Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Ingeniería Electrónica. EL 3307 Diseño Lógico. Ejercicios. Tema: Sistemas numéricos

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1 Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Ingeniería Electrónica EL 3307 Diseño Lógico Ejercicios Tema: Sistemas numéricos Recopilación realizada por: Ing. José Alberto Díaz García Diciembre 2008

2 114. SISTEMA DE NUMERACiÓN, OPERACIONES y CÓDIGOS 1 of 20 SECCIÓN 2.1 Números decimales 1. Cuál es el peso del digito 6 en cada uno de los siguientes números decimales? (a) 1386 (b) 54,692 (e) 671, Expresar cada una de los siguientes números decimales como una potencia de diez: (a) 10 (b) 100 (e) (d) Hallar el valor de cada digito en cada uno de los siguientes números decimales: (a) 471 (b) (e) Hasta qué número puede contar con cuatro digitos decimales? SECCIÓN U Números binarios S. Convertir a decimal los siguientes números binarios: (a) 11 (b) 100 (c) 111 (d) 1000 (e) 1001 (1)1100 (&)1011 (h)llll 6. Convertir a decimal los siguientes números binarios: (a) 1110 (b) 1010 (e) (d) I()(xx) (e) (1) (&) (h) Convertir a decimal los siguientes números binarios: (a) ,11 (b) ,01 (e) I<MXMX>I,III (d) ,101 (e) ,10101 (1) ,0001 (g) ,1010 (h) , Cuál es el mayor número decimal que se puede representar con cada uno de las siguientes cantidades de digitos binaríos (bits)? (a) dos (b) tres (e) cuatro (d) cinco (e) seis (1) siete (1) ocho (h) nueve (i) diez (j) once 9. Cuántos bits se requieren para representar los siguientes números decimales? (a) 17 (b) 35 (c) 49 (d) 68 (e) 81 (f)114 (&)132 (h) Generar la secuencia binaria para las siguientes secuencias decimales: (a)oa7 (b)8ai5 (c)16a31 (d) 32 a 63 (e) 64 a 75 SECCIÓN 2.3 Convenión decimal-binario 11. Convertir a binario cada uno de los números decimales indicados usando el método de la suma de pesos: (a) 10 (b) 17 (c)24 (d)48 (e) 61 (f) 93 (&) 125 (b) Convertir a binario cada uno de los números decimales fraccionaríos indicados usando el método de la suma de pesos: (a) 0,32 (b) 0,246 (c) 0,0981

3 PROBLEMAS. 2 of Convertir a binario cada uno de los números decimales indicados usando el método de la división sucesiva por 2: (a) 15 (b) 21 (c) 28 (d) 34 (e) 40 (1) 59 (&) 65 (h) Convertir a binario cada uno de los números decimales fraccionarios indicados usando el método de la multiplicación sucesiva por 2: (a) 0,98 (b) 0,347 (c) 0,9028 SECCiÓN 2.4 Aritmética blnarta 15. Sumar los números binarios: (a) II + 01 (b) (c) (d) I1I (e) (1) Realizar la sustracción directa de los siguientes números binarios: (a) II - I (b) (c) (d) II (e) (1) Realizar las siguientes multiplicaciones binariu: (a) 11 x I1 (b) 100 x lo (c) 111 x 101 (d) 1001 x 110 (e) 1101 x 1101 (1) 1110 x Dividir los números binarios siguientes: (a) 100 -;- 10 (b) looi- -11 (c) SECCIÓN 2.5 SECCIÓN 2.6 Complemento a 1 y complemento a 2 de los números blnarlos 19. Detenninar el complemento a I de los siguientes números binarios: (a) 101 (b) 110 (c) 1010 (d) (e) (1) Determinar el complemento a 2 de los siguientes números binarios utilizando cualquier método: (a) 10 (b)111 (c)iooi (d)iioi (e) (1) (g) (h) N úmeros con signo 21. Expresar en fonnato binario de 8 bits signo-magnitud los siguientes números decimales: (a) +29 (b) -85 (c) +100 (d) Expresar cada número decimal como un número de 8 bits en el sistema de complemento al: (a) -34 (b) +57 (c) -99 (d) Expresar cada número decimal como un número de 8 bits en el sistema de complemento a 2: (a) +12 (b) -68 (c) +101 (d) Detenninar el valor decimal de cada número binario con signo en el fonnato signo-magnitud: (a) (b) (c) Detenninar el valor decimal de cada número binario con signo en el fonnato de complemento al: (a) (b) (c)

