Satisfacción cumulativa parcial y modelos de curvas latentes de primer y segundo orden. Una aplicación a la industria automovilística

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1 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 53, Núm. 176, 2011, págs. 67 a 92 Satisfacción cumulativa parcial y modelos de curvas latentes de primer y segundo orden. Una aplicación a la industria automovilística española(*) por C. LÓPEZ CARO Departamento de Economía financiera II (Investigación y Comercialización de Mercados) Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea PETR MARIEL y K. FERNÁNDEZ AGUIRRE Departamento de Economía Aplicada III (Econometría y Estadística) Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea (*) Los autores agradecen los comentarios y sugerencias de Germà Coenders Gallart. A la vez agradecen la financiación recibida del Departamento de Educación del Gobierno Vasco a través de los grupos de investigación consolidados (IT , IT-334-7) y Ministerio de Educación y FEDER (SEJ ).

2 68 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA RESUMEN La satisfacción del consumidor puede ser conceptualizada bien desde la perspectiva de una evaluación basada en una transacción específica o bien desde la perspectiva de una evaluación global basada en la compra y posterior consumo de un producto durante el tiempo. Este artículo emplea datos correspondientes a la industria automovilística española en los cuales se recoge el grado de satisfacción en varios atributos de 130 modelos de coches a lo largo de tres períodos consecutivos. La mayoría de las investigaciones realizadas sobre la satisfacción han adoptado el punto de vista de la satisfacción del consumidor basada en una transacción específica, por ello, este estudio, a través de la metodología de las Curvas Latentes de Crecimiento englobada en la metodología de los Modelos de Ecuaciones Estructurales, quiere servir de referente a posteriores análisis longitudinales sobre la satisfacción cumulativa del consumidor. A través de esta metodología ha sido posible identificar la evolución de la satisfacción cumulativa tanto para el total de los individuos como para cada uno de ellos a lo largo del tiempo y observar los diferentes tipos de curvas de crecimiento que representan la satisfacción cumulativa en los distintos atributos y factores del producto. Palabras clave: satisfacción del consumidor, satisfacción cumulativa, Modelos de Curvas Latentes de Crecimiento, Modelos de Ecuaciones Estructurales Clasificación AMS: 62H25, 62H99, 91B82 1. INTRODUCCIÓN Hoy en día la medición de la satisfacción del consumidor constituye un objetivo importante para las empresas a la hora de valorar resultados económicos como los beneficios, las respuestas a las inversiones, etc. Los indicadores de la Satisfacción del Consumidor (SC) tienen implicaciones en las estrategias competitivas de las empresas. Representan un sistema de medición uniforme y comparable de aspectos cualitativos que rodean la actividad económica como es la Satisfacción del Consumidor y permite a las empresas desarrollar mejoras en la calidad y en la comunicación (publicidad, fuerza de ventas, promociones ). Este estudio analiza la satisfacción del consumidor con 130 modelos de coches observada a lo largo de tres períodos consecutivos. Consideramos la satisfacción

3 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES 69 de un consumidor con un coche como el resultado de la experiencia de su uso. Sin embargo, la satisfacción no sólo se forma a través de la experiencia de su uso sino también a través del nivel de satisfacción con el personal de ventas, con el concesionario, con el servicio postventa, el número de averías que ha tenido, etc. En la misma línea, la satisfacción con un modelo de coche no se puede ligar únicamente a una transacción específica sino a una satisfacción cumulativa la cual es determinada a través de una evaluación global basada en la compra y consumo experimentado de un modelo de coche durante un período de tiempo (Setó, 2004). Por todo ello, el objetivo de este trabajo es identificar una tendencia que recoja el cambio en la satisfacción a lo largo del tiempo y observar así la satisfacción cumulativa del consumidor. El objetivo por tanto, es observar para cada modelo de coche y a lo largo de tres períodos de tiempo consecutivos, el cambio de la satisfacción cumulativa del consumidor en los atributos que los coches poseen. Las empresas podrían así tomar medidas efectivas en cada uno de los atributos de los coches de cara a obtener mejoras en la calidad de los mismos, lo cual se traduciría en un aumento de las ventas. Las empresas podrían averiguar en qué atributos de los coches especialmente incidir, en función de una satisfacción cumulativa que para cada coche puede ser, por un lado, constante, creciente o decreciente en el tiempo y por otro lado, presentar una diferencia significativa en cuanto al nivel de satisfacción, con respecto al resto de los coches. Los modelos especificados pueden proporcionar una información muy útil para las empresas de cara a poder observar los resultados de sus campañas de comunicación, las mejoras realizadas en un coche e identificar los puntos fuertes y débiles de cada marca, tanto propia como competidora. El concepto de Satisfacción del Consumidor Cumulativa (SCC) que se desea analizar en este mercado concreto de la industria automovilística, es una variable no medible que ha sido representada mediante dos tipos de variables latentes: por un lado, variables latentes indicadoras de la Satisfacción Parcial Cumulativa del Consumidor (SPCC) y por otro, indicadoras de la Satisfacción Global Cumulativa del Consumidor (SGCC), (Fernández et al., 2005). Sin embargo, en este trabajo se observa únicamente la evolución en el tiempo de las variables latentes indicadoras de la SPCC. A través de datos correspondientes a tres etapas de encuestación consecutivas realizadas a lo largo de un año y medio, se analizan los diferentes tipos de curvas de crecimiento de la satisfacción empleando diferentes indicadores (variables observadas y variables latentes) y se demuestra la existencia de una invarianza temporal de la satisfacción tanto en la mayoría de los atributos de los coches como

