Física General. Ricardo Chávez

Transcripción

1 Física General Ricardo Chávez

2 ii

3 Índice general 1. Física y Medición Una breve historia de la física Ramas de la física Relación de la física con otras ciencias Sistemas de Unidades Sistema internacional de unidades (SI) Sistema Ingles de unidades Conversiones entre sistemas de unidades Densidad Sumario Problemas Fuerzas y Vectores Resultante de dos fuerzas Vectores Suma de vectores Equilibrio de una Particula Problemas A. Soluciones a los Problemas 23

4 iv ÍNDICE GENERAL A.1. Capitulo A.2. Capitulo

5 Capítulo 1 Física y Medición La física es la ciencia que se encarga de estudiar las propiedades y el comportamiento de la energía y la materia. De un modo más general es el análisis de la naturaleza con el propósito de entender el Universo. La física es una de las disciplinas académicas más antiguas, en efecto se puede considerar como la mas antigua, si se toma a la astronomía como parte de la física. La física interactúa con muchas otras de las disciplinas académicas modernas, e.g. la biofísica y la química cuántica son interacciones entre la física y la biología y la física y la química respectivamente. Del mismo modo siempre ha existido un dialogo muy intenso entre las matemáticas y la física. Como todas las ciencias modernas, la física esta basada en observación y experimentación, para llevar a efecto las cuales son necesarias mediciones cuantitativas. El principal objetivo de la física es encontrar un numero reducido de principios fundamentales que permitan describir la mayor parte de los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Estos principios fundamentales son expresados en el lenguaje de las matemáticas. La física hace importantes contribuciones a nuestra vida

6 2 Física y Medición diaria a través del desarrollo de nuevas tecnologías mediante la aplicación de los principios teóricos de la disciplina. Por ejemplo, los avances en el entendimiento del electromagnetismo a finales del siglo XIX y principios del XX dieron lugar a gran parte de la tecnología de comunicaciones e informática que tenemos ahora Una breve historia de la física La astronomía es la mas antigua del las ciencias naturales. Las mas antiguas civilizaciones, como los sumerios, los antiguos egipcios y mayas, poseían ya conocimientos de las estrellas, la luna, el sol y algunos de los planetas, tales que les era posible predecir con cierta precisión las estaciones del año, eclipses y los movimientos planetarios. La filosofía natural es un claro antecedente de la física moderna y se origino en Grecia alrededor del 500 AC cuando los filósofos pre-socráticos comenzaron a especular sobre el origen completamente natural de todos los fenómenos observados. Un ejemplo de estas primeras teorías es el atomismo de Leucipo y Democrito. La física moderna nace durante la revolución científica de los siglos XVI y XVII, cuando científicos como Galileo e Isaac Newton comienzan a hacer experimentos con el fin de deducir la leyes fundamentales de la naturaleza y poder obtener predicciones precisas de los fenómenos observables. Es entonces cuando nace lo que se conoce como mecánica clásica, y con ella la física clásica, y es también cuando las matemáticas comienzan a ser usadas extensivamente en la formulación de los principios básicos de la física. Durante los siglos XVIII y XIX, la física clásica se formaliza y extiende dando lugar al nacimiento de nuevas ramas como la termodinámica, la hidrodinámica y el electromagnetismo.

7 1.2 Ramas de la física 3 Durante el siglo XIX se alcanza una sistematización muy profunda de las leyes y principios que se encuentran a la base de estas disciplinas, e.g. en 1861, Maxwell propone un conjunto de ecuaciones matemáticas que permiten describir prácticamente todos los fenómenos electromagnéticos conocidos hasta el momento. Durante el siglo XIX también ocurre la revolución industrial, en esta época se suceden grandes desarrollos tecnológicos, en gran medida con base en los principios físicos desarrollados hasta ese momento y que a su vez permiten avances cada vez mas rápidos en la comprensión de los fenómenos naturales. El siglo XX se inaugura con la formulación de las teorías de la relatividad y de la mecánica cuántica, formuladas por Einstein y Bohr, entre otros. Estas dos teorías representan una completa revolución conceptual dentro de la física, es por esto que desde entonces a este conjunto de desarrollos se les conoce con el nombre de física moderna Ramas de la física La física se puede dividir para su estudio en 5 grande campos: Astrofísica: Se ocupa del estudio del universo como un todo y de sus componentes, tales como galaxias, estrellas y sistemas planetarios. Física atómica, molecular y óptica: Estudia las interacciones entre materia y materia y luz y materia en la escala de átomos y moléculas. Física de partículas: Estudia los componentes elementales de la materia.

