UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CURSILLO. Por

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS TALLER DE ANÁLISIS NO LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CURSILLO INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE PUNTOS CRÍTICOS CON APLICACIONES A PROBLEMAS ELÍPTICOS SEMILINEALES Por JORGE COSSIO y CARLOS VÉLEZ Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Bogotá, Junio 23-30, 2010

2 CONTENIDO Página Capítulo. INTRODUCCIÓN PUNTOS CRÍTICOS VIA MINIMIZACIÓN Teoremas Fundamentales 2. Proposiciones Auxiliares 3. Aplicaciones a Problemas Elípticos Semilineales 2. PUNTOS CRÍTICOS VIA MINIMAX El Lema de Deformación 2. El Teorema del Paso de la Montaña y un Teorema de Punto de Silla 3. Aplicaciones a Problemas Elípticos Semilineales 3. PUNTOS CRÍTICOS VIA REDUCCIÓN Teoremas Centrales 2. Aplicaciones a Problemas Elípticos Semilineales REFERENCIAS ii

3 INTRODUCCIÓN Una de las áreas de la matemática de mayor desarrollo durante los últimos años ha sido el análisis no lineal. Los trabajos de Ljusternik y Schnirelman (véase [22]) y el famoso trabajo de Ambrosetti y Rabinowitz (véase [5]) en el cual se demuestra el Teorema del Paso de la Montaña han motivado e inspirado la investigación en esta área y han permitido el desarrollo de las teorías de minimax y de Morse. El objetivo principal de este trabajo es presentar una subárea del análisis no lineal, llamada la teoría de puntos críticos. Esta teoría identifica una clase importante de problemas no lineales que pueden ser escritos en la forma (1) I (u) = 0, donde u pertenece a un espacio de Hilbert H adecuado e I es la derivada de Fréchet de un cierto funcional I : H R. La ventaja de esta formulación es la de poder hallar las soluciones del problema no lineal como los puntos críticos del funcional I, que en ciertas circunstancias pueden ser más faciles de encontrar. Por ejemplo, si el funcional I es diferenciable y tiene un mínimo en u entonces (1) es válido y por lo tanto u es una solución del problema en estudio. En este trabajo estamos interesados en encontrar puntos críticos de funcionales I : H R. Al hablar de puntos críticos es natural pensar en primer lugar en puntos de mínimo o de máximo local (o global) y en segundo lugar en puntos críticos de tipo minimax o maxmin. 1

4 2 Este cursillo está dividido en tres capítulos. En el Capítulo 1 presentamos un resultado básico de la teoría de minimización de funcionales coercivos y débilmente inferiormente semicontinuos y mostramos algunas aplicaciones a la existencia de soluciones débiles para ecuaciones diferenciales semilineales. En el Capítulo 2 estudiamos algunos métodos de minimax para encontrar puntos críticos de funcionales. Estos métodos caracterizan los valores críticos de un funcional como un minimax sobre una clase de conjuntos adecuados. El Teorema del Paso de la Montaña es el primer resultado de minimax que estudiaremos. Su enunciado involucra la condición de Palais-Smale, que aparece repetidamente en la teoría de puntos críticos y afirma una cierta compacidad sobre el funcional I. Una herramienta fundamental en los resultados abstractos de tipo minimax es el llamado Lema de Deformación, el cual será presentado en la primera sección de ese capítulo. También presentaremos un Teorema de Punto de Silla debido a P. Rabinowitz. Finalmente utilizaremos el Lema de Deformación, el Teorema del Paso de la Montaña y el Teorema de Punto de Silla para presentar algunas aplicaciones a la solución de problemas elípticos no lineales. En el Capítulo 3 estudiaremos una técnica que permite reducir el estudio de los puntos críticos de un funcional I definido en un espacio de Hilbert H al estudio de los puntos críticos de un funcional Î definido en un subespacio cerrado de H, el cual es, generalmente, de dimensión finita. Esta técnica, se conoce como el método de reducción, y es muy útil para demostrar existencia y multiplicidad de soluciones de

5 3 problemas de Dirichlet no lineales. El método de reducción tuvo su orígen en las investigaciones de los profesores Lazer, Landesman y Meyers (véase [21]) y Castro y Lazer (véase [12]). Existe otro método muy importante para estudiar teoría de puntos críticos, que no presentaremos en este trabajo, este es la teoría de Morse. Al lector interesado le sugerimos para su estudio los trabajos de Milnor ([24]), Chang ([14]) y Conley ([16]). Esperamos que estas notas sirvan para estimular el interés por el estudio de la teoría de puntos críticos y de los métodos topológicos en ecuaciones diferenciales. Al lector interesado en profundizar estos aspectos le sugerimos consultar los trabajos de Ambrosetti ([3] y [4]), Brezis y Nirenberg ([7]), Castro y Cossio ([10]), Castro y Lazer ([11] y [12]), Chang ([13] y [14]), Ghoussoub ([20]), Nirenberg ([25]), Rabinowitz ([26], [27], [28], [29], [30], [31], [32] y [33]) y de Willem ([34]). Queremos agradecer al profesor Alfonso Castro, al comité organizador del Taller de Análisis no Lineal y Ecuaciones Diferenciales Parciales y a las directivas de la Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá por invitarnos a presentar en este evento el presente cursillo. Junio Jorge Cossio y Carlos Vélez

6 CAPÍTULO 1 PUNTOS CRÍTICOS VIA MINIMIZACIÓN En este capítulo presentaremos una técnica de minimización de funcionales definidos en espacios de Hilbert, que permite encontrar puntos críticos de funcionales coercivos y débilmente inferiormente semicontinuos. En la Sección 1 presentaremos los teoremas abstractos fundamentales. En la Sección 2 demostraremos tres proposiciones de caracter técnico que permiten verificar en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales las hipótesis requeridas en los teoremas fundamentales. Y en la Sección 3, utilizando los teoremas abstractos, demostraremos la existencia de soluciones débiles para problemas elípticos no lineales. Al lector interesado en algunas generalizaciones importantes de esta teoría a la existencia de puntos críticos con restricciones le sugerimos ver los trabajos de Costa ([18]) y de Costa y Willem ([19]). 1. Teoremas Fundamentales Nuestro primer teorema es un resultado topológico que será utilizado en la demostración del teorema central de esta sección. Teorema Sean X un espacio topológico compacto y Φ : X R un funcional semicontinuo inferiormente (i.e. a R, Φ 1 (a, ) es un abierto en X). Entonces Φ está acotado inferiormente y, además, existe u 0 X tal que Φ(u 0 ) = inf u X Φ(u). 4

7 5 Demostración. Como X = n=1 Φ 1 ( n, ), Φ 1 ( n, ) es abierto -por ser Φ semicontinua inferiormente- y X es compacto se sigue que existe n 0 N tal que X = n 0 n=1 Φ 1 ( n, ). Por lo tanto Φ(u) > n 0 u X. Es decir, Φ está acotado inferiormente. Sea c = inf u X Φ(u). Demostraremos a continuación que existe u 0 X tal que Φ(u 0 ) = c. En efecto, supongamos, por contradicción, que Φ(u) > c para todo u X. Entonces X = n=1 Φ 1 (c + 1 n, ). Por ser X compacto, existe k N tal que X = k n=1 Φ 1 (c + 1 n, ). Luego Φ(u) > c + 1 k u X.

8 6 Por lo tanto c = inf u X Φ(u) c + 1 k. Esta contradicción demuestra que existe u 0 X tal que Φ(u 0 ) = c. Como una consecuencia del Teorema demostraremos a continuación el resultado fundamental de esta sección. Teorema Sea H un espacio de Hilbert. Supongamos que el funcional Φ : H R satisface las siguientes condiciones: (i) Φ es débilmente inferiormente semicontinuo (i.e. a R, Φ 1 (a, ) es un abierto para la topología débil en H) (ii) Φ es coercivo (i.e. Φ(u) + cuando u ). Entonces Φ está acotado inferiormente y existe u 0 H tal que Φ(u 0 ) = inf u H Φ(u). Demostración. De la coercividad de Φ se sigue que existe R > 0 tal que (1.1) Φ(u) Φ(0) u H con u R. Como la bola cerrada B R (0) es compacta en la topología débil en H (véase [6], Teorema III.16) y la restricción de Φ a la bola cerrada B R (0) es semicontinua inferiormente en la topología débil, se sigue del Teorema que existe u 0 B R (0) tal que (1.2) Φ(u 0 ) = inf Φ(u). u B R (0)

9 7 De (1.1) y (1.2) se deduce que Φ(u 0 ) = inf u H Φ(u). Observamos que si además de las hipótesis del Teorema 1.1.2, el funcional Φ : H R es diferenciable entonces cualquier punto de mínimo u 0 es un punto crítico de Φ, i.e. Φ (u 0 ) = 0. Veremos a continuación otra consecuencia del Teorema Teorema Bajo las mismas hipótesis del Teorema 1.1.2, dado un conjunto cerrado, convexo y no vacío C H existe u 0 C tal que Φ(u 0 ) = inf u C Φ(u). Demostración. Ejercicio 2. Proposiciones Auxiliares El objetivo central de esta sección es demostrar tres proposiciones de carácter técnico, que permiten verificar en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales algunas de las hipótesis que son requeridas tanto en los teoremas fundamentales que han sido presentados en la Sección 1 como en los teoremas que presentaremos en los Capítulos 2 y 3. Inicialmente presentaremos un teorema de sustitución.

10 8 Proposición Sea R n un dominio acotado. Si g satisface: (i) g C( R, R) (ii) Existen constantes r, s 1 y a 1, a 2 0 tales que g(x, t) a 1 + a 2 t r s x, t R entonces la función u(x) g(x, u(x)) pertenece a C(L r (), L s ()). Demostración. Ejercicio (véase [26]). Sea R n un dominio acotado. Sea H el espacio de Sobolev H0 1 (), el cual es la completación del espacio con producto interno consistente de todas las funciones de clase C 1 (, R) que tienen su soporte compacto contenido en y cuyo producto interior está definido por u, v = u(x) v(x) dx. Al lector interesado en conocer más a fondo los espacios de Sobolev le sugerimos las trabajos de Adams ([1]) y de Brézis ([6]). La siguiente proposición establece una condición suficiente para saber cuándo un funcional que aparece frecuentemente en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales es débilmente continuo. Proposición Sea R n un dominio acotado. Si g satisface: (i) g C( R, R)

11 9 (ii) Existen constantes a, b > 0 y 1 α < 2n n 2 si n 3 ( 1 α < si n = 1, 2) tales que g(x, t) a t α + b entonces el funcional I : H0 1 () R definido por I(u) = g(x, u(x)) dx, es débilmente continuo. Demostración. Ejercicio (véase [26]). El siguiente resultado nos proporciona una condición suficiente que garantiza que una clase importante de funcionales que aparecen en el estudio de ecuaciones elípticas semilineales pertenecen a la clase C 1 (H 1 0 (), R). Proposición Sea R n un dominio acotado con frontera suave. Supongamos que p satisface las siguientes condiciones: (i) p C( R, R) y (ii) Existen constantes a 1, a 2 0 tales que p(x, t) a 1 + a 2 t s x, t R, donde 0 s < n + 2 n 2 y n 3. Sea I : H0 1 () R el funcional definido por I(u) = ( 1 2 u 2 P (x, u)) dx,

12 10 donde P (x, t) = t p(x, s) ds. 0 Entonces I C 1 (H 1 0 (), R) y I (u)φ = ( u φ p(x, u) φ) dx φ H 1 0 (). Además, si J : H0 1 () R es el funcional definido por J(u) = P (x, u(x)) dx entonces J es un operador compacto. Demostración. Ejercicio (véase [26]). 3. Aplicaciones a Problemas Elípticos Semilineales En esta sección mostraremos, como consecuencia de los teoremas abstractos presentados en la Sección 1 y de las proposiciones desarrolladas en la sección anterior, algunas aplicaciones a la solución de problemas elípticos semilineales. Sea λ 1 < λ 2 λ k... la sucesión de valores propios de con condición de frontera de Dirichlet en. Para cada entero positivo m sea ϕ m la función propia correspondiente al valor propio λ m. Sea H el espacio de Sobolev H0 1 (). Como es bien conocido (véase [6], Teorema IX.31), el conjunto {ϕ m } es un conjunto ortonormal completo en H. Consideremos el siguiente problema de Dirichlet no lineal (1.3) u + f(x, u) = 0 en, u = 0 en,

13 11 donde es un dominio acotado en R n con frontera suave. Decimos que u H es una solución débil del problema (1.3) si para todo ϕ H ( u. ϕ f(x, u) ϕ) dx = 0. Supongamos que f satisface la siguientes condiciones: (i) f C( R, R), (ii) Existen constantes a, b 0 tales que f(x, ξ) a + b ξ s x, ξ R, donde 0 s < n + 2 n 2 y n 3. (iii) Existe β < λ 1 tal que lim sup ξ f(x, ξ) ξ β uniformemente en x. Teorema Si f satisface las hipótesis (i), (ii) y (iii) entonces el problema (1.3) tiene una solución débil u H 1 0. Demostración. Sea I : H0 1 R el funcional definido por I(u) = ( 1 2 u 2 F (x, u)) dx, donde F (x, t) = t f(x, s) ds. 0 Usando la Proposición se sigue que I C 1 (H 1 0, R) y que u H 1 0 es una solución débil de (1.3) si y sólo si u es un punto crítico del funcional I. El funcional I puede escribirse en la forma I(u) = Q(u) J(u),

14 12 donde Q(u) = 1 2 u 2 y J(u) = F (x, u) dx. El funcional Q es débilmente inferiormente semicontinuo (véase [6], Proposición III.5) y, por la Proposición 1.2.2, J es débilmente continuo. Por lo tanto el funcional I es débilmente inferiormente semicontinuo. Por otro lado, la hipótesis (iii) implica que lim sup ξ 2 F (x, ξ) ξ 2 β uniformemente en x. Fijemos β 1 con β < β 1 < λ 1. Por lo tanto existe R 1 > 0 tal que F (x, ξ) 1 2 β 1 ξ 2 x y ξ R tal que ξ R 1. Utilizando la hipótesis (i) se sigue que existe una constante γ 1 tal que F (x, ξ) γ 1 x y ξ R tal que ξ R 1. Por lo tanto F (x, ξ) γ β 1 ξ 2 x y ξ R. De la desigualdad anterior y de la definición del funcional I se sigue que I(u) 1 u β 1 u 2 γ 1. Por la desigualdad de Poincaré (véase [9], Lema 4.5) tenemos que u 2 λ 1 u 2.

