Departamento de Economía Aplicada I FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS

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1 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS ESTADÍSTICA I Relación de Ejercicios nº 4 PROBABILIDAD Curso

2 1) Describir el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios, y calcular la probabilidad de los sucesos indicados: a) El lanzamiento de un dado. Suceso A: El resultado sea 5 ó 6. b) La extracción de una carta de la baraja española. Suceso A: El resultado sea una carta de espadas. c) La elección de un número en el intervalo [0,1]. Suceso: El número sea mayor que 1. d) La elección de un punto del cuadrado de vértices opuestos (-1,-1) y (1,1). Suceso A: La suma de las coordenadas del punto sea menor que 1. ) Un experimento aleatorio consiste en el lanzamiento independiente de tres monedas, cada una de ellas con probabilidad 0,5 de obtener cara. Describir el espacio muestral, y calcular la probabilidad de obtener una cara y dos cruces, y la probabilidad de obtener al menos una cara. ) Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número escrito en ellas. Calcular la probabilidad de obtener con este dado un número par. 4) Un aparato fabricado en serie puede ser defectuoso a causa de dos defectos A y B. El porcentaje de aparatos con el defecto A es del 10%, y el porcentaje de los que presentan el defecto B es del 8%. Un cliente compra un aparato. Calcular la probabilidad de que el aparato: a) No presente ningún defecto. b) Presente solamente el defecto A. c) Presente solamente el defecto B. 5) La cadena de montaje de una fábrica de repuestos consta de tres máquinas: A, B y C. El problema es que la cadena falla si falla alguna de estas máquinas. Si la probabilidad de fallo de cada una de las máquinas es independiente de la probabilidad de fallo de las demás, e igual a 0,05 para cada una de las tres máquinas, calcular la probabilidad de que la cadena de montaje falle. 6) Entre los 10 alumnos de un curso se sabe que 55 estudian inglés, francés y 9 alemán. Además 1 estudian francés e inglés, 18 francés y alemán y 15 alemán e inglés. Los que estudian simultáneamente los tres idiomas referidos son la tercera parte de los que estudian inglés y francés. Se elige un alumno al azar de dicho curso, y se desean conocer las siguientes probabilidades: a) No estudia ningún idioma. b) Sólo estudia inglés y alemán. c) Sólo estudia alemán. d) Sólo estudia inglés y francés, o alemán. 7) Se extraen 5 cartas de una baraja española, que tiene 40 cartas. Sea A el suceso "Al menos tres cartas son copas" y sea B el suceso "Todas son copas". Calcular PB ( / A. ) 1

3 8) Una empresa hace una regulación de empleo. Se estima que la probabilidad de que se despida a un empleado es 0,5, pero si el empleado tiene más de 55 años esta probabilidad es de 0,4. Sabemos que el 5% de la plantilla es mayor de esta edad. Calcular la probabilidad de que una persona de 5 años no sea despedida. 9) Estamos interesados en saber como funcionan los reguladores de voltaje instalados en una fábrica por tres abastecedores B 1, B, B. El abastecedor B 1 suministra el 60% de los reguladores, el abastecedor B el 0% y B el 10% restante. Supongamos además que el 95% de los reguladores de B 1, el 80% de los de B y el 65% de los de B trabajan de acuerdo con las especificaciones exigidas. a) Calcular la probabilidad de que un regulador cualquiera recibido en la fábrica, trabaje de acuerdo con las especificaciones. b) Se ha tomado al azar un regulador y resulta que trabaja de acuerdo con las especificaciones. Cuál es la probabilidad de que haya sido suministrado por B? 10) En un sistema de alarma la probabilidad de que se produzca un incidente es 0,1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es de 0,95. La probabilidad de que funcione la alarma y no haya incidente es 0,0. Hallar: a) La probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya incidente. b) La probabilidad de que haya incidente y no funcione la alarma. c) La probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya incidente. 11) Las fichas de los clientes de una empresa están ordenadas alfabéticamente en cuatro archivos. En el primero (archivo A) hay 60 fichas de clientes al por menor y 1 de mayoristas; en el segundo (archivo B) hay 71 y 4 respectivamente; en el tercero (archivo C) 54 y 1; y en el cuarto (archivo D) 6 y 14. El auditor elige al azar un archivo, y posteriormente, también al azar, dos fichas. Ambas resultaron ser de clientes al por menor. Calcular la probabilidad de que el archivo escogido sea el último (archivo D). 1) Sea una región con cuatro provincias, cuyos datos de población activa y porcentajes de paro son los siguientes: Provincia Población Porcentaje activa de paro A B C D Elegido un trabajador al azar, resultó que estaba en situación de paro. Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la provincia con menor población activa? 1) Una empresa tiene una cartera de valores compuesta por 14 títulos de riesgo normal y 1 título de alto riesgo. Otra empresa tiene una cartera compuesta por 15 títulos de riesgo normal. Entre estas

4 dos empresas realizan dos operaciones de compra, de la manera siguiente: En una primera operación, la empresa I vendió a la empresa II 5 de sus títulos al azar. En una segunda operación, tras dos meses de llevarse a cabo la primera, la empresa II vendió a la empresa I, también al azar, 5 títulos. a) Cuál es la probabilidad de que el título de alto riesgo pase a la empresa II y vuelva a la empresa I? b) Si sabemos que en el transcurso de estas dos operaciones, el título de alto riesgo cambió de propietario, cuál es la probabilidad de que al final dicho título pertenezca a la empresa I? c) Si después de realizar estas operaciones la empresa I tiene en su cartera el título de alto riesgo, cuál es la probabilidad de que haya estado antes en la cartera de la empresa II? 14) La empresa TORNIMAT, S.A. se dedica a la fabricación y venta de tornillos. Una vez fabricados los tornillos, éstos se agrupan en lotes de 5, que deben superar un control de calidad para ser declarados aptos para su posterior venta. Dicho control de calidad consiste en extraer al azar tornillos del lote y rechazarlo si alguno es defectuoso. Estudios realizados por la empresa nos permiten afirmar que sólo el 1,5% de los tornillos fabricados son defectuosos. Se desea conocer: a) La probabilidad de rechazar un lote que tenga tornillos defectuosos. b) Si tenemos 10 lotes como el anterior, calcular la probabilidad de rechazar alguno de ellos. c) Si hemos rechazado un lote que tenga tornillos defectuosos, cuál es la probabilidad de que haya ocurrido por haber extraído en el test exactamente 1 tornillo defectuoso? 15) (Segundo Parcial ) Una universidad privada imparte un master en Gestión y Administración para licenciados en Economía y en Administración y Dirección de Empresas, ofreciendo como principal atractivo unas grandes posibilidades de conseguir un puesto de trabajo. En su publicidad asegura que una vez finalizado el master, el 95% de sus alumnos consigue un contrato en prácticas por seis meses, y que de éstos, el 80% consigue un contrato indefinido antes de un año. También asegura que el 96% de sus alumnos consigue un contrato en prácticas por seis meses o un contrato indefinido antes de un año. Calcular: a) Probabilidad de que un alumno consiga un contrato indefinido antes de un año. b) Probabilidad de que un alumno que no consiguió un contrato indefinido antes de un año no hubiera conseguido un contrato en prácticas por seis meses. 16) (Convocatoria de Junio ) Una determinada empresa está interesada en controlar las operaciones contables en las que interviene la cuenta de tesorería. Su departamento de control interno verifica la correcta contabilidad de los movimientos de dicha cuenta. Por experiencia de otros años se sabe que la probabilidad de no detectar un error significativo por el departamento de control interno es de 0,1. La empresa decide contratar los servicios de una auditora; según esta firma de auditoria, si un error significativo no se detecta por el departamento de control interno de la empresa, la probabilidad de que sea detectado por dicha auditora es de un 95%. Y además, la probabilidad de que lo detecte el departamento de control interno y no los auditores es del 1%. a) Cuál es la probabilidad de que un error significativo no sea detectado por la auditora?

5 b) Cuál es la probabilidad de que si no se detecta un error significativo por la auditora, sea detectado por el departamento de control interno? c) Cuál es la probabilidad de que un error significativo no sea detectado ni por la auditora ni por el departamento de control interno? 17) (Convocatoria de Septiembre ) Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran interés para el inversionista. Basándose en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el producto nacional bruto. Si el PNB aumenta, la probabilidad de que el valor de las acciones aumente es 0,8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es 0,. Si el PNB disminuye, dicha probabilidad es sólo 0,1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0,4, 0, y 0, a los sucesos, el PNB aumenta, el PNB es el mismo y el PNB disminuye, respectivamente, se pide: a) Determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses. b) Si las acciones hubiesen subido, cuál es la probabilidad de que hubiese disminuido el PNB? 18) (Convocatoria de Diciembre ) Se desea testar la fiabilidad de un sistema de control de calidad. Para ello se han tomado algunos datos: De 1000 piezas Defectuosas, el sistema detecta como Defectuosas a 900. De 1000 piezas No Defectuosas, el sistema detecta 10 como Defectuosas. En un lote de 1000 piezas hay 950 No Defectuosas y 50 Defectuosas. Calcular la probabilidad de que: a) Una pieza sea detectada como Defectuosa. b) Una pieza que ha sido detectada como Defectuosa lo sea realmente. 19) (Segundo Parcial ) Supongamos que el 0,1% de la población padece una cierta enfermedad. En un test médico, el 98% de los pacientes que la padecen y el 1% de los que no la padecen dan resultado positivo. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que una persona cualquiera de positivo en el test médico? b) Si se examina una persona elegida al azar y da resultado positivo en el test médico, cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad? c) Cuál es la probabilidad de una persona elegida al azar padezca la enfermedad y de negativo en el test médico? 0) (Convocatoria de Junio ) Ante la licitación para la construcción de un nuevo hospital, una constructora A estudia la posibilidad de presentar su oferta. Su principal competidora, la constructora B, se ha presentado a un 70% de las licitaciones en el pasado. Si B no presenta oferta, la probabilidad de que A consiga la obra es 0,5. En cambio, si B presenta oferta, la probabilidad de que A lo consiga es 0,5. Se pide: 4

6 a) Cuál es la probabilidad de que A consiga la obra? b) Si A ha conseguido la obra, cuál es la probabilidad de que B no haya presentado oferta? 1) (Convocatoria de Septiembre ) El Instituto Nacional de Estadística (INE) tiene como objetivo estimar todos los trimestres, por medio de la Encuesta de Población Activa (EPA), la probabilidad de que un individuo sea económicamente activo. Ahora bien, ante el posible error que pueda tener dicha estimación, el INE realiza, a continuación una Encuesta Repetida (ER), con encuestadores mejor preparados, a una parte de los individuos entrevistados en la EPA. Para un cierto periodo, se ha estimado que cuando un individuo es económicamente activo en la EPA, entonces, la probabilidad de que sea económicamente activo en la ER es de 0,95, mientras que si el individuo es no activo en la EPA, entonces, la probabilidad de ser económicamente activo en la ER es 0,10. También, para el mismo periodo, se ha estimado que la probabilidad de que un individuo sea económicamente activo en la EPA es 0,7. Se pide: a) Probabilidad de que un individuo sea económicamente activo en la ER. b) Sabiendo que un individuo es no activo en la ER, cuál es la probabilidad de que dicho individuo sea activo en la EPA? ) (Convocatoria de Diciembre ) Una empresa de fabricación de un determinado producto establece un control de calidad de manera que una unidad de producto es rechazada si no cumple con las especificaciones técnicas establecidas o presenta defectos estéticos externos. Se sabe que el 10% de las unidades producidas no cumplen las especificaciones técnicas, y de éstas, el 50% también presentan defectos estéticos en el aspecto exterior. Igualmente, se sabe que de las unidades que cumplen las especificaciones técnicas, el 1% presenta defectos estéticos. Calcular la probabilidad de que: a) Una unidad presente defectos estéticos externos. b) Una unidad presente defectos estéticos externos y no cumpla con las especificaciones técnicas. c) Una unidad que presente defectos estéticos externos, tampoco cumpla con las especificaciones técnicas. d) Una unidad producida sea rechazada. ) (Segundo Parcial ) Tras un estudio sociológico en un determinado país se clasifica a sus habitantes según su clase social (Alta o Baja) y según el partido al que votan, llegando a la conclusión de que el partido conservador es votado por un 40% de los habitantes. Además, se observó que el 85% de las personas de clase Alta votan al partido conservador, pero este porcentaje baja al 0% en los habitantes de clase Baja. a) Qué porcentaje de la población es de clase Alta? b) Si un individuo no vota al partido conservador, cuál es la probabilidad de que sea de clase Baja? c) En una reunión de 10 amigos hay 4 que votan al partido conservador. Si elegimos al azar 5 de ellos, Cuál es la probabilidad de que exactamente dos voten al partido conservador? 4) (Convocatoria de Junio ) De los empleados de una empresa se conoce que el 5

7 porcentaje de menores de 45 años es el 60%, de los que el 1% no son españoles; mientras que el porcentaje de extranjeros entre los mayores de 45 años es el %. Además, el porcentaje de titulados es el 50% de los empleados, y los trabajadores titulados y que son españoles lo conforman el 49% de los empleados. Determinar: a) La probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea extranjero. b) La probabilidad de que un empleado de nacionalidad española sea no titulado. c) La probabilidad de que un empleado extranjero sea titulado. 5) (Convocatoria de Septiembre ) En una entidad bancaria, el 45% de sus clientes tienen menos de 0 años y el 0% tiene más de 50 años. Además, el porcentaje de clientes que ha tenido algún incidente es del 5% entre los de menos de 0 años y del 15% para los de más de 50 años. Por otro lado, se sabe que el 0% de todos los clientes han tenido algún incidente. a) Cuál es la probabilidad de que un cliente con edad entre 0 y 50 años haya tenido algún incidente? b) Con los datos de esta entidad bancaria, resultan ser independientes el tener algún incidente y el tener menos de 0 años? Es independiente "tener menos de 0 años" de "tener más de 50 años"? c) Cuál es la probabilidad de que un cliente que no ha sufrido ningún incidente tenga más de 50 años? 6) (Convocatoria de Diciembre ) En una gran empresa, el 80% de los empleados son hombres. Entre los hombres, el 10% cuentan con estudios universitarios, el 0% tienen estudios de bachillerato y el resto estudios primarios. Entre las mujeres, el 15% tiene formación universitaria, el 60% estudios primarios y el resto estudios de bachillerato. a) Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea un hombre con estudios universitarios? b) Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar tenga estudios primarios? c) Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar que tenga formación universitaria sea mujer? d) Cuál es la probabilidad de que un empleado que no tenga estudios de bachillerato sea hombre? Son independientes los sucesos tener estudios primarios y ser mujer? 7) (Segundo Parcial ) Una empresa de fabricación de un determinado producto establece un control de calidad de manera que una unidad del producto es rechazada si no cumple con las especificaciones técnicas establecidas. La empresa tiene dos fábricas F 1 y F, en la que fabrica su producto. Se sabe que el 10% de las unidades producidas en la fábrica F 1 no cumplen las especificaciones técnicas, y que en la fábrica F este porcentaje es del 16 %. La producción de la fábrica F 1 es de 750 unidades al mes, en tanto que la producción mensual total es de 1000 unidades. Calcular la probabilidad de que: a) Una unidad producida no cumpla las especificaciones técnicas. b) Una unidad que es rechazada haya sido producida en la fábrica F. 6

8 8) (Convocatoria de Junio ) En una determinada asignatura, el 60% de los matriculados son mujeres. Entre las mujeres, el 40% son alumnos repetidores de la asignatura, mientras que, entre los hombres, el 50% son alumnos matriculados por primera vez en la asignatura. También se sabe que el 70% de los alumnos repetidores de la asignatura aprueban el examen, mientras que el 65% de los alumnos matriculados por primera vez suspenden el examen. Calcular: a) Probabilidad de que un alumno elegido al azar sea repetidor de la asignatura. b) Probabilidad de que un alumno elegido al azar apruebe el examen. 9) (Convocatoria de Septiembre ) La Federación de Atletismo de un determinado país pretende analizar las probabilidades de obtener medallas ante su participación en un campeonato. A partir de las recientes marcas obtenidas por sus atletas (y los de otros países), estima que la probabilidad de que un atleta supere la fase previa de calificación es en global 0,77, si bien esta probabilidad se eleva hasta 0,8 para los hombres, mientras que en el caso de las atletas femeninas dicha probabilidad es de 0,7. Además, una vez superada la fase previa de calificación, la probabilidad de obtener medalla es de 0, para los hombres, mientras que para las mujeres esta probabilidad se eleva hasta 0,4. a) Calcular la proporción de atletas masculinos y femeninos que componen el equipo. b) Elegido un atleta al azar, y sabiendo que no ha superado la fase previa de calificación, calcular la probabilidad de que sea mujer. c) Cuál es la probabilidad de que un atleta del equipo obtenga medalla? 0) (Convocatoria de Diciembre ) Una empresa de trabajo temporal quiere seleccionar a varios recién licenciados para diversos puestos de trabajo con un perfil que demanda un determinado nivel de inglés y de ofimática. Para ello, divide cada característica en dos categorías, a saber, nivel de ofimática: alto y bajo, y nivel de inglés: alto y bajo. De los currículum que dispone, obtiene que el porcentaje de licenciados que tienen niveles de ofimática y de inglés altos es del 10%, mientras que el porcentaje que tiene ambos niveles bajos es del 40%. Además, obtiene que entre aquellos que tienen nivel de ingles bajo, el 70% tiene también nivel de ofimática bajo. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que un licenciado tenga un nivel de inglés alto? b) Cuál es la probabilidad de que un licenciado tenga un alto nivel de ofimática y un bajo nivel de inglés? c) Cuál es la probabilidad de que tenga nivel de ofimática alto? 1) (Segundo Parcial ) En una gran empresa el 5% de sus empleados son directivos, y, de éstos, el 90% habla al menos dos idiomas, mientras que entre los empleados que no ostentan cargo de dirección dicho porcentaje se reduce al 10%. Por otra parte, el 60% de los empleados tiene conocimientos de informática, mientras que si el empleado habla al menos dos idiomas dicho porcentaje asciende al 95%. Si se elige un empleado al azar, calcular la probabilidad de que: a) Hable al menos dos idiomas. b) No tenga conocimientos de informática y no hable al menos dos idiomas. 7

9 ) (Convocatoria de Junio ) Un fabricante de reproductores de MP cataloga las reclamaciones de los compradores de su producto en dos tipos: aquellos que consideran el producto defectuoso y aquellos que consideran el producto insatisfactorio. Estas últimas son las que ocurren cuando el comprador considera que el producto no responde a sus expectativas. La evidencia empírica sugiere que el 1% de los reproductores son considerados defectuosos por los compradores, mientras que el 5% de los reproductores son considerados insatisfactorios. El 99% de los compradores que consideran que el reproductor es defectuoso presentan reclamación, mientras que el 60% de los comparadores que consideran el reproductor insatisfactorio no presentan reclamación. Por supuesto, si el comprador no considera que el reproductor sea defectuoso ni insatisfactorio no presenta reclamación. a) Calcular la probabilidad de que un comprador presente una reclamación. b) Si un comprador presentó una reclamación, cuál es la probabilidad de que sea por considerar el producto insatisfactorio? ) (Convocatoria de Septiembre ) En un estudio realizado en cierta Universidad se ha determinado que un 0% de sus estudiantes no utilizan los transportes públicos para acudir a sus clases y que, de los estudiantes que utilizan los transportes públicos, el 65% hace uso del comedor universitario. También se ha determinado que el 60% de los estudiantes hace uso del comedor universitario, a) Calcular la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa Universidad resulte que no sea usuario de los transportes públicos ni del comedor universitario. b) Si un alumno no utiliza los transportes públicos para acudir a clase, cuál es la probabilidad de que sea usuario del comedor universitario? 8

10 1) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) a) Ω= { 1,,, 4,5, 6} b) Ω= {( As, O),(, O),(, O), (7, O),( Sota, O),( Caballo, O),( Rey,O), ( As, C),(, C),(, C), (7, C),( Sota, C),( Caballo, C),( Rey,C), ( As, E),(, E),(, E), (7, E),( Sota, E),( Caballo, E),( Rey,E), ( As, B),(, B),(, B), (7, B),( Sota, B),( Caballo, B),( Rey, B)} c) Ω= ω /0 ω 1 = [0,1] d) { } {( xy, ) / 1 x 1, 1 y 1} Ω= < < < < Ω= { ccc, ccx, cxc, cxx, xcc, xcx, xxc, xxx} P( obtener una cara y dos cruces ) = 8 7 P( obtener al menos una cara ) = a) 0,88 b) 0,09 c) 0,07 a) 0,146 a) 5 1 a) 0,0049 a) 0,8 b) 8 10 c) 10 9) a) 0,875 b) 0,074 10) a) 0,4 b) 0,005 c) 0, ) a) 0,89 1) a) 0,080 1) a) ) a) 7 10 b) 1 4 c) 1 9 b) 0,9999 c) ) a) 0,77 b) 0,179 16) a) 0,015 b) 0,6667 c) 0,005 d) PA= ( ) 1 PA= ( ) 4 PA= ( ) PA= ( ) 9

11 17) a) 0,41 b) 0,07 18) a) 0,0545 b) 0,857 19) a) 0,01097 b) 0,089 c) 0,0000 0) a) 0,5 b) 0,4615 1) a) 0,695 b) 0,1147 ) a) 0,0599 b) 0,05 c) 0,847 d) 0,1099 ) a) 0,077 b) 0,91 c) 0,476 4) a) 0,014 b) 0,500 c) 0,714 5) a) 0,164 b) No; No c) 0,15 6) a) 0,08 b) 0,6 c) 0,77 d) 0,7887; Si 7) a) 0,115 b) 0,478 8) a) 0,44 b) 0,504 9) a) 0,7 y 0, b) 0,91 c) 0,541 0) a) 0,486 b) 0,1714 c) 0,714 1) a) 0,14 b) 0,90 ) a) 0,099 b) 0,6689 ) a) 0,1 b) 0,4 10