8 4 Física y Medición Física de la materia condensada: Estudia las propiedades de la materia a un nivel macroscópico. En particular se ocupa de las fases condensadas que aparecen cuando el numero de partículas es extremadamente grande y las interacciones entre ellas son fuertes. Física aplicada: Estudia las aplicaciones de la física a las diferentes ramas de la tecnología y en particular las interacciones de la física con otros ciencias Relación de la física con otras ciencias Debido a la enorme importancia que ha tenido la física para el desarrollo de la tecnología moderna, no es raro que la física se relacione aun hoy de modo muy directo con todas las ramas de la ingeniería. Por ejemplo, la estática es un campo de la mecánica que es usado intensivamente en ingeniería civil y arquitectura para el diseño de estructuras. Desde el siglo XIX la física se ha relacionado con la biología y medicina, en un principió debido al interés en los fenómenos electromagnéticos que estas disciplinas compartían, pero mas recientemente por la fructífera aplicación de los principios de la mecánica en campos como la biomecánica o biodinámica y de otros principios básicos de la física moderna en campos como la biología molecular. Desde comienzos del siglo XX y con el surgimiento de la mecánica cuántica, la física y la química han trabajado juntas para entender como funcionan los constituyentes mas pequeños de la materia, en particular atamos y moléculas. En el otro extremo las matemáticas, han acompañado siempre el desarrollo de la física, ya con el surgimiento de la mecánica clásica, se vio que las leyes de la naturaleza se podían ex-

9 1.4 Sistemas de Unidades 5 presar mejor en el lenguaje de las matemáticas y así a sido hasta ahora Sistemas de Unidades La ecuación básica de la mecánica clásica es: F = ma (1.1) donde F es el vector fuerza, m es la masa y a es el vector aceleración. Esta ecuación permite relacionar los conceptos de longitud, tiempo, masa y fuerza, de modo que las unidades de medición de estas cantidades físicas no pueden ser elegidas de modo independiente. Tres de las unidades pueden ser elegidas independientemente y son llamadas unidades básicas, mientras que la cuarta que depende de la ecuación (1.1) es llamada unidad derivada. Las unidades de medición construidas de esta manera forman un sistema de unidades consistente Sistema internacional de unidades (SI) En este sistema de unidades, el cual es usado en la mayoría de los países del mundo, las unidades base, y por lo tanto arbitrariamente elegidas, son las de longitud, tiempo y masa y son llamadas respectivamente el metro (m), el segundo (s) y el kilogramo (kg). El metro fue originalmente definido como un diezmillonésimo de la distancia del ecuador al polo, aunque actualmente se define como veces la longitud de onda correspondiente a una de las transiciones atómicas del átomo de krypton-86. El segundo se definió originalmente como 1/ de un día solar promedio y ahora se define como la duración de ciclos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles fundamentales del átomo de cesio-133. El

