Tema 2: La economía de Robinson Crusoe

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1 Tema 2: La economía de Robinson Crusoe Macroeconomía 2014 Universidad Torcuato di Tella Constantino Hevia En esta nota analizaremos el caso de un hogar/productor, a quien llamaremos Robinson Crusoe, que decide cuanto trabajar y cuanto consumir en un determinado período. Podemos pensar a esta economía como las decisiones que debe tomar Robinson Crusoe viviendo solo en una isla donde debe trabajar para producir bienes de consumo. Robinson Crusoe elige cuanto trabajar y cuanto consumir. No hay mercados ni comercio: Robinson Crusoe es dueño de una parcela de tierra y produce para sí mismo. La economía de Robinson Crusoe es una abstracción que usamos como punto de partida para entender a la economía como el resultado de la agregación de las decisiones individuales de una gran cantidad de consumidores y productores. Este modelo contiene la esencia de los problemas de decisión que aparecen en economías más complejas, con muchos agentes y mercados. Conceptos fundamentales del modelo de equilibrio de mercados: efectos sustitución y riqueza (o ingreso) ante cambios en las oportunidades a las que se enfrentan los agentes económicos. Definición de una economía: Una economía está definida por Las preferencias y objetivos de los agentes económicos Las restricciones que enfrentan los agentes en la toma de decisiones: restricciones presupuestarias restricciones tecnológicas dotaciones iniciales Condiciones de consistencia agregada: Oferta=Demanda en cada mercado. 1

2 Figure 1: Función de producción de Robinson Crusoe 1 Tecnología Robinson Crusoe puede producir bienes de consumo usando esfuerzo laboral (trabajo) de acuerdo a la siguiente función de producción y = f (l) (1) donde y son los bienes producidos, l es trabajo y f ( ) es la función de producción que transforma trabajo en bienes de consumo. Supondremos además que: hay un solo bien de consumo en la economía, no hay posibilidades de almacenar bienes entre períodos. Analizaremos posibilidades de almacenamiento más adelante en el curso. La función de producción, graficada en la Figura 1, satisface las siguientes condiciones: dy dl = f (l) > 0 Productividad marginal del trabajo positiva (f es creciente) d 2 y dl 2 = f (l) < 0 Ley de rendimientos decrecientes (f es cóncava) f(0) = 0 Sin trabajo no hay producción 1.1 Avance tecnológico y aumentos de productividad Decimos que hay un avance tecnológico cuando Robinson Crusoe es capaz de producir más bienes ofreciendo la misma cantidad de trabajo. En términos matemáticos, un avance tecnológico es un cambio en la función de producción de f (l) a ˆf (l) tal que ˆf (l) > f (l) para todo l. Qué ocurre con 2

3 Figure 2: Avance tecnológico la productividad marginal del trabajo cuando hay un avance tecnológico? En teoría, puede subir o bajar. Sin embargo, estudios empíricos muestran que un avance tecnológico viene acompañado también con un aumento de la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l. En la Figura 2 mostramos el caso de un avance tecnológico que sube la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l. De hecho, usualmente escribimos y = Af (l) y modelamos incrementos de la productividad con subas en el parámetro A. De este modo, una suba de A también implica una suba en la productividad marginal del trabajo. Para ver esto, notemos que es creciente en A para cada nivel de trabajo l. P ML = dy dl = Af (l) Ejercicio: dibuje una función de producción donde un avance tecnológico esté asociado con una disminución en la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l. Ejemplo: función de producción Cobb-Douglas Supongamos la siguiente función de producción Cobb-Douglas y = Al α (2) donde A > 0 y 0 < α < 1. La productividad marginal del trabajo es Notemos además que podemos escribir dy dl = αalα 1 > 0 para todo l. (3) dy dl = αalα l = α y l. 3

