Programación estructurada

Transcripción

1 Tema 7 Programación estructurada Antes de comenzar a programar es preciso saber desarrollar algoritmos. Como se ha visto en el tema anterior, un algoritmo es una descripción detallada de los pasos a seguir para resolver una tarea. Los pasos han de ser operaciones capaces de ser llevadas a cabo por el operador al cual va dirigido el algoritmo. A fin de poder abordar problemas complejos es preciso aprender a diseñar correctamente algoritmos y sus diagramas respetando las reglas de la programación estructurada. Para ello se presentan en este tema una serie de algoritmos básicos los cuales se han dividido en varios grupos. 7.1 Fundamentos de la programación estructurada Es difícil hacer un resumen de las ideas de la programación estructurada a lectores que tienen cierta experiencia en programación. Esto sucede porque la programación estructurada pretende evitar cierto tipo de situaciones que aparecen en programas grandes y medias, pero que se advierten en los ejemplos dados a principiantes. Una de estas situaciones es la siguiente: un programador escribe un diagrama de flujo tal y como aparece en la parte derecha de la figura 7.1. Transcurrido cierto tiempo, el mismo programador es requerido para realizar una modificación en el mismo. Éste intenta modificar el diagrama, pero la tarea le resulta ardua. Analizando los motivos por los que el trabajo avanza con rapidez se puede observar que: Es difícil hallar el punto en el cual hay que eliminar un bloque o insertar u nuevo, pues todo está enmarañado. Incluso aunque el diagrama tuviera una mejor disposición gráfica, cuesta trabajo ver si 121

2 122 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA Figura 7.1: Diagrama de flujo estructurado (izquierda) y estructurado (derecha). una modificación de una parte dará resultados indeseables en otra, debido al gran número de interconexiones que hay. Y los problemas acaban ahí. Tras realizar los cambios, el programador deberá probar el nuevo programa para comprobar su correcto funcionamiento. Cada vez que se detecte un error deberá volver a repetir el tedioso proceso de modificación. Los problemas descritos serían tales si el programador hubiera podido escribir el diagrama de flujo de forma parecida a la de la figura 7.1 (izquierda), en la que se aprecia que existen cruces de líneas y que cada módulo tiene una entrada y una salida. Sobre estos dos aspectos se insistirá más adelante, por ahora es necesario comentar más las ventajas que para cualquier proyecto supone el tener programas legibles y comprensibles Flujo lineal Los diagramas se dice que tienen flujo lineal cuando existen conexiones de vuelta atrás o laterales. El flujo lineal se puede conseguir restringiendo las uniones entre bloques constructivos a estructuras de entrada única y salida única. Es decir, usando para la confección del diagrama de flujo grupos de bloques a los cuales llega sólo una flecha y de los cuales parte sólo una flecha. La secuencia, la selección entre alternativas y la iteración forman un conjunto suficiente de módulos constructivos para describir cualquier algoritmo. Es decir, es posible siempre realizar

3 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US. 123 un diagrama de flujo que contiene sólo las estructuras citadas. En la figura 7.2 se tienen tales estructuras; se puede ver que son de entrada única y salida única. módulo 1 pregunta cuerpo del bucle pregunta módulo 2 opción 1 opción 2 condición cuerpo del bucle secuencia disyunción repetición con salida en cola repetición con salida en cabeza Figura 7.2: Construcciones o uniones de bloques permitidaspara programas estructurados. Estas estructuras permitidas reciben los mbres que se indican a continuación. De izquierda a derecha en la citada figura 7.2 se tiene un par de bloques formando una secuencia, unabifurcación y bloques articulados en una estructura disyuntiva, una bifurcación con conexión hacia atrás formando un blucle o estructura repetitiva con salida en cola y, finalmente, una bifurcación formando una estructura repetitiva con salida en cabeza. En lo sucesivo se usarán estas estructuras (y ninguna otra) para realizar los diagramas de flujo, pero antes de pasar a los ejemplos es preciso comentar cómo se va a producir la descomposición del problema global en módulos Análisis descendente En ocasiones se presenta la programación estructurada como un conjunto de reglas a seguir. En realidad hay una definición exacta de programación estructurada, por lo que las reglas son sólo una aproximación. Una idea importante de la programación estructurada es el análisis descendente o jerarquizado. Consiste éste en identificar las funciones o tareas a cumplir por el programa desde un punto de vista global y proceder luego a descomponer estas funciones en otras meres. Éstas a su vez se vuelven a descomponer en un proceso que termina cuando se alcanza el nivel del lenguaje o código usado. De este modo, el diseño del programa se realiza por niveles. Se comienza por el nivel más general y se termina por lo particular o concreto. El resultado del análisis descendente es un conjunto de diagramas que describen el algoritmo con un nivel de detalle creciente. En un primer nivel el diagrama de flujo puede tomar la forma dada en la figura 7.3 en la parte superior. En un segundo nivel, cada u de los módulos es detallado en un diagrama aparte. El proceso continúa mientras existan bloques que necesiten explicaciones adicionales.

4 124 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA Inicio Lectura de datos Cálculo de resultados Escritura de resultados Fin Inicio de lectura de datos Inicio de cálculo de resultados Inicio de escritura de resultados Fin de lectura de datos Fin de cálculo de resultados Fin de escritura de resultados Figura 7.3: El análisis descendente aplicado a la confección de diagramas de flujo.

5 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US. 125 Es importante que antes de pasar al siguiente nivel se compruebe la validez del diagrama actual. Para ello se ha de comprobar que las construcciones utilizadas pertenecen al conjunto de las estructuras permitidas. 7.2 Cálculos en secuencia Los cálculos en secuencia presentan dificultad alguna desde el punto de vista algorítmico. Los diagramas de flujo resultantes son lineales, sin bifurcaciones ni ciclos o repeticiones, y por tanto de fácil creación. Un programa evoluciona de modo lineal cuando realiza toda la secuencia de instrucciones de forma continua, sin saltos en la ejecución. Éste es el caso presentado en el ejemplo de la suma de dos números (ver figura 7.4). La realización y representación en diagrama de flujo de estos programas es muy simple. Inicio Leer a Leer b c a+b Escribir c Fin primer dato segundo dato resultado, suma de a y b a b c Variable real Variable real Variable real Figura 7.4: Diagrama de flujo de un algoritmo para sumar dos números Ejercicios Se propone realizar el diagrama de flujo de algoritmos que resuelvan las tareas siguientes: 1. Leer dos valores reales p y q del teclado y escribir media aritmética. 2. Leer un valor real x del teclado. Calcular y escribir r = x 2 2x 3.

6 126 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA 3. Leer los coeficientes de un polimio de grado tres de la forma P (x) =x 3 + ax 2 + bx + c. Leer a continuación un cierto valor para la variable independiente x y calcular y escribir y = P (x). 4. Convertir a radianes un valor de ángulo medido en grados sexagesimales. 5. Calcular y escribir la temperatura T que corresponde a un mol de gas ideal sometido a una presión P cuando ocupa un volumen V. Se supone que los valores de P y V se proporcionan por teclado. 7.3 Estructuras selectivas Las disyunciones o estructuras selectivas se construyen mediante un bloque bifurcación conectado dos módulos que después vuelven a unirse. En el interior de cada módulo puede haber otras estructuras permitidas: secuencias, iteraciones, etc. Las bifurcaciones permiten tomar un cami o su alternativa, permitiendo que el programa discurra por u de dos camis posibles en función de condiciones. Un ejemplo muy simple es el siguiente: leer un número real por teclado y escribir el valor absoluto del mismo. Una forma de resolver el programa es mediante el diagrama de flujo de la figura 7.5. La idea es hacer que la secuencia de ejecución pase por la escritura del número o del número cambiado de sig en función de que sea positivo o negativo. Nota importante: en este libro la palabra positivo se ha de entender como mayor que cero quiere esto decir que el número cero forma parte del conjunto de los números positivos. Inicio Leer x x < 0? r -x r x Escribir r Fin dato resultado, valor absoluto de x x r Variable real Variable real Figura 7.5: Diagrama de flujo con ruptura de secuencia.

7 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US. 127 Las bifurcaciones se pueden encadenar para dar solución a situaciones más complejas. Por ejemplo considérese la función: NC(x, y), con (x, y) IR 2 c {1, 2, 3, 4}. Esta función calcula el número de cuadrante en que se encuentra el punto (x, y) deir 2. Se desea desarrollar un algoritmo que lea las coordenadas x e y de un punto del pla (suponiendo que x = 0yque y = 0) y calcule y escriba r =NC(x, y). El diagrama de la figura 7.6 presenta una posible solución mediante el uso de bifurcaciones en cascada. Figura 7.6: Programa que escribe el cuadrante en el cual se sitúa el punto en el pla (x, y) Ejercicios Utilizando las ideas que se han presentado en los puntos anteriores desarrolle algoritmos que den solución a los problemas siguientes: 1. Leer un número real x y calcular y escribir r = x Calcular el coste de una llamada telefónica que ha durado t minutos sabiendo que si t<1 el coste es de 0.4 euros mientras que para duraciones superiores el coste es 0.4+(t 1)/4 euros. 3. Leer un número real del teclado. Calcular el valor de p sabiendo que si x está en el intervalo (2, 8] el resultado p toma el valor u, en caso contrario toma el valor cero. Escribir posteriormente el valor de p. 4. Leer un valor x del teclado. Calcular y escribir el valor y = f(x) siendo f una función definida a trozos del siguiente modo:

8 128 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA x f(x) x [ 1, 3) 10 x x>50 1 resto 0 5. Leer las componentes de un vector de IR 2 (x e y). Calcule el valor de r que se define como r =NC(x, y) six = 0, y = 0yr =0six =0osiy = Estructuras cíclicas Muchos algoritmos requieren la repetición de operaciones cierto número de veces. Al conjunto de operaciones que se repite se le llama cuerpo del proceso repetitivo. Un ciclo (o proceso repetitivo o bucle) queda completamente definido por el cuerpo y la condición de parada o salida. Cada vez que el programa en ejecución pasa por el cuerpo del bucle se dice que ha realizado una iteración. La estructura deminada proceso repetitivo o bucle permite plasmar en diagramas de flujo este tipo de procesos. La bifurcación al final del bloque hace las veces de control de salida. En ocasiones es conveniente poner el control de salida en la cabeza del bucle, de este modo se puede salir del bucle sin haber realizado ninguna operación. Ambos tipos de proceso iterativos se muestran en la figura 7.7. cuerpo condición condición cuerpo Figura 7.7: Estructuras repetitivas con control de salida en la cola (diagrama de la izquierda) y control de salida en la cabeza (diagrama de la derecha). A modo de ejemplo considérese la tarea de construir un vector v de dimensión n de forma que la componente k ésima tenga el valor v k = k 2 4. Por ejemplo, para n = 2 el vector resulta ser v =[ 3, 0], para n = 3 se obtiene v =[ 3, 0, 5]. El problema que se quiere resolver es calcular las componentes de v para un valor concreto de la dimensión n que se proporcione. Dicho de otro modo, el algoritmo tendrá que requerir un valor concreto de n y calcular las componentes v 1 a v n. Se supondrá que n es entero y positivo.

9 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US. 129 El diagrama de la figura 7.8 presenta una posible solución al problema haciendo uso de una estructura repetitiva con salida en la cola. Es muy conveniente dedicar us minutos a comprobar que el algoritmo resuelve el problema. Para ello pruebe a seguir mediante cálculos a ma los pasos indicados en el diagrama para n = 1, n = 2, n = 3. Una vez realizado este ejercicio le resultará difícil determinar que el algoritmo ha de funcionar necesariamente para todo n>0. Inicio Leer n k 1 v k k k -4 k k+1 k > n? Fin Dato, dimensión de v Resultado, vector v Índice para recorrer v. Variable auxiliar Componente k-ésima de v calculada mediante la expresión k 2-4 n v k v k Variable entera Variable vector de enteros Variable entera Variable entera Figura 7.8: Construcción de un vector mediante proceso iterativo con salida en la cola. En el diagrama de la figura 7.9 se muestra otro diagrama que utiliza un bucle con salida en la cabeza. Compruebe también mediante pruebas a ma que este diagrama realiza la misma tarea que el del ejemplo anterior. Debido a la sencillez de este ejemplo puede parecer que ambas maneras de realizar una estructura cíclica son equivalentes de un modo trivial. Aunque es cierto que se puede pasar de una a otra esto siempre se logra con facilidad. Además hay que tener en cuenta que algus lenguajes de programación están orientados a usar una de ellas, por ejemplo en el caso de MATLAB siempre se prefiere la comprobación de salida en cabeza. El bloque constructivo llamado módulo puede usarse para mejorar el aspecto visual de los diagramas de flujo. En particular si un diagrama consta de varias estructuras repetitivas puede ser interesante dedicar un módulo a cada u de ellos. Para ilustrar esta idea considere el problema cuyo enunciado es Se ha de leer una lista de n números reales, siendo n un entero que ha de leerse previamente. Posteriormente se escribirá la lista en orden inverso. Se supondrá que n>0. La figura 7.10 muestra el diagrama de flujo de una posible solución. Dicho diagrama incluye dos módulos que se detallan en diagramas separados. La tabla de objetos es única pues

