EL PRIMER ESLABÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN LASFACULTADES DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES: LOS ANÁLISIS ECONÓMICOS LINEALES

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1 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis EL PRIMER ESLABÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN LASFACULTADES DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES: LOS ANÁLISIS ECONÓMICOS LINEALES Gabriela Mónica Fernández Barberis María del Carmen Escribano Ródenas Universidad San Pablo CEU RESUMEN Los rogramas de la asignatura Matemáticas de rimer curso de las Facultades de CC. Económicas y Emresariales, en muy ocos casos, suelen incluir un rimer caítulo introductorio destinado a familiarizar a los alumnos con los rinciales concetos de la ciencia económica y con la formulación matemática de los roblemas económicos, incluso, si este tema aarece en la relación de contenidos, en la realidad no se imarte. En la Universidad San Pablo CEU, la exeriencia nos ha conducido a incororar un caítulo que denominamos Análisis Económicos Lineales. De esta manera se introduce el conceto de relación lineal en el ámbito del análisis económico, distinguiendo así, distintos tios de relaciones y diferentes formulaciones matemáticas aroiadas ara cada una de aquellas. Teniendo en cuenta que un análisis económico cuantitativo se inicia mediante un roceso de modelación que finaliza con la formulación de un modelo matemáticoeconómico, se distinguen distintos tios de modelos económicos lineales, oniendo esecial énfasis no sólo en la formulación matemática de los modelos sino también en la utilización de las herramientas matemáticas aroiadas ara su resolución. Si bien son numerosos los camos de la Economía en los que se realizan análisis cuantitativos que dan lugar a modelos económicos lineales, es de la rogramación de la roducción de la emresa en el corto lazo con tecnología lineal el que ermite formular algunos modelos lineales de comatibilidad y de rogramación lineal que ueden servir de guía ara la formulación de cualquier otro modelo económico lineal. De esta forma, los alumnos adquieren la motivación or la asignatura desde el rinciio, y conocen algunas de las necesidades matemáticas de la ciencia económica que les ermitirá afrontar más satisfactoriamente el resto de la asignatura. Palabras clave: Formulación matemática, modelo matemático-económico, modelos económicos lineales. XIII Jornadas de ASEPUMA

2 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C.. INTRODUCCIÓN Desde comienzos del siglo XIX las Matemáticas han hecho inmersión en la Economía, y su emleo continúa siendo cada vez mayor y de más utilidad. La gran variedad de análisis económicos existentes motiva que sean muy diversas las necesidades matemáticas de la Economía. En la mayoría de los análisis económicos rige el carácter hiotético-deductivo siendo ésta una característica que otencia la utilización de las Matemáticas como un instrumento que facilita la formulación de los análisis y rioriza la deducción. Por ello es muy imortante familiarizar a los alumnos con los rinciales concetos de la ciencia económica y con la formulación matemática de los roblemas económicos, ya desde el rimer curso en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales. El gran reto en la enseñanza de la Matemática a los alumnos de las facultades de Ciencias Económicas y Emresariales consiste en comatibilizar el rigor en la exosición, imrescindible si queremos dar un carácter formativo a la asignatura, con el necesario acercamiento a los entes matemáticos, sus roiedades y las relaciones entre ellos ara conseguir una flexibilidad en su manejo como instrumento en el roceso de modelación económica. La gran variedad de análisis económicos existentes motiva que sean muy diversas las necesidades matemáticas de la Economía, ero en esa etaa inicial de sus estudios, se one énfasis en los Análisis Económicos Lineales y en la noción de equilibrio económico. Es imrescindible resentar la asignatura de Matemáticas a los alumnos con una didáctica que les motive en la utilización de las roias Matemáticas como herramienta ara todas las demás asignaturas de su carrera económica. Desafortunadamente, estudiar matemáticas es, ara muchos, algo semejante a tomar una amarga medicina, necesaria e ineludible, ero extremadamente tortuosa. Tal actitud, referida como mate-ansiedad, en general tiene sus raíces creo yo en la manera oco roicia en la que a menudo se han resentado las matemáticas a los estudiantes. 3 La necesidad de este uso matemático en la Economía es fundamental ara incentivar al alumno en el estudio de las Matemáticas. La adecuación de los rogramas de Matemáticas ara estas titilaciones en concreto es imrescindible en nuestra realidad docente, y en la mayoría de los casos, esta adecuación se limita a Gutiérrez, S. (987): Álgebra Lineal ara la Economía. Editorial AC. Madrid, ág.. Gutiérrez, S. (987): Álgebra Lineal ara la Economía. Editorial AC. Madrid, ág. ix. 3 Chiang, A. (987): Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Edit. McGraw Hill, ág. xiii. XIII Jornadas de ASEPUMA