4 70 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA de los factores que forman la SPCC. Esta invarianza de la satisfacción en el tiempo corrobora el hecho de que pese a la experiencia adquirida en el uso de los coches, los consumidores no valoren significativamente de forma distinta los atributos de los coches en tan corto espacio de tiempo. La metodología empleada, englobada en la metodología de los Modelos de Ecuaciones Estructurales, se denomina Modelos de Curvas Latentes de Crecimiento. Estos modelos se han convertido en un método habitual a la hora de analizar datos medidos en ocasiones repetidas cuando el interés radica en especificar un modelo que recoja la variabilidad de la satisfacción a nivel individual y en función del tiempo (McArdle y Epstein, 1987; McArdle y Aber, 1991). En primer lugar, emplearemos un Modelo de Curvas Latentes de Crecimiento Univariante que recoja el cambio a lo largo del tiempo de las variables observadas (atributos de los coches). Sin embargo, con el fin de recoger la evolución de las variables latentes o factores que miden la satisfacción parcial del consumidor, a continuación observaremos la evolución de la misma mediante un Modelo de Curvas Latentes de Crecimiento Multivariante también denominado Modelo de Curva de Factores o Modelo de Curva de Crecimiento de Segundo Orden. Este Modelo de Curva de Crecimiento de Segundo Orden permite una medición más fiable del concepto Satisfacción cuya evolución en el tiempo se trata de observar. El artículo se organiza de la siguiente manera. La siguiente Sección describe los datos y presenta una selección de las variables y factores más representativos a través de un Análisis Factorial Exploratorio, la Sección 3, presenta los métodos empleados en este trabajo, la Sección 4 especifica los modelos de curvas latentes de primer y de segundo orden y presenta los resultados obtenidos de su estimación. Finalmente, la última sección resume las conclusiones. 2. DATOS Y ANÁLISIS FACTORIAL EXPLORATORIO Los datos de la encuesta que se modelizan proceden de las respuestas que proporcionan los lectores de la revista Autopista, mediante una tarjeta de respuesta que es enviada por correo. La información fue recogida en catorce etapas(1) a lo largo de siete años y medio consecutivos. El total de los encuestados es aproximadamente de personas y el número de modelos de coches 130. Por consiguiente, podemos suponer que el número de respuestas sobre cada uno de estos modelos de coches, aunque desconocido, es suficientemente grande. (1) Sin embargo, tal y como se ha dicho en la Introducción, se analizan tres etapas de encuestación consecutivas.

5 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES 71 En la encuesta los consumidores señalan su grado de satisfacción sobre 25 atributos tales como diseño, habitabilidad, seguridad, dirección, consumo, confort, etc. Los encuestados asignan un valor (-2, -1, 0, +1 y +2) que refleje su nivel de satisfacción (muy insatisfecho, insatisfecho, ni lo uno ni lo otro, satisfecho y muy satisfecho). En primer lugar, la revista transforma estos valores, que se encuentran en una escala de 5 puntos, en una escala entre 0 y 10 puntos. A continuación, con el fin de obtener la Satisfacción Parcial del Consumidor (SPC) para cada uno de los 25 atributos, la revista calcula la puntuación media, y di, donde d se refiere a cada uno de los atributos e i a cada uno de los 130 modelos de coches. Por consiguiente, dado que la revista publica para cada atributo y para cada modelo de coche una puntuación media, la unidad de análisis en todos los modelos que se plantean es el coche y no el encuestado. Para identificar los factores teóricos utilizados en los modelos, entrevistamos algunos de los encuestados por la revista. Los entrevistados responden que son principalmente seis los factores que más valoran de su coche: APARIENCIA, COMPORTAMIENTO, ECONOMÍA, PRESTACIONES TÉCNICAS, POTENCIA y HABITABILIDAD. Sin embargo, para saber cómo estructurar tales factores o variables latentes desde el punto de vista de un modelo, se comienza por efectuar un análisis factorial exploratorio. Partimos de una tabla de datos correspondiente a la etapa de encuestación número once, compuesta por 130 modelos de coches y 25 variables observadas (valoraciones medias de atributos). El análisis factorial exploratorio muestra claramente las interrelaciones existentes entre las 25 variables, su interdependencia (o correlaciones percibidas) entre la satisfacción producida por los atributos de los diferentes modelos de coches y su dependencia de uno o varios factores. Asimismo, probablemente existe cierto solapamiento en la definición de las variables observadas. Los factores obtenidos fijan la pauta para poder atribuir cada uno de los factores teóricos a las variables observadas. Se decide extraer 5 factores, cuyo promedio de las covarianzas residuales es 0,028, debido a que se considera residual la mejora obtenida al incluir un sexto factor (Fernández et al. 2005, p.126). Basándose en los pesos obtenidos en el análisis factorial exploratorio junto con los factores teóricos que supuestamente subyacen en la SCC de un modelo de coche son elegidas para la formación de estos factores las siguientes variables. En el primer factor son elegidas las variables: Seguridad, Acabado, Puesto de Conducción, Frenos, Fiabilidad y Servicio Postventa. En el segundo factor encontramos: Motor, Cambio, Velocidad, Aceleración/Recuperación y Dirección. Son variables todas ellas referidas a la potencia y a

6 72 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA las prestaciones técnicas de un coche. En el cuarto factor del análisis factorial exploratorio encontramos las variables Habitabilidad, Maletero y Confort (para más detalles véase Fernández et al. 2005). Las variables mencionadas que más contribuyen a la formación de los cinco factores, junto con las variables latentes de SPCC servirán de indicadores de los modelos especificados posteriormente. 3. METODOLOGÍA Los modelos de curvas latentes de crecimiento (McArdle y Epstein, 1987; Meredith y Tisak, 1990; Muthen y Curran, 1997) forman parte de una metodología que permite representar la evolución de los individuos (en nuestro caso modelos de coches) a lo largo del tiempo. Como resultado de la aplicación de un modelo de curvas latentes, se puede obtener una curva de crecimiento lineal en función del tiempo pero sin suponer que los parámetros de la curva sean iguales para todos los modelos de coches. Estos modelos de curvas, consisten en una estructura de crecimiento promediada a través de un intercepto latente y de una pendiente latente. Por otro lado, ofrecen la variación de los coches en torno a esta estructura promedio definida a través de la varianza del intercepto y de la pendiente (Bollen y Curran, 2006). El modelo de curvas latentes parte del análisis factorial longitudinal presentado por Rao (1958) y Tucker (1958). Por otro lado, Meredith y Tisak (1990) describieron una estructura de covarianzas general para estimar curvas latentes. Este modelo genera una estructura no solo para la matriz de covarianzas de las variables observadas sino también para el vector de medias de dichas variables. El modelo de curvas latentes por tanto, es equivalente a un modelo de análisis factorial en el que la media del factor se supone distinta de cero. La metodología de los modelos de curvas latentes de crecimiento es una herramienta versátil para analizar el cambio longitudinal en las variables observadas. En nuestro caso, analizaremos la evolución en el tiempo de variables como Seguridad, Acabado, Puesto de Conducción, Frenos, Fiabilidad y Servicio Postventa, Cambio, Velocidad, Aceleración/Recuperación y Dirección para cada uno de los modelos de coches. Sin embargo, el objetivo de este trabajo no es únicamente recoger el cambio en la satisfacción de las variables observadas, sino en las dimensiones o factores obtenidos en el análisis factorial confirmatorio. Más concretamente, hablaríamos de los factores denominados COMPORTAMIENTO, APARIENCIA, ECO- NOMÍA, PRESTACIONES TÉCNICAS y POTENCIA.

7 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES 73 Existen numerosos métodos para analizar datos longitudinales como p.e. análisis univariantes y multivariantes de varianza, análisis univariantes y multivariantes de covarianza, así como técnicas autorregresivas. Todas estas técnicas son capaces de ofrecer al investigador información sobre el comportamiento de los individuos en su conjunto, sin embargo, no ofrecen información acerca del crecimiento a nivel individual. Por consiguiente, los modelos de curvas latentes de crecimiento permiten la aproximación al análisis de crecimiento desde una perspectiva en cierto modo distinta que los métodos tradicionales antes mencionados. Teniendo en cuenta nuestros datos, estos modelos ofrecen información sobre el comportamiento de cada uno de los coches en la satisfacción recogida de sus atributos a lo largo del tiempo. Los modelos de curvas latentes de crecimiento lineales suponen que a cada individuo se le puede ajustar una trayectoria lineal en el tiempo tal y como lo indica la siguiente expresión: donde i representa al individuo, t el tiempo, y t,i, el valor de la variable de interés para el individuo i-ésimo en el instante t-ésimo, y el término de perturbación ε ti es la distancia vertical entre el punto y t,i y la recta ajustada para el individuo i-ésimo, a i + b i t. Cada individuo podrá tener su ordenada en el origen y su pendiente. Para todos los individuos, la pendiente y el origen se considerarán variables aleatorias y serán representadas mediante la ordenada en origen esperada, α I, una pendiente esperada, α P, la varianza de las ordenadas en el origen, la varianza de las pendientes y la covarianza entre pendientes y ordenadas en el origen. La ordenada en el origen y la pendiente aleatoria para cada individuo se representará mediante las variables latentes η Ii y η Pi respectivamente. Por consiguiente, la expresión anterior quedaría como: donde las saturaciones factoriales de η Ii se encuentran restringidas a la unidad y las saturaciones de η Pi se encuentran restringidas a los valores de t. Al contrario que en los modelos de análisis factorial, la perturbación ε ti incluye no sólo errores de medición en y t sino también el carácter aleatorio e imprevisible de y t y posibles desviaciones con respecto al patrón lineal. Al contrario que en regresión, no se supone homocedasticidad, es decir, la varianza puede ser distinta en cada momento del tiempo. Por otro lado, para el conjunto de los individuos, el promedio poblacional de las trayectorias lineales a lo largo del tiempo sería:

8 74 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA siendo α I y α P la media poblacional de la ordenada en el origen y de la pendiente respectivamente. Aplicando lo anterior a los datos analizados en este trabajo, en la siguiente Figura 1 se puede observar el path diagram de un modelo univariante correspondiente a un modelo de curva latente de crecimiento lineal de tres períodos consecutivos. Este modelo recoge el cambio a lo largo del tiempo de la variable observada. Las variables y 1, y 2 e y 3 representan la SCC en un modelo de coche observada en los períodos 1, 2 y 3. Los términos de error ε 1, ε 2 y ε 3 representan las distancias verticales entre y 1, y 2 e y 3, y la recta ajustada para dicho modelo coche. Mediante η I y η P se representa un factor para el intercepto y la pendiente de la curva respectivamente. Los parámetros α I y α P representan las medias de los factores η I y η P. Los parámetros ζ I y ζ P representan un término de perturbación cuya varianza representa la variabilidad individual del factor η I (intercepto) y η P (pendiente) respectivamente. Por último, se establece una covarianza entre los factores η I y η P a través de los términos de perturbación ζ I y ζ P mediante el parámetro ψ I,P. Esto ofrece la posibilidad de que la evolución de la satisfacción a lo largo del tiempo esté relacionada con la satisfacción en el momento inicial. Sin embargo, ya que ambos factores han sido especificados como variables dependientes sobre el vector unitario 1, esta covarianza se establece a través de la covarianza entre sus perturbaciones ζ I y ζ P (Hancock et al., 2001). Figura 1 MODELO DE CURVA LATENTE DE CRECIMIENTO LINEAL

9 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES 75 El path diagram incorpora los parámetros, α I y α P, multiplicados por una variable constante e igual a 1, la cual aparecería encuadrada con dicho número. La ponderación del intercepto (η I ) será por tanto uno. Con el fin de especificar una recta y disponiendo de medidas obtenidas en intervalos regulares, la ponderación de la pendiente (η P ) estaría compuesta por números enteros consecutivos como por ejemplo, 0, 1 y 2 (Coenders et al., 2005). La ecuación de medida para las variables observadas se expresa de la siguiente manera: donde y es un vector de respuestas (TC x l) de los coches cuya evolución en la respuesta a una variable (p=1) es observada a lo largo del tiempo. El número de períodos existentes es t=1,...t e i=1,...,c el número de coches analizados. La matriz Λ y, conocida como la matriz de ponderaciones de las variables latentes η I y η P, es una matriz (TC x (2+2C)) compuesta por las ponderaciones de las variables latentes, intercepto y pendiente. Por otro lado, η es un vector ((2+2C) x 1) de variables latentes η I y η P, intercepto y pendiente respectivamente siendo ambas de orden ((1+C) x 1) y ε y es un vector (TC x 1) que representa la distancia vertical entre cada respuesta individual y ti y la recta ajustada para cada coche. Las ecuaciones de medida para una variable observada a lo largo de tres períodos (t=1, 2, 3) y en un modelo de coche (C=1) serían: [1] A continuación se escribe la ecuación estructural: donde α η, de orden ((2+2C) x 1), se descompone en intercepto, α I y pendiente, α η y representaría el valor esperado de las variables latentes intercepto, η I y pendiente, η P. Por otro lado, ζ η, también de orden ((2+2C) x 1), es un error de ecuación que representa la distancia vertical entre cada recta ajustada para cada coche y la recta promedio para todos los coches y al igual que α también se descompone en ζ I error de ecuación para el intercepto y ζ P error de ecuación para la pendiente. [2]