10 130 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA Inicio Leer n k 1 k > n? v k k k -4 k k+1 Fin Dato, dimensión de v Resultado, vector v Índice para recorrer v. Variable auxiliar Componente k-ésima de v calculada mediante la expresión k 2-4 n v k v k Variable entera Variable vector de enteros Variable entera Variable entera Figura 7.9: Construcción de un vector mediante proceso iterativo con salida en cabeza. los diagramas correspondientes a los módulos se interpretan como parte del diagrama general. A todos los efectos se trata por tanto de un único diagrama con la particularidad de que algunas partes (los módulos) se detallan de forma separada. Puede verse que los módulos ayudan a comprender mejor el algoritmo. Cada parte del diagrama puede abarcarse de un golpe de vista, facilitando su comprensión y el análisis de su validez Ejercicios Los siguientes ejercicios se pueden resolver con ayuda de estructuras cíclicas. Utilice módulos en aquellos casos en que el diagrama resultante sea demasiado largo. Recuerde que los diagramas pueden cortarse. 1. Leer las componentes de un vector de números reales de dimensión 10. Escribirlo luego en la pantalla. 2. Leer un entero n supuesto n>0 y un vector v IR n 1, calcular y escribir el producto escalar m = v t v, m IR, donde v t simboliza el vector transpuesto de v. 3. Leer n (suponiendo que es entero y > 0). Leer a continuación las n componentes de un

11 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US. 131 Inicio Inicio de lectura de vector v Inicio de escritura inversa de vector v Leer n k 1 k n Lectura de vector v k n? k 1? Leer v k Escribir v k Escritura inversa de vector v k k+1 k k-1 Fin Fin de lectura de vector v Fin de escritura inversa de vector v Dato, dimensión de v Dato, vector v Índice para recorrer v Variable auxiliar Componente k-ésima de v Constante para dar valor inicial y modificar k n v k v k Variable entera Variable vector de n reales Variable entera Variable real 1 Constante entera Figura 7.10: Diagrama de flujo con módulos para el problema de la escritura inversa.

12 132 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA vector de números reales dimensión n. Calcular y escribir luego la media aritmética de sus componentes. 4. Leer un número real x y otro entero z. Calcular y escribir y = x z suponiendo que z Leer n (suponiendo que es entero y 0). Calcular y escribir f = n!. 6. Leer n (suponiendo que es entero y > 0) y un vector de dimensión n. Calcular y escribir la componente de mayor valor. 7. Leer n (suponiendo que es entero y > 0) y un vector de dimensión n. Calcular y escribir la componente de mayor valor y su índice dentro del vector. 8. Leer n (suponiendo que es entero y mayor que u). Construir un vector v IR n 1 tal que v k = v k 1 /3+0.5 para k =2,...,n ysiendov 1 = Leer n (suponiendo que es entero y mayor que dos). Construir un vector v IR n 1 tal que sus componentes sean los térmis de la sucesión de Fibonacci Se han medido las longitudes de tornillos procedentes de un mismo lote de fabricación. Se han dispuesto en un vector v de dimensión n>2. Se dispone de v y n. Diseñe un algoritmo para calcular la media y la varianza de las longitudes. La varianza se calcula como var = 1 n n k=1 (v k µ) 2,siendoµ la media aritmética de las componentes de v. 7.5 Ciclos dobles El cuerpo de una estructura repetitiva es necesariamente un módulo simple si que puede contener otras estructuras. En el punto anterior se han expuesto diversos ejemplos en los cuales el cuerpo contiene exclusivamente estructuras en secuencia. No existe ningún impedimento para que el cuerpo contenga estructuras selectivas o incluso otros ciclos. Cuando un ciclo contiene a otro se obtiene una estructura doblemente repetitiva 2. En cada iteración del ciclo exter se realizan varias repeticiones del cuerpo del ciclo inter. Las repeticiones dobles son especialmente apropiadas para trabajar con matrices A IR m n. En muchas situaciones es preciso recorrer los elementos de la matriz para realizar de este modo la lectura, escritura o cualquier otro cálculo. Se plantea en estos casos el problema de considerar todos los posibles elementos a kj de la matriz. Conviene recordar que el elemento genérico a kj tiene dos subíndices: k (filas) y j (columnas) que varían en los intervalos: k = 1, 2,...,m y j =1, 2,...,n. 1 La sucesión de Fibonacci comienza con a 1 =1,a 2 = 1 y posteriormente cada térmi a k es la suma de los dos anteriores a k 1 + a k 2 para k>2. 2 Llamada frecuentemente bucles anidados por ser estas palabras la traducción literal de nested loops.

