Escuela Náutica ALAVELA: Curso Capitán de Yate / Derrota Loxodrómica LOXODROMICA

Transcripción

1 LOXODROMICA

2 2. GENERALIDADES DERROTA LOXODROMICA La derrota es el camino seguido por un buque sobre la superficie marina del globo, cuando tiene que trasladarse de un punto a otro. La derrota puede ser loxodrómica y ortodrómica, siendo la primera aquella que se efectúa siguiendo un rumbo constante y la segunda la que recorre un arco de círculo máximo, el cual, por otro lado, determina la mínima distancia entre esos dos puntos de una esfera. El elegir entre una u otra derrota dependerá de la clase de navegación que se vaya a realizar. En este capítulo se verá la primera de las derrotas definida, la loxodrómica, dejando para el siguiente la derrota ortodrómica. 2.2 DERROTA LOXODROMICA Se Define la derrota loxodrómica como aquella curva que trazada sobre la esfera terrestre corta a todos los meridianos bajo el mismo ángulo, es decir, aquella que se realiza siguiendo un rumbo constante. Es de doble curvatura debido a que no está contenida en un plano y si se pudiese seguir sobre la esfera terrestre sería una derrota que iría dando vueltas a la Tierra acercándose gradualmente al Polo, alcanzándolo después de un número infinito de ellas. Esta derrota queda representada en la carta mercatoriana como una recta. Evidentemente, dos puntos de la tierra podrían unirse por infinitas derrotas loxodrómicas, sin más que ir variando los ángulos de corte de cada una de ellas con los meridianos, sin embargo la que interesa es la que une los dos puntos directamente. De esta forma, se definirán el rumbo directo (Rd) y la distancia directa (Dd) entre dos puntos. 2

3 2.3 ECUACION DE LA LOXODROMICA Se definirá la ecuación de la loxodrómica como aquella que relaciona la longitud (L) y la latitud aumentada (la) de cualquier punto de la derrota loxodrómica con dos constantes, que son, la longitud del punto de corte de la derrota loxodrómica con el Ecuador, que denominamos (Lo) y el rumbo (R). Esta ecuación es de la forma (y = ax + b), lo que justifica que la derrota loxodrómica quede representada por una recta en la carta mercatoriana. Fig. Loxodromica en una Carta Mercatoriana En la figura anterior se puede observar una loxodrómica sobre la Carta Mercatoriana en la que se representa el punto de corte de la misma con el Ecuador (A) y otros dos puntos de dicha derrota, el X y el B. El punto A tiene una longitud (Lo). Del triángulo ABC se obtiene que: tgr = AC BC Si se tiene en cuenta que la longitud del punto B es (L) se podrá establecer la ecuación de la loxodrómica despejando en la expresión anterior: AC = BC tgr L Lo = BC tgr L = Lo + la tgr 3

4 Expresión esta última que es la ecuación de la loxodrómica que tambien se puede escribir poniendo la latitud aumentada de acuerdo a su valor analítico, en cuyo caso quedará: L = Lo + sen l logtg 45º + tgr 2 Si se particulariza esta ecuación para algunos casos determinados, se podrá ver cuales son las peculiaridades de dicha derrota loxodrómica: Cuando l=0º resultará que la la=0, con lo que el punto se encontrará en el Ecuador y además L=Lo. Cuando l=90º, sucederá que la=, con lo que la longitud L= y habrá infinitas soluciones posibles. Cuando R=0º, entonces L=Lo, y cualquiera que sea la latitud (l), la loxodrómica será el meridiano de longitud (Lo). Es decir, todos los meridianos son loxodrómicas. L Lo Cuando R=90º, se cumplirá que la = 0 90 º =, con lo que la latitud será 0, tg lo que implica que el Ecuador es una loxodrómica. Si se particulariza la ecuación de la loxodrómica para dos puntos de la misma se obtendría: L = Lo + la tgr L = Lo + la tgr Restando ambas ecuaciones resulta: L L L L = ( la la) tgr ( la la = tgr ) Cuando el rumbo sea 90º se cumplirá que ( la la) = l = l. 0 Esto quiere decir que todos los paralelos son loxodrómicas ya que sobre ellos se navega bien al rumbo 90º o bien al 270º. Para calcular el rumbo loxodrómico entre dos puntos de coordenadas dadas se aplicará la expresión: 4

