: D / M / A Asignatura: MATEMÁT DBA: Utiliza las propiedades de los números enteros y racionales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas. Metodología: taller Educador: Luz Dari Lindarte Clavijo Socialización con estudiante y padre familia, firma: Valor del Logro Grado: 5 Calificación: 30% Secuencia: 4 Periodo: 2P Quíz Plan de refuerzo Prueba de periodo Recuperación Diagnóstico Taller INTRODUCCIÓN Propiedades De Números Enteros Aquí vamos a discutir las propiedades de números enteros. Los números enteros (Z), además de ser una extensión de los números naturales, también pueden ser considerados como un subconjunto de los números racionales, ya que cada uno de los números enteros puede ser considerado como una fracción en donde el denominador es el número uno. Sin embargo, las fracciones no enteras quedan excluidas de la recta numérica que contiene a los números enteros porque simplemente no forman unidades, sino porciones de la misma. En esto se basa la estructura de los números enteros, que además es un conjunto que no tiene ni principio ni fin, porque se pueden acumular tanto hacia el lado de los números positivos al añadir una unidad de forma progresiva e infinita; y también se puede realizar lo mismo al sustraer una unidad hacia el lado de los números negativos. Aun así, el origen de la recta numérica es el cero y se encuentra en el centro del conjunto. Siga leyendo para saber todo sobre las propiedades de números enteros. Las propiedades de números enteros Entonces, algunas de las propiedades de números enteros: Es que es una extensión de los números naturales. Es un subconjunto de los números racionales. Es un conjunto ordenado porque su progresión se da añadiendo o sustrayendo unidades. Es un conjunto infinito cuyo origen es el cero en el centro pero no tiene ni principio ni fin, es decir que no tiene un número mayor o un número menor en los extremos de la recta numérica. Los números primos. Propiedades de números enteros El valor de los números enteros está relacionado a las unidades, por lo tanto, si el conjunto es un conjunto ordenado, significa que el valor de un número entero se identifica con su posición en la recta numérica. Es decir que, si un número se encuentra más hacia la derecha de la recta, cualquier número que se encuentre a la izquierda se tratará de un número menor y viceversa. Por ello se dice que, por ejemplo: 5>35>3 o si se desea usar números negativos, entonces -8 < 5. En estos dos ejemplos se está diciendo que cinco es mayor que tres, pero que menos ocho es menor que cinco. 1. Interna: a + b Pertenece enteros 3 + ( 5) Pertenece enteros 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + ( 5) = 2 + [3 + ( 5)] 5 5 = 2 + ( 2) 0 = 0 3. Conmutativa:

2 a + b = b + a 2 + ( 5) = ( 5) = 3 4. Elemento neutro: a + 0 = a ( 5) + 0 = 5 5. Elemento opuesto a + (-a) = ( 5) = 0 ( 5) = 5 Resta de números enteros La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a - b = a + (-b) 7 5 = 2 7 ( 5) = = 12 Propiedades de la resta de números enteros 1.Interna: a b Pertenece enteros 10 ( 5) Pertenece enteros 2. No es Conmutativa: a - b b - a Multiplicación de números enteros La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Regla de los signos signos 2 5 = 10 ( 2) ( 5) = 10 2 ( 5) = 10 ( 2) 5 = 10 Propiedades de la multiplicación de números enteros 1. Interna: a b Pertenece enteros 2 ( 5) Pertenece enteros 2. Asociativa: (a b) c = a (b c) (2 3) ( 5) = 2 [(3 ( 5)] 6 ( 5) = 2 ( 15) -30 = Conmutativa: a b = b a 2 ( 5) = ( 5) 2-10 = Elemento neutro: a 1 = a ( 5) 1 = ( 5) 5. Distributiva: a (b + c) = a b + a c ( 2) (3 + 5) = ( 2) 3 + ( 2) 5 ( 2) 8 = = Sacar factor común: a b + a c = a (b + c) ( 2) 3 + ( 2) 5 = ( 2) (3 + 5) División de números enteros

3 La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. 10 : 5 = 2 Propiedades de la división de números enteros 1. No es una operación interna: ( 2) : 6 No pertenece enteros 2. No es Conmutativo: ( 10) : ( 5) = 2 a : b b : a 10 : ( 5) = 2 6 : ( 2) ( 2) : 6 ( 10) : 5 = 2 Números racionales Q Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por racionales. Q Representación de números racionales Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros. Recta Para representar con precisión los números racionales: 1Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo. 2Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes. 3Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar. representación En la práctica se utilizan número racional y fracción como sinónimos.