10 76 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA En el caso de tres períodos y un solo coche implicado, la ecuación estructural sería: Sin embargo, como ya dijimos, el objetivo de este trabajo es recoger también el cambio en la satisfacción de los factores denominados ahora de primer orden, es decir, COMPORTAMIENTO, APARIENCIA, ECONOMÍA, PRESTACIONES TÉCNICAS Y POTENCIA, de tal modo que dependan de uno o más factores exógenos de segundo orden, siendo los factores de primer orden considerados ahora indicadores. Los factores de segundo orden explicarán por tanto, la varianza y la covarianza entre los factores de primer orden. En el contexto de un modelo de crecimiento, los indicadores dependerán de un factor intercepto y de un factor de crecimiento de segundo orden. Cada modelo de coche posee por tanto, una recta distinta en función de la satisfacción observada en los factores arriba mencionados a lo largo de tres períodos. A continuación, en la Figura 2, se recoge el cambio en el tiempo de un factor o variable latente (Duncan et al., 1999). Este tipo de modelo es denominado modelo multivariante correspondiente a un modelo de curva latente de crecimiento lineal llamado también modelo de curva de factores o modelo de curva de crecimiento de segundo orden. Estos modelos fueron propuestos por McArdle (1988) y Meredith y Tisak (1990) y modelizan el cambio longitudinal en un factor a través del análisis de curvas latentes de crecimiento (Hancock et al., 2001). Mediante un modelo de curva de crecimiento de segundo orden o curva de factores es posible determinar si los factores o variables latentes obtenidos tienen el mismo significado a lo largo del tiempo. Por tanto, se emplearán modelos de curva de crecimiento de segundo orden para saber si las variables latentes muestran una completa invarianza factorial a lo largo del tiempo. La relación de cada indicador con su variable latente conjunta se incluirá mediante nuevas ecuaciones estructurales donde, al igual que en un modelo de Análisis Factorial de Segundo Orden, el primer indicador para cada variable latente servirá como variable de referencia para fijar su escala mediante una saturación restringida a la unidad (Jöreskog y Sörbom, 1978). Los modelos de ecuaciones estructurales en el tratamiento de las curvas de crecimiento de segundo orden tienen las siguientes ventajas sobre los de primer orden (Sayer, 2001) y sobre los modelos de regresión: 1. Permiten especificar qué factores miden las variables dependientes.

11 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES Permiten estimaciones separadas para el error aleatorio de medición (varianza única) y la desviación con respecto al patrón descrito por las observaciones correspondientes a un mismo período (varianza específica de cada período). 3. Permiten una medición mejor y más fiable del concepto cuya evolución a lo largo del tiempo se trata de estudiar. 4. Permiten contrastar la igualdad de medias de los factores o variables latentes conjuntas a lo largo del tiempo, no las medias de las variables observadas como hace el análisis de varianza. En el contexto de modelo de crecimiento, el investigador debe de estar convencido de que es la variable latente la que está cambiando más que la escala empleada para medir esa variable latente. 5. Permiten el tratamiento de los errores de medida. Estos cinco puntos coinciden con los objetivos de la aplicación, lo cual justifica la elección de esta metodología. El diagrama causal de la Figura 2, muestra un modelo de curva latente de crecimiento con indicadores múltiples o curva de crecimiento de segundo orden. Figura 2 MODELO DE CURVA LATENTE DE CRECIMIENTO LINEAL

12 78 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA En la Figura 2, y t,1 e y t,2 representan la SCC en un modelo de coche y en dos de sus atributos o variables observadas en los períodos 1, 2 y 3. Los errores e t,1 y e t,2 representan ahora únicamente el error de medición en ambos atributos y para cada período de tiempo. Los términos ε 1, ε 2 y ε 3 representan los errores específicos de cada período, es decir, las distancias verticales entre la satisfacción observada en un atributo, para cada coche y en cada período y la recta ajustada para el coche i- ésimo. Los parámetros λ t,1 y λ t,2 representan una carga o saturación factorial. Con el fin de lograr fijar la escala del factor, cada factor tiene al menos una variable observada cuya carga factorial o saturación se encuentra restringida a un valor distinto de cero tal y como recomiendan Jöreskog y Sörbom (1978). Cada una de las ecuaciones de medición expuestas incluye un término constante de la ecuación del modelo de medida, τ t,1 y τ t,2, que representa para cada período el valor esperado de las variables observadas cuando el valor del factor es cero. Ahora se dispone de dos tipos de factores por un lado, tres factores de primer orden para cada período representados a través de η 1, η 2 y η 3, los cuales toman el origen y las unidades de la primera variable observada por cada período y por esta razón, τ t,1 =0 y λ t,1 =1. Por otro lado, los factores de segundo orden estarían compuestos por ξ I y ξ P para el intercepto y pendiente latente respectivamente. Ahora, los parámetros α I y α P representan las medias de los factores ξ I y ξ P. Además, se encontrarían multiplicados por una variable constante e igual a 1, la cual aparece encuadrada con dicho número. La ponderación del intercepto (ξ I ) será de nuevo 1 y por otro lado, la ponderación de la pendiente (ξ P ) está compuesta por los números enteros consecutivos, 0, 1 y 2. Finalmente, ahora ζ representa el error de ecuación tanto para el momento cero (ζ I ) como para los períodos sucesivos (ζ P ). La varianza de los términos de perturbación ζ I y ζ P representa la variabilidad individual de los factores o fuentes de variación de los factores, ξ I y ξ P respectivamente. Por último, el parámetro ψ representa la covarianza especificada entre ξ I y ξ P a través de la covarianza entre los términos de perturbación ζ I y ζ P. Sin embargo, ya que ambos factores han sido especificados como variables dependientes sobre el vector unitario 1, esta covarianza se establece a través de la covarianza entre las perturbaciones ζ I y ζ P. Las siguientes ecuaciones de medida corresponden a dos variables observadas (d=1,2) de un modelo de coche (C=1), y t,d,i, a lo largo de tres períodos (t=1,2,3):