4 116. SISTEMA DE NUMERACiÓN, OPERACIONES y CÓDIGOS 3 of Detenninar el valor decimal de cada número binario con signo en el formato de complemento a 2: (a) (b) (c) Expresar cada uno de los siguientes números bidarios en formato signo-magnitud en formato de coma flotante de simple precisión: (a) O 1011 (b) (KX)()() 11 (XX) 28. Detenninar los valora de los siguientes números en coma flotante de simple precisión: (. ) 1 1 ()(KX)()O 1 O OOOOOOOOO (b) OOOOOOOO SECCIÓN 1.7 Operaciones aritméticas de números con signo 29. Convertir a binano cada pareja de números decimales y sumarios usando el sistema de complemento a 2: (a) 33 y 15 (b) 56 y -27 (c) -46 y 25 (d) -110 y Realizar las siguientes sumas utilizando el sistema de complemento a 2: (a) (b) Realizar las siguientes sumas utilizando el sistema de complemento a 2: (a) (b) Realizar las siguientes restas utilizando el sistema de complemento a 2: (a) (xx)1(xmx) (b) (XX) 33. Multiplicar por utilizando el sistema de complemento a Dividir entre utilizando el sistema de complemento a 2. SECCIÓN 2.8 Números bexadeclmaaes 35. Convertir a binario los siguientes números hexadecimales: (a) 3816 (b) 5916 (c) AI416 (d) 5C8'6 (e) (f) FB1716 (&) 8A9D'6 36. Convertir a hexadecimallos siguientes números binarios: (a) 1110 (b) 10 (c) (d) (e) (XMX) (f) 10011(KX)()() Convertir a decimal los siguientes números hexadecimales: (a) 2316 (b) 92'6 (c) 1 AI6 (d) 8D'6 (e) F316 (f) E816 (&) 5C216 (h) Convertir a decimal los siguientes números hexadecimales: (a) 8 (b) 14 (c) 33 (d) 52 (e) 284 (f) 2890 (&) 4019 (h) Realizar las siguientes sumas: (a) (b) AOl (c) FF '6 40. Realizar las siguientes restas: (a) (b) C816-3AI6 (c) FOI6-8816

5 4 of 20 PROBLEMAS. 117 SECCIÓN 2.9 SECCiÓN 2.10 Números octaln 41 Convertir a decimal los siguientes números octales: (a) 12, (b) 27, (c) 56, (d) 64, (e) 103, (f) 557, (g) 163, (h) 1024, (i) 7765, 42. Convertir a octallos siguientes números decimales utilizando la división sucesiva por 8: (a) 15 (b) 27 (c) 46 (d) 70 (e) 100 (f) 142 (&) 219 (b) Convertir a binario los siguientes números octalcs: (a) 13, (b) 57, (c) 101, (d) 321, (e) 540, (1) (&) 13271, (b) (1) Convertir a octallos siguientes números binarios: (a) III (b) 10 (c) (d) (e) 1100 (f) (1) (b) (1) Códlao decimal blnarlo (BCO) 45. Convertir los siguiente números decimales a BCD 8421: (a) 10 (b) 13 (c) 18 (d) 21 (e) 2S (f) 36 (&) 44 (b) 57 (1) 69 (j) 98 (k) 12S (1) Convertir los números decimales del Problema 45 a binario normal y comparar el número de bits necesarios con los bits necesarios para BCD. 47. Convertir a BCD los siguientes números decimales: (a) 104 (b) 128 (c) 132 (d) 150 (e) 186 (f) 210 (&) 359 <') 547 (1) Convertir a dccimallos siguientes números BCD: (a) 0001 (b) 0110 (c) 1001 (d) (e) (f) (&) (b) (1) Convertir a decimal los siguientes números BCD: (8) 1~ (b) (c) (d) (e) (1) I()(~ <1) (b) (1) oo11000 (j) Sumar los siguientes números BCD: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (I)OI(MX)()OO (b) Sumar los siguientes números BCD:

6 118. SISTEMA DE NUMERACiÓN, OPERACIONES y CÓDIGOS 5 of 20 (a) (b) (c) I<MX> (d) (e) (1) 0101<MX> (g) (h) Convertir a BCD cada pareja de números decimales y sumarios como se indica: (a) (b) (c) (d) (e) (1) (g) (h) SECCiÓN 1.11 SECCiÓN 2.12 Códigos dlgitalel 53. En una detenninada aplicación se producen ciclos de una secuencia binaria de 4 bita de 1111 a 0000 de fonda periódica. Existen cuatro variaciones de bit, y debido a retrasos del circuito, estas variaciones pueden no producirse en el mismo instante. Por ejemplo, si el LSB cambia el primero, entonces durante la transición de 1111 a 0000 aparecerá el número 1110, Y puede ser mal interpretado por el sistema. Ilustrar cómo resuelve este problema el código Gray. 54. Convertir a código Gray los números binarios: (a) (b) (c) Convertir a binario los números en código Gray: (a) 1010 (b) (c) Convertir a código ASCIl cada uno de los siguientes números decimales. Utilice la Tabla 2.7 (a) 1 (b) 3 (c) 6 (d) 10 (e) 18 (1) 29 (1) 56 (h) 75 (i) Detenninar el carácter de cada uno de los siguientes códigos ASCIl. Utilice la Tabla 2.7. (a) (b) (c) (d)oi00011 (e) (1) SI. Decodificar el siguiente mensaje codificado en ASCIl: Escribir en bexadecimal el mensaje del Problema Convertir a código ASCIlla siguiente instrucción de programa para una computadora: 30 INPUT A, B Códigos de detección y corrección de errores 61. Detenninar cuáles de los siguientes códigos con paridad par son erróneos: (a) (b) (c) Determinar cuáles de los siguientes códigos con paridad impar son erróneos: (a) (b) (c) Aftadir el bit de paridad par apropiado a los siguientes bytes de datos: (a) (b) (c) Determinar el código Harnming de paridad par para los bita de datos Detenninar el código Harnming de paridad impar para los bits de datos Corregir cualquier error que pueda haber en los siguientes códigos Harnming con paridad par.

7 RESPUESTAS. 6 of (a) (b) Corregir cualquier Impar. (a) (b) error que pueda haber en los siguientes códigos Hamming con paridad REVISIONES DE CADA SECCiÓN SECCIÓN 2.1 SECCIÓN 2.2 SECCIÓN 2.3 SECCIÓN1.4 SECCIÓN 2.5 SECCIÓN 2.6 Números 1. (a) 1370: 10 (b) 6725: (a) 51 =(5 X 10)+(1 X 1) (c) 1492 = (1 x 1000) + (4 x 100) + (9 x 10) + (2 x 1) (d) 106,58 = (1 x 100) + (O x 10) + (6 x 1) + (S x 0,1) + (8 x 0,01) Números binarios l = El peso de ,011 = 189,375 Convenión decimal-binario 1. (a)23=10111 (b)57 = (e)4s,5=10ii01,1 2. (a) 14= 1110 (b)21 = (e)0,37s=0,011 Aritmitiea binaria t. (a) = (b) = (a) = 1001 (b) = (a) 110 xiii = (b) = 100 Complemento a t y eomplemento a 2 de los números binarios l. (a) Complemento a 1 de = (b) Complemento a I de = (c) Complemento a 1 de = (a) Complemento a 2 de = (b) Complemento a 2 de = 0(KXM)100 (c) Complemento a 2 de = Números eon signo l. Signo-magnitud: +9 = Complemento al: -33 = Complemento a 2: -46 = Bit de signo, exponente y mantisa (e) 7051: 1000 (d) 58,72: 0,1 (b) 137 = (1 x 100) + (3 x 10) + (7 x 1)

8 ~ ~* h.hhhhhh ~ ~...,. -.. ~ PROBLEMAS RELACIONADOS tiene un valor de 900, 3 tiene un valor de 30, 9 tie tiene un valor de 60, 7 tiene un valor de 7, 9 tiene de 2/100 (0,02), 4 tiene un valor de 4/1000 (0,004) = = = = = ~ = = ~ x 1010 = = 11 7 of 20 Signo-magnitud Complemento a 1 Complemento a Tabla = = (83)( -59) = ( en complemento a 2: = 4 (0100) 2.244F79C BD'I: = = = : A16 = (6 x 256) + (O x 16) + (lo x 1) = = AIF C16 + 3A16 = BCD = A5AI (a) = 1110 = 138 (b) = 2110 = 258 (c) = 9610 = 1408 (d) = = , (a) (Gray) (b) La secuencia de códigos para 80 INPUT Y es EI Sí El bit en la posición O I O (2) es erróneo. Código corregido: 00 II 00 l El bit en la posición 0010 (2) es erróneo. Código corregido: AUTOTEST l. (d) 2. (a) 3. (b) 4. (c) 5. (c) 6. (a) 7. (d) 8. (b) 9. (d) 10. (a) 11. (c) 12. (d) 13. (d) 14. (b) 15. (c) 16. (a) 17. (c) 18. (a) 19. (b)

