15 Funciones de proporcionalidad inversa

Transcripción

1 ACTIVIDADES DE REFUERZ 5 Funciones de proporcionalidad inversa. Dada la función, halla su dominio sus asíntotas. Confecciona una tabla de valores haz su represen tación gráfica.. De cierta función f() se ha obtenido la siguiente tabla de valores: error 8,5 De que función se trata? Cuáles son sus asíntotas? Represéntala.. La gráfica de la función f() es la hipérbola equilátera más sencilla que se puede trazar, a partir de ella, pueden trazarse por traslaciones las de otras hipérbolas más complejas, como, por ejemplo, las que representan las funciones a(), b(), c(), etc. Indica cómo construir la gráfica de cada una de ellas a partir de la de la hipérbola inicial. Cuáles son sus asíntotas?. Halla la ecuación de las hipérbolas que verifican las siguientes condiciones: a) Que tengan por asíntotas las rectas,. b) Que tengan por asíntotas las rectas, pasen por el punto de coordenadas (5, ). 5. Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas: a) La que tiene por centro el punto de coordenadas (, ). Cuántas ha? b) La que tiene por centro el punto de coordenadas (, ) pasa por el punto de coordenadas (, ). Cuántas ha? 6. El rectángulo de la figura de lados cm e cm tiene una superficie de 8 cm. Calcula la función que relaciona los lados represéntala gráficamente, a partir de una tabla de valores. 7. El producto de dos números e es 5. Qué tipo de función los relaciona? Se trata de una función creciente o decreciente? Cuál es su ecuación? Represéntala gráficamente. 8. Un coche tarda un tiempo t de 5 horas en recorrer un traecto de 80 m a velocidad constante. Cuál es su velocidad v en m/h? Qué tipo de función relaciona las variables velocidad v tiempo t? Completa la tabla de valores siguiente: m/hora t horas 8 Gauss. o ES - pción B Actividades de refuerzo

2 SLUCINES. Dominio R {0}; asíntotas: 0, 0 Tabla de valores Gráfica =. Las dos variables son inversamente proporcionales dado que 8 es constante. La función es 8 Se trata de una hipérbola, de asíntotas 0, 0. = 8. a(): asíntotas, 0,. Trasladando unidad hacia abajo la gráfica de f(). b(): asíntotas,, 0. Trasladando unidad a la izquierda la gráfica de f(). c(): asíntotas,,. Trasladando unidades a la izquierda hacia arriba la de f().. La ecuación general es: f() b, siendo un número no nulo. a Las asíntotas son: a, b a) f () b) f(), tal que La ecuación es f() 5. Las hipérbolas que tienen por centro el punto (a, b) tienen de ecuación f() b, por tanto: a a) f() ; 0. Ha infinitas. b) f(), tal que la ecuación es f() 8 6. Como 8, siendo 0. Tabla de valores , que es una hipérbola del tipo f() ; 0, por tan- to, creciente, de asíntotas 0e 0. Gráfica = 8 = 5 8. Las variables v t son inversamente proporcionales, a 80 que v t 80 v v(5) 96 m/h. t De la relación anterior se tiene: v m/hora t horas 8 6 Actividades de refuerzo Gauss. o ES - pción B

3 ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN 5 Funciones de proporcionalidad inversa. Dada la función, se pide: b a) Hallar los valores de a b tal que la función se eprese en la forma a. b) Calcular sus asíntotas haz la gráfica de la función obtenida.. Calcula las asíntotas de la hipérbola de ecuación f() representa sobre un mismo sistema de ejes las funciones f() g(). Indica la tendencia creciente o decreciente de las dos funciones consideradas. a b. Halla las asíntotas de la hipérbola de ecuación ; c 0 sabiendo que pasa por los puntos de c d coordenadas A(, ), B(0, ) C(, 0). Cuál es la tendencia creciente o decreciente de la función obtenida?. Una persona deja escrito en su testamento que sus bienes se repartan entre sus tres sobrinos de forma inversamente proporcional a sus edades. Calcula cuánto recibe cada uno de ellos si al fallecer su tío tienen 5, 0 5 años, respectivamente, el patrimonio de la herencia es de euros. 5. La figura muestra una hoja de papel de forma rectangular, de base centímetros altura centímetros. La parte oscura está dedicada a colocar un teto impreso que ha de ocupar una superficie de 00 cm. Determina la fórmula que permite calcular la altura de la hoja en función de la anchura, sabiendo que ha que dejar unos márgenes superior e inferior de cm, dos laterales de cm. Representa gráficamente la función resultante. 6. Al repartir un capital M de forma inversamente proporcional a las edades de tres hermanos: Antonio, de años; Benito, de 5, Carlos, de 0 años, respectivamente, la menor cantidad de dinero que se repartió fue de euros. A cuál de los tres hermanos le correspondió esa cantidad? Cuánto dinero correspondió a los otros dos hermanos? Qué cantidad se repartió? 7. Un grifo, que arroja un caudal de 5 litros por minuto, tarda en llenar un depósito de agua hora 0 minutos. Se pide: a) Cuánto tiempo tardarían en llenar el depósito cuatro de esos grifos? b) Cuál debería ser el caudal de un grifo para llenar el depósito en hora 0 minutos? 8. Considera la familia de hipérbolas de ecuación, 0, la recta r que pasa por los puntos A(, 0) B(0, ). Calcula qué hipérbola de la familia es tangente a dicha recta razona si la función que definen es creciente o decreciente. Gauss. o ES - pción B Actividades de ampliación

