Autorizada la entrega del proyecto del alumno/a: Javier Rexach Vega EL DIRECTOR DEL PROYECTO. Profesor Dr. Carlos Maté Jiménez

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1 Autorizada la entrega del proyecto del alumno/a: Javier Rexach Vega EL DIRECTOR DEL PROYECTO Profesor Dr. Carlos Maté Jiménez Fdo.:. Fecha: / /. Vº Bº del Coordinador de Proyectos Dña. Susana Ortiz Marcos Fdo.:. Fecha: / /.

2 INGENIERO EN ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL SISTEMA BAYESIANO DE PREDICCIÓN DE SUCESOS EXTREMOS. APLICACIÓN EN LOS MERCADOS FINANCIEROS Autor: Javier Rexach Vega Director: Prof. Dr. Carlos Maté Jiménez Madrid Junio 2011

3 En memoria de mi abuela, María López Pinto. A mis padres y dos hermanos, por ser el aliento que necesito cada día para alcanzar mis metas; y por ayudarme, sin saberlo, a realizarme como persona. A ellos les debo todo lo que soy. A Eugenia Martí Cano, por ser el proyecto más importante de mi vida. i

4 Agradecimientos Deseo expresar mi más sincero agradecimiento a mi Director, Prof. Dr. Carlos Maté Jiménez, por su ayuda y dedicación durante la realización del mismo, y por todas las enseñanzas que ha sabido transmitirme. Querría del mismo modo, agradecer a mis padres el enorme esfuerzo que han hecho conmigo todos estos años en los que he podido contar, siempre, con su apoyo incondicional ante las dificultades que he ido encontrando por mi camino. Por último, querría agradecer a la Escuela Superior de Ingeniería de ICAI, por su formación a lo largo de estos 5 años de carrera. Eres lo que es tu deseo profundo e impulsor. Tal como es tu deseo, así es tu voluntad. Tal como es tu voluntad, así son tus obras. Tal como son tus obras, así es tu destino Upanishad Brihadaranyaka IV.4.5. ii

5 SISTEMA BAYESIANO DE PREDICCIÓN DE SUCESOS EXTREMOS. APLICACIÓN EN LOS MERCADOS FINANCIEROS Autor: Rexach Vega, Javier. Director: Maté Jiménez, Carlos. Entidad colaboradora: ICAI Universidad Pontifica de Comillas. RESUMEN DEL PROYECTO El campo de los sucesos extremos es muy amplio. Da lugar a numerosas interpretaciones dependiendo de la rama de la ciencia en la que se esté moviendo, meteorología, sismología, ingeniería, economía etc. La pregunta que mejor refleja el objeto del proyecto es: Qué conduce a los sucesos extremos en el ámbito de la economía? Motivados por la reciente teoría y los acontecimientos económicos que se están dando en el mundo actualmente, este proyecto abre la caja negra de los sucesos extremos en el ámbito financiero. En el segundo semestre del 2007, el post-shock de la crisis de las subprime, una parte relativamente pequeña del mercado financiero de Estados Unidos, llegó a desestabilizar los fondos de cobertura y los mercados internacionales más importantes. En Estados Unidos, los créditos se dispararon ominosamente, incluso para deuda segura. En Gran Bretaña, el índice interbancario alcanzó su nivel más alto en 9 años. España ha sido uno de los países europeos más afectados por la crisis económica mundial, y aún se resiente desde su comienzo. Los sucesos extremos a menudo se entienden como impredecibles, pero es esto cierto? Los siguientes capítulos recogen un profundo análisis exhaustivo sobre este tipo de fenómenos en los mercados financieros. La investigación transcurre sobre 6 casos de estudio del mercado bursátil Español y de divisas. Tanto el desarrollo teórico, la metodología diseñada y el modelo de predicción propuesto, han intentado responder a un problema real e importante en el mundo financiero actual: cómo aproximarse a predecir sucesos o periodos de carácter extremo en los mercados financieros. Uno de los puntos de partida en contra es el hecho de que no hay una definición universal de suceso extremo. Sin embargo, se puede decir que es un término muy bien asimilado por la mente humana, y cualquiera que quisiera podría, desde una perspectiva iii

6 visual, señalar fenómenos extremos en una gráfica. Se ha partido entonces de una definición heurística de suceso extremo y con ella se ha propuesto una definición para el concepto de periodo de sucesos extremos. El diseño, desarrollo e implantación de cualquier metodología de predicción requiere una estructuración de los pasos a seguir adecuada y enfocada a los casos de estudio. Dada la dificultad previa de la investigación, y lo poco investigado en cuanto a la temática del proyecto, se ha tenido que recurrir al diseño de dos grandes bloques de metodología, que juntos han llevado a unos resultados y conclusiones finales fundamentales. Estos dos grandes bloques de metodología son la metodología de alerta y exploración de periodos y sucesos financieros de carácter extremo, y la metodología de predicción de periodos y sucesos financieros de carácter extremo. El primer bloque metodológico abarca fundamentalmente la elaboración de una definición y taxonomía, así como una exploración y mecanismos de detección de sucesos extremos. Así mismo, se evidenciaron empíricamente las conclusiones fundamentales que han servido de piedra de toque para el modelo de predicción propuesto. Se ha podido comprobar que los sucesos extremos tienen dinámicas muy interesantes. Aplicando técnicas de control estadístico de procesos, como las gráficas de control, las reglas de Nelson, y partiendo de la definición de periodo convulso que se ha propuesto, se ha evidenciado que la probabilidad de suceso extremo generalmente difiere de 0, y que tiene fuertes componentes autorregresivos. En divisas se ha podido observar un fuerte patrón de alerta para periodos con sucesos extremos, basándonos en la regla número 2 de Nelson, que se ha cumplido en todos los casos antes de la aparición de periodos de carácter extremo. Por otro lado, se ha podido comprobar cómo este tipo de fenómenos tienden a crear clusters en torno a periodos económicos como las burbujas financieras o las crisis económicas, evidenciando carácter dinámico, y frecuencia de aparición. Este hecho está muy documentado también en Volatilidad [FERN08]. Se ha observado relación entre periodos que se modelan como un Ruido Blanco o no, con el hecho de que un periodo sea estable o tenga sucesos extremos detectados. Gracias a esto se diseñó una técnica automática que permitiera explorar y detectar la presencia de periodos candidatos a tener sucesos extremos (periodos de No Ruido Blanco) frente a periodos estables iv

7 (periodos de Ruido Blanco). Esto se hizo partiendo del concepto de Rolling Window, tal como se describe en el capítulo 8. Se concluyó en este sentido, que desde un enfoque mensual, la ventana que mejor reflejaba de forma real la transición de periodos estables (A) y no estable ( ) para cualquier divisa o valor de bolsa estudiado, fue la de ancho fijo 1 año y medio. También se pudo observar que desde un enfoque diario, aún se está lejos de que los mecanismos y metodologías diseñadas sean de utilidad en la toma de decisiones. Se concluye finalmente que el concepto de extremo es flexible, y tanto el carácter aleatorio de un ruido blanco, como el número de desviaciones típicas que nos separemos de la media pueden diagnosticarnos este tipo de fenómenos. El segundo y último gran bloque metodológico es la Metodología de predicción de periodos y sucesos financieros de carácter extremo. Da forma a las conclusiones del anterior bloque proponiendo un modelo de predicción complejo a la vez que completo que recoja todo lo anterior. En él, se incluye la posibilidad no sólo de simular recorridos financieros en función del estado estable o convulso en el que se encuentre el sistema, sino que también ofrece la probabilidad de estar en periodo con sucesos extremos, en un momento dado cualquiera. El modelo con saltos de régimen de Markov de dos estados (MSM) propuesto, exige un nivel de cálculo computacional muy alto, por lo que se ha dividido el enfoque de la estimación de parámetros de forma No Bayesiana, y de forma Bayesiana. Los resultados son muy interesantes y coherentes con las conclusiones sacadas anteriormente, lo cual abre una puerta a seguir investigando a partir de los desarrollos fundamentados. Igualmente, se hace notorio la necesidad y casi diría que obligación, de utilizar más de un modelo de predicción para aproximar los diferentes aspectos que hay detrás de los sucesos extremos de una serie financiera. Se puede decir que este proyecto de investigación constituye una herramienta completa no sólo de fundamentación teórica, sino también de proyección para el campo de los sucesos financieros extremos. Igualmente, este proyecto ofrece una taxonomía simple con la que partir y abarcar otros campos, como la medicina (epidemiología), meteorología o los sucesos extremos comerciales, tal como describe [HYND10]. v

8 BAYESIAN SYSTEM FOR FORECASTING EXTREME EVENTS. APPLICATION TO FINANCIAL MARKETS Author: Rexach Vega, Javier. Director: Maté Jiménez, Carlos. Collaborating entity: ICAI Universidad Pontifica de Comillas. ABSTRACT Extreme events field is very large. It allows different interpretations depending on the science branch in which we intend to move such as metrology, seismology, engineering, economy etc. The best question representing the Project objective could be: What drives extreme and rare economic events? Being motivated by the recent theory and the current economical events affecting the world, this Project opens the black box of the extreme events in the financial field. During the second half of 2007, the aftershock from the subprime market, a relatively small part of the US financial market, reached over to touch hedge funds and the most important international financial markets. In US credits rocketed ominously, even for the so called safe debt. In UK, the interbank rate reached its highest level in nine years. Spain has been one of the European countries most heavily affected by the world economic crisis, and is still suffering the effects since its beginning. Extreme event are often understood as unpredictable, but, are they? Next chapters gather a deep comprehensive analysis on this type of phenomenon in financial markets. The investigation is focused on six study cases of the Spanish Stock Exchange market and the international currency market (FOREX). The theoretical development, the design methodology as well as the predicting model, have tried to give response to a real and important current financial worldwide problem: How to get close to the prediction of events and periods of extreme character in the financial markets. One of the drawbacks, when starting, has been the fact of the non existing universal definition of extreme event. However, it must be admitted that is a very well digested term by the human minds, and anyone willing could, from a visual perspective, note where this type of events are in a graphic chart. Then, the starting point taken has been an heuristic definition of extreme event, linked to the standard deviation and through it, it has been proposed a definition of extreme events period concept vi

9 The design, development, and implementation of any prediction methodology requires an adequate structure of the steps to be given and focused in the cases of study. Due to the prior difficulty of the investigation, and the lack of previous studies regarding the project theme, it has been needed to support it on two big methodology blocks (one precedes the other) which together have achieved fundamental results and final conclusions. The two big methodology blocks are the methodology to warn and explore periods and financial events of extreme character, and the methodology to predict periods and financial events of extreme character. The first methodological block covers mainly the elaboration of a definition and taxonomy as well as an exploration and detecting mechanisms for extreme events. Identically, the main fundamental conclusions were empirically put in evidence, which eventually have served as the corner stone for the proposed prediction model,. It has been checked that extreme events enjoy very interesting dynamics. By means of applying techniques of statistics process control (SPC), such as the quality control charts, the Nelson rules, and taking as starting point the proposed convulse period definition, it has been evidenced that the extreme event probability differs, in general, from 0, and has strong autoregressive components. Regarding currencies it has been observed a strong warning model for periods with extreme events, based on Nelson`s rule number 2, which has been accomplished in every case before the appearance of periods of extreme character. On the other hand, it has been checked the tendency of this type of phenomenon to create clusters around economical periods like the financial bubbles or the economical crisis, evidencing dynamic character and appearance frequency. This fact is also very well documented in Volatility [FERN08]. It has been observed the relation between periods which are modeled like a White Noise or not, with the fact that a period is stable or has detected extreme events. Thanks to this, an automatic technique was designed allowing to explore and detect the presence of periods candidates to have extreme events (No White Noise periods) versus stable periods (White Noise periods). This was made starting from the concept of Rolling Window, as described in Chapter 8. In this sense it was concluded, that from a monthly focus, the Rolling Window that better reflected, in a real vii

10 form, the transition of both, stable periods (A) and non stable ( ) for any currency or stock value studied, was the one with fixed width of 1 and a half years. It was also observed that from a daily focus, the designed mechanisms and methodologies are far from being useful in the making of decisions. As a final conclusion, the concept of extreme is flexible. The random character of a White noise, and the number of standard deviations we separate from the mean could diagnose this type of phenomenon. The second and last big methodological block is the methodology to predict financial periods and events of extreme character. It conforms the conclusions of the previous block, proposing a complex as well as complete model of prediction to gather all the previous. It includes not only the possibility of simulating financial returns depending on the stable or convulse state in which the system is, but also offers the probability of being in a period of extreme events, at any given moment.. The two-stage Markov Switching model (MSM) proposed demands a very high level of computerized calculations, reason for what the parameters estimation approach has been divided in Non Bayesian and Bayesian form. Results are very interesting and coherent with previous obtained conclusions, which open a door to keep moving in the investigation taking as a base line this project developments. Additionally, is worth to mention the need and, I would say obligation, to use more than one predicting model to get closer to the different aspects behind the extreme events of a financial time series. It can be said that this investigation Project forms a complete tool not only of theoretical base line, but also of future projection for the extreme events field. In addition, offers a simple taxonomy based on which other fields could be embodied, such as medicine (epidemiology), meteorology, or the commercial extreme events as described by [HYND10]. viii

11 Lista de Figuras Figura 1.1- Metodología del proyecto (pág. 6) Figura 1.2- Planificación temporal de las actividades (días) (pág. 6) Figura 1.3- Diagrama GANT de las actividades del Proyecto (pág. 7) Figura 2.1- Mercados de Valores en España (pág. 12) Figura 2.2- Gráfico de OANDA. Entre barras amarillas los fines de semana. (pág. 17) Figura Ciclo de liquidación (pág. 27) Figura 3.1- Pasado, presente y futuro de la serie temporal financiera del índice bursátil americano S&P500 (pág. 29) Figura 3.2- Frecuencia e impacto de sucesos extremos en la naturaleza (pág. 33) Figura 3.3- Distribución de sucesos 1-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) (pág. 38) Figura 3.4- Distribución de sucesos 2-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) (pág. 39) Figura 3.5- Distribución de sucesos 3-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) (pág. 39) Figura 3.6- Distribución de sucesos 4-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) (pág. 40) Figura 3.7- Distribución de sucesos 5-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) (pág. 40) Figura 3.8- Ejemplo de gráfico de control por variables (pág. 42) Figura 3.9- Regla número 1 de Nelson (pág. 44) Figura Regla número 2 de Nelson (pág. 44) Figura Regla número 3 de Nelson (pág. 44) Figura Regla número 4 de Nelson (pág. 45) Figura Regla número 5 de Nelson (pág. 45) Figura Regla número 6 de Nelson (pág. 45) Figura Regla número 7 de Nelson (pág. 46) Figura Regla número 8 de Nelson (pág. 46) Figura 4.1- Serie temporal clásica de predicción de la inflación (pág. 52) ix

12 Figura 4.2- Métodos de descomposición clásicos (pág. 54) Figura 4.3- Esquema de Tendencia y Componente Estacional de una serie (pág. 56) Figura 4.4- Ejemplo comparativo MA(3) y MA(5) (pág. 63) Figura 4.5- Ejemplo comparativo MA(5) y Media constante (pág. 63) Figura 4.6- Ejemplo comparativo de varios alisados (pág. 65) Figura 4.7- Ejemplo comparativo de Holt y alisado (pág. 67) Figura 4.8- Ejemplo comparativo de Holt-Winters estacional y alisado (pág. 69) Figura 4.9- Clasificación de Pegels (pág. 70) Figura Modelos con tendencia amortiguada (pág. 70) Figura Métodos clásicos de predicción (pág. 71) Figura ACF aplicado a modelo de predicción ingenuo (pág. 73) Figura Serie no estacionaria en media (pág. 74) Figura Serie no estacionaria en varianza. Recorridos del BBVA mensuales (pág. 75) Figura Serie estacionaria en varianza y media. Recorridos diarios de la divisa -$ (pág. 75) Figura Serie no estacionaria índice Rusell2000 semanal con su ACF y PAC (pág. 76) Figura Serie de las diferencias índice Dow-Jones. ACF abajo a la izquierda y PACF abajo a la derecha (pág. 77) Figura Tabla resumen del test DF (pág. 80) Figura Esquema Charemza y Deadman del test DF (pág. 81) Figura ACF para una serie temporal de Ruido blanco (pág. 83) Figura Ejemplo de ruido blanco (pág. 83) Figura Ejemplo de paseo aleatorio (Random Walk) (pág. 85) Figura 5.1- Análisis de datos (pág. 90) Figura 5.2- Enfoque Bayesiano frente al Frecuentista. (pág. 92) Figura 5.3- Enfoque Bayesiano para predecir el sentimiento del mercado (pág. 92) Figura 5.4- Distribuciones en juego del ANBAD (pág. 94) Figura Algunos modelos empleados en predicción Bayesiana (pág. 101) Figura 5.6- Ejemplo Normal Univariante (pág. 106) Figura 5.7- Distribuciones conjugadas para otras funciones de máxima verosimilitud (pág. 107) Figura 6.1- Interpretación del factor de Bayes (pág. 113) x

13 Figura 6.2- Certeza de la información a priori (pág. 114) Figura 7.1- Ejemplo de distribución asimétrica hacia la derecha y hacia la izquierda respectivamente. (pág. 127) Figura 7.2- Recorridos mensuales del Banco BBVA (Enero Septiembre 2010) (pág. 127) Figura 7.3- Recorridos mensuales de la divisa $-Real Brasileño (Enero Diciembre 2010) (pág. 127) Figura 7.4- Recorridos diarios de la divisa -$ (18 Julio Enero 2011) (pág. 128) Figura 8.1- Persepctiva visual frente a la empírica-heurística de periodo turbulento/convulso/extremo en los Recorridos mensuales del BBVA (Enero Septiembre 2010) (pág. 133) Figura 8.2- Perspectiva visual frente a la empírica-heurística de periodo turbulento/convulso/extremo en los Recorridos mensuales de la divisa -$ (Enero Diciembre 2010) (pág. 134) Figura 8.3- Perspectiva visual frente a la empírica-heurística de Periodo turbulento/convulso/extremo en los Recorridos mensuales de la divisa $- YEN (Enero Diciembre 2010) (pág. 134) Figura 8.4- Definición empírica de 2 sub-periodos turbulentos/convulsos/extremos en los Recorridos mensuales del BBVA (Enero Septiembre 2010) (pág. 135) Figura 8.5 Patrón de ventanas con Periodos de Ruido Blanco y de NO ruido blanco en serie temporal BBVA (Enero Septiembre 2010) (pág. 138) Figura Patrón de ventanas con Periodos de Ruido Blanco y de NO ruido blanco en serie temporal -$ (Enero Diciembre 2010) (pág. 138) Figura Patrón de ventanas. Periodos de Ruido Blanco y de NO ruido blanco en serie temporal -YEN (Enero Diciembre 2010) (pág. 139) Figura 8.8 Otro Patrón de ventanas del BBVA. Periodos de Ruido Blanco y de NO ruido blanco en serie temporal BBVA (Enero Septiembre 2010) (pág. 140) Figura 8.9- Gráfica de control a la divisa -$ con la mediana y media como línea de referencia respectivamente (pág. 143) Figura Gráfica de control con sucesos extremos del BBVA mensual (pág. 144) Figura Gráfica de control con sucesos extremos del -$ mensual (pág. 144) xi

14 Figura Gráfica de control con sucesos extremos del -$ diario (pág. 144) Figura Perspectiva visual de suceso extremo frente a técnica detección de sucesos extremos mediante gráficas de control (pág. 145) Figura Gráfica de control con 3 sucesos extremos del $-YEN mensual (pág. 146) Figura Definición empírica y heurística de periodo turbulento/convulso/extremo en los Recorridos mensuales de la divisa $-YEN (pág. 147) Figura Evidencia fundamental de relación entre periodos de No ruido Blanco y presencia de sucesos extremos observable en el patrón de ventanas de la serie $-YEN (pág. 147) Figura Reglas 1,2 y 3 de Nelson en la divisa -$ mensual (pág. 148) Figura Reglas 1,2 y 3 de Nelson en la divisa $-R.Brasileño mensual (pág. 148) Figura Reglas 1,2 y 3 de Nelson en la divisa $-YEN mensual (pág. 149) Figura Regla 2 de Nelson en el BBVA mensual (pág. 149) Figura Patrón de ventanas de la serie $-YEN, evidencia fundamental de relación entre periodos de Ruido Blanco y no presencia de sucesos extremos (pág. 153) Figura Ejemplo de funcionamiento de una Rolling Window de un año de ancho fijo (pág. 154) Figura Patrón de ventanas del BBVA con cambios de periodos, los cuales se buscan detectar y reflejar, mediante la técnica de Rolling Windows (pág. 155) Figura NumXL cálculo de P-Valores de la Rolling Window seleccionada (pág. 156) Figura Salida por pantalla de P-Valores* de la Rolling Window seleccionada (pág. 156) Figura Salida por pantalla de P-Valores de la Rolling Window seleccionada (pág. 157) Figura Salida por pantalla de P-Valores de la Rolling Window seleccionada (pág. 157) Figura Diagrama de colores intuitivo de la computación de una Rolling Window de un 1 año de ancho en los recorridos mensuales del BBVA (pág. 158) Figura Ejemplo Técnica de Rolling Windows Caso del BBVA mensual (pág. 159) xii

15 Figura Paradas obligadas de la computación de las distintas Rolling Windows (pág. 160) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 1 año y medio (BBVA) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) (pág. 161) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 1 año y medio ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) (pág. 162) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 3 meses ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) (pág. 164) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 6 meses ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) (pág. 164) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 9 meses ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) (pág. 165) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 2 años ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) (pág. 165) Figura Patrón de Ventanas de referencia para el -$ (diario) (pág. 166) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 15 días ( -$) diario comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (pág. 166) Figura Recorridos mensuales del BBVA durante 8 periodos de 1 año (pág. 172) Figura Serie de la diferencias de los Recorridos mensuales del BBVA durante 8 periodos de 1 año (pág. 173) Figura Serie de los Recorridos del BBVA (Enero del Septiembre del 2010) en 8 periodos de 1 año. (pág. 174) Figura Pruebas de Normalidad para los periodos estables de la serie de los Recorridos del BBVA. (pág. 175) Figura Pruebas de Bondad de Ajuste para una Normal para los periodos estables de la serie de los Recorridos del BBVA (pág. 176) Figura ACF para los recorridos de los periodos estables de la serie del BBVA (pág. 176) xiii

16 Figura Estimación de σ20, j * (pág. 177) Figura Densidad de Recorridos del BBVA en periodos estables (pág. 178) Figura Gráfico de Cajas y Bigotes de los Recorridos del BBVA en periodos estables (pág. 178) Figura Porcentajes de datos que recoge la función de densidad Normal en función de σ (pág. 179) Figura Pruebas de Bondad de Ajuste para una Normal para los datos pertenecientes a periodos convulsos de la serie de los Recorridos del BBVA (pág. 180) Figura Pruebas de Normalidad para cada periodo convulso de la serie de los Recorridos del BBVA (pág. 180) Figura Pruebas de Bondad de Ajuste para una Normal para los datos pertenecientes a cada periodo convulso de la serie de los Recorridos del BBVA (pág. 181) Figura Estimación de ρ* a partir de modelos AR(1) sin constante y con constante respectivamente (pág. 182) Figura Intervalos de predicción al 95% de confianza para recorridos en periodos pseudo-convulsos o convulsos del BBVA. En Rojo los sucesos extremos detectados (pág. 184) Figura Recorridos simulados según el modelo para periodos pseudo convulsos o convulsos (pág. 184) Figura Periodos estables y no estables de 1 año visibles en los recorridos del BBVA (rojo para no estables, verde para estables, y naranja para pseudoconvulso) (pág. 188) Figura A.1- Recorridos al 100% del Santander mensual (Enero 2003-Septiembre 2010) (pág. 204) Figura A.2- Recorridos al 100% del BBVA mensual (Enero 2003-Septiembre 2010) (pág. 204) Figura A.3- Recorridos al 100% del -$ mensual (Enero 1999-Diciembre 2010) (pág. 205) Figura A.4- Recorridos al 100% del $-Real Brasileño mensual (Enero 1999-Diciembre 2010) (pág. 205) Figura A.5- Recorridos al 100% del $-YEN mensual (Enero 1999-Diciembre 2010) (pág. 206) xiv

17 Figura A.6- Recorridos al 100% del -$ diario (18 Julio Enero 2011) (pág. 206) Figura A.7- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del Santander mensual durante (Enero 2003-Septiembre 2010) (pág. 207) Figura A.8- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del BBVA mensual durante (Enero 2003-Septiembre 2010) (pág. 207) Figura A.9- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del -$ mensual durante (Enero 1999-Diciembre 2010) (pág. 207) Figura A.10- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del $-R. Brasileño mensual durante (Enero 1999-Diciembre 2010) (pág. 208) Figura A.11- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del $-YEN mensual durante (Enero 1999-Diciembre 2010) (pág. 208) Figura A.12- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del -$ diario durante (18 Julio Enero 2011) (pág. 208) Figura A.13- Resultados técnica Rolling Windows para el Santander mensual (Enero 2003-Septiembre 2010) (pág. 209) Figura A.14- Resultados técnica Rolling Windows para el BBVA mensual (Enero Septiembre 2010) (pág. 210) Figura A.15- Resultados técnica Rolling Windows para el -$ mensual (Enero Diciembre 2010) (pág. 211) Figura A.16- Resultados técnica Rolling Windows para el $-R.Brasileño mensual (Enero 1999-Diciembre 2010) (pág. 212) Figura A.17- Resultados técnica Rolling Windows para el $-YEN mensual (Enero 1999-Diciembre 2010) (pág. 213) Figura A.18- Resultados técnica Rolling Windows para el -$ diario (18 Julio de Enero 2011) (pág. 214) xv

18 Lista de Tablas Tabla 1.1- Planificación temporal de las actividades (horas) (pág. 7) Tabla 2.1- Las monedas de mayor transacción (pág. 16) Tabla 6.1- Resumen Sensibilidad I (pág. 119) Tabla 6.2- Resumen Sensibilidad II (pág. 119) Tabla 7.1- Casos de estudio (pág. 121) Tabla 8.1- Reglas 1, 2 y 3 de Nelson en divisas (pág. 150) Tabla 8.2- Resumen resultados técnica Rolling Windows (pág. 167) Tabla 8.3- Resumen Errores de predicción del modelo desde un enfoque No Bayesiano (pág. 185) Tabla Actividades principales del Proyecto (pág. 200) Tabla Costes de Material (pág. 201) Tabla Amortización (pág. 201) Tabla Previsión de costes por el desarrollo de una aplicación (pág. 202) Tabla Resumen Presupuesto del Proyecto (pág. 203) xvi

19 ÍNDICE AGRADECIMIENTOS (pág. ii) RESUMEN (pág. iii) ABSTRACT (pág. vi) LISTA DE FIGURAS (pág. ix) LISTA DE TABLAS (pág. xvi) ÍNDICE (pág. xvii) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN (pág. 1) 1.1.MOTIVACIÓN DEL PROYECTO (pág. 1) 1.2.OBJETIVOS DEL PROYECTO (pág. 4) 1.3.METODOLOGÍA / PLANIFICACIÓN TEMPORAL DE ACTIVIDADES (pág. 5) CAPÍTULO 2. LOS MERCADOS FINANCIEROS (pág. 8) 2.1.INTRODUCCIÓN A LOS MERCADOS FINANCIEROS (pág. 8) 2.2.TIPOLOGÍA DE LOS MERCADOS FINANCIEROS (pág. 11) 2.3.EL MERCADO BURSÁTIL. LA BOLSA ESPAÑOLA Y MUNDIAL (pág. 12) 2.4.EL MERCADO DE CAMBIOS O DE DIVISAS (pág. 14) 2.5.LA PREDICCIÓN EN LOS MERCADOS FINANCIEROS (pág. 20) 2.6.SUPERVISIÓN DE LOS MERCADOS DE VALORES (pág. 26) CAPÍTULO 3. SUCESOS FINANCIEROS DE CARÁCTER EXTREMO (pág. 28) 3.1. INTRODUCCIÓN A LOS SUCESOS EXTREMOS (pág. 28) 3.2. SUCESOS EXTREMOS EN LOS MERCADOS FINANCIEROS (pág. 30) 3.3. NATURALEZA Y CAUSAS DE LOS SUCESOS EXTREMOS (pág. 32) Naturaleza Temporal de los sucesos extremos (pág. 32) xvii

20 Causas de los sucesos extremos (pág. 33) Una taxonomía simple (pág. 34) 3.4.GRÁFICOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS COMO ACERCAMIENTO A CARÁCTER EXTREMO DE UNA SERIE TEMPORAL (pág. 41) Introducción (pág. 41) Gráficos de control por variables. Reglas de Nelson (pág. 42) 3.5.PREDICCIÓN DE SUCESOS FINANCIEROS EXTREMOS. UNA REVISIÓN DE LA LITERATURA (pág. 47) CAPÍTULO 4. SERIES TEMPORALES CLÁSICAS (pág. 48) 4.1.LA NECESIDAD DEL ANÁLISIS DE DATOS EN LA INGENIERÍA FINANCIERA (pág. 48) Escalas (pág. 49) 4.2.CONCEPTOS BÁSICOS DE SERIES TEMPORALES CLÁSICAS (STC) (pág. 50) Definición (pág. 50) Métodos de predicción en función del origen de los datos (pág. 51) Componentes de una serie temporal (pág. 52) Métodos de descomposición clásicos (pág. 54) 4.3.MEDIDAS DE PRECISIÓN PARA SERIES CLÁSICAS (pág. 58) Evaluación de metodología de predicción (pág. 58) Medidas de error (pág. 58) Comparación entre métodos de predicción (pág. 60) Estadístico U de Theil (pág. 60) 4.4.MÉTODOS Y MODELOS PARA SERIES CLÁSICAS (pág. 61) Métodos básicos en la predicción de series temporales (pág. 61) Método Ingénuo o Random Walk (pág. 61) Modelos de Medias Constantes (pág. 62) Alisado exponencial simple (pág. 64) Suavizado exponencial simple: enfoque adaptado (pág. 64) xviii

21 Método lineal de Holt (pág. 66) Método de Tendencia y Componente Estacional Holt-Winters (pág. 67) Clasificación de Pegels (pág. 69) Resumen de los modelos de predicción clásicos (pág. 71) Modelos Autorregresivos de medias móviles (pág. 71) Conceptos generales previos (pág. 72) Función de autocorrelación. (ACF- AutoCorrelation Function) (pág. 72) Coeficiente de autocorrelación parcial. (PACF- Partial Auto Correlation Function) (pág. 73) Estacionariedad en series temporales (pág. 74) Transformar una serie no estacionaria en estacionaria (pág. 77) Test para estacionariedad de series. Test de raíces unitarias y Test de Dicky- Fuller. (pág. 78) Ruido Blanco (pág. 82) Random Walk (Paseo aleatorio) (pág. 84) Test Portmanteau (pág. 85) Modelos Autorregresivos Simples AR(p) (pág. 86) Modelos de Media Móvil Simples MA (q) (pág. 87) Modelos Autorregresivos de Medias Móviles ARMA (p, q) (pág. 88) Modelos Autorregresivos de Medias Móviles Integrados ARIMA(p, d, q) (pág. 89) CAPÍTULO 5. METODOLOGÍA BAYESIANA (pág. 90) 5.1. QUÉ ES EL ANÁLISIS BAYESIANO DE DATOS? (pág. 90) Introducción (pág. 90) Análisis Bayesiano de Datos No Paramétrico (pág. 95) 5.2. ANÁLISIS BAYESIANO EN LA PREDICCIÓN (pág. 96) Introducción y Evolución (pág. 96) Algunos modelos de predicción (pág. 98) xix

22 5.3. ANÁLISIS BAYESIANO PARA LA NORMAL Y OTRAS DISTRIBUCIONES (pág. 102) Distribución Normal Univariante (pág. 102) Otras distribuciones (pág. 106) 5.4.NECESIDAD DE MÉTODOS DE SIMULACIÓN EFECTIVOS. CADENAS DE MARKOV (pág. 107) CAPÍTULO 6. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD (pág. 112) 6.1. INTRODUCCIÓN (pág. 112) 6.2. EL FACTOR DE BAYES (pág. 113) 6.3. ALTERNATIVAS AL FACTOR DE BAYES (pág. 115) 6.4. MAYOR INTERVALO DE DENSIDAD A POSTERIORI (HIGHEST POSTERIOR DENSITY INTERVALS) (pág. 117) 6.5. RESUMEN COMPARATIVO (pág. 118) CAPÍTULO 7. METODOLOGÍA (pág. 120) 7.1.METODOLOGÍA EMPLEADA (pág. 120) Casos de estudio (pág. 120) Fases de la metodología para cada caso de estudio (pág. 123) Primera Fase (pág. 123) Segunda Fase (pág. 128) Tercera Fase (pág. 129) Cuarta Fase (pág. 129) CAPÍTULO 8. RESULTADOS (pág. 130) 8.1. RESULTADOS METODOLOGÍA DE ALERTA Y EXPLORACIÓN DE PERIODOS Y SUCESOS FINANCIEROS DE CARÁCTER EXTREMO (pág. 130) Punto de partida de la metodología de alerta y exploración. (pág. 130) Resultados técnica de Control Estadístico de Procesos (pág. 142) xx

23 Resultados técnica de Rolling Windows (pág. 151) Resultados Casos de estudio mensuales (Santander, BBVA, -$, $-R. Brasileño, $-YEN) y diario ( -$) (pág. 163) 8.2. RESULTADOS METODOLOGÍA DE ALERTA Y EXPLORACIÓN DE PERIODOS Y SUCESOS FINANCIEROS DE CARÁCTER EXTREMO (pág. 169) El modelo Propuesto (pág. 169) Resultados enfoque No Bayesiano de estimación de los parámetros (pág. 172) Propuestas de enfoque Bayesiano de estimación de los parámetros (pág. 190) CAPÍTULO 9. CONCLUSIONES (pág. 192) 9.1. CONCLUSIONES SOBRE METODOLOGÍA DE ALERTA Y EXPLORACIÓN DE PERIODOS Y SUCESOS FINANCIEROS DE CARÁCTER EXTREMO (pág. 192) 9.2. CONCLUSIONES SOBRE METODOLOGÍA DE PREDICCIÓN DE PERIODOS Y SUCESOS FINANCIEROS DE CARÁCTER EXTREMO (pág. 195) 9.3. CONCLUSIONES GENERALES (pág. 197) 9.4. FUTUROS DESARROLLOS (pág. 198) CAPÍTULO 10. PRESUPUESTO DEL PROYECTO (pág. 200) COSTES DE INGENIERÍA (pág. 200) INVERSIÓN Y COSTE DE MATERIAL (pág. 201) COSTE DE DESARROLLO DE APLICACIÓN (pág. 202) RESUMEN DE PRESUPUESTO (pág. 202) ANEXO A. GRÁFICOS PRINCIPALES (pág. 204) A.1. RECORRIDOS MENSUALES Y DIARIOS (pág. 204) xxi

24 A.2. PERIODOS DE SUCESOS EXTREMOS PARA CADA CASO DE ESTUDIO (pág. 207) A.3. RESULTADOS TÉCNICA DE ROLLING WINDOWS PARA CADA CASO DE ESTUDIO (pág. 209) BIBLIOGRAFÍA (pág. 215) xxii

25 Introducción Capítulo 1 Introducción 1.1 MOTIVACIÓN DEL PROYECTO La estadística está primordialmente relacionada con el análisis de datos, ya sea para dar soporte al entendimiento de innumerables aspectos de la vida, o cómo fuente racional para tomar decisiones. Ambos aspectos envuelven siempre cierto grado de incertidumbre. El objeto de la estadística es intentar explicar dicho grado de incertidumbre y reducirlo en la medida de lo posible. Tras lo anteriormente comentado, la probabilidad es la manera más apropiada para describir y sistemáticamente hacer frente a dicha incertidumbre, cómo si se tratara de su propio lenguaje lógico. En un momento donde el presente económico del mundo se tambalea y queda declarado en crisis, y donde el futuro financiero de varios países es incierto, es indudable pensar en lo provechoso y beneficioso que sería poder tener la oportunidad de acercarte a predecir los sucesos financieros de carácter extremo que están sacudiendo a los mercados. Los mercados financieros juegan un papel económico y social de gran trascendencia, influyendo en la calidad de las decisiones de inversión y, por tanto, en la situación general de la economía mundial. Históricamente, los mercados financieros se encuadraban en dos tipos de instituciones: Bolsa (acciones, bonos y otros títulos de renta variable) y Bancos o similares. En este proyecto enfocamos nuestro estudio hacia el mercado de capitales, en concreto hacia el mercado bursátil y el de cambios o de divisas. Sin duda son en la actualidad los dos mercados más relevantes y significativos del campo financiero. Ambos, nos pueden abrir la puerta a lo que está sucediendo hoy en el mundo, donde las idas y venidas de los índices financieros nos mantienen expectantes de un día para otro, y donde el suceso financiero extremo es el pan de cada día. Página 1