4 Operaciones con números racionales Suma y resta de números racionales Con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. Proceso 2: Se multiplican los denominadores y se escribe el nuevo denominador, luego se multiplican en cruz, escribiendo primero el producto del primer numerador, signo y se escribe el producto del segundo denominador. Este proceso es igual para la resta Con distinto denominador Proceso 1: En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Multiplicación de números racionales Se multiplica de frente numerador con numerador y denominador con denominador. División de números racionales Propiedades de los números racionales

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7 Qué es una expresión algebraica? Expresiones algebraicas Es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre si por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o (menos) se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -. Lenguaje algebraico El lenguaje algebraico nos permite representar una información dada mediante operaciones con números y letras. Las letras que se utilizan en el lenguaje algebraico pueden cumplir 2 funciones - Ir tomando valores que varían, por lo que también se les llama variables. - Utilizarlas en el lugar de una cantidad desconocida, en ese caso se les llama incógnitas. Así, se puede representar la suma de dos números como x+y y el triple de la suma de dos números como 3 (x+y). De esta forma se realiza una traducción de enunciados a lenguaje algebraico. Así mismo mediante la traducción de enunciados se pueden expresar números desconocidos en términos de otros. Por ejemplo, si la edad de Juan es x y Lola tiene el triple de la edad de Juan más cuatro años, se puede expresar la edad de Lola como 3x+4 y si Pedro tiene el doble de la edad de Lola, se puede expresar la edad de Pedro como 2 (3x+4). Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma verbal y escrita: Un numero cualquiera: X La suma de M y N M + N La diferencia entre A y B A B (recordemos que el término diferencia es lo mismo que resta). El producto de M y N M N o MN (recordemos que el término producto es lo mismo que multiplicación). - El cociente entre P y Q P / Q (recordemos que el término cociente es lo mismo que división). -Un número aumentado en 8 X + 8. En este caso llamamos X al número que no conocemos. La palabra aumentado también puede ser incrementado y eso es sinónimo de suma. -Un número disminuido en 6: Y 6. En este caso llamamos Y al número que no conocemos. La palabra disminuido es sinónimo de resta. El doble de H 2 H El triple de N 3 N La mitad de X X / 2 La tercera parte de Y Y / 3

8 La cuarta parte de L L / 4 El doble de la suma de dos números 2(a+b) El triple de la diferencia de dos números 3( x y ) Tres números enteros consecutivos: x, x+1, x+2 El doble de un número incrementado en 6 equivale a la quinta parte del número disminuida en 7: 2x+6 = x/5-7 El cuádruplo de la suma de M y P 4 (M+P) - La mitad de la diferencia de dos números ( x -Y ) /2 (mitad equivale a decir la resta dividida por 2) El cuadrado de X X² El cubo de Y Y³ La suma de los cuadrados de dos números: x² + y² La quinta parte del cubo de un número: x³/5 El cubo de la quinta parte de un número: (x/5)³ Las dos terceras partes de la suma de dos números: 2/3 (x+y) La potencia, expresión algebraica La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada). En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Propiedades de la potencia

9 TAREA Recordar. Consulta: Cómo se obtiene la forma racional de un número decimal (Cómo pasar de número decimal a número fraccionario). Escriba tres ejemplos. Cómo se obtiene la forma decimal de un número racional (Cómo pasar de número fraccionario a número decimal). Cuándo un decimal es finito y cuando infinito. Escriba tres ejemplos para cada uno. Resuelve: Completa la tabla Frase Expresión algebraica La suma de 2 y un número 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida) 3 más que un número La diferencia entre un número y 5 4 menos que n Un número aumentado en 1 Un número disminuido en 10 El producto de dos números Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b) Dos veces un número sumado a otro Cinco veces un número Ene veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocido El cociente de dos números La suma de dos números 10 más que n Un número aumentado en 3 Un número disminuido en 2

10 El producto de p y q Uno restado a un número El antecesor de un número cualquiera El sucesor de un número cualquiera 3 veces la diferencia de dos números 10 más que 3 veces un número b La diferencia de dos números La suma de 24 y = más que 33 Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 4) = 18 8 = 10 El producto de 6 y 16 3 veces la diferencia de 27 y 21 La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado El cociente de 3 al cubo y 9 12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y (8 12) = = 1,5 Dado un número El duplo, el doble de un número La mitad de un número Un número disminuido en... El antecesor, o el anterior de un número El sucesor, el consecuente, o el siguiente de un número El opuesto de un número Números consecutivos Un número par Números pares consecutivos Un número impar Números impares consecutivos El triple de un número El cuádruplo de un número La tercera parte, o el tercio de un número La cuarta parte de un número La quinta parte de un número El cuadrado de un número El cubo de un número El cuadrado del siguiente de un número El cubo del siguiente de un número Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de la potenciación expresando el resultado en una sola potencia.

11 Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de la potenciación expresando el resultado en una sola potencia. Resuelve los siguientes problemas

12 16. Manuel tiene cierta edad. Cecilia tiene 2 años más que Manuel. Si suman ambas edades el resultado es Andrés tiene cierta cantidad de estampillas. Marcelo tiene 8 estampillas menos que Andrés. Si se suman las estampillas ambos jóvenes juntan 24 estampillas. 18. Un número aumentado en su sucesor disminuido en 5 es igual al doble del número disminuido en Guillermo tiene gran cantidad de láminas de jugadores de fútbol. Carla tiene el doble de la cantidad que tiene Guillermo y ambas cantidades suman 21láminas. PROCESO 1. La guía es el tema del periodo. 2. Leer y sacar un resumen de la introducción. 3. Las propiedades de: Z, Q y potenciación son para aprender de memoria. 4. Resolver la tarea cuando el profesor indique y la numeración que indique. 5. Recuerde que cada semana el día viernes se realiza un quiz del tema de la semana. RECURSOS Taller, cuaderno, colores, regla. Angelitoons. (2017). Las aventuras de troncho y poncho: fracciones. Disponible en: