ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA

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1 Volumen 2 Número 1 Enero-Junio 2008 REVISTA DE ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA (Journal of Management, Finance and Economics) Artículos Edgar Rodolfo Castillo-Huerta Generalizaciones de la metodología VAR para el análisis de riesgos de fondeo liquidez, y margen financiero Francisco Ortiz-Arango y Francisco Venegas-Martínez El modelo de Vasicek y la integral de trayectoria de Feynman Adán Díaz-Hernández y José C. Ramírez-Sánchez Modelo de cálculo de capital económico por riesgo de crédito para portafolios de créditos a personas físicas Jesús Bravo Pliego Análisis empírico de la relación entre las tasas de interés forward subyacentes al mercado Mexicano de swaps de TIIE Antonio Ruiz-Porras y William Henry Steinwascher Sacio Gobierno corporativo, diversificación estratégica y desempeño empresarial en México Carlos M. Urzúa, Alejandra Macías y Héctor H. Sandoval TIPs for the Analysis of Poverty in Mexico,

2 TECNOLÓGICO DE MONTERREY CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics) Director Dr. José AntonioNúnez Mora Editor de Producción Dr. Fernando Cruz Aranda Tecnológico de Monterrey Tecnológico de Monterrey Directores Adjuntos Carlos M. Urzúa Enrique Cásares José C.Ramírez-Sánchez Comité Editorial Alberto Hernández Antonio Ruiz-Porras Edgar Ortiz Elvio Accinelli José L.delaCruz Anabella Davila Francisco Venegas-Martínez Tecnológico de Monterrey Universidad Autónoma Metropolitana Tecnológico de Monterrey Tecnológico de Monterrey Universidad de Guadalajara Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Economía de la UASLP Tecnológico de Monterrey Tecnológico de Monterrey Escuela Superior de Economía, IPN ISNN: en trámite Revista de Administración, Finanzas y Economía Escuela de Graduados en Administración y Dirección de Empresas, EGADE División de Negocios Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C. P , México D. F. Aulas III, cuarto piso. Tel. +52 (55) ext y 1392 Correo electrónico: Página:

3 Artículos Edgar Rodolfo Castillo-Huerta Generalizaciones de la metodología VAR para el análisis de riesgos de fondeo liquidez, y margen financiero...1 Página Francisco Ortiz-Arango y Francisco Venegas-Martínez El modelo de Vasicek y la integral de trayectoria de Feynman...9 Adán Díaz-Hernández y José C.Ramírez-Sánchez Modelo de cálculo de capital económico por riesgo de crédito para portafolios de créditos a personas físicas...20 Jesús Bravo Pliego Análisis empírico de la relación entre las tasas de interés forward subyacentes al mercado Mexicano de swaps de TIIE...44 Antonio Ruiz-Porras y William Henry Steinwascher Sacio Gobierno corporativo, diversificación estratégica y desempeño empresarial en México...58 Carlos M. Urzúa, Alejandra Macías y Héctor H. Sandoval TIPs for the Analysis of Poverty in Mexico,

4 Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 2, núm. 1 (2008), pp Generalizaciones de la metodología VAR para el análisis de riesgos de fondeo liquidez, y margen financiero Edgar Rodolfo Castillo-Huerta Recibido 18 de mayo 2007, Aceptado 14 de junio 2007 Resumen En este artículo estudiamos extensiones de VaR para administrar el riesgo estructural, aplicable a las instituciones financieras y en particular a los bancos, basados en la identificación, medición y control del riesgo. Se propone el uso de medidas de riesgo aplicables en ambas partes del balance (Activo y Pasivo) y en el flujo de efectivo de la institución. Se propone el uso de medidas de control de riesgo de fondeo, ingreso y liquidez, además de la muy conocida medida de riesgo de mercado (VaR). Abstract In this paper we study an extension of value at risk to structural risk management alternative, applied to financial institutions, banks particularly, this investigation was based on identify, quantify and risk control. We propose to use risk measures over both sides of balance sheet (Asset and Liability) and over cash flow of the institution. We propose risk control measure like funding, earnings and liquidity, besides the well known measure of market risk (VaR). Clasificación JEL:C61 Palabras clave: Riesgo, Var, MaR, LaR, WaR, Liquidez, Fondeo, Banco, limites 1. Introducción En este artículo estudiamos un extensión al la metodología de valor en riesgo para administrar el riesgo estructural, aplicable a las instituciones financieras y en particular a los bancos, basados en la identificación, medición y control del riesgo, antes de empezar, quisiera comentar sobre las fuentes de riesgo en el manejo de los activos y pasivos, la fuentes de incertidumbre en el balance se encuentra en los flujos de efectivo, el costo de fondeo y la tasa de rendimiento, por esta razón para las instituciones financieras es necesario adecuar un modelo quelespermitadeformafácil, tomar decisiones de inversión y fondeo, siempre buscando una interacción entre riesgo, rendimiento y liquidez, temas que serán abordados más ampliamente a lo largo de este documento. La Administración de Activos y Pasivos bajo incertidumbre involucra distintas fuentes de riesgo. Las fuentes de riesgo o incertidumbre se basan en movimientos de los factores económicos, mercado y condiciones demográficas. Galeana C, Santa Ursula Xitla, Tlalpan México, D.F. Tel , , Fax

5 2 Generalizaciones de la metodología VAR El modelado de los riesgos de los Activos y Pasivos ha sido abordado ampliamente por autores como R. Harrington (1987), D. Uyemura (1993), W.T. Ziemba, y Mulvey (1986), Cosiglio, Cocco y Stavros A. Zenios (2005), H. Jonson (1994), Deelstra y Janssen (2000), Carino y Ziemba (1996), todos ellos basan su trabajo en estimaciones econométricas o modelos multivariados con programación estocástica, sin embargo, en ningún caso se muestra un nivel de confianza sobre un horizonte dado como en el caso del bien conocido riesgo de mercado VaR 1, una aproximación a lo que estamos proponiendo es el trabajo de Javier Márquez Diez Canedo (1999 y 2002), quien para un portafolio de crédito propone el uso de la metodología VaR para determinar el nivel de solvencia de un banco. Académicamente el trabajo busca completar estas investigaciones, en cuanto a la forma de ver el riesgo estructural abordado desde varios puntos de vista, con el fin de obtener una administración de riesgo integral. Estos puntos de vista son los siguientes: identificación de riesgos desde cada parte de la hoja de balance, Activos y Pasivos; desde los flujos de efectivo como la liquidez; o, desde el cambio en los ingresos al cambio en tasas de interés. Se propone el uso de medidas de control de riesgo de fondeo, ingreso y liquidez, además de la muy conocida medida de riesgo de mercado. El artículo se organiza de la siguiente manera. La sección dos plantea las herramientas que serán utilizadas para la administración de riesgos estructurales de forma separada, empezando por la más conocida, el VaR como medida de riesgo de mercado. La sección tres introduce el uso de esas medidas de forma conjunta con el fin de obtener un análisis de riesgo integral. Finalmente, la sección cuatro sintetiza los resultados y comenta el uso de las herramientas como medidas de gestión y control. 2. Medidas de control de riesgo Al hablar de riesgos se piensa en la posibilidad de que ocurran eventos no deseados. Pero una parte de los riesgos en los mercados financieros ocurren por sucesos a los cuales no se les asocia ninguna probabilidad. Asignar una probabilidad a todos los eventos que puedan alterar las utilidades de las empresas, es lo que se denomina Análisis de Riesgos. Financieramente, se puede definir el Riesgo como la probabilidad de que los precios de los activos que se tengan en un portafolio se muevan adversamente ante cambios en las variables macroeconómicas que los determinan. Las variables financieras que se requieren para el análisis, son todas aquellas variables que al cambiar de valor podrían cambiar de forma adversa el valor del portafolio; por ejemplo, en el caso de un bono con tasa revisable cada 28 días, la única variable que suponemos afectaría, sería la tasa de 28 días y la tasa actual (fórmula de valuación), por supuesto hay otros factores que podrían afectar a la valuación de este instrumento, sin embargo sólo tomaremos en cuenta aquellas variables que directamente afecten según la forma de valuar cada instrumento. En la parte activa el riesgo de mercado, ya muy estudiado a través del valor en riesgo, VaR se refiere a determinar la pérdida máxima que podría tener una cartera de inversión en un horizonte de tiempo con un nivel de confianza dado, 1 VaR por sus siglas en ingles Value at Risk, Valor en Riesgo, terminología introducida por JP Morgan (1995) y divulgada en su documento técnico Riskmetrix RM

6 Revista de Administración, Finanzas y Economía 3 esta herramienta supone que las variables financieras siguen una distribución Gausiana (Normal). Figura 1 Probability Density Estimate Profit/Loss Value(millions) Distribución Gausiana (Normal) El VaRse refiere encontrar el punto donde la probabilidad acumulada alcanza la cantidad 1-Nivel de confianza, VaR f(s)ds =1 c, donde c = nivel de confianza, f(s) = Función de densidad de los precios VaR c = μ+z c σ,conμ = rendimiento promedio del portafolio, z = Distribución acumulada normal hasta en nivel de confianza (c). Al igual que en la parte activa (Portafolio VaR) en la sección pasiva se busca determinar el monto de fondeo que se cancelará. Herramienta que definiremos como pasivos en riesgo o WaR por sus siglas en ingles Withdrawalls at Risk es necesario conocer las probabilidades de cancelación de pasivos a un plazo determinado. Supongamos los siguientes pasivos: chequeras (f 1 ), depósitos a plazo (f 2 ), pagare (f 3 ) y papel de mercado de dinero (f 4 ), junto con sus diferentes plazos de vencimiento. El valor total de los pasivos esta dado por la siguiente expresión V = N f i, i=1 donde N = 4. Supongamos que la decisión del cliente de mantener o no (cancelar) el ahorro o inversión, para el banco sería mantener el fondeo o cancelarlo,

7 4 Generalizaciones de la metodología VAR sigue una distribución Bernoulli (p), donde (p) representa la probabilidad de cancelación de los pasivos. El valor medio de los retiros al ser una distribución Bernoulli (p) sería: μ = pv. Mientras tanto el riesgo del portafolio estaría dado por la varianza como: σ 2 = p(1 p) N fi 2. Esto es por supuesto asumiendo independencia entre los depositantes. Para el caso de pasivos se tiene la posibilidad de que: i) Disminuya a causa de cancelaciones de depósitos / inversiones / compras ii) Aumente derivado de nuevos depósitos / inversiones / emisión Riesgo = Cancelación de Pasivo = Retiro esperado + Retiro no esperado (Cancelaciones de pasivos), por tanto el monto en riesgo de ser retirado sería el siguiente: WaR = μ + z α σ = pv + z N α p(1 p) WaR = Cancelación de Pasivo (Withdrawals at Risk), p = Probabilidad de Cancelación de pasivos, Z = Probabilidad acumulada de una distribución normal hasta el nivel de confianza dado, f =Eli ésimo pasivo. La siguiente medida se refiere a la liquidez, misma que denominaremos Liquidez en Riesgo o LaR (Liquidity at Risk). El análisis de LaR parte de la clasificación del pasivo en rubros que engloben clientes o productos con perfiles similares. La liquidez que debe mantenerse disponible en una institución a través de fuentes de fondeo externas o de activos líquidos en el balance, en función al grado de aversión al riesgo que se tenga. Para calcular el monto mínimo de activos líquidos es necesario analizar los patrones de renovación y permanencia de cada categoría de pasivo. Con el fin de evitar riesgos excesivos de liquidez, se debe considerar un monto de activos líquidos superior, o al menos igual al LaR. La liquidez debe ser suficiente para solventar las obligaciones de la institución,sinquesetenga que acceder recurrentemente al fondeo más costoso o de última instancia. Una medida comúnmente utilizada para el control de la liquidez es justamente Ψ, el coeficiente de liquidez, que es función del capital K ydelos pasivos V Ψ= K (1) V Es necesario determinar la concentración de un sólo cliente o grupo de clientes para esto tendríamos que compararlo contra el pasivo total es decir, determinar la proporción de la fuente de fondeo que representa de todo el pasivo como sigue: f k ΘV (2) donde: { ΘV ; k =0, 1, 2,...,n f k = 0; k = n +1,n+2,...,N. i=1 i=1 f 2 i

8 Revista de Administración, Finanzas y Economía 5 La proporción Θ del total del pasivo, que representa el fondeo f k,están relacionados por el nivel de capitalización del banco, y podría representar un limite de fondeo. Con esto introduzco el límite de liquidez como una proporción de los pasivos relacionado con una probabilidad de cancelación de pasivos: L α R α = n α ΘV (3) El argumento n, se refiere al número de clientes que desean cancelar sus pasivos (Ahorros) y requieren retirar su dinero, suponiendo una distribución Binomial, es decir: ( ) n Pr(m, n) = p m (1 p) n m (4) m donde p representa la probabilidad de retiro de fondos, con esta distribución podemos determinar la media np y la varianza np(1 p) y determinar con un nivel de confianza, α, el nivel de capitalización requerido para cubrir la solicitud de efectivo que se retira: np + z α np(1 p) ΘV K (5) donde z α = Probabilidad acumulada en una distribución Gausiana Normal hasta el nivel α N LaR = μ + z α σ = pv + z α p(1 p) Ψ p + z α σ H(G). En donde el índice de Herfindal - Hirschman H(G) queda dado por: i=1 f 2 i H(G) ( ) 2 Ψ p, p = πt F z α σ V y σ = 1T G V Donde, H(G): Es la concentración de los pasivos redimensionados; P : Es la probabilidad de cancelación esperada promedio de los de pasivos; σ: Es una medida de la desviación estándar de la probabilidad de cancelación; F : Vector de montos de pasivos; G: Vector transformado de F ; π: Es el vector de probabilidades de cancelación de pasivos y z α : Nivel de confianza de acuerdo al grado de aversión al riesgo. Finalmente, la medida de riesgo para los ingresos futuros se refiere a descontar cada una de las brechas (diferencia entre activos y pasivos en cada momento del tiempo) en el flujo de efectivo utilizando estructuras de tasas de interés calculadas con algún modelo de estructuras de tasas de interés como Vasicek, Cox Ingersol y Ross o cualquier otro, que nos provea de un insumo sin considerar arbitraje, es decir, tasas neutrales al riesgo. El riesgo total será la suma del valor absoluto de los flujos obtenido, a lo cual llamaremos Ingresos en riesgo o EaR (Earnings at Risk).

9 6 Generalizaciones de la metodología VAR Para determinar la densidad de la distribución será necesario hacer una simulación (con la siguiente fórmula) y determinando la máxima pérdida con un nivel de confianza dado después de hacer un análisis de frecuencias. EaR = N i=1 [ ( max (A i L i )x 1 (1 + r i ) 1 DxVi/360 (1 + r i +0.01) DxVi/360 ( )] 1 (A i L i )x (1 + r i 0.01%) 1 DxVi/360 (1 + r i ) DxVi/360 Donde, r i = Tasa cupón cero en base anual del periodo i (Calculada con base en la estructura de plazos calculada con base en algún modelo de estructura de tasas de interés por ejemplo: Vasicek o Cox Ingersol & Ross), DxV i =Días por vencer del periodo i. A continuación mostraré unanálisis comparativo de las diferentes metodologías, a fin de aclarar cualquier duda. Tabla 1 Análisis comparativo de las diferentes metodologías ), VaR VaR f(s)ds =1 c WaR Supuestos Dist. Normal WaR f(s)ds =1 c { Dist. Bernoulli f(x) = 1 /2 p; si cancelan pasivo f(x) = 2πσ 2 e(x μ)2 1 p; si continúa. Media = μ Media = p Varianza = σ 2 Varianza = p(1 p) VaR c = μ + z c σ VaR c = μ + z c σ Forma de cálculo Paramétrico Paramétrico Simulación Histórica Simulación Histórica Simulación Montecarlo Simulación Montecarlo VaR Riesgo mercado, se refiere a la pérdida máxima en un horizonte de tiempo y con un nivel de confianza dado. WaR Riesgo cancelación de pasivos, busca determinar el monto máximo a ser retirado. Las diferentes formas de ver a la institución nos ayudaran a conocer como se está comportando de forma integral, con la ayuda de los indicadores de riesgo mostrados podemos conocer de forma individual el riesgo de cada parte del balance, activos (VaR)opasivos(WaR), de hecho también los cambios en los ingresos por intereses o margen financiero (EaR) y la liquidez (LaR), sin embargo, la interacción de estos indicadores podría ayudar a la gestión y al control de la institución, este tema será tratado en la siguiente sección.

10 Revista de Administración, Finanzas y Economía 7 (Continuación) Tabla 1 Análisis comparativo de las diferentes metodologías LaR LaR f(s)ds =1 c EaR Supuestos Dist. Binomial f(x) =Cn m p i (1 p) n i Media = np Varianza = np(1 p) VaR c = μ + z c σ Forma de cálculo Paramétrico Simulación Histórica Simulación Montecarlo EaR f(s)ds =1 c Dist. Dada por el modelo de estructura de tasas empleado (Normal, Familia de valores extremos, etc.) VaR c = μ + z c σ Simulación Simulación Montecarlo LaR Riesgo de liquidez, determina el nivel de liquidez necesaria para solventar obligaciones. EaR Riesgo en flujos de efectivo, busca determinar la máxima pérdida al cambiar la tasa de interés. 3. Aplicación de las medidas de riesgo de forma conjunta Para controlar a la institución pueden ser utilizados límites por cada una de nuestras herramientas mencionadas, y dado que toman en cuenta todo el balance y la interacción entre los activos y los pasivos entonces claramente representan medidas integrales de riesgo. El nivel de riesgo que la institución está dispuesta a asumir puede depender del impacto de la evoluciónobservada de lastasas de interés sobre el desempeño futuro de los resultados. Aquellos instrumentos para los cuales no se realiza una valuación a mercado diaria (cálculo de VaR o riesgo de mercado), pueden contener utilidades o pérdidas pendientes de realizar, producto del movimiento en las tasas. Estas utilidades o pérdidas se reflejarán en los resultados de toda institución en el transcurso del tiempo. Para conjuntar la medidas de riesgo mencionadas (EaR, VaR, WaR y LaR) los límites de liquidez se pueden traducir en restricciones al tamaño de los vencimientos de corto plazo, o bien, imponer costos por cambiar el tamaño de los vencimientos de corto plazo, que a su vez restringe a los gaps que se utilizan para el cálculo de la frontera eficiente para el riesgo total. El modelo propuesto para la gestión del riesgo estructural tiene que ver con la programación estocástica donde lo que se busca es maximizar el margen financiero, sujeto a restricciones presupuestales, regulatorias y de estrategia propia de la institución donde se quiera implementar esta metodología. 4. Conclusiones y comentarios En este artículo se dio a conocer una alternativa para administrar en las instituciones financieras y en particular bancos, el riesgo estructural, basándonos en la identificación, medición y control del riesgo.