3 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis colocar en el título de la asignatura o del libro de la misma, algún adjetivo o determinativo, relativo a la emresa o a la economía, emezando y terminando con temas uramente matemáticos, con ejemlos y ejercicios totalmente matemáticos, en los que ocas veces se incluyen enunciados de tio económico cuando debe ser casi al contrario. A veces damos imortancia a lo económico no solamente ara motivar un tema matemático, sino ara ayudar a tener una intuición matemática 4. A continuación, se resenta una rouesta de tema introductoria en la asignatura de Matemáticas que uede ayudar a mejorar la motivación de nuestros alumnos hacia nuestra asignatura, siguiendo la metodología didáctica del rofesor Silesio Gutiérrez 5, del que intentamos ser sus discíulas.. LA IDEA DE EQUILIBRIO ECONÓMICO Todo sistema económico requiere la existencia de agentes económicos (roductores, consumidores, etc.), de disonibilidades de factores roductivos y de la disonibilidad de cierto tio de tecnología, conforme a la cual se combinan los recursos ara obtener bienes y servicios destinados a satisfacer las múltiles necesidades, reales o otenciales. Así ues, cada sistema económico se enfrenta al comlejo roblema de cómo organizar la roducción y como efectuar la distribución de bienes y recursos. La factibilidad de los lanes de roducción está condicionada or la tecnología disonible y or la disonibilidad de recursos; ero ello no es suficiente ya que, es necesario conocer los comortamientos de los agentes económicos y las reglas de funcionamiento del sistema económico, ara determinar cuáles de los lanes de roducción considerados como factibles son los que, en definitiva, deben llevarse a cabo. Es lógico que la actitud de los agentes económicos esté encaminada a lograr, dentro de todas las asignaciones factibles, aquella que resulte ser la más satisfactoria ara ellos; bien uede decirse que es aquella que les reorte el máximo rendimiento. Por consiguiente, uede decirse que los agentes económicos están orientados or comortamientos otimizadores. 4 Sydsaeter, K.; Hammond, P. (996): Matemáticas ara el Análisis Económico. Editorial Prentice Hall, ág.xvii. 5 Caítulo Análisis Económicos Lineales del libro Matemáticas alicadas a la economía y la emresa (997). Editorial AC. Madrid. XIII Jornadas de ASEPUMA 3

4 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C. El sistema económico debe funcionar de manera tal que, conduzca a una asignación de recursos mediante la cual, los comortamientos de todos los agentes económicos sean comatibles simultáneamente. Para lograr esa comatibilidad se requiere de algún mecanismo que sea caaz de coordinar la actuación de los agentes, es decir, que revele y transmita la información relevante que osee cada agente, osibilitando así que el roceso de asignación de recursos conduzca a un equilibrio. Se observa que, la noción de equilibrio económico se fundamenta en dos ilares esenciales: los comortamientos otimizadores de los agentes económicos y la comatibilidad de sus acciones simultáneas. Los comortamientos otimizadores de los agentes económicos individuales son los que determinan sus demandas y ofertas que, una vez agregadas, dan origen a las demandas y ofertas de los mercados. Sabemos que, or la ley de la oferta y la demanda, un mercado alcanza su equilibrio al igualarse la oferta y la demanda, es decir, cuando se hacen comatibles los comortamientos otimizadores de los agentes individuales que intervienen. Si a su vez, existiera comatibilidad en los equilibrios de los diferentes mercados, se llegaría a lograr el equilibrio del sistema económico en su conjunto. Si ahora analizamos lo exuesto hasta aquí desde el unto de vista matemático, un comortamiento otimizador equivaldría al roblema matemático de encontrar los valores que han de alcanzar n variables ara que hagan máximo o mínimo el valor de una función que deende de ellas, llamada función objetivo. Por lo general, dichas variables están sometidas a un conjunto de restricciones, dado que en la realidad, la disonibilidad de recursos no es ilimitada. Este roblema matemático ertenece a la llamada otimización matemática, en sus distintas variantes y grados de comlejidad. En cuanto a la comatibilidad de los comortamientos de los agentes económicos, el roblema matemático que subyace detrás, es el equivalente a encontrar la solución, si existe, de un sistema de ecuaciones. Puede concluirse, ues, que las técnicas de otimización matemática y de sistemas de ecuaciones son las necesidades matemáticas esenciales ara los análisis de equilibrio económico. 4 XIII Jornadas de ASEPUMA

5 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis 3. LOS ANÁLISIS ECONÓMICOS LINEALES Los análisis económicos lineales reresentan un enfoque sumamente imortante ara la Ciencia Económica y al que también se le conoce como análisis de rocesos o actividades. Dado que las necesidades matemáticas de los análisis lineales son, fundamentalmente, las técnicas que se derivan del álgebra lineal, es imrescindible que el alumno maneje con soltura los concetos económicos y relacione los mismos con las herramientas matemáticas aroiadas ara resolver los roblemas económicos a los que se enfrente. Asimismo, en los equilibrios de los agentes individuales se recisa, dentro de la otimización matemática, de la rogramación lineal y, en los equilibrios que comatibilizan las acciones de los agentes económicos se requieren técnicas de resolución de sistemas lineales. 3.. Las Relaciones Lineales Dentro de las Ciencias Sociales, aquella que requiere de un mayor nivel de cuantificación es la Ciencia Económica. La mayoría de las magnitudes económicas se exresan mediante variables que tienen una corresondencia biunívoca con el conjunto de los números reales. Dentro de dichas magnitudes, las que se utilizan más frecuentemente en este caítulo introductorio de la asignatura Matemáticas, se encuentran las cantidades y los recios, ya sean cantidades de factores roductivos o de roductos terminados. Es muy imortante tener en cuenta que, dichas variables económicas no aarecen aisladamente sino, vinculadas entre sí a través de distintos tios de relaciones. Las relaciones más sencillas que ueden establecerse entre las n variables x,...,, x x n son las relaciones lineales, tanto de igualdad como de desigualdad, esto es: a x + a x a x = b n n a x + a x a x b n n a x + a x a x b n n En la mayoría de los análisis económicos más elementales, dentro de las relaciones lineales, suelen distinguirse tres tios: a) Relaciones Contables XIII Jornadas de ASEPUMA 5

6 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C. b) Relaciones de Restricción c) Relaciones Lineales de Comortamiento. Se comentará brevemente cada una de ellas: a) Las relaciones contables son aquellas que se utilizan ara exresar una magnitud como suma de sus elementos comonentes. Así or ejemlo, el coste uede exresarse como: C ( x, x ) = cx + c x donde c, c, reresentan el coste de los factores roductivos, y x, x, reresentan las cantidades de dichos factores utilizados en un determinado roceso. Asimismo, el ingreso que se obtiene de la venta de los roductos ya terminados uede exresarse en función de los recios de los roductos (, ) y de las cantidades vendidas (x, x ): I ( x, x ) = x + x. Estos ejemlos en los que sólo se han considerado dos factores roductivos o dos roductos, ueden generalizarse ara n. b) Este tio de relaciones se utilizan ara exresar las limitaciones que imone el roio contexto económico. Dichas limitaciones se reresentan mediante restricciones, ya sea en la disonibilidad de los factores roductivos, en los niveles de satisfacción de la demanda, etc. Por ejemlo, ara exresar la limitación en la disonibilidad de algún factor roductivo, en el cual la utilización del mismo no uede suerar su disonibilidad, se usa una restricción de la forma: a i x + ai x di. c) Cuando el valor de una magnitud deende de un conjunto de variables, y dicha deendencia es de carácter lineal, se utilizan relaciones lineales de comortamiento. Con ellas se exresa cómo el comortamiento de la magnitud viene exlicado or el de las variables indeendientes. En el modelo sencillo de equilibrio del mercado aislado de un bien, suele suonerse que tanto la función de demanda ( Qd ) como la función de oferta ( Q s ), deenden del recio del bien en cuestión, siendo esa deendencia de naturaleza lineal. Por lo tanto, se exresan como: Q ( ) = a b d Q ( ) = c+ d s ( a, b, c, d 0) 6 XIII Jornadas de ASEPUMA

7 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis 4. LOS MODELOS ECONÓMICOS LINEALES El roceso de modelación mediante el cual se inicia un análisis económico cuantitativo comrende las etaas siguientes: º. Efectuar una selección del conjunto de variables que tendrán esecial relevancia en el análisis, es decir, que del conjunto de variables otenciales hay que elegir el subconjunto que estará oerativo en cada situación articular. º. Clasificar las variables relevantes, asignándoles el carácter de exógenas o endógenas, según se trate de aquellas cuyo valor viene fijado exteriormente o aquellas cuyo valor debe determinarse, resectivamente. Las rimeras son los datos del roblema y las segundas sus incógnitas. 3º. Determinar las relaciones que ueden establecerse entre las variables seleccionadas, distinguiendo el tio de relación de que se trate y formulándolas en términos matemáticos. Este roceso, una vez llevado a cabo, ermite obtener un modelo matemáticoeconómico. Si todas las relaciones que vinculan a las variables son de naturaleza lineal, entonces se trata de un modelo económico lineal. Pero, el análisis cuantitativo quedaría incomleto y carecería de utilidad, si no se comleta el mencionado roceso con la formulación de un conjunto de conclusiones adecuadamente fundamentadas con la utilización de herramientas matemáticas aroiadas. Formulado el modelo como un conjunto de relaciones matemáticas, se recisa de técnicas analíticas adecuadas al mismo ara oder extraer las conclusiones. Para la elaboración de las diferentes técnicas analíticas son determinantes las roiedades de las funciones que intervienen (continuidad, diferenciabilidad, convexidad, etc.). 6 Existen diversos criterios ara llevar a cabo la clasificación de los modelos económicos lineales, ero el más utilizado es aquel que los agrua teniendo en cuenta cuál es el objetivo del análisis. De esta forma, distinguimos:. Modelos Lineales de Comortamiento.. Modelos Lineales de Comatibilidad. 3. Modelos de Programación Lineal. 6 Vilar; Gil; Gutiérrez; Heras (993): Cálculo Diferencial ara la Economía. Un enfoque teóricoráctico. Editorial AC, ág.v. XIII Jornadas de ASEPUMA 7

