Alicia Alarcón H Erika Riveros Morán. Razón o proporción

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO IN MT 11 Unidad 1 Contenido: Razón, proporción, regla de tres y porcentaje. Razón o proporción Tanto la razón como la proporción son dos conceptos matemáticos sumamente útiles en la vida cotidiana de cualquier individuo. Razón y proporción: sabes cuándo utilizar cada una? Revisaremos los conceptos de razón y proporción. La comprensión de este tema nos permite, por ejemplo, resolver problemas relacionados al exceso de carga por parte de los camiones en las rutas, un factor que influyen en la capacidad de frenado y en la suspensión de los vehículos, lo que puede derivar en accidentes. La razón es la comparación de dos cantidades y se mide a partir de la división de dos valores, mientras que la proporción es la igualdad entre dos o más razones. Razón o relación de dos cantidades y es el resultado de comparar esas dos cantidades y se lee es a. Los términos de la razón se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: restándolas o dividiéndolas. Por ello, hay dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente. Es la diferencia indicada en dichas cantidades. Razón aritmética o por diferencia Se pueden escribir de dos maneras: separando las dos cantidades con el signo o con un punto Ejemplo: La razón matemática de 6 y 4 se escribe: o y se lee: Seis es a cuatro y 6 es el antecedente y 4 el consecuente. Ejemplo Hallar la razón aritmética entre y 1

2 Solución: Respuesta: La razón aritmética es 48. Razón geométrica o por cociente La razón geométrica o por cociente de dos cantidades y es el cociente indicado de dichas cantidades. Se pueden escribir de dos maneras: en forma de fracción o separadas por el signo de división, que muchas veces se sustituye por dos puntos (:). Ejemplo La razón geométrica de 8 y 4 se escribe: o y se lee: Ocho es a cuatro y 8 es el antecedente y 4 el consecuente. Ejemplo: Si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón geométrica entre sus edades es: o. Si se simplifica se tiene Ejemplo: Jorge tiene y Juan tiene. a) Obtener la razón de lo que tiene Jorge y lo que tiene Juan. Solución La razón de lo que tiene Jorge y lo que tiene Juan se escribe como o sea. Es decir, Jorge tiene de lo que tiene Juan. b) Obtener la razón de lo que tiene Juan y lo que tiene Jorge. 2

3 Solución La razón de lo que tiene Juan y lo que tiene Jorge se escribe como o sea. Es decir, Juan tiene veces lo que tiene Jorge. c) Se tiene un recipiente A que contiene 2 litros de agua y otro recipiente B que contiene 4 litros. La razón es 2 es a 4, o sea, que corresponde a. Lo que significa que el contenido de A es del contenido de B. Si comparamos el contenido de B con el de A, se tiene que B es dos veces, o el doble del contenido de A. Proporción La razón es la comparación de dos cantidades y se mide a partir de la división dos valores y, entonces: 3

4 Es importante saber que esos valores precisan estar en la misma unidad de medida y que el denominador debe ser diferente de 0. Por ejemplo, si la ganancia de una empresa es de $ y el gasto de la misma $ 5.000, cuál es la razón de la empresa? Solución: La razón de la empresa es / = 3. Respuesta La razón de la empresa es de $ La proporción es la igualdad entre dos o más razones. O sea, si entonces equivale a una proporción. corresponde a la razón, Es frecuente que este contenido nos lleve a un problema. Usted pagó 2000 por dos cuadernos; si tuviese 4000 hubiera comprado cuatro. Los resultados representan una proporción? Verificamos: Se pagó $ por dos cuadernos, se escribe, Se pagó $ por cuatro cuadernos, se escribe, En ese caso, las dos razones son una proporción. Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es: Es decir, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Proporcionalidad directa Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante: k es la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta. 4

5 Ejemplo: Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Solución: Se forma la proporción entre las variables distancia consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales). Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que: Comprobando: 16/1 = 16 (constante) y 192/12 = 16 (constante) Respuesta: Se consumen 12 litros al recorrer 192 km. Proporcionalidad inversa Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante: k es la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola. 5

6 Analizando el gráfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye. Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. Cuánto demorarán 4 obreros? Solución: La relación entre el número de obreros tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante: Comprobando: 3 x 5 = 15 (constante) y 4 x 3,75 = 15(constante) Respuesta: Los cuatro obreros se demoran 3,74 días. Recuerda que la propiedad fundamental de las proporciones es: El producto de los medios es igual al producto de los extremos Por lo tanto, si desconocemos un extremo, su valor se obtiene multiplicando los medios y dividiendo el producto entre el extremo conocido; y si se desconoce un medio, su valor se obtiene multiplicando los extremos y dividiendo el producto entre el medio conocido. Serie de razones geométricas iguales: Se llama así a la igualdad de más de dos razones geométricas iguales: Propiedades: 1. En toda serie de razones geométricas continuas, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes; como cada antecedente es a su respectivo consecuente. 6

7 Es decir la constante de proporcionalidad k no se altera. 2. El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes; como cada antecedente es a su respectivo consecuente, elevados a un exponente igual a la cantidad de razones que intervienen en la serie. Es decir la constante de proporcionalidad K, queda elevada a una cantidad igual al número de razones que interviene en la serie. 3. En toda serie de razones geométricas iguales se cumple: Cualquier combinación que se haga en una razón; lo mismo se tiene que hacer en la otra razón, para que se mantenga la igualdad; por consiguiente la constante de proporcionalidad quedará afectada por la combinación que se dé en cada razón. Ejercicios: Calcular el valor de b. Respuesta: 24 Hallar el valor de c. Respuesta: 16 Hallar el valor de a. Respuesta: 49 Hallar el valor de b. Respuesta: 20 Hallar el valor de a. Respuesta: 27 Calcular: a + b + c Respuesta: 98 7

8 Respuesta 2 Calcular: a b + c. Respuesta: 30 Respuesta: 4 Regla de Tres Respuesta: 20 La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa. Para hacer una regla de 3 simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una tercera magnitud. A partir de estos, averiguaremos el cuarto término de la proporcionalidad. Regla de Tres Simple Directa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. Colocaremos en una tabla los 3 datos (a los que llamamos a, b y c ) y la incógnita, es decir, el dato que queremos averiguar (que llamaremos x ). Después, aplicaremos la siguiente fórmula: Que es lo mismo si lo planteamos como proporción: 8

9 Ejemplos: 1) Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Solución: Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros. 240 km 3 h x km 2 h Respuesta: En dos horas el automóvil recorre 160 km 2) Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos han dicho que 5 centímetros del mapa representan 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. A qué distancia del hotel se encuentra este parque? Solución: Vamos a hacer la tabla con los 3 datos y la incógnita ( x ), y hallaremos x con la fórmula que acabamos de aprender: Respuesta: El parque se encuentra a 960 metros del hotel Regla de Tres Simple Inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. Ahora vamos a ver cómo aplicar la regla de 3 simple en casos de proporcionalidad inversa. Colocaremos los 3 datos y la incógnita en la tabla igual que los hemos colocado en el caso anterior. Pero aplicaremos una fórmula distinta: 9

10 Que es lo mismo si lo planteamos como proporción inversa: Ejemplos 1) Un grifo que arroja 18 litros de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 litros por minuto? Solución Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito. 18 litros/min 14 h 7 litros/min x h Respuesta: Tardará 36 horas en llenarse el depósito. 2) 3 obreros construyen un muro en 12 horas, cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? Solución Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas. 3 obreros 12 h 6 obreros x h Respuesta: Se tardarán en construirlo 6 horas. Regla de Tres Compuesta La regla de tres compuesta sirve para encontrar la relación entre tres o más magnitudes conocidas, para encontrar una magnitud desconocida. La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas 10

11 entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Se soluciona mediante la combinación de dos o más reglas de tres simples encadenadas. Es decir, una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta: directas, inversas y combinadas. Regla de tres compuesta directa Se usa cuando hablamos de tres o más magnitudes, en las que su proporcionalidad es directa, es decir, que cuando una cantidad aumenta, la otra aumenta en la misma proporción, o cuando la cantidad disminuye, la otra también disminuye en la misma proporción. Ejemplo: Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 euros. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. Solución: Los nueve grifos abiertos tienen un costo de 20 euros, si se abren 15 grifos el costo es más A más grifos, más euros forman proporción Directa Están abiertos 10 horas con un costo de 33, 3 euros. Si están abiertos 12 horas el costo es más A más horas, más euros forman proporción Directa. ( ) 11

12 Respuesta: El costo es de 40 euros O bien, de la siguiente forma 9 grifos 10 horas 20 euros 15 grifos 12 horas x euros Ejercicio propuesto: Si en tres autobuses se transportan 45 personas con un costo de pesos, Con qué costo se transportarán 72 personas en 4 autobuses? Respuesta: El costo por transportar a 72 personas en 4 camiones es de pesos. Regla de tres compuesta inversa En la forma inversa se comparan magnitudes en las cuales cuando una aumenta, otra disminuye, o cuando una disminuye, otra aumenta. Es la que se usa en los ejemplos de construcciones de paredes o edificios, cuando aumenta o disminuye el número de trabajadores y de horas, para terminar el trabajo. Ejemplo: 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias? Solución 5 obreros realizan el trabajo en 2 días, 4 obreros se demorarán más días A menos obreros, más días es proporción Inversa. 12

13 Lo obreros se demoran = 2,5 días Ahora si se trabajan 6 horas diarias se construye el muro en 2 días, trabajando 7 horas diarias demorarán más días. A más horas, menos días es proporción Inversa. ( ) Respuesta: Los obreros se demoran 2,14 días en construir el muro O bien, 5 obreros 6 horas 2 días 4 obreros 7 horas x días Regla de tres compuesta mixta En la forma mixta, el resultado es afectado en forma diferente por los valores, ya que aumentando uno, el resultado aumenta, y aumentando otro, el resultado disminuye y viceversa. En estos casos debemos identificar los valores que son de proporcionalidad directa, o sea, los que aumentan el resultado final y los que son de proporcionalidad inversa, los que disminuyen el resultado. Con esta identificación podremos saber en dónde ubicaremos los valores correspondientes de la segunda igualdad, ya sea en el dividendo o en el divisor de nuestra división. Cuando los valores hacen que el resultado aumente, o sea, que tengan proporcionalidad directa, colocaremos los valores de la segunda igualdad en el numerador. Cuando los valores hagan que el resultado disminuya, es decir, cuando haya proporcionalidad inversa, colocaremos los valores de la segunda igualdad en el denominador. Ejemplo Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? Solución Los 8 obreros se demoran 9 días en trabajar un muro, con 10 obreros se demorarán menos días A más obreros, menos días es proporción Inversa. 13

14 Si trabajan 6 horas diarias se demoran días, con 8 horas diarias se demorarán menos días A más horas, menos días es proporción Inversa. ( ) Se construyen 30 metros de un muro trabajando más días días, para construir 50 metros se necesitarán A más metros, más días es proporción Directa. ( ) Respuesta: Se demoran 9 días en construir el muro en las condiciones dadas. O bien, A más obreros, menos días es proporción Inversa. A más horas, menos días es proporción Inversa. A más metros, más días es proporción Directa. 8 obreros 9 días 6 horas 30 m 10 obreros x días 8 horas 50 m Respuesta: Se demoran 9 días en construir el muro en las condiciones dadas. Ejercicio propuesto: 7 trabajadores cavan zanjas durante 5 horas al día, y en 7 días cavan 35 metros de zanjas. Cuántos días tardarán 9 trabajadores que cavarán durante 4 horas al día, para cavar 65 metros de zanjas? Respuesta: El resultado es que 9 trabajadores, trabajando 4 horas al día, cavarán 65 metros de zanja en días. 14

15 Ejercicios para actividades autónomas 1) Una taza de agua eleva su temperatura en 0.5 C al estar 45 minutos al sol, Cuántos grados se elevará después de 2 horas? Respuesta: La temperatura se elevará a 1.33 C. 2) Si el 25% de una cantidad es 68, Cuánto es el 43% de esa misma cantidad? Respuesta Es 116,96. 3) Si un niño camina 3 km en una hora y cuarto, Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas? Respuesta: Recorrerá 7,2 km. 4) Un autobús viaja de México a Guadalajara en 8 horas a una velocidad de 98 km/h. En cuánto tiempo realizará el viaje si su velocidad es de 78 km/h? Respuesta: Se realizará el viaje en (10 horas y 3 minutos) 5) Una estufa de 4 quemadores ha consumido $50.00 de gas al estar encendidos 2 de ellos durante 3 horas. Cuál es el precio del gas consumido si se encienden los 4 quemadores durante el mismo tiempo? Respuesta: El consumo será de $ ) En un recorrido de 120 kilómetros, 4 autos llevan a 16 personas en 90 minutos. Cuántos autos se necesitan para transportar a 58 personas en el mismo tiempo? Respuesta: Se usarán 15 autos. 7) 5 robots construyen 9 piezas en 4 horas. Cuántas piezas serán fabricadas por 7 robots trabajando 3 horas? Respuesta: 7 robots construirán 8 piezas en 3 horas. Porcentaje El vocablo porcentaje tiene su origen en el inglés percentage, un término que se utiliza para escribir los números bajo la apariencia de una fracción de cien. El símbolo de este concepto es el %, el cual se denomina por ciento y se traduce como de cada cien. Por ejemplo: 1) Diez por ciento es un porcentaje que se escribe como 10% y que se entiende como diez de cada cien. S 2) Si se dice que el 10% de un grupo de treinta personas tiene el pelo de color rojo, la frase supone que tres de esas personas son pelirrojas. El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones. 15

16 El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo. Ejemplos: 1) 1 centésimo =, 5 centésimos =, 50 centésimos = 2) Qué significa 50 %?: Significa que de una cantidad que se ha dividido en cien partes se han tomado 50 de ellas, o sea, la mitad. 3) Qué significa 25 %?: Significa que de un total de 100 partes se han tomado 25, o sea ¼ (25/100 al simplificar por 5, se reduce a ¼). 4) Decir que el precio de un artículo ha subido 5% significa que se ha incrementado 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte. Cálculo del porcentaje Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fracción. Por ejemplo, el 12% de 600 es: Respuesta: El 12 % de 600 corresponde a 72. También el cálculo de porcentaje se puede realizar a través de una proporcionalidad directa: Aplicaciones Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje relacionados con ganancia y pérdida. Por ejemplo: 1) El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $ a $ Qué % de descuento se le aplicó? Solución Se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que disminuyó: $ $ = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del precio original, por lo tanto: 16