9 PROBLEMAS SECCIONES 2-1 y Conviena estos números binarios a decimales. 8 of 20 (a) (d) (J) Cb) (c) Ch) (c) (O Conviena los siguientes valores decimales a binarios. (a) 37 (b) 14 (c) 189 (d) 1024 (e) 77 (f) 405 (g) 205 (h) 2313 O) Cuál es el valor decimal mayor que puede representar un número binario de ocho bits? Con un número de 16 bits? SECCiÓN Conviena cada número octal a su equivalente decimal. (a) 743 (b) 36 (c) 3m ( d) 2<XX> (c) 165 (f) 5 (g) 257 (h) Convierta cada uno de los siguientes números decimales a octales. (a) 59 (b) 372 (c) 919 (d) 1024 (~) 771 (1) 2313 (g) 65,536 (h) Convierta cada uno de los valores octales del problema 2-4 a binarios.. EStos términos se destacan con en el capitulo y se definen en el G~rio al final del libro.

10 50 Capít ulo 2 I Sistemas numéricos y códigos 2-7. Convierta los números binarios del problema 2-1 a OC1ales Liste los números octales consecutivos del 165s al 200s Cuando un número decimal grande va a ser convertido a binario, a veces es más fácil convertirlo primero a octal, y luego de octa) a binario. Pruebe este procedimiento para el número y cómpárelo con el procedimiento que se usó en el problema 2-2(e) Cuántos dígitos octales se requieren para representar números decimales hasta 20,OOO? SECCiÓN Convierta est~ valores hexadecirnales a decimales. (a) 92 (d) ABCD (g) 2CO (b) 1A6 (c) OOOF (h) 7FF (c) 37FD (1) Convierta estos valores decimales a hexadecimales. (a) 75 (d) 14 (g) 25,619 (b) 314 (c) 7245 (h) 4095 (c) 2048 (1) Convierta los números binarios del problema 2-1 a hexadecimales Convierta los valores hexadecimales del problema 2-11 a binanos Liste I~ núme~ hexadecirnales en secuencia del 280 al 2AO Cuántos dígitos hexadecimales se requieren para representar números decimales hasta 1 millón? SECCIÓN Codifique estos números decimales en BCD. (a) 47 (d) 6727 (g) 42,689,627 (b) 962 (c) 13 (h) 1204 (c) 187 (1) of t"cuántos bits se requieren para representar los números decimales en el rango de O a 999 usando código binario directo? Usando código BCD? Los siguientes números están en código BCD; conviértalos a decimales. (a) (b) <XX>11<XKX>100 (c) (~ (~) (f) SECCiÓN (a),-cuántos bits están contenidos en ocho bytes? (b) t-cuál es el número hexadecimal mayor que se puede representar con cuatro bytes? (c) Cuál es el mayor valor decimal codificado en BCD que se puede representar con tres bytes? SECCIONES 2-8 y Represente la afinnación "X = 25/Y" en código ASCII (excluya las comillas). Agregue un bit de paridad impar.

11 '»roblf'mas Agregue un bit de paridad par a cada uno de los códigos ASCII del problema 2-21 y proporcione los resultados en hex los siguientes bytes (mostrados cn hex) representan el nombre de una persona en la forma en la que lo almacenaría la memoria de una computadora. Cada byte es un código ASCII de relleno. Determine el nombre de la persona E D of Convierta los siguientes números decimales a código BCD y luego agrégueles un bit de paridad impar. (a) 74 (b) 38 (c) 8884 (d) 275 (e) 165 (f) En cierto circuito digital, los números digitales de 000 a 999 se representan en código BCD. También se incluye un bit de paridad impar al final de cada grupo de código. Examine cada grupo de código que se muestra a continuación y suponga que cada uno apenas ha sido transferido de una ubicación a otra. Algunos de los grupos contienen errores. Suponga que no han ocurrido más de dos errores en cada grupo. Determine cuál de los grupos de código tiene un solo error y cuál definitivamente tiene un error doble. (Sugerencia: recuerde que este es un código BCD). (a) loolo1011<xxx>l- bit de paridad (b) (c) <KXXX>11 (d) Suponga que el receptor recibió los siguientes datos del transmisor del ejemplo 2-14: Qué errores puede determinar el receptor en estos datos redbidos? PREGUNTAS DE EJERCICIO Realice cada una de las siguientes conversiones. Para algunas, quizá desee probar varios métodos para ver cuál le funciona mejor. Por ejemplo, una conversión de binario a decimal se puede hacer directamente o se puede realizar como una conversión de binario a octal, seguida por una conversión de octal a decimal. (a) = 2 (b) = 2 (c) = 10 (d) (e) = 8 (f) = -8 (g) 2358 =

12 52 Capíl ulo 2 I Sistemas numéricos y códigos (h) 4316e -- (i) 7 A916 = (j) 3EIC16 = 10 (k) = 16 (1) 38, (m) = (BCD) (o) l00101<xx>111 (BCD) - 10 (o) 4658 = 16 (P) = 8 (q) (BCD) = 2 (r) = (BCD) Represente el valor decimal 37 en cada una de las siguientes formas (a) binario directo, (c) hex, (e) octal, (b) BCD, (d) ASCII (es decir, considere cada dígito como un carácter Uene los espacios en blanco con Ia(s) palabra(s) correcta(s). (a) La conversión de decimal a requiere la división repetida entre 8. (b) La convelsión de decimal a hex ~iere la división repetida entre of 20 (c) En el código BCD, cada se conviene a su equivalente binario de cuatro bits. (d) El código tiene la caracteristica de que sólo un bit cambia cuando va de un paso al siguiente. (e) Un transmisor agrega un a un grupo de código para permitir que el receptor detecte. (f) El código es el código alfanumérico más común usado en sistemas de cómputo. (g) A menudo y se usan como una forma conveniente para representar números binarios grandes. (h) A una serie de ocho bits se le llama un : Escriba el número binario que resulta cuando cada uno de los siguientes números se incrementa a razón de 1. (a) 0111 (b) (c) Repita el problema 2-30 para la operación de reducción Escriba el número que resulta cuando se incrementa cada uno de los siguientes números. (a) (c) ~ (e) 9FF16 (b) (d) (f) 1<XX> Repita el problema 2-32 para la operación de reducción. EJERCICIOS mffciles En una microcomputadora las direcciones de las ubicaciones de memoria son números binarios que identifican cada circuito de memoria donde se almacena un byte. El número de bits que componen una dirección dependerá de cuántas localizaciones de memoria hay. Debido a que el número de bits puede ser muy largo, las direcciones a menudo se especifican en hex, en lugar de binario. (a) Si en una microcomputadora se usan direcciones de 20 bits, cuántas localizaciones de memoria hay? (b) ('Cuántos dígitos hex se necesitan para representar las direcciones de una localización de memoria? (c) ('Cuál es la dirección hex de la 2561 ubicación de memoria? (Nota: la primera dirección siempre es cero.)

13 ~ R(~sp"('sléIS a las d(~ of En un CD de audio, la señal de voltaje de audio por lo general se muestrea aproximadamente a 44,000 veces por segundo y el valor de cada muestra se graba en la superficie del CD como un número binario. En otras palabras, cada número binario grabado representa un punto individual de voltaje en la fonda de onda de la señal de audio. (a) Si los números binarios tienen una longitud de seis bits, cuántos valores de voltaje se pueden representar mediante un solo número binario? Repita para ocho bits y diez bits. (b) Si se usan números de 10 bits, cuántos bits se grabarán en el CD en un segundo? (c) Si un CD nonnalmente almacena 5,000 millones de bits, cuántos segundos de audio se pueden grabar cuando se usan números de diez bits? Una cámara en blanco y negro coloca una red fina sobre la imagen y luego mide y registra un número binario que representa el nivel de gris que ve en cada celda de la red. Por ejemplo, si se usan números de cuatro bits el valor del color negro se fija igual a 0000, y el valor del color blanco a 1111, y cualquier nivel de gris está en algún punto entre 0000 y Si se usan números de seis bits, el negro es 00000o, el blanco es , y todos los tonos grises se encuentran entre estos dos valores. Suponga que deseamos distinguir entre 254 niveles de gris dentro de cada celda de la red. Cuántos bits necesitaríamos usar para representar estos niveles? Haga una tabla que muestre las representaciones binaria, octal, hex y BCD de todos los números decimales de O a 15. Compare sus resultados con la tabla 2-3. RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE REPASO SECCiÓN SECCiÓN Uno SECCiÓN 2-2 SECCiÓN bits l. 43, 4F, 53, 54, 20, 3D, 20, 24, 37, STOP SECCiÓN ; , 630, 7. Oa4095 SECCiÓN C2D; 11<XXX>lOl10l 3. 97B5 ~,,~4. E9E, E9F, EAO, EAl O a 65,535 SECCIÓN A Dos errores en los datos no cambiarían la condición de impar o par de números unos en los datos. SECCiÓN 2-5 l ; (BCD) Ventaja: facilidad de conversión. Desventaja: BCD requiere más bits.