8 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C.. Modelos Lineales de Comortamiento: Este tio de modelos consiste en la formulación de relaciones lineales que ermitan conocer el comortamiento de la magnitud (y) que deende de n variables { x x,..., }, x n. Así ues, la relación lineal: y = c0 + cx + c x c n xn ermite estudiar el comortamiento de y en función de n variables. Los valores de los coeficientes { c c,..., } 0, c n se obtienen mediante estimaciones, disoniendo de información emírica resecto de los valores que toman las variables en una muestra de m individuos. Este tio de análisis recurre a técnicas matemáticas de tio matricial.. Modelos Lineales de Comatibilidad: Estos modelos no son sino sistemas de ecuaciones lineales que tienen como objetivo determinar los valores de n variables { x x,..., }, x n, endógenas al modelo. Las ecuaciones reresentan las relaciones lineales que deben satisfacerse simultáneamente. Cuando el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, el modelo lineal de comatibilidad es un sistema lineal consistente, ero esto no garantiza que siemre exista solución, dado que dos ecuaciones ueden ser contradictorias, y en consecuencia, no existir solución; lo cual equivale a decir que el modelo lineal es incomatible. A su vez la ausencia de incomatibilidad no garantiza que la solución sea única. Así, odemos distinguir dos situaciones: los modelos indeterminados y los modelos determinados. En los modelos indeterminados ueden existir ecuaciones que surgen como consecuencia de una o todas las restantes, éstas son las llamadas ecuaciones redundantes. Por cada ecuación de este tio que aarezca, hay un grado de libertad ya que suele considerarse a una de las incógnitas como arámetro conocido. Por lo tanto, se manifiesta la existencia de infinitas soluciones y or ello el modelo lineal se dice que es indeterminado. Sólo uede garantizarse la existencia de solución única en un sistema consistente cuando se ha eliminado la redundancia y no existe incomatibilidad. Estos sistemas reciben el nombre de sistemas determinados. Asimismo, en el caso de que los valores de la solución tengan significado económico, nos encontramos ante un modelo de equilibrio económico, siendo aquellos los valores de equilibrio. Con resecto a las herramientas matemáticas que debemos utilizar ara la discusión y resolución, en caso de ser osible, de un sistema lineal consistente reresentativo de un modelo lineal de comatibilidad, éstas deenden de la comlejidad del sistema. 8 XIII Jornadas de ASEPUMA

9 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis En los sistemas que oseen un número reducido de ecuaciones y variables, los métodos elementales del álgebra lineal, reducción, sustitución, igualación y gráfico, son las herramientas matemáticas que necesitamos. Mientras que en aquellos sistemas con un mayor número de variables se necesitan métodos más otentes que sirvan, sea cual fuere, el número de variables. Tales métodos toman como unto de referencia las teorías del álgebra lineal, en articular, la teoría de los esacios vectoriales y la teoría de las matrices. 3. Modelos de Programación Lineal: Cuando nos encontramos frente a sistemas lineales indeterminados surge el roblema de elegir entre las infinitas soluciones osibles, aquella o aquellas que sean ótimas. Si nuestro objetivo consiste en otimizar, ya sea maximizar o minimizar, una determinada magnitud que deende linealmente de las incógnitas del sistema, estamos frente a un modelo de rogramación lineal. El método que se utiliza ara la resolución analítica de estos rogramas, es el desarrollado or Dancing y conocido como Método del Simlex. Las herramientas matemáticas que utiliza la axiomática del Método del Simlex se fundamentan en las teorías de los esacios vectoriales, de las matrices y de los conjuntos convexos. 5. LA FORMULACIÓN DE MODELOS ECONÓMICOS LINEALES Si bien son numerosos los camos de la Ciencia Económica que requieren la realización de análisis cuantitativos que a su vez dan origen a modelos económicos lineales, en el tema introductorio de la asignatura Matemáticas de los rimeros cursos de las Licenciaturas de las Facultades de CC. Económicas y Emresariales, se hace esecial énfasis en la llamada rogramación de la roducción de la emresa en el corto lazo, con tecnología lineal 7. Es aquí donde se intenta enseñar a los alumnos a formular modelos lineales de comatibilidad y de rogramación lineal, que constituyen la base fundamental ara la formulación de cualquier otro modelo económico lineal. Un rimer aso consiste en exlicar qué se entiende or tecnología lineal. Así ues, se considera que la tecnología alicada en el roceso de fabricación es lineal cuando la roducción de los bienes se efectúa combinando los factores roductivos en 7 Gutiérrez, S.; Franco, A. (997): Matemáticas alicadas a la economía y a la emresa. Editorial AC, Madrid, ág.. XIII Jornadas de ASEPUMA 9

10 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C. roorciones fijas. A su vez, cada una de las osibles formas de combinar los factores roductivos en roorciones fijas genera un roceso roductivo. De esta manera, si se disone de m factores roductivos que se combinan, y a su vez hay n rocesos roductivos que utilizan los mismos factores, se genera un conjunto de coeficientes, que configuran una tabla de doble entrada, es decir, una matriz. Cada uno de esos números, recibe el nombre de coeficiente tecnológico, a ij, que indica la cantidad del factor roductivo i que utiliza el roceso roductivo j. La información que contiene dicha matriz es muy imortante, se la conoce con el nombre de matriz de información tecnológica y se reresenta de la manera siguiente: j n Procesos Factores Productivos a a a j a n a a a j a n I a i a i a ij a in m a m a m a mj a mn Matriz de Información Tecnológica Cuando se lleva a cabo la roducción uede suceder que de cada roceso roductivo se obtenga un roducto diferente, o que sea el mismo roducto el que se obtiene en todos los rocesos roductivos. Esto ermite diferenciar entre multiroducción de roceso único, en el rimer caso y monoroducción de roceso múltile en el segundo. Lógicamente que, la información tecnológica no es suficiente ara decidir cuál será el lan de roducción más conveniente. Es necesario comletar dicha información con la información económica que roorcionan los recios de venta de los roductos. Al hablar de recios nos referimos tanto, al recio de venta de los roductos terminados, como al recio de los factores roductivos. Si se trata de un mercado de Cometencia Perfecta sabemos que los recios de venta de los roductos los fija el mercado, or lo tanto ara la emresa son datos y no tiene ningún tio de influencia sobre ellos. Consideramos que los factores roductivos, también tienen recios de mercado, ero en el corto lazo, la emresa osee una dotación fija de factores que uede asignarlos a usos alternativos dentro de ella, ero que no están en el mercado. 0 XIII Jornadas de ASEPUMA

11 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis El objetivo de la emresa, en el corto lazo, es llevar a cabo la asignación de los factores roductivos de la forma más eficiente y eficaz osible, esto imlica, determinar el lan de roducción ótimo. Es imortante señalar que el término ótimo siemre se utiliza en el sentido aretiano que se fundamenta en la idea de la eficiencia. Se analizarán los modelos económicos lineales más imortante que ueden formularse según los tios de roducción señaladas: la multiroducción de roceso único y la monoroducción de rocesos múltiles. Asimismo, se hará una breve referencia a los modelos de equilibrio de mercados. 5.. Multiroducción de Proceso Unico Cuando se lleva a cabo un lan de roducción con estas características, el roceso de roducción es único ero a través del mismo se ueden obtener roductos diferentes y múltiles. Los rinciales modelos que se utilizan aquí son:. Modelo de rocesos rentables.. Modelo de maximización de ingresos. 3. Modelo de recios internos.. Modelo de rocesos rentables. Los roductos que se obtienen en cada roceso son distintos y cada unidad roducida genera un ingreso y un coste. El roceso roductivo es rentable cuando el ingreso suera al coste, en cada uno de los roductos obtenidos. Si {,,..., n } reresenta los recios de mercado de los n roductos y { c, c,..., c m } reresenta los recios (costes) de los m factores roductivos, cada unidad roducida en el roceso j genera: Ingreso: su recio de venta j. Coste: a c + a c a j j mj c m La diferencia entre el ingreso y el coste: a c + a c a c ) mide el j ( j j mj m rendimiento neto (ganancia o érdida) de cada unidad roducida en el roceso j.. Modelo de maximización de ingresos. Mediante este modelo se retende determinar cada una de las cantidades a roducir en cada roceso de forma tal que el ingreso obtenido sea el máximo osible. XIII Jornadas de ASEPUMA

12 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C. Si denominamos { b b,..., } y {,..., }, b m a las disonibilidades fijas de los m factores roductivos, n a los recios de venta de los n roductos, el ingreso que se obtenga deenderá de las unidades roducidas en cada roceso, lo cual indica el nivel alcanzado or cada roceso roductivo. Las cantidades a roducir de cada bien, es decir, lo que reresenta cada lan de roducción, constituyen el vector de incógnitas { x x,..., }, x n. En consecuencia, el ingreso de la roducción y la cantidad emleada de cada factor roductivo son: I = x + x x n n Ingreso q = a... + i i x + ai x + ain xn Factor i-ésimo emleado. El modelo de maximización de ingresos se formula como un modelo de rogramación lineal cuya forma canónica es: Maximizar I sujeto a : q i b j j=,... m. x 0 i i=,..., n. Si el modelo de rogramación lineal anterior se formula en forma estándar, mediante la incororación de las corresondientes variables de holgura, y osteriormente se resuelve mediante el rocedimiento del simlex, se obtiene información muy relevante referida a: el lan de roducción ótimo: esto es averiguar las unidades que deben roducirse en cada roceso; las cantidades de cada factor roductivo utilizadas en la roducción; las cantidades de factores roductivos que quedan sin utilizar, es decir aquellas cantidades ociosas cuyos valores vienen dados or los valores de las holguras; el ingreso máximo osible. Una vez que cada emresa establece su lan de roducción, es osible calcular el ingreso eserado y, conforme a estos cálculos, se odrían establecer los costes (o los recios) que los factores roductivos udiesen tener ara que cada unidad roducida tuviese el mismo coste que el recio de venta del roducto terminado. Estos costes de los factores roductivos, se denominan económicamente, recios sombra o recios internos, cuando se trata de otimizar. 3. Modelo de recios internos. XIII Jornadas de ASEPUMA