4 SLUCINES 5. a) 5 ; por tanto, a b 5. f () = + b) Asíntotas: ;. Corta a en (, 0) a en 0, Su gráfica se muestra en la figura.. Para la gráfica de f() se precisa conocer: Dominio R {}. Asíntotas:, Corte con en (, 0) con en (0, ) g () = + f () = + Si f() 0, las dos gráficas coinciden, g() Wf()W f() Si f() 0, cambiamos de signo las ordenadas g() Wf()W f() Las gráficas resultantes son las de la figura. f() es decreciente g() decrece siempre salvo en el intervalo (, ), donde resulta creciente. m n. Dividiendo por c 0 se tiene, siendo a b d p m ; n ; p. El problema se reduce al c c c cálculo de los tres parámetros m, n p que verifican: ; ;0 n m n m n p p p m ; n ; p. ( ) 6 Por tanto, 6, de tendencia decreciente igual que, 0.. Sean A, B C las cantidades que reciben los hermanos de 5, 0 5 años, respectivamente. A ; B ; C Se tiene: A B C las cantidades que perciben son: A m; B m; C 000 m De las condiciones del enunciado se tiene: ( 6)( ) La parte del dominio que interesa de esta función es { R/ 6}, según el conteto del problema. Se trata de una hipérbola decreciente que tiene por asíntotas las rectas 6e, siendo su gráfica la de la figura. 6. Sean A, B C las cantidades que reciben Antonio, Benito Carlos. La menor cantidad es la de Carlos, el maor de los tres (C m). Siendo la constante de proporcionalidad inversa, se tiene: A ; B ; 5 0 A B C M 0 0 0; A 0 m; B m; M m 7. El caudal del grifo el tiempo de llenado son magnitudes inversamente proporcionales, por tanto: a) Si t es el tiempo de llenado, en minutos, de los grifos: ( 5) t 5 (60 0) t 0 minutos b) Si es el caudal necesario, en litros/minuto: (60 0) 5 (60 0) 0 litros/minuto 8. Si es m b la ecuación de la recta, se tiene: 0 m b m ; b r: b La condición de tangencia eige que el sistema ; tenga solución única. Igualando ordenadas: 0 ( ) 0 0 La hipérbola de la familia tiene de ecuación, que resulta ser siempre decreciente. Actividades de ampliación Gauss. o ES - pción B

5 PRPUESTAS DE EVALUACIÓN 5 Funciones de proporcionalidad inversa CRITERIS ACTIVIDADES A. Reconocer la relación de proporcionalidad inversa entre magnitudes la relación funcional que las liga.. En los siguientes ejemplos, indica cuándo se da una relación de proporcionalidad inversa: a) El número de albañiles el tiempo empleado en hacer el mismo edificio. b) La velocidad de un coche el traecto recorrido en el mismo tiempo. c) La velocidad de un coche el tiempo empleado en recorrer el mismo traecto.. Las magnitudes e de la tabla siguiente son inversamente proporcionales: a) Cuál es su constante de proporcionalidad? b) Qué relación funcional presentan? c) Completa los valores que faltan en la tabla. B. Conocer el comportamiento de la función de proporcionalidad inversa su representación gráfica.. Dadas las funciones f() g() : a) Represéntalas en un mismo sistema de ejes. b) Calcula sus asíntotas. c) Indica el comportamiento creciente o decreciente de cada una. C. Saber calcular las asíntotas de una hipérbola cualquiera.. Calcula las asíntotas de las siguientes funciones eplica qué función de proporcionalidad inversa presenta el mismo comportamiento, creciente o decreciente, de cada una de ellas: a) a() 7 b) b() 5 c) c() D. Saber representar hipérbolas por traslaciones de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa. 5. Representa la gráfica de la función f(), mediante traslaciones pa ralelas a los ejes, representa la función g(). E. Resolver problemas en los que incida la proporcionalidad inversa. 6. En recolectar las uvas de un viñedo, 8 personas tardan días. Se pide: a) Cuántos días tardarían en hacerlo el propietario sus hijos? b) Cuántos trabajadores se necesitarían para vendimiarla en 9 días? Gauss. o ES - pción B Propuestas de evaluación

6 SLUCINES. a) Son inversamente proporcionales, a que con doble, triple... número de albañiles se tardará la mitad, tercera parte... de tiempo en construir el mismo edificio. b) Son directamente proporcionales, a que, a tiempo constante, con doble, triple... velocidad, el coche recorrerá doble, triple... espacio. c) Son inversamente proporcionales, a que, a espacio constante, con doble, triple... velocidad, el coche tardará la mitad, tercera parte... de tiempo en recorrerlo.. a) La constante es: 6 8 b) Se trata de una función de proporcionalidad inversa, donde 8. La ecuación es: 8 c) Completamos la tabla: 9 a 8; a b 8; b,5 8 c 8; c 9 6,5 8. a) Formamos una tabla de valores para cada una de ellas: f() g(). Anulando los denominadores, resultan las siguientes asíntotas: a():, 0 b(): 0, c():, En cuanto al comportamiento, tenemos: 7 a() tiene el mismo comportamiento que. 5 b() tiene el mismo comportamiento que. c() tiene el mismo comportamiento que. 5. Partimos de la gráfica del ejercicio. f () = g () = + 6. Si es el número de personas t el tiempo en días, las magnitudes son inversamente proporcionales de constante igual a 8 6 a) t 6 t 5 Tardarían 5 días. b) 9 6 Se necesitarían trabajadores. Hacemos la representación gráfica: g () = f () = b) Asíntotas: 0, 0, en ambas gráficas. Se han obtenido anulando los denominadores. c) La función f() es decreciente, por ser 0. La función g() es creciente, por ser 0. Propuestas de evaluación Gauss. o ES - pción B