ESTADÍSTICA INFERENCIAL APLICADA

Transcripción

1 Violeta Alicia Nolberto Sifuentes María Estela Ponce Aruneri ESTADÍSTICA INFERENCIAL APLICADA Unidad de Post Grado de la Facultad de Educación de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos

2 Primera edición: Lima, 008. Violeta Alicia Nolberto Sifuentes. María Estela Ponce Aruneri. Unidad de Post Grado de la Facultad de Educación de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Serie: Textos de la Maestría en Educación. Edición: Elena Soto Loayza. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE EDUCACIÓN UNIDAD DE POST GRADO Rector : Dr. Luis Izquierdo Vásquez Decano : Dr. Carlos Barriga Hernández Director de la UPG : Dr. Elías Mejía Mejía Comité Directivo de la UPG : Dra. Elsa Barrientos Jiménez Dr. Kenneth Delgado Santa Gadea Mg. Rubén Mesía Maraví

3 Dedicatoria Para Sandra Natalia (María Estela) Para Ernesto Alonso (Violeta Alicia) 3

4 ÍNDICE Prefacio 008 Agradecimientos 009 Capítulo. La estadística y su relación con la investigación científica.. Introducción 00.. Definición de estadística 0.3. Investigación científica Objetivos fundamentales de la investigación científica Paradigmas de la investigación Clasificación de la estadística 08 Capítulo. Estadística inferencial.. Introducción 0.. Población 0.3. Muestra Muestra aleatoria Muestra aleatoria aplicada Parámetro Estadístico Distribución muestral Estimación Prueba de hipótesis Estadística paramétrica 04.. Estadística no paramétrica 043 Ejercicios propuestos 044 4

5 Capítulo 3. Estimación de parámetros 3.. Introducción 3.. Propiedades de los estimadores 3.3. Estimación de parámetros mediante intervalos de confianza 3.4. Intervalo de confianza para estimar la media µ de una población normal 3.5. Intervalo de confianza para estimar la varianza poblacional σ de una población normal 3.6. Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional π de una población binomial 3.7. Intervalo de confianza para estimar diferencia de medias poblacionales, µ µ, de poblaciones normales Usando muestras independientes Usando muestras relacionadas 3.8. Intervalo de confianza para estimar la razón de varianzas poblacionales, σ σ, de poblaciones normales independientes 3.9. Intervalo de confianza para estimar la diferencia de proporciones poblacionales, π π, de poblaciones binomiales independientes Ejercicios propuestos Capítulo 4. Prueba de hipótesis paramétrica 4.. Introducción 4.. Conceptos básicos 4.3. Etapas para realizar una prueba de hipótesis 4.4. Prueba de para µ de una población normal 4.5. Prueba para σ de una población normal 4.6. Para π de una población binomial 4.7. Prueba para µ µ usando muestras independientes Cuando las varianzas poblacionales son conocidas Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas 5

6 4.8. Para µ µ usando muestras relacionadas 4.9. Para la igualdad de varianzas poblacionales 4.0. Para π π de poblaciones binomiales Ejercicios propuestos Capítulo 5. Análisis de regresión lineal múltiple 5.. Introducción 5.. Modelo de regresión lineal simple 5.3. Gráfico o diagrama de dispersión 5.4. Modelo de regresión lineal simple poblacional 5.5. Estimación de los parámetros del modelo de regresión lineal simple 5.6. Evaluación del ajuste global del modelo 5.7. Adecuación del modelo: Análisis de residuos 5.8. Modelo de regresión lineal múltiple 5.9. Prueba de la significancia de la regresión 5.0. Correlación lineal simple Ejercicios propuestos Capítulo 6. Pruebas de hipótesis no parámetricas 6.. Introducción 6.. Prueba binomial 6.3. Prueba U de Mann-Whitney 6.4. Prueba de rangos de Wilcoxon 6.5. Prueba de Kruskal-Wallis 6.6. Prueba de Kolmogorov-Smirnov Ejercicios propuestos Capítulo 7. Análisis de datos categóricos 7.. Introducción 7.. Tablas de contingencia 7.3. Estadística Chi-cuadrado 6

7 7.4. Prueba de hipótesis de homogeneidad 7.5. Prueba de hipótesis de independencia Ejercicios propuestos Anexo Uso de Excel en el cálculo de los valores de algunas variables aleatorias 7

8 PREFACIO El presente libro se ha elaborado a solicitud de la Unidad de Post Grado de la Facultad de Educación de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, y tiene como objetivo ser una guía en el curso de Estadística Inferencial, que se desarrolla en el plan de estudios de la Maestría en Educación, en sus diferentes menciones. Por tanto, se ha escrito tomando en cuenta a un grupo heterogéneo de profesionales, en el sentido de que los maestristas de esta facultad son en su mayoría de la especialidad de educación, y en su quehacer profesional no emplean cotidianamente las herramientas estadísticas. De ahí, que el esfuerzo de las autoras sea desarrollar paso a paso las aplicaciones que se presentan en este libro. Los cálculos que se presentan para aplicar las herramientas de la inferencia estadística son para que los lectores entiendan sus cómo y porqué y, asimismo, la interpretación de los resultados obtenidos. Dejamos bien en claro que en ningún momento se pretende adiestrar a lo lectores en cálculos, sino en que aprendan los conocimientos teóricos estadísticos de la inferencia (saber), apliquen las herramientas estadísticas (saber hacer) y desarrollen una actitud positiva hacia la estadística. Esto es, que la estadística no solamente es cálculo, o el simple uso de las fórmulas o expresiones que aparecen en éste y en diversos libros de estadística, sino razonamiento crítico basado en evidencias objetivas que se obtienen de la población bajo estudio (ser). Una vez que el lector haya asimilado los conocimientos estadísticos, y sus aplicaciones, que brindamos en el presente libro, estará en la capacidad de usar software estadístico, que es un instrumento comparable a una calculadora. El aprendizaje de estadística usando software estadístico no debe reducirse, sin embargo, a manipulaciones mecánicas, pues éste sirve como apoyo del profesor para mostrar, en forma precisa y rápida, los gráficos y cálculos estadísticos. Violeta Alicia Nolberto Sifuentes y María Estela Ponce Aruneri Departamento Académico de Estadística de la UNMSM 8

9 AGRADECIMIENTOS A Elías Mejía, Director de la Unidad de Post Grado de la Facultad de Educación de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, por brindarnos la oportunidad de entregar al mundo académico el presente libro, en particular a los maestristas de la mencionada facultad que lo usaran como guía para el aprendizaje del curso de Estadística Inferencial, en el plan de estudios vigente. También por considerarnos como docentes de tan prestigiada unidad de post grado. A nuestros profesores de pregrado del Departamento Académico de Estadística de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, que nos formaron en tan importante especialidad, y cuyas enseñanzas y exigencias académicas para con nuestra preparación profesional en estadística han permitido que podamos seguir enseñando y difundiendo la estadística, no solamente en el ámbito sanmarquino, sino en otros. A nuestros alumnos, por la paciencia e interés en aprender estadística, por sus comentarios y sugerencias para con nuestro desempeño docente. A todos los lectores docentes, alumnos, empresarios y, en general, aquellos que toman decisiones basadas en evidencias objetivas, en concordancia con el mundo en que vivimos, caracterizado por el constante aprendizaje y el manejo adecuado de la información, en particular de la información estadística. Asimismo, a los que nos hagan llegar sus comentarios, observaciones y dudas respecto a lo tratado en el presente libro, los mismos que contribuirán con la enseñanza y la difusión de la estadística. Finalmente, a nuestras familias por el apoyo, la comprensión y el aliento, para con el desarrollo del presente libro. 9

10 CAPÍTULO LA ESTADÍSTICA Y SU RELACIÓN CON LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA.. INTRODUCCIÓN Los profesionales de la educación, como parte de su quehacer profesional, realizan investigación científica: evaluación de la calidad de la educación, someten a prueba diferentes métodos de comprensión lectora, estudian problemas del aprendizaje, entre otros. Es así, que contamos con Internet, como fuente general de información, que permite disponer de información educativa, por ejemplo, sobre evaluaciones muestrales, que realiza el Ministerio de Educación y que está disponible en la página web: (de fecha 3 de marzo de 008), que a la letra dice: Dentro de las evaluaciones nacionales que ha realizado la Unidad de Medición de la Calidad (UMC) podemos distinguir dos tipos: las muestrales y las censales. A la fecha la UMC ha realizado cuatro evaluaciones muestrales y dos evaluaciones censales. En una evaluación muestral se selecciona a un conjunto de estudiantes de una población (objetivo). Las evaluaciones muestrales realizadas por la UMC son representativas de la población objetivo planteadas en los distintos estudios (p. e. estudiantes peruanos de sexto grado de primaria, estudiantes peruanos de Instituciones Educativas Estatales de quinto grado de secundaria, etc.). La selección de una muestra representativa de estudiantes permite hacer inferencias de las poblaciones a partir de la información recogida. Para Castillo Arredondo (003), evaluar es el acto de valorar una realidad que forma parte de un proceso cuyos momentos previos son la fijación de las características de la realidad a valorar y la recogida de información sobre las misma, y cuyas etapas posteriores son la información y/o toma de decisiones en función del juicio de de valor emitido. 0

11 Por tanto, si el educador desea evaluar el rendimiento escolar, es necesario conocer las características de esta realidad escolar llamada, estadísticamente, población. Si está en condiciones de recolectar los datos de toda la población se denomina censo, es decir datos de todos y cada uno de los escolares para lograr los objetivos propuestos, o por el contrario, si toma o selecciona un grupo de escolares, se denomina una muestra representativa (muestra probabilística o aleatoria) de escolares, y a través de la muestra intentará conocer la realidad de la población escolar. Cuando se trabaja con una muestra probabilística y queremos conocer la población, a partir de los datos muestrales, empleamos los métodos que ofrece la estadística inferencial, que en el presente libro nos ocupará varios capítulos. Este libro es a nivel básico, tratando de ser lo más amigable posible, tomando en cuenta que nos dirigimos a profesionales no estadísticos, en particular de la educación. Amigable en el sentido que obviaremos las demostraciones matemático-estadísticas, pero si será necesario tomar en cuenta las definiciones de la estadística así como la rigurosidad para aplicar los métodos estadísticos de la inferencia. Pero antes es necesario que se conozca la naturaleza de la estadística, en particular de la estadística inferencial... DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA Existen diversas definiciones, veamos algunas: Para Sierra Bravo (99), la estadística es la ciencia formada por un conjunto de teorías y técnicas cuantitativas, que tiene por objeto la organización, presentación, descripción, resumen y comparación de conjuntos de datos numéricos, obtenidos de poblaciones en su conjunto de individuos o fenómenos o bien de muestras que representan las poblaciones estudiadas, así como el estudio de su variación, propiedades, relaciones,

12 comportamiento probabilístico de dichos datos y la estimación, inferencia o generalización de los resultados obtenidos de muestras, respecto a las poblaciones que aquéllas representan. La estadística en la investigación científica, dada la necesidad de manejar y tratar en ellas grandes cantidades, progresivamente crecientes, de datos. Irma Nocedo de León et al (00), anotan que la estadística es la ciencia encargada de suministrar las diferentes técnicas y procedimientos que permiten desde organizar la recolección de datos hasta su elaboración, análisis e interpretación. Abarca dos campos fundamentales la estadística descriptiva y la estadística inferencial, Para Hopkins y Glass (997), la estadística es un lenguaje para comunicar información basada en datos cuantitativos. Douglas Montgmery (985), define a la estadística como el arte de tomar decisiones acerca de un proceso o una población con base en un análisis de la información contenida en una muestra tomada de la población. Otra definición de la estadística que lo vincula al uso científico de principios matemáticos, a la colección, al análisis y a la presentación de datos numéricos. Contribuyen con la investigación científica diseñando pruebas y experimentos; la colección, el proceso, y el análisis de datos; y la interpretación de los resultados, aplicando conocimientos matemáticos y estadísticos. El conocimiento estadístico se aplica a la biología, economía, ingeniería, medicina, salud pública, psicología, comercialización, educación y deportes. Muchas decisiones económicas, sociales, políticas y militares no se pueden tomar objetivamente sin el empleo adecuado de la estadística. En nuestro medio profesional o en la sociedad en general se requiere solucionar un problema o verificar un supuesto, para desarrollar la ciencia, la técnica y la educación Traducción adaptada por las autoras del libro, tomada de: (en fecha 0 de abril de 008).

13 entre otros ámbitos; en particular respecto a los alumnos sobre rendimiento académico, aptitud científica, desarrollo social y la deserción entre otros. También respecto al docente sobre su desempeño en aula, su formación académico-profesional, los recursos didácticos que emplea y la producción científica, entre otros. Respecto al sistema educativo, financiamiento de la educación, gestión académica, informática educativa y modelos educativos, entre otros. Todos estos problemas no pueden ser resueltos por iniciativas subjetivas, por pareceres o lluvia de ideas; sino en base a información válida y confiable, esto es, tener información lo más próxima a la realidad bajo estudio. Indudablemente esto se logra empleando la ciencia llamada estadística. Para resolver estos problemas se debe seguir de manera organizada, sistemática y planificada, es decir debemos realizar investigación científica..3. INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Es una forma especial de buscar el conocimiento, presenta toda una serie de características que la diferencian de otras formas de abordar la realidad, como son el conocimiento empírico espontáneo y el razonamiento especulativo. A continuaciones se presentan algunas definiciones: Ezequiel Ander-Egg (995), define investigación como un procedimiento reflexivo, sistemático, controlado y crítico, que permite descubrir nuevos hechos o datos, relación o leyes, en cualquier campo del conocimiento humano. Para entender qué se asume por investigación científica debemos conocer su naturaleza, sus aspectos o características, como son:. Es un procedimiento mediante el cual se recogen nuevos conceptos de fuentes primarias, una investigación existe cuando se ha pasado por el proceso de 3

14 comprobación y verificación de un problema, el replantear lo ya conocido no se puede llamar investigación.. Una investigación es un aporte importante para el descubrimiento de principios generales por su naturaleza inferencial. 3. La investigación es un trabajo de exploración profesional, organizada o sistemática y exacta. 4. Es lógica y objetiva. 5. En lo posible procura ofrecer resultados cuantitativos de los datos manejados. 6. El fin de una investigación se expresa en un informe el cual presentará no solo la metodología, resultados, experimentaciones, sino también las conclusiones y recomendaciones finales..4. OBJETIVOS FUNDAMENTALES DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA En relación a las funciones que realiza la ciencia, los objetivos fundamentales de una investigación científica son:. Describir la realidad. Proceso importante y necesario en el proceso del conocimiento científico donde las técnicas y métodos se aplican para recopilar datos y hechos, y establecer generalizaciones empíricas.. Explicar la realidad. Refleja mediante generalizaciones teóricas (principios, leyes, conceptos) las propiedades y regularidades esenciales y estables de los fenómenos, así como los factores causales que los determinan. 4

15 3. Predecir la realidad. La explicación de la realidad y las generalizaciones teóricas, permiten que cumpla con el objetivo de predecir los comportamientos futuros de los fenómenos, esto es, establecer pronósticos dentro de un determinado límite de la probabilidad. Como función práctica y utilitaria, la ciencia transforma la realidad en correspondencia con las necesidades y demandas de la sociedad, a fin de lograr un bienestar, mejorar la calidad de vida. Entonces la ciencia indaga su objeto de estudio utilizando de una manera sistemática y rigurosa, empleando métodos y medios especiales de conocimiento que permiten obtener datos empíricos confiables, así como un reflejo profundo y exacto de las regularidades esenciales de la realidad. En este caso, los métodos estadísticos cumplen funciones cognoscitivas importantes como herramienta de investigación científica, por tanto el proceso de investigación científica encuentra su fundamento metodológico en la concepción científica general de la realidad objetiva. Pero cómo conocer la realidad?.5. PARADIGMAS DE LA INVESTIGACIÓN Un paradigma es un enfoque general que asume el investigador y es de carácter ontológico, epistemológico y metodológico. Este último tiene que ver con las vías, formas, procedimientos y estrategias que se consideran apropiados para estudiar al objeto. Responde a la pregunta cómo se conoce a la realidad? En la literatura del método científico se habla con frecuencia de dos paradigmas de la investigación científica, como son: el cualitativo y el cuantitativo. 5

16 Para sintetizar estos dos paradigmas se presenta la siguiente tabla, disponible en: (de fecha de marzo de 008). Tabla Nº. Ventajas y desventajas entre métodos cualitativos y cuantitativos Métodos cualitativos Métodos cuantitativos Propensión a comunicarse con los sujetos del estudio. Se limita a preguntar. Propensión a servirse de los sujetos del estudio. Se limita a responder. Comunicación más horizontal entre el investigador y los investigados mayor naturalidad y habilidad de estudiar los factores sociales en un escenario natural. Son fuertes en términos de validez interna, pero son débiles en validez externa, lo que encuentran no es generalizable a la población. Preguntan a los cuantitativos: Cuan particularizables son sus hallazgos? Son débiles en términos de validez interna -casi nunca sabemos si miden lo que quieren medir- pero son fuertes en validez externa, lo que encuentran es generalizable a la población. Preguntan a los cualitativos: Son generalizables sus hallazgos Podemos afirmar que, como todo método científico, se debe reconocer sus ventajas y desventajas, lo importante es determinar el momento adecuado para aplicarlo en el desarrollo de la investigación científica. 6

17 Pero destacamos que el paradigma cuantitativo se vale de la estadística para garantizar el estudio de muestras representativas y para el análisis de los datos, como también para efectuar generalizaciones a partir de los resultados de estas muestras representativas. También, para realizar investigación vía el paradigma cuantitativo, se ha empleado previamente el paradigma cualitativo; pero lo importante es tener la certeza de su aplicación para solucionar problemas de una investigación científica, ésta debe reunir ciertas características. En otros casos será necesario emplear ambos paradigmas, como por ejemplo cuando se trata de evaluar la calidad de la educación, en particular la educación superior, no es suficiente uno de ellos se deben emplear ambas. La realidad es muy compleja, multifactorial, dinámica, por lo tanto, ambos paradigmas se complementan, no son excluyentes. Entonces la estadística es la herramienta que ayuda a tener la seguridad, certeza y confianza, de que los datos recogidos respondan a la realidad que se pretende investigar, en términos de estadística aplicada. Una vez establecido el objeto de estudio en base a los conocimientos teóricos, se inicia la etapa de diseño metodológico (diseño), donde se define el proceso de recolección de datos, delimitando las unidades bajo estudio y las variables a medirse, que permitan contestar las preguntas formuladas, en el proyecto de investigación científica. Es indudable que la estadística es una poderosa herramienta para planificar y desarrollar el diseño metodológico. Los datos obtenidos, de la realidad investigada, se analizan aplicando los métodos y técnicas estadísticas para contrastar sus posibles divergencias con las consecuencias que se deducen de las hipótesis. Por tanto nos preguntamos: 7

18 Cómo se llevara a cabo el estudio para investigar sobre diferentes problemas y aristas del trabajo educativo, para el logro de sus objetivos y/o verificación de sus hipótesis? Cómo se realizará la investigación, a fin de maximizar la validez y confiabilidad de la información y reducir errores en los resultados? Las respuestas que ustedes proporcionen dejan notar la relación que existe entre estadística e investigación científica..6. CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA Dependiendo de cómo se analizan los datos, la Estadística se clasifica como:.6.. Estadística descriptiva Rama de la estadística que trata sobre la descripción y análisis estadístico de una población, que resume y presenta datos obtenidos de la población o de una muestra, mediante métodos adecuados. Tiene como objetivo caracterizar los datos, de manera gráfica o analítica, para resaltar las propiedades de los elementos bajo estudio. La siguiente pregunta: En promedio el número total de respuestas correctas, de una prueba de compresión lectora, es la misma en todas las secciones de quinto grado de primaria de Instituciones Educativas de Lima Metropolitana?, se resuelve con el apoyo de la estadística descriptiva. 8

19 .6.. Estadistica inferencial Rama de la estadística que estudia el comportamiento y propiedades de las muestras, y la posibilidad y límites de la generalización de los resultados obtenidos a partir de aquellas a las poblaciones que representan. Esta generalización de tipo inductivo, se basa en la probabilidad. También se le llama también estadística matemática, por su complejidad matemática en relación a la estadística descriptiva. Tiene como objetivo generalizar las propiedades de la población bajo estudio, basado en los resultados de una muestra representativa de la población. La siguiente pregunta: El instrumento perso clasifica y discrimina adecuadamente, a partir de variables de personalidad, a los alumnos de Educación Básica Secundaria según requieran o no una escolarización especial?, se resuelve con el apoyo de la estadística inferencial. En cuanto a la probabilidad, Pedro Juez Martel y Francisco Diez Vegas (997) manifiestan que hoy en día la probabilidad y la estadística, íntimamente unidas en sí, desempeñan un papel fundamental en prácticamente todos los campos del saber, tanto en las ciencias naturales como en las ciencias humanas, papel que va cobrando cada vez mayor importancia. La siguiente pregunta: Cuánto es la probabilidad de que un alumno de Educación Básica Secundaria requiera una escolarización especial, a partir de las variables de su personalidad? es un caso típico que se resuelve con el apoyo de la probabilidad y se logra empleando modelos probabilísticos. 9

20 RECUERDE Ningún método estadístico puede corregir los defectos por una inadecuada selección del problema que se investiga, o por una mala recolección de datos. Una investigación que empieza mal, con seguridad termina mal. CON DATOS DE MALA CALIDAD NO SERA POSIBLE DAR RESPUESTA ADECUADA A UN PROBLEMA CIENTIFICO Nosotros recordamos al estudiante que los métodos estadísticos son las herramientas más peligrosas en manos de gente inexperta. Pocas materias tienen una aplicación tan amplia, ninguna requiere tal cuidado en su aplicación. La estadística es una de esas ciencias cuyos adeptos deben ejercer la automoderación de un artista (George Udny Yule y Maurice Kendal). 0

21 CAPÍTULO ESTADÍSTICA INFERENCIAL.. INTRODUCCIÓN También se le llama inferencia estadística, pero previamente recordemos que la estadística (EI) comprende el conjunto de métodos estadísticos que permiten deducir (inferir) cómo se distribuye la población bajo estudio, a partir de la información que proporciona una muestra representativa obtenida de dicha población. Ver sección.6. del presente libro. Para que la estadística inferencial proporcione buenos resultados debe:. Basarse en una técnica estadístico-matemática adecuada al problema y suficientemente validada.. Utilizar una muestra que realmente sea representativa de la población y de un tamaño suficiente. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo.. Se realiza un estudio para comparar tres métodos para enseñar técnicas de comprensión lectora en inglés a escolares de segundo grado de Educación Básica Secundaria, como son:. El método de la enseñanza recíproca.. El método de instrucción directa. 3. La combinación de métodos de instrucción directa y enseñanza recíproca.

22 Las preguntas por resolver son:. Cuál de los métodos mejora la comprensión lectora?. Para el próximo año el método, identificado como el mejor, dará buenos resultados para el alumno Javier Hernández León, quién realizará el segundo grado de Educación Básica Secundaria? La primera pregunta es un caso de incertidumbre porque basándonos en el estudio de tres muestras independientes y en igualdad de condiciones se aplicará uno de los tres métodos a cada muestra de manera independiente; con el apoyo de la estadística inferencial absolvemos esta pregunta, eligiendo a la que mejora significativamente la comprensión lectora para este tipo de alumnos. La segunda pregunta es un caso de toma de decisiones porque Javier Hernández León no ha participado en el estudio, pero se le aplicará el mejor método que resulte de la investigación realizada, ahora bien, con qué confianza diremos que ese método logrará que Javier mejore su comprensión lectora en inglés. Los casos de incertidumbre y toma de decisiones son resueltos por la estadística inferencial, por supuesto apoyada por la probabilidad. Para iniciarse en el estudio y aplicación de la estadística inferencial es necesario conocer los conceptos básicos que a continuación se van a tratar... POBLACIÓN Este concepto vamos a definirlo bajo diferentes enfoques.

23 En investigación científica se le define como la totalidad de elementos sobre los cuales recae la investigación. A cada elemento se le llama unidad estadística, a ésta se le observa o se le somete a una experimentación, estas unidades son medidas pertinentemente. Si representamos mediante una variable aleatoria bajo investigación, al estudiar a ésta variable en la población, como resultado tendremos los valores:,,...,, 3 N Donde N es el total de elementos de la población. Ejemplo.. Sea una variable aleatoria que representa la calificación obtenida en la prueba de conocimientos sobre educación ambiental (escala vigesimal) de los alumnos de la Facultad de Educación, si la población consta de 300 alumnos, entonces:, 3,...,, 300 Es una población en términos de variable aleatoria, que se lee así: La calificación que ha obtenido el alumno en la prueba de conocimientos sobre educación ambiental, la calificación que ha obtenido el alumno en la prueba de conocimientos sobre educación ambiental, la calificación que ha obtenido el alumno 3 en la prueba de conocimientos sobre educación ambiental, y así sucesivamente hasta la calificación que ha obtenido el alumno 300 en la prueba de conocimientos sobre educación ambiental. El propósito de un estudio estadístico es extraer conclusiones acerca de la naturaleza de la población, pero resulta que las poblaciones son grandes, o por razones de ética, recursos financieros, metodológicos u otros no será posible, entonces se debe trabajar con una muestra extraída de la población bajo estudio. 3

24 .3. MUESTRA Sierrra Bravo (99), anota que una muestra en general es toda parte representativa de la población, cuyas características debe reproducir en pequeño lo más exactamente posible. Para que sea representativa se debe seleccionar empleando el muestreo, tópico importante de la estadística, con la finalidad de que los resultados de esta muestra sean válidos para la población de la que se ha obtenido la muestra. Esta generalización se realiza empleando la estadística inferencial..4. MUESTRA ALEATORIA Una muestra aleatoria de tamaño n de la función de distribución de la variable aleatoria es una colección de n variables aleatorias independientes con la misma función de distribución de la variable aleatoria....,,, 3, n, cada una Ejemplo.3. Consideremos nuevamente la población definida en el ejemplo.. La variable de interés es, calificación obtenida en la prueba de conocimientos sobre educación ambiental (escala vigesimal) de los alumnos de la Facultad de Educación. Asumiremos que tiene distribución de probabilidad con media µ x y varianza σ x. No se conoce ni la distribución exacta de ni el valor numérico de µ x o de σ x. Se trata de características de la población que pueden determinarse con precisión si se revisa cada una de las calificaciones de los 300 alumnos. Para tener una idea del valor de muestra aleatoria de tamaño n = 6 de la población. Entonces: µ x se extrae una : La calificación que ha obtenido, en la prueba de conocimientos sobre educación ambiental, el primer alumno seleccionado en la muestra. 4

25 : La calificación que ha obtenido, en la prueba de conocimientos sobre educación ambiental, el segundo alumno seleccionado en la muestra : La calificación que ha obtenido, en la prueba de conocimientos sobre educación ambiental, el sexto alumno seleccionado en la muestra. Puesto que la selección de los alumnos (en este caso, seis) es aleatoria o al azar:, 3, 4, 5,, 6 Constituye variables aleatorias. Se admite que son independientes y cada una con la misma distribución que la variable aleatoria. En un sentido matemático, el término muestra aleatoria se refiere no a seis alumnos seleccionados para este estudio, sino a las seis variables aleatorias,, 3, 4, 5, 6 asociadas con los alumnos. La definición matemática de variable aleatoria es teórica, para extraer conclusiones prácticas acerca de la población en base a la muestra seleccionada deben determinarse los valores numéricos de las variables...,,, 3, n. No estamos tratando con un conjunto de unidades estadísticas seleccionadas, ni con un grupo de variables teóricas, sino con un conjunto de n números reales, es decir x...,, x, x3, x n. Estos números son los valores observados de las variables...,,, 3, n respectivamente, para una determinada muestra aleatoria extraída de la población. Esto conduce a la siguiente definición..5. MUESTRA ALEATORIA APLICADA Una muestra aleatoria de tamaño n es un conjunto de n observaciones x x, x,..., x, 3 n sobre las variables...,,, 3, n, independientes e idénticamente distribuidas. 5

26 Ejemplo.4. Para el caso del ejemplo.3. Una vez identificados los seis alumnos, podemos determinar los valores numéricos de las seis variables aleatorias,, 3, 4, 5, 6. Supongamos que el primer alumno seleccionado ha obtenido 3 en la prueba de educación ambiental. En este caso, la variable aleatoria toma el valor x = 3. Si el segundo alumno seleccionado ha obtenido 0 en la prueba de educación ambiental, en este caso la variable aleatoria toma el valor x = 0. De igual forma, las variables aleatorias 3, 4, 5, 6 tomarán valores numéricos que van a depender de las calificaciones que obtengan los alumnos seleccionados en la tercera, cuarta, quinta y sexta selección. Ahora estamos utilizando el término muestra aleatoria, no para referirnos a los alumnos seleccionados o a las variables aleatorias asociados con ellos, sino a los seis valores numéricos x, x, x3, x4, x5, x6 que toman respectivamente cada una de las seis variables aleatorias. Por tanto hay tres formas de considerar a una muestra aleatoria:. Como un conjunto de unidades seleccionadas que son sometidas al estudio.. Como un conjunto de variables aleatorias teóricas asociadas con esas unidades 3. Como un conjunto de valores numéricos tomados por las variables. Las definiciones no son equivalentes pero están estrechamente relacionadas. 6

