LA LÍNEA RECTA. 1. Ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas cartesianas.

Transcripción

1 L LÍNE RECT CONTENIDO:. Ecuación de la recta que pasa por el origen del sistea de coordenadas cartesianas.. Pendiente de una recta (significado de la constante ). Ecuación de la recta que no pasa por el origen.. Ejercicios.. Trazado de una línea recta.. Prier étodo: Por taulación.. Segundo étodo: Por la ordenada al origen la pendiente.. Tercer étodo: Por los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados.. Intersección de rectas.. Punto de intersección de tres rectas dadas.. Ángulo entre dos rectas.. Condición de perpendicularidad de dos rectas.. Ejercicios. 6. Ecuación de la recta que pasa por un punto dado. 6. Ejercicios. 7. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados. 8. Ejercicios. 9. Ecuación para la distancia de un punto a una línea recta. 9. Ejercicios. 0. Ecuación siétrica o priera fora noral de la ecuación de la recta. 0. Ejercicios.. Segunda fora noral de la ecuación de la recta o ecuación de Hess.. Ejercicios.. Proleas de la línea recta, considerada coo lugar geoétrico.. Ejercicios.

2 Una línea recta, lo iso que cualquier curva contenida totalente en un plano está representada, en relación con un sistea de ejes cartesianos, por una función de dos variales, siepre cuando dicha función sea capaz de epresar la condición coún que satisfacen asolutaente todos cada uno de los puntos que constituen dicha línea. Por ejeplo, si pensaos en una línea recta paralela al eje de las ascisas, necesitaos epezar por saer dónde está trazada dicha paralela, lo que en el caso de nuestra Figura equivale a conocer la distancia. deás, es u iportante aditir que asolutaente todos los puntos de la paralela en cuestión, cualquiera que sea la ascisa, tiene una ordenada constanteente igual a, razón por lo que la función representativa de esta paralela tiene que ser sin que tenga que intervenir la variale porque para nada influe en el valor de. Si la constante es positiva la paralela está situada arria del eje de las, si es negativa aajo. 0. Coo consecuencia inediata se deduce que la función representativa del eje de las, es Resulta ahora evidente que la función que representa una paralela al eje de las ordenadas es a, dependiendo del signo de la constante a que la paralela esté situada a la derecha o a la izquierda del eje de ordenadas. Por consiguiente, el propio eje de ordenadas está representada por la función: 0. Ecuación de la recta que pasa por el origen del sistea de coordenadas cartesianas. Vaos ahora a deostrar que toda recta que pasa por el origen del sistea de coordenadas está representada por una función de la fora o sea una función de dos variales de prier grado, sin térino independiente, en la que es una constante cuo significado estalecereos posteriorente. Para esto, necesitaos hacer ver que esta función estalece o epresa la condición coún a que se ajustan asolutaente todos los puntos que constituen una recta que pasa por el origen, en otras palaras deeos hacer constar que la ordenada de todo punto de la recta efectivaente es igual al producto de la constante por la ascisa de dicho punto, es decir. Epezareos por hacer 0 en la función, resultando así 0; de este odo se tiene un punto O(0,0) que coincide con el origen de las coordenadas. Enseguida daos a la variale otro valor, por ejeplo c, resultando c. De esta anera se tiene otro punto que es Q(c,c). hora situaos estos puntos en el plano del sistea los unios por edio de una recta. continuación toaos sore la recta un punto aritrario P(,), desde el cual trazaos la perpendicular al eje de las, paralelo al eje de las ; lo iso haceos en el punto Q para forar los triángulos rectángulos OPR' OQR. Ver la Figura :

3 De los triángulos seejantes OQR OPR' de la figura, se otiene la siguiente proporción: c c Despejando a : c c Siplificando, teneos:...(i) Que es la función representativa de toda línea recta que pasa por el origen del sistea de ejes coordenados. Es evidente que esto iso se cuple para cualquier otro punto que toeos sore la recta, puesto que volveríaos a forar triángulos seejantes... Pendiente de una recta (significado de la constante ). Con el propósito de ver el significado de la constante de acuerdo a la Figura, hareos referencia a la recta, la cual supondreos que fora un ángulo positivo, con respecto al sentido positivo del eje de las. Sore la recta toaos un punto cualquiera P(,), desde el cual trazaos la perpendicular al eje de las, unios el punto del origen con el punto cualquiera P, para forar el triángulo rectángulo, oteniendo la siguiente función trigonoétrica: tan ; pero de la propia función dada, se deduce que. Sustituendo en la igualdad anterior, se tiene: tan Veos pues que la constante es la tangente trigonoétrica del ángulo de inclinación de la recta que precisaente recie el nore de pendiente de la recta, puesto que controla la aor o enor inclinación con respecto al eje de las. Toando en cuenta que la pendiente depende de un ángulo que es coeficiente de en la función, taién puede llaarse coeficiente angular de la recta. De este concepto estaleceos la siguiente condición, para que dos o ás rectas sean paralelas, deen tener la isa pendiente, es decir:...(ii)

4 Cuando la constante es positiva, indica que el ángulo de inclinación de la recta es agudo, cuando es negativa, que dicho ángulo ide ás de 90, pero sin llegar a 80 ni sorepasar este valor.. Ecuación de la recta que no pasa por el origen. Se trata ahora de deostrar que una función de dos variales de prier grado con térino independiente, o sea una función de la fora: + En la que es otra constante, cuo significado deterinareos ás adelante, representa una línea recta, que no pasa por el origen del sistea de coordenadas. Para lograr este propósito hareos en dicha función 0, resultando. De este odo, se tiene el punto Q(0,) que situaos en el plano del sistea de coordenadas por él trazaos una paralela a la recta (Ver Figura ) Precisaente hareos ver que la función + representa una paralela que no pasa por el origen, para lo cual toaos sore ella un punto cualquiera P(,), deostrareos que para ese punto, lo iso que si se tratara de cualquier otro, se cuple la condición de que su ordenada sea igual a la pendiente por la ascisa de ese punto ás la constante. De la Figura deducios: S P S R + R P Pero: S P ; S R R P Por tanto, sustituendo valores, encontraos: +...(III) Que es la ecuación de la línea recta que no pasa por el origen de ejes coordenados. Podeos oservar en nuestra Figura que la constante representa la distancia que ha desde el origen hasta el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas, constante que recie el nore particular de ordenada al origen. La Geoetría nalítica conviene en llaar paráetros de una línea, recta o curva, a las constantes que intervienen en la función representativa correspondiente de cuos valores nuéricos depende la posición que tenga dicha línea, esto independienteente del nore

