DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PREPARATORIA 13 CURSO DE NIVELACIÓN 2018-A

Transcripción

1 CURSO DE NIVELACIÓN 018-A

2 EXAMEN DIAGNOSTICO Resuelve cada uno de los ejercicios Si recorro km para llegar al mercado, y de ahí al templo recorro y después del templo regrese a mi casa, si en total recorrí km. Qué distancia hay del templo a mi casa? = 7. = Tengo dos metros de tela con el cual el 5% de ella la utilizare para realizar una blusa y con el 75% realizare un vestido si desperdicié % de la tela al realizar la blusa y 5% al realizar el vestido, Qué cantidad de tela se desperdició en total, eprésalo en cm? 9.

3 LEYES DE LOS SIGNOS Suma y Resta 1. si los números tienen el mismo signo se suman y en resultado se deja el mismo signo.. si números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto. Multiplicación y División Ejemplos: La ley quedaría establecida como, signos iguales dan positivo, signos diferentes dan negativo. Y se aplica de la misma forma para la división. Jerarquización de operaciones y uso de paréntesis Cuando se agrupan varios números u operaciones, es importante conocer el orden o jerarquía en que deben resolverse para obtener un resultado correcto.

4 Ejemplo: Para resolver Podría interpretarse como: O bien, como: De igual manera, se podría interpretar como: o también como Cuáles serían los resultados correctos? Para evitar confusiones y errores se ha convenido en que cuando no hay paréntesis, dado que los signos y separan cantidades, se efectúan las operaciones en el siguiente orden: 1. Paréntesis. Potencias y raíz. Multiplicaciones y Divisiones. Adiciones y Sustracciones. Por tanto, retomando los ejemplos del principio: Esto es importante, sobre todo cuando se manejan fórmulas de geometría o de cualquier otra ciencia. Por ejemplo: Calcular el área de un trapecio. El profesor te indicará la información de sus lados y altura. La fórmula correcta es la primera, porque el factor por el cual se multiplicará h no está despejado. No es válido multiplicar el número de la suma, porque pertenece a esa operación. Ejemplos: 6 + = 6 + = + = 7

5 En este caso, siguiendo el orden, se comienza por resolver las potencias (), después la multiplicación y finalmente la suma. Primero se resuelven las potencias: La operación queda así: Después se resuelven las multiplicaciones: El siguiente paso es resolver la suma: Y finalmente la resta: Uso de paréntesis En ocasiones se requiere usar paréntesis para indicar que algunas operaciones se deben efectuar antes que otras, o bien, que deben considerarse como un solo número. Los paréntesis como [ ], { }, se utilizan para situaciones en las que intervienen varias operaciones secuenciadas. Ejemplos: Para sumar, se debe efectuar primero ) y después restar al resultado. Para sumar ), se efectúa primero y al sumando se le añade el resultado del paréntesis. Ejemplos: Primero se resuelve la potencia:

6 Después se realiza la suma que está entre paréntesis: Finalmente se resuelve la operación completa: Un paréntesis precedido del signo + puede eliminarse sin afectar el signo de los sumandos que contiene. Si el signo que precede al paréntesis es negativo esto afecta al resultado de la operación contenida en dicho paréntesis. Ejemplos: No es lo mismo que: En este ejemplo, primero se resuelven las potencias que se ubican dentro del paréntesis: De esta manera se resuelve la resta del paréntesis: Posteriormente se realiza la operación completa: EJERCICIOS:

7 6. 7. Juan se fue de vacaciones y recorrió en un automóvil, m en ferrocarril y en camión Cuántos metros hizo en su recorrido? 8. El señor Pérez nació en, se caso a los años y años después de casarse nació su primer hijo En qué año nació su hijo? 9. Un jugador de futbol americano en el último partido recorrió Cuántos metros recorrió?. 10. Tengo pesos para comprar sombreros costando cada uno pesos Cuántos sombreros puedo comprar? Operaciones con fracciones SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplo: Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador, aplicando las leyes de los signos para las sumas. Ejemplo:

8 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR Se reducen los denominadores a común denominador: 1. Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores. m. c. m. (, 9) = 9 Para encontrar el mínimo común múltiplo, como su nombre lo dice es un múltiplo que tengan en común los denominadores y al ser varios se utiliza el más pequeño.. Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores, y simplificamos siempre que se pueda. Multiplicamos y y simplificamos dividiendo entre, y.