26 Introducción Un método de predicción con una buena medida de exactitud es, por tanto, una ventaja competitiva importante para cualquier operador relacionado con estos temas. A la hora de predecir el desplome o el alzamiento de un mercado, es importante tener en cuenta varios factores. Por una parte, esta variable depende de la evolución histórica del activo subyacente que queda reflejada en series temporales. Pero por otra, todo activo financiero sometido a las fuerzas de un mercado financiero presenta un aspecto subjetivo que indica el sentimiento actual del mercado. Este sentimiento se reflejará en los valores del activo e influirá en los operadores a la hora de realizar decisiones. La metodología Bayesiana permite introducir dichos aspectos subjetivos en la predicción con el grado de relevancia que el operador considere en cada caso. Esto supone la obtención de mejores y más fiables resultados en la medida en que el conocimiento a priori del que parte el operador, es cada vez más y más preciso. Los resultados mostrados por el enfoque Bayesiano son mucho más intuitivos que los obtenidos con métodos frecuentistas, entre otras cosas porque la predicción no sólo depende de la muestra de los datos, sino del conocimiento previo del operador. El enfoque Bayesiano estadístico está diseñado para manejar todas las situaciones dónde haya incertidumbre. Ya que la incertidumbre está presente en casi todos los aspectos de la vida, se podría decir que la estadística Bayesiana debería ser apreciada y utilizada por todo el mundo. Hasta mediados de los años 90, la estadística Bayesiana, tuvo un desarrollo acotado debido a su complejidad computacional, desde entonces, ha tenido una gran expansión favorecida por el desarrollo y la mejora de diferentes métodos computacionales en este campo como, por ejemplo, la Cadena Markov Monte Carlo. En los últimos años este método ha cobrado cada vez más importancia e interés, aumentando cada vez más, el número de publicaciones y aplicaciones relacionadas con él, son muchos los especialistas que consideran que el futuro de la predicción estadística seguirá este camino. Ya ha aparecido en numerosos campos de los que destacan: Ciencias actuariales, Biomecánica, Finanzas, Investigación de Mercados, Marketing, Medicina, Ingeniería o Ciencias Sociales. De acuerdo con [RUPP04], la aplicación de metodología Bayesiana ya no es objeto de discusión, la pregunta es cuando tiene que ser empleada. Página 2

27 Introducción Con todo lo anterior es evidente que la predicción de sucesos extremos resulta de gran importancia para los mercados financieros y en cuanto al uso de una metodología Bayesiana para su tratamiento, hay muy poco elaborado, por lo que se acentúa el reto que proponemos tanto el Director como yo, de acercarnos al comportamiento extremo de un mercado a partir del análisis de sus datos. Es ineludible pensar que hoy en día, el mercado y las especificaciones de la demanda están en continuo crecimiento y cambio. Esto implica la necesidad de métodos mejores y más precisos para predecir nuevas situaciones con el mínimo error para obtener mejores productos, mejores ingresos, y ventajas científicas. En éste marco, este proyecto intenta responder a esas especificaciones aportando una amplia y exhaustiva documentación sobre las más avanzadas técnicas actuales relacionadas con la predicción en los mercados financieros y los sucesos financieros de carácter extremo. Se han estudiado e investigado diferentes series temporales del mercado bursátil español, y varias del campo de la divisas, proponiendo y diseñando una metodología de alerta y predicción de sucesos extremos completamente innovadora en su campo, obteniendo unos resultados que ofrecen grandes posibilidades para futuros desarrollos. Este desarrollo, además de cumplir con las características deseadas para un Proyecto Fin de Carrera de Investigación, presenta una utilidad real en el mundo financiero actual, hecho que aumenta la relevancia de este Proyecto y recompensa el trabajo empleado en el mismo. Hoy en día, fruto de los grandes avances en el campo, hay mucha evidencia de predictibilidad en los mercados financieros. Se ha querido aprovechar la fuerza que lleva ésta nueva creencia científica y se ha modelado una metodología original que nos acerca a creer firmemente en que los datos guardan mucha información del pasado, tanto, como para explicar el comportamiento futuro de cualquier serie temporal financiera. Atendiendo a motivaciones personales, los factores más relevantes a tener en cuenta a la hora de escoger este Proyecto fueron: Página 3

28 Introducción La enorme importancia de la temática del Proyecto en el mundo financiero actual. El profundo interés por el mundo de los mercados financieros. El reto que supone realizar un Proyecto con gran complejidad técnica, tanto a nivel teórico como práctico. La posibilidad de aprendizaje y recompensa personal que conlleva el intentar superar este reto con éxito. La posibilidad de trabajar con el Profesor Dr. Carlos Maté, una persona especializada y relevante en el campo estadístico, dándome la oportunidad de aprender y formarme. 1.2 OBJETIVOS Este Proyecto Fin de Carrera pretende alcanzar las siguientes metas: Proporcionar una rigurosa y amplia documentación acerca de la identificación y alerta de sucesos financieros de carácter extremo (especialmente referido a los mercados de capitales: bursátil y de divisas) El diseño, desarrollo e implantación de una nueva metodología de alerta, exploración y predicción, que permita anticiparse al comportamiento extremo de un mercado. Obtener un conjunto de casos de prueba en dos ámbitos financieros distintos (la bolsa y el mercado de divisas). De esta forma podemos observar dónde funciona mejor la metodología, bajo qué contextos y en qué casos no es posible utilizar ningún modelo, desengranando las ventajas y desventajas de la metodología diseñada. Extraer conclusiones sobre la predicción de sucesos financieros de carácter extremo en el campo de la bolsa y las divisas. Desarrollar un PFC que puede ser un reto pionero en el campo financiero, con la predicción de sucesos financieros extremos, con metodología Bayesiana. Abrir una puerta a futuros desarrollos con esta metodología propuesta, y dejar allanado el camino para el desarrollo de una herramienta econométrica cuya base sea todo lo concluido en este Proyecto. Página 4

29 Introducción Tener la posibilidad de escribir un artículo especializado relativo a la temática de este Proyecto, para su envío a revista internacional. 1.3 METODOLOGÍA / PLANIFICACIÓN TEMPORAL DE ACTIVIDADES Metodología general El primer gran bloque a desarrollar en la consecución de este Proyecto es el estudio exhaustivo de la base teórica en la que se fundamenta. Dentro de esta fase: Profundizar en los mercados financieros bursátiles y de divisas. Estudio empírico y estadístico descriptivo que nos facilita la observación de patrones o señales de alerta de sucesos extremos. En segundo lugar, es necesaria una inmersión en los principales métodos de predicción estadística en los mercados financieros, como introducción a la predicción de sucesos extremos. Estudio exhaustivo de los fenómenos extremos especialmente enfocados al campo financiero. Posibles modelos. Analogías con otros campos. Como punto y final del desarrollo teórico se estudiará el Análisis Bayesiano de Datos, cómo enfoque para una metodología de predicción propuesta. El segundo gran bloque que forma este Proyecto es el diseño, desarrollo e implantación de la metodología propuesta (práctica) en diversas series temporales relacionadas con los Mercados Financieros. El Diseño de toda una metodología relacionada con la alerta, exploración y predicción de sucesos y periodos financieros de carácter extremo. Desarrollo e implantación de la metodología en series temporales del mercado bursátil español y de divisas. (6 casos de Estudio) Propuesta del modelo de predicción Obtención de Resultados y conclusiones. Página 5

30 Introducción Todo este proceso puede verse resumido en la Figura 1.1. (*)M.M.F.F responde a Mercados Financieros Figura 1.1- Metodología del proyecto Planificación Temporal de actividades Figura 1.2- Planificación temporal de las actividades (días) Página 6

31 Introducción FASES 1.-Investigación 2.-Documentación Previa 3.-Análisis de datos series temporales de los M.M.F.F 4.-Diseño de la metodología 5.-Desarrollo e implantación de la metodología. Resultados 6.-Memoria TOTAL HORAS PREVISTAS 80h 110h 90h 70h 50h 100h 500h Tabla 1.1- Planificación temporal de las actividades (horas) Figura 1.3- Diagrama GANT de las actividades del Proyecto Página 7

32 Mercados Financieros Capítulo 2 Los Mercados Financieros 2.1 INTRODUCCIÓN A LOS MERCADOS FINANCIEROS Un mercado financiero podría definirse como el lugar, el mecanismo o el sistema por el cual se compran y venden diferentes activos financieros. Según [CANT05], es el mecanismo por el que se intercambian activos financieros y se determinan sus precios. En las últimas décadas, los mercados financieros han experimentado un profundo cambio a nivel mundial ya que muchas de las operaciones realizadas han adquirido un elevado grado de complejidad. A ello han contribuido la internacionalización y globalización de los mercados, de los productos y de los agentes que intervienen en el mundo financiero. Han aparecido con fuerza nuevas modalidades de inversión y financiación y se han abandonado otras. Todo lo mencionado contribuye a que los mercados financieros tengan cada día un peso mayor en nuestra economía y, por tanto, en nuestra sociedad. Según [ZACH09], los mercados financieros se componen de un mercado bursátil o mercado de capitales a largo plazo- (las Bolsas de cada país), de un mercado monetario, de un mercado de cambios o mercado de capitales a corto y medio plazo-, de un mercado de tasas de interés, de un mercado de materias primas y de un mercado de productos derivados. A lo largo de este proyecto se ha centrado el estudio en los que tienen mayor capitalización: el mercado bursátil y el de divisas. En relación a nuestro país, los mercados financieros españoles experimentan un proceso de desarrollo más lento que el de las principales plazas europeas. Como ejemplo, el proceso de desintermediación (por el cual los bancos dejan de monopolizar las alternativas de inversión o financiación en la sociedad) no comienza a tener efectos significativos hasta los años 80 y cómo apunte, la creación del Mercado de Derivados (MEFF) es en 1989, aproximadamente una década más tarde que la creación del EOE holandés o el LIFFE londinense. Página 8

33 Mercados Financieros No cabe duda alguna en decir que los mercados financieros son los que mejor reflejan el sentimiento de la economía de un país. Tanto la demanda como la oferta o los conflictos políticos, sociales, las burbujas financieras o las guerras repercuten directamente en las variables macroeconómicas de un territorio, reflejándose esto en los distintos mercados. El alza del precio de un activo financiero o el desplome radical de él en un intervalo ínfimo de tiempo denota la complejidad que esconden los mercados financieros, y cómo, tras muchos años de existencia, el reto sigue siendo poder acercarse a predecir su comportamiento. Tras esta primera aproximación a la fundamentación de los mercados financieros, en adelante (M.M.F.F), es inevitable recalcar ahora su razón de existencia y sus características principales. Ante la pregunta, por qué existen los mercados financieros?, podemos decir que son sistemas diseñados para favorecer y facilitar los siguientes aspectos: El aumento de capital de empresas o particulares La transferencia del riesgo El comercio internacional Dentro del marco de su definición, destacan en ellos, las siguientes características, todas ellas indispensables si hablamos de mercados financieros: Amplitud: Número de títulos financieros que se negocian en un mercado financiero. Cuantos más títulos se negocien más amplio será el mercado financiero. Profundidad: Es la existencia de títulos financieros que cubran diversas eventualidades en un mercado financiero. Por ejemplo, que existan títulos financieros que protegan contra el alza o la caída del precio de un determinado activo. Libertad: No existen barreras en la entrada o salida del mercado financiero. Flexibilidad: Precios de los activos financieros, que se negocian en un mercado, a cambiar ante un cambio que se produzca en la economía. Página 9

34 Mercados Financieros En un mercado perfecto e idealizado los activos han de ser divisibles e indistinguibles (Alta flexibilidad), y su vez ha de existir una perfecta información, es decir que todos los agentes involucrados en el intercambio del activo financiero sepan lo mismo (Alta transparencia). La velocidad vertiginosa a la que crecen hoy en día los sistemas de información, y la importancia que tiene la globalización en los mercados financieros, han dado pie a la aparición de nuevas formas de entender y vislumbrar el comportamiento de la economía o incluso de un activo financiero en el tiempo. Los sistemas financieros están sometidos a muchas fuerzas de diversa índole. Hoy en día la oferta y la demanda tienen que hacer frente en el mismo marco a la incertidumbre, el riesgo y la especulación, aspectos que afectan al comportamiento normal del mercado, convirtiéndolo en imperfecto. Ante éste panorama actual, y en plena crisis económica mundial, la estabilidad y los patrones técnicos y fundamentales se han roto, dando lugar a una época financiera dónde la incertidumbre predomina. En España la burbuja financiera inmobiliaria ha dado paso a una de las peores crisis económicas de la historia. El mercado de toda crisis se levanta, pero se resiente para siempre. Ante este panorama, podemos decir que la manifestación más clara de inestabilidad económica en un país, se observa en las sacudidas de un mercado, en su desplome repentino, es decir en la aparición de sucesos de carácter extremo, en el sentido en que son raros, inesperados y ocurren en un periodo de tiempo muy pequeño cómo para estar preparado. En este proyecto se analiza meticulosamente la posibilidad real de anticiparse al comportamiento extremo de un mercado financiero con la enorme ventaja que eso supondría para cualquier operador financiero en una época como la nuestra, centrándose el estudio en varios casos del mercado bursátil y de divisas. En los siguientes puntos de éste capítulo se describen los fundamentos más importantes de los mercados financieros en relación con el objeto de éste proyecto: la predicción de sucesos financieros extremos. Página 10

35 Mercados Financieros 2.2 TIPOLOGÍA DE MERCADOS FINANCIEROS EN ESPAÑA La estructura de los mercados financieros en España se puede clasificar de la siguiente forma: Mercado de Capitales a largo plazo Los mercados de capitales son un tipo de mercado financiero en los que se ofrecen y demandan fondos o medios de financiación a mediano y largo plazos. Éstos se subdividen a su vez en: (*) -Mercado Bursátil (La Bolsa) Mercado de valores -Mercado de Deuda -Mercado de Derivados Mercado de crédito a largo plazo (préstamos y créditos bancarios) Mercado de Capitales a corto y medio plazo Mercado Monetario -Mercado Interbancario -Mercado de títulos negociables Mercado de cambios o divisas (*) Al lado del mercado de los capitales a largo plazo (la Bolsa de las acciones y de las obligaciones), se encuentra el mercado de capitales a corto y medio plazo (el mercado monetario y el mercado de cambios). (*) A lo largo de este proyecto se ha centrado el estudio en los que tienen mayor capitalización: el mercado bursátil y el de divisas, ambos clasificados dentro del mercado de capitales a largo plazo y el mercado de capitales a corto y medio plazo. En la figura 2.1 se observa la estructura principal del sistema de Valores Español. Página 11

36 Mercados Financieros Figura 2.1- Mercados de Valores en España 2.3 EL MERCADO BURSÁTIL. LA BOLSA ESPAÑOLA Y MUNDIAL El mercado bursátil de la bolsa está incluido dentro del mercado de valores que a su vez pertenece al gran Mercado de capitales a largo plazo, tal como se ha detallado anteriormente. La Bolsa es el mercado de capitales por excelencia. Surge de la necesidad de que el intercambio de activos se ha de realizar con las máximas garantías. Las Bolsas de Valores españolas (Madrid, Bilbao, Barcelona y Valencia) son los mercados secundarios oficiales destinados a la negociación en exclusiva de las acciones y valores convertibles o que otorguen derecho de adquisición o suscripción. Los emisores de renta variable también acuden a la Bolsa como mercado primario en donde formalizar sus ofertas de venta de acciones o ampliaciones de capital. En Bolsa también se contrata renta fija, tanto deuda pública como privada. Página 12

37 Mercados Financieros La organización y funcionamiento de cada Bolsa depende de su correspondiente Sociedad Rectora, sociedades anónimas cuyos accionistas son los intermediarios bursátiles. En cuanto a los sistemas de contratación, en la Bolsa de Madrid (Bolsa de Valores principal española) conviven dos diferentes: El tradicional mercado de corros: actualmente representa menos del 2% de la contratación total y se celebra de lunes a viernes en el parquet de la Bolsa de Madrid. El sistema electrónico SIBE (Sistema de Interconexión Bursátil Español): a través de él se negocian acciones, valores de renta fija, warrants y otros valores. Su desarrollo ha permitido la contratación continua, un único precio en cada valor para las cuatro Bolsas españolas y un horario y normas de funcionamiento encaminados a asegurar la igualdad de acceso. Las principales Bolsas del mundo En teoría, un país contiene Bolsas regionales y una plaza central, pero en la práctica, y después de la globalización financiera, la actividad bursátil de cada país tiene cada vez más tendencia a concentrarse en una única plaza central (Nueva York, Londres, Frankfurt, Paris, Tokyo ), incluso ciertos países mantienen otra plaza para su mercado a término el de los productos derivados- (es el caso de Chicago para EEUU, de Osaka para Japón ). España mantiene una posición firme en el ranking de principales bolsas del mundo, tras la crisis, siguen invirtiendo grandes entidades y fondos del exterior en valores de nuestro principal índice, el IBEX-35. Los principales y más influyentes índices bursátiles de Bolsa en el mundo son: La bolsa de Nueva York (Estados Unidos) La bolsa de Londres (Inglaterra) La bolsa de Frankfurt (Alemania) La bolsa de París (Francia) La bolsa de Tokio (Japón) Página 13

38 Mercados Financieros 2.4 EL MERCADO DE CAMBIOS O DE DIVISAS El mercado de cambios o de divisas está incluido al igual que el mercado monetario, dentro del Mercado de capitales a corto y medio plazo. Es a menudo conocido por su acrónimo inglés: FOREX. Forex, acrónimo de Foreign Exchange (Intercambio de Monedas Extranjeras), también conocido como Mercado Internacional de Divisas. Es en gran medida el mercado más grande del mundo en términos de valor efectivo negociado, e incluye la negociación entre grandes bancos, bancos centrales, grandes o pequeños especuladores, corporaciones multinacionales, gobiernos, y otros mercados financieros e instituciones. Una de sus principales diferencias frente al Mercado Bursátil es que el Mercado de Divisas carece de una ubicación centralizada. Opera como una red electrónica global de bancos, instituciones financieras y operadores individuales, todos dedicados a comprar o vender divisas en virtud de su volátil relación de cambio, y que funciona continuamente cinco días a la semana. Por todo lo anterior se puede considerar al mercado de cambios como un lugar abstracto (informático), donde se encuentran el conjunto de ofertas y de demandas de divisas (es decir, de monedas extranjeras). En este mercado podemos encontrar tres grandes tipos de actores: Los Bancos Centrales, los bancos y las empresas multinacionales. En él se producen todas las operaciones de préstamo y de crédito por un lado, de compra y venta por el otro, haciendo intervenir las divisas. A modo de ejemplo, si una empresa belga importa de Gran Bretaña, necesitará Libras esterlinas para pagar su compra y deberá entonces dirigirse al mercado de divisas. Paralelamente, si un banco londinense financia un proyecto americano, se dirigirá al mercado de cambios para obtener los dólares que necesite. Aquí radica la verdadera importancia y esencia de éste mercado, un mercado imprescindible en cualquier transacción dada la globalización actual del planeta. Una de las características principales del mercado Forex es el alto elevadísimo volumen diario de transacciones: se mueven alrededor de 3 billones de dólares americanos (USD) cada día. Gracias a este mercado han surgido empresas especializadas que se encargan de brindar servicios de administración, fondos de inversión y sistemas automáticos. Hoy en día se puede asegurar con total veracidad que Página 14

39 Mercados Financieros el mercado de intercambio de divisas (FOREX o FX) es el mercado financiero con mayor proyección de crecimiento en el mundo financiero moderno.en los últimos años el mercado Forex ha adquirido mucha popularidad entre los inversores privados. Esto se debe a la posibilidad de apalancamiento y a la oportunidad de participar en el alza y baja de los mercados. Los intermediarios más grandes y consolidados ofrecen cuentas para prácticas gratuitas que dan confianza a los operadores principiantes. Es importante entender los instrumentos financieros ofrecidos por los brokers de FX, y saber que siempre existe riesgo de pérdida. Cada uno debe decidir e identificar el nivel de riesgo que está dispuesto a tomar. Características principales de FOREX frente al mercado bursátil El mercado de moneda extranjera es único debido a: El volumen de las transacciones La liquidez extrema del mercado El gran número y variedad de los intervinientes en el mercado Su dispersión geográfica El tiempo en que se opera - 24 horas al día (excepto los fines de semana). La variedad de factores que generan los tipos de cambio. El volumen de divisas que se negocia internacionalmente, con un promedio diario de 3.8 billones de US$, operando en un día lo que Wall Street puede llegar a operar en un mes en el mercado bursátil. Entre las implicaciones de no ser un mercado centralizado se encuentra el que no existe una sola cotización para las divisas que se negocian: ésta depende de los diferentes agentes que participan en el mercado. Aunque la negociación con euros ha crecido considerablemente desde su creación en enero de 1999, el Mercado de Intercambio de Divisas está aún centrado en el dólar estadounidense, como se puede observar en la tabla 2.1. Página 15

40 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) Mercados Financieros Las monedas de mayor transacción Distribución de divisas por volumen de negocio en el mercado FX Rango Divisa Código ISO (Símbolo) 1 Dólar USD estadounidense ($) 2 Euro EUR ( ) CHF Franco suizo (Fr) SEK Corona sueca (kr) NOK Corona noruega (kr) Yen Libra Dólar Dólar Dólar JPY GBP AUD CAD HKD japonés esterlina australiano canadiense de Hong Kong ( ) ( ) ($) ($) ($) % Porcentaje (2010) 86.3% 37.0% 17.0% 15.0% 6.8% 6.7% 4.2% 2.8% 2.8% 2.2% Tabla 2.1- Las monedas de mayor transacción fuente: BIS Página 16

41 Mercados Financieros Otra característica del mercado de divisas es que opera las 24 horas del día y 365 días al año, aunque durante sábados y domingos la actividad es muy limitada. La siguiente Figura, obtenida a través de la plataforma de divisas OANDA, muestra una gráfica OHLC del tipo de cambio EUR/USD entre el 19 de septiembre y el 27 de octubre de 2006, marcando entre líneas amarillas la actividad del fin de semana: Figura 2.2- Gráfico de OANDA. Entre barras amarillas los fines de semana. Aún en esos periodos de interrupción, los distintos operadores pueden colocar posiciones de compra o de venta que se verán dinamizadas cuando el mercado comience a fluctuar. No es menos importante tener en cuenta que durante el periodo de negociación, la hora del día en la que se acceda en este mercado tiene un impacto directo en la liquidez para operar en una o en varias divisas. Los momentos en los que abren las principales bolsas del mundo son los de mayor liquidez y movimiento, si bien el mercado Forex no está directamente vinculado con la naturaleza de estos centros de negociación. Dado que estamos hablando de un mercado extrabursátil, no se deben menospreciar los cambios que estos centros pueden provocar. Página 17

42 Mercados Financieros Principales centros de negociación Según el Triennial Central Bank Survey [TRIE10], las más importantes según el porcentaje de operaciones del total son: London Stock Exchange (31%). New York Stock Exchange, (19%). Tokyo Stock Exchange, (8%). Singapur, (5%) Frankfurt, (5%) Hong Kong, (4%) Sydney, (3%) Zurich, (3%) Primero abren los mercados asiáticos, posteriormente abren los mercados Europeos y finalmente abren los mercados americanos. El mercado abre el domingo por la tarde (hora de la costa Este de Estados Unidos) y cierra el viernes a las 4:00 p.m. hora del Este. Esto permite que los inversores tengan acceso permanente a los mercados con el beneficio de una mayor liquidez y una capacidad de respuesta rápida a los acontecimientos económicos o políticos que tengan efecto sobre él. Según [WIKI11]. Funcionamiento básico del negocio. Los grandes bancos internacionales proveen al mercado de divisas un precio de compra (bid) y otro de venta (ask). El spread es la diferencia entre estos precios y normalmente constituye como la retribución a la entidad por su papel de intermediario entre los que compran y los que venden usando sus canales. Por lo general el spread en las divisas más negociadas es de solamente 1 a 3 puntos básicos. A modo de ejemplo, si el bid (precio de compra) en una cotización de EUR/USD es de mientras que el Ask (precio de venta) se establece en , se pueden identificar con claridad los 3 puntos de Spread (margen). Página 18

43 Mercados Financieros Cabe mencionar que en el mercado de divisas, las monedas se negocian en pares. Cada par de monedas constituye un producto individual y es tradicionalmente anotado como XXX/YYY, donde YYY es el código internacional de tres letras ISO 4217 en el cual el precio de una unidad de XXX se expresa. Por ejemplo: EUR/USD es el precio del Euro (EUR) expresado en dólares americanos (USD) entendiéndose que un 1 euro = dólares estadounidenses (17 de Agosto de 2.010). Según el estudio del BIS, los pares de monedas más negociados eran: EUR/USD - 28% USD/JPY - 17% GBP/USD (también llamado cable) - 14% Variables a tener en cuenta en el mercado de divisas Las fluctuaciones en los tipos de cambio son causadas, generalmente, por flujos monetarios reales así como por las expectativas de cambios en ellos debido a los cambios en las variables económicas como el crecimiento del PIB, inflación, los tipos de interés, presupuesto y los déficits o superávits comerciales, entre otras. Las noticias más importantes se publican, a menudo en fechas programadas, así que los inversores tienen acceso a las mismas noticias al mismo tiempo. Sin embargo, los grandes bancos tienen una ventaja importante: pueden ver el libro de órdenes de sus clientes. Ante la trascendencia de este mercado a nivel mundial y por el volumen de transacciones que en él se manejan, es inevitable pensar en la utilidad que puede reportar el poder acercarse, desde un enfoque econométrico y estadístico, al comportamiento real de las divisas, y poder así predecir tanto a corto como a largo plazo el cambio de moneda de un país a otro. Igualmente, cabe decir que el mercado de divisas, al igual que el bursátil, está sufriendo las consecuencias claras de la crisis mundial en la que estamos sumidos, mostrando series temporales, tanto a corto, como a largo plazo, con simultaneidad de periodos convulsos y estables a lo largo de toda la serie, dónde periodos prácticamente estacionarios rompen su tendencia estática de forma extrema, creando un periodo convulso o extremo (ver capítulo 3 o 8 para mayor Página 19

44 Mercados Financieros información). En este proyecto se aborda la posibilidad de poder anticiparnos a los periodos convulsos o extremos que es claramente donde los operadores e inversores más sufren o ganan dependiendo del carácter positivo o negativo del suceso extremo, y poder así partir con la ventaja de una metodología técnica nueva que prueba y predice la existencia de un futuro estable o turbulento de la serie. El abanico de posibilidades que ofrece el mercado de divisas para tratar los datos desde un punto de vista técnico es amplísimo, en el siguiente punto se ofrece una visión clara y concisa de las oportunidades que se presentan hoy en día a la hora de predecir en los mercados financieros, concretando al campo de estudio del proyecto. En capítulos posteriores se abordará en detalle la problemática de predicción objeto del proyecto, la predicción de periodos convulsos o extremos en el campo bursátil y de divisas, y la adaptación de la metodología diseñada a ésta problemática del mundo actual. 2.5 LA PREDICCIÓN EN LOS MERCADOS FINANCIEROS Antes de meterse de lleno en todo lo concerniente a la actual viabilidad y en los esfuerzos tan grandes que se llevan haciendo durante años por predecir en los mercados financieros, cabe previamente detallar los dos enfoques claros de metodología típica seguidos hasta hoy por los innumerables operadores, instituciones, empresas e inversores o particulares a la hora de invertir prediciendo: Análisis fundamental y análisis técnico Análisis fundamental El análisis fundamental, dentro del análisis bursátil, pretende conocer y evaluar el auténtico valor del título o acción, llamado valor fundamental. Este tipo de análisis fue introducido por Benjamin Graham y David Dodd, en 1934 en Security Analysis (que tuvo varias reediciones entre 1934 y 1962). Un analista fundamental debería ser capaz de calcular el valor esencial del título o acción, y su precio actual. El signo de la diferencia da una idea si la tendencia a subir es positiva o negativa. Así el problema principal, es la tarea de estimar cuál debería ser el valor intrínseco del título o acción, y en consecuencia lo que el mercado debería Página 20

45 Mercados Financieros hacer. Otro problema mayor es predecir cuándo se van a producir los movimientos predichos. En general, el análisis se aplica a inversiones a largo plazo, esperando que el mercado refleje el valor esperado. A diferencia del análisis técnico, las herramientas de análisis fundamental, dado el objetivo de obtener el "verdadero" valor de un título, son todos aquellos elementos que pueden afectar al valor. Estados financieros periódicos: cálculo de ratios financieros Técnicas de valoración de empresas. Previsiones económicas: análisis del entorno. Información económica en general. Cualquier tipo de información adicional que afecte al valor de un título. Análisis técnico El análisis técnico, dentro del análisis bursátil, es el estudio de la acción del mercado, principalmente a través del uso de gráficas, con el propósito de predecir futuras tendencias en el precio. El análisis técnico tuvo sus orígenes en EEUU a finales del siglo XIX con Charles Henry Dow creando la Teoría de Dow, adquirió un gran impulso con Ralph Nelson Elliott dentro de los mercados accionarios con su Teoría de las Ondas de Elliott, y posteriormente se extendió al mercado de futuros. Sin embargo, sus principios y herramientas son aplicables al estudio de las gráficas de cualquier instrumento financiero.el análisis técnico se basa en tres premisas básicas, que se deben entender y aceptar, o cuando menos conceder, para que este enfoque tenga sentido. Estas premisas son: El precio lo descuenta todo. Los precios se mueven en tendencias. La historia se repite. Tras esta breve introducción a los dos enfoques es observable que mientras que el análisis técnico se concentra en el estudio de la acción del mercado, el análisis fundamental se enfoca en las fuerzas económicas de oferta y demanda que llevan al precio a subir, bajar o permanecer sin cambios. El enfoque fundamental analiza todos Página 21

46 Mercados Financieros los factores relevantes que afectan el precio de un instrumento financiero para determinar el valor intrínseco de este instrumento. El valor intrínseco es el precio que los fundamentales señalan que este instrumento realmente vale, basado en la ley de oferta y demanda. Si el valor intrínseco está por debajo del valor actual, entonces el mercado está sobrevaluado y debe ser vendido. Si el valor intrínseco está por encima del valor actual, entonces está subvaluado y debe comprarse. Ambos enfoques pretenden resolver el mismo problema: predecir la dirección que el precio podría tener en el futuro. Simplemente, tienen un enfoque diferente. Mientras que los fundamentalistas estudian las causas del movimiento, los analistas técnicos estudian sus consecuencias. La mayoría de los operadores de mercados se clasifican como fundamentales o técnicos, aunque en la realidad tienden a coincidir en un gran terreno común. Muchos son los que auguran un gran futuro al análisis técnico de los instrumentos financieros, y es por ello por lo que en este proyecto, se ha querido abordar un enfoque más técnico con un fuerte componente estadístico y econométrico, diseñando una metodología de predicción basándonos en series temporales y sus datos históricos. Cabe añadir que en ningún caso se ha dejado de lado el análisis fundamental, puesto que el carácter Bayesiano que adopta la metodología del presente proyecto, da la oportunidad al usuario de dar su opinión experta a priori sobre el sentimiento del mercado, y con esa opinión, el operador puede estar incluyendo datos fundamentales económicos que sabe de antemano. Hacia un mercado predecible? Una reflexión desde el punto de vista técnico. [HENS08] constata que la predicción de los recorridos del precio de un activo financiero tiene una larga tradición en el mundo financiero. El principal objetivo es simplificar las decisiones de los inversores. Pero después de más de medio siglo de trabajo empírico por parte de los investigadores más expertos, este tópico sigue dando quebraderos de cabeza y levantando debates entre inversores y académicos. Durante mucho tiempo los investigadores han creído en la teoría del paseo aleatorio en los precios de las acciones. Según esta teoría, los recorridos eran impredecibles o no había mejor predicción que la de lanzar una moneda. El análisis técnico que trataba de estimar Página 22

47 Mercados Financieros predicciones futuras a partir de patrones de los datos históricos estaba más cerca de lo inservible que otra cosa, y cualquier muestra de predictibilidad era mera causa de la casualidad, que rápidamente desaparecía de la muestra. Los últimos 15 años han visto una revolución en la manera en que economistas y financieros ven el mundo de las inversiones. Se reconoce actualmente que los recorridos de un producto financiero reflejado en una serie temporal tienen un sustancial componente predecible en horizontes de largo plazo, e incluso en corto plazo, que ha resultado traducirse en una literatura general al respecto liderada por grandes expertos del campo econométrico que evidencian la posibilidad de predecir en los mercados financieros. Este proyecto apoya la idea firme de que los datos guardan mucha información, y que ante un mercado tan globalizado e informatizado, el dominio de los datos y patrones históricos puede abrir una puerta a la predicción financiera. Sin duda alguna el enfoque técnico guarda muchas claves que pueden permitir desarrollar futuras técnicas, y en el que se ha basado éste proyecto para intentar predecir. Una predicción no sólo basada en el simple precio que tomará mañana una divisa o un valor de la bolsa que se tenga. Se ha querido ir más allá, intentando acercarse al componente extremo de una serie temporal que tanto protagonismo ha tenido a lo largo de la historia en los mercados financieros. Desde el famoso crack del 29, hasta la crisis actual, los mercados han reflejado siempre ese sentimiento abrupto y extremo en sus gráficas. Desde luego que cabe decir que no hay una serie temporal financiera que vaya a guardar su actual tendencia para siempre. Por ello podemos distinguir siempre periodos convulsos y estables que van alternándose a lo largo del histórico de la serie, lo cual incita a pensar que toda serie puede guardar un patrón domable, y por tanto, predecible en cierta medida. Así se ha dado a lo largo de la historia, y así seguirá siendo. La historia se repite. Un breve repaso a las peores caídas del índice bursátil español IBEX-35. La función principal de un mercado financiero es la canalización del ahorro a la inversión, es decir, poner en contacto a los distintos agentes económicos y la formación transparente de los precios de los activos que en él se intercambian. Es ineludible pensar que un mercado está sometido a muchas fuerzas, que desorientan su función principal, alguna de ellas incontrolables por el peso que cada vez más fuerte va tomando la Página 23

48 Mercados Financieros especulación y esto se va manifestando de forma dinámica en las series temporales de cualquier producto financiero en forma de irregularidad e inestabilidad. Por todo ello el dominio de la incertidumbre es un bien por el que todo inversor está dispuesto a pagar, con el fin de saber si el futuro que acontece es turbulento o estable. Cómo se ha comentado anteriormente, todo mercado siempre fluctuará en torno a dos tipos de periodos, estables y convulsos. Las gráficas dibujan en sus ejes tiempoprecio senderos llanos con colinas de ruptura suavizadas o normales, y a veces no tan suaves, entrando de lleno en lo que se ha denominado como periodo convulso extremo, principalmente caracterizado por una ruptura en el precio inesperada y de gran magnitud. La historia ha sido testigo de todo esto, numerosas crisis han azotado los mercados de todos los países, algunas de ellas mundiales, fueron contagiadas al resto del mundo desde el país de origen, como la actual. En España, el principal índice bursátil IBEX-35 con apenas 19 años de existencia ha sido protagonista de muchas portadas debido a sus fuertes caídas repentinas o subidas exageradas. Varias han sido las grandes crisis por las que ha atravesado el IBEX- 35 a lo largo de su historia. A continuación se hace un breve repaso sobre las peores y mayores caídas.repasando las peores situaciones, por intervalos de tiempo, por las que atravesó este índice desde el año 1992 tenemos las siguientes: Año 1992: Se produjo entre el 2 de Junio y 5 de Octubre de 1992, duró 4 meses y la caída fue del 33,80%. Año : Se produjo entre el 31 de Enero de 1994 hasta 23 de Marzo de 1995, duró 23 meses y la caída fue del 28%. Año 1997: Se produjo entre 1 de Octubre hasta 28 de Octubre, duró 27 días, siendo la caída del 17,50%. Año 1998: Se produjo entre 17 de Julio hasta 1 de Octubre, duró 2 meses y medio, y la caída fue del 34,90%. Año : Se produjo entre 6 de Marzo de 2000 hasta 9 de Octubre de 2002, duró 2 años y 9 meses y la caída fue del 58%. Página 24

49 Mercados Financieros Año : Se produjo entre 8 de Noviembre de 2007 hasta 25 de Enero de 2008, duró 4 meses y la caída fue del 33,80%. El IBEX cayó durante el año 2008 un 39,4 %, la peor cifra de su historia. fuente: infobolsa Repasando ahora las peores situaciones diarias, por las que atravesó este índice desde el año 1992 tenemos las siguientes: La mayor caída del IBEX 35 desde su creación en 1992 se produjo el Viernes 10 de Octubre de 2008 perdiendo un 9,14% hasta los 8.997,70 puntos. Esta ha sido la mayor caída de la bolsa española desde el 2 de Noviembre de La mayor subida histórica del IBEX fue el Lunes 10 de Mayo de 2010 en la que subió un 14,43% (de 9.065,10 hasta los ,90 puntos). Esta subida se produjo debido a la aprobación del plan de rescate europeo después de la segunda peor semana del índice en su historia, la primera fue en Octubre de 2008 que perdió un 21,20 % en solo cinco días de cotización. El anterior mayor incremento se produjo el 13 de Octubre de 2009, cuando EEUU y Europa anunciaron sus medidas de apoyo a la banca después de la crisis desatada por la quiebra de Lehman Brothers. fuente: infobolsa Después de este breve repaso al índice bursátil español, se evidencia como los sucesos financieros de carácter extremo han de ser tenidos muy en cuenta en cualquier inversión o para cualquier operador, aspecto que aumenta la relevancia de este proyecto en su reto por conseguir desarrollar un mecanismo de detección de sucesos extremos a partir de un análisis técnico y Bayesiano de los datos. Página 25