13 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US. 133 Para trabajar con matrices se puede emplear un ciclo dentro de otro. Normalmente el ciclo exter recorre el índice de filas y el inter el índice de columnas. En la figura 7.11 se presenta un diagrama de flujo que puede utilizarse para recorrer la matriz. iniciar k a 1 k > m? iniciar j a 1 j > n? Operar con el elemento a kj Incrementar j Incrementar k Figura 7.11: Diagrama de flujo que permite recorrer una matriz gracias a dos estructuras repetitivas Ejercicios Los ejercicios que se proponen a continuación se pueden resolver con la estructura de esta figura 7.11 (aunque algu de ellos puede resolverse con estructuras más simples). 1. Lectura/escritura de una matriz m n. Se han de leer del teclado las dimensiones m y n (suponga que son números enteros positivos). A continuación se han de leer los elementos

14 134 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA a kj de una matriz A de m filas y n columnas. Finalmente se presentará en la pantalla la matriz leída. 2. Construir una matriz A IR m n cuyo elemento genérico a kj viene dado por a kj = k 2 j. 3. Dada una matriz (se supone ya leída) A de dimensiones m n, se quiere anular (poner a cero) los elementos de su diagonal principal y escribir la matriz resultante. 4. Traza de una matriz. Dada una matriz cuadrada A IR n n dada siendo n>0unentero también dado se ha de diseñar un algoritmo que permita obtener la traza de A (suma de los elementos de la diagonal). 5. Suma de matrices. Dadas (suponga que ya han sido leídas) dos matrices A IR m n y B IR m n se quiere calcular y escribir la matriz C obtenida como suma de las anteriores C = A + B. 6. Matriz traspuesta. Dada una matriz A IR m n calcular su traspuesta B = A t. 7. Submatriz triangular. Dada una matriz A IR m n se desea calcular otra matriz B IR m n cuyos elementos son todos cero excepto los de la submatriz triangular inferior que son iguales a los elementos de igual posición de A. Es decir, los elementos que están por debajo de la diagonal principal de A se copian en B, el resto de elementos de B valen cero. Se supone que tanto m como n son números enteros mayores que u ya leídos. 8. Máximo de una matriz. Dada una matriz A IR m n calcular el elemento mayor. 9. Máximo de cada fila. Dada una matriz A IR m n con m>1yn>1 dados se desea calcular un vector v IR m cuya componente genérica v k es el mayor valor de la fila k ésima dea. 10. Crear matriz de 1 y 0 al tresbolillo. 7.6 Ejercicios temáticos En este punto se presenta una serie de problemas que pueden ser resueltos con algoritmos que combinan algunas de las estructuras explicadas en este tema Sucesiones y series 1. Se quiere construir y escribir un vector v de dimensión n cuyas componentes siguen la ley v k =3 v k 1 k para k 2. Tanto n como v 1 son cantidades que han de leerse del teclado. 2. Dado n>0 hallar la suma s = n k=1 1/k.

