La distribución de Poisson es de tipo exponencial con parámetro dispersión 1.

Transcripción

1 Reclaaciones y Edad (Pawitan). Una copañía aseguradora quiere conocer cóo depende el núero de reclaaciones de los clientes con cierta póliza, de su edad. El archivo reclaaciones.txt contiene los datos de edad en años y núero de reclaaciones efectuadas durante el últio año por los 153 clientes con la citada póliza. Ajusta un odelo log-lineal de poisson. Interpreta y valora el ajuste del odelo. Estia el núero edio de reclaaciones de los individuos de 50 años. Estia la edad de los individuos que presentan 3 reclaaciones. > datos <- read.table("d:\\...\\reclaaciones.txt", header=t) > datos[1:5, ] edad reclaa > x <- datos$edad ### edad > y <- datos$reclaa ### nº de reclaaciones > n <- length( x ) > n [1] 153 > options(digits=4) Núero edio de reclaaciones: > <- ean(y) > [1] > y.factor <- as.factor(y) > levels(y.factor) [1] "0" "1" "2" "3" "4" "5" "6" "7" "8" > table(y.factor) y.factor La distribución de Poisson es de tipo exponencial con paráetro dispersión 1. 1

2 Edad edia de los clientes: > x <- ean(x) > x [1] > x.factor <- as.factor(x) > anios <- as.nueric( levels(x.factor) ) Núero edio de reclaaciones en cada grupo de edad: > y.full <- tapply( y, x.factor, ean ) > y.full > ### gráfico con los datos ### > x11() > plot( x, y+runif(n,0,0.2), xlab="edad", ylab="reclaaciones" ) > ### añade las edias de los distintos grupos de edad ### > lines( anios, y.full, type="b", lty=3, pch="", cex=0.7 ) > ### edia global del odelo nulo ### > abline( h =, lty=3 ) ### =ean(y) > ### añade la recta de regresión ### > abline( lsfit(x,y)$coef, lty=3 ) reclaaciones EDAD 2

3 Ajuste de un odelo Poisson log-lineal logverosiilitud: Score: Eleento (j,k) de la inforación observada: Matriz de inforación de Fisher y covarianza asintótica de los EMV de los beta: Interpretación del odelo: es la respuesta edia de los individuos que valen 0 en todas las variables explicativas. 3

4 En nuestro ejeplo, considerareos la variable explicativa edad centrada para reducir la correlación de los estiadores del predictor lineal. > xc <- x-x > xc <- gl( y ~ xc, faily=poisson ) > suary( xc ) Call: gl(forula = y ~ xc, faily = poisson) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estiate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) e-15 *** xc e-07 *** (Dispersion paraeter for poisson faily taken to be 1) Null deviance: on 152 degrees of freedo Residual deviance: on 151 degrees of freedo AIC: Nuber of Fisher Scoring iterations: 5 > b0 <- as.nueric( xc$coef[1] ) > b1 <- as.nueric( xc$coef[2] ) > y.fun <- function( x ) { exp(b0+b1*(x-x)) } ### edad x > curve(y.fun, add=t, lwd=2, col="blue") > confint( xc ) Waiting for profiling to be done % 97.5 % (Intercept) xc > cov.b <- vcov( xc ) > corb0b1 <- cov.b[1,2]/sqrt(cov.b[1,1]*cov.b[2,2]) > corb0b1 [1] ### sería con la edad no centrada 4

5 Cuál es el núero edio de reclaaciones de los clientes de 50 años? > ### edia de reclaaciones a edad 50: y50 > alfa <- 0.05; confianza <- 1-alfa > x50 <- 50 > eta50 <- b0+b1*(x50-x) ### predictor lineal > y50 <- exp( eta50 ) ### edia estiada > se.eta50 <- sqrt( cov.b[1,1]+2*(x50-x)*cov.b[1,2]+cov.b[2,2]*(x50-x)^2 ) > inf.y50 <- exp( eta50 - qnor(1-alfa/2)*se.eta50 ) > sup.y50 <- exp( eta50 + qnor(1-alfa/2)*se.eta50 ) > cbind( x50, y50, inf.y50, sup.y50, eta50, se.eta50, confianza ) x50 y50 inf.y50 sup.y50 eta50 se.eta50 confianza [1,]

6 De qué edad son los clientes que presentan 3 reclaaciones anuales? Método delta: Denotareos por ra el nº de reclaaciones y por xra la edad asociada > ra <- 3 > xra <- as.nueric( ((log(ra)-b0)/b1) + x ) ### x = ean(x) > dxra <- as.nueric( c(-1/b1, (b0-log(ra))/b1^2) ) ### derivadas de xra respecto betas > se.xra <- as.nueric( sqrt( dxra%*%cov.b%*%dxra ) ) ### étodo delta > ic.inf.xra <- xra - qnor(1-alfa/2)*se.xra > ic.sup.xra <- xra + qnor(1-alfa/2)*se.xra > cbind( ra, xra, se.xra, ic.inf.xra, ic.sup.xra, confianza ) ra xra se.xra ic.inf.xra ic.sup.xra confianza [1,]

7 Gráfico con los datos, el odelo ajustado y los intervalos calculados: > x11() > plot( x, y+runif(n,-0.1,0.1), xlab="edad", ylab= "reclaaciones", + ain="odelo log-lineal de poisson", cex.ain=0.9 ) > lines( anios, y.full, type="b", lty=1, pch="", cex=0.7 ) > curve( y.fun, lwd=2, col="blue", add=t ) > abline( v=x50, lty=3 ) > segents( x50, inf.y50, x50, sup.y50, lwd=3, col="blue" ) > abline( h=ra, lty=3 ) > segents( ic.inf.xra, ra, ic.sup.xra, ra, lwd=3, col="blue" ) odelo log-lineal de poisson reclaaciones EDAD 7