50 Mercados Financieros 2.6 SUPERVISIÓN DE LOS MERCADOS DE VALORES Ante un sistema tan complejo de intercambio de activos como son los mercados financieros resulta imprescindible una correcta gestión y vigilancia de éstos con el fin de evitar descalabros irreversibles. El control del sistema está relacionado con la posibilidad real de que aparezca un sucesos de carácter extremo inesperado si no se gestionan bien los parámetros de vigilancia. Si el sistema de supervisión se desmorona, o evidencia insostenibilidad, hasta el valor de la bolsa o la moneda más fiable y fuerte se desplomaría inesperadamente por la propia caída del mercado, con la consiguiente aparición del suceso financiero extremo (en capítulos posteriores se entrará más en detalle sobre la definición y aparición de los sucesos extremos en series temporales financieras). La supervisión de los mercados de valores en España corre a cargo de la Comisión Nacional del Mercado de Valores y por el Banco de España. La primera de estas instituciones inspecciona la actividad de cuantas personas físicas y jurídicas se relacionan en el tráfico de los mercados de valores. La segunda, supervisa directamente el mercado de Deuda Pública. En la Comisión Nacional del Mercado de Valores destaca su Comité Consultivo. Éste es el encargado de asesorar al Consejo de la CNMV y de informar sobre todas las cuestiones que plantea el Consejo. Sus conclusiones resultan preceptivas en una serie de cuestiones entre las que se pueden destacar las descripciones de desarrollo y ejecución de normas relativas al Mercado de Valores, la autorización de nuevas Sociedades y Agencias de Valores y la aplicación del régimen de sanciones. Página 26

51 Mercados Financieros Figura Ciclo de liquidación Página 27

52 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Capítulo 3 Sucesos Financieros de Carácter Extremo 3.1 INTRODUCCIÓN A LOS SUCESOS EXTREMOS El campo de los sucesos extremos es muy amplio, y da lugar a numerosas interpretaciones dependiendo de la rama de la ciencia en la que se esté moviendo, meteorología, sismología, ingeniería, economía, etc. A pesar de ello, no cabe duda en decir que si a un lector inexperto, se le diera una serie temporal financiera, por ejemplo la de la Figura 3.1, éste sería capaz de vislumbrar y distinguir, bajo su intuición, periodos o sucesos extremos (si los hubiera) de aquellos periodos que no fueran extremos. Con esto se quiere decir que el apelativo extremo en un suceso o un periodo de puntos, es bien asimilado por la mente humana sin la necesidad de tener conocimiento previo, es decir, que no es ni mucho menos un término que tenga una definición universal y que, por tanto, está sometido a numerosas interpretaciones dependiendo del campo objeto de estudio. Uno es capaz de imaginarse el comportamiento extremo de un proceso, fenómeno, o suceso como algo inesperado, raro, ocasional y cuyas consecuencias son notorias. Este capítulo intenta ir más allá de lo anteriormente dicho, desenmascarando más en detalle, todo lo específico que hay detrás de este tipo de sucesos o periodos, aplicado especialmente al campo financiero como objeto del proyecto, proponiendo entre otras cosas una tipología simple de definiciones para eventos extremos y raros. Página 28

53 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Figura 3.1- Pasado, presente y futuro de la serie temporal financiera del índice bursátil americano S&P500 Hoy en día es inevitable pensar en el creciente interés actual por este tipo de fenómenos en cualquier campo, ya sea en la previsión de desastres naturales (incremento de números de registro, intensificación de consecuencias), desastres tecnológicos, cambio climático (el estudio de la variabilidad de sucesos climáticos extremos) o por último crisis económicas y sociales (riesgo de ocurrencia de extremos en los mercados financieros). El hecho de estar sumidos actualmente en una gran crisis económica a nivel mundial, donde los mercados financieros se resienten y donde el riesgo de aparición de fenómenos extremos es más alto, ha motivado enormemente al autor y director del presente proyecto a orientar la investigación hacia el campo financiero, tal como se expresó en el Capítulo 1. El hecho de poder hacer frente a este tipo de fenómenos anticipándose a su aparición, ante un panorama económico tan desolador como el actual, es sin duda una herramienta de gran utilidad que fortalece la importancia de este proyecto. Ante los fenómenos extremos, el resultado es que hoy en día se está produciendo una transición hacia una sociedad del riesgo, caracterizada por una aceptación de la incertidumbre ante los sucesos extremos, por la imposibilidad de poder controlar el riesgo, con una constatación de que el desarrollo puede generar nuevos riesgos y con una mejora de la transparencia en los procesos de decisión fruto del riesgo subyacente. Página 29

54 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Por todo lo mencionado anteriormente, el presente proyecto pretende acercarse al comportamiento extremo de un mercado financiero mediante el estudio de diversos casos del mercado bursátil y de divisas, diseñando una metodología de predicción basándonos en diversas técnicas confrontadas, ver para mayor detalle capítulos posteriores de Resultados y Conclusiones. El suceso extremo es una realidad muy presente y palpable en los últimos acontecimientos del planeta, a continuación desengranamos para el lector toda la fundamentación relacionada con este tipo de fenómenos. 3.2 SUCESOS EXTREMOS EN LOS MERCADOS FINANCIEROS Según F. Bacon en New Organum, quien conoce los caminos de la naturaleza notará mejor sus desviaciones, y quien conozca sus desviaciones conocerá mejor sus caminos Qué conduce a los sucesos extremos y raros en el ámbito de la economía? Motivados por la reciente teoría y los acontecimientos económicos que se están dando en el mundo actualmente, en este proyecto se abre la caja negra de los sucesos extremos en el ámbito financiero. En la primavera y verano del 2007, el post-shock de la crisis de las subprime, una parte relativamente pequeña del mercado financiero de Estados Unidos, llegó a desestabilizar fondos de cobertura y los mercados internacionales más importantes. En Estados Unidos, los créditos se dispararon ominosamente, incluso para deuda segura, en Gran Bretaña, el índice interbancario alcanzó su nivel más alto en 9 años. Las economías modernas están continuamente siendo objeto de tales sucesos extremos, algunas veces, simultáneamente o en rápida sucesión, como en los episodios de contagio en el Este de Asia, durante los años 90. Los sucesos extremos a menudo se entienden como impredecibles, pero es esto cierto? Las discusiones sobre sucesos económicos extremos suelen asumir que los extremos son causados exógenamente por naturaleza, y que tienen una probabilidad constante de ocurrencia. Pero, es la verosimilitud de los extremos y eventos raros afectada también por nuestro comportamiento?...y no observamos a veces picos en la frecuencia de ocurrencia de los extremos? La respuesta a ambas preguntas es si. Los extremos dinámicos endógenos ocurren en economía y en la naturaleza, incluyendo el Página 30

55 Sucesos Financieros de Carácter Extremo efecto de la actividad humana tanto en la verosimilitud de extremos financieros como en extremos climatológicos. Por tanto, se pueden distinguir la existencia de dos tipos de extremos estáticos y dinámicos, ambos pueden ser tanto endógenos como exógenos, entendiendo por tanto, que el componente extremo de un mercado financiero puede venir tanto de fuera por naturaleza como de dentro por parte de los propios agentes económicos, tal como se explicará en el siguiente punto. Es importante decir que cuando la actividad humana endógenamente aumenta la verosimilitud de los extremos, éstos se pueden convertir en menos raros. Las crisis financieras y los sucesos extremos, tiene un componente endógeno claro debido a que afectan a muchos individuos en el sistema financiero nacional o global. Este comportamiento extremo endógeno debido a los agentes internos económicos, también conocido como externalidades, es la causante principal de la ineficiencia del sistema. Consecuentemente si los sucesos extremos son puramente externalidades, la sociedad puede no pagar el precio apropiado por los extremos que genera. Cómo esta formulación endógena de los extremos nos puede ayudar? Lo hace de dos maneras, por un lado, permite entender el origen de algunos extremos (los endógenos), dándonos idea de cuales plausiblemente se pueden intentar evitar. En segundo lugar, aporta a los bancos y a las autoridades regulatorias un conjunto de herramientas que pueden ayudar a direccionar los sucesos extremos antes y durante su ocurrencia. Según [LAND08], la crisis actual es un fuerte recordatorio si cabe, de que los sucesos extremos ocurren dentro del sistema financiero. Apoyando lo anteriormente expuesto sobre el comportamiento extremo endógeno influido por la actividad humana, cabe no olvidar que los sistemas financieros son sistemas humanos. Su dinámica está influenciada por la manera en la que los humanos reaccionan a los cambios de su entorno. Estas reacciones pueden ayudar y amplificar shocks iniciales, hasta el punto de convertirse incluso en una catástrofe. El comportamiento de rebaño ha sido conocido durante mucho tiempo con una de las características más esenciales de los mercados financieros. Más sutilmente, las reacciones de los individuos, por si solas racionales, pueden, por la virtud de su interacción mutua, producir fuertes efectos amplificados en los mercados. Esto ha sido demostrado por Danielsson y Shin en su artículo riesgo endógeno. Página 31

56 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Por último, cabe destacar que los sistemas financieros son sistemas complejos. Están basados en una interdependencia entre múltiples actores y contrapartidas. Las transmisiones ocurren a través de redes cuya estructura y arquitectura está continuamente en transformación debido a la innovación financiera y al arbitraje regulatorio. Esto hace que predominen en ellos las siguientes características: no linealidad, discontinuidades, y sensibilidad a condiciones iniciales. La complejidad crea la posibilidad de extremos, pero no hace que sucedan necesariamente. Por tanto, habiendo sido demostrado ya, por las razones expuestas, que los mercados financieros son propensos a los sucesos extremos, la cuestión ahora es desengranar el concepto de suceso extremo, tal como se hace en el siguiente punto. 3.3 NATURALEZA Y CAUSAS DE LOS SUCESOS EXTREMOS Conocer el origen de los extremos es evidentemente valioso para los inversores y los responsables políticos. Tratando de ofrecer una panorámica del origen, a continuación se representan el enfoque del que se ha partido para todo el diseño de la metodología posterior. Hay dos aspectos de este enfoque a considerar [CHOL07] Naturaleza Temporal de los sucesos extremos El primer aspecto concierne al comportamiento dinámico de los extremos. En aplicaciones típicas económicas, es muy usual implícitamente asumir que la verosimilitud de los extremos es constante en el tiempo. Este argumento es útil desde el punto de vista analítico. Evidentemente los sistemas financieros y naturales cambian y crecen a lo largo del tiempo, lo cual puede afectar a la probabilidad de los extremos. Hay cierta evidencia de que la probabilidad de sucesos extremos cambia a lo largo del tiempo, tal como por ejemplo el record de rotura de los niveles del mercado bursátil en los 90, y el creciente número de huracanes desde el Tal como se muestra en la Figura 3.2, tanto el número de desastres naturales, como su impacto han variado desde la pasada generación. Los daños están reflejados en miles de millones de $, color blanco. Por otro lado, las personas afectadas en millones, color morado. El tercer color refleja la frecuencia. Página 32

57 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Figura 3.2- Frecuencia e impacto de sucesos extremos en la naturaleza fuente: EM-DAT (International Disaster DataBase) Según EM-DAT, la definición de desastre es una situación o evento que sobrepasa la capacidad local, necesitando asistencia nacional o internacional, o que es reconocido como tal por agencias multilaterales o al menos por dos fuentes nacionales, regionales, internacionales o los medios. Para las pruebas de estrés en fondos de cobertura, por ejemplo, es muy importante estimar, la verosimilitud de las desviaciones amplias en el precio. Una suposición equivocada de verosimilitud constante de los cambios extremos en el precio es claramente peligrosa a muchos niveles como los bancos centrales e inversores individuales e institucionales. Por lo tanto, podríamos permitir que la naturaleza temporal de los extremos sea estática o dinámica. Para extremos estáticos, la probabilidad de eventos extremos p t es constante, p t = p para todos los períodos de tiempo. Por el contrario los extremos dinámicos, pueden ser de dos tipos, aleatorios o con un patrón dinámico discernible Causas de los sucesos extremos Según [CHOL07], el segundo aspecto a destacar es la comprensión de la distinción entre extremos exógenos y endógenos, cada uno de los cuales tiene una política de respuesta. Los extremos exógenos llegan desde fuera del sistema económico Página 33

58 Sucesos Financieros de Carácter Extremo y son realmente actos de la naturaleza, desde la perspectiva de economía nacional. Por ejemplo, en una economía basada en el cultivo, la probabilidad p de suceso extremo de cambios en el valor de los cultivos podría depender de cambios exógenos en la climatología. Otras causas de sucesos extremos exógenos pueden incluir guerras, catástrofes naturales e incertidumbres sobre nueva tecnología. Ya que el clima es generalmente imprevisible más allá de unos días, y exógeno para un agricultor individual, podemos representar la probabilidad de suceso extremo como esencialmente aleatoria. Con el fin de obtener probabilidades delimitadas, se puede considerar una variable aleatoria z t y p t que se relacionan de la siguiente manera: [3.1] Con ε t i.i.d ~ 0, con >0 Los extremos endógenos, por el contrario, se generan, tal vez amplificado en el campo económico, por la actividad de los agentes y su interacción. Esta actividad persiste porque los extremos tienen atributos de externalidad citados anteriormente, por lo que los agentes pueden producir en exceso la cantidad de extremos en el sistema. Por ejemplo, los accidentes de la bolsa y los pánicos bancarios pueden derivarse de la toma de riesgos excesivos y de los préstamos de un segmento de la economía (Fisher(1933)),y también del exceso de la creación de crédito Allen y Gale ((2000)). Puesto que cada agente tiene un incentivo para pedir prestado o demasiado riesgo desde el punto de vista social, la competencia conduce a la sobreproducción de extremos Una taxonomía simple Por qué necesitamos definiciones de sucesos extremos o eventos raros? La razón principal es porque los sucesos extremos ocurren en numerosas disciplinas. Así mismo, cada una ha desarrollado su propia terminología, que puede llegar a ser Página 34

59 Sucesos Financieros de Carácter Extremo incompatible con la de otras. Por ejemplo, el concepto de evento raro ha sido usado de al menos 4 formas en ciencias de la decisión. Primero en estadística y econometría, raro se refiere a un fenómeno record de rotura sin precedentes, es decir que no haya ocurrido antes tal como se puede ver en Haan y Sinha (1999). En segundo lugar, en la ciencia política, se denota como un suceso de poca probabilidad con un gran impacto, que puede haber ocurrido con anterioridad, King y Zen (2001). En tercer lugar, en la teoría del riesgo, se refiere a un suceso de poca probabilidad, que puede haber ocurrido antes pero que no necesariamente tiene que ir asociado a un gran impacto, Hertwig, Barron, Weber y Erev (2005). En cuarto y último lugar, en el campo financiero objeto del proyecto, se denota como régimen infrecuente que no es observado pero si anticipado por los agentes económicos, Evans Por lo tanto, existe la necesidad de desarrollar un lenguaje común para discutir los eventos extremos y raros, ya que crecientemente afectan a tantas disciplinas que tiene el potencial suficente para ser considerado un sólo campo por sí solo. Poseer un lenguaje común, nos permite direccionar implicaciones para la descripción, la previsión y el control de los extremos, una tarea que comienza en este capítulo y que prosigue a lo largo de todo el proyecto. A continuación se detallan una serie de definiciones heurísticas de evento típico, extremo y poco frecuente. Las definiciones son adecuadas para datos cuantitativos, tales como los recorridos de un índice bursátil, o de una divisa. Eventos típicos son los que son normales en algún sentido, o que nos encontramos con frecuencia. En la literatura económica anterior, eventos típicos se han conceptualizado principalmente de la siguiente manera. Aquellos sucesos serán típicos si están cerca del centro de la distribución, por ejemplo, en torno a 2 ó 3 desviaciones típicas. Esta definición intuitiva es útil en el caso de la distribución normal, donde 3 desviaciones típicas recoge en torno a la media el 99,7% de la distribución. Los fenómenos extremos o raros pueden heurísticamente visualizarse como el complemento de eventos típicos. Los sucesos extremos están "lejos" de la mediana como referencia, mientras que los eventos raros o poco frecuentes, son "pequeños" en el conjunto de todos los eventos. Armados con estas descripciones heurística, sugerimos la siguiente taxonomía simple basándonos en [CHOL07]: Página 35

60 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Considérese una variable X con dominio X R. Definiendo una muestra significativa X s, que comprende n realizaciones de esta variable, X s = X 1, X 2,, X n,con mediana y desviación típica σ s. Si X s es una serie temporal, se asume que los datos de la muestra significativa son estacionarios en covarianza. Los siguientes superíndices T, R y E indican Típico, Raro y Extremo respectivamente. Definición 1: Un suceso o evento típico X T X s es en un rango X rango que contiene más de 1/2 de las observaciones en la muestra significativa de los datos. ú [3.2] ú Definición 2: Un suceso o evento raro X R(δ) X s es en un rango X rango que contiene menos de 1/5δ de las observaciones en la muestra significativa de los datos, ante la presencia de otro rango no solapado que ocurre más frecuentemente que el mismo. ú ú Xs 1 5 [3.3] Antes de definir suceso extremo, se observa que mucha investigación en finanzas, política y estadística usan término extremo y raro indistintamente. Esta costumbre está llevando a conclusiones erróneas sobre los dos términos. Cabe decir que siempre hay posibilidades de aparición de clusters de sucesos extremos, dónde los extremos ocurren frecuentemente, no pudiendo nunca pasar esto con un evento raro, ya que por definición tiene una muy baja frecuencia de ocurrencia. Ejemplo de clusters de extremos serían las burbujas financieras, o periodos de tiempo de alta volatilidad de los mercados, donde es posible que un índice bursátil alcance niveles lejanos a la mediana reciente, y lo haga de forma frecuente. Consecuentemente es importante definir sucesos extremos en una forma en la que no se asuma que sean raros o típicos. Es de ayuda emplear una definición que esté relacionada con la reciente práctica de usar la desviación típica o la volatilidad. Así mismo, en el presente proyecto se adopta la siguiente definición: Página 36

61 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Definición 3: Un suceso o evento extremo X E(ω) X s es un evento que está al menos ω 1 desviaciones típicas separado de la mediana significativa. X E(ω) - ωσ s [3.4] Una vez introducidas estas definiciones, estaríamos ahora preparados para entrar en una definición empírica de probabilidad de suceso extremo Definición 4: La probabilidad empírica p(ω) de un evento extremo X E(ω),mide la frecuencia relativa de las observaciones que exceden ω desviaciones típicas de la mediana significativa: = ú [ ] ú [3.5] Evidentemente lo que es típico, extremo o raro puede cambiar a lo largo del tiempo, y las definiciones anteriormente descritas reflejan esta noción. Por eso se enfatiza en el hecho de que las definiciones son condicionales: se condiciona a la elección de la muestra significativa, que es elegida con la teoría científica y conocimiento de la pregunta en mano. Esta aproximación tiene sentido desde el punto de vista científico-social, reconociendo que cuando el mundo cambia, tomamos un tiempo en asimilarlo (un periodo). Por ello estas definiciones comparan los sucesos actuales con las medianas pasadas, la razón es que la noción del individuo sobre los extremos es a menudo relativa a lo que han aprendido recientemente. Esto tiene una consideración económica, ya que los individuos reúnen datos al final del periodo antes de que puedan computar un modelo estadístico. La aproximación condicional es un reto potencial y de fuerza. De fuerza porque libera a científicos e investigadores de distintas disciplinas o con diferentes preguntas para que puedan elegir su concepto de rareza o grado de extremo, con valores alternativos de ω y δ. Estas definiciones están relacionadas con la teoría del valor extremo, donde los extremos se encuentran generalmente enmarcados en términos de proximidad al máximo o mínimo. Según [CHOL08], la razón de que sea una definición ligeramente más genérica que la concerniente a la teoría del valor extremo es porque los agentes Página 37

62 Sucesos Financieros de Carácter Extremo económicos podrían preocuparse ante eventos que se desviaran de lo que es típico, incluso si esos sucesos no fueran extremos. Finalmente cabe añadir que la definición es flexible y no supone que los sucesos extremos sean infrecuentes, tal como se ha puntualizado antes. Esta característica es atractiva ya que permite la posibilidad de pequeños clusters de extremos, donde los sucesos extremos ocurren con relativa frecuencia (burbujas, crisis, pánico bancario etc). Las siguientes figuras muestran un reflejo de lo anteriormente explicado, basándonos en el trabajo de [CHOL07]. Se muestra el estudio elaborado sobre los recorridos diarios del índice Dow Jones Industrial (DJIA) desde el 26 de Mayo, 1896 al 28 de Septiembre del Usando la serie DJIA descrita, se computaron la proporción de tiempos que cada mes se desviaban más de ω desviaciones típicas de la mediana. Tanto la desviación típica como la mediana son computadas sobre los k meses precedentes, donde k = 12, 24,60 y 120 meses. Como cabe esperar la probabilidad de extremos se convierte mucho menos activa a medida que nos movemos en sucesos dentro de una desviación típica o dos desviaciones típicas con respecto a sucesos de por encima de tres desviaciones típicas. En las Figuras 3.3 y 3.4, sucesos de 1-sigma y 2- sigma, se observa un patrón en forma de U para todos los periodos de referencia. Las figuras 3.5,3.6 y 3.7, sucesos de 3-sigma, 4-sigma y 5-sigma muestran, como era de suponer, que las distribuciones se van convirtiendo y concentrando más en torno al cero, con el horizonte más pequeño de 12 meses siendo el último en tener todas sus probabilidades a cero. Figura 3.3- Distribución de sucesos 1-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) fuente: [CHOL07] Página 38

63 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Figura 3.4- Distribución de sucesos 2-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) fuente: [CHOL07] Figura 3.5- Distribución de sucesos 3-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) fuente: [CHOL07] Página 39

64 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Figura 3.6- Distribución de sucesos 4-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) fuente: [CHOL07] Figura 3.7- Distribución de sucesos 5-sigma del índice Dow-Jones Industrial (DJIA) fuente: [CHOL07] Página 40

65 Sucesos Financieros de Carácter Extremo 3.4 GRÁFICOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS COMO ACERCAMIENTO A CARÁCTER EXTREMO DE UN SERIE TEMPORAL Introducción Un proceso bajo control es aquel cuyo comportamiento con respecto a variaciones es estable a lo largo del tiempo. El control estadístico de procesos (SPC) es, desde la perspectiva de calidad, una herramienta muy importante y utilizada para controlar la variabilidad de fondo en un proceso, mediante técnicas estadísticas que permiten seguir en tiempo real la calidad de dicho proceso. Dentro del control estadístico de procesos la técnica más utilizada son los gráficos de control, pudiéndose clasificar estos en: gráficos de control por variables, por atributos o por el número de defectos. Dichos gráficos de control permiten identificar inestabilidad y circunstancias anormales. Son una comparación gráfica de los datos de desempeño de un proceso con los límites de control estadístico calculados, dibujados como rectas limitantes sobre la gráfica. En la industria, cuando una gráfica indica una situación fuera de control, se puede iniciar una investigación para identificar causas y tomar decisiones correctivas. Antes de continuar detallando más sobre los gráficos de control utilizados en la metodología de este proyecto (ver Capítulo de Resultados), es necesario saber el porqué se ha llegado a hacer uso de este tipo de técnicas en la investigación de este proyecto. La respuesta es sencilla. Tras formalizar durante este capítulo una definición de lo que se puede distinguir como evento típico, suceso raro y suceso extremo, y ver con ella que la definición heurística que se hace de un fenómeno extremo (no típico), está muy ligada a la cantidad de desviaciones típicas que se alejan los datos frente a una referencia, se pensó que toda una disciplina estadística como el control de procesos podría encajar con la definición dada. Se trata entonces de intentar relacionar el concepto fuera de control de un punto, con el de suceso extremo, o incluso el concepto de periodo de puntos fuera de control con el de periodo de carácter extremo. Por ello, desde un punto de vista econométrico como es el enfoque del proyecto, en adelante no habrá procesos sino series de recorridos bursátiles y de divisas a las que se les aplicará estas técnicas con su consecuente interpretación y resultados. Página 41

66 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Gráficos de control por variables. Reglas de Nelson Dentro de los gráficos de control de procesos en este proyecto se han utilizado los denominados gráficos de control por variables. Es necesario definir los pasos a seguir en la elaboración de este tipo de gráficos, en el que como su nombre indica se estudia cuantitativamente las realizaciones de una variable en el tiempo. Tal como se ha definido anteriormente, se trata de una representación gráfica de la variación producida en la serie de recorridos en el tiempo, cualquier variación por encima de unos límites fijados, se considerará anómala y fuera de control, de ahí que se intente relacionar con el concepto de suceso extremo. Los componentes básicos de un gráfico de control son: Línea central (LC): línea horizontal sobre el eje del tiempo, en el punto sobre el eje vertical que representa la media o el promedio de los datos de la muestra. Los límites estadísticos de control: Frontera superior e inferior (en términos de desviaciones típicas, normalmente ±3 ) dentro de los cuales cualquier realización de la variable se considera bajo control estadístico. En la siguiente Figura 3.8, se muestra un ejemplo de este tipo de gráficos, donde se observa como un punto al estar claramente fuera de la región de control, se considera un punto fuera de control : Límite Central (LC) Figura 3.8- Ejemplo de gráfico de control por variables Página 42

67 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Los pasos más importantes que habría que establecer para crear un gráfico de control serían: Elegir la variable. Elegir el tipo de G.C por atributos o por variables. Elegir el tamaño de la muestra. Decidir sobre la línea central para calcular los límites de control. Puede ser el promedio de datos pasados, o un promedio deseable. Decidir sobre los límites de control. Los límites se establecen generalmente a ±3σ. Calcular los límites de control, obtención de resultados, interpretación y conclusiones. El control estadístico mediante gráficos de control tiene asociado un sinfín de investigaciones y publicaciones por su útil aplicación a diversos campos. A continuación se detallan una de las reglas más aceptadas y utilizadas en esta disciplina de las cuales algunas de ellas se han hecho uso en la metodología posterior diseñada. Estas reglas son las llamadas reglas de Nelson, que fueron inicialmente postuladas por Walter A. Shewhart en 1920, pero publicadas por primera vez en 1984 en el Journal of Quality Tecnology por Lloyd S.Nelson. Estas reglas sirven para ver si un proceso en cierto momento está fuera de control, por lo que en este proyecto han servido nuevamente para intentar relacionar el concepto de suceso extremo con punto fuera de control en los 6 casos de estudio. Las reglas están basadas en la media y las desviaciones típicas en torno a la media. Son reglas de detección de un punto fuera de control, no se trata de que se satisfagan todas las reglas, según Chambers, esto es imposible: ningún conjunto de datos podría soportar de todas las reglas de detección conjuntamente. Las 8 reglas de Nelson para detectar puntos fuera de control son, [WIKI11]: Página 43

68 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Regla 1: Un punto fuera de ±3 de la media La muestra está fuertemente fuera de control. Figura 3.9- Regla número 1 de Nelson Regla 2: 9 ó más puntos seguidos están en el mismo lado de la media Sesgo prolongado existe. Figura Regla número 2 de Nelson Regla 3: 6 ó más puntos seguidos están continuamente creciendo o decreciendo Tendencia existe. Figura Regla número 3 de Nelson Página 44

69 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Regla 4: 14 ó más puntos seguidos alternan en dirección creciendo o decreciendo Mucha oscilación Figura Regla número 4 de Nelson Regla 5: 2 (ó 3) puntos sobre 3 puntos seguidos están por encima de dos desviaciones típicas en la misma dirección Hay tendencia en media de que la muestra en media esté fuera de control. Figura Regla número 5 de Nelson Regla 6: 4 (ó 5) puntos sobre 5 puntos seguidos están por encima una desviación típica de la media en la misma dirección Hay una fuerte tendencia a que las muestras estén medianamente fuera de control. Figura Regla número 6 de Nelson Página 45

70 Sucesos Financieros de Carácter Extremo Regla 7: 15 puntos seguidos están en cualquier lado de la franja ±1 de la media Con una desviación típica, cabría esperar una mayor variación de los datos. Figura Regla número 7 de Nelson Regla 8: 8 puntos seguidos están en cualquier lado de la franja por encima de ±1 de la media Salta por encima y por debajo de la media sin pasar por una desviación típica es bastante aleatorio. Figura Regla número 8 de Nelson Todas estas reglas han servido para diseñar nuestra metodología de alerta y exploración de sucesos y periodos de carácter extremo, y fortalecer la definición heurística de suceso extremo de la que se ha partido. Burr recomienda las reglas 1 y 2, Ott las reglas 1, 2 y 5 y Nelson las reglas 1, 3, 4 y 5. Por tanto, basados en estas opiniones las reglas más aceptadas serían la 1,2 y 5 seguidas por la 3 y 4. Una de las características que también hubiera sido interesante abordar es la relación de capacidad de proceso con el carácter extremo de una serie. Se deja abierta la oportunidad al lector, recomendando para mayor detalle sobre el control de procesos la referencia [MONT05]. La combinación y aplicación de todo lo explicado en este capítulo en torno a los fenómenos extremos se fundamenta en detalle para los casos estudiados en el capítulo 8. Página 46

71 Sucesos Financieros de Carácter Extremo 3.5 PREDICCIÓN DE SUCESOS FINANCIEROS EXTREMOS. UNA REVISIÓN DE LA LITERATURA La importancia que está adoptando la temática del proyecto en los últimos años ha hecho abrir una puerta a recientes investigaciones que ponen de manifiesto la posibilidad de predecir este tipo de fenómenos extremos. Según [CHOL07] y [CHOL08], ya se han publicado diversos artículos recientes que tratan la temática de los sucesos extremos y raros en el ámbito financiero, que vienen a fortalecer la utilidad que esta investigación puede aportar y que se comentan a continuación. Barro (2006) construye un modelo de Lucas (1978) con eventos raros extremos. Weitzman (2007) desarrolla un modelo Bayesiano de recorridos de activos. Descubre que cuando agentes consideran la posibilidad de extremos, hay un cambio completo del precio de los activos más importantes. Chichilnisky (2007) muestra que si extendemos la utilidad esperada al considerar respuestas extremas a eventos extremos, entonces podemos abordar las paradojas de la teoría de decisión, tales como las debidas a Allais (1953) y Ellsberg (1961). La investigación de Bazerman y Watkins (2004) sugiere que ciertos eventos sorpresa en la sociedad moderna son predecibles, ya que puede existir suficiente información para conocer que esos eventos son inminentes. Montier (2002) discute sobre si los crashes y outliers son endógenos, debido quizás a la preponderancia de los vendedores relativa a los compradores. Gabaix, Gopikrishnana, Plerou y Stanley (2006) desarrollaron una teoría de la volatilidad de las acciones. Basándonos en los efectos de las externalidades anteriormente mencionadas, hay dos importantes trabajos relacionados que conciernen a teorías de corrupción, evasión de impuestos, burbujas y crisis. Andvig y Moene (1990) demuestran que la corrupción aumenta debido al bajo coste moral de aceptar sobornos. Sandmo (2005) discute sobre la posibilidad, basado en un argumento de conciencia social, de que la evasión de impuestos llevada a cabo por un único individuo que pague impuestos, es menos arriesgada, siempre que más individuos sean percibidos como evasores de impuestos. Allen y Gale (2007) argumentan sobre la noción de que las burbujas financieras puedan ser precipitadas por problemas de incentivo y de responsabilidad limitada, que reduce el coste del riesgo de una persona. Página 47

72 Series temporales clásicas Capítulo 4 Series temporales clásicas Hoy por hoy, la estadística es una herramienta fundamental para la comprensión del comportamiento de una población o serie de datos. Esto supone disponer de datos de al menos una variable. Estas variables están presentes al estudiar distintos sucesos los cuales se caracterizan por no ser deterministas. Cuando se estudia un fenómeno en cualquier ámbito se suelen recoger una serie de datos que han de ser tratados para conocer el funcionamiento del fenómeno y obtener una serie de conclusiones. Es de vital importancia la forma en la que se recogen los datos y se representan. 4.1 LA NECESIDAD DEL ANÁLISIS DE DATOS EN LA INGENIERÍA FINANCIERA La ingeniería como actividad se dedica a la búsqueda de soluciones para distintos tipos de sectores. Esta búsqueda de soluciones siempre ha requerido de recopilación y análisis de datos. En la actualidad, las tecnologías permiten recoger gran cantidad de datos en cualquier ámbito y por tanto, parece obvio que el análisis de los mismos sea obligatorio para la comprensión y control de procesos. Tipología de los datos Datos Cualitativos No son métricos, son atributos, características, categorías que identifican a un conjunto de datos. Ejemplo: color de un coche Datos Cuantitativos Son métricos y por tanto, permiten diferenciar las distintas observaciones en cantidad o grado. Ejemplo: potencia de un coche Página 48

73 Series temporales clásicas Se representan de forma discreta si es una cantidad que pertenece a un conjunto finito y de forma continua si la variable puede tomar cualquier valor de un intervalo. Si lo que se analiza es una característica o variable los datos obtenidos son de tipo unidimensional mientras que si se analizan varios caracteres se obtienen datos de tipo multidimensional Escalas Ratios Se caracterizan por poseer un cero natural que se correspondería con la ausencia del fenómeno en estudio en una observación puntual. Tienen una unidad de medida constante (moneda, kg, km). Permiten saber cuantas veces un objeto es mayor que otro. Escalas de Intervalo No poseen un cero natural. La distancia entre dos puntos adyacentes es igual. Como no existe cero podemos sumar, restar y comparar pero no se pueden multiplicar ni crear ratios. Permiten calcular moda, mediana, media, rango y desviación típica. Ejemplo: temperatura. Escalas Ordinales Permiten clasificar objetos siguiendo un orden según tengan un grado mayor o menor de una característica. No se puede comparar un objeto con otro ya que no hay una medida de dimensión. Permiten calcular moda y mediana. Ejemplo: posición de los pilotos en una carrera. Página 49

74 Series temporales clásicas Escalas Nominales Permite dividir una población de datos en clases dentro de las cuales los objetos se consideran equivalentes. La únicas operaciones que pueden efectuarse se basan en relación de equivalencias (se cuentan los elementos por clases). Un caso particular es el de las variables dicotómicas o booleanas que analizan la presencia o ausencia de una característica. Permite calcular la moda y frecuencias. Ejemplo: el sexo de una persona. En el caso de las series temporales los datos recogidos serán bidimensionales ya que se necesita saber la posición en el tiempo del objeto y su valor. La posición correspondería a una escala de tipo ordinal y el valor se puede medir por una escala métrica. 4.2 CONCEPTOS BÁSICOS DE SERIES TEMPORALES CLÁSICAS (STC) Definición Es una sucesión de observaciones consecutivas de una variable en distintos momentos del tiempo. Estas series pueden ser continuas (se puede conocer la variable en estudio en cualquier instante de tiempo) o discretas (los valores de la serie se recogen en intervalos de tiempo igualmente espaciados). Si a la variable estudiada la llamamos "Y", y al instante de tiempo le llamamos "t", la serie será representada de la siguiente forma: {Y(t)} con t = 1,,n y la predicción en el instante t + 1 se representara de la forma Ŷ(t+1). Página 50

75 Series temporales clásicas Métodos de predicción en función del origen de los datos Hay dos categorías en las que se engloban las predicciones: métodos cuantitativos y cualitativos: Los métodos cuantitativos de predicción requieren que existan tres condiciones: Disponibilidad de información en el pasado. La información debe ser cuantificada en datos numéricos. Se puede asumir que aspectos que ocurrieron en el pasado puedan continuar en el futuro (suposición de continuidad). La crítica que reciben los métodos cuantitativos es que no pueden describir el futuro con precisión porque todo está cambiando continuamente. Hay dos principales modelos de predicción cuantitativos: series temporales y modelos explicativos. Los modelos explicativos se basan en que la predicción de una variable dependerá de la relación de otras variables independientes, por lo que el objetivo es descubrir la forma de relacionar las variables. Las series temporales tratan el sistema como una caja negra, se basan en valores pasados de variables pero no exploran como afectan éstas al sistema, por lo que el objetivo es extrapolar lo acontecido históricamente al futuro. Tanto las series temporales como los modelos explicativos tienen ventajas, los primeros son fáciles de usar mientras que los segundos pueden ser muy exitosos en la toma de decisiones. Existen dos tipos de análisis dentro de los métodos cuantitativos: Análisis univariante: se realizan las previsiones utilizando únicamente información de la serie en estudio (métodos de alisado y modelos ARIMA). Análisis causal: El comportamiento de la serie se explica por factores externos (análisis de la regresión y análisis multivariante de series temporales). Página 51

