PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA.

Transcripción

1 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA. Conocimientos previos Proporción: a b = c d a y d se llaman extremos { b y c se llaman medios } Propiedad fundamental de la proporción: a d=b c Producto de extremos es igual a producto de medios Proporcionalidad directa: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. (A más corresponde más. A menos corresponde menos.) Ejemplos: 5 = x 20 20=5 x x= 20 5 =12 7 x =5 7 4=x 5 x= =5,6 Proporcionalidad inversa: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. (A más corresponde menos. A menos corresponde más.) 1. Problemas de proporcionalidad directa. Un automóvil recorre 240 km en horas. Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Regla de tres directa: Reducción a la unidad: Km h Horas (D) Km 240 x 2 D 240 x = x= =160 km ( :) 240 (:) 2 ( 2) =160 km (x2) 2. Repartos directamente proporcionales: Repartir una cantidad C directamente proporcional a ciertas cantidades dadas a 1, a 2, a, a n : Si llamamos A = a 1 + a 2 + a + + a n. Sean, c 2, c, c n las cantidades que queremos calcular, la regla será: a 1 = c 2 a 2 = c a =...= C A Un abuelo reparte 450 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. Cuánto corresponde a cada uno?

2 Total de años de los nietos: = 6 años. Repartimos el dinero entre los años: 450: 6 = 12,5 /año. Es decir a cada año que tenga un nieto le corresponden 12,5 : El pequeño recibirá: 12,5 8 = 100 El mediano recibirá: 12,5 12 = 150 El mayor recibirá 12,5 16 = 200 Regla: 8 = c 2 12 = c 16 = =450 6 =12,5 8 =450 6 = =100 c 2 12 =450 6 c 2= =150 c 16 =450 6 c = =200. Porcentajes Los problemas de porcentajes se resuelven mediante la siguiente proporción Parte Total =Porcentaje 100 Una moto cuyo precio era de 5.000, cuesta en la actualidad 250 más. Cuál es el porcentaje de aumento? Total: ; Parte: =% 100 %= =5 % Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? Total: 8.800; Parte: x ; %: 7,5% x 8800 = 7,5 7, x= =660 Precio final: = 8, Aumentos y disminuciones porcentuales: Dada una cantidad inicial y un porcentaje de aumento o disminución (p), La cantidad final aumentada o rebajada se calcula mediante la fórmula: C final =C 1± p 100 Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? 7,5 C final = = ,075 =8800 0,925=8140 El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Se pone de oferta al 15% de descuento Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 21%? Encadenamos una disminución y un aumento porcentual. 15 C final = =1200 0,85 1,21=124,

3 5. Problemas de proporcionalidad inversa. Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Regla de tres directa: l/ min h I x 18 7 = x x=18 14 =6h 14 7 Se invierte la razón Reducción a la unidad: l/min (I) horas ( :18) (x18) 7 ( 7) =6h (:7) 7 6. Repartos inversamente proporcionales: Repartir una cantidad C directamente proporcional a las inversas de ciertas cantidades dadas. Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente Si sus edades son de 20, 24 y 2 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, cuánto aporta cada uno? 1 Repartir 5900 directamente proporcional a 20, 1 24 y 1. Procedimiento: 2 1º Reducir a común denominador. El mcm(20,24,2)= 480: 1 20, 1 24, , , º Reparto directamente proporcional a los numeradores 24, 20 y 15: 24 = c 2 20 = c 15 = = =100 = =2400 c 2 = =2000 c = =1500 El pequeño 2400, el mediano 2000 y el mayor Problemas de proporcionalidad compuesta. Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. Lo resolveremos por reducción a la unidad en varios pasos: 1º) Tipo de proporcionalidad entre las magnitudes con la magnitud de la incógnita (el precio): más grifos más precio (más consumo) Directa más horas diarias más precio (más consumo) Directa 2º) Aplicamos la reducción en la unidad:

4 grifos (D) Horas diarias (D) Precio (:9) (:9) 1 1 (:10) (:10) 15 (x15) (x15) (x12) =40 (x12) 9 10 Ejercicios: 1.- Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 00 vueltas, cuántas vueltas habrá dado la segunda? 2.- Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792. Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días?.- Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 00 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 5.- Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 6.- De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 7.- Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? 8.- El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? 9.- Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? 10.- Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80. Halla el precio de venta Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 para ganar al venderlo el 10% Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280, para perder el 12% sobre el precio de venta? 1.- Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150.

5 14.- Un empleado ha tenido dos subidas de sueldo en un año por un porcentaje de un 5 % y un 4 % respectivamente. El sueldo final es de Cuál era el sueldo a principios de año? 15.- Un artículo que vale 50 euros tiene los siguientes cambios de precio: primero sube un 0 %, a continuación baja un 15 %, vuelve a bajar un 25 %, y por último tiene una subida del 10 %. Cuál es su precio final? Qué porcentaje ha variado respecto del precio inicial? 16.- El precio de un coche es de euros. Al comprarlo me han hecho un descuento del 22 %, pero después había que pagar un 17% de impuestos de matriculación. Cuál es el precio final? 17.- Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 1; al menor le corresponden Cuánto corresponde a los otros dos? 18.- Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente Si sus edades son de 20, 24 y 2 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, cuánto aporta cada uno? 19.- Repartir 420, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son, 5 y Un abuelo reparte 450 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. Cuánto corresponde a cada uno? 21.- Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y Al cabo de un año han ganado Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados? 22.- Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 75. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera. 2.- Se dispone de 420 litros de agua almacenados en 7 depósitos iguales. Cuántos litros de agua contendrán 1 depósitos iguales a los anteriores? 24.- Una máquina envasa 1200 latas de refresco en una jornada de 8 horas. Cuántas latas de refresco envasará en un día que trabaje 5 horas? 25.- En una campaña publicitaria 6 personas reparten 5000 folletos en 5 días. Cuántos días tardarán 2 personas en repartir 000 folletos? 26.- Para construir 4 casas iguales en 0 días hacen falta 60 albañiles. Cuántos albañiles se necesitarán para construir 6 casas en 90 días? 27.- Un rectángulo tiene 25 centímetros de base y 18 centímetros de altura. Qué altura deberá tener un rectángulo de 15 centímetros de base para que tenga la misma superficie? 28.- Un automóvil consume 56 litros de gasolina al recorrer 800 kilómetros, cuántos litros de gasolina consumirá en un viaje de 500 kilómetros? 29.- Un tren circulando a 120 km/h ha tardado 6 horas en hacer un recorrido. Cuánto tiempo tardarán en hacer el mismo recorrido un tren que circula a una velocidad de 90 km/h? 0.- Para imprimir unos folletos publicitarios, 9 impresoras han funcionado 8 horas diarias durante 40 días. Cuántos días tardarán en imprimir el mismo trabajo 6 impresoras funcionando 10 horas diarias? 1.- Veinte obreros han colocado durante 6 días 400 metros de cable trabajando 8 horas diarias. Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? 2.- Cinco concursantes participan en una competición en la que tienen que encontrar objetos en el fondo de una piscina. Por orden de actuación consiguen respectivamente 8, 12, 1, 7 y 10 objetos. El premio de la prueba consiste en 150 puntos repartidos de forma proporcional a los objetos que encuentren. Cuántos puntos corresponden a cada participante?