10 6 Física y Medición kilogramo, que es aproximadamente igual a la masa de m 3 de agua, se define como la masa de un estándar de platinoiridio mantenido en resguardo por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, cerca de Paris en Francia. La unidad de fuerza es una unidad derivada y es llamada newton (N); se define de acuerdo con la ecuación (1.1), como la fuerza que produce una aceleración de 1 m/s 2 a una masa de 1 kg. Esto se puede escribir como: 1 N = (1 kg)(1 m/s 2 ) = 1 kg m/s 2. (1.2) Las unidades del SI forman un sistema de unidades absoluto, en el sentido de que las unidades base son independientes del lugar donde se estén llevando acabo las mediciones. El peso de un objeto depende de la fuerza de gravedad que actúa sobre el y puede ser expresado en newtons. De modo que el peso de un objeto con una masa de 1 kg se puede expresar como: W = mg (1.3) = (1 kg)(9.81 m/s 2 ) = 9.81 N. Los múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI pueden obtenerse mediante el uso de los prefijos definidos en la Figura 1.1. La conversion entre múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI se lleva a cabo moviendo el punto decimal el numero correspondiente de espacios a la derecha o a la izquierda. Por ejemplo, para convertir 3.5 km a metros, se debe mover el punto decimal tres espacios a la derecha: 3.5 km = 3500 m;

11 1.4 Sistemas de Unidades 7 Figura 1.1: Prefijos del SI. de manera similar, 65.7 mm se convierten a metros moviendo el punto decimal 3 lugares a la izquierda: 65.7 mm = m. Usando notación científica, también se puede escribir: 3.5 km = m 65.7 mm = m. Unidades de area y volumen La unidad de area es el metro cuadrado (m 2 ), el cual representa el area de un cuadrado de un metro por lado, la unidad de volumen es el metro cubico (m 3 ), el cual representa el volumen de un cubo de un metro por lado. Cuando se calculan areas o volúmenes se elevan al cuadrado o al cubo los múltiplos y submúltiplos de la unidad de longitud. De este modo

12 8 Física y Medición Figura 1.2: Principales unidades del SI usadas en mecánica. tenemos que los submúltiplos de la unidad de area: 1 dm 2 = (1 dm) 2 = (10 1 m) 2 = 10 2 m 2 1 cm 2 = (1 cm) 2 = (10 2 m) 2 = 10 4 m 2 1 mm 2 = (1 mm) 2 = (10 3 m) 2 = 10 6 m 2, y los submúltiplos de la unidad de volumen son: 1 dm 3 = (1 dm) 3 = (10 1 m) 3 = 10 3 m 3 1 cm 3 = (1 cm) 3 = (10 2 m) 3 = 10 6 m 3 1 mm 3 = (1 mm) 3 = (10 3 m) 3 = 10 9 m 3. Aquí es importante notar que un decímetro cubico (dm 3 ) es equivalente a un litro (L).

13 1.4 Sistemas de Unidades 9 Figura 1.3: Principales unidades del sistema Ingles usadas en mecánica. Otras unidades derivadas en el SI usadas para medir cantidades como el momento de una fuerza, el trabajo de una fuerza, etc., se muestran en la Figura 1.2. Cuando una unidad derivada es obtenida mediante la division de una unidad base por otra, un prefijo pude usarse en el numerador pero nunca en el denominador. Por ejemplo, la constante k de un resorte que se estira 20 mm bajo la acción de una fuerza de 100 N puede expresarse como: k = 100 N 20 mm = 100 N m = 5000 N/m = 5 kn/m,

14 10 Física y Medición pero nunca como k = 5 N/mm Sistema Ingles de unidades El sistema ingles de unidades es usado principalmente en EUA y en otros países anglosajones en menor medida. En el sistema ingles las unidades base son las de longitud, tiempo y fuerza. Estas unidades son respectivamente el pie (ft), el segundo (s) y la libra (lb). El segundo es la misma unidad de tiempo que en el SI. El pie esta definido como m. La libra se define como el peso de un estándar de platino, llamado la libra estándar, y que es mantenido por el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología en Washington, EUA. La masa de una libra equivale a kg. Dado que el peso de un cuerpo depende del campo gravitacional local al que esta sometido, el sistema Ingles de unidades no es un sistema absoluto. Debido a esta dependencia con la atracción gravitacional de la tierra, el sistema ingles es un sistema gravitacional de unidades. Aunque en la practica común la libra es usada también como una unidad de masa, en física no es posible usarla de este modo, debido a que el sistema de unidades seria inconsistente con la definición dada por la ecuación (1.1). La unidad de masa consistente con el pie, la libra y el segundo es la masa que recibe una aceleración de 1 ft/s 2 cuando se le aplica una fuerza de 1 lb. Esta unidad, algunas veces llamada slug, puede derivarse como sigue: F = ma tras despejar se obtiene que: 1 lb = (1 slug)(1 ft/s 2 ), 1 slug = 1 lb 1 ft/s 2 = 1 lb s2 /ft. (1.4)