76 Series temporales clásicas Los métodos cualitativos requieren una decisión en base al conocimiento acumulado. La utilidad de este método es más difícil de medir y son utilizados conjuntamente con métodos cuantitativos. Son opiniones de expertos que se utilizan para predecir sucesos futuros de modo subjetivo. Se suele utilizar en series en las que el pasado no es relevante para los valores futuros o cuando no se dispone de datos sobre el pasado o de técnicas para analizarlo. Figura 4.1- Serie temporal clásica de predicción de la inflación Componentes de una serie temporal Los componentes generales de una serie temporal son los siguientes: Tendencia (Trend): Evolución a largo plazo de la serie. Se puede definir como un cambio a largo plazo que se produce en relación al nivel medio, o el cambio a largo plazo de la media. La tendencia se identifica con un movimiento suave de la serie a largo plazo. Factor cíclico (Cycle): Movimientos oscilatorios por encima y por debajo de la tendencia. Página 52

77 Series temporales clásicas Estacionalidad (Seasonal Component): Se trata de fluctuaciones periódicas cuya duración esta acotada por el calendario (diario, semanal, mensual, trimestral ) y que se repiten sucesivamente. Movimiento irregular (irregular or reminder): Variaciones esporádicas no recogidas en los anteriores. Una vez identificados los componentes anteriores y después de haberlos eliminado, persisten unos valores que son aleatorios. Se pretende estudiar qué tipo de comportamiento aleatorio presentan estos residuos, utilizando algún tipo de modelo probabilístico que los describa. Pueden ser de 2 tipos: -Aleatorio: pequeños efectos accidentales. -Errática: no se puede predecir. Normalmente se considera que la parte residual solo está formada por la componente aleatoria ε t y que representa impactos producidos por el azar cuya media es constante e igual a cero y tiene una varianza constante en el tiempo σ 2. Una serie temporal {ε t} es un proceso de Ruido Blanco si se verifica lo siguiente: 1. E(ε t ) para todo t. 2. E(ε t, ε t ) para todo t distinto de t. Esto se traduce en que las observaciones de la serie presenten incorrelación. 3. V(ε t ) = σ para todo t. Un proceso de ruido blanco (no exige normalidad aunque esta pueda ser habitual) es totalmente impredecible puesto que al no tener memoria los valores pasados de la serie no aportan información sobre lo que puede suceder en el futuro. Este concepto ha sido trascendental para el desarrollo de la metodología desarrollada que posteriormente se analiza con detalle Página 53

78 Series temporales clásicas Métodos de descomposición clásicos De forma algebraica podríamos expresar una serie temporal de la siguiente forma: =,, donde: es el valor de la serie temporal en el periodo t es la componente estacional (fluctuaciones periódicas) en el periodo t es el componente tendencia(evolución de la serie) y factor cíclico (Movimientos oscilatorios sobre la tendencia) en el periodo t es componente irregular (variaciones aleatorias) en el periodo t La siguiente figura muestra la descomposición gráfica de los componentes de una serie: Figura 4.2- Métodos de descomposición clásicos Página 54

79 Series temporales clásicas En primer lugar en el cuadro tendríamos la serie temporal observada. En segundo lugar observamos la componente correspondiente a la tendencia y al ciclo de la serie. Suele indicarnos el comportamiento de la serie a largo plazo. En ese caso podemos ver que es una serie con tendencia creciente. En tercer lugar tenemos aislada la componente estacional. Esta componente suele ser un patrón que se repite a lo largo de toda la serie continuamente cada cierto periodo de tiempo (longitud de la estacionalidad). En este caso es de 12 meses. Por último tenemos una componente residual que no se puede predecir. Si sumamos las 3 series obtenemos la serie inicial observada. Dependiendo de la relación entre las distintas componentes habrá distintos modelos de descomposición: Descomposición aditiva: Los valores que toma la serie en el tiempo se obtienen sumando las diferentes Componentes: Yt = Tt +Ct + Et + It [4.1] Descomposición multiplicativa: Los valores que toma la serie se obtienen multiplicando los distintos componentes. De esta forma las oscilaciones en la serie son más acusadas que de forma aditiva: Y = T t* C t* E t *I t [4.2] Descomposición Mixta: Los valores de la serie se obtienen sumando y multiplicando los distintos componentes. Una parte surge de forma multiplicativa entre la tendencia, el factor cíclico y la estacionalidad. Se añade un elemento irregular que se manifiesta de forma aditiva. Yt = Tt *Ct *Et + It [4.3] Página 55

80 Series temporales clásicas Figura 4.3- Esquema de Tendencia y Componente Estacional de una serie En esta figura se puede observar el comportamiento gráficamente de una serie en función de dos de sus componentes, la tendencia y la estacionalidad. Además de eso también ilustra la diferencia para estas dos componentes cuando son nulas, aditivas o multiplicativas. En el caso de la tendencia vemos que cuando no está presente la serie permanece estable en torno a un valor. En el caso de que la serie tenga tendencia y esta sea aditiva la serie adquiere una pendiente constante negativa o positiva (rampa). En el caso de que la tendencia sea multiplicativa esto hace que la pendiente de la tendencia de la serie sea cada vez mayor en valor absoluto creciendo exponencialmente. Si no hay componente estacional la serie parece ruido y no se repite ningún patrón cada cierto periodo de tiempo. En caso de que se repita un patrón cada cierto periodo de tiempo con picos y valles similares estaremos ante una componente estacional aditiva. Si por el contrario a medida que avanza la serie los máximos y mínimos del patrón se van separando (divergen) estamos ante un caso de componente estacional multiplicativa. Página 56

81 Series temporales clásicas Gráficos de descomposición Se pueden separar cada uno de los componentes que dan lugar al dato (componente estacional, tendencia del ciclo e irregular) en gráficos diferentes para una mejor visualización. Ajuste estacional La descomposición es un camino fácil para calcular el ajuste estacional de datos. Para un descomposición aditiva, el ajuste estacional sería la resta al dato de ésta componente estacional, dejándolo igualado la tendencia del ciclo y el componente irregular. = + [4.4] Las series de ajustes estacionales muestran el dato después de que las variaciones estacionales han sido eliminadas. Página 57

82 Series temporales clásicas 4.3 MEDIDAS DE PRECISIÓN PARA SERIES CLÁSICAS Evaluación de metodología de predicción La estrategia que se sigue para evaluar un modelo es la siguiente: 1) Se divide la serie que se pretende estudiar se divide en 2 partes. Una de estas partes que representara aproximadamente 2/3 (conjunto de inicialización o entrenamiento) de los datos se utiliza para estimarlo el modelo y el tercio restante para testearlo. 2) Se elige un método de predicción de una lista de métodos posibles. 3) Se estiman los valores de los parámetros del método para minimizar el error en el conjunto de entrenamiento. 4) El método obtenido en la fase anterior se prueba y se compara con el conjunto de datos reservado para testearlo. 5) Si el método ha funcionado muy mal con el conjunto de test, se vuelve al paso 3. 6) Se comparan todos los métodos y se elige aquel que haya dado mejor resultado y que resulte más previsible Medidas de error Cuando se tienen observaciones y predicciones para n periodos de tiempo se dispondrá de n términos de error a los que se define de la siguiente manera: Como la diferencia entre la observación actual de un periodo t y la predicción para ese mismo periodo (one-step forecast error). = [4.5] Si existen observaciones para n periodos de tiempo, tendremos n términos de errores y podremos calcular la media de esos errores como: = [4.6] Página 58

83 Series temporales clásicas El ME (Error medio o Mean Error) no da información de la dimensión del error puesto que se pueden anular errores positivos con negativos, tenderá a ser un valor pequeño ya que los errores positivos o negativos tienden a compensarse. Como los errores positivos y negativos se compensan esta medida de error nos sirve para indicar si hay infra-predicción o sobre-predicción. Para solucionar esto se usa el MAE (Error absoluto medio o Mean absolut error), la media de los valores absolutos de los errores: = [4.7] Al igual que al MAE está el MSE (Error cuadrático medio o Mean Squared Error) media cuadrática de los errores definido como: = [4.8] Esta medida de precisión depende de la escala de los datos, por lo que no permite comparación entre diferentes series temporales o diferentes intervalos temporales (por ejemplo, meses y años). Para dar solución a esto se define el: PE (Error en porcentaje) = 100 [4.9] Consecuentemente, se definen el MPE (Error en porcentaje medio) y el MAPE (Error en porcentaje absoluto). = [4.10] = [4.11] El MAPE informa del porcentaje de error promedio sin que unos errores se compensen con otros. Página 59

84 Series temporales clásicas Comparación entre métodos de predicción Ninguna de las medidas anteriores proporciona una base sólida con la que comparar métodos para ver cual es más preciso. Para ello se definen una serie de métodos muy simples (métodos ingenuos 1 y 2) que puedan servir de referencia para la comparación. La diferencia entre el EPA o EPAM de un método sofisticado y uno ingenuo proporciona una medida de la mejora alcanzable por el método sofisticado. Para saber a partir de que medidas se indica si una predicción es buena o mala se definen unos métodos simples contra los cuales se puede comparar el rendimiento de muchos métodos sofisticados. El primer método esel método ingenuo NF1 (Naive forecast 1), usa la observación mas reciente disponible. El método NF2 (Naive forecast 2) considera la posibilidad de que las series sean estacionales, por lo que borrara los datos considerados estacionales, obteniendo los valores más recientes ajustados estacionalmente Estadístico U de Theil Nos ofrece una medida con la que comparar el método sofisticado respecto al método ingenuo asignando mayor peso a los errores desproporcionados frente a los errores pequeños. De manera que el estadístico U de Theil queda de la siguiente forma: donde, = [4.12] = +1 [4.13] = +1 [4.14] FPE es una medida del cambio relativo según la predicción, y APE una medida del cambio relativo real. Página 60

85 Series temporales clásicas El estadístico se interpreta de la siguiente forma: Para U = 1 el método ingenuo es igual de efectivo que el método sofisticado. Para U > 1 el método ingenuo es mejor que el sofisticado y por lo tanto éste debe descartarse. Para U < 1 el método sofisticado es mejor que el método ingenuo. Cuanto menor sea el estadístico U mejor es el método de predicción. Suponiendo que tenemos dos modelos de predicción que tienen un valor inferior a uno en el estadístico U de Theil. Si combinamos estos 2 modelos haciendo una serie nueva que sea la media de las previsiones de ambos modelos obtendríamos un tercer modelo con estadístico U de Theil inferior al de los 2 modelos que hemos utilizado para elaborar la serie. 4.4 MÉTODOS Y MODELOS PARA SERIES CLÁSICAS Métodos básicos en la predicción de series temporales Si el proceso que se estudia se encuentra en equilibrio en torno a un valor (media), la varianza es constante en el tiempo y la covarianza únicamente depende del número de periodos transcurridos entre observaciones. En estos casos la media será el mejor método de predicción siempre que no haya un efecto estacional (ya que con la media no se podría obtener el patrón que siguen los datos). Si el proceso tiene tendencia o una componente cíclica una media simple no sirve para capturar el patrón de datos Método Ingénuo o Random Walk Utiliza la observación más reciente disponible como predicción. F t+1 = Y t [4.15] Página 61

86 Series temporales clásicas Modelos de Medias Constantes Media constante Método simple, se cogen la media aritmética de todos los datos observados. Cuando se observa un nuevo dato, se añade al conjunto anterior y se calcula de nuevo la media. = [4.16] Para no almacenar todos los datos históricos se puede hacer de manera recursiva almacenando solamente los datos observados recientemente y la ultima predicción. Media móvil Para que los datos antiguos no influyan mucho se especifica un conjunto de datos históricos. Las principales características son que trabaja solo con los k últimos periodos de datos conocidos y el número de puntos con los que trabaja es siempre el mismo. = [4.17] Las desventajas de este método es que requiere mucho almacenamiento y no maneja la tendencia de los datos muy bien. El uso de pocos datos históricos penaliza el suavizado de datos. Habitualmente no se utiliza este método ya que hay otros métodos, como el alisado exponencial, que son más efectivos. En el siguiente gráfico observamos el número de abridores eléctricos que se han vendido durante 12 meses. Se observa que la serie pronosticada tiende a eliminar los valores extremos ya que alisa la serie original. Página 62

87 Series temporales clásicas Figura 4.4- Ejemplo comparativo MA(3) y MA(5) fuente: [MAKR98] En color azul tenemos un modelo de Media Móvil de orden 3 MA(3) y en color rojo un modelo de Media Móvil de orden 5 MA(5).En la siguiente imagen se compara el funcionamiento de un modelo de Media estática y otro de Media Móvil MA(5). En ella podemos observar como la Media Estática no es capaz de absorber el incremento que se produce entre el periodo 8 y 9. Figura 4.5- Ejemplo comparativo MA(5) y Media constante fuente: [MAKR98] Página 63

88 Series temporales clásicas Alisado exponencial simple El método suavizado exponencial simple usa la predicción del periodo anterior y la ajusta usando el error de predicción (diferencia entre el valor observado y el valor predicho). Por lo tanto la predicción en t+1 sería igual a la predicción en t mas una constante de valor entre 0 y 1 que multiplica al error de predicción en t. = + [4.18] Si el valor de esta constante se acerca a 1 hay un error considerable a tener en cuenta en la predicción previa. Esta ecuación también se puede escribir como: = + 1 [4.19] Donde α toma valores entre 0 y 1 Este método requiere un poco de almacenamiento y proceso de computación. Si el valor de la constante es menor la predicción inicial juega un mayor papel que si el valor de la constante es mayor. El problema que presenta este método es encontrar el valor óptimo de la constante pudiendo establecer su valor con la ayuda de las medidas de error vista previamente Suavizado exponencial simple: enfoque adaptado Tiene la ventaja que permite modificar el valor de la constante de una manera controlada, cuando los cambios en el patrón de datos se producen. La ecuación es la misma que la anterior con la salvedad que el valor de la constante se calcula con el valor absoluto del error de la predicción estimada suavizada entre el valor absoluto del error de predicción suavizado. = + 1 [4.20] Página 64

89 Series temporales clásicas = = + 1 = + 1 = β es un parámetro que toma valores entre 0 y 1. Es importante controlar los cambios de α. Una forma de conseguirlo es asignando a β valores pequeños. También se le puede poner un valor límite a α. Las predicciones por este método pueden no ser tan buenas como las de SES con un α óptimo pero se reduce el riesgo de cometer grandes errores. Figura 4.6- Ejemplo comparativo de varios alisados fuente: [MAKR98] Página 65

90 Series temporales clásicas En la imagen podemos ver como para a = 0.9 (color rojo) la predicción da mucho peso a la última observación y la serie obtenida es prácticamente la misma con un retraso de un periodo (método ingenuo). Para el valor a = 0.1 (color verde), el más pequeño de todos, la serie se vuelve prácticamente plana Método lineal de Holt Este método se usa para modelar la tendencia, utiliza 2 parámetros α y β constantes (que toman valores entre 0 y 1) y 3 ecuaciones. = = + 1 = + [4.21] L t estima el nivel de la serie en el instante t. b t denota la pendiente de la serie en el instante t. A continuación se compara el método de Holt con el de Alisado Exponencial. Como ejemplo utilizamos una serie que representa la demanda de un producto de un inventario a los largo de 30 meses. Página 66

91 Series temporales clásicas Figura 4.7- Ejemplo comparativo de Holt y alisado fuente: [MAKR98] En el ejemplo, se utilizan las 9 primeras observaciones para inicializar los métodos y en el periodo 10 al 24 se testea cada método. Una diferencia a destacar es que por el método de Holt una vez que se terminan las observaciones el método mantiene la tendencia mientras que la predicción de SES continúa con pendiente nula desde el último valor obtenido Método de Tendencia y Componente Estacional Holt-Winters Se basa en 3 ecuaciones. Una para controlar el nivel, otra para la tendencia y una última que controla la componente estacional de la serie. Hay 2 métodos dependiendo de si la componente cíclica se modela de forma aditiva o multiplicativa. Componente estacionalidad es multiplicativa : : = = 1 Página 67

92 Series temporales clásicas : = + 1 ó : = + [4.22] Componente estacionalidad es aditiva = : = 1 : = + 1 ó : = + + [4.23] Es importante saber que L t es un valor del nivel de la serie desestacionalizada. Al inicializar el nivel, se promedian todos los valores de una estación completa, el efecto estacional desaparece y se obtiene una estimación del nivel de la serie. Los parámetros α, β y γ se pueden calcular para minimizar el MSE o el MAPE. Aplicamos el método para una serie en la que se analiza el número de ventas en miles de francos de un producto a lo largo de 7 años. Página 68

93 Series temporales clásicas Figura 4.8- Ejemplo comparativo de Holt-Winters estacional y alisado fuente: [MAKR98] La serie observada tiene una componente estacional muy clara que ninguno de los 2 métodos es capaz de modelar, ni el de Alisado Exponencial Simple (SES en azul) ni el método de Holt (rojo). Cabe destacar que por SES se consigue una componente estacional que no es la correcta. El método de Holt por el contrario capta correctamente la tendencia de la serie pero no parece que capte en absoluto ningún tipo de componente estacional Clasificación de Pegels Pegels realiza un cuadro en el que nos vienen las formulas necesarias para el modelado de series con o sin tendencia o componente cíclica. En caso de que la serie tenga componente estacional o tendencia también distingue entre aditiva o multiplicativa. Página 69

94 Series temporales clásicas Figura 4.9- Clasificación de Pegels fuente: [MAKR98] En la figura faltan por añadir dos modelos con tendencia amortiguada que se muestran a continuación, consultar [TAYL03]: Figura Modelos con tendencia amortiguada fuente: [TAYL03] Donde φ es el coeficiente de amortiguamiento para la tendencia. Página 70

95 Series temporales clásicas Resumen de los modelos de predicción clásicos Figura Métodos clásicos de predicción La principal diferencia entre los dos grupos es que mientras que los métodos de medias se basan en la asignación de unos pesos iguales a cada una de las observaciones, los métodos de alisado exponencial, como su nombre indica, asigna pesos de forma exponencial decreciente, es decir, asigna pesos mayores a las observaciones más cercanas al momento de estudio (t). Para el lector que desee una mayor información al respecto se aconseja consultar [MAKR98] Modelos Autorregresivos de medias móviles A lo largo de este apartado se explican algunos modelos básicos utilizados para el estudio de la volatilidad histórica (modelos HISVAL), tales como el autorregresivo simple (modelo AR), la media móvil (modelo MA) o la combinación de ambos métodos sin o con procesos de integración (modelos ARMA o ARIMA, respectivamente). Sin embargo, antes de su presentación se expondrán algunos conceptos generales necesarios. Página 71

96 Series temporales clásicas Conceptos generales previos Función de autocorrelación. (ACF- AutoCorrelation Function) Un estadístico muy importante del análisis de series es el coeficiente de auto correlación, es decir, la correlación de la serie consigo misma retardada uno, dos o más periodos. La función de autocorrelación de los errores de predicción de un solo paso es muy útil para determinar si hay patrones en los errores después de haber aplicado un modelo de predicción. Si la autocorrelación entre dos observaciones es grande denota que hay un patrón estacional en el error de la serie. Fluctuaciones en torno a cero son aceptables. La autocorrelación entre dos valores se obtendrá con la siguiente fórmula: = [4.24] t=1...k Aplicándola a cada par de datos consecutivos se obtendrá la ACF. r 1 indica con que fuerza los valores de Y t están relacionados con Y t-1, r 2 indicaría la fuerza con la que las observaciones de la serie están relacionadas con observaciones de 2 periodos Y t-2 anteriores y así sucesivamente. En la siguiente imagen podemos observar la función de autocorrelación de los errores de predicción obtenidos al aplicar el método ingenuo NF1: Página 72

97 Series temporales clásicas Figura ACF aplicado a modelo de predicción ingenuo fuente: [MAKR98] Coeficiente de autocorrelación parcial. (PACF- Partial Auto Correlation Function) Las autocorrelaciones parciales se usan para medir el grado de correlación que existe entre y después de haber eliminado todos los efectos lineales de las variables intermedias. El coeficiente de autocorrelación parcial se calcula por regresión de la siguiente forma: = [4.25] Página 73

98 Series temporales clásicas Estacionariedad en series temporales Existe estacionariedad cuando las funciones de distribución conjuntas son invariantes con respecto al desplazamiento del tiempo, es decir, cuando los datos fluctúan alrededor de una media constante, independiente del tiempo, y la varianza de la fluctuación se mantiene constante en el tiempo. Podemos evaluar la estacionariedad usando gráficos temporales. Si no existen evidencias de cambios de la media en el tiempo decimos que la serie es estacionaria en su media. En el caso de que no muestre cambio en la varianza en el tiempo decimos que es estacionaria en su varianza. Una forma de detectar estacionariedad es mediante el coeficiente de autocorrelación ó coeficiente de autocorrelación parcial. - Serie no estacionaria en la media Russell 2000 WKLY Sep-87 Sep-89 Sep-91 Sep-93 Sep-95 Sep-97 Sep-99 Sep-01 Sep-03 Sep-05 Sep-07 Figura Serie no estacionaria en media En este caso observamos una serie que a lo largo del tiempo muestra una varianza constante pero observamos que el proceso no permanece constante entorno a un valor. Por tanto, aunque la varianza permanece constante la serie no es estacionaria ya que la media no mantiene un nivel constante. Página 74

99 Series temporales clásicas - Serie no estacionaria en la varianza Figura Serie no estacionaria en varianza. Recorridos del BBVA mensuales En este caso al contrario que el anterior la media de la serie si está controlada y permanece cercana a un valor constante pero la serie sigue sin ser estacionaria ya que en esta ocasión es la varianza la que no permanece estable entorno a un valor sino que empieza siendo muy pequeña y va creciendo. - Serie estacionaria en la media y en la varianza Figura Serie estacionaria en varianza y media. Recorridos diarios de la divisa -$ Por último tenemos una serie en la que la media permanece estable en un nivel y la varianza aunque parece bastante grande permanece estable en torno a un valor por tanto, podemos decir que la serie es estacionaria. Comúnmente en las series no estacionarias la función de autocorrelación es decreciente. En la imagen podemos ver el índice Russell La función de autocorrelación y función de autocorrelación parcial confirman la no estacionaridad de la serie aunque en este caso con la representación grafica de la serie ya es suficiente. Página 75

100 Series temporales clásicas Russell 2000 WKLY Sep-87 Sep-89 Sep-91 Sep-93 Sep-95 Sep-97 Sep-99 Sep-01 Sep-03 Sep-05 Sep-07 8% 6% 4% 2% 0% -2% -4% -6% -8% ACF % 6% 4% 2% 0% -2% -4% -6% -8% -10% PACF Figura Serie no estacionaria índice Rusell2000 semanal con su ACF y PAC Página 76

101 Series temporales clásicas Transformar una serie no estacionaria en estacionaria Es importante eliminar la no estacionariedad, un método para esto es el de diferenciación. El cambio entre cada observación es la siguiente: = [4.26] En ocasiones, las deferencias obtenidas de primer orden no parecen estacionarias, y será necesario aplicar la diferenciación una segunda vez. Si aplicamos este método con una serie en la que tengamos los valores del Dow-Jones durante 251 días obtendríamos la siguiente serie diferenciada. Figura Serie de las diferencias índice Dow-Jones. ACF abajo a la izquierda y PACF abajo a la derecha fuente: [MAKR98] Página 77

102 Series temporales clásicas Gráficamente la serie resultante (Dow-Jones Diferenciada) parece estacionaria ya que es estable entorno a un valor y la varianza permanece constante. En los dos gráficos de autocorrelación vemos que no hay ningún valor significativo. De esta forma se afirma que la serie es estacionaria Test para estacionariedad de series. Test de raíces unitarias y Test de Dicky- Fuller. Una función ACF que decae lentamente indica una gran raíz característica, una raíz unitaria o un proceso de tendencia estacionario. A modo de introducción podríamos decir que para determinar si una serie es estacionaria existen los test de raíces unitarias. El test de Dickey-Fuller es una de estas pruebas y hay que estimar el modelo de regresión siguiente: =ø [4.27] donde es la diferencia entre y el retraso entre términos suele ser sobre 3 (p). Si es estacionaria el valor de ø será negativo, este valor será obtenido usando mínimos cuadrados ordinarios, y habrá que acudir a las tablas de Fuller (ver figura 4.18) y ver si este es significativo para poder considerar la serie estacionaria. Paso a paso - Definición básica del contraste: [4.28] - La distribución de probabilidad asintótica del parámetro estimado a1 presenta una discontinuidad cuando vale 1 dada la no-estacionariedad en varianza de y t. Página 78

103 Series temporales clásicas - Debemos usar las tablas de Dickey (1976) y Fuller (1976) o Mackinnon (1991) - El modelo operativo utilizado es: [4.29] - Los valores de referencia para el contraste del parámetro g dependen del proceso generador de datos elegido: Modelo 1 (simple) (t): [4.30] Modelo 2 (con constante) (tm): [4.31] Modelo 3 (con constante y tend. determinista) (tt): [4.32] - Puede además contrastarse alguna hipótesis conjunta de parámetros [4.33] Página 79

104 Series temporales clásicas - Por último cabe la posibilidad de contrastar la nulidad de los parámetros [Surinach et al. 1995] Figura Tabla resumen del test DF - Debe pensarse siempre en la posibilidad de la existencia de más de una raíz unitaria (Charemza y Deadman (1992) ó Dickey y Pantula (1987) -Por último cabe destacar este esquema de Charemza y Deadman del año 1992, en el que se ve el proceso general de aplicación de un test de Dicky-Fuller (Figura 4.19). Durante la investigación de este proyecto se ha utilizado el test ADF (Augmented Dicky-Fuller test, ver [MAKR98] para mayor detalle) con el fin de analizar que periodos eran considerados paseos aleatorios (Random Walk) y por tanto, probabilísticamente descartados como Ruido Blanco. Este hecho ha sido fundamental en el desarrollo de la metodología y el análisis exploratorio de periodos extremos de la series, puesto que una de las grandes conclusiones es que se ha evidenciado que en cualquiera de las series analizadas mientras se estuviera en un periodo de ruido blanco, la serie se comportaría de forma estable (no convulsa o no extrema) en capítulos posteriores se entrará en detalle sobre esto. Por tanto, como herramienta de gran utilidad, el ADF ha servido para descartar aquellos periodos que no se comportaran Página 80

105 Series temporales clásicas como un ruido blanco en las series. Por todo ello se ha utilizado también las siguientes reglas en el estudio de búsqueda de periodos de ruido blanco y periodos de NO ruido blanco, jugando con la serie original y(t) y la serie de las diferencias dif_y(t): Si y(t) es ruido blanco dif_y(t) no necesariamente ruido blanco Si dif_y(t) es ruido blanco y(t) es un paseo aleatorio Figura Esquema Charemza y Deadman del test DF Operador de retardo. Para los datos estacionales que son no-estacionarios aplicaremos diferencias estacionales. Esto es la diferencia entre una observación y la observación correspondiente al año anterior o genéricamente un número de estaciones. Para ver la estacionariedad usaremos el operador de retardo B: = [4.33] Por lo tanto, B representa el cambio de los datos entre un periodo. También se puede hacer para el cambio entre distintos periodos. La diferenciación, en consecuencia, puede ser formulada así: = 1 [4.34] Página 81

106 Series temporales clásicas Ruido Blanco El concepto de ruido blanco es probablemente uno de los pilares más importantes de este proyecto. Se ha diseñado una metodología cómo análisis exploratorio de la predicción de sucesos extremos, distinguiendo periodos estables y convulsos. Se ha podido concluir en todas las series analizadas empíricamente, que no hay evidencia de periodos de comportamiento extremo o convulso si estamos ante un periodo de ruido blanco. Denominamos ruido blanco a la señal que se caracteriza porque sus valores de señal en dos instantes de tiempo diferentes no guardan correlación estadística. Esta distribución se puede aproximar a una normal de media cero y de error estándar 1/ donde n es el número de observaciones. Un modelo para este tipo de ruido sería el siguiente: Y t = c + e t [4.35] e t representa la componente de error aleatoria y c el nivel de la serie. Se espera que el 95% de los coeficientes de autocorrelación del ruido blanco se encuentren en el intervalo ± 1.96/. Si esto no se cumple es probable que la serie no sea un ruido blanco. Es por esto que es común pintar líneas que definan estos límites (valores críticos) cuando se observan graficas de la ACF. Para una serie de ruido blanco, todas las ACF deben ser iguales a cero. En la práctica, esta condición es difícil de cumplir por lo que se considerara ruido blanco si los ACF son cercanos a cero (ver Figura 4.20), en la figura 4.21 se puede observar un ejemplo claro de lo que sería un ruido blanco. Página 82

107 Series temporales clásicas Figura ACF para una serie temporal de Ruido blanco 0.50 whitenoise ACF-whitenoise Figura Ejemplo de ruido blanco Página 83

108 Series temporales clásicas Random Walk (Paseo aleatorio) En su forma más general, los paseos aleatorios son cualquier proceso aleatorio donde la posición de una partícula en cierto instante depende sólo de su posición en algún instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecuente dirección y la longitud de paso. Al igual que una serie temporal que se comporte como un ruido blanco es absolutamente impredecible, podemos decir que un paseo aleatorio (Random Walk) es una serie temporal predecible, pero en la que el método ingenuo como modelo de predicción es muy difícil de batir. Digamos que y t define una serie temporal que empieza en y(0)= y 0. Un paseo aleatorio se modela mediante la siguiente expresión: Y (t + τ) = Y(t) + Φ(τ) [4.36] Donde Φ es la variable aleatoria que describe la ley de probabilidad para tomar el siguiente paso y τ es el intervalo de tiempo entre pasos consecutivos. A medida que la longitud y dirección de un paso dado depende solo de la posición y(t) y no de alguna posición previa, se dice que el paseo aleatorio posee la Propiedad de Markov, ver para más detalle [MAKR98]. El hecho de decir que una serie temporal es un paseo aleatorio, descarta consecuentemente que sea un ruido blanco, por lo que el gráfico de ACF y PACF asociado a dicha serie tendrá que tener valores no cercanos a cero. En la figura 4.22 se puede observar un ejemplo claro de lo que sería un paseo aleatorio (Random Walk). Página 84

109 Series temporales clásicas randomwalk ACF-randomwalk Figura Ejemplo de paseo aleatorio (Random Walk) Test Portmanteau Los test de Portmanteau son aquellos que en vez de estudiar los valores del coeficiente de autocorrelación individualmente, considera un conjunto de valores de autocorrelación y desarrolla un test para ver cuando el conjunto es significativamente diferente de el conjunto cero. Uno de estos tests es el de Box-Pierce: = [4.37] Donde h es el máximo retraso considerado y es el número de observaciones en la serie. Si los coeficientes de correlación están cerca de cero será pequeña. Este estadístico se ha utilizado en el presente proyecto, con la finalidad de poder aventurar y valorar en cuanto la variable de una serie temporal es aleatoria o en cuanto manifiesta autocorrelación de tipo simple para el conjunto de retardos en que se especifica la Página 85

110 Series temporales clásicas prueba (en otras palabras, para explorar cuando un periodo de una serie se comporta como un ruido blanco y cuando ésta hipótesis se descarta, más adelante se verá como este contraste tiene mucho que ver con la presencia o no de periodos convulsos o estables en una serie). Cuando este estadístico se utiliza para medir incorrelación en un residuo producido por un modelo sobre una serie, valorando así su adecuación, la prueba se conoce como Portmanteau (combinada) de residuos para los primeros k retardos. Este estadístico es una corrección del de Box-Pierce empleado con los mismos fines. Otras denominaciones asociadas: Ljung-Box Statistic, Box-Pierce Modified Statistic, Portmanteau Test o Portmanteau Test of Residuals. En adelante se le denominará con éste último nombre Modelos Autorregresivos Simples AR(p) Los modelos autorregresivos (o modelos AR) se basan en la realización de una regresión de la variable y t sobre si misma (auto-regresión) o, dicho de una forma más precisa, sobre los valores que la variable tomo en los n periodos anteriores. Por tanto, en los modelos de autorregresión (AR) los valores dependen de los. El modelo autorregresivo más sencillo es el AR (1) que sigue el siguiente modelo: = +ø + [4.38] Si el valor de ø es cero, la serie será de ruido blanco y si es uno, será equivalente a una serie aleatoria. Los modelos de autorregresión (AR) de orden p siguen el siguiente modelo: = +ø +ø + +ø + [4.39] Y deben cumplir las siguientes características: 1<ø <1 ø +ø <1 ø ø <1 [4.40] Página 86

111 Series temporales clásicas En la práctica, el orden p de un modelo AR se desconoce y debe ser obtenido empíricamente. Para ello, los dos métodos mas utilizados son el análisis de la función de autocorrelaciones parciales y el uso de criterios de información.además, cabe destacar de los modelos AR que en series temporales con componente estacional es habitual que el desfase sea coincidente con la periodicidad de los datos. En ese caso se habla de modelos SAR Modelos de Media Móvil Simples MA (q) Otros modelos muy comunes en el análisis de series temporales son los llamados Modelos de Media Móvil, MA(q), que tratan de explicar el comportamiento de una variable y, no en función de los valores que tomo en el pasado (modelos AR) sino a través de los errores a la hora de estimar el valor de la variable en los periodos anteriores. En los modelos de medias móviles de primer orden MA(1) los valores dependen del término de error y de su valor previo y del coeficiente : = + [4.41] Donde 1< <1. Los modelos de medias móviles de orden q, MA (q) tienen la siguiente forma de ecuación: = + [4.42] Donde c es una constante, es el parámetro de media móvil y es el término de error en. Deben cumplir las siguientes características: 1< <1 + <1 <1 Página 87

112 Series temporales clásicas Una sencilla forma de estimar el parámetro de un modelo MA es utilizando la función de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales. Los Modelos de Media Móvil pueden considerarse como modelos AR de orden infinito con ciertas restricciones en los parámetros ver [TSAY02] o [PEÑA05] para más detalle Modelos Autorregresivos de Medias Móviles ARMA (p, q) Los modelos AR y MA se integran en una única expresión, los modelos ARMA (autoregressive moving average model). Por tanto, la variable y t queda explicada en función de los valores tomados por la variable en periodos anteriores y por los errores cometidos en la estimación. Para poder aplicar este modelo se debe asumir que la serie de datos a manejar es estacionaria tanto en la media como en la varianza. Los modelos autorregresivos de medias móviles ARMA(1,1) de primer orden sigue el siguiente modelo: = +ø + [4.43] La ecuación general de los modelos ARMA(p,q) es: = +ø + +ø + [4.44] Utilizando el operador retardo = 1, la ecuación general es de la siguiente forma: 1 ø ø = + 1 [4.45] Página 88

113 Series temporales clásicas Modelos Autorregresivos de Medias Móviles Integrados ARIMA(p, d, q) Los datos reales no suelen ser estacionarios, por lo que la aplicación de modelos ARMA no será correcta. Una serie temporal cualquiera, x t, se suele descomponer en tres partes: una tendencia m t, un componente estacional s t y un componente de ruido aleatorio y t que será la parte estacionaria. Eliminando ese componente estacional y el de tendencia será posible aplicar las técnicas de estimación de ARMA a la serie de datos. Por tanto, si añadimos a los modelos ARMA, que se caracterizaban por exigir que la serie tuviera estacionariedad, una componente de no estacionariedad, se obtiene los modelos ARIMA(p,d,q). Un ARIMA(1,1,1) sigue el siguiente modelo: 1 1 = + 1 [4.46] Para eliminar la tendencia en una serie de datos existen dos posibles métodos: Realizar la siguiente regresión con mínimos cuadrados, manteniendo que será la parte estacionaria. Si se eliminase la tendencia de esta forma, se estaría ante un modelo estacionario de tendencia. Diferenciar el proceso hasta que se convierta en estacionario. A veces será necesario realizar la diferenciación varias veces Si fuera necesario diferenciar el proceso d veces se diría que el proceso está integrado con un orden d o I(d) y que tiene d raíces unidad. Sera modelado como un ARIMA (p, d, q). Si se diferenciara el proceso de esta forma para hacerlo estacionario se estaría ante un proceso estacionario de diferencia. En la práctica se comprueba que el orden de la diferenciación no suele superar el segundo o tercer grado. La generalización de los modelos ARIMA (p,d,q) origina gran variedad de patrones en la función de la autocorrelación por lo que no existe una regla general para los modelos ARIMA. Para una información sobre los modelos Autorregresivos de Medias Móviles más detallada, se recomienda [TSAY02] o [PEÑA05]. Página 89

114 Metodología Bayesiana Capítulo 5 Metodología Bayesiana 5.1 QUÉ ES EL ANÁLISIS BAYESIANO DE DATOS? Introducción Las estadística puede definirse como la disciplina que nos proporciona una metodología para recoger, organizar, y para resumir y analizar un conjunto de datos. El análisis estadístico de datos puede clasificarse en dos categorías diferentes: el análisis exploratorio y el confirmatorio. El primero de ellos engloba las técnicas que sirven para representar, describir y analizar un conjunto de datos en las etapas iniciales de los análisis estadísticos. El segundo, emplea métodos de inferencia estadística basados en distribuciones de probabilidad. Atendiendo al análisis confirmatorio, éste también puede subdividirse en otras dos categorías. La primera de ellas es el enfoque frecuentista, que emplea métodos tradicionales de inferencia estadística. La segunda, conocida como enfoque Bayesiano, añade al análisis de datos el conocimiento previo del usuario acerca del problema a tratar. Dado que el enfoque frecuentista no se explicará a fondo aquí, una revisión más amplia de los diferentes métodos clásicos relacionados con el enfoque frecuentista se puede encontrar en [MONT02]. Figura 5.1- Análisis de datos fuente: [SALG07] Página 90

