UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11 TALLER Nº 7 PROPORCIONALIDAD REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

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1 UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL TALLER Nº 7 PROPORCIONALIDAD REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA RESEÑA HISTÓRICA: BEREMIZ, el matemático del libro El hombre que Calculaba, decía que podía explicar con las medidas del rostro de una mujer si era hermosa o no. Decía: puedo explicar esa relación curiosa de un modo elemental y simple: Dada una magnitud AB (en este caso representada por un segmento de recta), podemos dividirlo por la mitad, o en dos partes desiguales. La división en dos partes desiguales puede hacerse de una infinidad de maneras diferentes. Entre estas divisiones de AB en partes desiguales, habrá alguna preferible a todas las otras? Consideremos el segmento AB dividido en dos partes desiguales: Admitamos que esas partes desiguales admiten la siguiente relación: El segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la parte menor. La proporción es la siguiente: Segmentototal Partemayor = Aproximadamente igual a.68 Partemayor Partemenor Esta notable división se llama división áurea o división en media y extrema razón. En el rostro femenino considerado matemáticamente Hermoso, la línea C a la altura de los ojos divide a la longitud total de AB, en media y extrema razón, siendo AB la longitud del rostro. Hasta hoy no se consiguió descubrir la razón de ser o el porque de esa belleza. Los matemáticos que llevaran hasta muy lejos sus estudios y observaciones, exponen varios y curiosos ejemplos que constituyen elocuentes demostraciones para el principio de esa división, que los romanos llamaban divina proporción. El titulo en la primera página de una obra divide, en general, la medida total de la página en media y extrema razón. Lo mismo sucede con la línea de los ojos, que divide, en las personas bien proporcionadas, la medida total del rostro en media y extrema razón. Se observa también en las partes en que las falanges dividen los dedos de la mano. La división en media y extrema razón se puede hallar también en la música, el pintura, en la escultura y en la arquitectura. TEORÍA RAZON: La razón entre dos cantidades a y b es el cociente indicado entre ellas y la representamos por: b a Antes de comparar dos cantidades debemos expresarlas en la misma unidad de medida. PROPORCION: Una proporción es una igualdad de dos razones. a c 4 La proporción = se lee a es a b como c es a d, por ejemplo: = se lee 4 es a 8 como b d 8 es a. a y d se llaman extremos de la proporción. b y c se llaman medios de la proporción.

2 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES: En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c 6 = a d = b c ; ejemplo: = 4 = 6. b d 4 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: Consideremos dos magnitudes A y B así: A: Es el área en m de un piso para embaldosar. B: Es el numero de obreros necesarios para embaldosar el piso en un día. Si duplicamos el área del piso, se duplicará el número de obreros necesarios para embaldosarlo. DEFINICON: Dos magnitudes se llaman DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, cuando están relacionadas de un modo que al duplicar, triplicar etc., una de ellas, la otra también se duplica, se triplica, etc. Por lo tanto en el ejemplo anterior A y B son magnitudes directamente proporcionales. En el ejemplo: Si tenemos a m de piso para embaldosar y necesitamos b obreros y si a a m de piso le corresponden b obreros para embaldosarlos, entonces se tiene la proporción: a b = a b MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES: Un vehículo, con velocidad constante, recorre una distancia determinada en t horas, si duplicamos la velocidad, recorrerá la misma distancia en la mitad del tiempo. DEFINICION: Dos magnitudes se llaman INVERSMENTE PROPORCIONALES, si al multiplicar una de ellas por n, la cantidad correspondiente de la otra queda dividida por n. En el ejemplo anterior, si con una velocidad constante V recorre una distancia d en t horas y con otra velocidad constante V se demora t horas, tenemos que: V t = V t, de donde: V t = ( La velocidad es inversamente proporcional al tiempo) V t BIBLIOGRAFÍA: Malba Tahan: El hombre que Calculaba. Panamericana Editorial. Bogotá Chica, Jaime. Del Valle, Jesús. Y otros. Matemáticas (Colección Camino a la Universidad). Editorial Universidad de Antioquia. 99. Uribe, Julio: Matemáticas Básicas operativas. Susaeta ediciones Guarín, Hugo; Londoño, Nelson y otros. Matemática moderna estructurada. Libro. Editorial Norma. Bogotá. GLOSARIO: Razón. Proporción, Medios, Extremos, Proporción directa, Proporción inversa, segmento áureo, Media y extrema razón.