9 DIVISIÓN DE FRACCIONES El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los etremos y por denominador el producto de los medios. Al final se simplifica lo mas que se pueda el resultado. Multiplicamos 18 y lo agregamos al numerador del resultado y lo agregamos al denominador del resultado. Ejercicios Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/. a) Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana? b) Qué fracción de bombones se comieron entre las dos?

10 7. Un padre reparte entre sus hijos Al mayor le da /9 de esa cantidad, al mediano 1/ y al menor el resto. a. Qué cantidad recibió cada uno? b. Qué fracción del dinero recibió el tercero? 8. Una familia ha consumido en un día de verano, dos botellas de litro y medio de agua, botes de 1/ de litro de zumo, 5 limonadas de 1/ de litro. a. Cuántos litros de líquido han bebido? Epresa el resultado con un número mito. LENGUAJE ALGEBRAICO. El lenguaje algebraico, es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como epresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades. EL lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el periodo de AL- Khwarizimi durante la edad media. Su función principal es establecer y estructurar un idioma que ayuda a generalizar las distintas operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales Una epresión algebraica es una cadena de representaciones perteneciente al lenguaje algebraico, el cual puede contener variables, números, así como también operaciones aritméticas.

11 El Término, es una epresión algebraica donde hay solo operaciones de multiplicación y división de letras y números, tanto el numero como la letra puede estar elevado a una potencia y se separan por los símbolos. El termino independiente solo consta de un valor numérico, en tanto los términos semejantes son los que tienen debidamente la misma parte de letras (parte literal) y varían solo su coeficiente. Estos solo se pueden sumar y restar, si los términos no son semejantes ya no es posible, lo que sí es posible es dividir o multiplicar todo tipo de termino. El grado de un término puede ser de grado absoluto, lo cual es la suma de los eponentes de cada letra, o puede ser un término de grado relativo en lo cual se toma en cuenta la letra y su eponente. Los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se indica dentro de estos cuál de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos símbolos son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también signos de relación tales como <, menor que; > mayor que; y =; igual a. El lenguaje algebraico se constituye principalmente de las letras del alfabeto del cual las primeras letras por lo general son las que determinan valores conocidos o datos del problema, (aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Se utilizan también algunos vocablos griegos. En general las letras se utilizan como las incógnitas o variables de la epresión algebraica. EJEMPLOS Los siguientes son ejemplos de las epresiones algebraicas mas usadas, en forma verbal y escrita: 1. La suma de dos números. La resta o diferencia de dos números. El producto de dos números. El cociente de dos números 5. El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia 6. El doble de un número 7. El doble de la suma de dos números

12 8. El triple de la diferencia de dos números 9. La mitad de un número 10. La mitad de la diferencia de dos números 11. El cuadrado de un número 1. El cuadrado de la suma de dos números 1. El triple del cuadrado de la suma de dos números. 1. La suma de números 15. La semi suma de dos números. Frase La suma de y un número más que un número La diferencia entre un número y 5 menos que n Un número aumentado en 1 Un número disminuido en 10 El producto de dos números Dos veces la suma de dos números Dos veces un número sumado a otro Cinco veces un número Ene veces (desconocida) un número conocido El cociente de dos números Epresión algebraica (la "d" representa la cantidad desconocida) n multiplicado por el número conocido La suma de dos números 10 más que n Un número aumentado en Un número disminuido en

13 El producto de p y q Uno restado a un número El antecesor de un número cualquiera El sucesor de un número cualquiera veces la diferencia de dos números 10 más que veces un número La diferencia de dos números La suma de y más que Dos veces la diferencia de 9 y El producto de 6 y 16 veces la diferencia de 7 y 1 La diferencia de 9 al cuadrado y al cuadrado El cociente de al cubo y 9 1 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 1 EJERCICIOS Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados: 1 El doble de un número. El cuadrado de un número menos tres. La suma de dos números. La diferencia de los cuadrados de dos números. 5 La mitad de un número. 6 El cuádruplo de un número. 7 La suma de un número y su cuadrado. 8 El doble de un número menos cinco.