5 L tgr = la Trabajando la ecuación anterior para valores de L que vayan aumentando de 360º en 360º, que es lo mismo que continuar sobre el mismo meridiano, se obtendrán los correspondientes de rumbo, lo que verifica que entre dos puntos pueden trazarse infinitas loxodrómicas. 2.4 NAVEGANDO POR ESTIMA Se dice que se navega por estima cuando la situación del buque se halla a partir de las coordenadas del punto de salida y las distancias y rumbos a los que se ha navegado. Se utilizará el rumbo verdadero, el rumbo de superficie, si existe viento o el rumbo efectivo si existe corriente y se tendrá en cuenta que el buque navega a la velocidad del propulsor sobre el rumbo verdadero y el superficial, mientras que se moverá con la velocidad efectiva sobre el rumbo efectivo. Los rumbos verdaderos y las velocidades del propulsor se obtienen de la aguja y de la corredera. Los rumbos de superficie y efectivos, así como la velocidad efectiva se obtienen aplicando técnicas ya conocidas por el alumno. Cada tramo de estima que se navega a un rumbo fijo es un trozo de loxodrómica, siendo la carta mercatoriana la más adecuada para dibujarla y resolver los problemas planteados. Si se desea más exactitud, la estima se resolverá por tratamiento analítico. La navegación de estima no deja de ser un medio auxiliar de posicionamiento del buque que da situaciones probables, aunque su empleo es necesario y se usa continuamente. La situación de estima es aquella que se obtiene cuando se utilizan técnicas de navegación por estima y representa el centro de un círculo de situación probable cuyo radio dependerá de los errores cometidos en la navegación, como pueden ser malas apreciaciones de rumbos, desvíos, velocidades, etc., y de las causas externas que hayan afectado al buque y que sean desconocidas o conocidas erróneamente, como pueden ser corrientes mal calculadas, etc. Sea A un punto de salida y B el de llegada, separados por una distancia D. La línea AB será la loxodrómica que los une y (Be) y (cd) serán, respectivamente, la diferencia en latitud ( l) y la diferencia en longitud ( L) entre dichos puntos A y B. 5

6 Fig. 2 División de la lóxodrómica en un número infinito de partes Es evidente que habida cuenta que la loxodrómica corta a todos los meridianos bajo el mismo ángulo, el rumbo (R) para ir de A a B será constante y tendrá como valor el ángulo formado entre cualquiera de los meridianos a los que corta la loxodrómica y ésta. Si se divide la loxodrómica AB en un número infinito de partes cuyo tamaño sea (dd), y por tanto infinitesimal, se podrá trazar por los extremos de cada una de las partes los paralelos y meridianos que pasen por sus extremos, quedando definidos así triángulos elementales que, debido a ser infinitésimamente pequeños, se podrán considerar planos. Se podrán establecer, si se observa la figura siguiente, las siguientes expresiones: dl = dd cos R da = dd senr da = dl tgr 6

7 Fig. 3 Triángulo elemental en una loxodrómica Expresiones que integradas dan: l A = = D cos R D senr A = l tgr Siendo el apartamiento, que se representa por (A), la suma de todos los catetos infinitesimales situados sobre los infinitos paralelos trazados por cada uno de los infinitos tramos en que se dividió la loxodrómica. Si se tiene en cuenta, de acuerdo a lo que se estudió en el capítulo de proyecciones, que cada arco de paralelo se correspondía con uno de Ecuador, al que se multiplicaba por el cosl, o lo que es lo mismo, que para representar correctamente la proyección cilíndrica de una esfera circunscrita, tangente al cilindro en el Ecuador, era necesario estirar los paralelos en función de un coeficiente igual a la sec l =, se podrá relacionar el apartamiento, que se cosl mide en un paralelo, con el ( L), sin más que multiplicar aquél por la secante de la latitud. 7