15 13 Luego I(u) 1 2 (1 β 1 ) u 2 γ 1 λ 1 = 1 2 (1 β 1 λ 1 ) u 2 γ 1. De la desigualdad anterior se sigue que I(u) + si u. Por lo tanto el funcional I es coercivo. Utilizando el Teorema tenemos que existe u 0 H 1 0 tal que I(u 0 ) = inf I(u). u H0 1 Como I es de clase C 1 (H 1 0, R), u 0 es un punto crítico de I. A continuación dejamos como ejercicio otra aplicación del Teorema Consideremos el problema (1.4) u + f(x, u) = 0 en, u = 0 en, donde es un dominio acotado en R n (n 3) con frontera suave. Supongamos que f satisface la siguientes condiciones: (i) f C( R, R) (ii) Existe una constante 0 < r < 1 tal que f(x, ξ) a(x) + c ξ r x, ξ R, donde c > 0 y a(x) L r+1 r (). Teorema Si f satisface las hipótesis (i) y (ii) entonces el problema (1.4) tiene una solución débil u H 1 0. Demostración. Ejercicio.

16 CAPÍTULO 2 PUNTOS CRÍTICOS VIA MINIMAX En el capítulo anterior estudiamos el problema de localizar puntos críticos que son puntos de mínimo de funcionales. Sin embargo existen muchos problemas, en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales, en los cuales los puntos críticos no se obtienen via minimización. En este capítulo discutiremos la existencia de otros puntos críticos de funcionales, los cuales no son necesariamente puntos de mínimo, y a los que llamaremos puntos de tipo minimax. El propósito central de este capítulo es demostrar el Teorema del Paso de la Montaña, un Teorema de Punto de Silla y presentar algunas aplicaciones a ecuaciones elípticas semilineales. Una herramienta fundamental en la prueba del Teorema del Paso de la Montaña es el llamado Lema de Deformación, el cual será presentado en la Sección 1. Este Lema juega un papel importante en todos los resultados abstractos de tipo minimax. En la Sección 2 demostraremos el Teorema del Paso de la Montaña y el Teorema de punto de Silla. Y en la Sección 3 presentamos algunas aplicaciones a la solución de problemas elípticos no lineales. 1. El Lema de Deformación Definición Sean E un espacio de Hilbert e I C 1 (E, R). Se dice que I satisface la condición de Palais-Smale, si cualquier sucesión {u n } n=1 en E, para la 14

17 15 cual {I(u n )} n=1 es acotada y lim n I (u n ) = 0, admite una subsucesión convergente. Lema (Lema de Deformación). Sea E un espacio de Hilbert. Supongamos que I C 1 (E, R) y satisface la condición de Palais-Smale. Para s, c R, sean K c = {u E : I(u) = c y I (u) = 0} y A s = {u E : I(u) s}. Si K c =. Entonces dado cualquier ɛ > 0, existen una constante ɛ (0, ɛ) y una función η C([0, 1] E, E) tales que: (i) η(0, u) = u para todo u E, (ii) η(1, u) = u si I(u) / [c ɛ, c + ɛ], (iii) η(1, A c+ɛ ) A c ɛ. Demostración. Véase [26]. Como una consecuencia del Lema de Deformación demostraremos a continuación un principio de minimización que es útil cuando el funcional en consideración no es coercivo. En la Sección 3 de este capítulo presentaremos una aplicación de este principio a ecuaciones diferenciales. Proposición Sean E un espacio de Hilbert e I C 1 (E, R). Supongamos que I satisface la condición de Palais-Smale y que I está acotado inferiormente.

18 16 Entonces existe u 0 E tal que I(u 0 ) = inf u E I(u). Demostración. Sea c = inf u E I(u). Como el funcional I está acotado inferiormente es claro que c >. Queremos demostrar que c es un valor crítico de I. Razonemos por el absurdo, supongamos que c no es valor crítico de I, es decir K c =. Sea ɛ > 0. Entonces el Lema de Deformación, garantiza la existencia de un ɛ (0, ɛ) y una función η C([0, 1] E, E) que satisfacen (i),(ii) y (iii) (ver Lema 2.1.2). De la definición de c se sigue que existe u E tal que I(u ) c + ɛ. Utilizando la propiedad (iii) del Lema de Deformación tenemos I(η(1, u )) c ɛ. Luego I(η(1, u )) c ɛ < c I(η(1, u )). Esta contradicción demuestra que K c.

19 17 2. El Teorema del Paso de la Montaña y un Teorema de Punto de Silla Utilizando el Lema de Deformación, demostraremos a continuación una técnica muy interesante de minimax que permite deducir la existencia de un punto crítico de un funcional. Esta técnica fue demostrada en [5] por Ambrosetti y Rabinowitz. Teorema (Teorema del Paso de la Montaña). Sea E un espacio de Hilbert y sea I C 1 (E, R) un funcional que satisface la condición de Palais-Smale. Supongamos que I(0) = 0, (i) existen constantes positivas ρ y α tales que I(u) α si u = ρ, y (ii) existe un elemento e E tal que e > ρ y I(e) 0. Entonces I posee un valor crítico c α. Además c puede ser caracterizado como (2.1) c = inf g Γ max 0 t 1 I(g(t)), donde Γ = {g C([0, 1], E)/ g(0) = 0, g(1) = e}. Demostración. Probaremos inicialmente que c, definido por (2.1), es tal que (2.2) α c <.