15 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US Se desea calcular la suma s = n k=1 1/a k siendo los valores a k los elementos de la sucesión dada por a k = a k 1 + a k 2 para k>2, con a 1 =1ya 2 = 1. El límite n ha de leerse del teclado y se supone mayor que dos. 4. Se desea calcular la suma s = n k=1 1/km siendo m y n dos números enteros positivos que se suponen dados. 5. Escriba los n primeros térmis de la sucesión dada por a n =(1+ 1 n )n,siendon un número entero positivo dado Ordenaciones 1. Dado un vector v de dimensión n cuyas componentes son todas positivas o cero se desea reordenar sus componentes de mayor a mer. Por ejemplo, si el resultado ha de ser un nuevo vector: v = [ ] w = [ ] 2. Repetir el ejercicio anterior pero sin usar un vector auxiliar como w. El resultado que se pretende conseguir es que el propio vector v tenga sus componentes ordenadas. 3. Igual que el anterior pero suponiendo que v contiene cantidades positivas y negativas, por ejemplo: v =[ ] ha de dar como resultado el propio vector reordenado a: v =[ ] 4. Un fabricante de automóviles dispone de un modelo de vehículo en cinco colores. Para saber la aceptación de cada color realiza una encuesta usando un programa en su ordenador portátil. El programa ha de ayudarle a contar los votos de los encuestados. El encuestador tecleará el número del color elegido (de u a cinco) cada vez que pregunte a una persona nueva. Cuando quiera preguntar a nadie más introducirá el valor -1. En ese momento el programa le indicará el número de votos que cada color ha obtenido. Posteriormente se han de ordenar los colores según los resultados de la votación. 5. Se desea calcular la mediana de los valores contenidos en un vector T IR n.sin es impar la mediana es el valor central del vector ordenado, en caso contrario la mediana es la media de los dos elementos que están más al centro. En ambos casos el paso previo para calcular la mediana es ordenar el vector. Un ejemplo con n par es T = [ ]. La ordenación produce T o = [ ] y la mediana es ( )/2 = 13. Un ejemplo con n impar es T = [ ].

16 136 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA En este caso la ordenación produce un nuevo vector T o = [ ], de donde se obtiene la mediana que es el valor central 12. Puede comprobar con los ejemplos anteriores que la mediana coincide con la media aritmética Cálculos con enteros Para poder diseñar los algoritmos que resuelven algus de los problemas propuestos a continuación puede necesitar una función que elimine los decimales de números reales y obtener de este modo números enteros. Esta función recibe el mbre de parte entera y puede detarse matemáticamente como ParteEntera(). De este modo x ParteEntera(3.14) es equivalente a x Dado un número entero x mayor que u se ha de escribir un u si el número es par y un cero en caso contrario. 2. Dados dos números enteros positivos p y q, p>q, se ha de escribir un u si son divisibles y cero si lo son. 3. Dado un número entero x mayor que u se ha de escribir la lista de sus divisores comprendidos en el intervalo (1, x). 4. Dado un número entero x mayor que u se ha de escribir un u si es primo y un cero en caso contrario. Para ello ha de comprobar si x es divisible por algún entero en el intervalo (1, x). 5. Dada una cantidad N>1 calcular la raíz cuadrada entera aproximada r. Se ha de cumplir que r r N<(r + 1) (r + 1). Por ejemplo, si N = 24 se tiene que r =4pues4 4 = < 25 = Se ha de escribir un u en el caso de que exista un trío (x, y, z)de números enteros positivos tales que x 2 + y 2 = z 2. Limite la búsqueda a x (0, 100], y (0, 100]. En caso de que se encuentre solución se ha de escribir un cero. 7. Repita el ejercicio anterior pero escribiendo todas las soluciones que encuentre en el intervalo x (0, 1000], y (0, 1000]. 8. Dados dos números enteros positivos p y q escriba un algoritmo que permita hallar el máximo común divisor de los mismos. 9. Como aplicación del ejercicio anterior diseñe un algoritmo que permita descubrir si dos enteros positivos son primos entre, es decir si su máximo común divisor es u.