8 En el caso que nos ocupa resultará que la suma de todos los catetos elementales corresponderá a un apartamiento que se ha medido no en un solo paralelo sino en un número infinito de ellos. Pues bien, se podrá hacer la suposición de que el valor obtenido para (A) es igual al tamaño del arco de paralelo de latitud media entre los puntos (A) y (B). Dicha suposición es suficientemente exacta ya que dicho arco en su primera mitad (AM) es menor que la suma de los apartamientos diferenciales a los que sustituye, pero sin embargo, en la otra mitad, (MB), es mayor, con lo que se compensan las diferencias. Fig. 4 Apartamiento e incremento en longitud Teniendo en cuenta lo anterior, se podrá expresar: L = A seclm 8

9 En caso de que se quiera trabajar con exactitud, se usará la expresión: L = la tgr Para los signos se tendrán en cuenta los nombres y sentidos hacia el Norte, Sur, Este u Oeste de los valores de latitudes y longitudes. 2.5 ESTIMA CASO DIRECTO El problema directo de la estima consiste en calcular la situación de llegada teniendo como datos la posición de salida, el rumbo o rumbos navegados y la distancia o distancias navegadas a cada rumbo. La resolución de este problema puede hacerse sobre la carta o analíticamente. Sobre la carta el problema se resuelve situando el punto de salida y trazando los distintos rumbos y distancias navegadas sobre cada uno de ellos obteniendo un punto final que será la posición de llegada. Analíticamente se resolverá el problema usando las fórmulas de la estima siguiendo los pasos a continuación: Con la expresión l = D cos R se calcularán las diferencias en latitud que resultan de cada rumbo y distancia navegada. Convendrá trabajar con rumbos cuadrantales ya que dichos rumbos expresarán sin ninguna duda hacia donde se ha producido el incremento en latitud (hacia el Norte o hacia el Sur igual que el nombre del rumbo cuadrantal). Las diferencias en latitud a los distintos rumbos se sumarán algebraicamente, obteniendose una diferencia en latitud resultante que aplicada a la latitud de salida nos dará la de llegada. Con la expresión A = D senr se calcularán los apartamientos que resultan de cada rumbo y distancia navegada. Convendrá trabajar con rumbos cuadrantales ya que dichos rumbos expresarán sin ninguna duda hacia donde se ha producido el incremento en longitud (hacia el Este o hacia el Oeste igual que el nombre del rumbo cuadrantal). Los apartamientos a los distintos rumbos se sumarán algebraicamente, obteniendose un apartamiento resultante, hacia el Este o hacia el Oeste. Con la latitud de salida y la de llegada, hallada según el primer apartado, se calculará la latitud media (lm). Con la expresión L = A seclm se calcula el incremento en longitud, que tendrá el mismo nombre que el apartamiento resultante del apartado anterior. Dicho incremento en longitud se aplicará a la longitud de salida obteniendo una longitud de llegada. 9

10 Los rumbos de aguja se deberán pasar a rumbos verdaderos aplicándoles la corrección total. Si hay viento se deberá trabajar la estima con el rumbo superficial. Si hay corriente, su rumbo se introducirá en la estima como uno más, siendo la distancia navegada a ese rumbo igual a la intensidad horaria de la corriente multiplicada por el intervalo horario durante el cual afecta al buque. Cuando se produzcan incrementos en latitud superiores a 5º, o distancias navegadas superiores a 300 millas náuticas, para obtener una solución exacta convendrá trabajar la estima con latitudes aumentadas, aplicando las fórmulas exactas de la estima. Para evitar errores se recomienda trabajar el problema rellenando la siguiente tabla: Ra dm Rv/Rc Aº Rs D l A N S E W N20E +2º +º N23E +0º N33E 50 4, , S50W +2º 0º S52W - 5º S47W , ,9 N70E 6 5, , N S E W 47,4 20,4 42,2 2,9 N- S S- N E- W W- E ,3 En el cuadro anterior se ha representado un buque que navega a una velocidad de 0 nudos, a un Ra=N20E, durante 5 horas y al Ra=S50W, durante 3 horas. Le afecta una corriente de Rc=N70E y de Ih=2 millas. La declinación magnética y los desvíos a cada rumbo se expresan en dicha tabla, así como los abatimientos producidos por el viento. El resultado final de la tabla ofrece el incremento en latitud y el apartamiento total bajos las condiciones expuestas, así como los nombres de ambos, en este caso es un l = 27 N y un A = 20,3 E. Notar que los resultados vienen expresados en minutos. Si se tuviese que trabajar con latitudes aumentadas debido a que las distancias navegadas fuese mayores de 300 millas, los incrementos en longitud se hallarían igual que en el caso anterior y se aplicarían a la latitud de salida expresada como latitud aumentada, obteniendo una situación de llegada que se debe transformar 0