15 1.5 Conversiones entre sistemas de unidades 11 Sabiendo que la aceleración gravitaciónal de la tierra es en promedio de 32.2 ft/s 2, se concluye que un slug tiene una masa 32.2 veces mas grande que la masa de la libra estándar. Otras unidades del sistema Ingles encontradas con frecuencias son la milla (mi) equivalente a 5280 ft, la pulgada (in) equivalente a 1/12 ft y el kilopound (kip), equivalente a la fuerza de 1000 lb. La tonelada (ton) es usada frecuentemente para representar la masa de 2000 lb, pero debe convertirse a slugs para cálculos en física. La Figura 1.3 muestra las unidades derivadas mas usadas en el sistema Ingles de unidades. Las conversiones entre las diferentes unidades del sistema Ingles suelen ser mas complicadas que las conversiones dentro del SI. Si, por ejemplo, la magnitud de una velocidad es dada como v = 30 mi/h, esto se puede convertir a ft/s como sigue: v = ( 30 mi h ) ( 5280 ft 1 mi ) ( 1 h 3600 s ) = 44 ft s 1.5. Conversiones entre sistemas de unidades Para convertir de un sistema de unidades a otro simplemente se divide o multiplica por los factores de conversion apropiados. Por ejemplo, para convertir el momento de una fuerza que ha sido determinado como M = 47 lb in se tiene que: M = 47 lb in = 47(4.448 N)(25.4 mm) = 5310 N mm = 5.31 N m. Si al contrario el momento de una fuerza ha sido obtenido como M = 40 N m, entonces tenemos que: ( ) ( ) 1 lb 1 ft M = 40 N m = (40 N m) = 29.5 lb ft N m

16 12 Física y Medición 1.6. Densidad Una propiedad de cualquier substancia es la densidad, ρ, definida como la cantidad de materia contenida por unidad de volumen, la cual se expresa como: ρ = m V. (1.5) Por ejemplo, el aluminio tiene una densidad de 2.70 g/cm 3, y el plomo tiene una densidad de 11.3 g/cm 3. La diferencia en densidades de los dos elementos se debe en parte a la diferencia en sus masas atómicas Sumario La física es la ciencia que estudia las propiedades y el comportamiento de la materia y la energía. Las ramas principales de la física clásica son la mecánica, la hidrodinámica, la termodinámica y el electromagnetismo. Los campos de estudio principales de la física actual son la astrofísica, la física atómica, molecular y óptica, la física de partículas, la física de la materia condensada y la física aplicada. La física se relaciona con muchas otras ciencias, entre ellas las matemáticas, la ingeniería, la química y la biología. La relación entre la física y la química a producido la química molecular moderna y su relación con la biología a producido la biomecánica. Las tres cantidades físicas fundamentales de la mecánica son la longitud, la masa y el tiempo, las cuales en el SI tienen unidades de metros (m), kilogramos (kg) y segundos (s), respectivamente. Se utilizan prefijos para indicar las potencias de