11 8 Generalizaciones de la metodología VAR El A-L estocástico se recomienda para realizar proyecciones y determinar presupuestos (Plan de negocios) El uso de tasas estocásticas permite conocer mejor el valor económico real de la entidad El nivel de solvencia esta determinado por el índice de concentración de pasivos y la probabilidad de retiro o cancelación de recursos Se propuso el uso de medidas de riesgo aplicables en ambas partes del balance (Activo y Pasivo) y en el flujo de efectivo de la institución. Se incentivo el uso de medidas de control de riesgo de fondeo, ingreso y liquidez, en forma conjunta. Este trabajo puede ser aplicado directamente en la banca mexicana y es posible hacer una propuesta de legislación sobre el cálculo de capital para mantener la solvencia de las instituciones. Bibliografía Sheldom M. Ross, (1992). Applied Probability Models with Optimization Applications Dover Publications, Inc., New York. William T. Ziemba, John M. Mulvey, (2001). Worldwide Asset and Liability Modeling, Cambridge University Press. Roy Kouwenberg and Stavros A. Zenios, (2001). Stochastic Programming Models for Asset Liability Management, Hermes Center on Computational Finance & Economics, School of Economics and Management, University of Cyprus, Working paper. M. I. Kusy, W. T. Ziemba, (May - Jun, 1986). A Bank Asset and Liability Management Model, Operations Research, Vol. 34, No 3. pp Griselda Deelstra, Jacques Janssen, (2000). Interaction Between Asset Liability Management and Risk Theory: An Unsegmented and a Multidimensional Study, Working paper. Andrea Consiglio, Flavio Cocco, Stavros A. Zenios, (2005) Scanario Optimization Asset Liability Modelling for Individual Investors, Hermes Center on Computational Finance & Economics, School of Economics and Management, University of Cyprus, Working paper. Nikolas Topaloglou, Hercules Vladimirou, Stavros A. Zenios, (2004). Dynamic Stochastic Programming Models for internacional portfolio management, HERMES European Center of Excellence on Computational Finance and Economics School of Economics and Management University of Cyprus, Working paper. Javier Márquez Diez-Canedo, (2002). Suficiencia de Capital y Riesgo de Crédito en Carteras de Préstamos Bancarios, Documentos de investigación de Banco de México.

12 Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 2, núm. 1 (2008), pp El modelo de Vasicek y la integral de trayectoria de Feynman Francisco Ortiz-Arango Francisco Venegas-Martínez Recibido 8 de junio 2007, Aceptado 10 de julio 2007 Resumen En este artículo se plantea la conveniencia de utilizar las herramientas matemáticas de la mecánica cuántica para resolver algunos problemas financieros. En particular, se discute el modelo de tasa corta de Vasicek en tiempo continuo en el marco de la integral de trayectoria de Feynman. Para ello, se determina el Lagrangiano del sistema a partir del Hamiltoniano asociado de la ecuación hacia atrás de Fokker-Planck. Posteriormente, se calcula la acción a fin de obtener el precio de un bono cupón cero y su tasa forward. En conclusión, se pretende mostrar que la mecánica cuántica es una alternativa eficaz en la solución de algunos problemas complejos que surgen en la valuación de derivados. Abstract The aim of this paper is to show the convenience of using mathematical tools from quantum mechanics to solve some financial problems. In particular, the Vasicek short-rate model in continuous time is discussed in the framework of the Feynman path integral. To do this, the Lagrangian of the system is obtained from the Hamiltonian associate to the backward Fokker-Planck equation. Subsequently, the action is calculated to obtain the price of a zero-coupon bond and its forward rate. In conclusion, the paper attempts to show that quantum mechanics is an effective alternative in solving some complex problems that arise in pricing derivatives. Clasificación JEL: G13 Palabras clave: Productos derivados. 1. Introducción En los últimos años un gran número de físicos se han interesado en resolver problemas financieros. Para ello, han empleado herramientas matemáticas de la mecánica estadística y la mecánica cuántica desarrolladas a lo largo de muchos años para resolver problemas complejos de la física. Esta situación le ha dado un gran impulso a la teoría financiera dando origen a la Econo-Física y a las Finanzas Cuánticas En particular una de las ramas de la física que ha cobrado más interés es la mecánica cuántica. Desde principios del siglo pasado, prácticamente, muchas Profesor-Investigador de la Escuela de Ingeniería de la Universidad Panamericana. Profesor-Investigador de la Escuela Superior de Economía del Instituto Politécnico Nacional. Correo electrónico:

13 10 El modelo de Vasicek de las mentes brillantes de la física se enfocaron en la solución de problemas de mecánica cuántica. En este marco, es posible distinguir tres diferentes enfoques para estudiar la mecánica cuántica: a)elenfoquedeschrödinger, mediante una ecuación diferencial parcial que lleva su nombre y que analiza una función de onda asociada al comportamiento del átomo de hidrógeno. b) El enfoque de Dirac, mediante matrices, operadores y reglas de conmutación. c) El enfoque de la integral de trayectoria de Feynman, metodología que considera las contribuciones de todas las posibles trayectorias que puede seguir un sistema cuando pasa de un estado a otro. El objetivo primordial de este trabajo es mostrar de manera detallada el uso de la integral de trayectoria de Feynman como una herramienta eficaz en la solución de algunos problemas complejos de las finanzas. Para ilustrar esto se determina el precio de un bono cupón cero que sigue el modelo de tasa corta de Vasicek. El trabajo está constituido por las siguientes secciones: En la sección 2 se plantea la ecuación de Fokker-Planck hacia atrás, pues ésta constituye la base para construir la integral de trayectoria de Feynman. En este marco, se parte del Hamiltoniano asociado el sistema y, posteriormente, se obtiene el Lagrangiano, el cual a su vez se usa para calcular la acción del sistema. En la sección 3 se plantea el problema central de esta investigación, el cual consiste en abordar el modelo de Vasicek mediante el uso de la integral de trayectoria de Feynman a fin de valuar un bono cupón cero. En la medida de lo posible el trabajo proporciona los detalles técnicos de las demostraciones para darle fluidez a su lectura. Por último, en la sección 4 se plantean las conclusiones del trabajo. 2. Ecuación hacia atrás de Fokker-Planck La ecuación hacia atrás de Fokker-Planck, también conocida como ecuación de Kolmogorov 1, se utiliza para valuar opciones, esto es debido a que la función de pago se propaga hacia atrás en el tiempo. En otras palabras, dado que el precio de compra o venta de una opción al vencimiento se fija al inicio del contrato, es necesario traer al presente las posibles ganancias del contrato. Este proceso puede aprovechase también para el estudio de las tasas de interés, en este caso, es necesario propagar el valor de la tasa de interés en el tiempo final T,lacual se denotará porr, hacia un valorr en un tiempo previo, cuando el tiempo corre hacia atrás. En este caso la probabilidad condicional hacia atrás denotada por P B (R, t; r) representa la probabilidad de que la tasa spot tome el valor r en el tiempo t, dado que en el tiempo futuro T > t, tomará el valor R. Con lo cual, para un valor r = r(t + ɛ) yr = r(t), se cumple: P B (R, t; r )= δ {r r ɛ [a(r ) σ(r )R(t)] r} P (R, t + ɛ; r)dr. (1) 1 Tomado de Venegas (2006), pag. 253.

14 Revista de Administración, Finanzas y Economía 11 En esta expresión los coeficientes a(r )yσ(r ) contienen la información de la tasa spot en el pasado. El Hamiltoniano de Fokker-Planck hacia atrás está dado por la expresión: t P B(R, t; r) =H B P B (R, t; r), (2) donde: H B = 1 2 σ2 (r) 2 r a(r) 2 r. (3) Observe que para calcular el valor de P B (R, t; r) como elementos de una matriz es necesario utilizar la notación de Dirac, en la cual el vector ket representa el estado inicial y el vector bra (vector dual) representa el estado final. Sin embargo, para este caso, dado que se considera el tiempo hacia atrás, el estado inicial será R y el estado final r, con lo cual se llega a las siguientes condiciones para calcular P B (R, t; r): P B (R, t; r) = r e (T t)hb R, (4) r(t )=R. Ahora a partir del Hamiltoniano definido en la ecuación (3) se obtiene el Lagrangiano requerido para calcular la acción y con ésta el precio del bono mediante una integral de trayectoria de Feynman de la forma: P (t 0,T)= 1 Z B e SB Dr, (5) donde Z B es la función de partición definida mediante una integral de trayectoriaqueconsideratantoalatasaspotr(t) como el efecto del ruido blanco R(t), 2 asíla expresión para calcularla es: Z B = e SB Dr. (6) En este caso, S B se refiere a la acción hacia atrás de Fokker-Planck: S B = T t 0 L B dt. (7) Para calcular el Lagrangiano hacia atrás de Fokker-Planck a partir del Hamiltoniano correspondiente, expresado en la ecuación (3), se emplea la siguiente 2 Ver Baaquie (2004), pag. 120

15 12 El modelo de Vasicek ecuación típica en mecánica cuántica que relaciona a ambos operadores, a saber: P B ( r, t; r) = r e (T t)hb r = N e ɛlb[r, r] = = 1 2π = 1 2π r e ɛhb p p r dp 2π ( e ɛ σ ) 2 2 p2 +iap e ip(r r) dp σ2 ɛ e 2 p2 e ip(r r ɛa) dp. (8) Para calcular la última integral en la expresión (8) se utiliza la integración Gaussiana dada por la expresión: Z[j] =N e λ 2 x2 +jx dx = N e 1 2λ j e λ 2 x2 dx = e 1 2λ j, (9) con N = λ/2π. En consecuencia, si en la última integral de la expresión (8) se toman: λ = ɛσ 2 ; j = i(r r ɛa), se llega a P B ( r, t; r) = r e (T t)hb r = N e ɛlb[r, r] = Z[j] N = 1 2πN e 1 2λ j2 = 1 2πN e 1 2ɛσ 2 i2 (r r ɛa) 2 = 1 = 1 2πN e ɛ[ 1 2σ 2 ( r r ɛ a)2 ] { [ = 1 1 exp ɛ 2πλ 2σ 2 = 1 2πɛσ 2 exp { ɛ [ 1 2σ 2 ɛ 2πN e 2σ 2 ( r r ɛ a)2 ( r r ɛ ( r r ɛ ) ]} 2 a ) ]} 2 a. (10) Por lotanto, es posible concluirque el Lagrangianohaciaatrás de Fokker-Planck está dado por: L B = 1 ( 2 r r a). (11) 2σ 2 ɛ