20 18 En efecto, para cada g Γ, max I(g(t)) existe porque I g es una función escalar 0 t 1 continua definida en [0, 1]. Luego c <. Además, si g Γ, la función g(t) es continua en el intervalo [0, 1]. Como g(0) = 0 y g(1) = e y por hipótesis e > ρ > 0, el Teorema del Valor Intermedio garantiza la existencia de un número t 0 (0, 1) tal que g(t 0 ) = ρ. Utilizando la hipótesis (i) se sigue que max I(g(t)) I(g(t 0)) α. 0 t 1 Puesto que g Γ era arbitraria, la anterior desigualdad completa la prueba de (2.2). Demostraremos a continuación que c es un valor crítico de I. Razonemos por el absurdo, supongamos que c no es valor crítico de I, es decir (2.3) K c =. Sea ɛ := α 2. Entonces el Lema de Deformación, garantiza la existencia de un ɛ (0, ɛ) y una función η C([0, 1] E, E) que satisfacen (i), (ii) y (iii) (ver Lema 2.1.2). Por (2.1), existe g 0 Γ tal que (2.4) max 0 t 1 I(g 0(t)) c + ɛ. Definamos h(t) := η(1, g 0 (t)) para todo t [0, 1]. Como η(1, ) C(E, E) y g 0 es continua en [0, 1], h = η(1, ) g 0 es tal que h C([0, 1], E). También g 0 (0) = 0 e I(g 0 (0)) = I(0) = 0 < α 2 c ɛ. Por

21 19 el Lema de Deformación se sigue que h(0) = η(1, 0) = 0. De manera similar, h(1) = η(1, e) = e. Por esto, h Γ y por (2.1) (2.5) c max 0 t 1 I(h(t)). Por (2.4), I(g 0 (t)) c + ɛ para todo t [0, 1]. Usando el Lema de Deformación tenemos I(h(t)) = I(η(1, g 0 (t)) c ɛ para todo t [0, 1]. Por lo tanto (2.6) max I(h(t)) c ɛ. 0 t 1 De (2.5) y (2.6) se sigue que c c ɛ. Esta contradicción demuestra que c es un valor crítico de I. A continuación presentamos otro teorema de minimax, el cual es útil para demostrar existencia de soluciones débiles para problemas elípticos semilineales. Teorema (Teorema de Punto de Silla). Sea E un espacio de Hilbert. Sean X e Y subespacios cerrados tales que E = X Y y 0 < dim X <. Sea

22 20 I C 1 (E, R) un funcional que satisface la condición de Palais-Smale. Supongamos que (i) Existen constantes α R y r > 0 tales que I Dr (0) X α, y (ii) Existe una constante β > α tal que I Y β. Entonces I posee un valor crítico c, que se caracteriza como c = inf max h Γ x D r X I(h(x)), donde Γ = {h C(D r (0) X, E) : h = Id en D r (0) X}. Demostración. Véase [26] (se usa Teoría de Grado!!). 3. Aplicaciones a Problemas Elípticos Semilineales Inicialmente presentaremos una aplicación del principio de minimización desarrollado en la Proposición Teorema Sea un dominio acotado en R n. Sea g : R R una función continua y acotada. Entonces el problema de Dirichlet no lineal (2.7) u + u = g(x, u), en u = 0, en, Tiene al menos una solución débil en H 1 0 (). Demostración. Imitando la prueba de la Proposición se demuestra que el funcional I : H0 1 R definido por I(u) = ( 1 2 u u2 G(x, u)) dx,

23 21 donde G(x, t) = t 0 g(x, s) ds, es un funcional de clase C1 (H 1 0, R). Además, (2.8) I (u) v = ( u v + u v g(x, u) v) dx v H 1 0. Luego u H 1 0 es una solución débil de (2.7) si y sólo si u es un punto crítico del funcional I. Probemos ahora que el funcional I está acotado inferiormente. En efecto, como g es acotada existe M > 0 tal que g(x, u(x)) M. Luego G(x, u(x)) u(x) 0 g(x, t) dt M u(x) 1 2 M u(x) 2. Por lo tanto (2.9) I(u) 1 2 u u M u M M 2. u 2 Luego I está acotado inferiormente. Demostraremos ahora que el funcional I satisface la condición de Palais-Smale. Para esto supongamos que (u n ) es una sucesión en H 1 0 tal que (I(u n )) está acotada y I (u n ) 0. Usando (2.9) se prueba que la sucesión (u n ) está acotada en H 1 0. Notemos que I es de la forma Identidad-Compacto. A partir de esto se verifica la condición de Palais-Smale.