13 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES 79 Una vez medidos los tres factores (η 1, η 2 y η 3 ) para cada uno de los tres períodos y que serán indicadores de las variables latentes, intercepto y pendiente (ξ I, ξ P ), del modelo estructural se pasa a representar las curvas lineales para cada uno de los coches. A partir de aquí todo vuelve a ser igual que en la Figura 1 con un solo indicador. La ecuación de medida con los factores de segundo orden para un único coche se puede escribir como: y de forma compacta: La matriz Γ y de dimensión (TC x (2+2C)), representa las ponderaciones de las variables latentes y ξ es un vector ((2+2C) x 1) de variables latentes ξ I y ξ P. Finalmente ε es la distancia vertical entre η ti y la recta ajustada para cada coche. Tras la ecuación con los factores de segundo orden se pasa a especificar la ecuación estructural de manera idéntica a la ecuación (2): ó donde α al igual que antes se descompone en α I y α P. Ahora ζ es el error de ecuación, compuesto también por para el error de ecuación en el momento cero y ζ P para el error de ecuación de los períodos sucesivos. Este error de ecuación representa la distancia vertical entre cada recta ajustada para cada coche y la recta promedio para todos los coches.

14 80 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Es importante destacar que para ajustar este tipo de modelos es necesario que las mediciones en los distintos momentos del tiempo sean comparables, lo cual supone hablar de invarianza factorial (Meredith, 1993; Coenders et al., 2005). La invarianza factorial, también llamada invarianza de medición o equivalencia factorial, indica hasta qué punto las variables observadas y los factores que éstas miden tienen el mismo significado para miembros de distintos grupos. En este caso, los grupos están formados por observaciones del mismo período y se dispondrá por tanto, de tantos grupos de observaciones como períodos se tengan. Si el objetivo es comparar mediciones obtenidas a lo largo del tiempo, son necesarias tanto la invarianza configural como la invarianza métrica fuerte. Por consiguiente se supondrá que las variables observadas y sus factores han de tener el mismo significado a lo largo del tiempo. Se supone invarianza configural cuando es posible demostrar que la estructura de las saturaciones factoriales es equivalente a lo largo del tiempo, es decir, los mismos indicadores miden los mismos factores a lo largo del tiempo (Meredith, 1993 y Riordan y Vanderberg, 1994). Para que este requisito se cumpla, ha de ajustarse a los datos el mismo modelo de análisis factorial confirmatorio. Dentro de la invarianza métrica, Meredith (1993) describe la invarianza como débil y fuerte. La invarianza factorial débil está presente cuando las relaciones entre los indicadores y las variables latentes, representadas por la magnitud de las saturaciones factoriales, son equivalentes a través del tiempo. Requiere por tanto que las saturaciones sean iguales entre los grupos, en este caso, λ 1,2 = λ 2,2 = λ 3,2 (Figura 2). La invarianza métrica es necesaria para poder comparar entre grupos las varianzas y covarianzas de los factores así como los coeficientes de regresión que relacionan los factores entre sí. La hipótesis de invarianza factorial fuerte requiere no solo del cumplimiento de la invarianza factorial débil sino que además, se han de ajustar modelos con restricciones en los interceptos de medida. Por consiguiente, los términos constantes de las ecuaciones de medición han de ser iguales entre grupos, es decir, los parámetros, 1,2= 2,2= 3,2 (Figura 2). Mediante este modelo de curva de factores de segundo orden, el error de medida ha sido eliminado de los parámetros de crecimiento latente y se esperaría obtener una estimación más precisa de la relación entre el cambio y sus correlaciones (Sayer y Cumsille, 2001). A continuación se presentan todos los casos posibles de curva latente de crecimiento lineal (Duncan et al., 1999):

15 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES Si la curva latente de crecimiento especificada en el momento cero, presenta diferencias significativas entre coches, significa que los coches parten de diferente nivel de satisfacción entre sí. Por tanto, estas diferencias se deberían a η I ya explicado anteriormente. Además, si en sucesivos períodos dicho nivel de satisfacción se mantiene, η P sería igual a cero. Se observarían curvas individuales paralelas denominadas estrictamente estables. 2. Si los coches no sólo presentan diferencias entre sí en cuanto al nivel de satisfacción en el momento inicial sino que además dicho nivel de satisfacción varía con el paso del tiempo en la misma medida para todos los coches, la curva pasaría de tener pendiente cero a tener pendiente positiva y se estaría en el caso paralelamente estable. 3. Si a pesar de no presentar diferencias entre los coches en cuanto al nivel de satisfacción inicial, posteriormente, dicho nivel de satisfacción de los coches no tuviera una evolución similar en cada coche, se estaría ante el siguiente caso denominado linealmente estable. 4. Si en el momento inicial el nivel de satisfacción es similar en los coches y posteriormente éste es significativamente distinto se estaría ante el caso denominado monotonamente estable. En períodos de tiempo muy próximos, este caso, teóricamente, no resulta muy creíble. 5. Tampoco resulta teóricamente creíble el caso contrario en el que en el momento inicial los coches partan de niveles de satisfacción distintos y que finalmente en poco tiempo todos vuelvan a tener el mismo nivel de satisfacción también denominado monotonamente estable. 6. Si los coches tuviesen un nivel de satisfacción muy similar a lo largo del tiempo y las diferencias apenas fuesen significativas, la especificación de una curva de crecimiento latente carecería de sentido. El hecho de que la satisfacción sea la misma para todos los coches en un atributo determinado, significa que dicho atributo no presenta ventajas competitivas. Si por el contrario existe una variabilidad significativa entre coches, convendría analizar qué coches se encuentran mejor valorados y en qué atributos, considerándose éstos, puntos fuertes de la marca. Por otro lado, la obtención de un nivel de satisfacción que disminuye, se mantiene constante o aumenta sería un indicador de la calidad del producto y otros servicios relacionados con su venta. En los casos estrictamente estables y monotonamente estables, debido a la estructura de los datos, la especificación de modelo más adecuada sería aquella con un

16 82 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA único factor. En el caso estrictamente estable se utilizaría el factor η I y en el caso monotonamente estable el factor sería η P. En los casos restantes, paralelamente estable y linealmente estable en principio, ambos factores, η I y η P, parecen ser adecuados a la hora de especificar el modelo, sin embargo, en la práctica, un contraste t de Student que indique la significatividad de los parámetros que componen tanto intercepto como pendiente servirá para decidir una correcta especificación. En principio, cualquiera de los métodos de estimación empleados en los modelos de ecuaciones estructurales pueden ser utilizados para analizar los modelos con estructura de medias y covarianzas. Al igual que un modelo de estructura de covarianzas, un modelo con estructura de medias se estima minimizando una determinada función de ajuste que expresa las discrepancias entre las medias y covarianzas muestrales y las implicadas por el modelo. En el caso de una estructura de medias y covarianzas, la función de ajuste dependerá de una función ponderada que simultáneamente represente el grado de ajuste de la estructura de medias y de la estructura de covarianzas. Por consiguiente, a la función de discrepancia entre covarianzas, basta con añadir también los residuos de las medias debidamente ponderados. El diagnóstico de la bondad de ajuste se realiza de forma muy similar a los modelos de estructura de covarianzas, y pueden aplicarse los mismos índices de bondad del ajuste (Coenders et al., 2005). 4. MODELO DE CURVAS LATENTES DE CRECIMIENTO: APLICACIÓN De acuerdo con lo planteado anteriormente, en este artículo se tratará de identificar el cambio en la satisfacción cumulativa de uno o más atributos a lo largo del tiempo. Se tratará asimismo de buscar una tendencia que resuma la evolución general de los factores que representan la SPCC en el tiempo para todos los modelos de coches en función de más de un atributo. Para ello, mediante la metodología de los modelos de ecuaciones estructurales, se especificará un modelo de curva de crecimiento tanto de primer como de segundo orden. Para que un modelo de curva de crecimiento como el que se va a especificar se encuentre identificado es imprescindible que se recoja la información correspondiente a un mínimo de tres períodos de tiempo. En nuestro caso trabajamos con datos recogidos en diferentes momentos de tiempo llamadas etapas. Las etapas de encuestación que componen este panel de datos son la número 9, 10 y

17 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES 83 11(2) y se dispone de una lista de 93 (i=1, 2,, 93) modelos de coches comunes en los períodos que forman el panel de datos. El diagrama causal para el modelo de curva de crecimiento latente univariante de primer orden (por ejemplo, seguridad) se encuentra representado en la Figura 1. Los modelos univariantes, basados en las curvas latentes de crecimiento, permiten observar la evolución del nivel de satisfacción cumulativo correspondiente a una sola variable. El análisis factorial confirmatorio efectuado, determinó la existencia de 5 factores que causan la respuesta a la SC en 25 atributos de los automóviles. Estos factores, cuyos indicadores expresamos entre paréntesis, eran COMPORTAMIENTO (seguridad y frenos), APARIENCIA (puesto de conducción y acabado), ECONOMÍA (fiabilidad y servicio post-venta), PRESTACIONES TÉCNICAS (dirección y cambio) y POTENCIA (velocidad y aceleración/recuperación). Por tanto, las variables seguridad y frenos podrían considerarse dos indicadores del mismo factor, es decir, de la satisfacción cumulativa en el comportamiento del coche. Estas variables reflejarían diferentes aspectos de este factor y por tanto serían especificadas como un modelo analítico de medida. Por ello en este artículo se especifica un modelo de medida para las variables observadas y un modelo de crecimiento individual ajustado simultáneamente a través de un modelo de curva de crecimiento latente de segundo orden. El diagrama causal para el modelo de curva de crecimiento latente de segundo orden para dos variables (por ejemplo, seguridad y frenos) se encuentra representado en la Figura 2. El modelo es un ejemplo de curva latente de crecimiento denominado también modelo multivariante que recoge por separado el cambio a lo largo del tiempo del factor de primer orden denominado COMPORTAMIENTO. A través de la especificación del anterior modelo multivariante, será posible medir por separado cinco factores de primer orden denominados COMPORTAMIEN- TO, APARIENCIA, ECONOMÍA, PRESTACIONES TÉCNICAS y POTENCIA compuestos cada uno por dos variables indicadoras, tal como se ha mencionado anteriormente. Por tanto, la especificación del modelo representado en la Figura 2 para tres períodos, sirve de ejemplo para lo que será la especificación de cada uno de (2) La ola número 8 fue empleada para obtener la satisfacción del consumidor propia de un solo período, es decir, para desagregar los datos. A partir de la ola número 13 la revista Autopista elimina progresivamente respuestas correspondientes a las primeras olas. Se carece de información correspondiente a dichas olas eliminadas, por lo tanto, y por motivos prácticos, se decide analizar las olas 9, 10 y 11. Se desechan asimismo las olas previas a la 8 así como la ola número 12, debido a la escasa comparabilidad de los modelos de coches que en dichas olas se presentaban con los de las olas analizadas. De no hacerlo así, el número de observaciones de nuestra muestra disminuiría considerablemente.