4 Esto muestra que con una función de producción Cobb-Douglas la productividad marginal es proporcional (con factor de proporcionalidadα) a la productividad media y/l. La función de producción Cobb-Douglas es cóncava: d 2 y dl 2 = α (α 1) Alα 2 = α (1 α) Al α 2 < 0 para todo l > 0. La función de producción Cobb-Douglas satisface f (0) = 0, f (0) = A0 α = 0. La función de producción Cobb-Douglas tiene otras dos propiedades interesantes. La primera es que la productividad marginal del trabajo converge a infinito cuando el trabajo converge a cero: lim l 0 αalα 1 = lim = +. l1 α l 0 αa La segunda es que la productividad marginal del trabajo converge a cero cuando el trabajo tiende a infinito: lim l + αalα 1 = lim l + αa = 0. l1 α 2 Preferencias por consumo y ocio/trabajo Robinson Crusoe tiene la siguiente función de utilidad u (c, h) (4) donde c es consumo de bienes y h es consumo de ocio. Supondremos además que Robinson Crusoe tiene una dotación de tiempo T que puede dedicar a trabajar o a consumir ocio l + h = T. (5) Usualmente normalizamos el tiempo disponible a T = 1. Supondremos que consumir bienes y ocio genera utilidad: u (c, h) c = u c (c, h) > 0; u (c, h) h = u h (c, h) > 0 (6) y además supondremos que la función de utilidad es cóncava: 2 u (c, h) c 2 = u cc (c, h) < 0; 2 u (c, h) h 2 = u hh (c, h) < 0 (7) u cc (c, h) u hh (c, h) u ch (c, h) 2 > 0. (8) 4

5 Curvas de indiferencia entre consumo y ocio Las curvas de indiferencias de un consumidor son los pares de consumo y ocio (c, h) que derivan cierto nivel de utilidad: Ū = u (c, h) (9) Podemos pensar a una curva de indiferencia como el gráfico del consumo c como una función del ocio h para el nivel de utilidad Ū. Naturalmente, como la utilidad es mayor cuando aumenta el consumo de bienes o de ocio, el nivel de utilidad es mayor si nos movemos hacia curvas de indiferencias que quedan hacia el nordeste. El panel A de la Figura 3 muestra el mapa de curvas de indiferencia entre consumo y ocio con niveles de utilidad Ū2 > Ū1. Las curvas de indiferencias son decrecientes y convexas. Son decrecientes porque satisfacen el principio de que más es mejor. Esto es, si subo la cantidad de uno de los bienes, voy a tener que bajar la del otro para dejarlo indiferente, de otro modo la utilidad subiría. La convexidad de la curva de indiferencia refleja la ley de las utilidades marginales decrecientes: sobre la curva de indiferencia, la tasa a la cual estoy dispuesto a renunciar al consumo de bienes c para aumentar el consumo de ocio h marginalmente decrece en la medida que el nivel de consumo es menor. Veamos las propiedades anteriores analíticamente. Para ver que la curva de indiferencia es decreciente, pensamos a c como una función de h, c (h), dado un nivel de utilidad Ū. De este modo, la curva de indiferencia (9) satisface Ū = u (c (h), h). Derivando ambos lados de la ecuación con respecto al ocio h y usando la regla de la cadena obtenemos d dhū = d u (c (h), h) dh 0 = u c (c, h) dc dh + u h (c, h). Resolviendo para dc/dh encontramos que, en los puntos (c, h) donde u (c, h) = Ū, se cumple que dc dh = u h (c, h) < 0. (10) u c (c, h) Esto prueba que la curva de indiferencia tiene pendiente negativa. El término u h /u c se denomina la tasa marginal de sustitución entre ocio y consumo y refleja la valuación subjetiva del ocio en términos de unidades de consumo: cuantas unidades de bienes de consumo estoy dispuesto a renunciar para que me den una unidad más de ocio. Probar que las curvas de indiferencia son convexas requiere más trabajo. Dejamos la demostración formal para el Anexo al final de la nota. 5