24 22 Usando la Proposición se concluye que existe un punto crítico u H 1 0. Lo cual completa la demostración del teorema. El Teorema del Paso de la Montaña se utilizará a continuación para probar la existencia de soluciones débiles de problemas elípticos semilineales. Consideremos el problema (2.10) u + p(x, u) = 0 en u = 0 en, donde R n es un dominio acotado (n 3). Supongamos que p satisface las siguientes condiciones: (i) p C( R, R), (ii) Existen constantes a 1, a 2 0 tales que p(x, ξ) a 1 + a 2 ξ s x, ξ R, donde 0 s < n+2 n 2. (iii) p(x, ξ) = ( ξ ) cuando ξ 0, uniformemente en x. (iv) Existen constantes µ > 2 y r 0 tales que para todo ξ r 0 < µp (x, ξ) ξ p(x, ξ), donde P (x, ξ) = ξ 0 p(x, s) ds. Teorema Si la funcion p satisface las hipótesis (i)-(ii)-(iii)-(iv) entonces el problema (2.10) tiene una solución débil no trivial.

25 23 Demostración. De la Proposición se sigue que u H := H0 1 () es una solución débil de (2.10) si y sólo si u es un punto crítico del funcional I C 1 (H0 1, R) definido por (2.11) I(u) = ( 1 2 u 2 P (x, u)) dx. Además, (2.12) I (u) v = ( u v p(x, u) v) dx v H 1 0. Debemos verificar que el funcional I satisface las hipótesis del Teorema del Paso de la Montaña. La continuidad de la función p y la hipótesis (iii) implican que p(x, 0) = 0. Luego el problema (2.10) posee la solución trivial u 0. Además, de (2.11) se sigue que I(0) = 0. La primera hipótesis del Teorema del Paso de la Montaña (hipótesis (i) del Teorema 2.2.1) es una consecuencia de la siguiente afirmación. Afirmación 1. u = 0 es un punto de mínimo local estricto del funcional I. Prueba. EJERCICIO (o véase [26]). Demostraremos ahora la segunda hipótesis del Teorema del Paso de la Montaña (hipótesis (ii) del Teorema 2.2.1). Usando la hipótesis (iv) se prueba fácilmente que existen constantes a 3, a 4 > 0 tales que (2.13) P (x, ξ) a 3 ξ µ a 4 x ξ R.

26 24 Observamos que como µ > 2, P (x, ξ) es supercuadrática en ξ. Por (iv), p(x, ξ) es superlineal cuando ξ. Fijemos un elemento v H tal que v 0. Sea u = t v, donde t > 0. Usando (2.11) y (2.13) se sigue que (2.14) I(u) = I(t v) 1 2 t2 v 2 a 3 t µ v µ L µ + a 4. Tomando el límite en (2.14) cuando t + y teniendo en cuenta que µ > 2 tenemos que I(t v) si t +. Luego la segunda hipótesis del Teorema del Paso de La Montaña es válida. Demostraremos ahora que el funcional I satisface la condición de Palais-Smale. Sea (u n ) una sucesión en H 1 0 tal que (2.15) lim n I (u n ) = 0 y I(u n ) M, para alguna constante M > 0. Usando (2.11) y (2.12) tenemos (2.16) I(u n ) = 1 2 u 2 P (x, u n ) dx y (2.17) 1 µ I (u n ) u n = 1 µ u n 2 1 p(x, u n ) u n dx. µ

27 25 Usando (2.15) se sigue que para n suficientemente grande I(u n ) 1 µ I (u n )u n M + 1 µ u n. De (2.16), (2.17) y la desigualdad anterior se sigue que (2.18) ( ) ( ) 1 u n 2 + µ µ p(x, u n) u n P (x, u n ) M + 1 µ u n. Sea T := 1 µ p(x, u n) u n P (x, u n ). Ahora (2.19) T dx = {x ; u(x) r} T dx + {x ; u(x) r} T dx. Por la hipótesis (iv) la primera integral del lado derecho de (2.19) es positiva. Además, la segunda integral está acotada inferiormente por una constante K > 0 que no depende de n. Luego (2.18) y la observación anterior implican que Por lo tanto, ( ) u n 2 + K M + 1 µ µ u n. (2.20) ( ) u n 2 1 µ µ u n + K M. Como µ > 2, (2.20) implica que la sucesión (u n ) es una sucesión acotada en H. Notemos que I es de la forma Identidad-Compacto. A partir de esto se verifa la condición de Palais-Smale. Como el funcional I satisface las hipótesis del Teorema del Paso de la Montaña se concluye que el funcional I tiene un punto crítico u H no trivial.