13 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis Otro de los modelos que ueden obtenerse a artir del lan de roducción ótimo es el de los recios imutables a los factores roductivos. Para la formulación del modelo de recios internos, hay que determinar, en rimer lugar, cuáles son los rocesos que intervienen en el lan de roducción, dado que uede haber ciertos rocesos que no intervengan. A continuación, ara cada uno de los rocesos deben igualarse el ingreso obtenido de cada unidad roducida con el coste en que se incurre ara obtenerla. Dicho coste se obtiene considerando los recios imutables a los factores roductivos, que en definitiva son las incógnitas a determinar or el modelo. El modelo de referencia no es más que un modelo lineal de comatibilidad que se formula como un sistema que contiene tantas ecuaciones como rocesos intervengan en el lan de roducción y un número n-ésimo de incógnitas. El ingreso que se obtiene de cada unidad roducida, en esta ocasión, se denomina recio de mercado. Sean {,,..., n } ingresos, todos conocidos. Sean { c, c,..., c m } los recios internos a imutar a los m factores roductivos. El coste de una unidad del roducto j viene dada or: k = a c + a c a c, j,...,.. El modelo j j j mj = n económico se obtiene al igualar, h ingresos, h m, elegidos de entre todos los osibles: k = j,..., h. j j = Cuando el número de rocesos elegidos, h, que intervienen en el lan de roducción ótimo coincide con el número de factores roductivos, m, se obtiene un modelo que constituye un sistema lineal consistente determinado, es decir, que los recios internos obtenidos son únicos, en el caso de ser, matemáticamente, un sistema lineal comatible y determinado. 5.. Monoroducción de Procesos Múltiles Si se lleva a cabo un lan de roducción en el que se obtiene un solo bien emleando m factores roductivos a través de n rocesos roductivos, en cada roceso se obtiene una arte de la roducción del bien. Este tio de roducción se conoce en el ámbito económico como monoroducción de rocesos múltiles. Si reresentamos los niveles de los n rocesos or { x x,..., }, x n, la suma de dichos niveles x + + x +... xn, exresa la roducción total del bien. Por lo tanto, cada unidad roducida generará el mismo ingreso y el modelo de maximización de ingresos, visto XIII Jornadas de ASEPUMA 3

14 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C. anteriormente, se convierte en uno equivalente que es el modelo económico de maximización de la roducción.. Modelo de maximización de la roducción. Para determinar cuál es el lan de roducción ótimo, es decir, ara maximizar la roducción total se lantea el roblema de determinar qué cantidad debe roducirse en ( ) cada roceso x j j {,,..., n}, =. Los coeficientes tecnológicos de los n rocesos (a ij = unidades del factor roductivo i emleadas en el roceso j ara obtener una unidad de roducto) y las disonibilidades de cada factor ( b i i {,,..., m} ), = son valores conocidos. Así ues, ara determinar las cantidades de roducto a obtener en cada roceso se formula el modelo siguiente: Maximizar I= x + x xn sujeto a : a x + a x a x a... a m x, x x x + a + a m,..., x n x x a a 0 Dentro de estos modelos, también cabe la osibilidad de calcular los recios internos imutables a los factores roductivos, revio conocimiento del lan de roducción ótimo. n n mn n x n x b n b b m 5.3. Modelos de Equilibrio de Mercados Para la modelación económica de análisis de equilibrio de mercados cometitivos se recurre, generalmente, a modelos lineales de comatibilidad. En articular, se recurre a este modelo orque es el que se les exlica en la asignatura Microeconomía al comienzo del curso, considerando que es muy imortante, que el alumno reconozca la vinculación existente entre el lanteamiento uramente económico y las herramientas matemáticas necesarias ara su comrensión, ya que se establecen mercados interrelacionados de varios bienes ara calcular todos los recios osibles que ermitan el equilibrio simultáneo de dichos mercados. Si se arte del suuesto que, en los mercados interrelacionados de n bienes, tanto la demanda como la oferta de cada bien deenden linealmente de los recios de los n bienes, se retende determinar si existe un conjunto de recios ara los n bienes que igualen la demanda con la oferta de cada uno de dichos bienes. 4 XIII Jornadas de ASEPUMA