5 significado propios de cada constante. Consecuenteente, los paráetros de la línea recta son la pendiente la ordenada al origen, porque son estas dos constantes de las que depende la posición eacta de la recta. Saeos perfectaente que la epresión + es una función de dos variales, pero se tolera llaarla ecuación de la recta, porque desde el punto de vista gráfico su solución no es ás que una línea recta. Si toaos en consideración que a partir de la ecuación coún de la recta +, que las constantes pueden ser fraccionarias, deeos aditir que para poderla escriir en la fora iplícita: + B + C 0... (IV) tendríaos que epezar por quitar denoinadores luego ordenar todo en el prier iero... Ejercicios. Escriir la ecuación de la recta - - en su fora iplícita. Multiplicando por 6 aos ieros de la ecuación: Ordenando: Por tanto:, B 6 C. Escriir la ecuación de la recta 8 + en su fora iplícita. Ordenando los térinos: Por tanto: 8, B - C Trazado de una línea recta. Para trazar una línea recta a partir de su ecuación, podeos utilizar uno cualesquiera de los tres étodos o procediientos siguientes:

6 . Prier étodo. Por taulación. Se cita este procediiento porque se considera coo étodo general, puesto que perite trazar taién cualquier curva. Consiste en dar valores aritrarios pero ordenados a la variale en calcular los correspondientes de la función, con lo que se otienen coordenadas de puntos que se sitúan en el plano del sistea de coordenadas se unen en fora consecutiva, para otener la gráfica correspondiente. Ejeplo: Trazar la línea recta -. Dando valores a la sustituendo en la ecuación de la recta dada, se deterinan los valores correspondientes a, coo se uestra en la siguiente tala: De acuerdo con lo anterior, la gráfica correspondiente a la ecuación - se uestra en la Figura :.. Segundo étodo. Por la ordenada al origen la pendiente. Ya saeos que la ordenada al origen nos da el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas, lo que equivale a conocer un punto por donde pasa la recta por trazar. La pendiente puede interpretarse, sin necesidad de recurrir a las talas ateáticas, recordando que la tangente trigonoétrica de un ángulo es igual al cateto opuesto sore el cateto adacente. De acuerdo al significado de la constante (del punto.) Por lo que se recoienda: Graficar el punto representado por el valor de la ordenada al origen, el cual siepre estará sore el eje de las ordenadas dependiendo del signo, si éste es positivo arria del origen del sistea de coordenadas si es negativo aajo. De esta fora teneos un prier punto por el cual pasará la línea recta.. Coo se sae tan θ ; procedeos a partir del punto dado por la ordenada al origen, representaos en agnitud el valor de a la derecha o a la izquierda, lo cual depende del signo positivo o negativo que tenga, oteniendo así uno de los lados del triángulo

7 rectángulo que se forará. Dicho lado es paralelo al eje de las. Enseguida se representa el valor de partiendo del etreo final del segento anterior hacia arria o hacia aajo, lo que depende del signo positivo o negativo, para tener otro lado del triángulo rectángulo, que será paralelo al eje de las.. Se unen el punto de la ordenada al origen el etreo final del lado paralelo al eje de las, para otener la hipotenusa de dicho triángulo, que en realidad será la línea recta representada por la ecuación dada. EJEMPLO. Trazar la línea recta cua ecuación es: - La ecuación coún de la línea recta la ecuación dada son: + - Igualando coeficientes, se tiene: -, pero se sae que: tan θ Por tanto: Se siguió el procediiento dado en las recoendaciones anteriores. La gráfica de la recta, se uestra en la Figura 6: EJEMPLO. Diujar la recta con ecuación + : De la ecuación dada se oserva que adeás: tan θ Por tanto: Según las recoendaciones dadas, la gráfica de la línea

8 recta se uestra en la Figura 7: EJEMPLO. Realice la gráfica de la línea recta, cua ecuación es: De la ecuación, oservaos que - adeás: tan θ - 7 Por tanto: 7 - Basándose en las recoendaciones: La gráfica de la línea recta, se uestra en la Figura 8:.. Tercer étodo: Por los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados. Este procediiento es u conveniente cuando la ecuación de la recta es de la fora iplícita, fórula (IV). Si haceos en ella 0, deterinareos las coordenadas del punto donde la recta corta al eje de las, si haceos 0 encontrareos taién las coordenadas del punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas, las cuales las llevaos al sistea de ejes se unen por edio de una recta, la que gráficaente representa a la ecuación dada. Ejeplo: Trazar la recta con ecuación: Para 0: - 0 Despejando a : Por tanto, el punto de intersección con el eje de las ascisas es (,0) Para 0: - 0

9 Despejando a : Por tanto, el punto de intersección con el eje de las ordenadas es (0,) Por edio de la unión de los puntos de intersección con los ejes de coordenadas, se otiene la gráfica ostrada en la Figura 9:. Intersección de rectas. Para deterinar el punto de intersección de dos rectas, se hacen siultáneas sus ecuaciones, porque siendo el punto coún para las dos, sus coordenadas del punto deen verificar siultáneaente a las dos ecuaciones. EJEMPLO. Deterinar el punto de intersección de las rectas dadas por las ecuaciones: () () Igualando () (): Reduciendo térinos seejantes: 7 Despejando a, se otiene: 7 Sustituendo el valor de encontrado en la ecuación (): Por tanto, el punto de intersección es: I, 7 7 EJEMPLO. Epleando el étodo de los deterinantes, hallar el punto de intersección de las rectas: () ()