27 .6. PARÁMETRO Sierra Bravo (99), indica que parámetro deriva del vocablo griego parámetreo que significa medir una cosa con otra: En estadística se refiere a los valores o medidas que caracterizan a una población como, por ejemplo, la media y la desviación típica de una población ( ) Son cantidades indeterminadas, constantes o fijas respecto a una condición o situación, que caracterizan a un fenómeno en un momento dado que ocurre en una población. Se suele representar a un parámetro mediante letras griegas. Por ejemplo, la media poblacional se representa mediante aleatoria, la varianza poblacional se representa mediante poblacional de la variable aleatoria. µ x y se lee como media poblacional de la variable σ x y se lee como varianza En términos prácticos, un parámetro es un valor que resulta al emplear los valores que se obtienen de una población. Ejemplo.5. Si al obtener las calificaciones de los 300 alumnos que conforman la población, éstas se promedian, entonces µ x = 4.78 es el parámetro correspondiente. Para su cálculo se ha empleado la siguiente expresión, llamada media poblacional: N i µ x i= = N (.) Obviamente que N toma el valor de 300 para este ejemplo. 7

28 Si de estos 300 alumnos, 98 son mujeres, entonces la proporción poblacional de mujeres representada por π x = 0.66 (66%). Para su cálculo se ha empleado la siguiente expresión, llamada proporción poblacional: N i π x i= = N (.) Pero, ahora la variable aleatoria se define como: i = 0 si si alumna alumno En este caso el numerador de la expresión (.) es 98 y N toma el valor de ESTADÍSTICO Se contrapone al parámetro porque es un valor que se obtiene a partir de los valores muestrales. Se pueden obtener media y varianzas muéstrales, por ejemplo. Los estadísticos son variables aleatorias por que están sujetos a la fluctuación de la muestra en relación al valor poblacional, que se asume es constante. Ejemplo.6. Continuando con el ejemplo.4, al seleccionar una muestra aleatoria de tamaño seis, una vez identificados los seis alumnos, se obtienen las siguientes calificaciones x = 3, x = 0, x 3 = 3, x 4 = 4 x 5 =, x 6 = 0. La media obtenida de los seis alumnos es de,83, llamada media muestral y se representa mediante x, cuya expresión es: 8

29 n xi i= x = (.3) n El numerador de la expresión (.3) es la suma de los seis valores, que da 7, que dividido por 6, resulta x =,83, es decir en promedio los alumnos han obtenido,83 de calificación en la prueba de educación ambiental. La varianza de esta muestra aleatoria es,47, y se representa mediante expresión es: S, cuya S n i= = ( x x) i n (.4) Para su cálculo, disponemos de la tabla., en la que mostramos paso a paso el uso de la expresión (.4), sabiendo que x =,83: Tabla. Cálculos para obtener el valor de la varianza (Ejemplo.6) Unidad x i ( x) x i ( ) x i x 3,7, ,83 3, ,7, ,7 4, ,83 0, ,83 3,3489 Total 7 0,0* 4,8334 9

30 Teóricamente ( x x) = 0 n i= i El numerador de la expresión (.4) es la suma del cuadrado de las seis desviaciones de cada valor que toma la variable, respecto a su media aritmética, que es igual a 4,8334, que dividido por 6 es justamente,47. La raíz cuadrada, positiva, de la varianza se llama desviación estándar o desviación típica, esto es: S + = S (.5) Entonces, usando la expresión anterior (.5), la desviación estándar es S =, DISTRIBUCIÓN MUESTRAL Sierrra Bravo (99), anota que la distribución muestral está formada por estadísticos o valores determinados obtenidos de muestras: medias, varianzas, etc. acompañados de sus respectivas frecuencias relativas o probabilidades, o de la proporción de veces que se repiten en el conjunto de todas las muestras posibles del mismo tamaño obtenidas de la población. De manera más formal, Tsokos y Milton (998), anotan que la distribución de probabilidad del estadístico se llama distribución muestral. Ejemplo.7. Vamos a obtener la distribución muestral, de las calificaciones obtenidas en la prueba que mide la educación ambiental, de una población hipotética compuesta por 3 estudiantes y que toma calificaciones iguales a: = 3, =, 3 = 07. Fijamos para una muestra 30

31 de tamaño. En la tabla. se muestran los posibles resultados de la muestra de tamaño, así como su respectiva media muestral: Tabla. Resultados de posibles muestras de tamaño Muestras posibles Medias muestrales (media para cada muestra) 3, 3,7 0,3,7 9 7,3 0 7, 9 Ahora se muestra la distribución de frecuencias para los valores de la media muestral: Tabla.3 Distribución muestral de la media muestral Valores de las Frecuencia Frecuencia relativa medias muestrales 9 /6 = /6 = 0.33 /6 = 0.33 La distribución muestral de la media muestral es la distribución de frecuencias o de probabilidad. En este caso, de las frecuencias relativas de todas las medias muestrales posibles, obtenidas de muestras de tamaño, de la población de tamaño 3. 3

32 Por cultura estadística estudiaremos algunos estadísticos y su distribución de probabilidad (distribución muestral)..8.. Media muestral La expresión (.3), nos indica cómo se obtiene una media muestral. Veamos sus propiedades: Propiedades de la media muestral Si es una variable aleatoria con esperanza o media poblacional µ y varianza poblacional σ, entonces la media muestral x tiene las siguientes propiedades:. E ( x) = µ. V ( x) = σ / n 3. La desviación estándar de x, que se representa mediante σ, conocida también como x error estándar de la media muestral es igual a σ / n 4. Sea,, 3,..., n una muestra aleatoria de tamaño n, de una distribución con media poblacional µ y varianza poblacional σ. Entonces, para n grande, la variable aleatoria: x µ σ / n (.6) Se distribuye aproximadamente como una normal estandarizada N ( 0,). Se considera una buena aproximación cuando n 30 (teorema del límite central). De este modo, 3