115 Metodología Bayesiana Aunque los métodos Bayesianos fueron presentados formalmente en un artículo de Edwards, Lindman y Savage en 1963, no fue hasta principios de la década de 1990 que este enfoque alcanzó la popularidad y un amplio uso en diversas disciplinas. Este hecho se debió al desarrollo de diversos procedimientos de simulación (especialmente las Cadenas de Monte Carlo (MCMC) o el muestreo de Gibbs) que facilitaron la puesta en práctica de los métodos Bayesianos. En el enfoque clásico frecuentista, los parámetros poblacionales (tales como la media o la varianza de la distribución) son tratados como cantidades desconocidas pero con un valor fijado. Normalmente se construyen intervalos de confianza alrededor de las estimaciones muestrales y tests basados en asumir una hipótesis nula; se espera que los datos proporcionen o no suficiente evidencia en contra de esta hipótesis. En el enfoque Bayesiano, los parámetros son tratados como variables aleatorias que siguen cierta distribución. Además, el conocimiento a priori acerca de la posible forma de esa distribución es modelada por una distribución a priori específica sobre los parámetros. Esta distribución a priori no depende necesariamente de los datos de estudio, sino que contiene la información y el conocimiento del experto acerca de la situación estudiada. Cuando no hay suficiente información a priori y el experto no dispone de conocimiento previo, debe usarse una distribución a priori no informativa. De esta manera, se asume que el conocimiento previo tiene poca importancia en los resultados y se deja que los datos hablen por sí solos. Pero la mayor parte de las distribuciones a priori no informativas no integran a 1, lo que puede causar problemas. Para solucionarlos, puede ponderarse esa distribución previa con un peso insignificante, cercano al cero. En la siguiente figura 5.2 se muestra el balance actual de la importancia de los dos enfoques anteriormente comentados. Observándose claramente como en la actualidad el enfoque Bayesiano gana más peso entre los investigadores y en el número de artículos publicados. Por otro lado cabe decir que la metodología Bayesiana La metodología Bayesiana a través de la anteriormente mencionada probabilidad o distribución a priori permite introducir aspectos subjetivos en la predicción con el grado de relevancia que el operador considere en cada caso, ver figura 5.3. Página 91

116 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS Metodología Bayesiana Enfoque Bayesiano Enfoque Frecuentista Figura Enfoque Bayesiano frente al Frecuentista. Evolución histórica del Activo subyacente. Series Temporales. Fuerzas del mercado financiero. Aspecto subjetivo. Sentimiento del Mercado. Predicción del Mercado Figura 5.3- Enfoque Bayesiano iano para predecir el sentimiento del mercado Dado que la distribución de probabilidad a priori puede tomar cualquier forma, es común escoger una que proporcione una computación y una interpretación sencilla. Ésta distribución se conoce con el nombre de probabilidades a priori conjugadas: una distribución que combinada con una función de verosimilitud da una distribución de la Página 92

117 Metodología Bayesiana misma clase que la propia distribución a priori. Hallarla no es siempre posible, lo que aumenta las dificultades del investigador para llevar a cabo el estudio. Por otra parte, y de acuerdo con [KOOP03], una conjugada natural a priori tiene la propiedad adicional de tener la misma forma que la de máxima verosimilitud. Pero no siempre es posible encontrar este tipo de distribución y el investigador tiene que manejar muchas distribuciones y ser capaz de dar expresión a su conocimiento previo sobre el problema. Este es otro obstáculo que el método no paramétrico reduce, tal cómo se verá más adelante Dependiendo del tipo de distribución a priori que se escoja, hay tres diferentes estilos dentro del enfoque Bayesiano [SALG07]: Bayesianos clásicos: consideran que se debe escoger distribuciones a priori que proporcionen muy poca información. Bayesianos paramétricos modernos: consideran que las distribuciones a priori son necesarias y que es conveniente escogerlas del tipo conjugadas. Bayesianos subjetivos: dan una importancia esencial a las distribuciones a priori, ya que consideran que son un compendio del conocimiento previo. Volviendo a la estimación Bayesiana, su base se halla en el Teorema de Bayes, que establece que para dos sucesos aleatorios A y B, [5.1] Atendiendo a RUPP [2004] y siendo θ el vector de parámetros desconocidos, Π(θ) la distribución predictiva a priori para θ, y el conjunto de datos, L(θ). La verosimilitud de θ dados los datos y Π (θ y) la distribución a posteriori para θ dados los datos: Página 93

118 Metodología Bayesiana [5.2] En determinados casos, es un valor constante. En algunas ocasiones, es muy complicado o no es necesario calcular esta constante de la ecuación. Suele ser habitual considerar que. Es decir: la probabilidad a posteriori es proporcional al producto de la verosimilitud y de la distribución a priori. En estudios más elaborados, se calcula mediante métodos de simulación, como por ejemplo el algoritmo de Metropolis-Hastings ver [VRON00]. Una vez que la distribución a posteriori está calculada, es necesaria algún tipo de medida para estimar la incertidumbre asociada a los parámetros. Esto se debe a que el uso de la distribución a posteriori no suele ser práctico para un problema. Esta medida resumirá la distribución a posteriori y podrá ser la media a posteriori, la moda o la varianza, entre otras. Su elección dependerá del problema concreto. Una vez que más datos del conjunto son observados, puede actualizarse la distribución a priori a través del Teorema de Bayes para obtener otra distribución a posteriori. Así, otra medida de incertidumbre podrá ser obtenida. En la siguiente figura 5.4 se ven claramente las distribuciones que hay detrás de un análisis Bayesiano de datos Figura 5.4- Distribuciones en juego del ANBAD Página 94

119 Metodología Bayesiana Dentro del enfoque Bayesiano cabe distinguir además una metodología Bayesiana paramétrica y una No paramétrica. La principal diferencia entre ambas es que en la paramétrica se infiere en estimar el parámetro de la distribución, lo cual sugiere algunas limitaciones en la dificultad de precisión. En cambio, en el enfoque No paramétrico directamente se trabajan con las distribuciones. A continuación se expondrá ésta última, ya que es la que se ha empleado en el proyecto, para más información del análisis Bayesiano de datos paramétrico ver [MATE06] Análisis Bayesiano de Datos No Paramétrico Para superar algunas de las limitaciones del ANBAD paramétrico, la aproximación no paramétrica presenta ciertas ventajas. Este tipo de análisis puede llevarse a cabo a través del proceso conocido como Proceso de Dirichlet, que permite expresar de una forma sencilla las distribuciones a priori de la familia de distribuciones de F. F es la función de distribución de la variable estudiada. Este proceso cuenta con un parámetro,, que es transformado en una distribución de probabilidad. Acorde a [MATE06] un proceso de Dirichlet para F(t) necesita conocer: Una propuesta previa para F(t), F 0 (t), que se corresponde con la función de distribución que muestra el conocimiento previo que el experto posee. [5.3] Una medida de la confianza sobre la propuesta anterior, notada por M, y cuyos valores pueden variar entre el 0 y infinito, dependiendo de si hay una confianza total en los datos o en la propuesta previa respectivamente. Puede demostrarse que para la distribución a posteriori de F(t), (t), con un muestreo sobre n datos, es dado por: Página 95

120 Metodología Bayesiana [5.4] Donde F n (t) es la función de distribución empírica y Con esta aproximación se evita la limitación de la aproximación paramétrica relacionada con el modelo de probabilidad, ya que no se necesita ninguna hipótesis. Además, permite otorgar una importancia cuantificada al conocimiento previo del experto, dependiendo del grado de confianza que éste tenga en el mismo. Una aplicación de los métodos Bayesianos a los datos financieros puede encontrarse en [RACH08]. 5.2 ANÁLISIS BAYESIANO EN LA PREDICCIÓN Introducción y Evolución La predicción estadística implica el uso de información disponible (datos, modelos formales, etc.) para extraer conclusiones acerca del curso de eventos futuros. La aproximación Bayesiana, tanto en inferencia, en toma de decisiones y en predicción, se condiciona en " qué se sabe" para poder hablar de " lo que no se sabe". Se podría decir por tanto, que " Predicción Bayesiana" es un concepto redundante, ya que la predicción se da de alguna forma a lo largo de todos los métodos Bayesianos. Los parámetros de un modelo, por ejemplo, no son más que valores futuros de los datos que serán generados por ese modelo. La aproximación Bayesiana tratará de una forma simétrica los dos conjuntos desconocidos. La predicción Bayesiana ha evolucionado mucho en las últimas décadas gracias al avance en computación relacionado con el desarrollo de los métodos de Markov- Monte Carlo. Atendiendo a [GEWE06] esta evolución podría dividirse en varias etapas que se describen brevemente a continuación. Página 96

121 Metodología Bayesiana El comienzo de la predicción Bayesiana Hasta mediados de los años 80 y debido a la dificultad computacional existente en el método Bayesiano, podría decirse que la predicción es un arte analítico. El principal experto de referencia es Zellner (1971). Éste trata las densidades predictivas de un modo generalizado y las detalla para el caso de problemas de regresión, regresión múltiple y distribuciones Gaussianas. Su estudio constituye el estado del arte de los años 70. En esencia, en éste se pueden utilizar modelos lineales con errores Gaussianos y distribuciones a priori planas, pero no muchas más especificaciones. Si las distribuciones a priori son conjugadas puede obtenerse un uso más fácil y algo más de avance en el método. El modelo dinámico lineal En 1976, P. J. Harrison y C. F. Stevens presentan un artículo en el que destaca un nuevo método de predicción que ellos definen como " radical". Este método es el modelo dinámico lineal, que generaliza el modelo estándar lineal de Zellner permitiendo variación temporal en algunos de sus parámetros. Además, incluyen ejemplos de modelos autorregresivos, medias móviles, funciones periódicas o modelos estacionales aditivos. También consideran la posibilidad de utilizar varios modelos diferentes e integrarlos para obtener predicciones. De todos modos, las distribuciones de las probabilidades a priori son todavía conjugadas y la estructura base, Gaussiana. Las estructuras manejadas son más generales que las usadas por Zellner, pero todavía demasiado convencionales. La revolución de Minnesota A finales de los años 70, Christopher Sims escribe un artículo llamado " Macroeconomía y Realidad". En él, propone una aproximción al análisis de series temporales macroeconómicas con poca base teórica exceptuando la estacionariedad estadística. Establece que vectores de series temporales podrían ser representados por una autorregresión; esta representación sería útil para Página 97

122 Metodología Bayesiana modelar las series temporales aún cuando sólo reprodujeran los primeros momentos y no toda la estructura probabilística. Con este artículo como base, Robert Litterman (1979) comienza un estudio para desarrollar métodos de predicción. Se centra en tratar los problemas multicolineales y los grandes errores muestrales en estimación. Para ello introduce restricciones en forma de distribuciones a priori, tratando sus elementos como desconocidos a pesar de la dificultad que esto supone para la época en materia computacional. Para mejorar las tradicionales medidas de incertidumbre, Litterman también crea unas medidas (Fair s Estimates of Uncertainty) que permiten cambios en las varianzas de las predicciones a lo largo del tiempo. Se crean así los primeros VAR Bayesianos, que serán explicados en siguientes apartados. Desarrollos posteriores a la revolución de Minnesota: Doan, Litterman y Sims (1984) realizan mejoras en el modelo del segundo incluyendo variaciones temporales basadas en filtros de Kalman para el modelo dinámico lineal. Kadiyala y Karlsson (1993, 1997) estudian variedades de distribuciones a priori para predicción macroeconómica y extienden esta práctica a un análisis global. Es en esta misma época cuando los métodos de Monte Carlo sufren un enorme desarrollo, hecho que aprovechan los autores para extender el método más allá de las probabilidades conjugadas a priori. Sims y Zha (1999), completan el tratamiento Bayesiano de los VAR generalizando los procedimientos para implementar probabilidades a priori apoyándose en la estimación de cadenas de Markov-Monte Carlo, más concretamente en el algoritmo de Metropolis Algunos modelos de predicción El modelos Bayesiano por excelencia es el vector autorregresivo (VAR) Bayesiano desarrollado por Litterman tal y como se comentó en el apartado anterior. Se usa en muchos contextos diferentes y su habilidad para mejorar las predicciones y manejar las Página 98

123 Metodología Bayesiana incertidumbres está ampliamente probada [GEWE06]. Pero el BVAR no es el único modelo que se utiliza en el contexto Bayesiano. De hecho, la inferencia Bayesiana se emplea con multitud de modelos diferentes para una amplia variedad de aplicaciones, incluyendo las predicciones de índole económica. En este último tema, algunos de los modelos más utilizados (como el ARIMA o la familia ARCH) son habitualmente empleados también con metodología Bayesiana. Vector Autorregresivo (VAR) Bayesiano Atendiendo a [SIMS80] los modelos de vector autorregresivo han sido muy utilizados en predicciones macroeconómicas con gran éxito. Según la notación de Litterman (1979), la especificación de VAR para: [5.5] viene dada por: [5.6] donde A representa la estructura autorregresiva, D t es una componente determinista de dimensión d y ε t N(0;ψ). En ese caso, [5.7] Modelos Lineales Estacionarios Muchas situaciones de predicción incluyen modelos lineales de la forma y t =β x t + ε t en donde ε t es un proceso estacionario. Página 99

124 Metodología Bayesiana El modelo estacionario AR(p) Es uno de los modelos más sencillos donde ε t es una autorregresión de orden p. El tratamiento Bayesiano de este problema [GEWE06] estudia la estructura de algoritmos de simulación posterior MCMC (el muestreo de Gibbs en particular) descomponiendo la distribución posterior en distribuciones condicionales manejables para cada grupo de parámetros. El modelo estacionario ARMA(p,q) La incorporación de una componente de media móvil: [5.8] Añade el vector de parámetros θ=( θ 1,, θ q ) y complica la estructura recursiva. Hay multitud de aproximaciones para el problema, la mayor parte de las cuales incluyen algoritmos de Metropolis-Hastings y muestreo de Gibbs (métodos de Markov-Monte Carlo). Algunos de los autores que han trabajado con estos modelos desde una perspectiva Bayesiana son Chib y Greenberg (1994) o Marriot (1996). El extender estos modelos desde una perspectiva univariante (ARMA) a una multivariante (VARMA) no supone nuevas complicaciones, por lo que este estudio también se ha desarrollado en los últimos años. Para más información acerca de los modelos AR, ARMA y ARIMA desde una perspectiva general, consultar capítulos anteriores de este documento. La Familia ARCH En los procesos lineales clásicos como el vector autorregresivo, las medias son cambiantes en el tiempo pero las varianzas condicionales no. Está demostrado que para muchas series temporales, incluyendo los rendimientos de los activos financieros, la Página 100

125 Metodología Bayesiana varianza condicional es variable en el tiempo. Además, esta varianza condicional suele ser fundamental en el modelado de la mayor parte de las series temporales. La familia de modelos ARCH proporciona varianzas condicionales que son función de los valores pasados, funciones de verosimilitud relativamente fáciles de evaluar y metodología sistemática para predicción. Algunos autores como Jacquier et al. (1994), Shepard y Pitt (1997) o Bod et al. (2000) utilizan los modelos ARCH mediante formulación Bayesiana realizando simulaciones posteriores con métodos MCMC, especialmente el ya mencionado algoritmo Metropolis-Hastings o el muestreo de Gibbs ver [GEWE06]. Figura Algunos modelos empleados en predicción Bayesiana fuente: [SALG07] Página 101

126 Metodología Bayesiana 5.3 ANÁLISIS BAYESIANO PARA LA NORMAL Y OTRAS DISTRIBUCIONES Distribución Normal Univariante El modelo básico que tiene que ser discutido concierne a una variable, dsitribuida según una normal de media µ, y una varianza desconocida σ 2. [5.9] La función de verosimilitud para una única observación es [5.10] Esto significa que la función de verosimilitud es proporcional a una distribución normal, prescindiendo de los términos que son constantes. Consideremos ahora que tenemos n observaciones independientes y 1, y 2,, y n., los parámetros a estimar vector, son µ y σ 2 : [5.11] Un modelo de probabilidad completo debe ser establecido a través de una distribución de probabilidad conjunta: [5.12] La función de verosimilitud para una muestra de n observaciones i.i.d en este caso es: [5.13] Página 102

127 Metodología Bayesiana Una a priori conjugada será elegida, será una conjugada a priori, natural. De acuerdo con [GELM04], esta función de verosimilitud sugiere una distribución a priori conjugada de la forma: [5.14] donde la distribución marginal de σ 2 en la escala inversa 2 y la distribución condicional de µ,dado σ 2, es normal: [5.15] Así que la distribución a priori conjunta es: [5.16] Sus cuatro parámetros se pueden identificar como la ubicación y la escala de µ y los grados de libertad y escala de σ 2, respectivamente. Como fue empleada una a priori natural conjugada antes, la distribución conjunta a posteriori tendrá la misma forma que la a priori. Así, acondicionando esto a los datos, y de acuerdo con el teorema de Bayes, tenemos: [5.17] Página 103

128 Metodología Bayesiana Donde se puede demostrar que: [5.18] Todas estas fórmulas prueban que la inferencia Bayesiana combina la información a priori y a posteriori. El primer término significa que la media a posteriori µ 1 es una media ponderada de la media a priori µ 0 y la media empírica dividida por la suma de sus pesos respectivos, cuando éstos están representados por V 0-1 y el tamaño de la muestra n El segundo término representa la importancia que significa la media a posteriori y puede ser visto como un compromiso entre el tamaño de la muestra y la importancia dada a la media a priori. El tercer término indica que los grados de libertad de la varianza a posteriori son la suma de las anteriores grados de libertad y el tamaño de la muestra. Es decir, los grados de libertad de la a priori pueden entenderse como un tamaño ficticio de la muestra en la que la información a priori del experto se basa. El último término se explica la suma de errores cuadrados a posteriori como una combinación de los de la a priori y los empíricos, más un término que mide el conflicto entre la información a priori y posterior. Una explicación más detallada de este último paso se puede encontrar en [KOOP03]. Página 104

129 Metodología Bayesiana Es obvio que las distribuciones marginales a posteriori son las siguientes: [5.19] Si integramos a σ 2, el marginal para µ será una distribución t [5.20] Veamos una aplicación a la Bolsa española. Supongamos que al cierre mensual los valores asociados a Ibex 35 se distribuyen normalmente. Si tomamos los valores en los que los españoles cerró durante las dos primeras semanas de enero de 2006, se puede demostrar que la media fue de 10893,29 y la desviación típica de 61,66. Así que el enfoque no-bayesiano, inferiría una distribución normal con media y varianza previas. Vamos a suponer que se hubiera pedido a cualquier analista su opinión sobre la evolución del Ibex 35 en enero, y que habría afirmado con fuerza que la predicción iba a ser que el índice iba a disminuir ligeramente, que el valor medio cercano al final del mes sería de alrededor de y, por tanto, la desviación estándar sería mayor, alrededor de 100. Entonces, de acuerdo con las fórmulas anteriores, los parámetros a posteriori serían: Página 105

130 Metodología Bayesiana Esto significa que hay una diferencia de casi 20 puntos entre la estimación Bayesiana y la no Bayesiano para el valor medio de cierre de enero. Cuando el mes de enero hubiera pasado, se podría comparar ambos resultados y podríamos notar que la estimación Bayesiana estaba más cerca de la media real del cierre y de la desviación típica: 10871:2 y 112:44 respectivamente. En la figura 5.6, se puede ver cómo la línea roja, que representa la estimación Bayesiana, está más cerca de la línea de verde que representa la media real de cierre y está más cerca también que la línea azul, que representa la estimación frecuentista. Figura 5.6- Ejemplo Normal Univariante fuente: [SALG07] Para aquellos lectores interesados, más información en [GELM04] Otras distribuciones Tal como se ha hecho con la distribución Normal, el análisis Bayesiano con otras distribuciones puede ser hecho. Por ejemplo, la distribución exponencial es usada normalmente en análisis de fiabilidad. Tal como se ha procedido con la Normal, se procedería con otro tipo de distribuciones. La importancia estadística de la distribución Normal, hace que la hayamos puesto como ejemplo, a partir de la siguiente Figura 5.8 podemos observar el funcionamiento análogo de cualquier distribución a priori, o a Página 106

131 Metodología Bayesiana posteriori para otras funciones de verosimilitud. Más detalles pueden ser encontrados en [GELM04]. Figura 5.7- Distribuciones conjugadas para otras funciones de máxima verosimilitud fuente: [SALG07] 5.4 NECESIDAD DE MÉTODOS DE SIMULACIÓN EFECTIVOS. CADENAS DE MARKOV Un problema típico con la inferencia Bayesiana es la dificultad en resumir realísticamente distribuciones a posteriori complejas. En la gran mayoría de los problemas, las densidades de las a posteriori no tomarán la forma de ninguna densidad conocida y entendida, así los resultados estadísticos, tales como la media o la varianza de la a posteriori de los parámetros de interes, no estarán analíticamente al alcance. Es en este punto donde la importancia de la computación Bayesiana cobra sentido, y cualquier herramienta computacional es requerida para hacer frente al problema de la inferencia de la distribución a posteriori. Su importancia es tanta, que la revolución computacional de los últimos 20 años, ha dado paso a un amplio número de métodos Bayesianos, en muchos campos, tales como Econometría, Ecología o Sanitario. Atendiendo a esto, los métodos de simulación más trascendentals son las cadenas de Markov Monte Carlo, métodos fechados desde el trabajo de (Metropolis 1953). Página 107

132 Metodología Bayesiana Esta técnica ha sido desarrollada fuertemente en diferentes campos, y con distintos enfásis en la comunidad científica de la informática, que concierne el estudio de algoritmos aleatorios. También en la comunidad estadística espacial, donde uno se interesa por que tipo de patrones salen de complejos modelos estocásticos, y por último en la comunidad estadística, quizás la que más nos aplica en este proyecto, donde está aplicado ampliamente en contextos Bayesianos, permitiendo a los investigadores formular modelos probabilísticos que de otra forma serían resistentes a un análisis estadístico efectivo. La simplicidad detrás del principio de MCMC es la meojor razón de su éxito. En cualquier caso, una complicación sustancial sale en la medida en la que el objetivo del problema se hace más complicado. Esto se traduce en preguntando: Cuánto tiempo se debe correr una cadena de Markov para que asegure de que está cerca del equilibrio? Según [GELM04], con n=100 muestras independientes, deberían ser suficientes para sumarios razonables de las a posteriori, pero en algunos casos, más muestras son necesitadas, para asegurar más precisión. Una vez visto que las cadenas de Markov son la base del método más trascendental de simulación MCMC, a continuación se hace un repaso del formulario y los conceptos más relevantes de las cadenas de Markov que han sido necesarios en la investigación del presente proyecto. Fundamentos de las cadenas de Markov Para entender mejor el concepto de Cadena de Markov, es necesario ir recoriendo de forma escalonada una serie de definiciones previas: Proceso estocástico Un proceso estocástico es una colección indexada de variables aleatorias X t, t con valores en algún conjunto T. En adelante T = 1, 2,..., el conjunto de los números naturales. Página 108

133 Metodología Bayesiana todas. Consideraremos variables aleatorias X t que tienen soporte discreto común para Estados del proceso estocástico Los valores que pueden asumir las variables aleatorias X t los etiquetaremos 0, 1, 2,...,M y se denominan estados del proceso estocástico. Propiedad de Markov Un proceso estocástico {X(t)} tiene la propiedad de Markov si: Prob{X t+1 = j X 0 = k 0, X 1 = k 1,...,X t 1 = k t 1, X t = i} = Prob{X t+1 = j X t = i} [5.21] Es decir, la probabilidad condicional de un evento futuro dado el evento actual, es independiente de los eventos pasados. Probabilidades de transición. Las probabilidades condicionales del cambio del estado i al estado j en un paso o unidad de tiempo Prob{Xt+1 = j Xt = i} se denominan probabilidades de transición. Probabilidades de transición estacionarias. Las probabilidades de transición son estacionarias (de un paso) si cumplen la propiedad Prob{X t+1 = j X t = i } = Prob{X 1 = j X 0 = i} para todo t [5.22] En tal caso se denotan p ij. Propiedad: Si las probabilidades de transición (de un paso) son estacionarias, entonces se cumple que: Prob{X t+n = j X t = i } = Prob{X n = j X 0 = i} para todo t [5.23] Estas probabilidades de transición se denominan probabilidades de transición de n pasos Página 109

134 Metodología Bayesiana y se denotan p ij (n). Observar que p ij (1) = p ij. Propiedad: [5.24] Cadena de Markov Un proceso estocástico que cumple con la propiedad markoviana se denomina cadena de markov. En adelante se considerarán sólo cadenas de Markov estacionarias. Matriz de transición de un paso Si p ij es la probabilidad de transición del estado i al estado j, (0 i, j M), entonces [5.25] Se denomina matriz de transición, o matriz de probabilidades de transición de un paso. Propiedad: Observar que las filas de la matriz de transición suman uno. Matriz de transición de n pasos. De forma análoga, si p ij (n) es la probabilidad de transición del estado i al estado j en n pasos, (0 i, j M), entonces la matriz P (n) que contiene todos estos valores se denomina matriz de transición de n pasos. Propiedad: La matriz de transición de n pasos P (n) se puede obtener multiplicando la matriz de transición de un paso P, n veces: En general, P (n) = P P P P = P n [5.27] [5.26] Página 110

135 Metodología Bayesiana Para 0 m n P (n) = P (m) P (n-m) Si se toman todos los elementos (i,j) de esta última igualdad, se tiene las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. [5.28] Para todo i, j, n, y 0 m n Para más información en detalle se recomienda la lectura de [GELM04] Página 111

136 Análisis de Sensibilidad Capítulo 6 Análisis de Sensibilidad 6.1 INTRODUCCIÓN Habrá muchas veces en que el investigador, después de haber seleccionado un modelo, querrá también estudiar la posibilidad de poder elegir otro modelo o simplemente poder comparar otro modelo con el escogido. Para ello es necesaria alguna herramienta que ayude a comparar ambos modelos, y así decantarse por el mejor de ellos. En esta sección, es discutido brevemente el modelo Bayesiano de comparación, comentando los métodos que resultan más útiles. En el campo Bayesiano, los métodos comunes para comparación de modelos se basan en: separar la estimación, estimación comparativa, y estimación simultánea. La estimación comparativa está basada en la medida de distancias como la distancia entrópica, y el pilar principal es el hecho de que un modelo será preferido siempre que la distancia entre las distribuciones a posteriori sea suficientemente pequeña comparado con la del otro modelo. El modelo de estimación simultánea nos permite comparar muchos modelos a la vez. Por último, el modelo de separar la estimación compara dos modelos no necesariamente anidados, y los términos más usados son las distribuciones a posteriori de predicción, y la probabilidad a posteriori del modelo. Dado que los métodos que se consideran que dentro del marco en el que se mueven, son los más aceptados, vamos a explicar algunos de ellos, destacando los más importantes. Página 112

137 Análisis de Sensibilidad 6.2 EL FACTOR DE BAYES Este probablemente sea el método dominante dentro del marco de los modelos Bayesianos de sensibilidad. Es análogo al ratio de verosimilitud pero usado en el enfoque frecuentista, y su principal intuición es que la información a priori y a posteriori están combinadas en un ratio que aporta evidencia a favor de un modelo u otro. Supongamos que tenemos dos modelos a comparar, M 1 y M 2. Siendo p(m 1 ) y p(m 2 ) las probabilidades a priori de los modelos M 1 y M 2 respectivamente, y p(m 1 y) p(m 1 y) las probabilidades a posteriori de los modelos M 1 y M 2. Entonces el factor de Bayes es: [6.1] Esto quieres decir que el factor de Bayes elige el modelo para el cual la verosimilitud, p(y M i ) marginal de los datos es máxima. Así, el valor del factor aporta evidencia de la preferencia entre dos modelos. Según [JEFF61], la siguiente interpretación es sugerida: Figura 6.1- Interpretación del factor de Bayes fuente: [SALG07] Página 113

138 Análisis de Sensibilidad La verosimilitud marginal normalmente envuelve una integral que puede ser evaluada analíticamente sólo en algunos casos especiales. Así, mientras el factor de Bayes es muy intuitivo, es a menudo muy difícil o incluso imposible de calcular desde un punto de vista práctico. En cualquier caso, siempre podemos evidenciar la certeza de la información a priori frente a la a posteriori gráficamente en la medida en que la estimación Bayesiana se acerque más a las suposiciones a priori y que además tenga pequeñas desviaciones típicas. Esto se puede observar en la siguiente figura 6.2: Figura 6.2- Certeza de la información a priori En el siguiente punto se analizan otras alternativas que existen al ya comentado factor de Bayes. Igualmente, importantes son métodos bien aceptados de análisis de sensibilidad Bayesiana. Página 114

139 Análisis de Sensibilidad 6.3 ALTERNATIVAS AL FACTOR DE BAYES Siendo la media de la distribución a posteriori y bajo la hipótesis de que la estimación Bayesiana de los parámetros es aproximadamente igual a la estimación de máxima verosimilitud. Entonces, los siguientes estadísticos, algunos de los cuales son usados en estadística frecuentista, podrían ser de útil diagnóstico: El ratio de verosimilitud, quien siempre favorecerá al modelo sin restricciones, y que se define como: [6.2] El ratio se distribuye como una 2 p, donde p es el número de parámetros. Criterio de Información Akaike (AIC), donde el ratio entre AIC 1 (AIC para M 1 ) y AIC 2 (AIC para M 2 ) menor que 1 indica que el M 1 es mejor. Este método favorece a los métodos más complicados. El estadístico es: [6.3] Donde p es el número de parámetros. Criterio de Información Bayesiano (BIC), también conocido como el Criterio de Información de Schwarz (SIC). Tal como ocurría con el AIC, este método puede ser usado para modelos no anidados. El BIC se expresa como: [6.4] Donde p es el número de parámetros y n el tamaño de la muestra. Dados dos modelos estimados cualesquiera, el modelo con el BIC más bajo es el preferido. Ya que este método promueve el principio de parsimonia del modelo penalizando aquellos con gran complejidad (p más alta) y tamaño Página 115

140 Análisis de Sensibilidad muestral por ejemplo n, se podría decir que se prefiere éste modelo al AIC anteriormente comentado. Criterio de información Deviance (DIC), el cual es un nuevo estadístico introducido por los desarrolladores del software WinBugs, quienes detallan su explicación en [SPIE03]. La principal y más importante diferencia con los métodos previos comentados es que no es una aproximación al factor de Bayes. Es una generalización del AIC y el BIC, y es particularmente útil cuando las distribuciones a posteriori han sido obtenidas por simulación. El DIC se expresa de la siguiente forma: [6.5] Donde θ L es el resultado obtenido tras simular la distribución a posteriori en la iteración L. Este método también penaliza aquellos modelos dimensionalmente mayores, y puede ser preferido a los previos comentados, en el contexto de modelos lineales. Página 116

141 Análisis de Sensibilidad 6.4 MAYOR INTERVALO DE DENSIDAD A POSTERIORI (HIGHEST POSTERIOR DENSITY INTERVALS) Todas las técnicas mencionadas anteriormente requieren la existencia de duda frente a la información a priori. De cualquier forma puede haber investigadores que estén interesados de hacer comparación de modelos con una a priori no-informativa. En este caso, existen otras técnicas que pueden ser usadas. Una de las más comunes es (HPDI). Antes de definir el concepto de Highest Posterior Density Interval (HPDI), se asumirá lo siguiente: ω es la región donde los coeficientes β están definidos. Entonces, C ω es un intervalo de 100( 1 α ) % de confianza con respecto a β si: [6.6] Ya que hay comúnmente numerosos intervalos de confianza, se suele escoger el que tenga el área más pequeña, nombrado en inglés Highest Posterior Density Interval. Formalmente, un 100( 1 α ) % Highest Posterior Density Interval para α es un 100( 1 α ) % intervalo de confianza para θ, con la propiedad de tener un área más pequeña que cualquier otro 100( 1 α ) % intervalo de confianza de β. Esto es la analogía Bayesiana de intervalos de confianza en el marco frecuentista, pero ahora el significado está más en línea con el sentido común. Más información sobre estos métodos y sus variantes se pueden encontrar en [AITK97], [CHEN03], o [KOOP03]. Página 117

142 Análisis de Sensibilidad 6.5 RESUMEN COMPARATIVO Una comparación de modelos puede ser encontrada en las tablas 6.1 y 6.2, donde los símbolos de marca significan: * Bueno ** Mejor *** Aún Mejor **** Probablemente el mejor Página 118

143 Análisis de Sensibilidad Método Ecuación Interpretación * Factor de Bayes Ratio de verosimilitud Rechazar el modelo Restringido AIC M 1 mejor que M 2 M 2 mejor que M 1 ** Tabla 6.1- Resumen Sensibilidad I Método Ecuación Interpretación BIC M 1 mejor que M 2 *** M 2 mejor que M 1 DIC M 1 mejor que M 2 M 2 mejor que M 1 **** HPDI Con el área más pequeña Hay una probabilidad de 100(1 α) % de que β esté en la región C **** Tabla 6.2- Resumen Sensibilidad II Página 119

144 Metodología Capítulo 7 Metodología 7.1 METODOLOGÍA EMPLEADA Casos de estudio Cuando uno se dispone a realizar un proyecto de investigación de la envergadura que sea, una de las primeras preguntas que le vienen a la cabeza es el alcance que tomará su investigación. Dicho alcance concierne todo lo que se va a estudiar y define hasta donde llegarán los resultados. Ante un reto de dificultad notoria como el que se plantea en este proyecto, definir inicialmente el alcance ha sido una de las cosas más complicadas. El hecho de abordar un tema tan tedioso, como el de intentar predecir sucesos financieros de carácter extremo en el campo económico, no ha hecho más que fortalecer la importancia de seleccionar bien los casos, con el fin de poder sacar las mayores y mejores conclusiones posibles. Tras lo anteriormente dicho, una de las cosas que más se ha valorado a la hora de elegir un caso de estudio es la trascendencia que pudiera tener sacar conclusiones positivas o negativas de la metodología diseñada enfocada a ese caso. Tras averiguar que existe un gran abanico de posibilidades dentro del mundo de los Mercados financieros (ver capítulo 2), se ha decidido centrar la investigación en la Bolsa Española y en el Mercado de Divisas internacional (FOREX). La importancia de ambos queda confirmada en un momento en que la crisis financiera mundial azota a los países, y gran parte de este sentimiento negativo se refleja claramente en las bolsas y monedas del mundo, por lo que acentúa la importancia de elegir casos de estudio relacionados con estos dos mercados citados. Cabe añadir que en la investigación del proyecto, ha cogido un mayor peso de importancia el mercado de divisas. Porque además de ejercer una gran influencia en la Página 120

145 Metodología economía internacional actualmente, de forma adicional, es el mayor mercado financiero del mundo y un gran vehículo de especulación. Predecir su comportamiento futuro aporta importantes ventajas competitivas a los actores del mercado, pero es una tarea compleja en la que se están vertiendo continuamente grandes esfuerzos de investigación sin obtener resultados definitivos. Otro aliciente más es el hecho de considerar más dinámicas y cambiantes las series temporales asociadas a las monedas que las asociadas a un mero valor de Bolsa, de ahí que el mercado de divisas se etiquete de corto plazo (diario/mensual) y el bursátil de medio a largo plazo (mensual/anual). Fruto de lo anterior sería poco útil, a la vez que complicado modelar de forma fiable una metodología de predicción anual para el mercado de divisas, por lo que se ha optado por un análisis tanto mensual como diario para este mercado. Y para los casos de estudio concernientes al mercado de la bolsa, se ha optado por hacer un análisis mensual. CASOS DE ESTUDIO TIPO DE MERCADO MUESTRA ENFOQUE BANCO SANTANDER BURSÁTIL Ibex-35 1 de Enero 2003 a 1 de Septiembre 2010 MEDIO PLAZO (mensual) BANCO BBVA BURSÁTIL Ibex-35 1 de Enero 2003 a 1 de Septiembre 2010 MEDIO PLAZO (mensual) -$ (EUR/USD) DIVISAS FOREX 1 de Enero 1999 a 1 de Diciembre 2010 MEDIO PLAZO (mensual) $-REAL BRASILEÑO (USD/BRL ) DIVISAS FOREX 1 de Enero 1999 a 1 de Diciembre 2010 MEDIO PLAZO (mensual) $-YEN (USD/JPY) DIVISAS FOREX 1 de Enero 1999 a 1 de Diciembre 2010 MEDIO PLAZO (mensual) -$ (EUR/USD) DIVISAS FOREX 18 de Julio 2010 a 31 de Enero 2011 CORTO PLAZO (diario) Tabla 7.1- Casos de estudio Página 121

