Constante de proporcionalidad. Propiedades de las proporciones. En una proporción del producto de los medios es igual al

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1 Definición de proporción Proporción es una igualdad entre dos razones. Constante de proporcionalidad Propiedades de las proporciones En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos. En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. - 1

2 Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía. Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los términos de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos. Medio proporcional Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos. - 2

3 Tercero proporcional En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde más. A menos corresponde menos. Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio. céntimos. Si 1 kg de tomates cuesta 1, 2 kg costarán 2 y ½ kg costará 50 Es decir: A más kilógramos de tomate más euros. A menos kilógramos de tomate menos euros. - 3

4 También son directamente proporcionales: El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado. El volumen de un cuerpo y su peso. La longitud de los lados de un polígono y su área. Aplicaciones de la proporcionalidad directa Regla de tres simple y directa Repartos directamente proporcionales Porcentajes Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más más. A menos menos. - 4

5 Ejemplos Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. Cuántos kilómetros hab rá recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros. 240 km 3 h x km 2 h Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80, cuánto pagará Ana? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros. 2 kg kg x Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas. - 5

6 Ejemplo Un abuelo reparte 450 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. Cuánto corresponde a cada uno? Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno. 1º El reparto proporcional es: 2º Por la propiedad de las razones iguales: 3º Cada nieto recibirá: - 6

7 Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Ejemplos de porcentajes Una moto cuyo precio era de 5.000, cuesta en la actualidad 250 más. Cuál es el porcentaje de aumento? x El 5%. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? x =

8 También se puede calcular directamente del siguiente modo: x El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? x Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando: - 8

9 A más corresponde menos. A menos corresponde más. tiempo: Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el A más velocidad corresponde menos tiempo. A menos velocidad corresponde más tiempo. Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas. Aplicaciones de la proporcionalidad inversa Regla de tres simple inversa Repartos inversamente proporcionales Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. - 9

10 La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más menos. A menos más. Ejemplo Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito. 18 l/min 14 h 7 l/min x h 3 obreros construyen un muro en 12 horas, cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? - 10

11 Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas. 3 obreros 12 h 6 obreros x h Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes. Ejemplo Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, cuánto aporta cada uno? 1º Tomamos los inversos: 2º Ponemos a común denominador: 3º Realizamos un reparto directamente proporcional a l os numeradores: 24, 20 y

12 La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes c onocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta: Regla de tres compuesta directa - 12

13 Ejemplo Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. A más grifos, más euros Directa. A más horas, más euros Directa. 9 grifos 10 horas grifos 12 horas x Regla de tres compuesta inversa - 13

14 Ejemplo 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias? A menos obreros, más días Inversa. A más horas, menos días Inversa. 5 obreros 6 horas 2 días 4 obreros 7 horas x días Regla de tres compuesta mixta - 14

15 Ejemplo Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? A más obreros, menos días Inversa. A más horas, menos días Inversa. A más metros, más días Directa. 8 obreros 9 días 6 horas 30 m 10 obreros x días 8 horas 50 m Ejercicios y problemas de proporcionalidad 1Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:

16 4 5 2Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, cuántas vueltas habrá dado la segunda? 3Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792. Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 4Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 511 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 6 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 7De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 8Una moto cuyo precio era de 5.000, cuesta en la actualidad 250 más. Cuál es el porcentaje de aumento? - 16

17 9Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? 10Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pag ar? 11 Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80. Halla el precio de venta. 12 Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 para ganar al venderlo el 10%. 13 Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280, para perder el 12% sobre el precio de venta? 14Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150. Ejercicios y problemas resueltos de proporcionalidad Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:

18 Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, cuántas vueltas habrá dado la segunda? 25 cm 300 vueltas 75 cm x vueltas Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792. Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 6 personas 12 días personas 8 días x - 18

19 Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. ½ kg m² 12 botes 2 kg m² x botes 11 obreros labran un c ampo rectangular de 2 20 m de largo y 48 de ancho en 6 días. Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? m² 6 días 11 obreros m² 5 días x obreros Seis grifos, tardan 1 0 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 6 grifos 10 horas 1 depósito 400 m³ 4 grifos x horas 2 depósitos 500 m³ - 19

20 De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 800 alumnos 600 alumnos 100 alumnos x alumnos Al adquirir un vehícul o cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? x = 8140 También se puede calcular directamente del siguiente modo: x - 20

21 El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Cuánto hay que pagar por él si el IV A es del 16%? x Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? x Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80. Halla el precio de venta x - 21

22 Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 para ganar al venderlo el 10%. venta compra x 180 Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280, para perder el 12% sobre el precio de venta? venta compra x 280 Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de x - 22

23 Ejercicios y problemas de proporcionalidad 1Un abuelo reparte 450 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. Cuánto corresponde a cada uno? 2 Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y Al cabo de un año han ganado Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados? 3 Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera. 4Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden Cuánto corresponde a los otros dos? 5Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, cuánto aporta cada uno? 6Repartir 420, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6. Un abuelo reparte 450 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. Cuánto corresponde a cada uno? - 23

24 Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y Al cabo de un año han g anado Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados? De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 2Una moto cuyo precio era de 5.000, cuesta en la actualidad 250 más. Cuál es el porcentaje de aumento? - 24

25 3Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? 4Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pag ar? 5 Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80. Halla el precio de venta. 6 Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 para ganar al venderlo el 10%. 7 Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280, para perder el 12% sobre el precio de venta? 8Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 800 alumnos 600 alumnos 100 alumnos x alumnos Al adquirir un vehícul o cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? - 25

26 x = 8140 También se puede calcular directamente del siguiente modo: x El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Cuánto hay que pagar por él si el IV A es del 16%? x Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? x - 26

27 Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80. Halla el precio de venta x Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 para ganar al venderlo el 10%. venta compra x 180 Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280, para perder el 12% sobre el precio de venta? venta compra x

28 Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de x Ejercicios y problemas de regla de tres 1Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, cuántas vueltas habrá dado la segunda? 2Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792. Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 3Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 411 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? - 28

29 5 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? - 29