15 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis Si consideramos que la cantidad demandada del bien i-ésimo viene dada or la ecuación: i D = d... + S = s... + i i0 + di + di + din n y, la oferta corresondiente es: i0 + si + si + sin n, ara la formulación del modelo lineal de referencia debe rocederse a la igualación de ambas ecuaciones, ara cada uno de los bienes considerados. En ciertas ocasiones, se determina el exceso de la demanda resecto de la oferta ara cada uno de los bienes ( d ) y llamando l ij a esa diferencia, se obtiene otra ij s ij formulación del modelo como un sistema lineal consistente cuyas incógnitas son los recios: l l n n l n l l n... l + l + l + l nn n n n = l 0 = l = l 0 n0 Los modelos económicos lineales que se han enunciado anteriormente no hacen una exosición exhaustiva de todos los modelos lineales osibles utilizados or los economistas, sin embargo retenden ser una equeña muestra de las herramientas que ofrecen las Matemáticas y que se ueden utilizar ara formular simbólicamente roblemas económicos ara desués resolverlos, sencillamente, con la elegancia de las Matemáticas. 6. CONCLUSIONES. Los alumnos de rimer curso de las distintas titulaciones de las Facultades de CC. Económicas y Emresariales se encuentran, or lo general, comletamente desmotivados ara la asignatura de Matemáticas.. La incororación de un rimer tema introductorio en los rogramas de la asignatura Matemáticas dedicado a los Análisis Económicos Lineales, constituye un aso esencial ara familiarizar a los alumnos con los concetos económicos más elementales y ara enseñarles a identificar las herramientas matemáticas necesarias en cada situación articular. Es imrescindible que estos alumnos sean conscientes de la utilidad y de la necesidad de esta asignatura en sus estudios. 3. La comrensión or arte de los alumnos de las connotaciones, tanto matemáticas como económicas, que encierra el caítulo introductorio de referencia, les facilitará la XIII Jornadas de ASEPUMA 5

16 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C. formulación de otros modelos económicos más comlejos, así como también la identificación y utilización de las herramientas matemáticas necesarias ara resolver roblemas económicos de otra naturaleza. 4. La elaboración de casos rácticos en los que el alumno deba formular, inicialmente, el modelo económico lineal que resulte aroiado y luego, identificar las herramientas matemáticas que debe alicar ara la resolución del roblema, constituye el broche de oro indisensable ara la adecuada comrensión y arehensión de los conocimientos que se retenden transmitir, así como ara su utilización en otras asignaturas. 5. Los intentos de cambio de metodología didáctica en Matemáticas, deben estar actualizados en nuestra realidad cada vez más euroea. 6. Se incluye un Anexo que contiene algunos de los roblemas rouestos a los alumnos, y que reresentan la arte ráctica del tema, necesaria ara comlementar los conocimientos teóricos reviamente imartidos. 7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Anthony, M.; Biggs, N. (996): Mathematics for Economics and Finance. Cambridge University Press. Balbás, A.; Gutiérrez, S. Gil Fana, J.A. (989): Análisis Matemático ara la Economía I. Cálculo Diferencial. Editorial AC. Madrid. Balbás, A.; Gutiérrez, S. Gil Fana, J.A. (989): Análisis Matemático ara la Economía II. Cálculo Integral y Sistemas Dinámimcos. Editorial AC. Madrid. Calvo Martín, M.; Escribano Ródenas, M.C.; Fernández Barberis, G.M.; García Centeno, M.C.; Ibar Alonso, R.; Ordás Amo, P. (003): Problemas Resueltos de Matemáticas Alicadas a la Economía y la Emresa. Editorial Thomson. Madrid. Chiang, A.C. (987): Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Editorial Mc Graw Hill. Grafe, J. (990): Matemáticas ara Economistas. Editorial Mc Graw Hill. Madrid. 6 XIII Jornadas de ASEPUMA

17 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis Güemes García, A. (99): Matemáticas Alicadas a la Emresa. Editorial AC. Madrid. Gutiérrez Valdeón, S. (987): Álgebra lineal ara la Economía. Editorial AC. Madrid. Gutiérrez Valdeón, S.; Franco Rodríguez-Lázaro, A. (997): Matemáticas Alicadas a la Economía y a la Emresa. Editorial AC. Madrid. Sydsaeter, K.; Hammond, P. (996): Matemáticas ara el Análisis Económico. Editorial Prentice Hall. Vilar; Gil; Gutiérrez; Heras (993): Cálculo Diferencial ara la Economía: Un enfoque teórico-ráctico. Editorial AC. Madrid. XIII Jornadas de ASEPUMA 7

