Estadística. 1. Cuántos números impares hay de cinco cifras? (Respuesta: 45000)

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1 1. Cuántos números impares hay de cinco cifras? (Respuesta: 45000) 2. De cuántas maneras distintas se pueden ordenar en fila 8 personas? (Respuesta: 40320) 3. De cuántas maneras distintas se pueden repartir 2 cervezas y 3 cafés entre cinco personas? (Respuesta: 10) 4. Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5? (Respuesta: 120) 5. Cuántas palabras distintas de 11 letras se pueden formar usando todas las letras de ABRACADABRA? (Respuesta: 83160) 6. Si Juan, Pedro, Raúl y María se sientan al azar en cuatro sillas en hilera cuál es la probabilidad de que Raúl y María, que son novios, se sienten juntos? (Respuesta: 1/2) Y si las sillas están en círculo? (Respuesta: 2/3) 7. Cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? en los casos: a) que no se repita ningún dígito (Respuesta: 90); b) que pueda haber dígitos repetidos (Respuesta: 147) 8. Entre seis atletas, cuántas clases de podios distintos se pueden dar?. Ver el caso en que importa el orden y en el que no (Respuesta: 120; 20) 9. Cuántas señales diferentes puede formar un barco con tres banderas distintas, si dispone de un juego de doce? (Respuesta: 1320) 10. Cuántas manos distintas puede recibir un jugador de póquer? (NOTA.- Una mano de póquer ( ) se compone de cinco cartas escogidas al azar entre 52 distintas) (Respuesta: = ) De cuántas maneras distintas se pueden repartir 5 bolas en 7 cajas? (Respuesta: 7 5 = 16807) 1

2 12. Cada ficha de dominó está marcada con dos números, que van del cero al seis, y no son necesariamente distintos. Las fichas son simétricas, de forma que la pareja de números no está ordenada. Cuántas fichas de dominó distintas hay? (Respuesta: 28) 13. Si se lanzan cinco monedas, Cuál es la probabilidad de que salgan tres caras y dos cruces? (Respuesta: 5/16) 14. Se lanza un dado r veces. Cuál es la probabilidad de que no salga ningún 6? y la probabilidad de que salga algún 6? (Respuesta: (5/6) r y 1 (5/6) r ) 15. Se reparten al azar N bolas en N cajas. Cuál es la probabilidad de que todas las cajas estén ocupadas? (Respuesta: N!/N N ) 16. Una caja contiene 10 tornillos defectuosos y 90 no defectuosos. Si se usan diez tornillos. Cuál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso? (Respuesta: 0.41) 17. Tres caballos, A, B y C, compiten en una carrera. El suceso A vence a B se designa AB, el suceso A vence a B, el cuál vence a C se designa ABC, y así sucesivamente. Se sabe que: P (AB) = 2 3 P (AC) = 2 3 P (BC) = 1 2 P (ABC) = P (ACB) P (BAC) = P (BCA) P (CAB) = P (CBA) a) Calcular las probabilidades: P (A gana la carrera), P (B gana la carrera), P (C gana la carrera). (Respuesta: 5/9, 2/9 y 2/9) b) Estudiar la independencia de los sucesos AB, AC y CB.(Respuesta: No son independientes) 18. Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas con tres dados cada una resulten en la misma configuración, si a) los dados son distinguibles y b) los dados son indistinguibles? (Respuesta: 1/216 y 83/3888) 19. El dado A tiene 4 caras rojas y 2 blancas. El dado B tiene 2 caras rojas y 4 blancas. Se lanza una moneda una sola vez: si sale cara, se juega sólo con el dado A y si sale cruz, se juega sólo con el dado B. Calcular: 2