17 1.8 Problemas que son usadas para expresar múltiplos y submúltiplos de las unidades básicas. La densidad de una substancia se define como la masa por unidad de volumen. Diferentes substancias tienen diferentes densidades principalmente debido a diferencias en sus masas atómicas Problemas 1. El kilogramo estándar de platino-iridio es un cilindro de 39.0 mm de altura y mm de diametro. Cuál es la densidad del material? 2. La masa del planeta Saturno es kg, y su radio es m. Calcule su densidad. 3. La ley de la gravitación universal de Newton se representa como: F = GMm r 2, donde F es la fuerza gravitacional, M y m son masas y r es una distancia. Cuáles son las unidades en el SI de la constante de proporcionalidad G? 4. Suponga que el cabello crece a una taza de 1/64 in por día. Encuentre la taza a la que el cabello crece en nanometros por segundo. 5. Un edificio rectangular mide 60 ft por 150 ft. Determine el area del edificio en m Un auditorio mide 30.0 m 30.0 m 15.0 m. La densidad del aire es de 1.20 kg/m 3. Encuentre (a) el volumen del auditorio en ft 3 y (b) el peso del aire dentro del auditorio en libras.

18 14 Física y Medición 7. Suponga que el llenado de un tanque de 28.0 galones de gasolina toma 5.00 minutos. (a) Calcule la taza a la que el tanque se llena en galones por segundo. (b) Calcule la taza a la que el tanque se llena en metros cúbicos por segundo. (c) Determine el tiempo en horas que tomaria llenar un volumen de 1 metro cubico a la misma taza. (1 gal = 231 in 3 ) 8. Un terreno tiene un área de 1 mi 2 y contiene 640 acres. Determine el número de metros cuadrados en 1 acre. 9. Una pieza solida de plomo tiene una masa de g y un volumen de 2.10 cm 3. Calcule la densidad del plomo en unidades del SI (kg/m 3 ). 10. La masa del Sol es de kg y la masa de un atomo de hidrogeno es de kg. Suponiendo que el sol esta formado solo de hidrogeno, encuentre el numero de atomos en el Sol. 11. Cuántos segundos hay en un año? 12. La función básica de un carburador es atomizar la gasolina y mezclarla con el aire para promover una combustion mas rápida. Suponga que 30.0 cm 3 de gasolina son atomizados en N gotas esféricas idénticas, cada una con un radio de m. Encuentre la superficie total que esas N gotas pueden cubrir. 13. Un centímetro cubico de agua tiene una masa de kg. (a) Determine la masa de 1.00 m 3 de agua. (b) Suponiendo que las substancias biológicas están compuesta por un 95 % de agua, estime la masa de una célula que tiene un diámetro de 1 µm y un riñón humano. Suponga que el riñón es una esfera de un radio de 4.0 cm.

19 Capítulo 2 Fuerzas y Vectores En este capitulo se estudiara el efecto de fuerzas actuando sobre partículas. Primero se aprenderá a reemplazar dos o mas fuerzas actuando sobre una partícula por una sola fuerza que tenga el mismo efecto que las fuerzas originales, esta fuerza es conocida como fuerza resultante. Después se determinara la relación existente entre las fuerzas que actúan sobre la partícula en un estado de equilibrio Resultante de dos fuerzas Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y se caracteriza generalmente por su punto de aplicación, su magnitud y su dirección. Las multiples fuerzas que actúan sobre una partícula tienen el mismo punto de aplicación, de modo que quedan definidas por su magnitud y dirección. La magnitud de una fuerza se caracteriza por un cierto numero de unidades. La dirección de una fuerza se define por la linea de acción y el sentido de la fuerza. La linea de acción es la linea recta infinita a la largo de la cual la fuerza actúa, se caracteriza por el ángulo que forma con un eje dado. La