10 Resolviendo () () para, se tiene: Para, se tiene: Por tanto, el punto de intersección de las rectas es: I ( -, ).. Punto de intersección de tres rectas dadas. Para que tres rectas dadas por las ecuaciones de la fora: se corten en un iso punto, se dee verificar la siguiente condición: 0 (V) EJEMPLO. Deostrar que las rectas dadas por las ecuaciones: Se cortan en un iso punto. Sustituendo los datos según las ecuaciones dadas en el deterinante anterior (V) desarrollando, se tiene:

11 hora el deterinante: 0 Taién puede representarse de la siguiente fora, a que: Es decir que: 0... (V') EJEMPLO. Deterinar la pendiente de la recta, cua ecuación es +, para que pase por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones --, +. plicando el deterinante de la fórula (V'), se tiene: Reduciendo: - 7-9

12 - 9 Por tanto, el valor uscado de es: 7-7. Ángulo entre dos rectas. Con el apoo de la Figura 0, se trata de encontrar una fórula por edio de la cual podaos calcular el ángulo que foran entre sí dos rectas concurrentes, representadas por sus respectivas ecuaciones. Se sae que en todo triángulo, un ángulo eterior es igual a la sua de los ángulos internos que no le son adacentes. De acuerdo a lo anterior asándose en la Figura 0: V + α α Despejando a V: α - α V Toando la tangente en aos ieros de la ecuación: tan V tan ( α - α ) plicando la tangente de la diferencia de ángulos: tan V tan ( α Coo: tan α tan α Sustituendo: - α - tan V + tan α - tan α ) + tan α tan α (VI) Esta fórula puede aplicarse tal coo se presenta. Para el caso en el cual las dos rectas concurrentes foren entre sí dos ángulos supleentarios, uno agudo otro otuso, cuas tangentes trigonoétricas son iguales de signo contrario, la fórula anterior se aplica en la siguiente fora:

13 - tan V +... (VI').. Condición de perpendicularidad de dos rectas. Cuando dos rectas se cortan perpendicularente, es evidente que el ángulo que foran es V 90, por tanto: tan V tan 90 Y de acuerdo con la fórula (VI) anterior, tendreos: - + Rearreglando la ecuación: Despejando a : -... (VII) Según esto, para que dos rectas sean perpendiculares, deen tener pendientes recíprocas de signos contrarios, coo es el caso de las siguientes rectas: Ejercicios. Las pendientes de los lados de un triángulo iden,. Deostrar que el triángulo es isósceles. Se sae que un triángulo de este tipo, es el que tiene dos lados iguales uno desigual.

14 Sean: ; ; Sea el ángulo que foran los lados de pendientes, su tangente está dada por: tan Toando la tangente del ángulo B, forado por los lados de pendientes, se tiene: tan B Finalente, la tangente del ángulo C, cuos lados tienen pendientes, está dada por: tan C Coo: - + tan tan C Resulta claro que C por tanto, el triángulo es isósceles.. Deostrar que a partir de la ecuación ( + 8 ) perpendiculares., se otienen dos rectas Coo la ecuación de toda recta dee ser fundaentalente de prier grado, etraeos raíz cuadrada a los dos ieros de la ecuación propuesta: ( + 8 ) ± + 8 ± De la epresión anterior, se otienen las ecuaciones de las rectas pedidas: Despejando a de cada una de las ecuaciones anteriores:

15 Las rectas resultantes son perpendiculares, porque sus pendientes -, son recíprocas de signos contrarios.. La ordenada al origen de una recta es 7. Deterine su ecuación saiendo que dee ser perpendicular a la recta La ecuación por deterinar dee tener la fora +7, en la inteligencia de que dee ser recíproca de signo contrario con relación a la pendiente de la recta dada, razón por la cual despejaos a de la ecuación conocida: plicando la condición de perpendicularidad de dos líneas rectas, según la fórula (VII) de la ecuación anterior se tendrá que 9, entonces la ecuación de la línea recta pedida es: La gráfica correspondiente se presenta en la Figura. 6. Ecuación de la recta que pasa por un punto dado. Por lo que saeos, nos consta que cualquier recta tiene una ecuación de la fora +, la que solaente estará ien definida cuando conozcaos los paráetros. Con tendencia a calcular cuando enos uno de estos paráetros, toareos en consideración que si ha una infinidad de rectas que pasan por el punto conocido P(, ), las coordenadas de éste deen verificar la ecuación de cualesquiera de ellas, en cuo caso se tiene:

16 + Despejando a : - Este es, el valor que justaente dee tener para que la ecuación + represente, no cualquier recta, sino únicaente las que pasan por el punto P(, ) conocido, coo se uestra en la Figura. Por consiguiente, si sustituios el valor de en la ecuación a encionada, otendreos: Ordenando factorizando, se tiene: - ( - )... (VIII) Que es la ecuación general de todas las rectas que pasan por un punto P conocido, una diferente para cada valor distinto de la pendiente. 6.. Ejercicios. Deterine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-, -) es paralela a la recta La ecuación por deterinar dee tener la fora: - ( - En la que, según datos: ) - ; - ; - Por tratarse de rectas paralelas de acuerdo a la condición de paraleliso, las pendientes son iguales, es decir:. Sustituendo, la ecuación pedida es: + - ( + ) + - -

17 Finalente, despejando a : Deterinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: es perpendicular a la recta que está definida por la ecuación: + La ecuación que se trata de otener dee ser de la fora dada por la fórula (VIII), en la inteligencia de que -, por condición de perpendicularidad, en tanto que son las coordenadas del punto por donde dee pasar dicha recta, el cual está definido por la intersección de las dos rectas dadas, por consiguiente, tales coordenadas se calculan haciendo siultáneas las ecuaciones de esas dos rectas conocidas. Resolviendo por deterinantes, se otiene: Por tanto, el punto I de intersección es: I (, ) Sustituendo, en la ecuación dada por la fórula (VIII), se otiene la ecuación solicitada: - - ( - ) - + Finalente, despejando a : Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(,0) fora un ángulo de con la recta.