28 CAPÍTULO 3 PUNTOS CRÍTICOS VIA REDUCCIÓN En este capítulo presentaremos una técnica que permite reducir el estudio de los puntos críticos de un funcional I definido en un espacio de Hilbert H al estudio de los puntos críticos de un funcional Î definido en un subespacio cerrado de H, el cual es, generalmente, de dimensión finita. Esta técnica se conoce como el método de reducción y permite demostrar la existencia de soluciones para problemas de Dirichlet no lineales. En la Sección 1 demostraremos los resultados principales que explican el método de reducción (véase los Teoremas y 3.1.4) y en la Sección 2 aplicaremos dicho método para probar la existencia de soluciones débiles para problemas elípticos semilineales. 1. Teoremas Centrales Sean H un espacio de Hilbert real y f : H R una función diferenciable. Sea f (u) la derivada de Fréchet de f en u H. Por el Teorema de Representación de Riesz, existe un único elemento f(u) H, que llamaremos el gradiente de f en u, tal que f (u) v = f(u), v v H. 26

29 27 El siguiente resultado será una herramienta de gran utilidad en la demostración del teorema principal de este capítulo y es una consecuencia del Teorema Lema Sea f : H R una función de clase C 1. Si existe m > 0 tal que f(x) f(y), x y m x y 2 x, y H entonces f tiene un único punto de mínimo en H. Además, el punto de mínimo es el único punto crítico de f. Demostración. Utilizando la expresión integral f(y) f(x) = 1 0 f(x + s(y x)), (y x) ds x, y H, que es una consecuencia de la regla de la cadena, y la hipótesis del lema se sigue que f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + t f(y). Por lo tanto f es una función convexa. Como f es una función continua y convexa se tiene que f es débilmente inferiormente semicontinua (véase [6], Corolario III.8). Demostraremos a continuación que f es una función coerciva. Usando la expresión

30 28 integral vista arriba, la hipótesis y la desigualdad de Schwarz tenemos f(x) = f(0) + = f(0) f(0) + m 0 1 f(sx), x ds f(sx) f(0), x ds + f(0), x 0 s x 2 ds f(0) x = f(0) + m 2 x 2 f(0) x. Luego f(x) cuando x. Por lo tanto f es una función coerciva. Usando el Teorema se sigue que f está acotada inferiormente y que existe u 0 H tal que f(u 0 ) = inf u H f(u). Luego u 0 es un punto de mínimo de f en H. Como f es diferenciable se concluye que u 0 es un punto crítico de f. Demostraremos ahora que f tiene un único punto crítico. En efecto, supongamos que existe otro punto crítico u 1 H. Usando la hipótesis tenemos que 0 = f(u 0 ) f(u 1 ), u 0 u 1 m u 0 u 1 2. Por lo tanto u 0 = u 1. A continuación presentamos el resultado principal de este capítulo.

31 29 Teorema Sea f : H R una función de clase C 1. Supongamos que existen subespacios cerrados X e Y de H tales que H = X Y y que existe una constante m > 0 tal que (3.1) f(x + y 1 ) f(x + y 2 ), y 1 y 2 m y 1 y 2 2 x X, y 1, y 2 Y. Entonces existe una función continua φ : X Y que satisface: i) ii) La función f(x + φ(x)) = min y Y f(x + y). ˆf : X R x ˆf(x) = f(x + φ(x)) es de clase C 1 y (3.2) ˆf(x), h = f(x + φ(x)), h x, h X f(x + φ(x)), y = 0 x X, y Y Demostración. Para cada x X definamos la función f x : Y R y f x (y) = f(x + y)

32 30 Se demuestra fácilmente (Ejercicio) que f x C 1 (Y, R), f x(y) = f (x + y) Y y (3.3) f x (y), h = f(x + y), h h Y. Usando (3.3) y la hipótesis (3.1) se sigue que f x (y 1 ) f x (y 2 ), y 1 y 2 = f(x + y 1 ) f(x + y 2 ), y 1 y 2 m y 1 y 2 2. Utilizando el Lema se tiene que f x tiene un único punto crítico φ(x) Y, que es un punto de mínimo de f x ; es decir, f x (φ(x)) = min y Y f x(y). Por lo tanto, f(x + φ(x)) = min f(x + y). y Y En particular, φ(x) es el único elemento de Y tal que (3.4) 0 = f x (φ(x)), y = f(x + φ(x)), y y Y. Se prueba (véase A. Castro [8] Lema 3.2) que la función φ : X Y x φ(x) es continua, la función ˆf : X R x ˆf(x) = f(x + φ(x))

33 31 es de clase C 1 y ˆf(x), h = f(x + φ(x)), h x, h X. El siguiente resultado permite conseguir puntos críticos de tipo maxmin. Su demostración está basada en el teorema anterior y en el Teorema Teorema Sean f, ˆf, X, Y y H como en el Teorema Si ˆf es débilmente inferiormente semicontinua y f(x) cuando x (x X) entonces existe u 0 H tal que f (u 0 ) = 0 y f(u 0 ) = max min x X y Y f(x + y). Demostración. Ejercicio. 2. Aplicaciones a Problemas Elípticos Semilineales Presentamos a continuación tres aplicaciones de los teoremas de la Sección 1 a la existencia de soluciones débiles para problemas elípticos semilineales. En el resto del capítulo R n designará un dominio acotado con frontera suave. Sean {λ 1, λ 2, λ 3, } la sucesión de valores propios y {ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, } la sucesión de funciones propias de con condición de frontera de Dirichlet. El siguiente teorema se debe a A. Castro y J. Cossio (véase [10]).