3 REGLA DE TRES SIMPLE. Cuál es el precio de 40 Kg de café a 78 dólares 8 kilos A. $4 B. $68 C. $7 D. $44,. Sabiendo que 6 litros de vino cuestan 4 dólares, cuál es el valor de 8 litros de la misma calidad?. A. $44, B. $40 C. $8 D. $70. Para hacer una obra, 8 obreros han empleado 4 días. Cuántos días emplearán para hacer otra obra semejante a la anterior obreros? A. 84 B. 4 C. 6 D Dos individuos arriendan una finca. El primero ocupa los / de la finca y paga $6.000 bolívares de alquiler al año. Cuánto paga de alquiler el segundo? A Bs B..000 BS C..700 Bs D..600 Bs. Una casa es de dos hermanos. La parte del primero, que es los / de la casa, está avaluada en.00 bolívares. Hallar el valor de la parte del otro hermano. A B..00 C D. 9.6, 6. Un grupo de obreros emplea 4 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubieran trabajado una hora menos al día, En cuántos días habrán terminado la obra? A.. D B. 6 D C. 8 D D.. D 7. Nueve hombres pueden hacer una obra en días. Cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en un día? Cuántos hombres menos para hacerla en días? A.. y 7 B. 4 y C. 6 y 6 D. 4 y 6 8. Ganando $. en cada metro de tela, Cuántos metros se han vendido si la ganancia ha sido $94? A. 00 m B. 64 m C. m D. 94 m 9. Un obrero tarda días en hacer 7/ de una obra. Cuánto tiempo necesitará para poder terminar la obra? A. 8 D B. D C. 9 D D. D 0. A la velocidad de 0 Km por hora, un automóvil emplea 8 horas en ir de una 4 ciudad a otra. Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido el triple? A. 4,7 B. C. /4 D. /4. Dos piezas de paño de la misma calidad cuestan, un $40 y otra $00. si la primera tiene M más que la segunda, Cuál es la longitud de cada pieza? A. 4m y 0m B. m y m C. m y 0m D. 0m y m

4 . Una fuente da 0 decalitros de agua en 0 minutos. Cuántos litros más dará en minutos? A. 0 B. 0 C..00 D. 4. Una guarnición de.00 hombres tiene víveres para 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 0 días mas, cuántos hombres habrá que rebajar de la guarnición? A..00 B. 00 C..400 D Un ganadero compra.40 reses con la condición de recibir por cada que compre. Cuántas reses debe recibir? A.. B..400 C..0 D..0. Al vender cierto número de caballos por $4.00 gano $6 en cada $00. Cuánto me costaron los caballos? A. 4.0 B..40 C..0 D Al vender cierto número de caballos por $960 pierdo $8 en cada $00. Cuánto me costaron los caballos? A. $.0 B. $ C. $.40 D. $ Dos números están es la relación de a. Si el mayor es 6, Cuál es el menor? A. B. C. 9 D. 8. Dos números están en relación de 9 a 7. Si el menor es 89 Cuál es el mayor? A. 89 B. C. D Se han empleado 8 días para cavar una zanja. Si la dificultad de otro terreno guarda con la dificultad del anterior la relación de 4 a, Cuántos días llevaría cavar una zanja igual en el nuevo terreno? A. 6 B. 0 C. D. d Un grupo de hombres se compromete a terminar en 4 días cierta obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los /7 de la obra; con cuantos hombres tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo fijado? A. 4 B. C. 9 D. REGLA DE TRES COMPUESTA. Una guarnición de 00 hombres tienen víveres para 0 días a razón de raciones diarias. Cuántas raciones diarias tomara cada hombre si se quiere que los víveres duren días más? A. / B. C. 4 D.. Ocho hombres han cavado en 0 días una zanja de 0 m de largo, 4m de ancho y m de profundidad. En cuanto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos? A. días B. /4 días C. 0 días D. 80 días

5 . Una calle de 0 metros de largo y 8 metros de ancho se halla pavimentada con adoquines. Cuántos adoquines serán necesarios para pavimentar otra calle del doble de largo y cuyo ancho es los ¾ del ancho interior? A B C..70 D Diez hombres, trabajando en la construcción de un puente, hacen / de la obra en 8 días. Si se retiran 8 hombres, Cuánto tiempo emplearan los restantes para terminar la obra? A. 6 B. 6 C. 60 D.. Dos hombres han cobrado 0 bolivares por un trabajo realizado por los dos. El primero trabajó durante 0 días a razón de 9 horas diarias y recibió 0 bolívares. Cuántos días a razón de 6 horas diarias, trabajó el segundo? A. 9 días B. 40 días C. 4 días D. días 6. gallinas ponen dos huevos en dos días; 0 gallinas. Cuántos huevos ponen 0 días? A. huevos B. 0 huevos C. 00 huevos D. 0 huevos 7. Se emplean 4 hombres en hacer 4 m de una obra, trabajando durante 0 días. Cuánto tiempo empleará la mitad de esos hombres en hacer 6 m de la misma obra, habiendo en esta obra triple dificultad que en la anterior? A. 0 B. 8 C. 4 D ocho niños se comen 8 biscochos en 8 minutos. Cuántos niños son necesarios para comerse biscochos en minutos? A. niños B. 4 niños C. 8 niños D. 6 niños 9. hombres han sembrado en 0 días un terreno de 0 km de largo por km de ancho. En cuanto tiempo hubieran sembrado el mismo terreno 6 hombres menos? A. B. C. D. 0. Un parqueadero de 00 m de largo y 60 m de ancho se halla pavimentado con.000 adoquines. Cuántos adoquines serán necesarios para pavimentar otra calle del doble de largo y cuyo ancho es la mitad del ancho anterior? A..000 B..00 C..40 D hombres han sembrado en días un terreno de 0 km de largo por km de ancho. En cuanto tiempo hubieran sembrado otro terreno de km de largo por km. De ancho 4 hombres menos? A. 4. B. 9 C.. D. 8.. Tres hombres han cobrado $.00 por un trabajo hecho por los tres, trabajando durante días. Cuánto cobrarán hombres por hacer el trabajo en días? A. 6.60,4 B..480, C. 0.4 D. 7.94,

6 . Una guarnición de 700 hombres tienen víveres para 0 días a razón de raciones diarias. Cuántas raciones diarias deberá tomar una guarnición de 400 hombres si se quiere que los víveres duren días más? A.. B. 4. C. 7 D Un automóvil invierte 8 horas para recorrer una distancia de 40 km a una velocidad de 0 km/h. Cuánto tiempo se gastará para recorrer una distancia de 40 km, a una velocidad de 4 km/h? A. 7. horas B. horas C. horas D. 0 horas. Una piscina se gasta 40m de agua para llenarla en un tiempo de horas, utilizando 4 mangueras. Cuántas mangueras se necesitan para llenar la mitad de la piscina con horas? A. B. 8 C. 6 D hombres, trabajando en la construcción de un puente hacen /8 de la obra en días. Si se añaden hombres más. Cuánto tiempo empleará la nueva cantidad de hombres para terminar la obra? A.. B. ½ C. 7.7 D Dos hombres han gastado $ 780 en un negocio hecho por ambos. El primero invirtió $0 y trabajó durante días a razón de 9 horas. Cuántos días a razón de 6 horas diarias, trabajó el segundo? A. 8 B. 4.4 C. D Un grupo de 9 hombres se comprometen a terminar en 4 días cierta obra. Al cabo de días sólo han hecho la mitad de la obra. Cuántos hombres tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo fijado? A. 8 B. 4 C. D Un grupo de 9 hombres se comprometieron a terminar en 4 días cierta obra. Al cabo de días sólo han hecho la mitad de la obra. Si se agregan hombres más para terminar la obra, en cuanto tiempo lo harán? A. 4 B. C. 9 D Siete hombres han cavado en 0 días una zanja de 0m de largo y de profundidad. En cuanto tiempo hubieran cavado otra zanja de 0xx, hombres menos? A. B. C. 9 D. 6