146 Metodología Cabe añadir a lo anteriormente expuesto sobre los mercados de divisas que éstos son influidos por un amplio rango de factores macroeconómicos, a la vez que repercuten en ellos: las variaciones del comercio internacional, los cambios en los tipos de interés y la inflación. Según la hipótesis del mercado eficiente, la mayor parte de la información sobre este entorno macroeconómico está ya contenida en la serie temporal de los tipos de cambio, lo que dificulta la predicción hasta el punto que numerosos estudios han reconocido la aleatoriedad de los tipos de cambio, apuntando al paseo aleatorio como modelo muy difícil de batir en la predicción del mercado de divisas. Sin embargo, el uso de algunos modelos de predicción resulta particularmente prometedor, por lo que se abre una puerta a futuros desarrollos e investigaciones relacionadas con la temática objeto del proyecto. Se estudiaron primero el índice bursátil español IBEX-35 y posteriormente el tan importante S&P500 americano, viendo la viabilidad que ofrecían estos índices en relación al objeto del proyecto, se tomó la decisión de particularizar el estudio no sólo a un índice bursátil sino ir más allá con acciones del propio índice. Por cuestión principal de tiempo, y motivados por la preferencia anteriormente citada por el mercado de Divisas, se escogieron Santander y BBVA, el primero estrenaba nuestra investigación y el segundo, fortalecía las conclusiones obtenidas a raíz del Santander, como más tarde se detallarán a lo largo de este capítulo. Después del análisis bursátil, vino el análisis monetario de las divisas. -$ primero, seguido de $-Real Brasileño, $- Yen y concluyendo finalmente con el enfoque a corto plazo del -$ (diario) ya que todas los casos anteriores se habían movido en el marco mensual. Se ha intentado siempre buscar series temporales que no redundaran en las conclusiones anteriores obtenidas con otros casos, de forma que podemos decir que son 6 casos de estudio rigurosamente pensados, que cubren y abarcan una horquilla bastante significativa de posibilidades y patrones con la que abordar la investigación. Página 122

147 Metodología Fases de la metodología para cada caso de estudio El diseño, desarrollo e implantación de cualquier metodología de predicción requiere una estructuración de los pasos a seguir adecuada y enfocada a los casos de estudio. Dada la dificultad previa de la investigación y lo poco elaborado al respecto en cuanto a la temática objeto del proyecto, se ha tenido que recurrir al diseño de dos grandes bloques de metodología (uno antecede al otro), que juntos han llevado a unos resultados y conclusiones. Estos dos grandes bloques de metodología son: Metodología de alerta y exploración de periodos y sucesos financieros de carácter extremo. Metodología de predicción de periodos y sucesos financieros de carácter extremo. Ambos son explicados posteriormente en el capítulo 8 de forma minuciosa, donde se analizan sus resultados. Pero para entender como se ha llegado a la distinción y los resultados de estos dos grandes bloques metodológicos, han hecho falta las siguientes fases de actuación genéricas para cada uno de los casos de estudio analizados en este proyecto: Primera Fase En primer lugar se realiza un estudio del comportamiento de la serie, es importante éste primer análisis para cada caso de estudio, sobre todo la elección del intervalo de tiempo en el que se centrará el análisis estadístico descriptivo inicial. Es decir, se trata de coger una muestra de toda la serie con la que operar y tratar de vislumbrar sus posibilidades. En la Tabla 7.1 anterior se observan las muestras escogidas de cada una de las series temporales (casos de estudio). Página 123

148 Metodología A partir de las gráficas precio-tiempo de la acción o divisa correspondiente a cada caso de estudio se realiza un estudio estadístico descriptivo inicial, siguiendo los pasos siguientes: 0.- Descarga de serie temporal de datos (yahoo.finanzas). Los datos iniciales descargados son diarios (para enfoque mensual), y los datos iniciales descargados son horarios (para enfoque diario). 1.- Cálculo de los rendimientos: r t =[(y t - y t-1 )/y t-1 ] x 100 [7.1] Para enfoque mensual: t =2,3,, n (en días) Por tanto, obtendríamos un rendimiento en %, para cada día t. Para enfoque diario: t=2,,n (en horas) Por tanto, obtendríamos un rendimiento en %, para cada hora t. 2.- Cálculo de los Recorridos, R t, a partir de los rendimientos anteriores: R t = máx {r t } mín {r t } [7.2] Para enfoque mensual: t =2,3,, n (en días) Por tanto, obtendríamos un recorrido en %, para cada mes t. Para enfoque diario: t=2,,n (en horas) Por tanto, obtendríamos un recorrido en % para cada día t 3.-Cálculo del resto de parámetros estadísticos-descriptivos para cada mes, si estamos en un enfoque mensual, y para cada día, si estamos en un enfoque diario. Es importante destacar que en cuanto se calculan los recorridos para cada mes o cada día, dependiendo del enfoque con el que estemos trabajando, dichos recorridos pasan a ser el eje Página 124

149 Metodología principal del análisis posterior, de forma que durante el resto de la investigación se han manejado siempre recorridos. Nuevamente se recuerda: para cada día t o mes t, según el enfoque diario o mensual, tendremos el resto de parámetros: DESVIACIÓN TÍPICA (t): Es la desviación típica de los rendimientos de cada día o mes t MEDIANA (t): Es la Mediana de los rendimientos de cada día o mes t PROMEDIO (t): Es la media aritmética de los rendimientos de cada día o mes t MÍNIMO (t): Es el mínimo de los rendimientos para cada día o mes t MÁXIMO (t): Es el máximo de los rendimientos para cada día o mes t RECORRIDO (t): Es el recorrido explicado anteriormente. Recoge el 100% de los datos. Es el Máximo menos el Mínimo de los rendimientos para cada día o mes t. RECORRIDO INTERDECÍLICO (t): Es la resta del Centil al 95% de los rendimientos y el Centil al 5% de los rendimientos para cada día o mes t. Recoge el 90% de los datos. Sirve como contraste al anterior Recorrido. RECORRIDO INTERCUARTÍLICO (t): Es la resta de la tercera y primera cuartilla para cada día o mes t, de los rendimientos. Recoge el 50% de los datos. Sirve también como contraste al primer Recorrido calculado. CURTOSIS-APUNTAMIENTOS (t): Las medidas de curtosis o apuntamiento se definen en las distribuciones de tipo campana o campaniformes, es decir, unimodales y simétricas o con ligera asimetría. Reconocen la mayor o menor concentración de frecuencia en torno a la media y en la zona central, lo que Página 125

150 Metodología provoca un mayor o menor apuntamiento de la distribución. Su medida se establece, generalmente, con referencia a una distribución tipo, la distribución Normal, discutiéndose entonces si es más o menos apuntada que ésta. De forma que podemos decir que la curtosis sirve como herramienta para ver si una distribución tiene o no tiene un comportamiento cercano a la de una distribución normal. El carácter simétrico o asimétrico de un conjunto de datos o de una distribución de frecuencias permite extraer unas conclusiones u otras sobre dicho conjunto de datos, de ahí que se hayan calculado los siguientes coeficientes de simetría: ASIMETRÍA 2 (t) FISHER: Para cada mes o día t a partir de los rendimientos se calcula el coeficiente de asimetría de Fisher, que se muestra a continuación: donde [7.3] De forma que si g 1 > 0 se trataría de una distribución asimétrica a la derecha, mientras que por el contrario si g 2 < 0 se trataría de una distribución asimétrica a la izquierda. ASIMETRÍA 1 (t) PEARSON: Para cada mes o día t a partir de los rendimientos se calculan: [7.4] En la siguiente Figura 7.1 se muestra un ejemplo de la forma que adquiere una distribución asimétrica hacia la derecha o hacia la izquierda: Página 126

151 Metodología Figura 7.1- Ejemplo de distribución asimétrica hacia la derecha y hacia la izquierda respectivamente. Todos estos parámetros son la piedra de toque inicial a la investigación en todos los casos de estudio analizados en este proyecto. Con ellos se analiza estadísticamente, como primera aproximación, el comportamiento de la serie. Se representan gráficamente todos los parámetros de cada serie, y se analiza en profundidad los resultados buscando principalmente patrones e información implícita que pueda ayudar a diseñar una metodología de alerta y exploración de sucesos extremos. A continuación se muestra un ejemplo de los recorridos al 100% de dos de los 6 casos de estudio, el banco BBVA, Figura 7.2, y la divisa $-Real Brasileño, Figura 7.3: Figura 7.2- Recorridos mensuales del Banco BBVA (Enero Septiembre 2010) Figura 7.3- Recorridos mensuales de la divisa $-Real Brasileño (Enero Diciembre 2010) Página 127

152 Metodología Figura 7.4- Recorridos diarios de la divisa -$ (18 Julio Enero 2011) Para mayor detalle sobre los resultados anteriores, acudir a los ANEXOS. Todas estos gráficos de los recorridos, parten inicialmente de un gran conjunto de datos, precio-tiempo, con los que se opera para calcular los parámetros explicados anteriormente. Es importante añadir que tanto los recorridos al 100% como el resto de parámetros citados fueron estudiados y reflejados gráficamente para cada caso de estudio, con la finalidad de ver cual de ellos reportaba mayor información inicial. Llegando a la conclusión de que el parámetro que más información aportaba para el estudio de sucesos y periodos extremos eran los recorridos al 100%. Cabe añadir que es observable como dichos recorridos al 100%, para cada uno de los casos, son sensibles al estallido de la crisis actual (Octubre del 2008), aspecto que se ve reflejado en cada uno de las gráficas y que evidencia que los recorridos reflejan muy bien la realidad económica presente frente a otros parámetros. (Figura 7.4 no recoge esto, puesto que la muestra del caso de estudio de los recorridos diarios del -$, empieza el 18 Julio del 2010, posterior al estallido de la crisis actual) Segunda Fase Tras el primer análisis estadístico-descriptivo de la primera fase, en esta segunda fase lo que se hace es explorar detalladamente por intervalos-periodos la serie de recorridos de cada caso de estudio. Se sacan las primeras evidencias empíricas en los 6 casos de estudio como punto de partida de nuestra investigación tal como se verá más adelante. Se emplean posteriormente varias técnicas de análisis de datos como el barrido de la serie mediante las llamadas Rolling Windows o el control estadístico de procesos, Página 128

153 Metodología naciendo aquí, lo que se ha llamado como el primer gran bloque de metodología de alerta y exploración de periodos y sucesos financieros de carácter extremo. En el capítulo 8 se explica ampliamente los pasos seguidos para el desarrollo de esta metodología y los resultados obtenidos para los casos de estudio analizados Tercera Fase En esta tercera, fruto de los resultados obtenidos en la fase 1 y 2 para los distintos casos de estudio, y tras haber ya desarrollado el primer bloque de metodología de alerta y exploración para cada caso de estudio, los esfuerzos ahora se centraron en buscar una metodología de predicción de periodos y sucesos financieros de carácter extremo, proponiendo el mejor modelo de predicción que encajara con las evidencias empíricas obtenidas durante toda la investigación. En el capítulo 8 se explica el alcance de esta metodología de predicción propuesta Cuarta Fase En la cuarta y última fase se extraen conclusiones de los resultados obtenidos a lo largo de toda la investigación. Los paquetes de software utilizados para realizar las fases descritas son Microsoft Excel 2007, Statgraphics XV Centurión, el Paquete estadístico eviews, Matlab y el Módulo estadístico para Excel 2007: NumXL. A continuación se entra de lleno en la explicación y resultados de los dos grandes bloques de metodología anteriormente nombrados. Página 129

154 Resultados Capítulo 8 Resultados 8.1 RESULTADOS METODOLOGÍA DE ALERTA Y EXPLORACIÓN DE PERIODOS Y SUCESOS FINANCIEROS DE CARÁCTER EXTREMO Punto de partida de la metodología de alerta y exploración. Previo a comentar las dos técnicas empleadas y sus resultados principales, es necesario hacer unas consideraciones previas, que puntualizan lo que ha sido el punto de partida de la metodología de alerta y exploración: Definiciones previas Antes de diseñar cualquier metodología, es muy importante partir de una definición clara de lo que se quiere predecir. En este caso el proyecto trata de abordar la temática de los periodos y sucesos financieros de carácter extremo, (Ver capítulo 3 del presente proyecto). El problema fundamental que se ha encontrado a la hora de hacer la investigación, es que no hay una definición universal de suceso extremo ni por tanto tampoco, para periodo turbulento/convulso/ o extremo. Basándonos en los resultados obtenidos para los distintos casos de estudio, se introducen ahora unas definiciones de los conceptos más importantes del proyecto. Nótese que estas definiciones se dan tanto desde una perspectiva visual como heurística. Suceso extremo: Desde una perspectiva heurística, a modo de recordatorio, tal como se describe en el capítulo 3, la definición de suceso de carácter extremo de la que se ha partido en la investigación es: Un suceso o evento extremo X E(ω) X s es un evento que está al menos ω 1 desviaciones típicas separado de la mediana significativa. [CHOL07] Página 130

155 Resultados X E(ω) - ωσ s [8.1] Se observa por tanto, como en la naturaleza de un suceso extremo está explícito el concepto de cuanto se desvía el punto con respecto a lo que se puede considerar típico (mediana o media como se verá más adelante en los resultados). Nótese que esta definición es genérica y tal como se verá en los resultados de las técnicas, el valor de ω será 3, y no se empleará la mediana sino la media. Periodo estable/no extremo: Según [MART07], desde una perspectiva visual, un periodo estable sería aquel periodo de tiempo en donde los recorridos presentan pequeños cambios de variación aleatorios frente a su media, y en comparación con su entorno próximo. Estas variaciones se dan en intervalos irregulares. Periodo turbulento/convulso/extremo (perspectiva visual): Según [MART07], desde una perspectiva visual, un periodo turbulento/convulso/extremo o simplemente periodo de sucesos extremos, sería aquel periodo de tiempo en donde los recorridos presentan grandes cambios de variación frente a su media, y en comparación con su entorno más próximo. Estas variaciones se dan en intervalos irregulares. Nótese que dichos periodos se indican en adelante con un círculo rojo en los gráficos de recorridos. Esto se debe a que es una definición cualitativa y visual de la que se ha partido, ya que no existe una definición universal de periodo extremo. Periodo turbulento/convulso/extremo (perspectiva empírica y heurística): Una vez partida de una definición de suceso extremo heurístico, ecuación [8.1], fue fácil pensar en una definición de periodo de carácter extremo que mejorara la anterior de la que partíamos. Página 131

156 Resultados Para ello, tal como se verá más adelante en el punto 8.1.2, se hizo uso de las gráficas de control asociando el concepto de punto fuera de control, con el de la definición de la ecuación [8.1]. De esta forma, para una ω=3 y siendo la línea de referencia central la media, obtendríamos los puntos que estuvieran fuera de control y a su vez fueran extremos según la propia definición. Por tanto, diagnosticados los sucesos extremos en cada uno de los 6 casos estudiados, tal como se verá más adelante, se propuso la siguiente definición empírica y heurística para un periodo turbulento/convulso/extremo o simplemente periodo de sucesos extremos o periodo de carácter extremo: Para el enfoque mensual (Casos: Banco Santander, Banco BBVA, -$, $-Real Brasileño, $-EN) Periodo en el que se incluyen al menos dos sucesos extremos consecutivos basándonos en la definición [8.1], con no más separación de tiempo entre ellos que de 13 meses * Para el enfoque diario (Casos: -$) Periodo en el que se incluyen al menos dos sucesos extremos consecutivos basándonos en la definición [8.1], con no más separación de tiempo entre ellos que de 8 días * (*) Se cuantifican 13 meses debido a que es el tiempo máximo observado, para todos los casos, entre dos sucesos extremos consecutivos (según ecuación [8.1]). Se aceptan estos 13 meses porque desde el punto de vista financiero, no es un periodo exageradamente grande de tiempo como para no asociar ambos sucesos extremos a un mismo periodo de tiempo. Para el enfoque a corto plazo son 8 días por analogía con lo anterior: 13 meses =1 año y 1 mes entonces equivaldrá a una semana y un día, es decir 8 días. Sólo se ha estudiado un caso con enfoque diario, por lo que se entiende que los 8 días puedan ser relativos. Página 132

157 Resultados (*) Por otro lado, cabe recordar que la línea de referencia (promedio) a partir de la cual se aplican las desviaciones típicas, se ha calculado basándose en el conjunto learning correspondiente a la primera mitad de datos de la serie, y aplicado al conjunto test correspondiente a la segunda mitad de datos de la serie. Nótese, que no se distingue entre periodo convulso, turbulento o extremo. Pero si hay que distinguir las dos perspectivas (visual y empírica) anteriormente comentadas. Una es cualitativa (círculos rojos), y otra intenta acercarse de forma cuantitativa, (ventana de borde rojo y fondo blanco) a través de la existencia de un número finito de sucesos extremos [8.1] contenidos en ella. El concepto de periodo pseudoconvulso será introducido posteriormente en el capítulo. A partir del A modo de ejemplo de las definiciones anteriores, se muestran las siguientes Figuras donde se señalan los periodos turbulentos/convulsos/extremos basándose en las dos perspectivas distinguidas (visual y empírica): Figura 8.1- Persepctiva visual frente a la empírica-heurística de periodo turbulento/convulso/extremo en los Recorridos mensuales del BBVA (Enero Septiembre 2010) Página 133

158 Resultados Figura 8.2- Perspectiva visual frente a la empírica-heurística de periodo turbulento/convulso/extremo en los Recorridos mensuales de la divisa -$ (Enero Diciembre 2010) Figura 8.3- Perspectiva visual frente a la empírica-heurística de Periodo turbulento/convulso/extremo en los Recorridos mensuales de la divisa $-YEN (Enero Diciembre 2010) Para mayor detalle sobre los resultados de este bloque, acudir a los ANEXOS. Resumiendo la observación de las anteriores Figuras, se podría decir que, en caso de que hubiera una separación mayor a 13 meses o 8 días entre dos sucesos extremos consecutivos (puntos circuleados), se entiende que ambos pertenecerían a dos periodos Página 134

159 Resultados extremos distintos e independientes, y por tanto, habría que distinguir dos ventanas de borde rojo independientes. Hay que añadir que si la separación es menor a 13 meses o 8 días en principio ambos extremos caerían en la misma ventana, pero esto no excluye el que se puedan considerar dos sub-periodos extremos independientes, siempre y cuando dichos sub-periodos de forma independiente cumplieran la propia definición dada. Este es el caso del BBVA, ver Figura 8.4: Figura 8.4- Definición empírica de 2 sub-periodos turbulentos/convulsos/extremos en los Recorridos mensuales del BBVA (Enero Septiembre 2010) En todas las figuras anteriores se evidencia un afinamiento de la definición visual gracias a la nueva definición empírica. De esta forma los círculos intuitivos de la definición cualitativa, pasan a ser ventanas de borde rojo más precisas, que contienen al menos dos sucesos extremos basándonos en [8.1]. Introducidas estas definiciones, se presenta a continuación una de la conclusiones más importantes de éste trabajo y que ha ayudado enormemente a la elaboración de la metodología y a la propuesta del modelo final. Página 135

160 Resultados Evidencia empírica de relación entre periodo de Ruido Blanco, periodo de No Ruido Blanco y Periodo de sucesos extremos. Antes de entrar en el fundamento de la relación entre periodos de Ruido Blanco y No Ruido Blanco con el carácter extremo de un periodo, es necesario tener clara la idea de lo siguiente: Periodo de Ruido Blanco: Intervalo de recorridos de la serie temporal que no rechaza la hipótesis Nula de ser un Ruido Blanco. Periodo de No Ruido Blanco: Intervalo de recorridos de la serie temporal que rechaza la hipótesis nula de ser un Ruido Blanco. Nótese que hay que diferenciar el concepto de suceso con el de periodo, en el sentido práctico siguiente: un suceso es un punto o recorrido de la muestra. Un periodo es un conjunto de sucesos o recorridos de la muestra. A priori es lógico pensar que el comportamiento estable (No extremo) de un periodo de recorridos de la serie pueda modelarse o distribuirse según un Ruido Blanco. Ya que por definición, un ruido blanco tiene media en torno a 0, y varianza constante. Esto se traduce en muy poca variación de los datos en el tiempo, de forma que su comportamiento sea prácticamente estable y que por tanto, carecerá de carácter extremo. En el estudio preliminar de los datos de partida de cada uno de los 6 casos, se estableció un análisis previo exhaustivo por periodos empíricos a través de diversos contrastes de hipótesis para ver evidencia de si en un periodo de tiempo determinado, la serie se comportaba o no como un Ruido Blanco (test Portmanteau) o como un Paseo Aleatorio (ADF test), ver capítulo 4 de series temporales para más detalle sobre este tipo de test. Fruto de este análisis, se encontró evidencia de que se podía asociar el concepto de ruido blanco y no ruido blanco al carácter extremo de un periodo Página 136

161 Resultados financiero. Por ello se pensó en elaborar para cada caso de estudio, lo que se llamó el patrón de la serie o patrón de ventanas de la serie. Se trata de estructurar la serie, a partir de un análisis exhaustivo, en ventanas (periodos) de recorridos que se comporten como un ruido blanco (Periodos de Ruido Blanco) y ventanas que no se comporten como un Ruido Blanco (Periodos de No Ruido Blanco). La idea del patrón es que siempre se puede estructurar la serie por ventanas (periodos) de forma que las que sean ruido blanco, respondan a la definición de periodo estable, y de las que no sean Ruido Blanco, al menos una de las ventanas sea o contenga a un periodo convulso/turbulento o extremo según la definición empíricaheurística propuesta. Así, se relaciona el concepto de periodo de NO Ruido Blanco con la posibilidad de presencia de sucesos extremos en un periodo, y análogamente el de Ruido Blanco con la NO presencia de sucesos extremos en ese periodo. Se trata de una labor tediosa, pero que se ha conseguido para los 6 casos de estudio evidenciando empíricamente esta relación. A continuación se muestran a modo de ejemplo los patrones más significativos de algunos casos de estudio: En cuanto a las Figuras 8.5, 8.6, 8.7 se muestran los periodos de carácter extremo de acuerdo a la definición empírica-heurística (señalados con ventana de borde rojo y fondo blanco). Igualmente, se muestran los patrones de ventanas mencionados en los cuales: ventanas rojas y naranjas son periodos de NO ruido blanco (Rojo si contiene sucesos extremos, y Naranja si no contiene sucesos extremos), ventanas de borde verde y fondo blanco corresponden a periodos de Ruido Blanco. Se puede ver como en cada patrón toda ventana de ruido blanco carece de sucesos extremos. Análogamente, siempre hay una ventana de NO ruido blanco que es o contiene a un periodo turbulento/convulso/extremo, es decir que siempre hay una ventana de No Ruido Blanco que contiene sucesos extremos (la ventana de fondo rojo). Página 137

162 Resultados Figura 8.5 Patrón de ventanas con Periodos de Ruido Blanco y de NO ruido blanco en serie temporal BBVA (Enero Septiembre 2010) Figura Patrón de ventanas con Periodos de Ruido Blanco y de NO ruido blanco en serie temporal - $ (Enero Diciembre 2010) Página 138

163 Resultados Figura Patrón de ventanas. Periodos de Ruido Blanco y de NO ruido blanco en serie temporal - YEN (Enero Diciembre 2010) Como la explicación anterior puede resultar tediosa, a continuación se detallan de forma esquemática, las evidencias empíricas fundamentales extraídas de la investigación de los 6 casos de estudio y sus patrones, que relacionan el carácter extremo de un periodo con el concepto de Ruido Blanco y No ruido Blanco. Para los 6 casos estudiados se ha podido obtener un patrón de ventanas de la serie que evidencie las siguientes conclusiones fundamentales: Un periodo de Ruido Blanco del patrón Es un Periodo Estable (según la definición dada). El recíproco no se ha demostrado. Todo periodo de Ruido Blanco del patrón Es un periodo donde no hay sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] Todo periodo de No Ruido Blanco del patrón (ventanas fondo naranja y rojo) Es un periodo candidato a contener o a ser un Periodo turbulento/convulso/extremo (según la definición empírica-heurística propuesta) Dicho de otra forma, Todo periodo de No Ruido Blanco del patrón Es candidato a contener sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] Página 139

164 Resultados Al menos uno de los periodos de No Ruido del patrón Es o contiene a un Periodo turbulento/convulso/extremo (según la definición empírica-heurística propuesta) Ventanas fondo rojo Dicho de otra forma, al menos uno de los periodos de No Ruido Blanco del patrón contiene sucesos extremos Ventanas fondo Rojo Por lo anterior, todo Periodo turbulento/convulso/extremo (según la definición empírica-heurística propuesta) se ha podido recoger por una ventana-periodo mayor o igual de recorridos que sea un No Ruido Blanco. Se han podido encontrar al menos un patrón de ventanas para los 6 casos en el que se verifiquen las conclusiones anteriores, en el caso del BBVA, se han encontrado dos patrones que lo hagan, tal como se observa en la Figura 8.8 Es muy importante recalcar por otro lado la importancia del número de datos en el testeo de los periodos. Así, si se dispone de pocos datos para realizar el test, indudablemente se pueden desvirtuar los resultados, y por tanto, las ventanas siempre han de estar bien armadas. Esto evidencia que para llegar al patrón concluyente, la tarea es más que compleja con los medios de los que se ha dispuesto. PATRÓN DE REFERENCIA #1 PATRÓN DE REFERENCIA #2 Figura 8.8 Otro Patrón de ventanas del BBVA. Periodos de Ruido Blanco y de NO ruido blanco serie temporal BBVA (Enero Septiembre 2010) en Página 140

165 Resultados Conclusión Uno de los aspectos a tener en cuenta en las evidencias empíricas demostradas, es que no hay una definición universal de periodo extremo, y que por tanto, se ha partido de una definición heurística basándonos en la definición de suceso extremo [8.1]. Para 6 casos de estudio, se ha podido obtener un patrón de ventanas donde aquellas que fueran Ruido Blanco fueran periodos estables según nuestra definición y no contuvieran sucesos extremos, y al menos uno de aquellas que no fueran Ruido Blanco contuvieran sucesos extremos. Lo fundamental es que se ha relacionado empíricamente el concepto de ruido blanco con el de carácter o no carácter extremo de un periodo. Dicho de otra forma, se ha relacionado el hecho de que un periodo tenga sucesos extremos con el concepto de Ruido y No ruido Blanco del periodo. Esto indudablemente ha sido la piedra de toque para el modelo de predicción propuesto en el punto 8.2. Como se ha podido observar, el concepto de carácter extremo es flexible, y tanto el carácter aleatorio de un ruido blanco, como el número de desviaciones típicas que nos separemos de la mediana pueden definirnos este tipo de fenómenos. Tras definir el punto de partida de la metodología de alerta y exploración de sucesos y periodos de carácter extremo, a continuación se entra en detalle en la explicación y los resultados obtenidos con las dos técnicas principales de esta metodología. Para mayor detalle sobre los resultados anteriores, acudir a los ANEXOS. Página 141

166 Resultados Resultados técnica de Control Estadístico de Procesos Una vez obtenida una definición heurística de lo que puede ser un suceso extremo, basándonos en la ecuación [8.1], se observó como dicha definición liga el concepto de desviación típica con el carácter extremo del fenómeno. Se pensó entonces en una técnica de alerta o detección puntual, de sucesos extremos ligado a las desviaciones típicas de los datos frente a una referencia. El control estadístico de procesos, mediante sus gráficas de control, recoge la definición de suceso extremo de la que se ha partido en el proyecto, y ha servido como herramienta muy útil de detección puntual de suceso extremos, tal como se verá posteriormente. Surgen dos preguntas necesarias con todo esto. Por un lado, cuánto ha de valer ω para que el suceso pueda considerarse extremo? y por otro lado es la mediana la mejor línea de referencia? Para ambas preguntas las gráficas de control tienen respuesta. En cuanto a la primera pregunta, se quiso relacionar el concepto de punto fuera de control con la propia definición de suceso extremo [8.1], por lo que acudiendo al control estadístico de proceso (Ver capítulo 4 para mayor detalle), se aplicaron gráficas de control a cada uno de los casos, y posteriormente se estudiaron las reglas de Nelson con el fin de buscar algún patrón significativo en las muestras, tal como se verá más adelante. Fruto de aplicar estas técnicas de control, se estableció como valor de ω, 3. Esto es debido a que es el valor más típicamente aceptado en el control de procesos para afirmar que una variable está fuera de control. Con ello se establece nuevamente una relación, esta vez, entre el carácter extremo de un punto y el concepto de control estadístico de un punto. En cuanto a la segunda pregunta, tal como se observa en la Figura 8.9, tanto la mediana como la media se comportan de forma similar antes los 6 casos. La mediana de los datos queda siempre ligeramente por debajo, siendo la diferencia tan pequeña que la aplicación de gráficas de control no se ven afectadas por una u otra como referencia central. Página 142

167 Resultados Figura 8.9- Gráfica de control a la divisa -$ con la mediana y media como línea de referencia respectivamente Dicho todo lo anterior, se ha partido de ω=3 desviaciones típicas, por encima y por debajo, de la referencia. Igualmente, se ha partido de la media como referencia central para poder explorar las reglas de Nelson (ver capítulo 3 para mayor detalle) basándonos en su propia definición, tal como se verá posteriormente. Resultados principales obtenidos Se ha partido de un conjunto learning, correspondiente a la primera mitad de la muestra de datos. Con él se calcula el promedio de referencia µ (línea roja central), el µ + 3σ (límite superior, línea verde) y el µ - 3σ (límite inferior, línea morada). Una vez calculados los parámetros límites, se aplican en la segunda mitad de la muestra, conjunto test, y se interpretan los resultados obtenidos. Se recuerda que por definición de las gráficas de control, cualquier punto fuera de la región límite se considera fuera de control. Página 143

168 Resultados Veamos los resultados obtenidos para algunos casos de estudio: Figura Gráfica de control con sucesos extremos del BBVA mensual Figura Gráfica de control con sucesos extremos del -$ mensual Figura Gráfica de control con sucesos extremos del -$ diario Para mayor detalle sobre los resultados anteriores, acudir a los ANEXOS. Por un lado, es observable como todos los puntos que se salen de control, según la estadística de procesos, encajan perfectamente con la definición de suceso extremo de la que se ha partido. Esto pone de manifiesto una relación entre lo que es un punto fuera de control y el carácter extremo de un suceso, evidenciándose para los 6 casos. Página 144

169 Resultados Por otro lado, se observa como desde una perspectiva visual, aquellos puntos que hubiéramos señalado como extremos sin atenernos a ninguna referencia, acaban siendo señalados gracias a la gráfica de control. Incluso se puede ir más allá, diciendo que la gráfica de control también es capaz de señalar aquellos puntos que se acogen a la definición de suceso extremo dada, pero que el ojo humano es incapaz de apreciar. Esto es observable en la siguiente Figura Por último, es observable como los sucesos extremos detectados además de encajar con la definición [8.1], y con la perspectiva visual de suceso extremo arbitraria de cualquier persona, encajan muy bien con el reflejo de la realidad actual. Por ello, es palpable como todos los sucesos extremos detectados están fuertemente relacionados con la fecha de comienzo de la crisis económica actual, Octubre del Esto evidencia que tanto los recorridos utilizados (referidos al 100% de los datos) y la técnica de detección de sucesos extremos van bien encaminados. Además la técnica de gráficas de control, sirve de afinamiento de la definición genérica [8.1], proponiendo una ω=3 y una línea de referencia que sea el promedio. Figura Perspectiva visual de suceso extremo frente a técnica detección de sucesos extremos mediante gráficas de control Cabe añadir que en todos los casos estudiados se han detectado al menos un suceso extremo, esto se puede deber principalmente a que todas las muestras escogidas, Página 145

170 Resultados recogen la fecha de inicio de la crisis actual (Octubre del 2008), tal como se ha comentado anteriormente. Por ello, se evidencia que una crisis como la presente puede acarrear la aparición de este tipo de fenómenos y con relativa frecuencia, llegando a formar clusters de sucesos extremos, tal como se adelantó en el capítulo 3. Este hecho está muy relacionado y documentado en volatilidad, [FERN08]. Una vez dejado clara la utilidad y relación del control estadístico de procesos con la definición y detección de sucesos extremos, se debe añadir que fruto de ésta técnica se ha podido implementar además una definición a lo que es un periodo de carácter extremo, ligado al número de sucesos extremos detectados en un intervalo de tiempo. Esto fue introducido como punto de partida en el punto Por último, tal como se adelantó en las conclusiones del punto de partida 8.1.1, la definición [8.1] de suceso extremo aplicada mediante gráficas de control no sólo ha servido para proponer una definición de periodo extremo, sino también para poner de manifiesto que el hecho de que un periodo se distribuya según un Ruido Blanco o no, está muy relacionado con que dicho periodo tenga o no tenga sucesos extremos. Valga el siguiente ejemplo de uno de los casos de estudio (divisa $-YEN) para demostrarlo: 1.- Definición de sucesos extremos según definición [8.1] enfocada al control de procesos. ω=3 desviaciones típicas: Figura Gráfica de control con 3 sucesos extremos del $-YEN mensual Página 146

171 Resultados 2.-Definición de periodo turbulento/convulso/extremo según la definición empíricaheurística propuesta (recoge a los tres sucesos extremos detectados): Figura Definición empírica y heurística de periodo turbulento/convulso/extremo en los Recorridos mensuales de la divisa $-YEN 3.- Patrón de ventanas dónde se evidencia las conclusiones mostradas en el punto de partida 8.1.1: Figura Evidencia fundamental de relación entre periodos de No ruido Blanco y presencia de sucesos extremos observable en el patrón de ventanas de la serie $-YEN Se concluye nuevamente: Periodos de Ruido Blanco (ventanas de fondo blanco y borde verde) No existencia de sucesos extremos. Periodos de NO Ruido Blanco (ventanas de fondo rojo y fondo naranja) Periodos candidatos a contener sucesos extremos. Al menos uno de los periodos de NO Ruido Blanco Es o contiene a un periodo turbulento/convulso/ o extremo según la definición heurística propuesta Contiene sucesos extremos (siendo los demás periodos de No Ruido Blanco catalogados como Pseudo-Convulsos por no tener sucesos extremos detectados) Los sucesos extremos que aparezcan Estarán contenidos en un periodo de NO Ruido Blanco Página 147

172 Resultados Resultados a través de las reglas de Nelson Otra de las alternativas que ofrece las gráficas de control como técnica de acercamiento a la detección de sucesos extremos es indagar si mediante las Reglas de Lloyd Nelson (ver Capítulo 3 para mayor detalle) se pueden encontrar patrones de comportamiento relacionados con la aparición o presencia de sucesos extremos en los 6 casos de estudio. Recordando la esencia de las reglas de Nelson, éstas se basaban en comportamientos de los datos que hicieran anticipar que un proceso estaba fuera de control. Se han analizado principalmente las reglas número 1, 2, y 3 (son de las más aceptadas por los expertos) intentando buscar patrones o evidencias empíricas similares antes o durante la aparición de suceso extremos en todos los casos de estudio. A continuación se muestran las reglas observadas en cada caso antes y durante la aparición de los sucesos extremos detectados: (nótese que la línea de referencia promedio, es la línea roja, y que los límites de control superior e inferior son la verde y morada respectivamente: Figura Reglas 1,2 y 3 de Nelson en la divisa -$ mensual Figura Reglas 1,2 y 3 de Nelson en la divisa $-R.Brasileño mensual Página 148

173 Resultados Figura Reglas 1,2 y 3 de Nelson en la divisa $-YEN mensual De lo anterior se observan resultados muy interesantes. Lo destacable es ver como antes de la aparición de cualquier suceso extremo en cualquiera de las tres divisas (enfoque mensual), se cumple siempre la regla número 2 de Nelson. Se evidencia para estos tres casos que 9 o más puntos estando por encima o por debajo de la media anteceden a un periodo de sucesos extremos. Por otro lado cabe destacar que la regla número 2 vuelve a evidenciarse durante el propio periodo de sucesos extremo, para dos de las tres divisas. Lo mismo ocurre con el BBVA y Santander, en la Figura 8.20 se muestra el resultado para los recorridos del BBVA (enfoque mensual): Figura Regla 2 de Nelson en el BBVA mensual Se observan muchos más datos involucrados en la regla número 2 del BBVA, previsiblemente por la consecución de mayor número de sucesos extremos. La regla número 3 apenas aporta información en ninguno de los casos y la regla número 1 es de obligada aparición en todos los casos por la presencia de sucesos extremos en todos ellos, según su definición [8.1]. Por último cabe destacar que no ha sido posible observar ningún patrón, ni encajar conclusiones sobre esas reglas en la divisa -$ en su enfoque a corto plazo (diario), salvo el cumplimiento obvio de la regla número 1 por la presencia de un punto fuera de control (suceso extremo). Página 149

174 Resultados Se resume todo lo anterior en la siguiente tabla: CASOS DE ESTUDIO ENFOQUE REGLAS DE NELSON CUMPLIDAS CONCLUSIÓN (*) -$ (EUR/USD) MEDIO PLAZO (mensual) 1,2 y 3 Regla 2 alerta de la presencia de sucesos extremos $-REAL BRASILEÑO (USD/BRL ) MEDIO PLAZO (mensual) 1,2 Regla 2 alerta de la presencia de sucesos extremos $-YEN (USD/JPY) MEDIO PLAZO (mensual) 1,2 Regla 2 alerta de la presencia de sucesos extremos -$ (EUR/USD) CORTO PLAZO (diario) 1 Las reglas no aportan información Tabla 8.1- Reglas 1, 2 y 3 de Nelson en divisas (*)La regla #1 se cumple en todos los casos. La regla #3 se cumple sólo en el -$ mensual y no reporta información concluyente. Página 150