18 84 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA los cinco modelos posibles (uno por cada cinco de los factores mencionados) compuestos por las diez variables arriba expuestas. En el análisis se incluyen 3 períodos de tiempo y dos variables observadas por cada período (d=1,2). Anteriormente, en la Figura 1, se medía una variable observada a lo largo de tres períodos, sin embargo, ahora se miden dos variables observadas a lo largo de tres períodos. Estas dos variables observadas forman una variable latente por cada período a la cual posteriormente se le da el tratamiento seguido en la Figura 1. Por tanto, estas tres variables latentes representadas por el vector η y cuya dimensión es ahora (TC X 1), servirán a su vez de indicadores de las variables latentes del intercepto y pendiente. Estas últimas, intercepto y pendiente, se relacionan ahora de forma indirecta con las variables observadas por lo que a menudo son denominados factores de segundo orden. Coenders et al. (2005) destaca que la invarianza factorial es necesaria para poder comparar por ejemplo, los indicadores sobre la satisfacción en la seguridad y en los frenos, a lo largo del tiempo. En la especificación de este modelo de segundo orden o curva de factores (Figura 2), igualmente y para cada modelo de coche, se han de cumplir los tres requisitos mencionados sobre invarianza configural, factorial débil (λ 1,2 = λ 2,2 = λ 3,2 ) y fuerte ( 1,2 = 2,2= 3,2). Para la evaluación de los modelos estimados, además de los indicadores para la bondad de ajuste se incluyen las estimaciones de los parámetros que describen el cambio en la SC y su valor t de Student. La relación de parámetros que se obtiene es α I, Φ ζi, α P y Φ ζp. La variable latente η Ii representa el intercepto para el coche i-ésimo en el momento t=0, es decir, el intercepto aleatorio de la curva de crecimiento, con una media para todos los coches α I y una varianza individual Φ ζi =Var(η I ) como parámetros libres. La variable latente η Pi representa la pendiente de la curva de crecimiento para el coche i-ésimo, con una media para todos los coches α P y una varianza individual Φ ζp =Var(η P ) como parámetros libres. En las siguientes Tablas se muestran los modelos univariantes y multivariantes mencionados anterioremente.

19 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES 85 2 Tabla 1 ESTADÍSTICOS Y PARÁMETROS PARA UN MODELO UNIVARIANTE Seguridad Frenos Acabado Puesto Conducción Fiabilidad 0,184 4,365 1,360 6,648 18,093 (df) (2) (2) (2) (2) (2) valor p 0,912 0,065 0,506 0,036 < 0,001 NNFI 1,007 0,981 1,003 0,971 0,844 CFI 1,000 0,994 1,000 0,990 0,948 α I (t de Student) Φ ζi (t de Student) α P (t de Student) Φ ζp (t de Student) 7,598 (31,187) 3,211 (2,138) 0,191 (1,012) 1,107 (1,396) 7,349 (21,770) 0,453 (0,273) 0,345 (1,248) 0,000 (0,000) 8,245 (24,769) 3,983 (2,087) -0,321 (-1,079) 3,250 (2,252) 8,065 (28,472) 0,518 (0,619) -0,075 (-0,328) 0,000 (0,000) 8,661 (16,772) 17,822 (4,718) -0,309 (-0,806) 0,000 (0,000) Tabla 2 ESTADÍSTICOS Y PARÁMETROS PARA UN MODELO UNIVARIANTE Servicio Velocidad Aceleración/ Cambio Dirección Post-Venta Recuperación 2 (df) 2,878 (2) 0,695 (2) 2,348 (2) 0,201 (2) 1,204 (2) valor p 0,237 0,706 0,309 0,904 0,547 NNFI 0,993 1,006 0,998 1,009 1,005 CFI 0,993 1,000 0,999 1,000 1,000 α I (t de Student) Φ ζi (t de Student) α P (t de Student) Φ ζp (t de Student) 7,146 (15,958) 2,862 (0,718) 0,099 (0,284) 2,333 (0,989) 7,608 (23,838) 2,242 (1,740) 0,012 (0,051) 0,000 (0,000) 7,057 (18,710) 3,847 (1,808) 0,047 (0,205) 0,000 (0,000) 7,447 (21,697) 0,752 (0,302) 0,055 (0,234) 0,081 (0,067) 8,027 (28,373) 0,000 (0,000) 0,055 (0,279) 0,506 (0,879) 2 El valor (df) de la bondad de ajuste indica que en general las matrices de varianzas y covarianzas y los vectores de medias obtenidos con los modelos se aproximan a los poblacionales. Se decide además, comprobar los índices de bon-

20 86 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA dad de ajuste NNFI y CFI los cuales se encuentran en todos los modelos muy próximos a 1. Finalmente, será a través del valor de los parámetros α I, Φ ζi, α P y Φ ζp y su valor t de Student con lo que se decidirá la forma adecuada de los modelos planteados. En general, los modelos univariantes especificados con intercepto y pendiente tienen un total de 2 grados de libertad y los modelos multivariantes 13 grados de libertad. Dado el bajo número de grados de libertad, proponemos emplear un nivel de significación del 20% para el cual el valor crítico de la t de Student será 1,88 y 1,35 respectivamente. En aquellos casos en los que la pendiente del modelo especificado no sea significativa, los modelos se especificarán sin pendiente. 2 Tabla 3 ESTADÍSTICOS Y PARÁMETROS PARA UN MODELO MULTIVARIANTE Factor: COMPOR- TAMIENTO (Seguridad y Frenos) Factor: ECONOMÍA (Fiabilidad y Servicio Postventa) Factor: APARIENCIA (Acabado y Puesto de Conducción) 13,337 (13) Factor: POTENCIA (Velocidad y Aceleración/ Recuperación) Factor: PRESTACIONES TÉCNICAS (Dirección y Cambio) (df) 20,687 (13) 17,895 (13) 12,324 (13) 16,807 (13) valor p 0,079 0,161 0,422 0,654 0,208 NNFI 0,989 0,986 0,988 1,003 0,994 CFI 0,995 0,994 0,999 1,000 0,997 α I (t de Student) Φ ζi (t de Student) α P (t de Student) Φ ζp (t de Student) 7,531 (32,123) 2,954 (3,067) 0,264 (1,493) 0,193 (0,250) 8,558 (19,420) 11,650 (2,140) -0,223 (-0,694) 4,722 (1,641) 8,318 (24,696) 3,381 (1,043) -0,279 (-1,01) 3,142 (1,562) 7,098 (19,723) 3,704 (1,856) 0,069 (0,317) 0,000 (0,000) 7,486 (23,353) 1,791 (0,843) 0,043 (0,203) 0,784 (0,775) Como se puede observar en la Tabla 1 para la variable Seguridad, la especificación del modelo se ajusta bien a los datos ya que el valor p correspondiente al estadístico 2 (df) es superior a 0,05 y los otros índices de ajuste, NNFI y CFI se encuentran próximos a la unidad. En cuanto a los parámetros y su significatividad, basándonos en el valor del estadístico t de Student se puede decir que la variabilidad individual de la media en el momento inicial es igual a 3,211.