18 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C. ANEXO : PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS ANÁLISIS ECONÓMICOS LINEALES. Una emresa dedicada a la fabricación de coches emlea tres factores según tres rocesos roductivos. Los factores que utiliza son: emleados cualificados, limia-arabrisas y cinturones de seguridad; obteniendo del Proceso : coches deortivos, del Proceso : coches utilitarios y del Proceso 3: mono-volúmenes. La tabla adjunta recoge la tecnología lineal de la emresa, donde cada elemento a ij de la tabla exresa las unidades del factor i necesarias ara obtener una unidad de roducto en el roceso j: Proceso Factor Coches Deortivos Coches Utilitarios Mono- Volúmenes 3 Eml. Cual. Limia Parabr. 3 Cinturones Seg. 3 4 La emresa tiene unas disonibilidades fijas de factores, que son: 0, 40 y 30 unidades, resectivamente. Los recios de mercado de los roductos son: 5, 0 y 0 u.m. resectivamente. a) Comrobar si es factible roducir 3, 4 y 3 unidades en los rocesos, y 3, resectivamente. b) Determinar las cantidades de factores no emleados y el ingreso obtenido en el lan de roducción del aartado a). c) Formular el modelo de recios imutables a los factores roductivos con el lan de roducción del aartado a). d) Formular el modelo de maximización de ingresos.. Una emresa monoroductora se dedica a la fabricación de zaatos, obteniendo el mismo roducto ero en lugares diferentes. Los factores roductivos que utiliza ara la obtención de los zaatos son: emleados, fuerza motriz y cuero vacuno. Los rocesos vienen reresentados or el lugar de fabricación de los zaatos: Proceso : zaatos fabricados en Elche Proceso : zaatos fabricados en Madrid Proceso 3: zaatos fabricados en La Coruña. La tabla adjunta indica en cada columna las unidades de cada factor necesarias ara obtener una unidad del roducto (zaatos) en cada roceso: Proceso Factor Elche Madrid Coruña 3 Emleados 0 Fuerza Mot. 3 4 Cuero Vac. La emresa tiene unas disonibilidades fijas de factores que son:, 0 y 5 unidades, resectivamente. a) Si los recios imutables a los factores roductivos son: 3,.5 y u.m. resectivamente, cuál es el mínimo recio al que tendrían que vender el roducto ara que los tres rocesos fueran rentables?. b) Formular el modelo lineal que roorcione el lan de roducción (nivel de cada roceso) con el que se agotan las disonibilidades de todos los factores roductivos. c) Formular el modelo de maximización de la roducción. 3. Una emresa dedicada a la fabricación de asta alimenticia combina dos factores roductivos según dos rocesos roductivos obteniendo un roducto diferente en cada roceso. Los factores que utiliza son: harina de trigo y huevos. Del Proceso se obtienen Macarrones y del Proceso 8 XIII Jornadas de ASEPUMA

19 El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis se obtienen Esaguetis. En la tabla siguiente cada elemento a ij indica las unidades del factor i necesarias ara obtener una unidad de roducto en el roceso j: Proceso Factor Macarrones Esaguetis Harina de trigo.5 Huevos 3.5 La emresa tiene unas disonibilidades fijas de factores roductivos que son: 0 y 8 unidades, resectivamente. a) Formular el modelo lineal que reresente el lan de roducción con el que agotan las disonibilidades de los dos factores. b) Resolverlo gráfica y analíticamente. c) Formular el modelo lineal de maximización del ingreso, siendo los recios de mercado de los roductos: y.5 u.m. resectivamente. d) Resolverlo gráficamente. e) Formular el modelo de recios internos de los factores ara el lan de roducción ótimo. 4. Una emresa monoroductora dedicada a la fabricación de mesas de jardín emlea sólo dos factores roductivos: mármol y hierro forjado, en dos rocesos roductivos. Del Proceso se obtienen las mesas fabricadas en Torrevieja y del Proceso se obtienen las mesas fabricadas en Cartagena. La información tecnológica aarece en la tabla siguiente: Proceso Factor Torrevieja Cartagena Mármol 4 Hierro Forjado 3 La emresa disone de unas dotaciones fijas de factores roductivos que son: y 8 unidades resectivamente. a) Formular el modelo lineal que dé el lan de roducción (unidades a roducir en cada roceso) con el que se agotan las disonibilidades de los dos factores. b) Resolverlo gráficamente. c) Formular el modelo lineal que maximice la roducción. d) Resolverlo gráficamente. 5. Formular el modelo lineal de equilibrio de tres mercados cuyas funciones de demanda y oferta son: Q Q Q d d d 3 = 8 4 = 5+ = Q Q Q s s s3 = 0+ 6 = 5+ 0 = Un horticultor utiliza dos tios de fertilizantes: MA y MB, ara roducir tres roductos: otasa, nitratos y fosfatos. La tabla adjunta exresa las unidades de cada roducto que obtiene or cada unidad de fertilizante utilizado: 3 Producto Potasa Nitratos Fosfatos Fertilizante MA 3 3 MB 5 El horticultor se ha comrometido a mezclar los fertilizantes de forma tal que roorcionen un mínimo de 5 unidades de otasa, 0 unidades de nitratos y 4 unidades de fosfatos. El coste del fertilizante MA es de 0 u.m. y el del MB es de 60 u.m. XIII Jornadas de ASEPUMA 9

20 Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C. a) Formular el modelo lineal que determine el lan de roducción conel que se minimiza el coste de los factores. b) Resolverlo gráficamente. 7. Un fabricante de sulementos dietéticos utiliza cuatro ingredientes: cereales integrales, leche de soja, azúcar integral y frutos rojos disecados en la elaboración de un roducto alimenticio utilizado como comlemento a la dieta. Una unidad de cada ingrediente roorciona Vitaminas A, B y C en las cantidades, en miligramos, que se exresan en la siguiente tabla, así como los gramos de sodio que también aarece reflejado: Contenido Vitamina A Vitamina B Vitamina C Sodio Ingrediente Cereales integrales Leche de soja Azúcar integral Frutos rojos Formular el modelo lineal que determine las unidades a emlear de cada ingrediente ara que la comosición del roducto alimenticio tenga: 36 mg de Vitamina A, 8 mg de Vitamina B, 3 mg de Vitamina C y 8 gr de sodio. 0 XIII Jornadas de ASEPUMA

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