16 Revista de Administración, Finanzas y Economía 13 Si en la ecuación (11) se toma el límite ɛ 0, se obtiene (r r)/ɛ dr/dt, con lo cual se llega a la forma definitiva del Lagrangiano hacia atrás de Fokker- Planck: L B = 1 ( ) 2 dr 2σ 2 dt a(r). (12) De esta manera, al sustituir (12) en (7), se obtiene la forma explícita para el cálculo de la acción: S B = 1 2 T t 0 ( ) 2 1 dr σ 2 (t) dt a(r) dt, (13) 3. Desarrollo del modelo de Vasicek utilizando la integral de trayectoria de Feynman En esta sección se muestra que el modelo de Vasicek de tasa corta en tiempo continuo puede resolverse de manera cerrada (exacta) mediante el uso de la integral de trayectoria de Feynman establecida en la ecuación (5). Como es sabido, el modelo de Vasicek es considerado el parteaguas en lo que se refiere a modelos de tasa corta en tiempo continuo. Sea P (t 0,T) el precio de un bono cupón cero, el cual puede calcularse mediante la expresión: [ { P (t 0,T)=E exp T t 0 } r(t)dt ] r(t 0 )=r 0. (14) En el caso del modelo de Vasicek, la tasa corta sigue el comportamiento descrito por la siguiente ecuación diferencial estocástica: dr dt = a(b r)+σdw t, (15) con las condiciones r(t 0 )=r 0, t 0 t T, y donde W t es un movimiento Browniano definido sobre un espacio fijo de probabilidad con su filtración aumentada (Ω, F, (F W t ) t [0,T ], IP). Dado que el valor presente de un bono cupón cero se obtiene al descontar su valor futuro, la tasa spot debe establecerse en el tiempo T, de este modo la propagación de su comportamiento se hace hacia atrás, hasta llegar al valor r 0 en el tiempo t 0. Deestemodolaacción hacia atrás de Fokker-Planck, dada en la ecuación (13), puede expresarse para este caso específico como: S V = 1 2 T t 0 [ ] 2 1 dr σ 2 a(b r) dt, (16) dt

17 14 El modelo de Vasicek donde a y b son constantes. A través de la ecuación (16) es posible calcular el valor esperado del precio del bono en la ecuación (14), para lo cual se requiere establecer la forma de la función r(t) a ser integrada, las condiciones de frontera y una distribución de probabilidad: la distribución de probabilidad propuesta es de la forma e SV /Z,conZ definida como en la ecuación (6) y que funciona como condición de normalización, además se cumple que: Dr T t=t 0 dr(t), (17) junto con las condiciones de frontera dr(t ) r(t 0 )=r 0 ; =0. (18) dt Con base en lo anterior se puede obtener el precio del bono cupón cero mediante el cálculo del promedio del factor de descuento sobre la distribución de probabilidad mencionada antes, así: P (t 0,T)= 1 Z e SV e T t 0 r(t)dt Dr. (19) Si ahora se define entonces se tendrá T S S V P (t 0,T)= 1 Z t 0 r(t)dt, (20) e S Dr. (21) Al sustituir (16) en (21), se obtiene: T S = S V t 0 1 r(t)dt = 2σ 2 T t 0 [ ] 2 T dr a(b r) dt dt r(t)dt. (22) t 0 Como la medida de la integral de trayectoria permanece invariante bajo traslaciones es posible hacer la siguiente consideración: r(t) r(t) + b, con lo cual se obtiene: a(b r) ar. Al incorporar estos cambios en la ecuación (22), se obtiene: S = 1 2σ 2 T t 0 ( ) 2 T dr dt + ar dt t 0 (r(t)+b)dt. (23) Una forma de calcular las integrales de la expresión (23) es a través del siguiente cambio de variable: v(t) = dr + ar. (24) dt

18 Revista de Administración, Finanzas y Economía 15 Al resolver la ecuación diferencial resultante para r(t) se llega a la expresión: r(t) =e a(t t0) r 0 + e at T t 0 e at v(t )dt. (25) Nuevamente, hay que integrar (25) para posteriormente sustituirlo en (23), de tal forma que T t 0 r(t)dt = T t 0 e a(t t0) r 0 + e at T A continuación se calcula I 1 : I 1 = T t 0 = r 0 e a(t t0) dt + t 0 = r 0 I 1 + I 2. T t 0 t 0 T e at e at v(t )dt dt t e at e a(t t0) 1 T dt = e at a(t t0) 1 e dt = a eat0 a t 0 Para I 2, se puede demostrar 3 que: con lo cual se obtiene T I 2 = T t 0 r(t)dt = r 0 B(t, T )+ t 0 v(t )dt dt (26) B(t, T ). (27) t 0 B(t, T )v(t)dt, (28) T t 0 B(t, T )v(t)dt. (29) Ahora hay que verificar que r(t) como está expresada en (25) cumpla las condiciones inicial y de frontera: i) En efecto, en t = t 0 se cumple que r(t 0 )=r 0. ii) Para la condición final en t = T,dadoque(dr/dt) =0,ésto equivale a decir que r(t ) es libre de tomar cualquiera de sus valores posibles y, por consiguiente, de la ecuación (24), v(t )también es libre de tomar valores. En este caso, las condiciones de frontera se satisfacen para la variable v(t) cuando t 0 t T. 3 Ver Baaquie 2004, pag. 122