17 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US Matrices 1. Multiplicación de matrices. Suponga ya leídas A IR m n y B IR n p, calcule C = A B. 2. Matriz al cubo. Diseñe un algoritmo que permita obtener B = A 3,siendoA IR n n una matriz cuadrada que se supone ya leída. 3. Exponenciación de matrices. Diseñe un algoritmo que permita obtener B = A p,siendo A IR n n una matriz dada y p>0 un entero también dado. 4. Dados dos enteros positivos m y n se desea construir la matriz S IR m n cuyo elemento genérico viene dado por s kj = k h=1 1/hj Leyes La evolución de ciertas magnitudes del mundo real puede en ocasiones acomodarse a simples leyes expresables de un modo similar a las sucesiones. En este apartado se proporcionan algus ejemplos que ilustran la forma en que el cálculo por ordenador ayuda a la Ciencia y la Ingeniería. 1. La cantidad de un cierto isótopo radioactivo presente en una mezcla varía con el tiempo pues el isótopo se descompone emitiendo radiación. Se deta mediante y(k) la cantidad en gramos de isótopo en el instante de tiempo t = k medido en años. Us científicos han descubierto que se cumple que y(k) =0.99 y(k 1). Si un barril de desechos radioactivos contiene 1000 gramos de isótopo, cuál será la cantidad de isótopo presente al cabo de 500 años? 2. La velocidad de un paracaidista en su descenso al suelo una vez que ha abierto el paracaídas se deta mediante v(k) (m/s), siendo k el tiempo que lleva cayendo medido en segundos, k>1. Se ha especulado con la idea de que dicha velocidad sigue la ley: v(k) =v(k 1) (v(k 1)) 2. Sabiendo que una caída típica puede durar 5 minutos y que el paracaídas se suele abrir con una velocidad de 100 Km/h, con qué velocidad llega al suelo? 3. Se sabe que la cantidad de bacterias de cierta especie en un cultivo es x(k) =1.1x(k 1) siendo k el tiempo medido en horas, k>1. Si al cabo de la primera hora x(1) se contabilizaron 100 unidades, cuántas habrá al cabo de un día? 7.7 Comprobación del funcionamiento de algoritmos La comprobación del buen funcionamiento de un algoritmo es una tarea difícil y para la cual existen reglas generales. En muchos casos sin embargo el sentido común y el razonamiento

18 138 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA lógico permiten realizar pruebas que permiten asegurar la corrección. Existen dos formas de enfrentarse a la tarea de decidir si un algoritmo dado es verdaderamente una solución al problema planteado: la prueba del algoritmo con un conjunto de datos controlado y la prueba mediante razonamiento lógico-matemático Pruebas con datos controlados La prueba del algoritmo con datos controlados consiste en preparar una serie de valores de los datos para los cuales se coce el resultado correcto. Posteriormente se siguen los pasos del algoritmo y se comprueba si los resultados que el algoritmo produce coinciden con los resultados cocidos de antema. Como ejemplo considere el problema de escribir un u en caso de que cierto entero x sea primo y cero en otro caso. Si se desea comprobar si cierto algoritmo A es correcto puede ser buena idea probar A con x = 2 y comprobar que el resultado es que se escribe un u. Si el resultado es este hace falta comprobar más, pues un solo fallo sirve para invalidar A. Si el resultado es correcto se puede pasar a probar A con x = 3 y repetir el proceso. Es fácil ver que este método tiene el grave inconveniente de que hacen falta tantas pruebas como posibles valores distintos puede tomar el dato x. En muchas ocasiones se recurre al método de probar el algoritmo sólo en algus valores elegidos. Por ejemplo con varios números primos y otros primos tanto grandes como pequeños. Hay que resaltar que este tipo de pruebas permite validar el algoritmo completamente. Esto es a porque un algoritmo puede dar resultados correctos en muchas situaciones y sin embargo ser correcto universalmente pues puede que contenga errores que se han manifestado con esos datos. No existe un procedimiento general para seleccionar valores de prueba para algoritmos, sin embargo es posible dar algus consejos como: probar valores particulares que puedan dar problemas como el cero (en el caso de que haya divisiones), o los números negativos (si hay raíces cuadradas). probar los valores extremos de los datos, por ejemplo si se sabe que el dato x IR cumple que x [5, 3] entonces merece la pena probar con los valores x =3yx = Razonamientos por inducción En muchos casos es posible aplicar el método matemático de prueba inductiva. Por ejemplo cuando el dato de un algoritmo puede tomar cualquier valor n IN.