175 Resultados Resultados técnica de Rolling Windows Una vez fundamentada la evidencia de relación entre periodos de ruido blanco con la no existencia de sucesos extremos, y periodos de No Ruido Blanco con la posibilidad de presencia de sucesos extremos gracias a los patrones de ventanas de cada serie. Se pensó en una técnica automática que permitiera explorar y detectar la presencia de periodos candidatos a tener sucesos extremos (periodos de No Ruido Blanco) frente a periodos estables (periodos de Ruido Blanco) a lo largo del histórico de un conjunto de recorridos mensuales dados. Esta técnica surge motivada por varias razones: - Se observa evidencia para los 6 casos de estudio de que una serie financiera, al margen de los sucesos extremos puntuales que pueda tener, sigue siempre una tónica de alternar periodos estables y no estables de duraciones irregulares a lo largo de toda su historia de los recorridos. Gracias a los patrones de las series diseñados se pudo observar que esa tónica de sucesión de periodos convulsos y no convulsos tenía estrecha relación con que dichos periodos fueran o no Ruido Blanco. Por lo que se pensó que sería interesante intentar diseñar un mecanismo automático que reflejara y anticipara los cambios de estado encontrados para cada serie a partir del concepto de Ruido Blanco. - Si el carácter convulso o pseudo-convulso de un periodo de tiempo está ligado a que dicho periodo No se distribuya según un Ruido Blanco, y análogamente, si el carácter estable de los datos está ligado a que un periodo se distribuya según Ruido Blanco; entonces no cabe duda que poder encontrar un mecanismo que te estructure la serie en periodos de Ruido y No ruido, sería muy útil para cualquier operador. -Uno de los aspectos más importante a tener en cuenta antes de detallar los resultados de esta técnica, es que no se trata de un mecanismo de predicción propiamente dicho, pero si un método que puede ayudar a predecir periodos con carácter convulso. Un modelo ARIMA por ejemplo usaría los datos de forma autorregresiva para finalmente sacar un modelo con el que estimar el mañana a partir de los datos disponibles. Mediante esta técnica no se saca ningún modelo, pero te da información del pasado de Página 151

176 Resultados los recorridos que ayuda a poder predecir, aunque sea de forma cualitativa, el estado en el que estaremos mañana. -Por otro lado esta técnica fortalece nuevamente las conclusiones sacadas con los patrones analizados de cada caso de estudio. El hecho de poder encajar una Rolling Window con el patrón afina aún más las evidencias empíricas de éste. Esta técnica se diseñó a partir del concepto de Rolling Windows (ventanas rodantes), y se probó, para los recorridos de los 6 casos de estudio, 5 casos desde un enfoque mensual, y 1 desde un enfoque diario. El mecanismo funciona de la siguiente forma: Para el enfoque mensual de los recorridos (Santander, BBVA, -$, $-R.B, $- YEN) Se estudiaron 5 tipos de ventanas de ancho fijo (Rolling Windows): 1 año Contiene 12 datos mensuales 1 año y 3 meses Contiene 15 datos mensuales 1 año y 6 meses Contiene 18 datos mensuales 1 año y 9 meses Contiene 21 datos mensuales 2 años Contienes 24 datos mensuales De forma genérica: Ancho fijo = C Contiene n(c) datos mensuales Para el enfoque diario de los recorridos ( -$) Se estudiaron 11 tipos de ventanas de ancho fijo (Rolling Windows): 4 días Contiene 4 datos diarios 5 días Contiene 5 datos diarios 6 días Contiene 6 datos diarios 8 días Contiene 8 datos diarios 9 días Contiene 9 datos diarios 10 días Contiene 10 datos diarios Página 152

177 Resultados 15 días Contiene 15 datos diarios 16 días Contiene 16 datos diarios 18 días Contiene 18 datos diarios 20 días Contiene 20 datos diarios 25 días Contiene 25 datos diarios El punto de partida de ésta técnica es tener definido el patrón de ventanas de la serie, ver Figura 8.21, a modo de recordatorio. En estos patrones se recuerda que se distinguen los periodos de Ruido Blanco y periodos de No ruido Blanco de la serie donde se evidenciaron las conclusiones fundamentales comentadas en páginas anteriores en relación a la existencia o no de sucesos extremos. Periodos de NO Ruido Blanco Periodos de Ruido Blanco Figura Patrón de ventanas de la serie $-YEN, evidencia fundamental de relación entre periodos de Ruido Blanco y no presencia de sucesos extremos A continuación lo que se hace es seleccionar un ancho fijo para la Rolling Window. Con el ancho fijo seleccionado C, se va barriendo la serie de recorridos desde el primer mes (manteniendo el ancho) y avanzando mes a mes. En cada parada de mes, la ventana obviamente contendrá el número de datos n(c), correspondientes al ancho fijo seleccionado C, por lo que se corre un test de Ruido Blanco (Portmanteau) a los n(c) para cada mes en el que se posicione la Rolling Window, con el fin de ver si en esas paradas los n(c) datos se distribuyen o no según un ruido blanco. Así sucesivamente para todos los meses de la serie hasta el final. Es importante recordar que Página 153

178 Resultados siempre ha de respetarse el ancho fijo seleccionado de la ventana. Cuando la ventana ha acabado su recorrido, deja tras de sí múltiples pruebas de ruido blanco para cada mes de los recorridos. En la Figura 8.22 se muestra intuitivamente este mecanismo: Figura Ejemplo de funcionamiento de una Rolling Window de un año de ancho fijo El objetivo principal que se ha querido cubrir con esta técnica es intentar ver cuál es la mejor Rolling Window computada que es capaz de reflejar los cambios de estado que sufre el patrón de ventanas de la serie (Cambio de Periodos de Ruido Blanco a No Ruido Blanco, o viceversa). Dicho de otra forma se busca un mecanismo automático que refleje lo mejor posible los periodos que se han distinguido en el patrón sacado para cada serie. Así, se podrá distinguir con precisión, basándonos en el concepto de Ruido y No Ruido Blanco, los periodos estables y no estables que subyacen del histórico de los recorridos analizados. Alguien ante una simple gráfica de recorridos puede no reconocer desde una simple perspectiva visual la alternancia de estados subyacentes en los recorridos, a través de ésta técnica se puede evidenciar que el ruido blanco es un buen mecanismo para identificar fronteras de estados convulsos y no convulsos. Fruto de los resultados de la mejor Rolling Window uno podrá visualizar la alternancia de estados estables y no estables a lo largo de la historia de los recorridos hasta un momento cercano al presente. A partir de ahí, se podrá tomar una decisión de Página 154

179 Resultados inversión considerando no sólo el precio de la acción o divisa desde hace una semana o mes, sino también basándonos en considerar en que tipo de periodo se encuentra el valor o divisa, y con qué probabilidad va a cambiar de estado. Por ello, un buen ajuste de la mejor Rolling Window al patrón permite saber con mucha precisión, el número de tipos de estados pasados hasta llegar al presente en el cual se quiere tomar la decisión de inversión, los meses que se lleva en un mismo estado y los estados convulsos y pseudo-convulsos anteriores que han pasado hasta llegar al presente. Toda esta información puede sin duda serle útil a cualquier operador que parta ya con conocimiento del mercado y habilidades predictivas para hacer frente a una inversión. En la Figura 8.23 se observa a modo de ejemplo uno de los objetivos de la técnica explicada para el caso de estudio del BBVA. Figura Patrón de ventanas del BBVA con cambios de periodos, los cuales se buscan detectar y reflejar, mediante la técnica de Rolling Windows En las Figura 8.24, 8.25, 8.26 y 8.27 se muestra un ejemplo del procedimiento de cálculo de los resultados de la técnica de Rolling Windows, seleccionando una ventana de ancho fijo = 1 año. Esto se computa a través de un Add-in estadístico en Excel llamado NumXL, que permite correr un test de ruido blanco (White Noise Test WNtest) a los datos seleccionados. A medida que se va barriendo con la ventana toda la serie, mes a mes, se van obteniendo los p-valores del WNtest. Página 155

180 Resultados Primer Pivotamiento de la Rolling Window de 1 año de ancho fijo Figura NumXL cálculo de P-Valores de la Rolling Window seleccionada Figura Salida por pantalla de P-Valores* de la Rolling Window seleccionada Página 156

181 Resultados Segundo Pivotamiento de la Rolling Window de 1 año de ancho fijo Figura Salida por pantalla de P-Valores de la Rolling Window seleccionada (*) Es importante añadir que el análisis de los periodos de la serie está basado en los resultados de test estadísticos que llevan asociados un p-valor de la prueba. Se recuerda que cuanto más alto sea el p-valor de una prueba más difícil es rechazar la hipótesis nula en juego. Aunque lo más normal es aceptar la hipótesis nula del contraste para p-valores por encima del 10 %, en los resultados obtenidos para cada caso de estudio, se ha distinguido, un p-valor límite (α) del 5% y del 10%. De forma que si usamos los resultados al 5%, estamos considerando que en los test asociados a esos resultados la hipótesis nula (por ejemplo: que los datos del periodo se distribuyan según el modelo de un Ruido Blanco) se acepta a partir del 5%, análogamente pasaría con el 10%. En adelante sólo se considera el p-valor límite de aceptación del 10% y no del 5%. Figura Salida por pantalla de P-Valores de la Rolling Window seleccionada Página 157

182 Resultados Se observa como aquella prueba cuyo p-valor sea <10% se marca en rojo la celda, a modo de representar que el periodo asociado a dicha celda No es un Ruido Blanco. Por el contrario, si al ir barriendo con la ventana se obtiene un p-valor > 10% se marca la celda en verde claro, a modo de representar que el periodo asociado a dicha celda es un Ruido Blanco (periodo estable). Así se obtiene un diagrama intuitivo de colores para cada Rolling Window computada mostrado en la Figura Figura Diagrama de colores intuitivo de la computación de una Rolling Window de un 1 año de ancho en los recorridos mensuales del BBVA Finalmente se computan todas las distintas Rolling Window para cada uno de los casos de estudio, y se selecciona la que mejor refleje el cambio el comportamiento del patrón de ventanas de la serie. En la siguiente Figura 8.29 se observa el diagrama de colores, formado tras computar todas las Rolling Window para el caso del BBVA mensual, frente al patrón de la serie de ventanas. Se observa como la mejor Rolling Window que refleja mejor los cambios de periodos del patrón, y que refleje mejor el comportamiento de éste (paralelismo de colores), es la Rolling Window de 1 año y medio de ancho (recuadrada en amarillo) Página 158

183 Resultados PATRÓN DE VENTANAS DE LA SERIE (REFERENCIA) ROLLING WINDOWS COMPUTADAS, DE 1 AÑO, 1 AÑO Y 3 MESES, 1 AÑO Y 6 MESES. 1 AÑO Y 9 MESES, Y 2 AÑOS Figura Ejemplo Técnica de Rolling Windows Caso del BBVA mensual Página 159

184 Resultados Se observa que uno de los principales inconvenientes de esta técnica es que la computación de una Rolling Window de ancho fijo seleccionado, ha de pararse obligatoriamente antes de usar todos los datos de los que se dispone para computar. Esto quiere decir que si dispongo de datos desde Enero 2003 hasta Septiembre del 2010, y computo la Rolling Window de 1 año de ancho fijo, ésta parará de computarse en Septiembre del 2009, (1 año antes del dato más presente del que se dispone). Esto a su vez, quiere decir que a medida que el ancho fijo de la Rolling Window seleccionada sea más grande, menos información se dispondrá de la computación de la Rolling Window para con ella poder enfrentarme a una decisión futura. Esto se observa en la Figura Figura Paradas obligadas de la computación de las distintas Rolling Windows Una posible solución a lo anterior es mediante una nueva Rolling Window que empezara desde el presente y fuera barriendo hacia atrás en el tiempo hasta cubrir la falta de resultados del último tramo de meses. Se ha podido comprobar que esto funciona bien en los distintos casos. Página 160

185 Resultados El diagrama de colores explicado en la Figura 8.29 se puede sustituir representando los p-valores obtenidos para cada Rolling Window a través del tiempo. En la Figura 8.31 se muestra la computación de la Rolling Window de año y medio anterior (BBVA) de esta forma. Mediante el gráfico de colores en la computación de la Rolling Window de estudio, marcábamos con rojo aquellas celdas con p-valores menores que el 10% (esto significaba que el periodo asociado a esa celda NO se distribuía según un ruido Blanco) y en verde los p-valores mayores que el 10% (esto significaba que el periodo asociado a esa celda se distribuía como un Ruido Blanco). Ahora mediante los gráficos de p- valores se prescinde de los colores. Basta con poner de referencia (línea azul) un p- valor límite del 10%, e interpretar que por debajo de esta referencia serán periodos de NO Ruido Blanco detectados por la Rolling Window de estudio, y por encima serán Periodos de Ruido Blanco detectados. (Nótese que de igual forma que en el diagrama de colores, cada punto representa el p-valor de un periodo de tiempo de límite inferior el mes en el que se encuentre el punto, y de ancho igual al de la Rolling Window seleccionada) FIN COMPUTACIÓN DE ROLLING WINDOW DE 1 AÑO Y MEDIO HOY (PRESENTE) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 1 año y medio (BBVA) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) Página 161

186 Resultados A continuación se muestra otro ejemplo de uno de los casos de estudio de divisas $-Real Brasileño. La mejor Rolling Window observada que mejor afinó el comportamiento del patrón $-Real Brasileño (detectando periodos pseudo-convulsos o convulsos de No Ruido Blanco y reflejando, igualmente, el comportamiento general del patrón) ha sido la de 1 año y medio FIN COMPUTACIÓN DE ROLLING WINDOW DE 1 AÑO Y MEDIO HOY (PRESENTE) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 1 año y medio ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) En las dos Figuras anteriores se puede observar la ventaja visual de emplear estos gráficos de p-valores. Se detectan de un golpe de vista la transición de estados estables a no estables o vice-versa. Incluso se puede intuir de forma visual la fuerza del periodo (pseudo-covulso o convulso) simplemente mirando la continuidad de los pvalores. Aspecto que se observa claramente en los periodos 1, 3 y 5 de la Figura El periodo 1, es un periodo pseudo-convulso (pocos p-valores continuados por debajo del 10%), el periodo 5 es un periodo convulso tanto desde una perspectiva visual, empírica-heurística por contener sucesos extremos, así como por los resultados de la Rolling Window computada (muchos p-valores continuados por debajo del 10%). Además se observa como la Rolling Window computada (de 1 año y medio) es capaz Página 162

187 Resultados de detectar previamente el comienzo de un periodo de sucesos extremos (flecha morada). El hecho de poder encontrar una Rolling Window que computada encaje con el patrón de ventanas, fortalece aún más las conclusiones empíricas que se sacaron en páginas anteriores. Por otro lado ya que sólo se distinguen dos dinámicas en el patrón, por un lado, Periodos de Ruido Blanco estables ausencia de sucesos extremos (periodo tipo A) y Periodos de No Ruido Blanco periodos candidatos a contener sucesos extremos (periodo tipo ), se intuye la utilidad que puede tener la técnica para poder predecir la probabilidad de transición de los dos tipos de periodos (A y ) en cualquier momento determinado a partir de la mejor Rolling Window computada Resultados Casos de estudio mensuales (Santander, BBVA, -$, $-R. Brasileño, $-YEN) y diario ( -$) En los casos analizados del enfoque mensual, se observa principalmente como la computación de una Rolling Window de 1 año y medio tanto para un caso bursátil como para un caso de divisas, encaja bastante bien con el comportamiento que refleja el análisis previo del patrón. Esto se ha podido evidenciar para los 5 casos del enfoque mensual, donde la Rolling Window que mejor ha reflejado el comportamiento del patrón para la mayoría de los casos ha sido la de ancho fijo de 1 año y medio. Hay que añadir igualmente, que se ha podido comprobar que Rolling Windows por debajo de 6 meses de ancho fijo, no ofrecía información ni ningún resultado aclaratorio, ver Figura 8.33 y Tal como se observa en la Figura 8.35 una Rolling Window de 9 meses presenta un enfoque donde tampoco se distinguen bien los periodos del patrón. Las Rolling Window empezaban a responder bien para todos los casos mensuales a partir del año de ancho fijo. Rolling Windows de 2 o más años de ancho fijo, simplificaban los periodos del patrón, no dando la verdadera visión de las distintas dinámicas (estables o no estables) que se pueden apreciar en la serie. Ver Figura Página 163

188 Resultados Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 3 meses ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 6 meses ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) Página 164

189 Resultados Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 9 meses ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 2 años ($-R. Brasileño) comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos (encima) Página 165

190 Resultados En cuanto al enfoque diario, sólo se probó un caso, el -$, observando nuevamente que todas estas técnicas están lejos aún de ser útiles desde una perspectiva de corto plazo. Principalmente pesa el motivo de no poder sacar un claro patrón de referencia que refleje el comportamiento de la serie y con el que poder comparar. Una vez detectado en la serie diaria del -$ (18 Julio 2010 al 31 de Enero del 2011) el único suceso extremo, basándonos en la definición [8.1], se partió del siguiente patrón de referencia: Suceso Extremo Único Periodo de NO Ruido Blanco Figura Patrón de Ventanas de referencia para el -$ (diario) Como se puede observar en la Figura 8.37, la serie de los recorridos diarios, no deja a priori visualizar distinción de periodos convulsos y no convulsos, por lo que dificultaba el encontrar un patrón de referencia por periodos. La Rolling Window que mejor refleja este comportamiento del patrón es la de ancho 15 días. En la figura 8.38 se puede ver la gráfica de p-valores obtenida para esta Rolling Window. Al ser poco representativo el patrón de referencia, y al no ajustar la Rolling Window de 15 días al patrón, se descarta la utilidad de esta técnica para el corto plazo. Figura Gráfico de p-valores Rolling Window de 15 días ( -$) diario comparándolo con Patrón de la serie de los Recorridos Página 166

191 Resultados A continuación se presenta una Tabla resumen, en la que se muestran las mejores Rolling Windows observadas para cada caso de Estudio: CASOS DE ESTUDIO TIPO DE MERCADO ENFOQUE MEJOR ROLLING WINDOW (*) BANCO SANTANDER BURSÁTIL MEDIO PLAZO (mensual) 1 AÑO Y MEDIO BANCO BBVA BURSÁTIL MEDIO PLAZO (mensual) 1 AÑO Y MEDIO -$ (EUR/USD) DIVISAS $-REAL BRASILEÑO DIVISAS (USD/BRL ) $-YEN (USD/JPY) DIVISAS -$ (EUR/USD) DIVISAS MEDIO PLAZO (mensual) MEDIO PLAZO (mensual) MEDIO PLAZO (mensual) CORTO PLAZO (diario) 1 AÑO Y MEDIO 1 AÑO Y MEDIO 1 AÑO Y 3 MESES Ninguna da información concluyente Tabla 8.2- Resumen resultados técnica Rolling Windows (*) Rolling Windows por debajo de un 1 año no dan información concluyente en ningún caso. Rolling Window por encima de 2 años se simplifican los estados A y no dando la verdadera perspectiva real del patrón de referencia. De alguna forma la elección de la mejor Rolling Window para cada caso, ofrece un afinamiento de lo que se venía concluyendo a lo largo de la investigación con los patrones de ventanas. Esta técnica abre una puerta para futuros desarrollos en los que se pueda usar como mecanismo automático de exploración y detección de periodos convulsos y no Página 167

192 Resultados convulsos sobre un histórico de datos hasta un momento cerca o muy cerca del presente. Y con esta información, a su vez, poder intentar predecir cambios de estado del sistema en el futuro. Por encima de todo, se concluye para los 6 casos estudiados, que tanto en la series bursátiles, como de divisas, sólo se observan dos dinámicas A y, periodos estables o no estables (en este último se incluyen tanto los pseudo convulsos como los convulsos con sucesos extremos). Para un operador interesado en ver la secuencia o combinación de estos 2 tipos de estados a lo largo del tiempo de un activo financiero hasta un momento lo suficientemente cerca del presente sin que sea desde una perspectiva visual, se le recomendaría computar una Rolling Window de 1 año y 6 meses con el procedimiento descrito anteriormente. De forma que una vez se obtuviera la gráfica de p-valores, se podría ver de un golpe de vista que la secuencia de A y reporta esta Rolling Window. A partir de ella, se podría tomar una decisión de inversión basándonos en considerar no sólo el precio de la acción o divisa desde hace una semana o mes, sino considerando también en qué tipo de periodo se encuentra el valor o divisa (según lo que indique la Rolling Window), y ver así como me afecta esto al mañana, y con qué probabilidad va a cambiar de estado el sistema. Una vez interpretada la secuencia, el operador, podría partir de esta información para intentar predecir dichos futuros cambios de estado, y poder acotar así su riesgo de inversión.para mayor detalle sobre los resultados anteriores, acudir a los ANEXOS. Página 168

193 Resultados 8.2 RESULTADOS METODOLOGÍA DE PREDICCIÓN DE PERIODOS Y SUCESOS FINANCIEROS DE CARÁCTER EXTREMO El modelo Propuesto Basándonos en todas las conclusiones y evidencias empíricas demostradas a lo largo de metodología de alerta y exploración de periodos y sucesos extremos, y fundamentalmente, concluyendo para 6 casos de estudio, que si un periodo se puede modelar como un Ruido Blanco, entonces dicho periodo carecerá de sucesos extremos y tendrá carácter estable, se propone el siguiente modelo basándonos en [MART07]: Un modelo con saltos de régimen de Markov, para determinar los periodos estables y no estables, basados en los datos de los recorridos mensuales de series temporales financieras del mercado bursátil y de divisas. Esto es modelado o bien mediante un proceso auto regresivo de primer orden, AR (1), o mediante un proceso de Ruido blanco Gausiano, dependiendo de que el sistema esté en una fase estable o no. La transición entre ambas fases es modelada mediante un proceso Markoviano. Es más, la propuesta ofrece la probabilidad de estar en periodo no estable, en un momento dado cualquiera. La metodología es evaluada basándonos en los datos obtenidos para los distintos 6 casos de estudio (ver Capítulo 7). Fruto de la investigación de modelos relacionados, se ha podido observar como sus aproximaciones presentan algún fallo como la necesidad de una predefinición de los periodos estables y no estables con el fin de modelar la distribución que sirva de base de comparación. Sin embargo, Le Strat y Carrat (1999) fueron los pioneros en el uso de los modelos ocultos de Markov (Mac Donald y Zucchini, 1997) a fin de segmentar las series temporales en fases estables y no estables. Esta aproximación tiene una clara ventaja y es que el método tiene aplicabilidad en datos históricos sin necesidad de tener que distinguir entre periodos estables o no estables en los datos, esto se hace palpable haciendo uso del paradigma Bayesiano para la estimación de los parámetros, tal como se verá posteriormente en nuestra proposición Bayesiana del modelo. Por el contrario, Página 169

194 Resultados desde un enfoque No Bayesiano, es necesario definir los periodos estables y no estables visibles en la serie, para poder computar el modelo. Este hecho fortalece la importancia y ventajas fundamentadas en este proyecto sobre los métodos Bayesianos de predicción. Otra de las ventajas de esta aproximación es que la serie de los recorridos se podría considerar estacionaria y, por lo tanto, nos permite aprovechar el modelo auto regresivo para analizar los datos. En concreto, y dependiendo de si el sistema está en una fase estable o no, tal como se ha mencionado anteriormente, modelaremos las series temporales con un proceso de ruido blanco Gausiano o con un proceso auto regresivo de primer orden respectivamente. La transición entre las fases se introduce, igualmente, a través del proceso Markoviano. Este modelo se emplea con el objetivo de obtener la probabilidad de estar en una fase no estable en un momento determinado, lo cual es clave en la detección del comienzo de un periodo convulso o extremo. Basándonos en todas las consideraciones expuestas anteriormente, vamos a presentar a continuación, el modelo propuesto basado en el modelo de saltos de régimen de Markov, así como la forma en la que puede usarse para detectar cambios entre las dos dinámicas mencionadas. El Modelo Básicamente, el modelado está basado en una segmentación de la serie de los recorridos, dentro de una fase convulsa (no estable) y estable utilizando el modelo de saltos de régimen de Markov (MSM) de dos estados (ver Fruhwirth-Schnatter (2006) donde se incluye amplia monografía de este tipo de modelos). Siendo Y = {Y i,j,i =1,..,nº de mes; j= 1,..,nº de periodo} nos marca el recorrido del mes i, en el periodo j. Lo que está detrás de la idea de los modelos de saltos de régimen de Markov es que asocian cada Y i,j con una variable aleatoria Z i, j, que determina la distribución condicional de Y i,j para una Z i, j dada. Página 170

195 Resultados En nuestro caso particular, cada Z i, j es una variable aleatoria no observada que nos indica en qué fase se encuentra el sistema. (1, convulsa-no estable; 0 estable). Es más, la secuencia no observada de Z i, j se distribuye según una cadena de Markov de orden 1 con transición de probabilidades: P k,l =P(Z i+1, j = l Z i,j = k) donde k,l ϵ 0,1, i ϵ {1,2, nº de mes) y j ϵ {1 nº de periodo} [8.2] Este tipo de modelos de Markov en el que las variables que determinan la distribución condicional, son no observadas, son generalmente conocidos como los modelos escondidos de Markov (Mac Donal y Zuchinni 1997). Por tanto, considerando que la dinámica estable se caracteriza por pequeños cambios aleatorios en torno a una línea central, mientras que los cambios en la dinámica convulsa (no estable) son más grandes y están inter relacionados, modelaremos la distribución condicional de Y i,j, como un proceso auto regresivo de orden 1 o como un proceso de ruido blanco Gausiano dependiendo de si el sistema está en una fase convulsa (no estable) o estable: Y i, j (Z i, j = 0) ~ N (0, σ 2 0, j ) Y i, j (Z i, j = 1) ~ N (ρ Y i-1, j, σ 2 1, j ) para i > 1 [8.3] i = 1,..,nº de mes, j= 1,.nº periodo Donde los primeros subíndices de la varianza 2 k,j representan si el sistema se encuentra en la fase convulsa (no estable) (k=1) o estable (k=0). Nótese que se supone una diferente varianza en cada periodo. Esto se hace con el objetivo de reflejar el comportamiento reflejado en las Figuras anteriores, en el que puede apreciarse que la longitud de las variaciones no es la misma en los diferentes años. Igualmente, merece la pena hacer notar que la distribución condicional del primer mes no puede ser modelada como un proceso auto regresivo ya que no existen valores previos que lo condicionen. Una vez que el modelo está determinado, el siguiente paso consiste en estimar sus parámetros. Página 171

196 Resultados Considerando que P k, 0 +P k, 1 = 1 para k ϵ 0,1, únicamente debemos estimar ρ, P 0,0 P 1,1 y {σ 2 0,j, σ 2 1,j ; j =1 nº de periodos} Resultados enfoque No Bayesiano de estimación de los parámetros La serie mostrada en la Figura 8.39 corresponde a la de los recorridos del BBVA mensuales. En ella se observa una mezcla de las dos dinámicas: una dinámica estable (no convulsa), en la que los recorridos no presentan grandes cambios, variando aleatoriamente alrededor de valores pequeños, y una dinámica convulsa (no estable) en la que lo recorridos aumentan y disminuyen fuertemente en intervalos irregulares. Nótese que en éste enfoque no Bayesiano es necesario partir de una definición de periodo estable y no estable para observar las dos dinámicas. Se ha tenido que dividir la serie de los recorridos en 8 periodos de tiempo de un año cada uno, observándose de esta forma como los 3 periodos de los años 2004 al 2007 son estables, siendo los demás periodos pseudo-convulsos o convulsos con sucesos extremos según la definición [8.1], especialmente notorios después del estallido de la crisis actual, Octubre del Figura Recorridos mensuales del BBVA durante 8 periodos de 1 año En la siguiente Figura 8.40, se puede observar como la serie de las diferencias facilita confirmar que un periodo sea convulso. El quinto periodo podría incitar a la duda, pero observando la serie de las diferencias se evidencia su carácter convulso, al tener al menos dos puntos importantes de variación, uno de ellos, cercano a ser un suceso extremo. En cuanto al primer periodo (No ruido blanco pero sin sucesos Página 172

197 Resultados extremos), no hay suficiente información como para decir que sea un periodo convulso. Sus diferencias se muestran estables, pero por el contrario, el periodo rechaza la hipótesis nula de distribuirse según un Ruido Blanco, tal como se pudo observar anteriormente en el patrón de ventanas de la Figura La computación No Bayesiana del modelo, obliga a tener definido el carácter de cada periodo. Figura Serie de la diferencias de los Recorridos mensuales del BBVA durante 8 periodos de 1 año Nótese que las dos dinámicas mencionadas previamente pueden también apreciarse en la serie estacionaria. Igualmente, y de mayor importancia, es el hecho de que la serie de recorridos nos permite restringir nuestro estudio a su variabilidad en cada momento, ya que se puede considerar prácticamente estacionaria en media, por tanto, esto hace que no tengamos que usar ventajosamente la serie de las diferencias en el análisis. Caso de estudio: BBVA mensual Tal como se ha comentado anteriormente, el punto de partida a la aplicación del modelo propuesto es tener la serie de recorridos mensuales del BBVA (la muestra de recorridos va desde Enero del 2003 hasta Septiembre del 2010). Dado que el enfoque de estimación de los parámetros es No Bayesiano, se han de identificar en primer Página 173

198 Resultados lugar los periodos estables, pseudo-convulsos y convulsos. Esto se hace dividiendo la serie en 8 periodos de 1 año. Se puede apreciar cómo tras el estallido de la actual crisis financiera (Octubre 2008), todos los recorridos posteriores se salen de control y empiezan a evidenciar un carácter claramente extremo. Esto puede observarse en la siguiente Figura. Las dos dinámicas (convulsas o estables) se distinguen recuadradas en rojo (convulsos), naranja (pseudo-convulsos) y verde (estables) CRISIS Figura Serie de los Recorridos del BBVA (Enero del Septiembre del 2010) en 8 periodos de 1 año. Partiendo de lo anteriormente expuesto y de las definiciones aportadas en esta investigación (ver punto de partida del presente capítulo), se consideraran los siguientes periodos estables, pseudo-convulsos y convulsos: -Periodos estables: 2, 3 y 4 -Periodos pseudo-convulsos (periodos de No ruido Blanco sin sucesos extremos): 1 -Periodos convulsos (periodos de No ruido Blanco con sucesos extremos): 5, 6, 7 y 8 Tal como propone el modelo en [8.3], la distribución condicional de Y i,j de los recorridos en el mes i, del periodo j, condicionado al valor de la variable aleatoria Markoviana Z i,j, se distribuye según un proceso auto regresivo de primer orden, AR (1), o mediante un proceso de Ruido blanco Gausiano, dependiendo de que el sistema esté en una fase estable o no. (Z i,j =0 o Z i,j =1). A modo de primer acercamiento se determinan los parámetros del modelo a estimar ρ, P 0,0 P 1,1 y {σ 2 0,j, σ 2 1,j ; j =1 nº de periodos}, desde un enfoque No Bayesiano. Página 174

199 Resultados Estimación de los parámetros Periodos estables (2, 3 y 4) Estar en un periodo estable supone que: Z i,j =0 Y i, j (Z 1, j = 0) ~ N (0, σ 2 0, j ) Por tanto, se observa que los recorridos en periodos estables se pueden modelar como un Ruido Blanco Gaussiano, de media 0 y varianza, σ 2 0, j, a estimar Aspecto que va en sintonía con una de las conclusiones fundamentales de este proyecto. Previo a la estimación del parámetro en cuestión, se asegura que los recorridos observados en periodos estables cumplen con los test básicos de Normalidad, con ello se hacen diversas pruebas que confirman que los recorridos para Z i,j =0 (periodos estables) se ajustan a una distribución Normal, esto se ha podido comprobar haciendo uso del Paquete estadístico Statgraphics Centurión XVI: Figura Pruebas de Normalidad para los periodos estables de la serie de los Recorridos del BBVA En la Figura anterior se puede apreciar como todos los p-valores de todas la pruebas principales de normalidad están por encima del 5%, por lo que no se puede rechazar la idea de que los recorridos de los periodos estables se distribuyan según un Ruido Blanco Gaussiano. Página 175

200 Resultados Figura Pruebas de Bondad de Ajuste para una Normal para los periodos estables de la serie de los Recorridos del BBVA Igualmente, se observa en la Figura 8.43, que todas las pruebas más importantes de bondad de ajuste de los datos a la distribución Normal superan el 5% de p-valor, por lo que no se puede rechazar que los datos se ajusten a una distribución Normal, con una significación del 95%. Hay que destacar que tanto todos los datos de periodos estables, como los datos de cada periodo estable independientemente, han pasado los test de normalidad con gran confianza estadística. Fortaleciendo lo anterior se muestra la ACF de los recorridos de los periodos catalogados como estables, donde se observa que los ACF están próximos a 0, poniendo de manifiesto aún más que dichos recorridos se distribuyen según un Ruido Blanco Gaussiano. Figura ACF para los recorridos de los periodos estables de la serie del BBVA Página 176

201 Resultados Para estimar σ 2 0, j* (el 0 de subíndice de la varianza simboliza periodo estable y j el nº de periodo) basándonos en los datos de la muestra, se ha partido de dos métodos de actuación: Media de las varianzas de los periodos estables Varianza de todos los datos pertenecientes a periodos estables Tal como se observa en la siguiente Figura, actuando por estos dos métodos la varianza resultante apenas difiere: Figura Estimación de σ 2 0, j * Decantándonos por el primer método de actuación, se obtiene una estimación de la varianza en periodos estables, σ 2 0,j *, de , por lo que la desviación típica estimada, σ 0,j *, será de Una vez estimado el parámetro necesario σ 2 0,j *, ya podemos resumir el comportamiento de los recorridos en periodos estables del BBVA, según el modelo propuesto [8.3], como: Y i, j (Z 1, j = 0) ~ N (0, ( ) 2 ) [8.4] Página 177

202 Resultados En la siguiente Figura se observa la función de densidad estimada: Figura Densidad de Recorridos del BBVA en periodos estables Figura Gráfico de Cajas y Bigotes de los Recorridos del BBVA en periodos estables En la figura anterior 8.47, se observa el intervalo de predicción al 95% para la mediana, con el que poder pronosticar recorridos del BBVA pertenecientes a periodos catalogados como estables. La media de estos recorridos (para los periodos estables 2, 3 y 4) es de , y la Mediana Sabiendo la media se puede construir también un intervalo de predicción al 95% en el que se encontrará, para un periodo estable, un recorrido del BBVA: Página 178

203 Resultados Intervalo de Predicción al 95% = µ± 2σ = ± ) = ± Se puede apreciar esto en la siguiente Figura: Figura Porcentajes de datos que recoge la función de densidad Normal en función de σ Dicho esto, se puede concluir que se podrá predecir un recorrido en periodo estable del BBVA, bien con la Media o bien con la Mediana anterior. Se observa así que el modelo encaja muy bien para los recorridos de periodos estables del BBVA. Obsérvese igualmente, que durante la dinámica estable de los recorridos hay que tener bien en cuenta la probabilidad de transición que hay de cambio de estado (estable a no estable), P 0,1, tal como se verá posteriormente. Si la probabilidad de cambio de estado es muy alta, los recorridos podrían verse influídos, y el modelo propuesto para zona estable o el modelo propuesto para la dinámica convulsa podrían simular recorridos que estuvieran lejos del verdadero valor. Esto viene a reforzar la importancia de saber de antemano la probabilidad de transición, como herramienta complementaria al modelo, tal como se verá posteriormente. Periodos Pseudo-Convulsos y Convulsos (1, 5, 6, 7 y 8) Estar en un periodo convulso supone que: Y i, j (Z i, j = 1) ~ N (ρ Y i-1, j, σ 2 1, j ) para i > 1 Lo primero que hay que garantizar, es la normalidad de los periodos y del conjunto de datos de los periodos catalogados como convulsos. Página 179

204 Resultados Hay que destacar que tanto todos los datos de periodos convulsos, como los datos de cada periodo convulso independientemente, han pasado los test de normalidad con gran confianza estadística. Esto se puede observar en las siguientes salidas del paquete estadístico Statgraphics Centurión XVI: Para el conjunto de datos pertenecientes a periodos catalogados como convulsos: Figura Pruebas de Bondad de Ajuste para una Normal para los datos pertenecientes a periodos convulsos de la serie de los Recorridos del BBVA Se observa en la Figura 8.49, que todas las pruebas más importantes de bondad de ajuste de los datos a la distribución Normal superan el 5% de p-valor, por lo que no se puede rechazar que los datos se ajusten a una distribución Normal, con una significación del 95%. Finalmente se hace lo mismo para cada uno de los periodos convulsos testeados de forma independiente. En las siguientes Figuras se muestran las pruebas realizadas para cada uno de de los periodos convulsos: Figura Pruebas de Normalidad para cada periodo convulso de la serie de los Recorridos del BBVA Página 180