33 incluso, aún cuando la variable aleatoria no está normalmente distribuida, podemos aplicarla en la inferencia estadística..8.. Varianza muestral A partir de cada muestra aleatoria de tamaño n de : calcular la varianza muestral definida como: x...,, x, xn, también se puede s = n n ( x i x) i= (.7) Cabe precisar, que algunos autores la llaman cuasivarianza. Propiedades de la varianza muestral Si es una variable aleatoria con esperanza y varianza µ y entonces para la varianza muestral de tamaño n se cumple que: σ respectivamente,. E ( s ) = σ. Si tiene distribución de probabilidad normal, ( n ) s σ distribución chi-cuadrado con n grados de libertad. es una variable aleatoria con.8.3. Proporción muestral Consideremos una población en la que existe una proporción π de elementos que tienen el atributo A (o pertenecen a la categoría A ). 33

34 Si se toma una muestra aleatoria de n elementos de esa población y se calcula el número n A de elementos con el atributo A, entonces: na p = (.8) n Es la proporción muestral de los elementos que tienen el atributo A en la muestra. Esta proporción muestral corresponde a una variable aleatoria. Propiedades de la proporción muestral. E ( p) = π. V ( p) = π ( π )/ n La desviación estándar, o error estándar de la proporción muestral, se denota como σ y es igual a π ( π ) / n p 3. Para n suficientemente grande, la variable aleatoria: Z p π = (.8) π ( π ) / n Se distribuye aproximadamente como una N ( 0,). Se considera una buena aproximación cuando n 30 (teorema del límite central). CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y ERROR ESTÁNDAR? La diferencia es que la DESVIACIÓN ESTÁNDAR describe la variabilidad de los valores de una variable, en cambio el ERROR ESTÁNDAR describe la precisión del estadístico. 34

35 Ejemplo.8. En una muestra aleatoria de 5 docentes de educación secundaria, de la Institución Educativa Martín Adán, se aplicó un cuestionario para recoger su opinión sobre el investigador educativo. Se presenta la respuesta de 3 preguntas, de un total de 7: Tabla.4 Muestra aleatoria de 5 docentes de la Institución Educativa Martín Adán (Lima) Docente Edad() Investigador() Remuneración(3) () Edad en años cumplidos del docente. () La profesión de investigador es profesión atractiva para:. Docentes jóvenes.. Docentes maduros. (3) El investigador educativo debe ser bien remunerado:. Sí.. No. 35

36 Con esta información vamos a mostrar la diferencia entre desviación estándar y error estándar. Media muestral La edad en años cumplidos tiene distribución con media poblacional, µ = 38,5 años y varianza poblacional, σ = 30 años. Usando la expresión.3 se obtiene x = 40,73 años, y al usar la expresión.7 se obtiene s = 33, años. Por tanto la desviación estándar muestral de la edad es: s = s = 33, = 5,76. En cambio el error estándar del estadístico media muestral, empleando la propiedad 3, es: σ 5,48 5,48 σ = = = x =,4 años. n 5 3,87 Proporción muestral Para la segunda variable, interesa que el docente encuestado indique que la profesión de investigador es una profesión atractiva para docentes jóvenes ( A ). La muestra aleatoria es igual a 5 docentes ( n = 5). En esta población se asume que la proporción poblacional de docentes que consideran que la profesión de investigador es una profesión atractiva para docentes jóvenes es igual a 0,7 ( π = 0,7). 36

37 De la tabla contamos que, n A=9, es decir 9 docentes afirman que la profesión de investigador es una profesión atractiva para docentes jóvenes, entonces empleando la expresión.8, se obtiene: 9 p = = 0,6 (60%) 5 Esto es, el 60% de docentes encuestados afirman que la profesión de investigador es una profesión atractiva para docentes jóvenes. El error estándar del estadístico p es: π ( π ) 0,7( 0,7) 0,7(0,9) 0,059 σ p = = = = = 0,037 = 0,70 n ESTIMACIÓN La inferencia estadística se clasifica como: estimación y prueba de hipótesis de parámetros estadísticos. En ambos casos hay una población bajo investigación y generalmente al menos un parámetro de esta población, al que vamos a representar mediante la letra griega θ. Cuando no se tiene una noción preconcebida sobre el valor de θ, se desea responder a la pregunta: Cuál es el valor de θ? En este caso el intentar conocer el valor de θ es en términos estadísticos, estimar el valor de θ es decir tratar de conocer el valor del parámetro en términos prácticos. Sierra Bravo (99), anota que estimación proviene del latín estimatio y significa estimación, precio y valor que se da a una cosa. En estadística es la operación que mediante la inferencia un parámetro, utilizando datos incompletos procedentes de una 37

38 muestra, se trata de determinar el valor del parámetro. Pero los valores de la muestra están sujetos al error muestral esto es a las fluctuaciones de la muestra. La estimación de un parámetro puede ser mediante una:. Estimación puntual.. Estimación mediante intervalos de confianza. Para cualquiera de estas dos situaciones empleamos el estadístico que, como ya se ha mencionado, es una variable aleatoria. La aproximación se hace utilizando estadísticos apropiados. A un estadístico empleado para aproximar o estimar un parámetro de la población θ se le llama estimador puntual de θ y se denota mediante θˆ. De este modo por ejemplo, al estimador de la media µ, se le denotara por µˆ. Una vez que la muestra ha sido tomada y se han hecho algunas observaciones, se puede obtener el valor numérico del estadístico θˆ. A tal número se le denomina una estimación puntual de θ. Nótese que hay una diferencia entre los términos estimador y estimación. ESTIMADOR: Es el estadístico utilizado para generar una estimación y es una variable aleatoria. ESTIMACIÓN: Es el valor que toma el estimador. Ejemplo.9. Consideremos las variables edad en años cumplidos ( ) y el docente considera que el investigador educativo debe ser bien remunerado ( Y ), para distinguir entre estimador y estimación: 38