19 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US. 139 El razonamiento inductivo se lleva a cabo probando (en el sentido matemático) que si el algoritmo funciona para un valor n cualquiera entonces debe funcionar también para el valor siguiente n + 1. La prueba se completa utilizando el algoritmo con n = 1 y comprobando que el resultado es satisfactorio. Mediante inducción se obtiene que entonces el algoritmo debe funcionar correctamente para n = 2 y de aquí que también sea correcto para n = 3, etc. Este tipo de razonamiento permite decidir la corrección de algoritmos que contienen estructuras iterativas. En estos casos los puntos que causan mayores problemas son las entradas y salidas de los ciclos de repetición. Por este motivo hay que prestar mucha atención a los valores iniciales asignados a índices y contadores antes de entrar en el ciclo, a la actualización de los mismos dentro del cuerpo que se repite y finalmente a la condición de salida del ciclo. El principal inconveniente de este método de corrección es que es posible que la prueba matemática contenga errores, proporcionando como resultado que se etiquete como correcto un algoritmo que lo es. Por este motivo es conveniente siempre realizar la prueba por ambos métodos Modularidad Si el diseño del algoritmo se ha llevado a cabo de forma adecuada el diagrama ha de consistir en una serie de módulos (o funciones) de pequeño tamaño que se unen para formar módulos mayores. El análisis de algoritmos se realiza entonces de una forma cómoda pues basta con probar cada módulo de forma independiente. Cuando se han comprobado los módulos de un cierto nivel puede pasarse al nivel superior. Las comprobaciones de un nivel superior pueden llevarse a cabo sin necesidad de volver a utilizar o analizar los módulos de niveles inferiores. En lugar de ello es posible sustituir mentalmente dichos módulos por mecanismos que automáticamente proporcionan los resultados correctos. De este modo el análisis se lleva a cabo de forma jerárquica lo cual permite avanzar con mayor rapidez y confianza. 7.8 Análisis de la estructura Es posible ahora poner un par de ejemplos para aclarar las ideas sobre la programación estructurada. Considere en primer lugar el diagrama que aparece en la parte izquierda de la figura A la vista cómo están unidos los bloques sabría decir si es un diagrama bien estructurado?. Para responder a esta cuestión resulta conveniente agrupar los bloques que forman secuencias en módulos, de forma que la estructura subyacente quede expuesta con mayor claridad. Esto

20 140 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA se ha realizado en el diagrama del centro. Finalmente, en el diagrama de la derecha se han sustituido las secuencias por módulos, quedando al descubierto una estructura que coincide con una de las estructuras permitidas (véase de nuevo la figura 7.2). Esta estructura es un bucle con salida en cola y aparece aquí combinado en secuencia por arriba y abajo con otros dos módulos. Figura 7.12: Análisis de la estructura de un diagrama. Este sencillo análisis permite determinar que la estructura del diagrama está de acuerdo con las rmas establecidas en este capítulo. Observe que para discutir sobre la estructura de un diagrama es preciso cocer las operaciones que se realizan en cada bloque. En efecto, la estructura depende exclusivamente de las uniones entre bloques y de su contenido. Considere ahora el diagrama que se muestra en la parte izquierda de la figura A primera vista parece haber nada que indique que el diagrama sea estructurado (al mes lo parece para el principiante en esta materia). En la parte central y derecha de la figura se pone de manifiesto que esto es un error. En efecto, el recuadro a trazos intenta encerrar una estructura del tipo repetición o bucle con salida en cola. Sin embargo el recuadro tiene solamente una entrada y una salida como se requiere. De hecho, el recuadro es cortado por dos flechas de entrada y por una de salida. Si u intenta encerrar la estructura inferior mediante un recuadro (véase parte derecha de la figura) ocurre nuevamente que se cumple la regla de una única entrada y una única salida. En este caso hay dos salidas y una sola entrada.

21 c MRA & JAAR 2010 DISA. ESI. US. 141 Figura 7.13: Análisis de la estructura de un diagrama.

22 142 TEMA 7. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA