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1 Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. Las Palmeras 3425, Ñuñoa. Casilla 653, Correo, Santiago fono: fax: Apuntes de un curso de FÍSICA MATEMÁTICA Tercera edición, revisión José Rogan C. Víctor Muñoz G.

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3 Índice I Análisis Tensorial 3. Una breve revisión de álgebra lineal. 5.. Notación Operaciones vectoriales Rotación de vectores Productos vectoriales Cálculos usando notación de Einstein Operadores en campos escalares y vectoriales Dibujando campos escalares y vectoriales Dibujando campos escalares Dibujando campos vectoriales Operadores vectoriales Notación del operador integral Integrales de línea Integrales de superficie Integrales de volumen Operadores diferenciales Vista física del gradiente Vista física de la divergencia Vista física del rotor Identidades con operadores diferenciales Definiciones integrales de los operadores diferenciales Los teoremas Teorema de Gauss Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema de Helmholtz Sistemas de Coordenadas Curvilíneos El vector posición El sistema cilíndrico Sistema esférico Sistemas curvilíneos generales Coordenadas, vectores base y factores de escala iii

4 iv ÍNDICE Geometría diferencial El vector desplazamiento Producto de vectores La integral de línea Integral de superficie La integral de volumen El gradiente La divergencia El rotor Gradiente, divergencia y rotor en sistemas cilíndricos y esféricos Operaciones cilíndricas Operaciones esféricas Introducción a tensores El tensor de conductividad y la ley de Ohm Notación tensorial general y terminología Transformaciones entre sistemas de coordenadas Transformaciones vectoriales entre sistemas cartesianos La matriz de transformación Resumen de transformaciones de coordenadas Transformaciones tensoriales Diagonalización de tensores Diagonalización y problema de valores propios Transformaciones tensoriales en sistemas de coordenadas curvilíneos Pseudo-objetos Pseudo-vectores Pseudo-escalares Pseudo-tensores Sistema de coordenadas no ortogonales Breve recuerdo de transformaciones tensoriales Sistemas de coordenadas no ortogonales Un sistema de coordenadas inclinado Covarianza, contravarianza y métrica Transformaciones de componentes vectoriales contravariantes Notación de subíndices y superíndices Transformaciones de componentes vectoriales covariantes Covarianza y contravarianza en tensores Contravarianza y covarianza de derivadas parciales Determinantes y matrices Determinantes Matrices Matrices ortogonales Matrices Hermíticas, matrices unitarias

5 ÍNDICE v 6.5. Diagonalización de matrices Matrices normales Teoría de grupo Introducción Generadores de grupos continuos Momento angular orbital Grupo homogéneo de Lorentz Covarianza de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell Series infinitas Conceptos fundamentales Pruebas de Convergencia Pruebas de comparación Prueba de la raíz de Cauchy Prueba de la razón de D Alembert o Cauchy Prueba integral de Cauchy o Maclaurin Prueba de Kummer Prueba de Raabe Prueba de Gauss Mejoramiento de convergencia Series alternadas Criterio de Leibniz Convergencia absoluta Álgebra de series Mejoramiento de la convergencia, aproximaciones racionales Reordenamiento de series dobles Series de funciones Convergencia uniforme Prueba M de Weierstrass Prueba de Abel Expansión de Taylor Teorema de Maclaurin Teorema Binomial Expansión de Taylor de más de una variable Series de potencias Convergencia Convergencia uniforme y absoluta Continuidad Diferenciación e integración Teorema de unicidad Inversión de series de potencia Integrales elípticas Definiciones Expansión de series

6 vi ÍNDICE Valores límites Números de Bernoulli Funciones de Bernoulli Fórmula de integración de Euler-Maclaurin Función zeta de Riemann Mejoramiento de la convergencia Series asintóticas o semi-convergentes Función gama incompleta Integrales coseno y seno Definición de series asintóticas Aplicaciones a cálculo numérico Productos infinitos Convergencia de un producto infinito Funciones seno, coseno y gama Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales parciales Ejemplos de PDE Clases de PDE y característica Las PDE no lineales Condiciones de borde Ecuaciones diferenciales de primer orden Variables separables Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales Conversión a una ecuación integral Separación de variables Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas circulares Coordenadas polares esféricas II Variable Compleja Números Complejos Introducción Plano complejo Representación polar Distancia en el plano complejo Desigualdad triangular Isomorfismo con matrices Sucesión de números complejos Series de números complejos Pruebas más comunes para la convergencia absoluta Radio de convergencia

7 ÍNDICE vii La serie exponencial Relación de Euler Fórmula de Moivre Ecuación ciclotónica Ejemplos sencillos de funciones complejas Notación Ejemplo, traslación Ejemplo 2, rotación en torno al origen Ejemplo 3, reflexión respecto al eje real Ejemplo 4, rotación más traslación Ejemplo 5, transformación cuadrática Ejemplo 6, transformación exponencial Ejemplo 7, transformación de Joukowsky Ejemplo 8, inverso Ejemplo 9, inverso conjugado Mapeo sobre la esfera ζ de Riemann Algunas propiedades de esta proyección Mapeo de z y /z y su relación Transformaciones homográficas y rotaciones de la esfera Derivabilidad Identidades de Cauchy-Riemann Ecuaciones de Laplace Interpretación hidrodinámica de las identidades de Cauchy-Riemann Familias ortogonales Integración Definiciones Interior de una curva cerrada sin puntos dobles Recorrido del contorno de un dominio Integrales de línea en el plano complejo Evaluación de integrales impropias reales Fórmula integral de Cauchy Series de Potencias Series y radio de convergencia Propiedades Máximos, mínimos y funciones armónicas Números de Bernoulli Prolongación Analítica Definiciones Lema de Heine-Borel Teorema de identidad

8 viii ÍNDICE 6.4. Prolongación analítica Función ζ de Riemann Lugares nulos y a-lugares Comportamiento en infinito Funciones Multivaluadas Función z Superficies de Riemann Otros puntos de ramificación La función Logaritmo La función Arcotangente Desarrollo de Laurent Desarrollo en torno a z 0 = Desarrollo en torno a z Unicidad del desarrollo de Laurent Ejemplos Definiciones La función Arcosecante Funciones enteras Residuos Definición y teorema Funciones racionales Funciones trigonométricas Polos, residuos y lugares nulos Ejemplos Residuos de un polo de orden m Valor principal de Cauchy Funciones Meromorfas La función Γ Definición Exploración Definiciones precisas Representaciones integrales de Γ La función Beta Casos particulares Representación Conforme Introducción Representación conforme Transformaciones de funciones armónicas Transformaciones de las condiciones de borde Aplicaciones

9 ÍNDICE ix Temperaturas estacionarias en una pared semi-infinita

10 x ÍNDICE

11 Índice de figuras.. El sistema Cartesiano estandard Geometría para la rotación vectorial El producto punto El producto cruz El arreglo de de Levi-Civita Equipotenciales y líneas de campo eléctrico de dos líneas paralelas de carga La integral de línea Integrales de superficie Superficies de Φ = xy constante Líneas de campo para Φ = xy Volumen diferencial Flujo a través de las caras superior e inferior Campos vectoriales circulantes y no circulantes Camino cerrado para la integral del rotor Campos con rotor cero, figura (a) y distinto de cero, figura (b) La suma de dos volúmenes diferenciales La suma de dos volúmenes diferenciales La suma de dos superficies diferenciales El Teorema de Stokes implica un potencial escalar El vector posición El sistema cilíndrico El vector posición en el sistema cilíndrico El sistema polar Componentes polares de un vector El sistema esférico El vector posición en coordenadas esféricas Coordenadas curvilíneas y vectores bases Volumen diferencial de un sistema de coordenadas curvilíneas Orientación de la superficie para la integración curvilínea del rotor Geometría diferencial para integración curvilínea del rotor Sistemas rotados Componentes del vector Vectores base en el sistema primado xi

12 xii ÍNDICE DE FIGURAS 4.4. Sistema de la mano derecha Vectores en el sistema de la mano derecha Sistema de la mano izquierda Vectores en el sistema de la mano izquierda El paralelogramo Los sistemas de coordenadas de la Relatividad Especial Un sistema de coordenadas de la Relatividad General Un sistema de coordenadas ortonormal y otro inclinado Dos sistemas de coordenadas inclinados Determinación de la base de vectores contravariante Componentes covariantes y contravariantes proyectadas de un vector Sistemas de coordenadas cartesianos Sistemas de coordenadas rotados en dos dimensiones (a) Rotación respecto al eje x 3 en un ángulo α; (b) Rotación respecto a un eje x 2 en un ángulo β; (c) Rotación respecto a un eje x 3 en un ángulo γ Vector fijo con coordenadas rotadas Elipsoide del momento de inercia Vector fijo con coordenadas rotada Ilustración de la ecuación (7.3) Ilustración de M = UMU ecuación (7.42) Octeto bariónico diagrama de peso para SU(3) Separación de masa bariónica Separación de masa bariónica Prueba de comparación Comparación de integral con suma de bloques Rearreglo de serie armónica Series dobles Series dobles Series dobles Convergencia uniforme Péndulo simple Integrales elípticas Función zeta de Riemann Sumas parciales Plano complejo Complejo conjugado Representación polar Distancia en el plano complejo Convergencia de una serie en el plano complejo Convergencia en el plano complejo Las raices sextas de la unidad

