OBJETIVO 1 RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

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1 OBJETIVO RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE: CURSO: ECHA: MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando la razón entre dos cantidades correspondientes de ambas es constante: a b = = k al bl Esta constante k se denomina constante de proporcionalidad directa. Si cada kilo de manzanas vale 0 céntimos, averigua la relación que existe entre el peso de manzanas y el precio. Para ello, formamos una tabla de dos filas: en una de ellas representamos las cantidades de una magnitud, y en la otra, las cantidades de la otra magnitud. PESO (en kilos) 5 PRECIO (en céntimos) Todas las divisiones entre el precio de las manzanas y su peso dan el mismo resultado: = 0 = 0 = 0 = 0 = = = = = = 0 = k 5 Es decir, el peso de las manzanas y su precio son magnitudes directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es, en este caso, k = 0. La tabla representada se denomina tabla de proporcionalidad. Para hacer una tortilla se utilizan huevos. Determina la relación entre estas magnitudes. a) Completa la tabla. HUEVOS 8 0 TORTILLA 5 b) Comprueba el resultado de todas las divisiones entre cantidades correspondientes. 8 0 = = = = = 5 c) Son magnitudes directamente proporcionales? 8 0 = = = = = 5 d) Determina la constante de proporcionalidad, k. Completa las tablas siguientes para que sean tablas de proporcionalidad directa ,5,5 8 9 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 078 _ indd 9 7/05/0 :

2 UNIDAD Esta tabla refleja el tiempo y los kilómetros recorridos por un coche que no circula a velocidad constante, es decir, va frenando y acelerando según el tráfico. Averigua si existe proporcionalidad HORAS TRANSCURRIDAS KILÓMETROS RECORRIDOS Realizamos todas las divisiones entre las dos magnitudes: = =,5 = 5 =,75 Podemos observar que estas divisiones no dan el mismo resultado. Por tanto, las magnitudes de las horas transcurridas y los kilómetros recorridos no son directamente proporcionales. Por cada ventana instalada nos cobran 500, pero si instalamos más de 0 ventanas nos cobran 50 por cada una. Comprueba si estas magnitudes son directamente proporcionales. a) Completa la tabla con los datos numéricos que faltan. NÚMERO DE VENTANAS PRECIO 000 b) Halla el resultado de las razones entre cantidades correspondientes ADAPTACIÓN CURRICULAR c) Son magnitudes directamente proporcionales? 000 = = = = = = 0 Estudia si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales. a) El lado de un cuadrado y su perímetro. b) El volumen que ocupa un líquido y su peso. c) El número de fotocopias y su precio. 5 Observa la tabla siguiente. Comprueba que las magnitudes M y M' son directamente proporcionales, y calcula y e y'. MAGNITUD M MAGNITUD M ' 8 y y ' MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 9 7/05/0 :

3 OBJETIVO APLICAR LA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA NOMBRE: CURSO: ECHA: REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA La regla de tres simple directa es un procedimiento para conocer una cantidad que forma proporción con otras cantidades conocidas de dos magnitudes directamente proporcionales. Si una docena de huevos cuesta, cuánto cuestan huevos? Como la cantidad de huevos y su precio son magnitudes directamente proporcionales, podemos expresar esta relación de la siguiente manera. Ahora despejamos la x: Los huevos cuestan. cuestan Si huevos - -" " = Si huevos costarán - -" x x x = " = " x = " x = = x En una panadería han pagado por 70 barras de pan. Cuánto tendrían que pagar si hubiesen comprado 85 barras? Si Si barras cuestan - -" " = barras costarán - -" Las 85 barras cuestan. Si dólares son euros, cuántos euros son,5 dólares? Si Si dólares dólares son - -" serán euros " = - -" euros Los,5 dólares son euros. 9 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 078 _ indd 9 7/05/0 :

4 OBJETIVO CALCULAR PORCENTAJES UNIDAD NOMBRE: CURSO: ECHA: PORCENTAJES Los porcentajes o tantos por ciento expresan la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales y nos indican la cantidad de una de ellas correspondiente a 00 unidades de la otra. Si el 7 % de un terreno es, m, cuántos metros cuadrados representan el total del terreno? % 7 -" 00 m, -" x 7 00 Como es una relación de proporcionalidad directa, tenemos que: =., x 7x = 00?, El total del terreno es 8 m. x = = 8 7 Un depósito de 000 litros de capacidad contiene 05 litros. Qué tanto por ciento es? Como es una relación de proporcionalidad directa: % 00 -" x Litros 000 -" x =. 05 ADAPTACIÓN CURRICULAR Con los 05 litros el depósito está al... %. En época de sequía, un embalse con capacidad máxima de 00 hectómetros cúbicos estaba al 5 %. Qué capacidad de agua contenía en ese momento? Capacidad x -" 00 % 5 -" 00 x 00 Como es una relación de proporcionalidad directa: = La capacidad de agua es... hectómetros cúbicos. A un artículo que vale 0 se le aplica un 0 % de descuento. Cuánto cuesta el artículo? % 00 -" 0 Euros 0 -" x MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 95 7/05/0 :

5 OBJETIVO REALIZAR REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE: CURSO: ECHA: REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Para realizar el reparto de una cantidad n de forma directamente proporcional a unas cantidades a, b, c : Se suman las cantidades: a + b + c +... Se divide la cantidad a repartir, n, entre esa suma. Este cociente es la constante de proporcionalidad. Para calcular cada parte basta con multiplicar cada cantidad a, b, c por esa constante. La Unión Europea ha concedido una subvención de para tres pueblos. El pueblo A tiene 800 habitantes; el B, 700, y el C, 500. Cómo debe repartirse el dinero? A + B + C = = 000 Pueblo A Total A B C Habitantes Euros 5000 x y z = 5000 x 000x = 800? " 000x = " x = = x = Pueblo B Total A B C Habitantes Euros 5000 > x y > z Despejamos la y: = 5000 y y = Pueblo C Total A B C Habitantes Euros 5000 > x y z > Despejamos la z: = z = 9 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 078 _ indd 9 7/05/0 :

6 UNIDAD Vicente y José abren una cartilla de ahorros en el banco. Vicente ingresa 00 y José ingresa 800. Al cabo de unos años les devuelven 80. Cómo se los tienen que repartir? Vicente + José = = 00 Total Vicente José Dinero invertido Dinero ganado 80 x y = = Despejamos la y: x = y = Tres socios de un negocio aportan 0 000, y 0 000, respectivamente. Si obtienen unos beneficios de 0 000, cuánto le corresponde a cada uno? Total Socio Socio Socio Dinero invertido Beneficios x y z ADAPTACIÓN CURRICULAR = = = Despejamos la y: Despejamos la z: x = y = z = Un padre reparte el premio de una quiniela entre sus tres hijos de 8, y 5 años para ayudar en su formación universitaria, de forma directamente proporcional a sus edades. Si el menor obtiene 000, calcula: a) Cuánto dinero ha repartido el padre? b) Cuánto le ha correspondido a cada hijo? Total Hijo Hijo Hijo Años 8 5 Dinero MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 97 7/05/0 :

7 OBJETIVO 5 RECONOCER MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE: CURSO: ECHA: MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de dos valores correspondientes de ambas es constante: a? a' = b? b' = k Esta constante k se denomina constante de proporcionalidad inversa. 0 obreros tardan 0 horas en pintar una fachada. Si fuesen 0 obreros tardarían 80 horas, y si fuesen 5 obreros, 0 horas. Qué relación hay entre estas magnitudes? OBREROS HORAS ? 0 = 00 0? 80 = 00 5? 0 = 00 k = 00 Como los productos que obtenemos son iguales, las magnitudes número de obreros y número de horas son inversamente proporcionales. Tardamos horas en hacer el recorrido que hay de casa al colegio a una velocidad de km/h. Si fuésemos a 5 km/h tardaríamos, horas, y si fuésemos a km/h, 9 horas. Comprueba si estas magnitudes son inversamente proporcionales. VELOCIDAD (km/h) 5 TIEMPO (horas), 9 Para construir una nave en 0 días son necesarias 0 personas. Si pasados días se incorporan personas más, en cuántos días terminarán? 98 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 078 _ indd 98 7/05/0 :

8 OBJETIVO APLICAR LA REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA UNIDAD NOMBRE: CURSO: ECHA: REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA La regla de tres simple inversa es un procedimiento para conocer una cantidad que forma proporción con otras cantidades conocidas de dos magnitudes inversamente proporcionales. Si trabajadores tardan 0 días en hacer un trabajo, cuánto tardarán trabajadores? Si trabajadores Si trabajadores tardan -- -" 0 días " tardarán -- -" x días = x 0 0? 0 =? x " 0 = x " x = =, días Los trabajadores tardarán algo más de días. En un depósito hay agua para 0 personas durante 0 días. Para cuánto tiempo durará el agua si fueran personas? tienen para Si 0 personas - 0 días " = tendrán para Si personas - días ADAPTACIÓN CURRICULAR Las personas tendrán agua para días. Con el agua de un depósito se llenan 0 envases de 5 litros cada uno. Cuántas botellas, de tres cuartos de litro (0,75 ) cada una, se llenarían con el agua del depósito? Si 5 litros Si litros llenan - 0 llenarían envases " = - botellas Se llenarían botellas de tres cuartos de litro. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 99 7/05/0 :

9 OBJETIVO 7 REALIZAR REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE: CURSO: ECHA: REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES Repartir una cantidad n de forma inversamente proporcional a otras cantidades a, b, c es equivalente a repartirla de forma directamente proporcional a los inversos de las cantidades a, b, c Cada parte se obtiene dividiendo la constante de proporcionalidad: R = n / a + / b + / c + entre su cantidad correspondiente a, b, c El premio de una carrera es de 550 y se repartirá entre los tres primeros corredores en acabar la prueba de forma inversamente proporcional al orden de llegada, es decir, inversamente proporcional a, y. Qué cantidad le corresponde a cada corredor? Puestos = Sumamos los inversos ---- Dividimos la cantidad, 550, entre la suma de los inversos. Al.º le corresponde Al.º le corresponde Al.º le corresponde = 00 = 50 = = + + = 550 : 550? = = 00. Comprobamos = 550 Un padre acude con sus dos hijos a una feria y en la tómbola gana 50 caramelos que los reparte de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 9 y años. Cuántos caramelos le da a cada uno? Edades 9 78 Sumamos los inversos = Dividimos la cantidad, 50, entre la suma de los inversos: Al hijo de 9 años le corresponden Al hijo de años le corresponden 78 Comprobamos = MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 078 _ indd 00 7/05/0 :

10 UNIDAD Reparte 50 en partes inversamente proporcionales a los números, y. Números Dividimos la cantidad, 50, entre la suma de los inversos: A le corresponde A le corresponde A le corresponde Sumamos los inversos = Comprobamos = 50 El coste de la matrícula de una academia de música es menor cuantos más notables se han obtenido en el curso anterior. Tres amigos, Pedro, Sara y Leonor, han obtenido, y 5 notables, respectivamente, y entre los tres han pagado 0. Cuánto le ha costado la matrícula a cada uno? Notables Sumamos los inversos = ADAPTACIÓN CURRICULAR Dividimos la cantidad, 0, entre la suma de los inversos: A Pedro le corresponde A Sara le corresponde A Leonor le corresponde 78 Comprobamos = 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/05/0 :

11 REALIZAR REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES Los tres camareros de una cafetería, Olga, Juan y élix, han estado enfermos durante, y 9 días del mes de julio, respectivamente. Durante este mes han recibido 75 de propina que se han de repartir de forma inversamente proporcional a los días no trabajados. Cuántos euros les corresponden a cada uno de ellos? Días 9 78 Sumamos los inversos = Dividimos la cantidad, 75, entre la suma de los inversos: A Olga le corresponde A Juan le corresponde A élix le corresponde 78 Comprobamos = 75 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 078 _ indd 0 7/05/0 :