21 SATISFACCIÓN CUMULATIVA PARCIAL Y MODELOS DE CURVAS LATENTES 87 El valor medio del intercepto es significativo por tener un valor t de Student superior a 1,88 (31,187) asimismo, la variabilidad individual en el intercepto es significativa (2,13). Sin embargo, tanto el valor medio de la pendiente como su variabilidad individual no son significativas por lo que la especificación del modelo más adecuada sería denominada estrictamente estable donde el nivel de satisfacción de los coches evoluciona de forma idéntica a lo largo del tiempo. Proponemos por tanto, que la especificación de la curva más adecuada carezca de pendiente. Las curvas latentes de crecimiento correspondientes a las variables acabado, fiabilidad, velocidad y aceleración/recuperación(3) se corresponden igualmente con una curva de crecimiento estrictamente estable. Los modelos de curvas latentes de crecimiento univariantes compuestos por las variables frenos, puesto de conducción, servicio postventa, cambio y dirección muestran el mismo nivel de satisfacción en todos los coches y además este nivel de satisfacción no varía a lo largo de los tres períodos. Por tanto, se puede modelar con la restricción Φ ζi y Φ ζp igual a cero y en consecuencia también con ψ I,P igual a cero. En cuanto a las curvas de factores o curvas de crecimiento multivariante, los resultados que se presenta en la Tabla 3 serían los siguientes. El modelo de curvas de crecimiento multivariante compuesto por el factor COMPORTAMIENTO ha de ser representado a través del gráfico denominado monótonamente estable. En el momento cero, el factor formado por estas variables presenta una variabilidad significativa y en los restantes períodos, mediante una pendiente distinta de cero, esta variabilidad deja de ser significativa. Este caso, para períodos tan próximos entre sí, resulta teóricamente poco creíble. Los modelos de curva de factores compuestos por los factores ECONOMÍA y POTENCIA han de ser representados a través de la curva denominada estrictamente estable donde la satisfacción sigue una evolución distinta en cada uno de los coches, sin embargo, la pendiente de la curva es nula lo cual indica que la satisfacción no sufre cambio alguno a lo largo de los tres períodos. Por último, en cuanto a los modelos de curva de factores compuestos por los factores APARIENCIA y PRESTACIONES TÉCNICAS, los coches tienen un nivel de satisfacción muy similar a lo largo del tiempo y las diferencias entre coches apenas son significativas. Por tanto, la especificación de una curva de crecimiento latente carece de sentido. (3) La variabilidad individual en el intercepto de las variables velocidad y aceleración/recuperación con un valor t de student de 1,740 y 1,808 respectivamente, es considerada marginalmente significativa.

22 88 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Como conclusión diremos que aunque los coches tengan un nivel de satisfacción en las variables muy diferente entre sí, tienen en común que a lo largo de los tres períodos dicho nivel de satisfacción no varía. El crecimiento es cero para todos los coches por lo que se puede modelar eliminando completamente el factor pendiente mediante un modelo de análisis factorial confirmatorio de tipo clásico. En la Tabla 3 se observa que pese a que en la variable frenos la variabilidad individual de la satisfacción media en el momento cero no fuese significativa, tomando conjuntamente ambas variables (seguridad y frenos, Factor: COMPORTAMIEN- TO), esta varianza en el momento cero vuelve a ser significativa. Lo mismo ocurre con la variable servicio postventa, donde si se especifica un modelo univariante con esta variable, la curva de crecimiento latente es la misma para todos los coches mientras que un modelo multivariante o curva de factores de las variables servicio postventa y fiabilidad presenta una variabilidad entre coches significativa. Como ya se comentó, la especificación de un modelo de curva latente de crecimiento de segundo orden elimina el error de medida de los parámetros de crecimiento estimados (α I, Φ ζi, α P y Φ ζp ). Por tanto, se espera que estas últimas estimaciones sean más precisas para explicar el cambio en la satisfacción que cada uno de los factores tiene a lo largo del tiempo. Además, es importante emplear modelos de curva de crecimiento de segundo orden para conocer no solo la evolución de una variable sino para saber si la Satisfacción Parcial del Consumidor en los factores identificados tiene el mismo significado a lo largo del tiempo. 5. CONCLUSIONES En este artículo, se ha analizado la evolución tanto de los atributos como de los factores de satisfacción parcial cumulativa del consumidor en el sector automovilístico a lo largo del tiempo. La metodología empleada es la de Curvas Latentes de Crecimiento donde después de ajustar el modelo de curvas latentes, cada coche tiene su propia curva de crecimiento en función del tiempo sin suponer que los parámetros de la curva sean iguales para todos ellos. Las curvas de factores permiten distinguir entre el error de medición, el error aleatorio y la desviación con respecto a la media y además eliminan el error de medición de los parámetros de crecimiento estimados. A través de los modelos de curvas latentes de crecimiento de primer y de segundo orden (también denominadas curvas de factores) observamos una evolución desigual en el tiempo para muchas de las variables analizadas. La tónica general demuestra una invarianza temporal en la mayoría de las variables y factores pero en ocasiones se observa una varianza significativa entre modelos de coches. Así