20 16 Fuerzas y Vectores Figura 2.1: Dos fuerzas con la misma linea de acción y magnitud pero diferente sentido. fuerza se representa por un segmento de esa linea, mediante el uso apropiado de la escala, la longitud del segmento se elige de modo que represente a la magnitud de la fuerza. Finalmente, el sentido de la fuerza se indica por una punta de flecha al final del segmento de linea. Dos fuerzas que tienen la misma magnitud y linea de acción pero diferentes sentido, como las mostradas en la Figura 2.1, tendrán efectos opuestos en una partícula. Dos fuerzas P y Q actuando en una partícula A, pueden ser representadas por una sola fuerza R que tenga el mismo efecto sobre la partícula. Esta fuerza es llamada la resultante de las fuerzas P y Q y puede obtenerse como se muestra en la Figura 2.2, construyendo un paralelogramo, usando P y Q como dos lados adyacentes del paralelogramo. La diagonal que pasa a través de A representa la resultante. Este método es conocido como la ley del paralelogramo para la adición de dos fuerzas Vectores Las fuerzas no son las únicas cantidades que se representan como vectores, otras cantidades vectoriales son desplazamientos, velocidades, aceleraciones y momento. Las cantidades que no se representan como vectores son, por ejemplo, volumen,

21 2.3 Suma de vectores 17 Figura 2.2: Suma de dos fuerzas usando la ley del paralelogramo. masa y energía y se llaman cantidades escalares. Los vectores se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud y dirección y que se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. El vector negativo de un vector P se define como el vector que tiene la misma magnitud que P pero dirección opuesta y se denota por P. Los vectores P y P son usualmente llamados iguales y opuestos. En general se tiene que: P + ( P) = Suma de vectores Como se dijo antes, en general la suma de dos vectores se puede obtener mediante la construcción de un paralelogramo

22 18 Fuerzas y Vectores Figura 2.3: Descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares. en el que los dos vectores se usan como lados. Otro método ampliamente usado para encontrar la suma de dos vectores es mediante la descomposición del vector en sus componentes rectangulares u ortogonales. Si se tiene una fuerza F, esta se puede descomponer en sus componentes F x y F y a lo largo de los ejes x y y respectivamente. Esto se muestra en la Figura 2.3. En este punto se pueden introducir dos vectores de magnitud unidad a lo largo de cada uno de los ejes x y y positivos, estos vectores son llamados vectores unitarios y se denotan por i y j y se muestran en la Figura 2.4. Las componentes rectangulares de cualquier vector se pueden escribir en términos de los vectores unitarios i y j multiplicados por el escalar apropiado como se muestra en la Figura 2.5. De modo que se puede

23 2.3 Suma de vectores 19 Figura 2.4: Vectores unitarios i y j. escribir: F = F x i + F y j. (2.1) Si se denota con F a la magnitud de la fuerza F y con θ al ángulo entre la fuerza y el eje x positivo, se tiene que: F x = F cos θ, (2.2) F y = F sin θ. (2.3) Cuando la fuerza F se define por sus componentes rectangulares F x y F y, el ángulo θ que define su dirección se obtiene mediante: θ = F y. (2.4) F x La magnitud F de la fuerza se obtiene aplicando el teorema de Pitagoras de modo que se tiene: F = Fx 2 + Fy 2. (2.5)

24 20 Fuerzas y Vectores Figura 2.5: Descomposición de una fuerza en términos de los cectores unitarios i y j Equilibrio de una Particula Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, se dice que la partícula esta en equilibrio. La expresión algebraica que describe la situación anterior es: R = F = 0. (2.6) Si se descompone cada fuerza F en sus componentes rectangulares se tendrá que: (Fx i + F y j) = 0 ( F x )i + ( F y )j = Problemas 1. Se tienen dos fuerzas P y Q actuando sobre un perno, como se muestra en la Figura 2.6. Encuentre la resultante.

25 2.5 Problemas 21 Figura Dos fuerzas P y Q se aplican sobre el punto A de un gancho como se muestra en la Figura 2.7. Sabiendo que P = 70 N y que Q = 120 N, encuentre la magnitud y dirección del vector resultante. Figura Los cables AB y AD ayudan a soportar un poste como se muestra en la Figura 2.8. Sabiendo que la tensión en AB

26 22 Fuerzas y Vectores es de 150 lb y en AD es de 50 lb, determine la magnitud y dirección de la resultante. Figura 2.8