18 La ecuación por deterinar dee tener la fora dada por la fórula (VIII) Sustituendo los datos conocidos, se tiene: - 0 ( - )...() De esta ecuación, nos falta conocer la pendiente, la cual podeos otener utilizando la fórula del ángulo entre dos rectas concurrentes, o sea: - tan V + Si consideraos que: tan V tan? Sustituendo valores: Quitando denoinadores: Despejando a : - Es decir, la ecuación pedida se otiene sustituendo el valor de en la ecuación (): ( - ) Finalente, despejando a : Pero taién puede tenerse la situación en la cual: tan V tan? (en este caso es desconocida)

19 Entonces: Quitando denoinadores: + - Despejando a : Consecuenteente, otendreos la otra solución, sustituendo el nuevo valor de en la ecuación (): - 0 ( - ) - Finalente, despejando a : 6 + Que taién cuple con lo estalecido. La Figura uestra gráficaente los resultados otenidos. 7 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados. Ya heos visto que cualquier recta que pasa por P, dee tener una ecuación de la fora: - ( - ) Coo por el punto P pasan una infinidad de rectas, la ecuación que se acaa de epresar, representará la que taién pasa por el punto Q, solaente si se cuple la siguiente condición (de acuerdo a la Figura ): tan α R Q N Q - NR P R P R

20 Pero: NR MP P R MN Y M N O N - O M Por lo que: N Q - M P MN Taién se ve que: N Q MP 0 N 0 M Sustituendo en : - - N Q - M P 0 N - 0 M Que es la pendiente de la recta que pasa por dos puntos dados. l sustituir este valor en la ecuación original, fórula (VIII), oteneos: ( - )... (IX) - Que nos representará a la ecuación de todas las rectas que pasan por dos puntos conocidos. Esta isa ecuación se puede representar en el deterinante siguiente: 0... (IX')

21 8 Ejercicios. Deterinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-,) Q(7,-). La ecuación dee tener la fora dada por la fórula (IX), en la que sustituendo las coordenadas de los puntos dados, se otiene: ( + ) ( + ) - - Despejando a, se otiene la ecuación uscada: - + hora, por el deterinante de la fórula (IX'), tendreos: Reduciendo térinos seejantes ordenando: Despejando a : Se oserva que se otiene la isa ecuación de la recta.. Los vértices de un triángulo son: (-,), B(,6) C(6,-): a) Deostrar que la recta que une los puntos edios de dos de sus lados es paralela al tercero. ) Deostrar que sus tres edianas se cortan en el iso punto. c) Deostrar que el punto de intersección de las edianas, llaado centroide del triángulo, está situado a las dos terceras partes de la agnitud total de cada ediana, a partir del vértice correspondiente. d) Deostrar que las tres alturas se cortan en el iso punto. e) Deostrar que las tres ediatrices son concurrentes.

22 Llevando los datos a la gráfica de la Figura : a) Las coordenadas del punto edio del lado B están dadas por: M M + + B B Por tanto, las coordenadas del punto edio del lado B son: M ( 0, ) Las coordenadas del punto edio del lado BC están dadas por: M M B B + + C C Por tanto, las coordenadas del punto edio del lado BC son: M (,) Para que las rectas M M C sean paralelas, deieren tener la isa pendiente, lo cual necesitaos coproar. sí teneos que: Pendiente de Pendiente de - M M C Puesto que aas pendientes son iguales, las rectas son paralelas. ) En el inciso anterior, se deterinaron las coordenadas de los puntos edios de los lados B BC, dados por M M, respectivaente. Las coordenadas del punto edio del lado C están dadas por: C M + + 6

23 M + C - - Por tanto, las coordenadas del punto edio del lado C son: M (, - ) Para deostrar que las tres edianas se cortan en el iso punto, priero se deen encontrar sus ecuaciones, para después hacer siultáneas dos de ellas sustituir los valores encontrados en la tercera ecuación para coproar que se verifican. Para esto, tendreos que la ecuación de cada ediana corresponde a la fórula (IX) De acuerdo a la definición de la ediana, sustituios los valores de las coordenadas de los puntos C M en la fórula (IX), para otener la ecuación de la ediana C M : ( - 6 ) Despejando a : - + () Para la ecuación de la ediana M, sustituios los valores de las coordenadas de los puntos M en la fórula (IX): Despejando a : ( + ) () 6 En el caso particular de la ediana B M, según la Figura 6, oservaos que los puntos por la que ésta pasa tienen la isa ascisa, por lo que esta recta es paralela al eje de ordenadas su ecuación es sipleente:...() Para coproar la ecuación anterior, se sustituen las coordenadas de los puntos B M en la fórula (IX), ultiplicando previaente aos ieros de la ecuación por - para evitar dividir entre cero: ( - ) 0 ( - 6) ( ) ( - 6) ( - ) ( - ) - 7 +

24 Despejando a : Con lo cual queda coproado. Enseguida, haciendo siultáneas las ecuaciones () (), para lo cual sustituios () en (): - ( ) De lo anterior, concluios que el punto de intersección de las edianas representadas por las ecuaciones () () es: M B M, I, Sustituendo las coordenadas del punto I en la ecuación (), se otiene: Con lo que queda deostrado que las edianas del triángulo se cortan en el iso punto. c) plicando la fórula de la distancia entre dos puntos, vista en el Capítulo, las distancias de C a I de C a M, son: C I C M ( 6 - ) ( 6-0 ) + ( + ( ) ) ( + ( ) ) De los resultados, se ve claro que C I C M. De la isa fora, las distancias de a I de a M, son: I ( - - ) + ( - ) M ( - - ) + ( - ) Por tanto: I M Las distancias de B a I de B a M, están dadas por:

25 BI B M ( - ) + ( 6 - ) ( - ) + ( 6 + ) 6-7 ( 7 ) Por tanto: B I B M Con lo que queda coproado que el centroide del triángulo está situado a las dos terceras partes de la longitud de cada ediana, a partir del vértice correspondiente. La Figura del inciso ), uestra los resultados otenidos. d) Cada altura dee tener una ecuación igual a la fórula (VIII), porque pasa por un punto conocido su pendiente dee ser recíproca de signo contrario con relación a la del lado respectivo. Las pendientes de cada lado del triángulo, están dadas por: Pendiente del lado B Pendiente del lado B C Pendiente del lado C Sustituendo las pendientes correspondientes en la ecuación de la recta que pasa por un punto dado, fórula (VIII), teneos que la ecuación relativa a la altura del lado B es: + - ( - 6 ) - Despejando a : () La ecuación de la altura relativa al lado B C es: - ( + ) + Despejando a : +...() La ecuación de la altura relativa al lado C es: - 6 ( - ) 8 -

26 Despejando a : 0 + () De las ecuaciones (), () (), se tiene: -,,, 0 Sustituendo los valores anteriores en la fórula (V'), condición para que tres rectas sean concurrentes, se otiene: Por tanto, las tres alturas se cortan en el iso punto. La Figura 7, uestra los resultados otenidos. e) Las ediatrices son perpendiculares a los lados de un triángulo pasan por sus puntos edios. Coo a conoceos las pendientes de los lados, aplicando la condición de perpendicularidad, entonces las pendientes de las ediatrices serán recíprocas de signo contrario. Por tanto, usando la fórula (VIII), la ecuación de la ediatriz del lado B es: - - ( - 0 ) - Despejando a : ()

27 Siguiendo el iso procediiento, para la ediatriz del lado B C se tiene: - ( - ) 8 - Despejando a : -...() Para la ediatriz del lado C, se otiene: + ( - ) 8 - Despejando a : - () De las ecuaciones (), () () se tiene: -,, -, - plicando la fórula (V'), condición de concurrencia de tres rectas, se tiene: Por tanto, las ediatrices son concurrentes, coo se puede ver en la Figura 8.. Un punto dista siete unidades del origen del sistea de coordenadas la pendiente de la recta que lo une al punto (,) es /. Deterinar las coordenadas del punto.

28 Sea P(,) el punto por deterinar. De acuerdo con el enunciado, su distancia el origen está dada por: P O + 7 Elevando al cuadrado aos ieros: () Coo la pendiente de la recta que une los puntos P, dee ser igual a /, entonces: Pendiente de P - - Quitando denoinadores siplificando: ( - ) Despejando a : -...() Sustituendo () en (), desarrollando siplificando térinos seejantes, se otiene: ( - ) Resolviendo para : ± ± ± 0 0 ± 0 ±.8 Considerando aos signos, se tienen los siguientes valores de : Sustituendo los valores otenidos en la ecuación (), teneos: (.97 ) ( )

29 Por tanto, los dos puntos que satisfacen el prolea son: P (.9,.97 ), P ( - 6.9, ) La Figura 9, uestra gráficaente los resultados otenidos.. Un punto es equidistante de (,) de B(-,) La pendiente de la recta que lo une con C(,-) es de. Encontrar dicho punto. Sea P(,) el punto por deterinar. De acuerdo con el enunciado, la distancia de P a de P a B dee ser la isa, es decir: P P B. plicando la fórula de la distancia entre dos puntos a la epresión anterior: ( - ) + ( - ) ( + ) + ( - ) Elevando al cuadrado aos ieros, desarrollando reduciendo térinos seejantes: Despejando a : () Según el enunciado, la pendiente del segento P C, está dada por: La ecuación de la recta con pendiente que pasa por el punto C, está dada por la fórula (VIII), en la cual sustituios los datos conocidos para tener: + ( - ) ( +) ( - ) + - Rearreglando la ecuación anterior: ()

30 Sustituendo () en (), desarrollando reduciendo térinos seejantes, se otiene: - ( + ) Despejando a : 0-7 Sustituendo el valor de en (): 0 60 ( - ) Por tanto, las coordenadas del punto uscado son: P - 0 7, - 7 La Figura 0, uestra gráficaente los resultados otenidos. Otra fora de resolver el prolea se presenta a continuación: poándonos en la figura 0, las coordenadas del punto edio M del segento B son: M M B B Por tanto, las coordenadas del punto M son: M (-, ) Por ser recta que pasa por dos puntos conocidos, su pendiente está dada por: B Para otener la ecuación de la ediatriz del lado B, se aplica la ecuación de la recta que pasa por un punto dado, fórula (VIII), coo son perpendiculares su pendiente será recíproca de signo contrario, por lo que: - ( +) + Despejando a :

31 +...() La ecuación de la recta que pasa por el punto C es de la fora (VIII), en donde según el enunciado. Por tanto: + ( - ) Despejando a : () Igualando () (), reduciendo térinos seejantes siplificando, se tiene: Despejando a Sustituendo en (): Por tanto, las coordenadas del punto P uscado son: P - 0 7, - 7. Un triángulo equilátero tiene su ase en el eje de las su vértice en el punto C(,). Deterinar las ecuaciones de sus lados. Coo la ase del triángulo se encuentra sore el eje de las, la ecuación del lado B es 0. De las propiedades del triángulo, se sae que: C B C tan tan

32 La ecuación del lado C, se otiene de acuerdo con la fórula (VIII). Sustituendo datos: - ( - ) - Despejando a : Siguiendo el iso procediiento, la ecuación del lado B C será: - - ( - ) - + Despejando a : La Figura uestra gráficaente los resultados otenidos. 6. Los vértices de un triángulo son: (,-), B(-,-) C(,). Deterinar el centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Los datos del prolea se presentan gráficaente en la Figura : El centro P es el punto donde concurren las tres ediatrices, por lo que asta deterinar la intersección de dos cualesquiera de ellas, por lo que deterinareos sus ecuaciones. De esta anera, de acuerdo a la figura adjunta, para el punto edio del lado C, M, se tiene: M M C C Por tanto la coordenadas del punto M son: M, 0