14 Problemas propuestos Realice las siguientes conversiones de sistemas numéricos: 13 of 20 (a) =?16 (b) =?2 (c) =?16 (d) 67.24g = 72 (e) = '16 (f) F3AS16 =?2 (g) =?8 (h) AB3D16 =?2 (i) =?8 (j) ISC.3816=?2 2.2 Convierta los siguientes números octales en binarios y hexadecimales: (a) 10238=?2=116 (b) =12=116 (c) = 72 =?16 (d) = 12 = 116 (e) =?2=?16 (f) =?2=?16 Convierta los siguientes números hexadecimales en binarios y octales: (a) = 12 = 18 (b) 7E6A16 =?2 =?8 (c) AB<:[)16 = 12 = 18 (d) <:3S()16 =?2 =?8 (e) 9E36.7AI6=?2=?8 (1) DEAD.BEEFI6=?2=?8

15 2.4 Cuáles son los valores octales de los cuatro bytes de 8 bits en el número de 32 bits que tiene la representación octal s? 2.5 Convierta los siguientes números en decimales: (a) =110 (b) =110 (c) =110 (d) 67.24g=110 (e) = 110 (f) F3A516 = 110 (g) 1201~ = 110 (h) A83DI6 = 110 (i) 71568=110 (j) 15C.3816=110 Realice las siguientes conversiones de sistemas numéricos: (a) = 12 (b) = 18 (c)20910= 12 (d) = 18 (e) 13210=12 (f) =116 (g) 72710=1S (h) 571~10=116 (i) =18 (j) =116 Sume los siguientes pares de números binarios, mostrando todos los acan'eos: (a) (b) (c) (d) Repita el' problema 2.7 usando la resta en vez de la suma, y mostrando los préstamos en, - -- ~-, lugar de los acarreos. 2.9 Sume los siguientes pares de números octales: Problemas propuestos of (b) (c) (d) , Sume los pares siguientes de números hexadecimales: 1372 (b) 4FIA5 (c) F35B (d) E6 + IBc.x>F C44E 2.11 Escriba las representaciones de complemento a uoos y complemento a dos, de magnitud con signo de 8 bits, para cada uno de estos números decimales: +18,+115, +79, -49,-3, Indique si ocun'e o no desbordamiento cuando se suman los siguientes números de complemento a dos de 8 bits: (a) (b) (c) (d) Cuántos errores pueden detectarse por un código con distancia mínima d? 2.14 CdI es el número mínimo de bits de paridad que se requieren para obtener un código bidimensional, de distancia 4 con n bit!! de información?

16 76 Caprtulo 2 Sistemas y códigos numéricos 15 of 20 Ejercicios 2.15 Aquí tenemos un problema para abrir su apetito: Cuál es el equivalente hexadecimal de ? 2.16 Cada una de las siguientes operaciones aritméticas es conecta en por lo menos un sistema numérico. Determine las posibles bases de los números en cada operación. (a) = 6666 (b) 41/3 = 13 (c) 33/3= 11 (d) = 223 (e) 302/20 = 12.1 (f) 14 = La primera expedición a Marte encontró sólo las ruinas de una civilización. De los artefactos e imágenes, los exploradores dedujeron que las criaturas que produjeron esta civilización eran seres de cuatro piernas con un tentáculo que se ramificaba al final en un número de "dedos" prensiles. Después de mucho estudio, los exploradores fueron capaces de traducir las matemáticas marcianas. Encontraron que la siguiente ecuación: 5x2-5Ox = O con las soluciones indicadas X = 5 Y X = 8. El valor X = 5 parecía bastante legítimo, pero x = 8 requería alguna explicación. Entonces los exploradores reflexionaron en la manera en que se desarrolló el sistema numérico de la Tierra, y hallaron evidencia de que el sistema marciano tenía una historia semejante. Cuántos dedos diría usted que tenían los marcianos? (De The Be"' o/ Tau Bela Pi, febrero, 1956.) 2.18 Supongamos que un número B de 4n bit" está representado por un número hexadecimal H de " dígitos. Demuestre que el complemento a dos de B está representado por el complemento a 16 de H. Establezca y demuestre una proposición similar para la representación oclal Repita el ejercicio 2.18 usando el complemento a uno de B Y el complemento a 15 de H Dado un entero x en el intervalo _2n-1 :sx:s 2n-1 - l. definimos [x] como la representación de complemento a dos de x, expresada como un número positivo: [x] = x si x ~ O Y [x] = 2" -Ixl si x < O, donde Ixl es el valor absoluto de x. Demuestre que las reglas de la suma del complemento a dos dadas en la sección 2.6 son correctas, probando que la siguiente ecuación es siempre verdadera: (Sugen'ncias: considere cuatro casos basados en los signos de x y de y. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que Ixl 2: Iyl.) 2.21 Repita el ejercicio 2.20 utilizando reglas y expresiones apropiadas para la suma del complemento a unos. Establezca una regla de desbordamiento para la suma de dos números en complemento a dos en ténninos de operacione~ de conteo en la representación modular de la figura 2-3. Demuestre que un número en complemento a dos puede ser convertido a una representación con más bits mediante la extensión de signo. Es decir. dado un número X en complemento a dos de n bits. muestre que la representación en complemento a dos de m bits de X. donde m > n. puede ser obtenida agregando m-n copias del bit de signo de X a la izquierda de la representación de n bits de X. [x+ y] = ([x] + [y]) módulo 2n

