TEORÍA DE POLIEDROS Y CONSTRUCCIÓN DE

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1 TEORÍA DE POLIEDROS Y CONSTRUCCIÓN DE Vicente Viana Martínez Vicente Viana Martínez Pág 1

2 CONSTRUCCIÓN DE UN OMNIPOLIEDRO Introducción. Definiciones Un poliedro es un cuerpo geométrico totalmente limitado por polígonos planos. La palabra poliedro significa; "varias caras" o "varias superficies". En un poliedro vamos a considerar los siguientes elementos. a) Caras: son los polígonos planos que lo limitan. polígonos. b) Aristas: son los lados de esos c) Vértices: son los puntos de concurrencia de las aristas. d) Ángulos diedros: son los formados por dos caras del poliedro, con una arista común. e) Ángulos poliedros: son los ángulos formados por tres o más caras que tienen un vértice común. Un poliedro se dice que es convexo cuando todos sus ángulos diedros son positivos, o bien cuando al prolongar una cara cualquiera, el plano resultante deja de un mismo lado a todo el poliedro. Un poliedro se dice que es cóncavo cuando posee ángulos diedros negativos o bien, cuando al prolongar una cara, el plano resultante, corta al poliedro. Un poliedro es regular si está formado por polígonos regulares iguales y sus ángulos diedros y poliedros son iguales. Los poliedros regulares son todos convexos. Vicente Viana Martínez Pág

3 Propiedades de los poliedros En cada vértice de un poliedro concurren m polígonos regulares de n lados. La suma de los ángulos de los polígonos, concurrentes, debe ser menor de 360º. Pues, de lo contrario se formaría una figura plana, no sería un sólido. Además, en un polígono regular, cada ángulo mide. 180º (n ) n Por tanto, para formarse un poliedro debe cumplirse que. 180º (n ) m n < 360 Vicente Viana Martínez Pág 3

4 POLIEDROS ESTRELLADOS Johann Kepler ( ) estudió los poliedros estrellados, obtenidos a partir del pentagrama de los pitagóricos. La diferencia principal de estos poliedros estrellados con el resto es que son cóncavos. Hay cuatro, dos de puntas estrelladas con pirámides pentagonales y otros dos de puntas estrelladas con pirámides triangulares. Kepler los llamó gran y pequeño dodecaedro estrellado (de 1 puntas) y gran y pequeño icosaedro estrellado (de 0 puntas). El resto son trece sólidos diferentes: El TETRAEDRO TRUNCADO: 4 hexágonos regulares y 3 triángulos equiláteros El CUBO TRUNCADO: 6 octógonos regulares y 8 triángulos equiláteros El CUBOCTAEDRO: 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros El ROMBICUBOCTAEDRO MENOR: 18 cuadrados y 8 triángulos equiláteros El OCTAEDRO TRUNCADO: 8 hexágonos regulares y 6 cuadrados El CUBO REDONDEADO: 6 cuadrado y 3 triángulos equiláteros El ROMBICUBOCTAEDRO MAYOR: 4 octógonos regulares, 10 hexágonos regulares y 1 cuadrados El ICOSIDODECAEDRO: 1 pentágonos regulares y 0 triángulos equiláteros El DODECAEDRO TRUNCADO: 1 decágonos regulares y 0 triángulos equiláteros El ICOSAEDRO TRUNCADO: 0 hexágonos regulares y 1 pentágonos regulares El ROMBICOSIDODECAEDRO MENOR: 1 pentágonos regulares, 30 cuadrado y 0 triángulos equiláteros El DODECAEDRO REDONDEADO: 1 pentágonos regulares y 80 triángulos El ROMBICOSIDODECAEDRO MAYOR: 1 decágonos regulares, 0 hexágonos regulares y 30 cuadrados Vicente Viana Martínez Pág 4

5 Vicente Viana Martínez Pág 5 Teoría de poliedros y Construcción de un omnipoliedro

6 Teorema de Euler más dos. En todo poliedro convexo, el número de caras más el de vértices, es igual al de aristas C + V = A + No existen más que cinco poliedros convexos regulares. Propiedades de los 5 poliedros regulares. NOMBRE CARAS Nº DE CARAS Nº DE VÉRTICES Nº DE ARISTAS Tetraedro Triángulos equiláteros Hexaedro o Cubo Cuadrados Octaedro Triángulos equiláteros Dodecaedro Pentágonos Icosaedro Triángulos equiláteros Vicente Viana Martínez Pág 6