3 a) Probabilidad de que salga rojo tras un lanzamiento del dado.(respuesta: 1/2) b) Si en los dos primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, cuál es la probabilidad de que en el tercer lanzamiento también salga rojo? (Respuesta: 3/5) c) Si en los tres primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, cuál es la probabilidad de que se esté utilizando el dado A? (Respuesta: 8/9) 20. En una ciudad el 55 % de la población consume aceite de un tipo que llamaremos A, el 30 % de tipo B y el 20 % de ambos tipos. Se escoge una persona al azar a) Si consume aceite de tipo A Cuál es la probabilidad de que consuma también aceite de tipo B? (Respuesta: 4/11) b) Si consume de tipo B Cuál es la probabilidad de que no consuma de tipo A? (Respuesta: 1/3) c) Cuál es la probabilidad de que no consuma de ninguno de los dos tipos? (Respuesta: 0.35) 21. Dos jugadores igualmente hábiles, A y B, apuestan 1000 euros cada uno en una partida a los chinos, a tres juegos ganados. (La probabilidad de empatar en un juego es 1/2) a) Cómo deberán repartirse las 2000 euros apostadas si tienen que interrumpir la partida cuando llevan: (b1) A un juego ganado y B ninguno (Respuesta: 1375 y 625); (b2) A dos juegos ganados y B ninguno (Respuesta: 1750 y 250); (b3) A dos juegos ganados y B uno (Respuesta: 1500 y 500). b) Calcular la probabilidad de que la partida dure exactamente n juegos si fuera a dos juegos ganados. (Respuesta: n(n 1)(1/2) n+2 ) 22. Cierto grupo tiene ocho miembros. En Enero se selecciona aleatoriamente a tres miembros para colaborar en un comité. En Febrero se selecciona, aleatoria e independientemente de la primera selección, a cuatro miembros para colaborar en otro comité. En Marzo se selecciona, aleatoria e independientemente de las dos selecciones previas, a cinco miembros para colaborar en un tercer comité. Calcular la probabilidad de que: 3

4 a) Cada uno de los ocho miembros colabore en al menos uno de los tres comités. (Respuesta: 219/784) b) Dos miembros concretos, A y B, colaboren juntos en al menos uno de los tres comités (Respuesta: 3013/5488) 23. En un experimento se lanzan tres monedas consecutivamente, definiéndose las variables aleatorias X = {número de caras obtenidas}, Y = {número del lanzamiento en el que aparece la primera cara, sabiendo que han salido dos caras} y Z = {número de cruces obtenidas}. Se pide: a) La función de probabilidad y la función de distribución de la v.a. X. b) La función de probabilidad de la v.a. Y. c) Establecer un cambio de variable que pase de la variable aleatoria X a la variable Z, hallando la nueva función de probabilidad. 24. Cinco personas lanzan simultáneamente monedas para determinar quién ha de comprar los refrescos para todos. El sistema es el siguiente: el primero que obtenga un resultado (ya sea cara o cruz) distinto de cada uno de los resultados obtenidos por todos los demás, ése debe pagar los refrescos de todos. Sea X la v.a. que representa el número de ensayos requeridos para concluir el juego. Se pide, a) Calcular la función de probabilidad de X. b) Calcular la función de distribución de X. c) Calcular P (X > 2). d) Calcular P (3 X 6). 25. Dos jugadores A y B lanzan simultánea y respectivamente 3 y 2 monedas. Gana el jugador que obtenga más caras, repitiéndose el lanzamiento si ambos obtienen el mismo número de caras. a) Calcular la probabilidad de que gane el jugador A. 4

5 b) Se realizan 10 lanzamientos simultáneos. Un observador apuesta en cada uno de ellos x euros por A, de forma que si gana A, le devuelven 2x euros, si empatan le devuelven x euros y si gana B no le devuelven nada. Calcular la ganancia esperada del apostador. 26. Hay una ruleta con 24 casillas en blanco. Cada vez que la hacemos girar, marcamos con una cruz la casilla en la que se ha parado. Si la ruleta se para en una casilla en blanco, me dan e Si la ruleta se para en una casilla marcada, pierdo todo el dinero acumulado y se acaba el juego. Me puedo plantar cuando quiera. Cuándo me conviene plantarme? 27. El periodo de hospitalización de un paciente sometido a cierta operación es de 4 días más que el tiempo que tarda en salir de la U.V.I. Suponiendo que el tiempo, en días, de permanencia en la U.V.I. sigue una distribución de densidad: f(x) = 32/(x + 4) 3, x 0, calcular a) El promedio de días que una persona está hospitalizada. b) La probabilidad de que un paciente supere el promedio de días de hospitalización. 28. Un jugador va a jugar a cara o cruz 400 partidas, en cada una de las cuales, y con idéntica probabilidad, puede ganar o perder 1 Euro Cuál es la mínima cuantía de dinero que debe llevar para que, suponiendo que los pagos o cobros se hacen al final de la serie, tenga una probabilidad de 0.95 de hacer frente a sus posibles pérdidas? 29. La energía cinética de una molécula de gas ideal, W = 1mV 2, es una v.a. con función 2 de densidad f(w) = k w 1/2 e bw, w > 0 con k y b constantes. Cuál es la probabilidad de que una molécula tenga velocidad, V, mayor que la velocidad media? 5