27 Apéndice A Soluciones a los Problemas A.1. Capitulo 1 1. La densidad esta dada por: ρ = m V Datos: m = 1 kg V =? r = 19.5 mm h = 39.0 mm

28 24 Soluciones a los Problemas El volumen se puede calcular como: V = πr 2 h = π(19.5 mm) 2 (39 mm) = mm 3 = m 3 = m 3. Entonces la densidad esta dada por: ρ = 1 kg m 3 = kg/m Datos: m = kg V =? r = m. El volumen se puede calcular como: V = 4 3 πr3 = 4 3 π(6 107 m) 3 = m 3. Entonces la densidad esta dada por: ρ = kg m 3 = kg/m 3.

29 A.1 Capitulo Se tiene que: F = GMm, r 2 entonces se puede ver que: G = F r2 Mm, sustituyendo por las unidades correspondientes se tiene que: [G] = N m2 kg 2 = = = kg m s 2 m 2 kg 2 kg m 3 s 2 kg 2 1 kg m3 kg 2 s 2 = m3 kg s 2 Se tiene que hacer la conversion siguiente: [ ] [ ] [ ] 1 in m 1 nm 1 dia = 4.59 nm/s 64 dia 1 in 10 9 m s Se tiene que el área esta dada por: A = 60 ft 150 ft = 9000 ft 2,

30 26 Soluciones a los Problemas ahora convirtiendo a m 2 se tienes que: 6. [ ] m A = 9000 ft 2 = m 2. 1 ft Se tiene que el volumen esta dado por: V = 30 m 30 m 15 m = m 3, convirtiendo a ft 3 se tiene que: [ ] 3 V = m 3 1 ft = ft m El peso del aire se obtiene a partir de la densidad y el volumen como sigue: m = ρv = 1.20 kg/m m 3 = kg, convirtiendo a lb tenemos que: [ ] 1 lb m = kg = lb kg 7. Se tiene que la taza de llenado es de: V = 28 gal 5 min = 5.6 gal/min, de modo que convirtiendo a galones por segundo se tiene que: [ ] 5.6 gal 1 min V = = gal/s. min 60 s

31 A.2 Capitulo 2 27 Luego se tiene que convirtiendo los galones a metros cúbicos se tiene: [ ] [ ] gal 231 in m V = = m 3 /s. s 1 gal 1 in Dada la taza anterior y un volumen de 1 m 3 se tiene entonces que el tiempo esta dado como: t = V [ ] V = 1 m 3 1 h m 3 /s = s = 0.79 h 3600 s 8. Convirtiendo de mi 2 a m 2 se tiene que: [ ] m A = 1 mi 2 = m 2, 1 mi ahora convirtiendo a acres, m 2 /mi acres/mi 2 = m 2 /acre A.2. Capitulo 2 1. El vector P se puede descomponer en sus componentes rectangulares como sigue: P = 40 N cos 20 i + 40 N sin 20 j P = N i N j ; mientas que el vector Q se descompone como: Q = 60 N cos 45 i + 60 N sin 45 j Q = N i N j.

32 28 Soluciones a los Problemas Se tiene, entonces, que la resultante es: R = ( ) N i + ( ) N j R = 80 N i N j. De modo que la magnitud de la resultante estaria dada por: R = (80 N) 2 + (56.1 N) 2 R = 97.7 N y el ángulo de la fuerza esta dado por: θ = tan 80 θ = El vector P se puede descomponer en sus componentes rectangulares como sigue: P = 70 N cos(70) i 70 N sin 70 j P = N i N j ; mientas que el vector Q se descompone como: Q = 120 N cos 55 i 120 N sin 55 j Q = N i 98.3 N j. Se tiene, entonces, que la resultante es: R = ( ) N i + ( ) N j R = N i N j. De modo que la magnitud de la resultante estaria dada por: R = (44.89 N) 2 + ( N) 2 R = N

33 A.2 Capitulo 2 29 y el ángulo de la fuerza esta dado por: θ = tan θ =

34 30 Soluciones a los Problemas