39 Variable Parámetro Estimador Estimación x i= x µ n σ s = n n i = µˆ = x = 40,73 años n ( x i x) i= ˆ σ = s =33, años p = Y π n n A ˆ π = p = 0,7333 (73,33%).0. PRUEBA DE HIPÓTESIS Proceso mediante el cual, a partir de los valores de una muestra aleatoria, se decide si se rechaza o no el supuesto que plantea el investigador para el parámetro o parámetros de la población o poblaciones bajo estudio, pero con cierta probabilidad de error (riesgo) por tomar una decisión. Ejemplo.0. En cierta investigación, se requiere estudiar el nivel de comprensión lectora en niños de 8 años de edad, que asisten a Instituciones Educativas estatales y privadas, para tal fin se elige al azar una muestra de alumnos de cada tipo de Institución Educativa (IE). Se pretenden lograr los siguientes objetivos:. Determinar el nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensión lectora para tipo de IE. 39

40 . Verificar si el nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensión lectora en niños de IE estatal es diferente de los niños de IE privados. Explicar cuál rama de la inferencia estadística empleará para lograr cada objetivo. Solución Previamente se requiere identificar: Población. Se trata de dos poblaciones bajo estudio:. Niños de 8 años de edad, que asisten a Instituciones Educativas estatales.. Niños de 8 años de edad, que asisten a Instituciones Educativas privadas. Muestra. Niños de 8 años de edad seleccionados aleatoriamente e independiente de cada población. Variable aleatoria. Está representada mediante y se define como: Puntaje de comprensión lectora obtenida mediante una prueba especial. Parámetros: En relación a la variable aleatoria bajo estudio y considerando que se investiga para dos tipos de IE, los parámetros son: µ = Nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensión lectora para niños de 8 años de edad que asisten a IE estatales. µ = Nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensión lectora para niños de 8 años de edad que asisten a IE privados. 40

41 σ = Desviación estándar poblacional del puntaje de la prueba de comprensión lectora para niños que asisten a IE estatales. σ = Desviación estándar poblacional del puntaje de la prueba de comprensión lectora para niños que asisten a IE privadas. Para lograr el objetivo. Se debe emplear la estimación debido a que se requiere tener un valor aproximado de µ y µ empleando muestras aleatorias que se han obtenido de manera independiente de cada tipo de institución educativa. Para el logro del objetivo. Se debe verificar que los promedios poblacionales µ y µ son diferentes a partir de muestras aleatorias, aritméticamente significa: µ diferente de µ ( µ µ ) o equivalentemente µ - µ = 0. En este caso se parte del supuesto que no existe diferencias entre el nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensión lectora para niños que asisten a IE estatales y privados. Por tanto se empleara la prueba de hipótesis estadística, mediante el cual se somete a prueba µ - µ = 0... ESTADÍSTICA PARAMÉTRICA Según Sierra Bravo (99), es parte de la estadística que exige determinados requisitos para emplear en la inferencia estadística generalmente requiere para su uso el supuesto de normalidad es decir que las muestras aleatorias se extraen de poblaciones que están normalmente distribuidas, o aproximadamente normal. Ejemplo.. Se desea verificar si el tiempo promedio requerido para resolver un problema sencillo en niños de 0 años de edad con secuelas neurológicas derivadas de hiperbilirubenia al nacer, 4

42 se incrementa después de haber recibido una capacitación especial para resolver problemas de ese tipo. En este caso se debe elegir una muestra aleatoria de la población conformada por niños de esta población, es decir, niños de 0 años de edad con secuelas neurológicas derivadas de hiperbilirubenia al nacer. La variable aleatoria bajo estudio, es el tiempo, en minutos, para resolver un problema sencillo, cuyo parámetro se define como: µ = Tiempo promedio poblacional, en minutos, requerido para resolver un problema sencillo. Para estudiar a este parámetro se requiere evaluar a la muestra aleatoria de esta población antes de la capacitación especial y después de la capacitación especial, es decir los parámetros para este esquema, sujetos a estudio estadístico son: µ = Tiempo promedio poblacional, en minutos, requerido para resolver un problema sencillo antes de la capacitación. µ = Tiempo promedio poblacional, en minutos, requerido para resolver un problema sencillo antes de la capacitación. En este caso la muestra aleatoria es relacionada, porque a cada unidad de la muestra se le evalúa bajo dos condiciones, antes y después de la capacitación especial. Para verificar el supuesto propuesto. La capacitación especial incrementa el tiempo promedio requerido para resolver problemas sencillos en niños de esta población a partir de muestras relacionadas, se aplica una prueba de hipótesis para someter a prueba: µ = 4

43 tiempo, en minutos, promedio poblacional requerido para resolver un problema sencillo µ < µ o equivalentemente µ - µ < 0. La estadística inferencial nos da la herramienta llamada estadística para someter a prueba la diferencia de medias poblacionales empleando muestras relacionadas, cuya aplicación requiere que las diferencias de cada par de observaciones (tiempo empleado para resolver un problema sencillo antes y después de la capacitación especial) debe tener distribución normal de probabilidad. En este caso se está empleando la estadística paramétrica debido a que debe cumplir con el supuesto de normalidad.. ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA Cuando no se da el supuesto de la normalidad se tienen dos alternativas, una de ellas es aproximar los valores de los datos a una distribución normal para la cual hay una serie de métodos, y la segunda alternativa es emplear los métodos de la estadística no paramétrica, es decir, métodos que no suponen nada acerca de la distribución población muestreada por eso también a los métodos de la estadística no paramétrica se le llama de distribución libre. Y que son excelentes cuando los tamaños muestrales son pequeños ( n 0 ), asimismo estos métodos se basan en el análisis de los rangos de los datos que en las propias observaciones. Ejemplo.. Considerando el caso anterior si las diferencias muestrales no cumplen con el supuesto de normalidad, cuya verificación se realiza con herramientas estadísticas pertinentes, entonces se recurrirá a la estadística no paramétrica, y que se tratará en el capítulo 6. 43