6 30. La función de densidad de una v.a. bidimensional, (X, Y ), es f(x, y) = x + y 27 0 x, y 3 a) Establecer si las variables son o no independientes. b) Calcular la media y la varianza de cada componente. c) Sabiendo que X > 2, calcular la probabilidad de que sea Y < Dada la v.a. bidimensional (X, Y ) con función de densidad conjunta f(x, y) = e (x+y) x 0 y 0 y las v.a. U = X + Y y V = X Y, se pide: a) Obtener la función de densidad conjunta de la v.a. (U, V ) b) Obtener las funciones de densidad marginales de las v.a. U y V c) Son U y V independientes? 32. En una especie animal, la probabilidad de que un hijo tenga alguna enfermedad congénita es 0.6. Si el número de hijos de una familia sigue una distribución de Poisson con parámetro λ = 4, a) Calcular la probabilidad de que una familia no tenga hijos sanos. b) Cuál es el número esperado de hijos sanos en una familia? 33. Los astrofísicos aseguran que en el Universo hay k estrellas por unidad de volumen distribuidas según una ley de Poisson. a) Si nos fijamos en cierta estrella, α, calcular la probabilidad de encontrar n estrellas que estén a una distancia menor o igual que R de α. b) Si d es la distancia de la estrella más cercana a otra, calcular el valor medio de d. 34. Un buscador de oro recorre un río de 3 km en busca de pepitas. Se sabe que, en media, hay 10 pepitas por km. Se pide: 6

7 a) Probabilidad de que encuentre 20 pepitas. b) Probabilidad de que encuentre la segunda pepita antes de haber recorrido los primeros 100 m. c) Probabilidad de que encuentre la quinta pepita a una distancia menor de 200 m del punto en que encontró la segunda. 35. Una población de 20 animales insectívoros se introduce en una región donde el 14 % de los insectos que le sirven de alimento son venenosos. Cada animal devora al día 5 insectos. Suponiendo que los animales no se reproducen, a) Calcular la probabilidad de que al cabo de una semana queden vivos al menos la mitad de los animales. b) Calcular la esperanza de vida de un animal (número medio de días que tarda en desaparecer un animal). c) Calcular la esperanza de vida de la población (número medio de días que tardan en desaparecer todos los animales). 36. En un motel confluyen dos carreteras, A y B. El número de clientes que, por día, acuden al motel por cada carretera son dos variables de Poisson independientes, X e Y, de parámetros a y b respectivamente. a) Sabiendo que el número total de clientes que acudió un día fue n, calcular la probabilidad de que el número de clientes que llegaron por la carretera A fuera k (0 k n). b) Particularizar para a = 6, b = 4, n = 9, k = X e Y son dos variables aleatorias cuya distribución conjunta es una normal bidimensional. Se sabe que : E[X] = 4, E[X 2 ] = 20, E[Y ] = 3 La covarianza de ambas variables es 2. La probabilidad P [Y 3 + 3]

8 Calcular: a) Las distribuciones marginales. b) La probabilidad Pr 1.5 < X < 2.5. c) La probabilidad Pr 2X Y < 2. d) Coeficiente de correlación lineal. 38. Sea (X, Y ) una v.a. Normal bidimensional con µ X = µ Y = 0, σ X = σ Y = 1 y coeficiente de correlación lineal ρ = 1/2. Sean ahora las variables Z = X + Y y W = ax + Y. Son Z y W independientes? 39. Se sabe que, en probabilidad, los dos progenitores de una sexta parte de los graduados en un colegio asisten a la ceremonia de graduación; sólo uno de los progenitores de la mitad de estos graduados asiste a la ceremonia; y ninguno de los progenitores de la tercera parte restante de los graduados asiste a la ceremonia. Si en una clase hay 600 graduados, cuál es la probabilidad de que a la ceremonia de graduación asistan más de 520 progenitores? 40. Las ventas diarias de una empresa siguen una distribución uniforme entre 300 y 600 euros ( U(300,600) ). Suponiendo independientes las ventas de los distintos días del año, calcular la probabilidad de que el volumen de ventas anual supere la cifra de euros, si la empresa trabaja 300 días al año. 41. Dos equipos, A y B, de aficionados a las carreras pedestres deciden enfrentarse en una prueba con las siguientes normas: La prueba se hará por relevos que durarán 17 minutos cada uno. El equipo A, que pertenece a una categoría superior, hará 36 relevos mientras que el equipo B hará 42. Ganará el equipo que, al terminar todos sus relevos, haya recorrido más distancia. 8