6 Figure 3: Preferencias sobre consumo-ocio y consumo-trabajo Preferencias sobre consumo y trabajo En el libro de Barro verán que las curvas de indiferencia están graficadas en términos de consumo y trabajo (un mal en el sentido de que trabajar genera desutilidad) en vez de consumo y ocio. Matemáticamente lo que está haciendo Barro es reemplazar la restricción de tiempo (5), h + l = 1, en la función de utilidad en lugar del ocio (normalizamos T = 1), u (c, 1 l), y dibujar las curvas de indiferencia en los ejes (c, l) en lugar de los ejes (c, h). El panel derecho de la Figura 3 muestra las curvas de indiferencia entre consumo y trabajo. Ejercicio: explique intuitivamente por qué las curvas de indiferencias en los ejes (c, l) tienen pendiente positiva, son convexas, y los niveles de utilidad crecen en la medida que nos movemos hacia el noroeste. Ejemplo: función de utilidad Cobb-Douglas Consideremos la siguiente función de utilidad Cobb-Douglas: u (c, h) = c 1 2 h 1 2 Entonces u c = 1 2 c 1 2 h 1 2 > 0, u h = 1 2 c 1 2 h 1 2 > 0, u cc = 1 4 c 3 2 h 1 2 < 0 6

7 u hh = 1 4 c 1 2 h 3 2 < 0 u ch = 1 4 c 1 2 h 1 2 > 0. Estas derivadas satisfacen las condiciones (6), (7) y (8) por lo que las curvas de indiferencia tiene pendiente negativa y son convexas. En este caso incluso podemos encontrar las curvas de indiferencia de manera analítica: Resuelvo para c como función de h : o bien Ū = c 1 2 h 1 2 c 1 2 = Ū h 1 2 c = Ū 2 h. (11) Veamos las propiedades de las curvas de indiferencia. Primero, vemos que son decrecientes dc Ū2 dh = h 2 < 0. Derivamos una vez más para mostrar que son cóncavas, d 2 c 2Ū2 dh 2 = h 3 > 0. En términos de consumo y trabajo, podemos reemplazar h = 1 l en (11) y obtenemos, c = Ū 2 1 l. Veremos que la pendiente es positiva y que es convexa. Derivando con respecto a l, Para ver convexidad, derivamos una vez más: dc dl = Ū 2 (1 l) 2 > 0. d 2 c dl 2 = ( 2) Ū 2 (1 l) 3 ( 1) = 2 (1 l) 3 > 0. 3 Elección de consumo y trabajo Robinson Crusoe maximiza su utilidad eligiendo el consumo, ocio y trabajo sujeto a las restricciones de tecnología y de tiempo El problema general de Robinson Crusoe es el siguiente Ū 2 Problema 1: max u (c, h) c,h,l 7

8 sujeto a c = f (l) l + h = 1. Hay varias formas equivalentes de resolver este problema. Podemos usar la segunda restricción, resolver para el trabajo l y reemplazar el resultado en la primera restricción. De este modo, el problema de Robinson Crusoe se convierte en Problema 2: max u (c, h) c,h sujeto a c = f (1 h). La solución a este problema está graficado en el panel A de la Figura 4. Finalmente, podemos introducir la restricción en la función de utilidad y resolver el siguiente problema simplificado: Problema 3: La condición de primer orden es max u (f (1 h), h). h u c (c, h) f (1 h) ( 1) + u h (c, h) = 0 o bien u h (c, h) u c (c, h) = f (1 h) (12) que nos dice que la tasa marginal de sustitución entre ocio y consumo (MRS) debe ser igual a la productividad marginal del trabajo. Para interpretar intuitivamente esta ecuación, la reescribamos del siguiente modo u h (c, h) = f (1 h) u c (c, h) Supongamos que Robinson Crusoe decide aumentar en el margen su oferta de trabajo. El costo en términos de utilidad de ese aumento marginal del trabajo es u h (c, h). Por otro lado, al trabajar un poco más, Robinson produce f (1 h) más unidades de bienes. El valor marginal en términos de utilidad de consumir un poco más de bienes es u c (c, h). Por lo tanto, el beneficio marginal medido en términos de utilidad de incrementar el trabajo ligeramente es f (1 h) u c (c, h). En el óptimo, el costo marginal de trabajar más, capturado por el término u h (c, h), debe ser igual al beneficio marginal de ese trabajo adicional, capturado por el término f (1 h) u c (c, h). 8