19 16 El modelo de Vasicek Antes de proceder a calcular el precio del bono cupón cero P (t 0,T), la ecuación (23) se reexpresará entérminos del cambio de variable dado en (24), así: S = 1 2σ 2 T si se sustituye (29) en (30) se obtiene: t 0 T v 2 (t)dt t 0 (r(t)+b)dt, (30) S = 1 T T 2σ 2 v 2 (t)dt r 0 B(t, T ) B(t, T )v(t)dt b(t t 0 ), t 0 t 0 y reagrupando términos se llega a: S = 1 T [ v 2 (t)+2σ 2 B(t, T )v(t) ] dt r 2σ 2 0 B(t 0,T) b(t t 0 ). (31) t 0 Ahora bien, debido al cambio que se hizo en (23): a(b r) ar, entonces se tiene que hacer el cambio r r b, con lo cual la expresión (31) queda finalmente como: S = 1 2σ 2 T t 0 [ v 2 (t)+2σ 2 B(t, T )v(t) ] dt (r 0 b)b(t 0,T) b(t t 0 ). (32) Ahora se calcula el precio del bono cupón cero para lo cual se sustituye (32) en (21): P (t 0,T)= 1 Z 1 2σ 2 e T t 0 [v 2 (t)+2σ 2 B(t,T )v(t)]dt (r 0 b)b(t 0,T ) b(t t 0)Dr = 1 Z e (r0 b)b(t0,t ) b(t t0) 1 2σ 2 e T t 0 [v 2 (t)+2σ 2 B(t,T )v(t)]dtdr. Si se define K = e (r0 b)b(t0,t ) b(t t0), entonces (33) queda como P (t 0,T)= K Z = K Z = K Z 1 2σ 2 e 1 2σ 2 e e σ 2 2 T T t 0 {[v 2 (t)+2σ 2 B(t,T )v(t)+σ 4 B 2 (t,t )] σ 4 B 2 (t,t )}dtdr T { } [v(t)+σ 2 B(t,T )] 2 σ 4 B 2 (t,t ) t 0 B 2 (t,t t 0 )e 1 2σ 2 T dt Dr t 0 [v(t)+σ 2 B(t,T )] 2 dtdr. (33) (33 a)

20 Revista de Administración, Finanzas y Economía 17 Si ahora se hace la consideración v(t) v(t) +σ 2 B(t, T ), ya que la métrica es invariante ante la traslación, entonces la expresión (33 a) se puede escribir como: P (t 0,T)= K σ 2 2 Z e = K σ 2 2 Z e T t 0 B 2 (t,t )dt T t 0 B 2 (t,t )dt 1 2σ 2 e T t 0 v 2 (t)dtdr e SV Dr = K σ 2 2 Z e σ 2 2 T T t 0 B 2 (t,t )dtz (34) B 2 (t,t = e (r0 b)b(t0,t ) b(t t0) t e 0 )dt. T A continuación, se calcula la integral B 2 (t, T )dt, usando la definición de t 0 B 2 (t, T ) establecida en la expresión (27): T t 0 B 2 (t, T )dt = T t 0 = 1 a 2 ( 1 e a(t t 0) T t 0 a )2 dt ( 1 2e a(t t) + e 2a(T t)) dt = 1 ( T t a a + 2 a e a(t t0) 1 ) t0) e 2a(T. 2a (35) Si se definen: θ = T t 0 y B(θ) =(1 e aθ )/a, es posible reescribir la expresión (35) como: T ( B 2 1 (t, T )dt = θ 3 a 2 2a + 2 a e aθ 1 ) 2a e 2aθ t 0 = 1 ( a 2 θ 2 2a 1 2a + 1 a e aθ + 1 a e aθ 1 = 1 [ θ 1 ( 1 e aθ ) 1 ( 1 e aθ ) ] 2 a 2 a 2a = 1 (θ B(θ) a ) a 2 2 B2 (θ). 2a e 2aθ ) (36) Con el resultado anterior sustituido en la expresión (34) es posible calcular el precio del bono cupón cero, primero se calcula: P (t 0,T)=e (r0 b)b(θ) bθ e σ2 2 = e r0b(θ) e ( σ2 2a 1 a 2 (θ B(θ) a 2 B2 (θ)) σ2 σ2 2 b)θ ( 2a2 b)b(θ) 4a B2 (θ) [( ) ] σ = e r0b(θ) 2 exp 2a b (θ B(θ)) σ2 2 4a B2 (θ). (37)

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