13 ÍNDICE DE FIGURAS xiii.. Función compleja Función traslación en a Función rotación en torno al origen Función reflexión respecto al eje real Función reflexión respecto al eje imaginario Función rotación más traslación ejemplo de mapeo Transformación cuadrática Mapeo z 2 para rectas ortogonales Mapeo e z para rectas ortogonales Transformación de Joukowsky para círculos y rectas radiales Mapeo /z para los diferentes cuadrantes Mapeo /z Esfera de Riemann Mapeo sobre la esfera de círculos y líneas Mapeo sobre la esfera de rectas que se cruzan Mapeo de z y /z y su relación sobre la esfera Puntos diametralmente opuestos en la esfera Funciones en dominios abiertos Im F (z) = ϕ = cte Im F (z) = ln r = cte Familias de curvas ortogonales Curva seccionalmente lisa y orientada Curva parametrizada Otra curva parametrizada Curva con y sin puntos dobles Dominio simplemente conexo Dominio no simplemente conexo Dominio múltiplemente conexo Interior de curva I Interior de curva II Interior de curva III Triángulo Curva cerrada Polígono Camino Γ en el plano complejo Camino Γ Camino cerrado Γ Camino cerrado Γ Camino cerrado Γ Camino Γ Sucesión sen n x

14 xiv ÍNDICE DE FIGURAS 5.2. Radios de convergencia Región simplemente conexa Re(z) > Región de convergencia Conjunto acotado Punto límite Lema de Heine-Borel I Lema de Heine-Borel II Teorema de identidad Conjuntos D y D Zona de convergencia de /( z) Prolongación analítica Prolongación al plano complejo Agrandar el radio de convergencia Obstáculos para la función z cot z Desarrollos para la función /( z) Función ζ de Riemann Prolongación al plano complejo de la función ζ La función f(z) = z La función f(x) = x Círculo de convergencia del desarrollo de z El eje real negativo para z Función con línea de ramificación Después de dos vueltas se vuelve al mismo punto Las dos superficies de Riemann de z Punto de ramificación de z a Dos puntos de ramificación Otra línea de ramificación Línea de ramificación sobre la esfera de Riemann Función logaritmo sobre el eje real Radio de convergencia para (7.5) Camino de integración para (7.6) Camino de integración para (7.0) Camino de integración en torno a +i Camino de integración en torno a i Función arcotangente Región anular La función f(z) = /(z ) La función f(z) = /(z )(z 2) La región donde f es univaluada y holomorfa Singularidades de la función / sen z Zona de convergencia Región donde f es analítica

15 ÍNDICE DE FIGURAS xv 9.2. Camino de integración Camino de integración Camino de integración Camino de integración ejemplo I Elección de rama Camino de integración ejemplo II Camino de integración ejemplo III Camino de integración ejemplo IV Camino de integración Malla Valores de la función Γ Acotando el límite La función Γ Transformación w = f(z) Par de curvas bajo la transformación w = f(z) Mapeo isogonal Mapeo w = z Condiciones de borde de primera clase (Dirichlet) Región donde H(u, v) es armónica Mapeo de una condición de borde Curvas ortogonales Mapeo de una particular condición de borde Geometría del sólido Curvas ortogonales Pared semi-infinita Transformación conforme Transformación conforme w = Log[(z )/(z + )]

16 ÍNDICE DE FIGURAS

17 2 ÍNDICE DE FIGURAS

18 Parte I Análisis Tensorial 3

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20 Capítulo Una breve revisión de álgebra lineal. versión final Este capítulo presenta una rápida revisión del álgebra de vectores y de matrices. No intentamos cubrir por completo estos tópicos sino más bien usarlos como introducción a la notación con subíndices y la convención de suma de Einstein. Estas herramientas nos simplificarán la a menudo complicada manipulación del álgebra lineal... Notación. Una notación estandard y consistente es un hábito muy importante a formar en matemáticas. Una buena notación no sólo facilita los cálculos sino que permite análisis dimensional y ayuda a encontrar y corregir errores. Así comenzamos por explicitar la notación que usaremos a través de los apuntes. Símbolo v i M i j [M] v ê i T L Cantidad Una componente de un vector Un elemento de una matriz o tensor la matriz completa Un vector Un vector base Tensor Un operador Cuadro.: Notación Un vector tridimensional v puede ser expresado como v = v x ê x + v y ê y + v z ê z, (.) donde las componentes (v x, v y, v z ) son llamadas las componentes Cartesianas de v y (ê x, ê y, ê z ) son los vectores bases del sistema de coordenadas. La notación puede ser más eficiente aún si Este capítulo está basado en el primer capítulo del libro: Mathematical Physics de Brusse Kusse & Erik Westwig, editorial John Wiley & Sons, Inc.. 5