33 Para el punto edio del lado M M B B B, M, se otiene: Por tanto las coordenadas del punto M son: M ( 0, - ) hora para deterinar las pendientes de los lados C B, aplicaos la fórula - tan θ a conocida, las cuales, para las ediatrices serán recíprocas de signo - contrario, por lo que la pendiente del lado C es: C C C Y la pendiente del lado B B B - - B es: Una vez conocidos los resultados anteriores, aplicando la fórula (VIII), otendreos la ecuación de la ediatriz del lado C es: Desarrollando despejando a : -...() 8 plicando la fórula (VIII), se otendrá la ecuación de la ediatriz del lado + - ( - 0 ) Desarrollando despejando a : B : ()

34 Haciendo siultáneas () (): Quitando denoinadores : Despejando a : Sustituendo en (): Por tanto, las coordenadas del centro P de la circunferencia circunscrita en el triángulo son: P - 9, Una diagonal de un cuadrado une los vértices (,) C(,). Otener las ecuaciones de los lados del cuadrado. Toando en consideración que cada lado del cuadrado fora un ángulo de con la diagonal, podeos aplicar la fórula (VI) en la cual: tan V tan pendiente del lado B C? pendiente del lado C Donde, con apoo de la epresión , se tiene que la pendiente del lado C es: Sustituendo en la fórula (VI) siplificando:

35 La Figura uestra gráficaente los resultados otenidos. Despejando a, se otiene: Que es la pendiente del lado B C. De esta anera, la ecuación del lado (VIII): B C se otiene sustituendo valores en la fórula - ( - ) - Despejando a : + Siilarente, la ecuación del lado C D, el cual es perpendicular al lado B C, es decir - ; sustituendo datos se tiene: - - ( - ) - Despejando a : Para la ecuación del lado D se tiene: - ( - ) - Despejando a : + Para la ecuación del lado B, el cual es perpendicular al lado B C, por lo que -; sustituendo valores: - - ( - ) - + Despejando a : - +

36 8. Trazando perpendiculares desde el punto P(,0) sore los lados del triángulo cuos vértices son (,), B(-,) C(0,-). Deuéstrese que los pies de las perpendiculares están en línea recta. La Figura uestra gráficaente los datos del prolea. De la Figura, el punto D es de otención inediata: D(,) Basándose en la fórula (IX), línea recta que pasa por dos puntos, la ecuación del lado C es: Despejando a : ( - ) ( - ) ( - ) () Con el propósito de encontrar las coordenadas del punto E, la ecuación de la perpendicular P E al lado C, con pendiente coo la recta pasa por el punto P(,0), se tiene: ( - ) Despejando a : () Haciendo siultáneas () (), por ser rectas concurrentes, se tiene: Multiplicando por aos ieros: 0 + Despejando a : Sustituendo en (): ( ) 6

37 Por tanto las coordenadas del punto E son: E(, ) Siguiendo el iso procediiento, la ecuación del lado B C está dada por la fórula (IX), por ser recta que pasa por dos puntos dados; por lo que: ( + ) - ( + ) Despejando a : () La ecuación de la perpendicular P F al lado B C está dada por la fórula (VIII), por ser recta que pasa por el punto dado P(,0), con pendiente : - 0 ( - ) Despejando a : -...() Haciendo siultáneas a () (), por ser rectas concurrentes, se tiene: Multiplicando por aos ieros: 0 Despejando a : - Sustituendo en (): - ( - ) Por tanto las coordenadas del punto F son: F ( -, - ) Coo a conoceos las coordenadas de los puntos D, E F, recurrios ahora a la condición para que tres puntos estén alineados:

38 Siendo nulo el deterinante, queda deostrado que los pies de las perpendiculares o sean los puntos D, E F, están en línea recta. 9. Ecuación para la distancia de un punto a una línea recta. Este concepto es de gran utilidad cuando se traaja con puntos rectas las relaciones entre ellos. Otendreos una fórula para calcular la distancia desde un punto dado por sus coordenadas hasta una recta dada por su ecuación. Distancia que considerareos siepre coo la ínia; es decir, la distancia edida sore la perpendicular a la recta dada que pasa por el punto dado, coo se ve en la Figura : Desde el punto P se trazan las perpendiculares a la recta al eje de las foraos el triángulo rectángulo EFP. Del triángulo rectángulo EFP se deduce: d cos E P Despejando a d: d E P cos () Pero: E P HP - E H Donde: H P E H + Sustituendo: E P () deás, de la epresión pitagórica: sec + tan

39 La cual se puede epresar coo: sec ± + tan coo se sae que: tan Por otra parte, teneos: cos sec En la que sustituendo los datos anteriores queda: cos ± + tan ± +...() Sustituendo () () en (): d ± (X) + Cua epresión se le conoce coo fórula de la distancia de un punto dado a una recta dada. Los suíndices corresponden a las coordenadas del punto P(, ). Se ha convenido en que la distancia sea positiva siepre que el punto esté arria de la recta negativa si está aajo. En estas condiciones, tal parece que el dole signo de la fórula dee eplearse en cada caso el que convenga, para que la distancia resulte con el signo que le corresponda. Sin eargo, la fórula tiene la propiedad de dar autoáticaente la distancia su signo algeraico epleando siepre ± antes del radical, o sea que la fórula se epresa definitivaente de la siguiente anera: d (X') + 9. Ejercicios. Calcular la distancia desde el punto P(7,-) hasta la recta -. plicando la fórula (X'), para la cual según los datos: -, 7, ( ) ( 7 ) - ( - ) d Por ser de signo negativo el resultado, el punto está por deajo de la línea recta.