9 Figure 4: Elección óptima entre consumo y ocio/trabajo Elección entre consumo y trabajo También podemos plantear el problema de Robinson Crusoe como en el libro de Barro. En vez de pasar del Problema 1 al Problema 2, ahora usamos la restricción 1 = h + l para resolver por el ocio h y reemplazamos la solución en la función objetivo. De este modo, el problema se reduce a max u (c, 1 l) sujeto a c = f (l). c,l La solución a este problema está graficado en el panel B de la Figura 4. Como en el caso del ocio, podemos reemplazar c en la función objetivo y maximizar La condición de primer orden es max l u (f (l), 1 l). u c (f (l), 1 l) f (l) + u h (f (l), 1 l) ( 1) = 0. Reorganizando términos llegamos a que es la misma condición que (12) pero en términos de trabajo. u h (f (l), 1 l) u c (f (l), 1 l) = f (l) (13) Ejemplo: Consideremos un ejemplo con función de utilidad y función de producción Cobb- Douglas. En particular, supongamos que u (c, h) = c φ h 1 φ y 9

10 donde 0 < φ < 1 y 0 < α < 1. f (l) = Al α, La tasa marginal de sustitución entre ocio y consumo es u h (c, 1 l) u c (c, 1 l) = La productividad marginal del trabajo es Usando la condición (13) encontramos ( 1 φ φ ( 1 φ φ f (l) = αal α 1. ) c 1 l. ) c 1 l = αalα 1. Pero en equilibrio la condicion de factibilidad requiere que c = Al α. Reemplazando en la condición de arriba encontramos o bien Resolvemos o ( ) 1 φ Al α φ 1 l = αalα 1. ( 1 φ φ ) 1 α = 1 l l = 1 l 1 1 l = 1 φ + φα φα l = φα 1 φ + φα. Noten que 0 < l < 1. De la función de producción tenemos ( ) c = y = Al α φα α = A. 1 φ + φα Notar que la elección óptima de trabajo l no depende del nivel de productividad A. 10

11 4 Estática comparativa Consideremos una función de producción de la forma y = Af (l). En esta sección analizaremos el efecto de una suba en la productividad de la economía reflejada en un aumento en el parámetro A de A 0 a A 1 > A 0. Notar que este aumento tecnológico implica una mayor producción para cada nivel de trabajo (y crece para cada l) y un aumento en la productividad marginal del trabajo para cada l. La Figura 5 muestra el impacto sobre el equilibrio del aumento de la productividad. El equilibrio original se encuentra en el punto c 0 y l 0, donde la curva de indiferencia Ū 0 es tangente a la frontera de posibilidades de producción (esto es, la función de producción) representada por A 0 f (l) (línea roja). Después del aumento de la productividad, la nueva función de producción viene dada por A 1 f (l) (línea verde). Como aprendieron en microeconomía, podemos separar el efecto total en la suma de los efectos sustitución y riqueza (o ingreso). Usaremos la versión del efecto sustitución de Hicks, que consiste en desplazar paralelamente la nueva función de producción de tal manera que sea tangente a la curva de indiferencia del equilibrio original. En la Figura 5 este punto de tangencia ocurre donde la curva de indiferencia original Ū0 es tangente en el punto ( c, l) con la curva entrecortada verde, llamada A 1 f (l) K. El término K significa que estamos desplazando la función de producción A 1 f (l) paralelamente hacia abajo en la cantidad K. El efecto sustitución implica un incremento del trabajo y del consumo. La intuición de este resultado es la siguiente: al aumentar la productividad marginal del trabajo para cada l, el costo de oportunidad de consumir una unidad adicional de ocio en términos de bienes de consumo se incrementa. En otras palabras, sube el precio relativo del ocio en término de bienes de consumo. El efecto sustitución implica aumentar el consumo del bién relativamente más barato (el bien de consumo c) y bajar el consumo del bien relativamente más caro (el ocio o, lo que es lo mismo, aumentar el trabajo). Abajo discutiremos como encontrar matemáticamente el punto ( c, l). El efecto riqueza se obtiene considerando el cambio desde el punto ( c, l) hacia el punto de elección óptima bajo la nueva función de producción, representada por el par de consumo y trabajo c 1 y l 1. Como el consumo y el ocio son ambos bienes normales, el efecto riqueza puro implica que tanto el consumo como el ocio deben aumentar, por lo que el trabajo debe caer. La caída del trabajo está reflejada en la diferencia entre l y l1. De este modo, si bien el consumo de bienes sube necesariamente (ya que los efectos sustitución y riqueza se refuerzan) el trabajo puede subir o bajar, dependiendo cual efecto es mayor: si el impacto expansivo del efecto sustitución o el impacto contractivo del efecto riqueza. La Figura 5 muestra un caso donde el efecto riqueza es más fuerte que el efecto sustitución, generando una caída en el trabajo luego del aumento de la productividad. En resumen: Efecto sustitución: sube el consumo y sube el trabajo (cae el ocio) Efecto riqueza: sube el consumo y cae el trabajo (sube el ocio) 11