11 en grados, minutos y décimas de minuto. Para el cálculo de la longitud, sin embargo, se aplicará directamente la fórmula conocida L = la tgr. 2.6 ESTIMA CASO INVERSO El problema inverso de estima consiste en calcular el rumbo directo (Rd) y la distancia directa (Dd) entre dos puntos de los que se conocen sus coordenadas. La resolución de este problema puede hacerse sobre la carta o analíticamente. Sobre la carta el problema se resuelve situando el punto de salida y el de llegada y trazando el rumbo. La distancia navegada se medirá sobre la escala de latitudes de la carta, teniendo en cuenta lo que se dijo al respecto para el caso de las proyecciones mercatorianas. Analíticamente se resolverá el problema usando las fórmulas de la estima siguiendo los pasos a continuación: Se halla el incremento en latitud entre la latitud de salida (l ) y llegada (l 2 ): l = l 2 l. Dicho incremento en latitud se deberá expresar en minutos de arco. Se halla la latitud media entre la posición de salida y la de llegada: lm l + l 2 2 =. Se halla la diferencia en longitud entre la longitud de salida (L ) y la de L = L 2 L llegada (L 2 ):. Dicho incremento en latitud se deberá expresar en minutos de arco. Se halla el apartamiento mediante la fórmula: A = L coslm. El rumbo directo (Rd) entre la posición de salida y la de llegada se calcula mediante la expresión: tgrd A = l. Al valor de rumbo obtenido se le pondrán los nombres (N o S) del incremento en longitud y (E u W) del apartamiento. l La distancia directa (Dd) se obtendrá con la expresión: Dd = cos Rd En caso de tener que trabajar con exactitud debido a que la diferencia en latitud sea mayor de 5º, se deberán usar las fórmulas exactas de la estima. Para ello se transformarán las latitudes de salida y llegada en latitudes aumentadas y con éstas se hallará el la = la 2 la. Los datos de apartamiento e incremento en longitud deben estar expresados en minutos de arco.

12 El incremento en longitud se hallará de la misma forma que en el epígrafe anterior. Se aplicará la fórmula: L tgr =. la Para hallar la distancia, una vez conocido el rumbo, se trabajará de la misma forma que en el epígrafe anterior. 2.7 CASOS PARTICULARES Y NOTAS IMPORTANTES Cuando el rumbo a que se navega sea 000º ó 80º, es decir se navega por un meridiano, no existirá apartamiento dedicándose toda la distancia navegada a incremento en latitud. Cuando el rumbo a que se navega sean 090º ó 270º, es decir se navega por un paralelo o por el Ecuador, no existirá incremento en latitud dedicándose toda la distancia navegada a variar el apartamiento. El cuadrante del rumbo queda determinado por los nombres del incremento en latitud y del incremento en longitud. Si l>a, el rumbo será menor de 045º y si l<a, el rumbo estará comprendido entre 045º y 090º. Si l=a el rumbo será 045º. El rumbo que se obtiene es el rumbo verdadero si no existe ni viento ni corriente. Si existe viento se obtendrá el rumbo superficial y si además hay corriente, el rumbo será el efectivo. 2