7 Áreas y volúmenes de los 5 poliedros regulares Teoría de poliedros y Construcción de un omnipoliedro Áreas El área total de un poliedro se determina calculando el área de una cara y multiplicando por el número de caras. Volúmenes Todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro. Haciendo pasar planos por este punto y por todas las aristas, el poliedro queda descompuesto en tantas pirámides iguales como caras tiene. Para calcular el volumen de un poliedro será suficiente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el número de caras del poliedro. El volumen de una pirámide es, siendo B el área de la base y "a" la distancia del centro del poliedro al centro de la cara, distancia que se llama apotema. El volumen de un poliedro regular es la tercera parte del producto del área de su cara por la apotema, multiplicado por el número de caras. Nombre Área de una cara Área total Apotema Volumen Tetraedro Octaedro Icosaedro Hexaedro Dodecaedro Vicente Viana Martínez Pág 7

8 Un poco de historia Los pitagóricos, que veían en los resultados matemáticos algo parecido a una verdad religiosa, consideraban muy importante la observación de que había sólo cinco poliedros regulares posibles. Muchos creen que fueron ellos quienes la hicieron por primera vez y por eso llaman "sólidos pitagóricos" a los poliedros regulares. (Lo más probable es que la demostración de esta afirmación se deba a los miembros de esa escuela.) Sin embargo, los arqueólogos han hallado imágenes en piedra de los poliedros regulares considerablemente más antiguas. Esferas de piedra de unos 8 cm de diámetro talladas en forma de poliedros, recogidas en un yacimiento neolítico (.000 a.c.) en Escocia Se cree que fue Empédocles quien primero asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro con la tierra, el fuego, el agua y el aire, respectivamente. Estas sustancias eran los cuatro "elementos" de los griegos antiguos. Luego Platón asoció el dodecaedro con el Universo pensando que, dado que era tan distinto de los restantes, por sus caras pentagonales, debía tener relación con la sustancia de la cual estaban hechos los planetas y las estrellas. Por entonces se creía que los cuerpos celestes debían estar hechos de un elemento distinto del que estaban hechas las cosas que rodean al hombre en la Tierra. De aquí que a los poliedros regulares se los conozca también como sólidos platónicos. Platón afirmaba que una superficie perfectamente plana se compone de triángulos. Todos los triángulos tienen su origen en dos tipos de triángulos Existen infinitos triángulos rectángulos escalenos (todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes), por esto Platón elige el mas bello: "aquel en el cual el cuadrado del cateto mayor es triple del cuadrado del menor". Vicente Viana Martínez Pág 8

9 Este triángulo rectángulo es aquel que se obtiene al dividir un triángulo equilátero por su altura (la hipotenusa es doble que el cateto menor). Los triángulos isósceles y escalenos son los principios geométricos de los cuatro cuerpos elementales (el fuego, la tierra, el agua y el aire); pero por encima de estos principios geométricos están los principios numéricos, los números, conocidos solamente por Dios y por un número reducido de hombres a quien ama. Uniendo estos dos tipos de triángulos, Platón, forma los diferentes polígonos regulares (caras) y uniendo éstos forma los sólidos regulares (poliedros regulares). Finalmente asocia los poliedros regulares con los diferentes elementos: El cubo La tierra El tetraedro El fuego El octaedro El aire El icosaedro El agua El dodecaedro El mundo Desmenuzando estos cuerpos en los triángulos que lo constituyen y reajustándolos de nuevo, podemos efectuar transformaciones entre los elementos. Las partículas que poseen puntas agudas, penetran en los otros cuerpos. El agua se compone de partículas mucho mas suaves, de ahí el deslizamiento de los fluidos. Vicente Viana Martínez Pág 9