17 Ejercicios of S Demuestre que un número de complemento a dos puede convertirse a una representación con menos bits eliminando los bits de mayor orden. Es decir, dado un número X en complemento a dos de n bits, demuestre que el número Y en complemento a dos de m bits obtenido al descartar los d bits más a la izquierda de X representa el mismo número que X. si y sólo si los todos bits descartados igualan el bit de signo de r Por qué es inconsistente la puntuación de "complemento a dos" y "complemento a uno"? (Véanse las primeras dos citas en la sección de Referencias.) Un sumador binario de n bits puede ser utilizado para efectuar una operación de resta sin signo de n bits X - ~ realizando la operación X + y + 1, donde X y y son números sin signo de n bits y la Y representa el complemento bit a bit de r Demuestre este hecho como sigue. Primero, pruebe que (X - Y) = (X + Y + 1) - 2". Segundo, demuestre que el acarreo de salida del sumador de n bits es lo opuesto al préstamo de la resta de n bits. Es decir, muestre que la operación X - Y produce un préstamo de salida de la posición MSB si y sólo si la operación X + Y + I no produce un acarreo de salida de la posición MSB. En la mayoría de los casos, el producto de dos números de complemento a dos de n bits requiere menos de 2n bits para representarlo. De hecho, existe solamente un caso en el cual 2n bits son necesarios. Encuentre cuál es este caso. Demuestre que un número de complemento a dos puede ser multiplicado por 2 al desplazarlo una posición hacia la izquierda. con un acarreo de O en la posición del bit menos significativo y despreciando cualquier acarreo fuera de la posición del bit más significativo, suponiendo que no hay desbordamiento. Establezca la regla para detectar el desbordamiento. Establezca y pruebe la exactitud de una técnica semejante a la que se describe en el ejercicio 2.28, para multiplicar un número de complemento a uno por 2. Demuestre cómo restar números BCD, estableciendo las reglas para generar préstamos y aplicando un factor de corrección. Demuestre cómo se aplican sus reglas a cada una de las restas siguientes: 9-3, 5-7, 4-9, I - 8. Cuántas codificaciones diferentes de estado binario de 3 bits son posibles para el controlador de semáforos de la tabla 2-12? Enumere todas las fronteras "malas" en el disco de codificación mecánica de la figura 2-5, donde una posición incorrecta puede ser detectada. Como una función de n, cuántas fronteras "malas" existen en un disco de codificación mecánica que utiliza un código binario de n bits? Los transpondedores (emisores-receptores automáticos de identificación) de altitud a bordo en las aeronaves comerciales y privadas utilizan código Gray para codificar las lecturas de altitud que se transmiten a los controladores de tráfico aéreo. Por qué? Un foco incandescente se tensiona cada vez que se enciende, de nk>do que en algunas aplicaciones el tiempo de vida del foco está limitado por el número de ciclos de encendido! apagado en lugar del tiempo total que ilumina. Utilice sus conocimientos de códigos para sugerir una manera de duplicar el tiempo de vida de focos de 3 intensidades en tales aplicaciones. Como una función de n, cuántos subcubos distintos se tienen de un cubo n? Encuentre una manera de dibujar un cubo 3 sobre una hoja de papel (u otros objetos bidimensionales) de modo que ninguna de las líneas se crucen, o demuestre que eso sea imposible. Repita el ejercicio 2.37 para un cubo 4.