34 32 Teorema Sea g : R R una función diferenciable tal que g ( ) := g(t) lim t t (λ k, λ k+1 ) (k 2) y g (t) γ < λ k+1 t R. Entonces el problema (3.5) u + g(u) = 0 en, u = 0 en, tiene al menos una solución débil en H 1 0 (). Demostración. Sea I : H := H0 1 () R el funcional definido por I(u) = ( 1 2 u 2 G(u)) du, donde G(t) = t g(s) ds. 0 Como g C(R, R) y g ( ) R existen constantes a 1, a 2 > 0 tales que g(t) a 1 + a 2 t t R. Usando la Proposición se tiene que I C 1 (H, R) y I(u), v = ( u. v g(u) v) v H. Sean X = ϕ 1, ϕ 2,, ϕ k y Y = ϕ k+1, ϕ k+2,,. Por lo tanto H = X Y. Demostraremos a continuación que el funcional I satisface las hipótesis del Teorema En efecto, sean x X y y 1, y 2 Y. Usando el Teorema del Valor Medio y el

35 33 hecho de que g (t) γ se sigue que I(x + y 1 ) I(x + y 2 ), y 1 y 2 = (y 1 y 2 ). (y 1 y 2 ) (g(x + y 1 ) g(x + y 2 )) (y 1 y 2 ) = y 1 y 2 2 g (η)(y 1 y 2 ) 2 y 1 y 2 2 γ (y 1 y 2 ) 2. Como y 2 λ k+1 y2 y Y (Ejercicio), se tiene que I(x + y 1 ) I(x + y 2 ), y 1 y 2 (1 γ λ k+1 ) y 1 y 2 2. Luego se satisfacen las hipótesis del Teorema Por lo tanto existe una función continua φ : X Y tal que I(x + φ(x)) = min I(x + y) y Y (x X). Además, φ(x) es el único elemento de Y tal que I(x + φ(x)), y = 0 y Y, la función es de clase C 1 y Î : X R x Î(x) = I(x + φ(x)) Î(x), h = I(x + φ(x)), h x, h X.

36 34 Como g ( ) (λ k, λ k+1 ) se demuestra fácilmente que existen constantes b R y ˆγ > λ k tales que (3.6) G(t) ˆγ 2 t2 + b t R. Usando (3.6) se sigue que Î(x) I(x) = 1 2 x 2 G(x) 1 2 x 2 ˆγ 2 x 2 b. Como x 2 λ N x2 x X (Ejercicio), se tiene que (3.7) Î(x) 1 ) (1 ˆγλk x 2 b x X. 2 De (3.7), como ˆγ > λ k se deduce que Î(x) cuando x. Como dim X <, existe x 0 X tal que (3.8) Î(x 0 ) = max Î(x). x X Por lo tanto I(x 0 + φ(x 0 )) = max min x X y Y I(x + y). Si llamamos u 0 = x 0 + φ(x 0 ) H se sigue que para todo x X y y Y I(x 0 + φ(x 0 )), x + y = I(x 0 + φ(x 0 )), x + I(x 0 + φ(x 0 )), y = 0.

37 35 Luego I(u 0 ) = 0 y I(u 0 ) = max min I(x + y). x X y Y Por lo tanto u 0 es un punto crítico del funcional I y por consiguiente una solución débil del problema (3.5). De manera similar a como se demostró el Teorema se prueba el siguiente resultado. Teorema Sea g : R R una función que satisface las siguientes condiciones: i) g es una función Lipschitz, con constante de Lipschitz α tal que 0 < α < λ N+1. ii) Existen constantes β y γ tales que β > λ N y t 0 g(s) ds β 2 t2 + γ. Entonces el problema (3.9) u + g(u) = 0 en, u = 0 en, tiene al menos una solución débil en H 1 0 (). Demostración. Ejercicio

38 REFERENCIAS 1. R. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, S. Agmon, The L p approach to the Dirichlet problem, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 13 (1959), A. Ambrosetti, On the existence of multiple solutions for a class of nonlinear boundary value problems, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 49 (1973), A. Ambrosetti, Critical points and nonlinear variational problems, Mim. Soc. Math. France 49 (1992). 5. A. Ambrosetti and P. Rabinowitz, Dual variational methods in critical point theory and applications, J. Funct. Anal. 14 (1973), H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza Editorial, Masson, Paris, H. Brezis and L. Nirenberg, H 1 versus C 1 minimizers, C.R. Acad. Sci. Paris 317 Serie I (1993), A. Castro, Métodos de reducción via minimax, Primer simposio Colombiano de Análisis Funcional, Medellín, A. Castro, Métodos variacionales y Análisis Funcional no Lineal, X Coloquio Colombiano de Matemáticas, Paipa, Colombia, A. Castro and J. Cossio, Multiple solutions for a nonlinear Dirichlet problem, SIAM J. Math. Anal. 25, No.6 (1994), A. Castro and A. Lazer, Critical point theory and the number of solutions of a nonlinear Dirichlet problem, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 120 (1979),

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