10 En este esquema no queda lugar para el dodecaedro. De los cinco poliedros regulares es el único que no tiene caras triangulares ni cuadradas, sino pentagonales (el pentágono era el símbolo místico de los pitagóricos). Platón le asigna al dodecaedro la representación del mundo (es el poliedro que tiene un aspecto más redondeado). Por otra parte, en excavaciones realizadas cerca de Pádova (Italia), se halló un dodecaedro etrusco (500 a.c.) que probablemente era usado como juguete o bien como base para flores o velas. La figura inferior corresponde a un icosaedro encontrado también en unas excavaciones romanas. Vicente Viana Martínez Pág 10

11 Luca Pacioli ( ) Teoría de poliedros y Construcción de un omnipoliedro Es el primer matemático del que tenemos un retrato auténtico. Luca Pacioli, fraile franciscano, aparece señalando con la mano izquierda un ejemplar de la Summa de Arithmetica (1494), mientras con la derecha indica en una pizarra una figura geométrica y una suma de números representada según la "nueva" notación. Por la posición de los ojos de los personajes, Pacioli parece estar observando el cuerpo suspendido enfrente, que es un rombicuboctaedro de cristal con agua, y comprobando alguna propiedad del mismo en el dibujo de la pizarra, a la vez que consulta la Summa. En la mesa, sobre el libro, aparece un dodecaedro. Su acompañante observa directamente al espectador. Leonardo da Vinci ( ) Fue la quintaesencia del hombre del Renacimiento: artista, matemático, científico e ingeniero. Gran amante de la geometría, dedicó mucho tiempo al estudio de los sólidos. Su más famosa muestra de los poliedros son las ilustraciones para el libro de Luca Pacioli (1509) La Divina Proporción. Estas son algunas de ellas. Vicente Viana Martínez Pág 11

12 Johannes Kepler Kepler estaba convencido de que Dios había hecho el mundo siguiendo proporciones matemáticas perfectas. Esto lo expresó en su primera obra Mysterium cosmograficum (1596). Kepler fue un brillante pensador y un lúcido escritor, pero un desastre como profesor. Se perdía en digresiones. A veces era totalmente incomprensible. Su primer año como profesor en Graz (Austria) atrajo a un puñado escaso de alumnos; al año siguiente no había ninguno. Le distraía de aquel trabajo un incesante clamor interior de asociaciones y de especulaciones que rivalizaban por captar su atención. En la época de Kepler sólo se conocían seis planetas: Mercurio, Venus, La Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. Kepler se preguntaba por qué eran sólo seis. Por qué no eran más? Por qué sus órbitas presentaban el espaciamiento que Copérnico había deducido?. Nunca hasta entonces se había preguntado nadie cuestiones de este tipo. Se conocía la existencia de cinco sólidos regulares o "platónicos", cuyos lados eran polígonos regulares tal como los conocían los antiguos matemáticos griegos posteriores a Pitágoras. Kepler pensó que los números estaban relacionados. La razón de que hubiera sólo seis planetas era porque había sólo cinco sólidos regulares y que esos sólidos, inscritos o anidados uno dentro de otro, determinarían las distancias del Sol a los planetas. Llamó a su idea El Misteri o Cósmico. La explicación del Misterio Cósmico sólo podía estar en la Mano de Dios, el Geómetra. Vicente Viana Martínez Pág 1

13 Presentó una propuesta para que el duque de Württemberg le diera una ayuda a la investigación, ofreciéndose para supervisar la construcción de sus sólidos anidados en un modelo tridimensional que permitiera vislumbrar la grandeza de la sagrada geometría. Añadió que podía fabricarse de plata y piedras preciosas y que serviría también de cáliz ducal. La propuesta fue rechazada con el amable consejo de que antes construyera un modelo menos caro, de papel, a lo cual se puso manos a la obra. Pero a pesar de todos sus esfuerzos, los sólidos y las órbitas planetarias no encajaban bien. En el cuadro siguiente aparecen reproducciones de otros grabados de la misma obra de Kepler en donde se observa cómo sobrevivía en esta época tan tardía la asociación entre elementos y poliedros establecida por Empédocles y Platón. Figuras tomadas del tratado Mysterium Cosmographicum de Johannes Kepler Vicente Viana Martínez Pág 13

