MATEMÁTICAS 2º ESO. Ejercicios resueltos paso a paso de proporcionalidad, porcentajes y figuras semejantes.

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1 MATEMÁTICAS 2º ESO. Ejercicios resueltos paso a paso de proporcionalidad, porcentajes y figuras semejantes. PROPORCIONALIDAD: a Ejemplo de Regla de tres simple directa (solo aparecen 2 magnitudes) Si un alumno es capaz de estudiar en dos horas diez folios, cuántos folios, estudiando al mismo ritmo, sería capaz de memorizar en tres horas? D 2 h folios 3 h x folios Como a más horas estudiando memoriza más folios, son magnitudes directamente proporcionales, por tanto: 2 3 =0 x x= = 5 folios b Ejemplo de Regla de tres simple inversa (solo aparecen 2 magnitudes): Si 0 trabajadores terminan una tarea en 6 días, cuántos días necesitarían 5 trabajadores para terminar la misma tarea, trabajando todos al mismo ritmo? En este caso, a más trabajadores menos días necesitarán para terminar la tarea, luego son magnitudes inversamente proporcionales. Dejamos la fracción donde está la incógnita como está y le damos la vuelta a la otra fracción: I 0 trabajadores días 5 trabajadores x días 5 0 = 6 x x= = 2 folios

2 c Ejemplo de regla de tres compuesta: (aparecen más de 2 magnitudes, pudiendo ser todas éstas directas, inversas o de ambos tipos): Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando 6 horas al día un muro de 30 m, cuántos días necesitarán 0 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? Recuerda que lo primero es situar las magnitudes iguales en la misma columna, después comparar cada magnitud con la magnitud donde está la incógnita (poniendo una D sin son directamente prop. o una I si son inversamente proporcionales), tras ello escribir la ecuación y por último resolverla: I I D 8 obreros días horas al día m 0 obreros x días horas al día m Cuantos más obreros haya, menos días tardan (Inversa) A más horas al día trabajando, menos días tardan (Inversa) A más metros de muro a construir, más días tardan (Directa) Escribimos la ecuación poniendo primero la fracción donde está la x, después el signo igual y por último el resto de fracciones multiplicadas, teniendo en cuenta que se dan la vuelta si son inversas o se dejan como están si son directas 9 x = (Recuerda que para multiplicar fracciones multiplicamos numeradores y denominadores) 9 x = x = X= = 9 días

3 d Repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales Juan, Diego, Lucía y Ángel tienen 0, 5, 2 y 3 años. Si se quieren repartir 00 euros entre ellos, calcula cuánto les tocaría ) en un reparto directamente proporcional a sus edades y 2) en un reparto inversamente proporcional a sus edades Llamaremos j para referirnos a juan, d para Diego, l para Lucía y a para Ángel REPARTO DIRECTO: 2) REPARTO INVERSO: º) K= Totalarepart ir Suma de las cantidades(edades en este caso) º) K= Total a repartir Suma de lasinversas(edades en este caso) K = = =00 20 = 5 K= = K= 00 : 30 = = 3000 K= 88,2 2º) Multiplicamos por k a las edades de cada uno para 2º) Multiplicamos por K a las inversas de las obtener las cantidades pedidas: edades de cada uno para obtener las cantidades pedidas ( decimal en los cálculos):

4 j = 0 5 = 50 j= 0 88,2 = 8,8 d= 5 5 = 25 d= 5 88,2 = 7,6 l= 2 5= 0 l= 2 88,2 = 44,2 a= 3 5= 5 d= 3 88,2 = 29,4 Como comprobación, vemos que la suma de las Como comprobación, vemos que la suma de cantidades que le toca a cada uno es 00 cantidades que le toca a cada uno es 00 PORCENTAJES ENCADENADOS: En estos problemas, aplicaremos la fórmula Pf = Pi ( ± r 00, siendo Pf el precio o cantidad final, Pi el precio o cantidad inicial y r el porcentaje de subida o bajada (si es de bajada pondremos un signo menos). Veamos un par de ejemplos Ejemplo nº. Unos zapatos costaban en Enero 30. En febrero subieron un 6% y en marzo bajaron un 5%. Hallar su precio en marzo Pf= 30 ( ) ( 5 00 )= 30,06 0,95= 30,2 El segundo ejemplo es distinto al anterior, ya que nos piden la cantidad del primer mes y nos dan la del último: Ejercicio nº2. La entrada a una sala de conciertos registró una entrada media de 8000 personas en marzo, lo que supone un 20% menos que en febrero. Si en febrero registró un 0% más que en enero, hallar la entrada media en enero. Veámoslo con un esquema (si para pasar de enero a febrero se debe multiplicar por,0, para pasar de febrero a enero se deberá dividir por,0. Y si para pasar de

5 febrero a marzo se debe multiplicar por 0,8, para pasar de marzo a febrero se deberá dividir por 0,8) :,0 : 0,8 20% Menos= 20/00 = -0,2 = 0,8 Enero Febrero Marzo 0% Más= + 0/00= +0,=,,0 0,8 Pf= 8000 : ( - media en enero ) : ( )= 8000 : 0,8, = 000 personas es la entrada FIGURAS SEMEJANTES: Ejemplo. Si un edificio de 300 m de altura da una sombra de 5 m, calcular la altura de un árbol que da una sombra de 0 m a la misma hora del día. Puede resolverse mediante una regla de 3: 300 m de altura m de sombra X m de altura m de sobra X= 300 0/5 = 200 m de sombra tiene el árbol Ejemplo 2. En un mapa que está a escala :2000 la distancia que separa a dos fincas es 7 cm. Calcular la distancia expresada en metros que las separa en la realidad Recuerda que si la escala es :2000 las cosas en la realidad son 2000 veces más grandes que en el plano. Por tanto: 7 cm 2000= 4000 cm= 40 m Puede resolverse también con una regla de 3: cm en el mapa cm en la realidad 7 cm en el mapa x cm en la realidad X= / = 4000 cm en la realidad, que pasados a metros son 40 m

6 Ejemplo 3. Si dos pueblos están separados 6 km, hallar la distancia que los separa en un plano a escala :00000 En esta ocasión, como nos piden la distancia en el plano: 6 km: = 0,0006km= 6 cm (se ha pasado la distancia a cm porque en un plano las distancias suelen darse en esa unidad) Puede resolverse también con una regla de 3: km en el mapa km en la realidad X km en el mapa km en la realidad X= 6 /00000 = 0,0006km, que pasados a cm son 6 cm