21 6 CAPÍTULO. UNA BREVE REVISIÓN DE ÁLGEBRA LINEAL. reemplazamos los subíndices con letras (x,y,z), en las componentes, por subíndices numéricos (,2,3). Con esto, definimos: ê = ê x v = v x ê 2 = ê y v 2 = v y (.2) ê 3 = ê z v 3 = v z La ecuación (.) se transforma en o más sucintamente v = v ê + v 2 ê 2 + v 3 ê 3, (.3) v = 3 v i ê i. (.4) i= La figura (.) muestra esta modificación notacional sobre un típico sistema de coordenadas Cartesiano. Aunque la notación de subíndices puede ser usada en diferentes tipos de sistemas de coordenadas, en este capítulo limitaremos nuestra discusión al sistema Cartesiano. Los vectores bases Cartesianos son ortonormales y posición independientes. Ortonormal significa que la magnitud de cada vector es unitaria y que ellos son perpendiculares entre ellos. Independiente de la posición significa que los vectores bases no cambian su orientación cuando los movemos a través del espacio. Sistema de coordenadas no-cartesianos son cubiertos en detalle en el capítulo 3. La ecuación (.4) puede ser compactada aún más introduciendo la convención de suma de Einstein la cual supone que se suma cada vez que se repiten los subíndices en el mismo término. Por lo tanto 3 v = v i ê i = v i ê i. (.5) i= z 3 e z e y y e 3 e 2 2 e x x e Figura.: El sistema Cartesiano estandard Nos referimos a la combinación de los subíndices y la convención de suma como la notación de Einstein.

22 .. NOTACIÓN. 7 Imaginemos ahora que queremos escribir una simple relación vectorial c = a + b. (.6) Esta ecuación está escrita en lo que se conoce como notación vectorial. Notemos que no depende de la elección de un sistema de coordenadas. En un particular sistema de coordenadas, nosotros podemos escribir la relación entre estos vectores en términos de sus componentes: c = a + b c 2 = a 2 + b 2 (.7) c 3 = a 3 + b 3 Con la notación de subíndices estas tres ecuaciones pueden ser escritas en una sola línea, c i = a i + b i, (.8) donde el subíndice i se puede reemplazar por cualquiera de los tres valores(,2,3). Como veremos más adelante el uso de la notación de Einstein puede simplificar drásticamente la derivación de muchas relaciones matemáticas y físicas. Sin embargo, los resultados escritos en esta notación están amarrados a un particular sistema de coordenadas, lo que a menudo dificulta la interpretación. Por esta razón convertiremos nuestros resultados finales de vuelta a una notación vectorial cuando sea posible. Una matriz es un arreglo dos dimensional de cantidades que puede o no estar asociada con un particular sistema de coordenadas. Las matrices pueden ser expresadas usando diferentes tipos de notación. Si deseamos hablar sobre una matriz como un todo, sin especificar explícitamente todos sus elementos, la escribimos en notación matricial como [M]. Si, por el contrario necesitamos listar todos los elementos de [M], podemos escribirla como un arreglo rectangular entre un par de paréntesis: M M 2 M c M 2 M 22 M 2c [M] =...,.. (.9) M r M r2 M rc Llamaremos a esta notación de arreglos matriciales El elemento individual de la tercera fila segunda columna de [M] es escrito como M 23. Notemos que la fila de un elemento corresponde al primer índice y la columna al segundo. No todos los arreglos son cuadrados, esto significa que en la ecuación (.9) r no es necesariamente igual a c. La multiplicación entre dos matrices es sólo posible si el número de columnas en el premultiplicador es igual al número de filas del postmultiplicador. El resultado de tal forma de multiplicación es otra matriz con el mismo número de columnas que el premultiplicador y el mismo número de columnas que el postmultiplicador. Por ejemplo, el producto entre una matriz 3 2 [M] y una matriz 2 3 [N] forma una matriz de 3 3 [P ], con los elementos dados por: M M 2 [ ] M M 2 M 22 N N 2 N N + M 2 N 2 M N 2 + M 2 N 22 M N 3 + M 2 N 23 3 = M 2 N + M 22 N 2 M 2 N 2 + M 22 N 22 M 2 N 3 + M 22 N 23 M 3 M 32 } {{ } [M] N 2 } N 22 {{ N 23 } [N] M 3 N + M 32 N 2 } M 3 N 2 + M 32 N 22 {{ M 3 N 3 + M 32 N 23 } [P ] (.0).

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