14 9 La tercera parte de un número. 10 El cuadrado de la suma de dos números. 11 El doble de la suma de tres números. 1 El triple de la raíz cuadrada de un número. 1 La suma de tres números consecutivos. 1 Una cuarta parte de la suma de dos números. 15 Un número aumentado en cinco unidades. 16 El doble de un número menos el triple de otro. 17 Las tres cuartas partes de un número. 18 El cubo de la diferencia de dos números. 19 El producto de dos números. 0 La décima parte de un número más el quíntuplo de otro. EXPONENTES El concepto de eponente es de mucha utilidad para epresar números en una forma más corta. Por ejemplo: el producto se epresa de la forma 5 y se lee dos a la cinco. La epresión está en la forma epandida y la epresión 5 es una epresióneponencial. El valor es la quinta potencia de.

15 Definición:La epresión n significa que aparece multiplicada n veces. se conoce como la base y n como el eponente. Se llama potencia al valor que se obtiene al multiplicar la base n veces. Esto es, n = multiplicado por sí mismo n veces. Ejemplos: 1) La notación eponencial de (-)(-)(-)(-) es (-). ) La notación eponencial de b b b es b. ) El valor de (-) es (-)(-)(-)(-) = 16. La epresión (-) se lee negativo dos a la cuatro. ) El valor de - es ( ) = -(16) = -16. La epresión - se lee el opuesto de dos a la cuatro. 5) Cuál es el valor de (⅔)? Definición: Para toda base, 1 =. Esto es, cualquier número elevado a la uno es el mismo número. Ejemplos: 1 = ; (17) 1 = 17; (59) 1 = 59 Definición: Cualquier número diferente de cero, elevado a la cero es igual a uno. Esto es, para toda base, 0, 0 = 1. Ejemplos: 0 = 1; (-5) 0 = 1; (⅝) 0 = 1; 0 0 no está definido Definición: Cualquier número diferente de cero y n un número entero, tenemos: n 1 n Ejemplos:

16 1) ) ) b b Ejercicio Halla el valor de: 1. =. (-) =. - =. (⅜) = 5. - = 6. (⅔) - = Leyes de Eponentes 1) ) ) ( ) ( y) 5) m m n y m ) n n n n mn, mn y n n mn n, para y n para 0 y 0 Hay que utilizar las leyes según sea la semejanza en cada uno de los ejercicios a resolver, tomando en cuenta que m y n son números enteros. Ejercicios 1) 5 = ) a a 6 a = ) (a + b) (a + b) 7 =

17 ) ( ) (-5 ) = 5) (-a b ) (-ab) = 6) (7 - y -8 ) ( 5 y 5 ) = 7) (5yz) 0 = 1 8) 9) a b 10) 5 a b 7 11) ( a ) 1) (y y 1) y 1) (a b a b 15) a b ) 5 c c c 0 1 ) Simplifica cada epresión: 5 0 1) 5 0 1) ) ( 5ab)( a b ) ) 5 ( 5ab)( a b ) ) 165 ) 16 0 ) (5 )(a) ) 0 (5 y)(a) 5) 0 y6 5 0 y 5) 5 6) (a b ) 0 y 7 y z5 7) 6) (a b ) y z 7 y z 7) y z

18 Ejercicio adicional: Eponentes y reglas de eponentes 1. La epresión 7 significa Aseveración Reglas/Definición Ejercicio. En el producto de dos potencias con bases iguales: b m b n. En la división de dos potencias con bases iguales: b b. Al elevar una base a un eponente m n y a su vez a otro eponente: n 5. Cuando tenemos el producto de dos bases elevadas a un eponente: a b n 6. Cuando tenemos el cociente de dos bases elevadas a un eponente: a b n 7. Una base elevada al eponente cero: b 0 b m a) b) 7 a) a b) a a) b) a a) y 5 b) y a) y b) y 5 a) (16) 0 = b) y 0 = 8. La epresión Una base elevada a un eponente negativo: b -n a) - = b) -8 = Simplifica los siguientes ejercicios utilizando reglas de eponentes: 15 t 10) m m 5 15 = 15) t 11 a 11) y 6 y - 7 = 16) a 7 5 1) z = 17)