40 . Calcular la distancia desde el punto Q(,8) hasta la recta -. plicando la fórula (X'), con los datos: 8,, -. d 8 - ( ) ( ) - ( - ) + Coo el resultado tiene signo positivo, el punto está arria de la línea recta. Cuando, en particular, se trata de la distancia del origen del sistea de coordenadas a una recta, coo las coordenadas del origen del sistea son nulas, la fórula (X') sipleente se reduce a la siguiente: d (X'') La Figura 6 uestra gráficaente la situación anterior.. Calcular la distancia entre las rectas cuas ecuaciones son: - 6, Coo las rectas dadas son paralelas, es decir tienen la isa pendiente, la distancia es la isa en cualquier región de ellas, coo se oserva en la Figura 7. En este caso, para aor facilidad la distancia la calculaos desde el origen del sistea, por donde pasa una de ellas, hasta la recta - 6. Se puede ver que O(0,0), -6 /, entonces aplicando la fórula (X''), se otiene: d Cuando la ecuación de la línea recta está epresada en su fora iplícita, es decir, cuando tiene la fora +B+C0, la fórula (X') toa el aspecto que indicareos enseguida. Por lo pronto, de la ecuación de la recta se deduce:

41 + B + C 0 B - - C - B - C + B En donde, de acuerdo a la ecuación + teneos que: - B - C B Sustituendo en la fórula (X') se tiene: d + B + B C + B + B B + B B + C Siplificando: + B d + B + C... (XI) En esta epresión no eiste la isa propiedad de que la distancia resulte autoáticaente con todo su signo, sino que la fórula realente dee epresarse así: d ± + B + C... (XI') + B Del dole signo se epleará en cada caso el que convenga para que la distancia resulte con todo su signo verdadero. Por consiguiente, considerareos coo ás útil la fórula (X').. Deterinar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto P(-,), hasta una circunferencia con centro en el origen del sistea de coordenadas, cuo radio ide unidades. Cada una de las tangentes dee tener una ecuación otenida de la fórula (VIII), recta que pasa por un punto dado. Sustituendo las coordenadas de P: - + +

42 Despejando a : () Esta ecuación estará perfectaente definida en cuanto conozcaos el valor de la pendiente. Precisaente con el fin de calcularla, toareos en cuenta que en los puntos de tangencia, el radio igual a puede considerarse coo la distancia del origen a cada tangente, por lo cual podeos eplear la fórula (X''), para la cual se tienen: d +? sí que sustituendo teneos: Elevando a cuadrado aos ieros: Desarrollando siplificando térinos seejantes: Eliinando el denoinador, ultiplicaos por : Rearreglando la ecuación: Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante: 6 ± ± ± 6 0

43 De lo anterior, se otiene: Si sustituios estos valores de en la ecuación (), otendreos las ecuaciones de las tangentes: La Figura 8 uestra gráficaente los resultados otenidos.. Utilizando la fórula de la distancia de un punto a una recta, calcular el área del triángulo cuos vértices son: (-,), B(,) C(,0) La Figura 9 uestra gráficaente los datos resultados otenidos: Se sae que el área de un triángulo es h. Toareos coo ase el lado B coo altura h positiva la distancia del punto C al lado B, coo se puede ver en la Figura 9. La longitud de la ase, distancia del lado B, está dada por la fórula (I) vista en el Capítulo I: ase B ( - - ) + ( - )

44 La ecuación del lado B se otiene aplicando la fórula (IX): - - ( + ) - + Despejando a : La altura h corresponde a la distancia de la línea recta al punto C(,0), la cual se otiene utilizando la fórula (X'): ( ) - d h Toando la altura h positiva sustituendo en la fórula del área de un triángulo, se otiene el área S del triángulo pedida: S u 0. Ecuación siétrica o priera fora noral de la ecuación de la recta. Si la recta no es paralela a ninguno de los ejes del sistea de coordenadas, intercepta a éstos en un punto, coo se uestra en la Figura 0. Es decir se conocen los puntos p(a, 0) p'(0, ). Vaos a epresar la ecuación de la recta en otra fora denoinada siétrica o priera fora noral, en que los paráetros sean la ascisa la ordenada al origen. Para esto, epezareos por escriir la ecuación en su fora coún, coo lo indica la fórula (III), en la cual la tangente está dada por: tan - a Que al sustituir en la fórula (III), se otiene: - a +

45 Rearreglando la ecuación dividiendo entre, se tiene: + a + a Siplificando, se otiene finalente: a +... (XII) Que es la llaada ecuación siétrica de la recta. Esta ecuación puede considerarse coo interesante, porque a partir de ella es u rápido el trazado de una línea recta o porque a partir de la gráfica respectiva fácilente se escrie la ecuación. 0. Ejercicios. Otener la ecuación siétrica de la recta que pasa por el punto P(-6,-) es perpendicular a la línea recta Epezareos por encontrar la ecuación de la recta según la fórula (VIII), para la cual por condición de perpendicularidad, de acuerdo a la ecuación dada: + ( + 6 ) +8 Reduciendo térinos seejantes rearreglando la ecuación según la fórula (XII), se tiene: Dividiendo entre 6: Se oserva que: a - 6

46 O ien: Para Para 0 0 : : - 6. Por tanto Por tanto : : a Sustituendo en la fórula (XII): Deterinar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(,), saiendo que la sua de las longitudes de los segentos que la deterinan sore los ejes de coordenadas es 6. Del enunciado del prolea, la sua de la ascisa la ordenada al origen dee ser igual a 6, es decir: a + 6 Despejando a : 6 - a...() Coo la ecuación de la recta por deterinar dee ser coo la fórula (XII), se sustitue el valor de : + a 6 - a Coo la recta pasa por el punto P, las coordenadas de éste deen verificar la ecuación () Sustituendo siplificando: + a 6 - a a ( 6 - a ) + ( 6 - a ) a a ( 6 - a ) + ( 6 - a ) a Multiplicando por aos ieros: 6 6a + a a a

47 Por tanto: a 7a Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante: a 7 ± ± Los valores de a que satisfacen la ecuación son: a a Sustituendo en ; ecuación (): De los resultados otenidos, oservaos que ha dos rectas que satisfacen las condiciones del prolea, las cuales se otienen sustituendo valores en la fórula (XII): La Figura uestra gráficaente, los resultados otenidos.. Segunda fora noral de la ecuación de la recta o ecuación de Hess. La recta queda deterinada por la longitud de su perpendicular trazada desde el origen del sistea de coordenadas el ángulo positivo B, que la perpendicular fora con el eje de las. La perpendicular a la recta se representa por p, la cual se considera siepre positiva por ser una distancia. Ver la Figura. En este caso, vaos a lograr que la ecuación resultante contenga coo paráetros la agnitud p positiva, precisa rigurosaente positiva, de la perpendicular llevada del origen de coordenadas a la recta el ángulo que esta perpendicular fora con el eje de la. Partireos de