8 Y si consideraos los datos agrupados por edades? > yg <- y.full ### edias en los grupos de edad de anios > ni <- tapply( y, x.factor, length ) > <- length( yg ) > [1] 24 Los datos en los 24 grupos de edad: > cbind( yg, anios, ni ) yg anios ni Deviance para coparar dos odelos anidados: 8

9 Ajuste del odelo con los datos agrupados: > anios0 <- anios-x ### años centrados > g0 <- gl( yg ~ anios0, faily=poisson, weights=ni ) Hubo 17 avisos (use warnings() para verlos) > suary(g0) Call: gl(forula = yg ~ anios0, faily = poisson, weights = ni) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estiate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) e-15 *** anios e-07 *** (Dispersion paraeter for poisson faily taken to be 1) Null deviance: on 23 degrees of freedo Residual deviance: on 22 degrees of freedo AIC: Inf Nuber of Fisher Scoring iterations: 4 > vcov( g0 ) ### igual que xc (Intercept) anios0 (Intercept) anios Ajuste del odelo log-lineal de Poisson con SAS options linesize=132 pagesize=500; data A; infile 'D:\...\reclaaciones.txt'; input edad reclaa; run; proc eans data=a; var _ALL_; run; data B; set A; eda0 = edad ; proc genod data=b; odel reclaa = eda0 / dist=poi link=log type1 type3 corrb lrci waldci; output out=sal_reclaa pred=predicho xbeta=xbeta lower=inf_pre upper=sup_pre; run; Resultado de PROC MEANS: Procediiento MEANS Variable N Media Dev tip Mínio Máxio ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ edad reclaa ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ 9

10 Resultados de PROC GENMOD, ajustando el odelo con la variable edad centrada: Procediiento GENMOD Inforación del odelo Conjunto de datos Distribución Función de vínculo Variable dependiente WORK.B Poisson Log reclaa Núero de observaciones leídas 153 Núero de observaciones usadas 153 Inforación del paráetro Paráetro Pr1 Pr2 Efecto Intercept eda0 Criterios para valorar la bondad de ajuste Criterio DF Valor Valor/DF Desviación Desviación escalada Chi-cuadrado de Pearson Pearson X2 escalado Verosiilitud log Verosiilitud log copleta AIC (ejor ás pequeño) AICC (ejor ás pequeño) BIC (ejor ás pequeño) Algorito convergido. Matriz de correlación estiada Pr1 Pr2 Pr Pr Análisis de estiadores de paráetros de áxia verosiilitud Cociente de verosiilitud Error Wald 95% Líites 95% Líites Chi-cuadrado Paráetro DF Estiador estándar de confianza de confianza de Wald Pr > ChiSq Intercept <.0001 eda <.0001 Escal NOTE: El paráetro de escala se ha antenido fijo. Estadísticos LR para análisis tipo 1 Chi- Fuente Desvianza DF cuadrado Pr > ChiSq Intercept eda <.0001 Estadísticos LR para análisis de tipo 3 Chi- Fuente DF cuadrado Pr > ChiSq eda <

11 > ###### BOOTSTRAP sobre la uestra (x, y) ####### > datos <- read.table("d:\\...\\reclaaciones.txt", header=t) > x <- datos$edad > y <- datos$reclaa > n <- length( x ) > x <- ean(x) > xc <- x-x >.gl <- gl( y ~ xc, faily=poisson ) > b0 <-.gl$coef[1] > b1 <-.gl$coef[2] > cbind(b0, b1) b0 b1 (Intercept) > yhat <- exp( b0+b1*xc ) > resid <- y-yhat > B < > b0.star <- NULL > b1.star <- NULL > for(i in 1:B ) { + subind <- saple(1:n, n, replace=t) + xc.star <- xc[subind]-ean(xc[subind]) + y.star <- y[subind] + od.aux <- gl( y.star ~ xc.star, faily=poisson ) + b0.star[i] <- od.aux$coef[1] + b1.star[i] <- od.aux$coef[2] + } > se.b0.boot <- sd(b0.star) > se.b1.boot <- sd(b1.star) > cor.b0b1.boot <- cor(b0.star, b1.star) > cbind(b0, se.b0.boot, b1, se.b1.boot, cor.b0b1.boot) b0 se.b0.boot b1 se.b1.boot cor.b0b1.boot (Intercept) > quantile(b0.star, c(0.025, 0.05, 0.5, 0.95, 0.975)) 2.5% 5% 50% 95% 97.5% > quantile(b1.star, c(0.025, 0.05, 0.5, 0.95, 0.975)) 2.5% 5% 50% 95% 97.5% > x11() > hist(b0.star, breaks=30, probability=t) > rug(quantile(b0.star, c(0.025, 0.05, 0.5, 0.95, 0.975))) > x11() > hist(b1.star, breaks=30, probability=t) > rug(quantile(b1.star, c(0.025, 0.05, 0.5, 0.95, 0.975))) > curve(dnor(x,b1,se.b1.boot), add=t) > lines(density(b1.star), lty=3) 11

12 Histogra of b0.star Density b0.star Histogra of b1.star Density b1.star 12