19 1) (uv) 6 = 18) (5 y ) = 1) m n 19) m n EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una epresión algebraica nos representa un enunciado en forma matemática con operaciones, números y letras. 8a + y - 5bc + m Un término es una parte de la epresión y están separados por signos (+) o (-) 8a + y - 5bc + m Epresión con términos En algebra los términos más importantes son los semejantes ya que son los únicos que se pueden sumar o resta. Los términos semejantes son los que tienen las mismas literales con los mismos eponentes. a y a ; 5 y z y - y z ; m n y 6n m Monomios y polinomios Las epresiones algebraicas reciben un nombre en especial dependiendo del número de términos - 8 z un término = monomio y + 5 dos términos = binomio 5 - ab + 5y tres términos = trinomio POLINOMIOS 8a + a b mn cuatro términos Los monomios tienen un término y los polinomios dos o más términos y si en la epresión eisten términos semejantes se reducirán (suman o restan) para saber su nombre a 5a + 7a a + 8 = a a + 8 = Trinomio = 6 = Monomio

20 OPERACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Suma y Resta a) Sólo se pueden sumar o restar los términos semejantes (misma literal y eponente): y los términos semejantes son.. + b) Una vez identificando los términos semejantes se realiza la suma o resta de sus coeficientes: + = 5 por lo tanto el resultado de la suma es y c) veamos otro ejemplo: -5a + 10a a b no se puede realizar suma o resta, ya que no hay términos semejantes, porque aunque se repite la literal a en el primer y segundo término, sus coeficientes son diferentes. Ejercicios: y m n -5m -5n +0mn-15. 1a 5 b -a 5 b +a 5 b -a b y-z y (19m n +m )-m +mn-1 9. a b -a b +a 5 b -a b+a b y-zy 11. 1r + 9r s -1st +st y ( 5 ) (-) 1. 11m 9 n -11m 9-5n +10mn-(-mn) 1. 5a 5 b 5 -a 5 b +a b -a b y y -z

21 y 17. ( ) m n +m -(m +mn ) 19. a b -1a b +a b -a b +a b ( )+5y-zy 1. Realiza la suma de los polinomios del ejercicio 1 y 6 de la lista anterior.. Simplifica los polinomios 5 y 10 de la lista anterior. Multiplicación Pueden multiplicarse los términos sean o no semejantes. Se considera la Ley de los signos del coeficiente: -a 5a = -10a Si los términos se encuentran asociados por paréntesis, se procede a multiplicar el término del multiplicador por los términos que se encuentren dentro del paréntesis: ( -) = 6 - Si el multiplicador y el multiplicando se encuentran en paréntesis se realiza la multiplicación término por término: (5 ) (+7) = Simplificamos términos: Ejercicios: y(5 -). (7a 15b ) ( 5b + 9a b ). (a+ c + 9c) ( 7b 7a- 15c). (b c - b) (1 b - c) 5. (10b - +) (6 9b)(b -7 ) 6. (5a - b + 15ab 7ab) (ab-a)

22 7. (y + 5y) (-y + z) (+y) 8. (a )(a - 1 ) - ( a - 1 ) 9. mn(m - 7m 0) (m - 7m - ) 10. (a + b)(a - b) (a + b) 11. ( + + 9) ( ) 1. (6 n + n 0 n ) ( n 6 - n ) 1. (p + pq + q ) (pq + q ) 1. ( y - - 5y + y - 5 y ) ( y -1-5y) 15. (a + ab + 6b ) (ab + b ) (a) 16. ( + ) ( - r ) ( -r) ( -r) 17. a( +1) + b(+1) 18. (9/16 ) (81/y ) 19. a (7b - 5c) (8a) 0. (b c - b) (1 b - c) DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO. División de un polinomio entre un monomio, se divide cada termino del polinomio entre el monomio, primero con los signos enseguida con el coeficiente y por ultimo con las literales. Si son iguales se restara el eponente. 8 y + y y - y = 8 y y + y y y - y = y + y - 6 y DIVISIÓN ENTRE DOS POLINOMIOS Se ordena el dividendo y el divisor en relación a una misma variable. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el resultado se resta (cambia de signo) del dividendo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Se continúa de la misma forma con el residuo hasta terminar la operación. 1) Dividir: + 8 entre +