48 la ecuación siétrica, fórula (XII), para la cual: cos β p a Despejando a a: a p cos β deás según la Figura : cos ( 90 - β ) p sen β Despejando a : p sen β Sustituendo en la fórula (XII): p cos β + p sen β cos β sen β + p p Multiplicando aos ieros por p: cos β + sen β p Finalente: cos β + sen β - p 0... (XIII) Relación en la que β p son los paráetros. Esta es la segunda fora noral de la ecuación de la recta sólo falta ver coo se puede otener fácilente en cada prolea a partir de la ecuación con la que tiene ás parecido es con la fórula (IV), cua fora es +B+C0. Para lograr nuestro propósito, deeos aditir que los coeficientes respectivos de aas ecuaciones son proporcionales, razón por la cual podeos tener: cos β K. Por tanto : cos β K...()

49 sen B β K. Por tanto : sen β K B...() - p K. C Por tanto : p - K C...() De () () resulta, elevando al cuadrado: cos sen β K β K B Despejando a K: K ± + B Sustituendo este valor en las ecuaciones (), () (), se tienen las siguientes epresiones: cos β ± + B...( ) sen β ± + B...( ) - C p ± + B...( ) De acuerdo con todo esto, la ecuación noral puede epresarse de la siguiente fora: ± + B + ± B + B + ± C + B 0... XIV Esta ecuación nos hace ver que para otener la segunda fora noral a partir de la ecuación, de la fora general +B+C0, asta dividir ésta entre el radical ± + B, deiendo toar para el radical el signo contrario al que tenga el térino independiente C en la ecuación dada, con ojeto de que el valor de p sea siepre positivo, coo dijios desde un principio.. Ejercicios. Otener la ecuación noral de la recta dada por la ecuación: Coparando con la ecuación general + B + C 0 se tiene que:, B - C -

50 Taién es un lugar geoétrico la ediatriz de un segento de recta, porque todos los Calculando el radical: + B + B + (- ) Coo el signo de la raíz cuadrada dee ser contrario al térino independiente, que en este caso, según la ecuación dada es -, así que: + B + Una vez definido el signo, dividios la ecuación dada entre +, es decir: Finalente: Deterinar la ecuación noral de la recta cua ecuación es: En este caso se tiene que: 6; B 8 C Por lo que: + B Toando signo contrario al que tiene C, dividios la ecuación dada entre -0 queda: Proleas de la línea recta, considerada coo lugar geoétrico. Vereos en este tea la parte correspondiente a uno de los proleas fundaentales de la geoetría analítica, que consiste en encontrar la ecuación representativa del lugar geoétrico que se trate coproar que las coordenadas de un punto perteneciente a dicho lugar geoétrico satisfacen a su ecuación. Se da el nore de lugar geoétrico a todo conjunto de puntos que tienen la isa propiedad o que se rigen por la isa le. Un ejeplo ás sencillo ás coún de lugar geoétrico es la circunferencia, puesto que asolutaente todos sus puntos participan de la propiedad de equidistar del centro.

51 puntos de ella equidistan de los etreos del segento. Lo iso podeos decir de la isectriz de un ángulo, en atención de que todos los puntos de ella equidistan de los lados del ángulo. Toando en consideración que todo lugar geoétrico es una línea recta o curva, dee tener una ecuación para deterinarla, en cada caso, se procede de la siguiente anera:. Se epieza por suponer la eistencia de un punto M(,) dotado de cierta le de oviiento, en que su recorrido descrie el lugar geoétrico en cuestión.. Por edio de una igualdad se escrie la condición de oviiento del punto generador del lugar geoétrico.. Se hacen intervenir en la condición antes citada las constantes o datos del prolea las variales, que no son ás que las coordenadas del punto óvil M(,). La epresión resultante es la ecuación del lugar geoétrico, en la que coúnente se hacen las transforaciones necesarias para lograr escriirla en la fora ás siple posile.. Ejercicios. Otener la ecuación de la ediatriz del segento de recta cuos etreos son: P(-,6) Q(6,-). Haciendo la gráfica (Figura ) de los datos conocidos aplicando el procediiento anterior:. Se considera un punto M(,) en oviiento, representado en la Figura.. La condición del oviiento del punto M es: M P M Q () plicando la fórula (I), distancia entre dos puntos, se tiene: MP M Q ( + ) ( - 6 ) + ( - 6 ) + ( + ) Sustituios en (): ( + ) + ( - 6 ) ( - 6 ) + ( + ) Elevando al cuadrado, desarrollando siplificando:

52 Despejando a : - El resultado es la ecuación de una recta. Coproación: Deterinaos las coordenadas del punto edio M del segento P Q : M 6 - M Por tanto: M (,) hora, la pendiente de P Q - -. Por lo que perpendiculares. De esta fora la ecuación de la ediatriz es: - ( - ) 8 - Finalente, despejando a : - por ser Con lo cual se copruea el resultado otenido.. Otener las ecuaciones de las isectrices de los ángulos forados por las rectas cuas ecuaciones son: -, Haciendo la gráfica (Figura ) de los datos dados las isectrices:. Se considera un punto óvil M(,), según la figura adjunta, para otener la ecuación de la isectriz P Q.. La condición de oviiento del punto M es:

53 d d...(). Pero, según la fórula de la distancia de un punto a una recta, Sustituendo valores, se tiene: d d d ( - ( + por estar el punto aajo de la recta ) por estar el punto arria de la recta ) Sustituios en (): Por tanto, la ecuación de la isectriz P Q es: Para la isectriz R S, la condición de oviiento del punto M' es: d d...() Procediendo de anera siilar al caso anterior, se tiene: d d Sustituendo en (): Despejando a, oteneos la ecuación de la isectriz R S :