9 La distancia, en km, que recorre un atleta del equipo A en 17 min. sigue una distribución N(4,0.25), mientras que la que recorre un atleta del equipo B sigue una distribución con función de densidad g(y) = 2 7 y 3 < y < 4 Calcular la probabilidad de que el equipo B gane la carrera. 42. Dada una población, X, con función de densidad se pide: f(x) = θ (1 + x) 1+θ x 0, θ > 0 a) Comprobar que la v.a. Y = log(1 + X) sigue una distribución Exponencial de parámetro θ. b) Obtener el estimador de máxima verosimilitud del parámetro θ, a partir de una m.a.s. sacada de la población. c) Es este estimador insesgado? 43. De una población, X, con función de densidad dada por f(x, θ) = e θ x x θ se ha sacado una muestra de tamaño n, {x 1,..., x n }. Comprobar que el estadístico ˆθ = min{x i } 1 n es un estimador insesgado de θ. 44. Se lanza una moneda 10 veces obteniendo 8 caras. Podemos concluir que la moneda no es perfecta, sino que tiende a caer de cara? Con qué nivel de significación? 45. El consumo diario de agua, en m 3, de un hogar sigue una distribución uniforme entre 0 y el consumo máximo, a, (es decir, U(0, a)). Se quiere contrastar, con un nivel de significación del 5 %, la hipótesis nula de que el consumo máximo es de 25 m 3 frente a la alternativa de que es menor que esa cantidad. Para ello, se toma una muestra de diez días, en los que el consumo de agua en m 3 fue: 10, 12, 15, 12, 20, 16, 9, 17, 14 y 11. 9

10 a) Qué hipótesis resultó aceptada? b) Si el verdadero consumo máximo fuese de 20 m 3, qué probabilidad tendríamos de aceptar la hipótesis nula? 46. Se sabe que la aspirina tradicional tiene una eficacia del 70 % en el alivio de los dolores reumáticos. Una empresa farmacéutica, que lleva varios años intentando mejorar la fórmula, asegura haber aumentando la eficacia hasta el 80 %, simplemente cambiando las proporciones de los componentes. El Ministerio de Sanidad, antes de incluir la nueva fórmula en la lista de medicamentos financiados por la Seguridad Social, decide contrastarlo por su cuenta. a) De una muestra de 100 pacientes tratados con la nueva fórmula, 75 han experimentado un alivio considerable. Puede admitirse significativamente que la eficacia del nuevo medicamento es efectivamente del 80 %? b) Si realmente la nueva fórmula no supusiera ninguna mejora respecto de la tradicional, qué probabilidad tendríamos de detectarlo con el contraste anterior? c) Cuántos pacientes deberíamos estudiar para detectar el fraude con una probabilidad del 90 %? 47. El número de accidentes en un cruce muy transitado sigue una distribución de Poisson, con una media de 2 5 accidentes por semana. El concejal de tráfico decide reducir el límite de velocidad en las dos avenidas que intersecan en el cruce. La decisión respecto a si la reducción en el límite de velocidad disminuye el número medio de accidentes por semana, se tomará en base al número total de accidentes que se observen durante un periodo de cuatro semanas, a partir de la aplicación de la nueva ley. a) Obtener la región crítica, para un tamaño máximo de error tipo I igual a 0.1. b) Si realmente el número medio de accidentes disminuyó a 2 por semana, calcular la probabilidad de error tipo II. 48. Un fabricante de chocolatinas asegura que la distribución de colores de las mismas en las bolsas que comercializa mantiene la siguiente proporción: 10

11 30 % marrones, 20 % azules, 20 % naranjas 10 % rojas, 10 % amarillas y 10 % negras Abriendo varias bolsas hasta conseguir un total 400 chocolatinas se han contabilizado 111 marrones, 98 azules, 76 naranjas, 37 rojas, 33 amarillas y 45 negras. Es razonable aceptar la palabra del fabricante? 49. Un agricultor ha pesado una m.a.s. de 350 patatas de una cosecha. Los pesos obtenidos, en gramos, fueron Peso N o de patatas Contrastar, usando un test χ 2, si la distribución del peso de las patatas se ajusta a una N(145,61) 50. Si el agricultor del ejercicio anterior sólo dispone de 10 patatas cuyos pesos son: 45, 210, 95, 150, 140, 270, 130, 170, 75 y 250, contrastar, usando un test de Kolmogorov- Smirnov, si la distribución del peso de las patatas se ajusta a una N(154,72) 51. Al pedirle a un programa estadístico 20 números aleatorios uniformemente distribuidos en [0, 1] nos devuelve la siguiente lista de valores: Comprobar si la lista corresponde a dicha distribución empleando dos contrastes distintos. 11

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