23 ) Dividir: a 5 1a b + 10a b + 6a b + ab entre a 5a b - ab a 6 ab 8 b a 5a b ab a 5 1a b + 10a b + 6a b + ab - a a b + 1a b 6a b + a b + 6a b + 6a b 0a b a b 8 a b + 0a b + ab + 8 a b 0a b ab 0 Realiza las siguientes divisiones: 6a b - 7a b 9ab 18a b 0 6 y 5-15 y 5y + 0 y = a + b 8a + 1ab b a 6a + 8 a a 6a +

24 m mn 8n m 5 5m n + 0m n 16mn POTENCIACIÓN. Operaciones con potencia de igual base X n donde = base n = eponente Multiplicación: al multiplicar bases iguales los eponentes se sumaran (a) ² (a) = a + = a 5 a a a a a = a 5 División: al dividir bases iguales los eponentes se restarán a 5 a = a 5- = a a a a a a = a a a a Ejercicios de práctica 1.- Realiza las siguientes multiplicaciones (-) (-) = b 8 b =

25 a 5 a - = (-m) (-m) 6 =.- Realiza las siguientes divisiones y 6 y 5 = (-d) (-d) = (-c) 5 (-c) = z 5 z 8 = Potencia: al elevar una base sobre una potencia estas se multiplican (a ) = (a a) (a a) (a a) = a = a ( y) = ( ) ( ) ( ) y y y = 1 y 1 = 8 6 y RADICACIÓN. Radicación: al realizar una raíz de una potencia se divide la potencia entre la raíz 6 a = a 6 = a 9 6 y = 9 y 6 = y 16c d = c d 8 = cd 8 Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo. Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando. Si tengo una raíz de otra raíz se multiplican los índices. Si al realizar la raíz no da un número entero se buscara una parte de la raíz factorizando tanto el coeficiente como el eponente:

26 1) 5 0a b = 5 a a b = a b 5a = a b 5a 0 = ( ) ( ) ( 5 ) = ( ² ) ( 5 ) Se encontró los factores primos del coeficiente 0 a 5 = ( a ) ( a ) se encontró un múltiplo de la raíz ( ) más cerca de 5 siendo el ) 7 88 = = 88 = 11 Se encontró los factores primos del coeficiente Se encontró un múltiplo de la raíz más cercano a 7 siendo el 6 ) 5 18c 5 = 5 c c = (5) () (c) c = 5 c c = 15c c 18 = Se encontró los factores primos del coeficiente 18 c 5 = c c Se encontró un múltiplo de la raíz más cercano a 5 siendo el Ejercicios de práctica y = a b c = 9. 5 p m n o = a 5 b 1 c 16 d 0 = z y = Operaciones con Radicales 1. Sumas y restas

27 Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplos: a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual. b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 0, 5 y 5. Pero vamos a etraer de cada radical todos los factores que se puedan: Ahora si son semejantes y podemos sumarlos c) No son semejantes se suman los que son semejantes y ya no podemos hacer nada más. Multiplicaciones y divisiones Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice. Ejemplos: d) e) f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común. ahora si se pueden multiplicar

28 g) EJERCICIOS DE RADICACION (A) 9 7 (B) (C) 5 7 (D) (E) = (A) (B) 98 (C) 15 7 (D) 6 98 (E) 6.- Cuál de los siguientes números representa la cantidad más grande? (A) (B) (C) (D)

29 (E) Resuelve la siguiente operación: = (A) (B) 8 (C) 6 (D) 180 (E) = (A) 7 (B) 7 (C) 17 (D) 7 (E) 1