14 Los poliedros regulares y M. C. Escher Los sólidos platónicos, por su historia, perfección, y belleza, continúan siendo hoy inspiradores de matemáticos y artistas. El holandés Maurits Cornelis Escher es uno de los artistas clásicos de nuestro tiempo que han experimentado la fascinación por estas figuras. A continuación se reproduce su grabado Estrellas (1948) y una fotografía que lo muestra observando una de sus obras: un conjunto de sólidos platónicos superpuestos. Se dice que cierta vez, cuando tuvo que mudarse de oficina, Escher dejó muchas de sus pertenencias, excepto ésta. Vicente Viana Martínez Pág 14

15 Proceso de construcción del omnipoliedro Vamos a intentar construir el armazón de los 5 poliedros regulares de forma que queden perfectamente inscritos unos dentro de otros. NOMBRE CARA Nº DE CARAS Nº DE VÉRTI- CES Nº DE ARISTAS Tetraedro Triángulos equiláteros Hexaedro o cubo Cuadrados Octaedro Triángulos equiláteros Dodecaedro Pentágonos Icosaedro Triángulos equiláteros Vamos a utilizar para su construcción; cañitas de refrescos, tacos de plástico tipo Fichet, cáncamos y alambre. Como el número de aristas total es = 90 Necesitaremos, 90 cañitas, 180 tacos y 180 cáncamos. Para calcular la longitud de las aristas de cada figura, partiremos de la arista del cubo como arista unidad y el resto las obtendremos a partir de ella. Vicente Viana Martínez Pág 15

16 NOMBRE CARA Nº DE ARISTAS LONGITUD ARISTAS Tetraedro Triángulo 6 a Cubo - Hexaedro Cuadrado 1 a Octaedro Triángulo 1 a 1 Dodecaedro Pentágono 30 a 5 Icosaedro Triángulo 30 a Comenzamos construyendo el tetraedro. La arista del tetraedro es justamente la diagonal menor del cubo. Por tanto, si la arista del cubo vale a. Aplicando Pitágoras. a tetraedro a cubo A continuación, construimos el octaedro, dentro del tetraedro. De forma que los vértices del octaedro descansen sobre la mitad de la arista del tetraedro. Vicente Viana Martínez Pág 16

17 Fácilmente, se comprueba que. Teoría de poliedros y Construcción de un omnipoliedro a a octaedro octaedro a a tetraedro cubo El paso siguiente es la construcción del cubo. Como la arista del tetraedro es la diagonal del cubo, resulta sencillo proceder a su construcción (véase figura inicial). Ahora pasamos al dodecaedro. El proceso se lleva a cabo teniendo en cuenta que la arista del cubo es justamente, la diagonal del pentágono. Tomando como base, los vértices del cubo, situamos en cada uno de ellos 3 aristas del pentágono y luego las unimos tal y como se indica en la figura. Tal como vimos en el tema del Número de oro, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es justamente la razón áurea. Diagonal lado pentágono pentágono Por consiguiente. arista dodecaedro arista cubo arista dodecaedro arista cubo 1 5 Vicente Viana Martínez Pág 17

18 La estructura así formada no es rígida. Necesitamos situar ahora el icosaedro para rigidizarla. Los triángulos equiláteros de las caras del icosaedro forman una pirámide pentagonal por encima de cada cara del dodecaedro, cuyo vértice está justo sobre el centro geométrico de cada pentágono, aunque en un plano superior. AP = arista dodecaedro = MP = AP RQ = arista icosaedro arista cubo El triángulo ORQ es equilátero. Por tanto. RQ MN Por otra parte, el ángulo MNP = 108º, por ser ángulo interno de un pentágono regular y ángulo NMP = 36º. Ahora nos construimos el triángulo NSM (triángulo aúreo), de ángulos 7º, 7º y 36º. Prolongamos MP, hasta determinar el punto L. Los triángulos NML y NMS son semejantes. Luego. MS MN MN LN LN = MP MN = MP Vicente Viana Martínez Pág 18

19 arista icosaedro = RQ = MN = MP = arista cubo En definitiva. arista icosaedro = arista cubo Vicente Viana Martínez Pág 19