205 Resultados Figura Pruebas de Bondad de Ajuste para una Normal para los datos pertenecientes a cada periodo convulso de la serie de los Recorridos del BBVA Se observa nuevamente como todas las pruebas más importantes de bondad de ajuste de los datos a la distribución Normal superan el 5% de p-valor, por lo que no se puede rechazar que los datos se ajusten a una distribución Normal, con una significación del 95%. Una vez comprobada la normalidad también para los periodos convulsos, el siguiente paso es estimar los parámetros ρ* y la varianza σ 2 1, j*. Para estimar ρ* a partir de los datos, se barajó el siguiente método de actuación: Media de las ρ k de cada periodo convulso k de la muestra Para calcular los ρ k de cada periodo convulso k, se modela un AR(1) para cada uno de ellos, de la forma: = + + [8.5] Donde c es una constante, el término de error que se distribuye según un Ruido Blanco y es el parámetro autorregresivo del AR (1). Nótese que el modelo puede modelarse sin constante de forma que quede: = + [8.6] El hecho de decantarse por [8.5] con constante o [8.6] sin constante, puede influir en los k de cada periodo k, y por tanto, en la estimación final de ρ* tal como se puede Página 181

206 Resultados observar en la Figura Igualmente, se observa como un =1, haría que el AR(1) se convirtiera en un paseo aleatorio (ver capítulo 4 para mayor detalle). k OBTENIDOS MODELANDO AR(1) CON CONSTANTE k OBTENIDOS MODELANDO AR(1) SIN CONSTANTE Figura Estimación de ρ* a partir de modelos AR(1) sin constante y con constante respectivamente. De lo anterior se puede concluir que el parámetro ρ* buscado es: * = º [8.7] Según [TSAY10], bajo la hipótesis de estacionariedad de la serie de los recorridos, se pueden obtener fácilmente la varianza, la media y las autocorrelaciones. Una de las ventajas de lo que propone este libro es partir de la siguiente propiedad para la estimación de σ 2 1, j*, bajo la hipótesis de estacionariedad de la serie de los recorridos se cumple que: σ 2 1, j* = σ 2 / (1- ( *) 2 ) [8.8] Página 182

207 Resultados Siendo σ 2 la media de la varianzas de cada periodo convulso k, de forma que: σ 2 = º [8.9] Se observa en [8.8] como para una * estimada más grande, la estimación de σ 2 1, j* será más alta, reflejando mejor así el comportamiento de una varianza de periodos convulsos. Obviamente ésta ha de ser alta. Por lo que comprobado esto, nos decantamos por una * estimada a partir de los AR(1) sin constante. El valor estimado para * será de Una vez obtenido, se estima ahora el último parámetro necesario para modelar el comportamiento del BBVA en periodos convulsos, σ 2 1, j*. Basándonos en [8.8] se obtiene una σ 2 1, j*= Por tanto, la desviación típica estimada será σ 1, j *= Una vez estimados los parámetros necesarios σ 2 1,j * y * ya podemos resumir el comportamiento de los recorridos en periodos convulsos del BBVA, según el modelo propuesto [8.3], como: Y i, j (Z i, j = 1) ~ N ( Y i-1,j, ( ) 2 ) En la siguiente figura se presenta los límites inferiores y superiores de predicción al 95% ( Y i-1,j +3, Y i-1,j 3 ) en el que estarán los recorridos del BBVA en periodos convulsos (Z i, j = 1). Se observa comparando los intervalos de confianza sacados para cada mes con los recorridos reales, como éstos caen siempre dentro pero no siempre de forma centrada obviamente. Cuando se produce un suceso extremo, o en los cambios de periodos, se puede observar como el recorrido real cae de forma asimétrica (más hacia un límite del intervalo). Mientras que en periodos pseudo-convulsos, o entre meses sin cambios fuertes los recorridos reales caen de forma casi simétrica dentro del intervalo, hecho que evidencia que la media del intervalo predice perfectamente este tipo de meses. Página 183

208 Resultados Figura Intervalos de predicción al 95% de confianza para recorridos en periodos pseudo-convulsos o convulsos del BBVA. En Rojo los sucesos extremos detectados. Se calculan los recorridos simulados por el modelo (media de los intervalos anteriores), Y i, j (Z i, j = 1) ~ N ( Y i-1,j, ( ) 2 ). Y se representan gráficamente comparándolos con la serie de recorridos original inicial, tal como se puede observar en la siguiente Figura: Figura Recorridos simulados según el modelo para periodos pseudo convulsos o convulsos Se observa como el modelo desde una perspectiva cualitativa encaja muy bien para periodos pseudo-convulsos (sin sucesos extremos) donde las variaciones de un mes para otro no son tan importantes. Del mismo modo cabe añadir que en periodos convulsos extremos, el modelo deja entrever un correcto funcionamiento entre meses sin choques abruptos, donde predice bastante bien, pero aún está lejos de ser útil a la hora de predecir sucesos extremos de forma puntual. Por último, se observa como el modelo es sin duda un gran estimador de tendencia de los recorridos. Todo esto no hace más que evidenciar la dificultad que hay detrás de la predicción de sucesos financieros de carácter extremo. Página 184

209 Resultados Igualmente, se han calculado las principales medidas de error de la predicción para los periodos pseudo-convulsos y convulsos: EPMA (Error porcentual medio absoluto) y U de theil : [8.10] [8.11] Donde X t es el valor de la serie en cada instante de tiempo t, y P t es la predicción en cada instante de t. En la siguiente Tabla se refleja un resumen de todo lo comentado anteriormente: SUCESOS CASO DE TIPO DE Nº U de MODELO EXTREMOS EPMA ESTUDIO PERIODOS DATOS Theil DETECTADOS BANCO CONVULSO BBVA N (ρ Y i-1, j, σ 2 1, j ) % Y i, j (Z i, j = 1) BANCO BBVA BANCO BBVA PSEUDO- CONVULSO Y i, j (Z i, j = 1) ESTABLE Y i, j (Z i, j = 0) N (ρ Y i-1, j, σ 2 1, j ) % N (0, σ 2 0, j ) Tabla 8.3- Resumen Errores de predicción del modelo desde un enfoque No Bayesiano Página 185

210 Resultados De la anterior tabla se observa nuevamente como el modelo ajusta mejor para periodos pseudo-convulsos que para periodos convulsos dando un MAPE considerablemente menor. Por otro lado, se observa como aún se está lejos de predecir sucesos extremos con un único modelo. Esto se observa en el MAPE superior al 30% para la predicción de los recorridos en los periodos con sucesos extremos (convulsos). Igualmente, hay que decir que el modelo predice mejor en periodos convulsos o pseudo-convulsos que el método ingenuo, dado que las U de theil son considerablemente menores que 1. En particular, el modelo en la predicción de periodos pseudo- convulsos ajusta fiablemente al ser la estimación de la U de Theil muy próxima a cero. En cuanto a la dinámica estable, se evidencia lo que se esperaba, y es que periodos estables que se modelaran como un Ruido Blanco Gaussiano, no iban a batir al método ingenuo. Ésto es palpable en una U de Theil igual a 1.Sin embargo, se ha podido comprobar que predecir en zonas estables en base al recorrido del mes anterior ofrece un ajuste muy seguro para el inversor, basándonos en el caso estudiado del BBVA. En definitiva, se puede resumir que el modelo encaja muy bien para los recorridos de periodos estables y pseudo-convulsos, al igual que para los recorridos de zonas convulsas entre meses sin sucesos extremos, pero evidencia desajustes en la predicción de éstos. Unos desajustes que ponen de manifiesto la dificultad subyacente a la hora de predecir este tipo fenómenos de naturaleza aleatoria, y quizás caótica desde un enfoque puntual. Por ello, surge la necesidad y casi obligación de usar más de un modelo para poder recoger mejor el carácter extremo de los datos. Dicho esto, se comprueba la importancia de definir en que tipo de estado se encuentra el valor de Bolsa o la Divisa de nuestra cartera, y cuales son las probabilidades de transición, con el fin de saber con mayor seguridad,si podremos o no,evitar la aparición de sucesos extremos. Igualmente, esto es cubierto por el modelo, tal como se verá a continuación, mediante el cálculo de las probabilidades de transición y de la probabilidad de estar en un periodo de sucesos extremos en un mes cualquiera. Página 186

211 Resultados Probabilidad de transición de periodos estables a no estables o vice-versa Tal como se ha adelantado anteriormente, el modelo propuesto permite a través de la variable Z i,j obtener la probabilidad de transición de las dos dinámicas palpables en cualquier serie financiera, estable y convulsa. Si bien, para modelar esto se puede partir de la ventaja del enfoque Bayesiano, tal como se propondrá posteriormente, pero en esta primera aproximación se hace de forma empírica a partir de los datos de la muestra para hacer ver al lector la importancia de esta probabilidad. El modelo de saltos de régimen de Markov (MSM) de dos estados que fue desarrollado por primera vez por Hamilton en 1989, asume que el proceso se distribuye según una cadena de Markov de primer orden. De esta forma el modelo es completado definiendo las siguientes probabilidades de transición de moverse de un estado a otro: P(Z i+1, j = 0 Z i,j = 0) = P 0,0 P(Z i+1, j = 1 Z i,j = 0) = P 0,1 P(Z i+1, j = 0 Z i,j = 1) = P 1,0 [8.12] P(Z i+1, j = 1 Z i,j = 1) = P 1,1 Obviamente estas probabilidades deberían ser no negativas, y también ha de cumplirse P 0,0 + P 0,1 = 1 y P 1,0 + P 1,1 = 1. Tal como se ha dicho anteriormente, es de interés en este tipo de modelos (MSM) son sus probabilidades incondicionales de que el proceso esté en un régimen o en otro, esto es, P (Z i, j = k) con k=0,1. Usando la teoría ergódica de las cadenas de Markov, se muestran las siguientes probabilidades incondicionales para un modelo MSM de dos estados:, P (Z i, j = 0) =,, P (Z i, j = 1) = 1 0,0 2 0,0 1,1 [8.13] Partiendo de la muestra de los recorridos que se tiene del BBVA, se calculan las probabilidades de transición de forma empírica. Página 187

212 Resultados Figura Periodos estables y no estables de 1 año visibles en los recorridos del BBVA (rojo para no estables, verde para estables, y naranja para pseudo-convulso) Observando los periodos estables y no estables visibles en la Figura 8.55, es fácil partir de la siguiente aproximación para el cálculo de las probabilidades de transición en función de los datos y la naturaleza de los periodos señalados. (Obsérvese que para simplificar el problema se manejan los periodos de un año en los que se ha dividido la serie). P 0,0 º º =. = P 1,1 º º =. = Obsérvese que el 0.5 que aparece en las fracciones anteriores refleja la naturaleza pseudo-convulsa del primer periodo (periodo de recuadro naranja). Un periodo que está entre lo estable y lo convulso, de ahí que se tenga que considerarse de forma neutra, ponderándolo con un 0.5. Con lo anterior las probabilidades de transición resultan ser: P 0, P 1, P 0,0 + P 0,1 = 1 P 0, P 1,1 + P 1,0 = 1 P 1, Página 188

213 Resultados Desde esta perspectiva empírica de cálculo aproximado de las probabilidades de transición, se observa como los recorridos muestrales aseguran que estando en un régimen determinado (estable o convulso), la probabilidad de transición (cambio de fase) es baja, aspecto lógico desde el punto de vista de los ciclos económicos, donde un activo financiero suele mantener un comportamiento estable o no estable a lo largo de un periodo razonable de tiempo. Una vez calculadas dichas probabilidades de transición, se puede calcular las probabilidades incondicionales [8.13] de estar en un estado determinado en un mes cualquiera: P (Z i, j = 0) = P (Z i, j = 1) =,,, = ,0 2 0,0 1,1 = La computación del modelo para el caso de estudio BBVA mensual, desde un enfoque No Bayesiano, ofrece una atractiva primera aproximación para la predicción de sucesos extremos. En concreto, para la predicción de los recorridos en periodos estables y pseudo-convulsos de un activo financiero. Igualmente, el modelo propuesto parte con una serie de alicientes que permiten, tal como se ha visto, no solo simular el comportamiento de los recorridos, sino también la probabilidad de transición de periodos, así como la probabilidad incondicional de estar en un periodo convulso o estable o en un mes cualquiera. Los resultados de la probabilidades incondicionales obtenidos, reflejan lo que cualquier operador medianamente experto de Bolsa sabe: invertir a largo plazo en los llamados valores seguros (Blue Chips) es mucho más seguro que a corto plazo, esto se evidencia en la probabilidad P (Z i, j = 1) = mucho más baja que su complementaria. Es importante también recordar que sólo se han sacado resultados de un caso (BBVA), por lo que en otros casos tendríamos otros resultados esperables. Todo lo anteriormente dicho fortalece el hecho de que se trata de un modelo complejo y muy completo, que sin duda abre una gran puerta para futuros desarrollos relacionados con la temática del proyecto. Uno de los refinamientos que puede darse en la estimación de los parámetros del modelo y en definitiva en el cálculo de sus Página 189

214 Resultados resultados es a través de la metodología Bayesiana. Para el aprovechamiento de la potencia del modelo, es necesario proponer un enfoque Bayesiano de estimación de los parámetros, tal como se hace a continuación Propuestas de enfoque Bayesiano de estimación de los parámetros La estimación de los parámetros del modelo puede hacerse también sacando ventaja del paradigma Bayesiano, el cual requiere especificaciones de las distribuciones a priori para cada parámetro del modelo. Esta forma de actuar viene a ser computacionalmente más exigente que la anterior, pero puede ofrecer un refinamiento de los resultados sin duda ventajoso, entre otras cosas permite la aplicabilidad del modelo en datos históricos sin necesidad de tener que distinguir entre periodos estables o no estables en los datos tal como se ha hecho en el enfoque No Bayesiano anterior. Dado el carácter Bayesiano del proyecto, donde se han fundamentado las grandes ventajas de hacer uso de esta metodología y donde se ha evidenciado la importancia creciente de lo Bayesiano en el uso de modelos de predicción, se propone la siguiente actuación. La cual no se ha podido computar, pero sin duda alguna augura unos resultados más armados y atractivos que los sacados con la primera aproximación. 1.- Estimación jerárquica Bayesiana En este caso, con el fin de expresar nuestro conocimiento vago inicial sobre los parámetros, se consideran las a priori no-informativas más usuales para ρ, P 0,0 P 1,1 : ρ ~ Unif (-1,1) P 1,1 ~ Beta (0.5, 0.5) P 0,0 ~ Beta (0.5, 0.5) [8.14] Además, teniendo en cuenta que σ 2 0, j debería ser más pequeño que σ 2 1,j ya que solo responde a variaciones pequeñas aleatorias en vez de las variaciones de periodos convulsos σ 2 1,j. Expresamos entonces nuestro conocimiento a priori sobre {σ 2 0,j, σ 2 1,j ; j =1 nº de periodos} mediante la siguiente estructura jerárquica: σ 2 0,j ~ Unif(θ inf, θ med1 ) [8.15] Página 190

215 Resultados σ 2 1,j ~ Unif(θ med2, θ sup ) θ inf ~ Unif(a,b) θ med1 ~ Unif(θ inf,b) θ med2 ~ Unif(θ med1,b) θ sup ~ Unif(θ med2,b) Donde a y b son hyperparámetros a ser fijados (basados en el conocimiento que se tenga del problema) de forma que no interfieran en el resultado. Se eligen distribuciones uniformes a priori por las desviaciones típicas de los efectos aleatorios, tal como sugiere [GEL04]. Estas distribuciones a priori, al contrario que las noinformativas Beta usadas en los parámetros de precisión del modelo, nos permiten hacer inferencia en los límites de las distribuciones uniformes y con ello, poder aprender sobre el rango apropiado de variación para las fases convulsas o no convulsas. Cabe añadir que las uniformes sugeridas evitan la identificabilidad del problema entre los dos periodos en el proceso MCMC, ya que la distribución a priori para la varianza de los periodos convulsos ha sido restringido a que sea mayor que la de periodos estables. Las expresiones [8.14] y [8.15] contienen todo nuestro conocimiento del sistema, pero evidencian dificultad para calcularse analíticamente. Por ello, para la estimación es necesario acudir a métodos de simulación con la cadena de Markov Monte Carlo (MCMC) (Ver capítulo 5 para más detalle sobre este tipo de métodos). Particularmente se recomienda el uso del paquete estadístico de inferencia Bayesiana, WinBUGS. Página 191

216 Conclusiones Capítulo 9 Conclusiones Este proyecto Fin de Carrera recoge un profundo análisis exhaustivo sobre sucesos extremos en los mercados financieros. La investigación transcurre sobre 6 casos de estudio del mercado bursátil y de divisas. Tanto el desarrollo teórico, la metodología diseñada y el modelo de predicción propuesto, han intentado responder a un problema real e importante en el mundo financiero actual: cómo aproximarse a predecir sucesos o periodos de carácter extremo en los mercados financieros. Utilizando artículos de revistas especializadas como fuente principal, se ha propuesto una metodología novedosa que partiendo de cero, defina ante el lector conceptos como la naturaleza, exploración, detección, y predicción de este tipo de fenómenos en los mercados financieros. Por tanto, este proyecto de investigación constituye una herramienta completa no sólo de fundamentación teórica, sino también de proyección al campo de los sucesos extremos gracias a las distintas conclusiones fundamentales sacadas CONCLUSIONES SOBRE METODOLOGÍA DE ALERTA Y EXPLORACIÓN DE PERIODOS Y SUCESOS FINANCIEROS DE CARÁCTER EXTREMO Quizás una de las conclusiones más importantes de este bloque metodológico del proyecto es que no hay una definición universal de suceso extremo. Sin embargo, se puede decir que es un término muy bien asimilado por la mente humana, y cualquiera que quisiera podría, desde una perspectiva visual, señalar fenómenos extremos en una gráfica. Se ha partido entonces de una definición heurística de suceso extremo relacionado con la desviación típica y con ella se ha propuesto una definición para el concepto de periodo convulso o periodo de sucesos extremos basándonos en lo observado para los 6 casos de estudio. Este proyecto desarrolla una aproximación Página 192

217 Conclusiones simple y positiva a los sucesos extremos y su predicción en un momento económico tan crítico como él actual. Se sugiere que la probabilidad de la aparición de sucesos extremos puede variar sistemáticamente a lo largo del tiempo, y esto puede ser explicado y predecido bajo las bases de la teoría económica. Se concluye por tanto, que hay que distinguir entre fenómenos extremos exógenos y endógenos. Esta distinción tiene implicaciones políticas inmediatas. Para los extremos exógenos, aquellos que por naturaleza son impredecibles y causados por fuerzas exteriores incontrolables del sistema, se debe enfocar una política de protección del sistema post-extremo. Para los extremos endógenos, aquellos producidos internamente en el sistema debido a la actividad de los agentes y de su interacción, se recomienda usar una política de incentivos para que los propios agentes reduzcan la aparición de estos extremos. Esto hace que se sugiera un rol necesario para los Bancos Centrales aplicado a este campo. Nuevamente, desde el lado empírico de los 6 casos de estudio, se ha podido comprobar que los sucesos extremos tienen dinámicas muy interesantes. Aplicando técnicas de control estadístico de procesos, como las gráficas de control, las reglas de Nelson, y la propia definición de periodo convulso propuesta, se ha evidenciado que la probabilidad de suceso extremo generalmente difiere de 0, y que tienen fuertes componentes autorregresivos. En divisas, se ha podido observar un fuerte patrón de alerta para periodos con sucesos extremos, basándonos en la regla número 2 de Nelson, la cual se ha cumplido en todos los casos antes de la aparición de periodos de carácter extremo. Por otro lado, se ha podido comprobar cómo este tipo de fenómenos tienden a crear clusters en torno a periodos económicos como las burbujas financieras o las crisis económicas, evidenciando carácter dinámico, y frecuencia de aparición. Este hecho está muy documentado también en Volatilidad [FERN08]. La crisis económica actual es un fuerte recordatorio, si cabe, de que los sucesos extremos ocurren dentro del sistema financiero y que éstos pueden ser de naturaleza endógena debido a las interacciones de los agentes económicos principales. Se ha Página 193

218 Conclusiones observado que la verosimilitud de sucesos extremos no es típicamente constante a lo largo del tiempo, ya que evidentemente los sistemas financieros cambian y crecen a lo largo del tiempo, lo cual indudablemente afecta a la probabilidad de aparición de los extremos. Por ello, se hace nuevamente otra distinción ligada a la naturaleza temporal de los extremos, de forma que se ha observado que estos puedan ser estáticos o dinámicos. Otro de los pilares de este gran bloque metodológico ha sido comprobar empíricamente en todos los casos de estudio la evidencia de relación entre periodos que se modelan o no como un Ruido Blanco con el hecho de que un periodo sea estable o convulso (con sucesos extremos detectados). De esta forma se han podido encontrar 6 patrones de referencia (uno por cada caso de estudio) con los que poder concluir, que todo periodo de Ruido Blanco responde a la definición de periodo estable (carencia de sucesos extremos) y, análogamente, concluir que un periodo que contenga sucesos extremos detectados no se ha distribuido nunca según un Ruido Blanco. Gracias a esto se diseñó una técnica automática que permitiera explorar y detectar la presencia de periodos candidatos a tener sucesos extremos (periodos de No Ruido Blanco) frente a periodos estables (periodos de Ruido Blanco) a lo largo del histórico de un conjunto de recorridos mensuales dados. Esto se hizo partiendo del concepto de Rolling Window, tal como se describe en el capítulo 8. Se concluyó en este sentido, que desde un enfoque mensual, la mejor ventana que reflejara de forma fiable la transición de periodos estables (A) y no estable ( ) para cualquier divisa o valor de bolsa, era la de ancho fijo 1 año y medio. A partir de ella se puede tomar una decisión de inversión basándonos en considerar no sólo el precio de la acción o divisa desde hace una semana o mes, sino considerando también en qué tipo de periodo se encuentra el valor o divisa según lo indicado por la Rolling Window y con qué probabilidad va a cambiar de estado el sistema. Una vez interpretada la secuencia, el operador podría partir de esta información para intentar predecir dichos futuros cambios de estado, y poder acotar así su riesgo de inversión. Página 194

219 Conclusiones Igualmente, se pudo observar desde un enfoque diario, que aún se está lejos de que los mecanismos y metodologías diseñadas sean de utilidad en la toma de decisiones. Se concluye finalmente, fruto de lo observado empíricamente en este bloque, que el concepto de extremo es flexible, y tanto el carácter aleatorio de un ruido blanco, como el número de desviaciones típicas que nos separemos de la media pueden definirnos este tipo de fenómenos CONCLUSIONES SOBRE METODOLOGÍA DE PREDICCIÓN DE PERIODOS Y SUCESOS FINANCIEROS DE CARÁCTER EXTREMO La dificultad subyacente y notoria de la temática objeto del proyecto ha hecho que inicialmente se volcara gran parte de la investigación en el primer bloque metodológico descrito anteriormente. En este proyecto se describe un método para entender los patrones que mueven la verosimilitud de aparición de los sucesos extremos. Por ello el objetivo no es encontrar un modelo para predecir todos los posibles sucesos extremos. El objetivo de este bloque sería mostrar al lector, que lejos de ser aleatorios e impredecibles, la probabilidad de algunos extremos tienen dinámicas similares, y recaen sobre la teoría económica fundamental. Fruto de las conclusiones principales sacadas del primer gran bloque metodológico (concepto de Ruido Blanco, sucesos extremos con fuertes componentes autorregresivos, dos dinámicas palpables siempre en todas serie financiera estable (A) y no estable ( ) etc), se propone un modelo de predicción complejo a la vez que completo que recoja todo lo anterior, que incluye la posibilidad no sólo de simular recorridos financieros en función del estado estable o convulso en el que se encuentre el sistema, sino que también ofrece la probabilidad de estar en periodo con sucesos extremos, en un momento dado cualquiera. El modelo con saltos de régimen de Markov de dos estados (MSM) propuesto exige un nivel de cálculo computacional muy alto, por lo que se ha dividido el enfoque de la estimación de parámetros de forma No Bayesiana, y de forma Bayesiana. Página 195

220 Conclusiones Se ha corrido el caso de estudio del BBVA mensual, desde una perspectiva empírica-no Bayesiana, obteniendo resultados muy interesantes. Por un lado, el modelo es capaz de predecir en periodos estables, una horquilla de recorridos muy bien ajustada con la realidad, lo cual fortalece la evidencia de que periodos estables sin sucesos extremos se puedan modelar mediante un ruido blanco, tal como se observó en el primer bloque de metodología. Por otro lado, en los periodos pseudo-convulsos, el modelo se sigue ajustando bastante bien a la predicción de los recorridos del BBVA dado que no hay movimientos excesivamente bruscos que involucren a fenómenos extremos. Por último, en los periodos convulsos con sucesos extremos detectados, se evidencia que aún se está lejos de encontrar un modelo único que recoja perfectamente este tipo de comportamiento de una serie financiera. Sin embargo, el modelo intenta cubrir esta problemática de predicción puntual de sucesos extremos, ofreciendo la probabilidad incondicional de estar en un periodo convulso (con sucesos extremos) o estable en un mes cualquiera. Con dicha probabilidad se tiene la posibilidad de visualizar aquellos momentos en que es más arriesgado invertir en el valor o no. Los resultados son muy interesantes y coherentes con las conclusiones sacadas anteriormente, lo cual abre una puerta a seguir investigando a partir de los desarrollos fundamentados. Igualmente, se hace notorio la necesidad y casi diría que obligación, de utilizar más de un modelo de predicción para aproximar los diferentes aspectos que hay detrás de los sucesos extremos de una serie financiera. Respondiendo a la carga teórica Bayesiana que el proyecto tiene, y bajo nuestra proposición Bayesiana de estimación de los parámetros del modelo, cabe destacar que se ha podido comprobar a lo largo de la investigación, que la metodología Bayesiana está llamada a ser un elemento fundamental en procesos empresariales orientados a predecir nuevas situaciones extremas. Se ha podido concluir que ante modelos complejos y suficientemente completos como el propuesto, es necesaria una metodología Bayesiana de estimación de los parámetros para un mayor Página 196

221 Conclusiones aprovechamiento de la potencia del modelo. A pesar de que he disfrutado mucho con este proyecto, entiendo que, con una formación previa en el análisis Bayesiano de datos, podía haber salvado más tiempo inicial en aprender conceptos, que más tarde resultarían obvios. Esto podría haber permitido extender el proyecto a un nivel de aprovechamiento de esta metodología más alto. En cualquier caso, el proyecto ha respondido y sobrepasado mi perspectiva personal inicial, aportándome un gran interés por el campo de la investigación y haciéndome valorar este difícil pero excitante mundo CONCLUSIONES GENERALES A la hora de comenzar esta dura investigación y enfrentarnos a la problemática de los sucesos extremos, se partieron de las siguientes conclusiones sobre Predicción Extrema de [HYND10]. Todas ellas han sido corroboradas tras la realización de éste proyecto: Los problemas reales son mucho más difíciles que lo que los métodos de predicción existentes pueden recoger. Existe una alta complejidad de los datos donde ningún modelo estándar es capaz de reflejar todos los componentes de la serie. Muchos artículos publicados se basan en pequeñas variaciones de problemas ya tratados. Hay muchos problemas sin dirección. Es necesario entender que conduce a los datos, para luego diseñar un modelo. Métodos de predicción complejos funcionan bien cuando hay mucha información en los datos. Métodos de predicción simples funcionan mejor cuando hay aleatoriedad en los datos. Heráclito. Todo es flujo, nada estacionario 500 A.C El cambio ocurre, y hay evidencia en el campo financiero para decir que este cambio se produce de forma dinámica, no constante. (Sucesos extremos dinámicos) La historia de los datos es muy importante para medir el índice o probabilidad de transición. Página 197

222 Conclusiones La incertidumbre no es siempre fácilmente medible, o computable, pero es frecuentemente el aspecto de mayor interés. Un buen predicador no es más listo que todo el mundo, simplemente tiene su ignorancia mejor organizada Anónimo. Igualmente, desde nuestra propia perspectiva, llegamos a las siguientes conclusiones generales que complementan a las anteriores de Rob Hyndman, y a las nuestras de los puntos 9.1 y 9.2 : El enfoque Bayesiano es más que necesario para poder enfrentarte a problemas de tanta complejidad como los sucesos extremos. Es necesario el uso de más de un modelo para poder reflejar el comportamiento extremo de los datos. Es necesario en primer lugar, partir de una definición de suceso extremo para poder abarcar un problema de esta magnitud. La observación de Clusters de sucesos extrermos en los 6 casos de estudio de este proyecto, evidencian una necesidad importante de direccionar el estudio de este tipo de fenómenos no sólo de forma puntual, sino por intervalos o periodos de tiempo. La naturaleza de los sucesos extremos en el campo financiero puede descomponerse en dos tipos: Endógenos y Exógenos. Hay evidencia para decir que los primeros pueden ser predecibles, y es en éste tipo de sucesos extremos donde se debe emplear más esfuerzo de investigación FUTUROS DESARROLLOS Esta investigación puede ser vista como un primer paso a incorporar sucesos extremos dinámicos y endógenos dentro del análisis económico estándar. Importantes extensiones de este proyecto incluyen la identificación de sucesos extremos dinámicos en otros activos financieros, y explorar otros canales de sucesos extremos endógenos encontrados en la práctica. Igualmente este proyecto ofrece una taxonomía simple con la que partir y abarcar otros campos, como la medicina (epidemiología), meteorología, sucesos extremos comerciales (*) etc. Página 198

223 Conclusiones Desde el enfoque Bayesiano del modelo propuesto, surgen otras posibles extensiones tales como: Metodología de predicción Bayesiana con series de datos de intervalo. Metodología de predicción Bayesiana no paramétrica. Combinación de los distintos modelos mediante promediado Bayesiano de modelos. Tales refinamientos presentan un reto excitante para futuras investigaciones. (*) Ejemplos de sucesos comerciales extremos (en inglés, commercial extreme forecasting problems) son: Tráfico de pasajeros semanales de una aerolínea. Gasto mensual del gobierno en subvenciones sobre los beneficios farmaceúticos, o los picos de demanda horaria de electricidad. Más información se puede ver en la presentación extreme forecasting [HYND10]. Página 199

224 Presupuesto Capítulo 10 Presupuesto del Proyecto El presupuesto de este proyecto se desglosa en tres tipos de Costes: Costes de Ingeniería. Inversión y Costes de material. Previsión de Costes del desarrollo de una aplicación COSTES DE INGENIERÍA Un ingeniero cualificado para el desarrollo de este trabajo gana como mínimo alrededor de 1500 al mes netos; considerando un 30% de ese sueldo para pagar la seguridad social, el total bruto asciende a Considerando la jornada laboral de 8 horas al día y 22 días al mes, la hora del ingeniero cuesta El tiempo empleado en este proyecto puede verse desglosado en función de las horas empleadas en cada tarea (Tabla 10.1). La planificación prevista se puede ver en el Capítulo 1 de Introducción. FASES 1.-Investigación 2.-Documentación Previa 3.-Análisis de datos series temporales de los M.M.F.F 4.-Diseño de la metodología 5.-Desarrollo e implantación de la metodología. Resultados 6.-Memoria TOTAL HORAS 80h 110h 90h 70h 50h 100h 500h Tabla Actividades principales del Proyecto Página 200

225 Presupuesto Sumando todas las horas, la duración total de la realización del proyecto asciende a 500 horas (coste de /h), con lo que los Costes de Ingeniería se elevan a INVERSIÓN Y COSTE DE MATERIAL Para la realización de este proyecto los costes de material serán los descritos a continuación en la Tabla 10.2: Elemento Precio ( ) PC 1000 Licencia Statgraphics XV Centurión 530 Licencia eviews 4.1 Student Version 40 Licencia Microsoft Office Licencia Matlab Gastos varios (conexión internet, material oficina) 100 TOTAL 3260 Tabla Costes de Material Se considerará que el coste de material se amortiza en 4 años, la duración del proyecto se considera de un año. Ver Tabla 10.3: Concepto Coste ( ) Coste Total Material 3260 Amortizado (1 año) 815 Por amortizar 2245 Tabla Amortización Por tanto, la suma de los costes de ingeniería y de amortización asciende a Página 201

226 Presupuesto Considerando que la inversión es del 5% de los gastos de ingeniería, 277, el Coste Total del Proyecto será de COSTE DE DESARROLLO DE APLICACIÓN El proyecto tiene carácter de investigación y por lo tanto no se ha desarrollado ninguna herramienta. En el caso de que un potencial cliente mostrase interés en una herramienta que implementase la metodología desarrollada y suponiendo un coste del ingeniero de 11 la hora los costes serían los expresados en la Tabla 10.4: Concepto Previsión de horas Coste ( ) Programación 300 h 3300 Test y Debugging 20 h 220 Manual de usuario 30 h 330 Software de programación TOTAL 350 h 4150 Tabla Previsión de costes por el desarrollo de una aplicación 10.4 RESUMEN DE PRESUPUESTO El coste total del proyecto asciende a la cantidad En el caso de que posteriormente se desee desarrollar una herramienta para la metodología desarrollada los costes totales serían de En la siguiente Tabla 10.5 se muestra desglosado un resumen de los costes principales del proyecto. Página 202

227 Presupuesto Concepto Previsión de horas Coste ( ) 1.-Costes de Ingeniería Costes de Material Amortizado en 1 año Por amortizar Inversión Inicial Desarrollo de aplicación TOTAL PROYECTO (1+3+5) 500 h 6632 TOTAL PROYECTO CON HERRAMIENTA ( ) 850 h Tabla Resumen Presupuesto del Proyecto Página 203

228 Anexos Anexo A Gráficos principales A.1 RECORRIDOS MENSUALES Y DIARIOS 35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% ene-03 may-03 sep-03 ene-04 may-04 sep-04 ene-05 may-05 sep-05 ene-06 may-06 sep-06 ene-07 may-07 sep-07 ene-08 may-08 sep-08 ene-09 may-09 sep-09 ene-10 may-10 sep-10 Figura A.1- Recorridos al 100% del Santander mensual (Enero 2003-Septiembre 2010) 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% ene-03 may-03 sep-03 ene-04 may-04 sep-04 ene-05 may-05 sep-05 ene-06 may-06 sep-06 ene-07 may-07 sep-07 ene-08 may-08 sep-08 ene-09 may-09 sep-09 ene-10 may-10 sep-10 Figura A.2- Recorridos al 100% del BBVA mensual (Enero 2003-Septiembre 2010) Página 204

229 Anexos 8,00% 7,00% 6,00% 5,00% 4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% ene-99 jun-99 nov-99 abr-00 sep-00 feb-01 jul-01 dic-01 may-02 oct-02 mar-03 ago-03 ene-04 jun-04 nov-04 abr-05 sep-05 feb-06 jul-06 dic-06 may-07 oct-07 mar-08 ago-08 ene-09 jun-09 nov-09 abr-10 sep-10 Figura A.3- Recorridos al 100% del -$ mensual (Enero 1999-Diciembre 2010) 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% ene-99 jun-99 nov-99 abr-00 sep-00 feb-01 jul-01 dic-01 may-02 oct-02 mar-03 ago-03 ene-04 jun-04 nov-04 abr-05 sep-05 feb-06 jul-06 dic-06 may-07 oct-07 mar-08 ago-08 ene-09 jun-09 nov-09 abr-10 sep-10 Figura A.4- Recorridos al 100% del $-Real Brasileño mensual (Enero 1999-Diciembre 2010) Página 205

230 Anexos 9,00% 8,00% 7,00% 6,00% 5,00% 4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% ene-99 jul-99 ene-00 jul-00 ene-01 jul-01 ene-02 jul-02 ene-03 jul-03 ene-04 jul-04 ene-05 jul-05 ene-06 jul-06 ene-07 jul-07 ene-08 jul-08 ene-09 jul-09 ene-10 jul-10 Figura A.5- Recorridos al 100% del $-YEN mensual (Enero 1999-Diciembre 2010) 1,40% 1,20% 1,00% 0,80% 0,60% 0,40% 0,20% 0,00% 18-jul jul jul-10 2-ago-10 7-ago ago ago ago ago-10 1-sep-10 6-sep sep sep sep sep-10 1-oct-10 6-oct oct oct oct oct oct-10 5-nov nov nov nov nov nov-10 5-dic dic dic dic dic dic-10 4-ene-11 9-ene ene ene ene ene-11 Figura A.6- Recorridos al 100% del -$ diario (18 Julio Enero 2011) Página 206

231 Anexos A.2 PERIODOS DE SUCESOS EXTREMOS PARA CADA CASO DE ESTUDIO Figura A.7- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del Santander mensual durante (Enero 2003-Septiembre 2010) Figura A.8- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del BBVA mensual durante (Enero 2003-Septiembre 2010) Figura A.9- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del -$ mensual durante (Enero Diciembre 2010) Página 207

232 Anexos Figura A.10- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del $-R. Brasileño mensual durante (Enero 1999-Diciembre 2010) Figura A.11- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del $-YEN mensual durante (Enero 1999-Diciembre 2010) Figura A.12- Sucesos extremos basándonos en la definición [8.1] del -$ diario durante (18 Julio Enero 2011) Página 208