18 78 Capítulo 2 Sistemas y códigos numéricos of 20 Escriba una fónnula que nos dé el número de subcubos m de un cubo n para un valor específico de m. (Su respuesta debería ser una función de n y m.) Defina grupos de paridad para un código Hamming de distancia 3 con 11 bit s de información. Escriba las palabras de código de un código de Harnming con un bit de infonnación. Exponga el patrón para un error de 3 bits que no es detectado si los bits de paridad de "esquina" no se incluyen en los códigos bidimensionales de la figura El (ndice de un código es la razón del número de bits de infonnación con respecto al número total de bits en una palabra de código. Los índices altos, cercanos al, son deseables para una eficaz transmisión de la infonnación. Construya una gráfica que compare los índices de códigos de paridad de distancia 2 y códigos Harnming de distancia 3 y 4 hasta de 100 bits de infonnación. Qué tipo de código de distancia 4 tiene un índice mayor: un código bidirnensional o un código de Harnming? Apoye su respuesta con una tabla del estilo de la tabla incluyendo el índice así corno también el número de bits de paridad Y de información de cada código hasta llegar a 100 bits de infonnación. Muestre cómo construir un código de distancia 6 con cuatro bit~ de infonnación. Escriba una lista de sus palabras de código. Describa las operaciones que deben realizane en un sistema RAID para escribir nuevos datos en el bloque de infonnación b en la unidad d de manera que los datos puedan ser recuperados en el caso de un error en el bloque b en cualquier unidad. Minimice el número de accesos a disco requeridos. Del mismo modo que en la figura dibuje las formas de onda para el patrón de bit~ cuando se envía en serie utilizando los códigos NRz. NRZI, RZ, BPRZ Y Manchester. suponiendo que los bits sean transmitidos en orden de izquierda a derecha.

19 PROBLEMAS ~- ~.. -1 Enumere los números octales y hexadecimales del 16 al 32. Utilizando A y B como 18 últimos of 20 dos dígitos, dígitos. enumere los números del 10 al 26 en base Cuántos bytes hay exactamente en un sistema que contiene a) 32K bytes, bytes. b) 64M bytes, bytes. y c) 6.4G 6.40 bytes? 1. 3 Dé el número binario más grande que se puede expresar con 12 bits. Dé su equivalente decimal y hexadecimal. 1-4 Convierta a decimal los números que siguen en las bases indicadas: (4310)~ (4310), y (198)12' (198)12-

20 I 19 of 20 Problemas Determine en cada caso la base de los números, de modo que las operaciones sean correctas: a) 14/2 = 5; b) 54/4 = 13, Y c) = La solución de la ecuación cuadrática xl - Ilx + 22 = O es x = 3 y x = 6. Qué base tienen los números? 1-7 Exprese estos números en decimal: ( )2' (16.5)16 Y (26.24)8' 1-8 Convierta estos números binarios a hexadecimal y decimal: a) , b) Explique por qué la respuesta decimal a b) es 8 veces la de a). 1-9 Convierta el número hexadecima168be a binario y, de binario, conviértalo a octal Convierta el número decimal 345 a binario de dos maneras: a) conviértalo directamente a binario; b) conviértalo primero a hexadecimal, y luego de hexadecimal a binario. Qué método es más rápido? 1-11 Resuelva los siguientes problemas de conversión:, a) Convierta el número decimal a binario. b) Calcule el equivalente binario de 1/3 hasta ocho posiciones. Luego conviértalo de binario a decimal. Qué tan cercano a 1/3 es el resultado? c) Convierta el resultado binario de b) a hexadecimal. Luego convierta el resultado a decimal. La respuesta es la misma? 1-12 Sume y multiplique los números siguientes sin convertirlos a decimal. a) Números binarios 1011 y 101. b) Números hexadecimales 2E y Realice esta división en binario: Obtenga el complemento a nueve y a diez de los números decimales siguientes: a) b) c) 1(xxxx)oo d) (XX)O(XX)() a) Obtenga el complemento a 16 de AF3B. b) c) d) Convierta AF3B a binario. Obtenga el complemento a dos del resultado de b). Convierta la respuesta de c) a hexadecimal y compárela con la respuesta de a) Obtl enga los complementos a uno y a dos de estos números binarios: a) b) c) (xxxxxx)1 d) 1(XXXXXX) (e) (XX)OOOOO Efectúe la resta de los siguientes números sin signo utilizando el complemento a 10 del sustraendo. Si el resultado es negativo. obtenga su complemento a 10 Y antepóngale un signo menos. Compruebe sus respuestas. a) b) c) d) Efectúe la resta de los siguientes números binarios sin signo utilizando el complemento a dos del sustraendo. Si el resultado es negativo, obtenga su complemento a dos y antepóngale un signo menos. a) b) c) d) Los números decimales que siguen se presentan en forma de magnitud con signo: +9S26 y Conviértalos a la forma de complemento a 10 con signo y realice las operaciones siguientes (tome nota de que la suma es y requiere seis dígitos): a) (+9826) + (+801) b) (+9826) + (-SOl) c) (-9826) + (+801) d) (-9826) + (-SOl) Convierta los números decimales +61 y +27 a binario empleando la representación de complemento a dos con signo y suficientes dígitos para dar cabida a los números. Luego efectúe el equivalente binario de (+27) + (-61), (-27) + (+61) Y (-27) + (-61). eoovierta las respuestas a decimal y verifique que sean correctas.

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