12 Figure 5: Efecto de un aumento en la productividad Efecto total: sube el consumo y el trabajo puede subir o bajar dependiendo de cual efecto domina En el libro de Barro se observa que, en Estados Unidos, desde el período de posguerra hasta 1997 las horas trabajadas son estables. Antes del período de posguerra se observó una caída grande en las horas trabajadas. Como podemos racionalizar estas observaciones usando el modelo? Interpretamos el desarrollo económico como una suba continua de la productividad Para niveles bajos de productividad: efecto riqueza le gana al efecto sustitución generando una disminución de las horas trabajadas y un aumento del ocio Para niveles mayores de riqueza, los efectos sustitución y riqueza se cancelan y las horas trabajadas no cambian cuando sube la productividad. Para finalizar esta nota, discutiremos cómo podemos encontrar analíticamente el punto asociado con el efecto sustitución ( c, l). Este punto tiene que ser tal que: 1. el nivel de utilidad es Ū0, por lo que Ū 0 = u( c, l), (14) 12

13 2. en el punto ( c, l), la curva de indiferencia es tangente a la función de producción Af(l): u h ( c, 1 l) u c ( c, 1 l) = A 1f ( l) (15) Las ecuaciones (14) y (15) forman un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. La solución de este sistema es el par de consumo y trabajo c y l. Una vez que tenemos esos valores, podemos encontrar la constante K notando que c = A 1 f( l) K. Anexo: convexidad de las curvas de indiferencia. Esta sección de las notas no será evaluada. La incluyo para aquellos interesados en la prueba formal de la convexidad de las curvas de indiferencia. Bajo los supuestos de que la función de utilidad es creciente en consumo y ocio, y cóncava, podemos probar la convexidad de las curvas de indiferencia como sigue. Escribamos la condición (10) haciendo explícito que, sobre la curva de indiferencia, c es una función de h : dc dh = u h (c (h), h) u c (c (h), h). Derivando ambos lados de esta expresión con respecto a h (usando regla de la cadena y la derivada de una razón de funciones) tenemos: Reemplazando dc dh Por lo que [ d 2 dc c dh 2 = uhc dh + u ] [ dc hh uc u h ucc dh + u ] ch [u c ] 2 por la expresión (10) encontramos d 2 c dh 2 = Notemos que si u hc > 0, el término ( ) ] [ ) ] [u hc u h u c + u hh u c u h u cc ( u h u c + u ch u u h hc u c u c + u hh u c = [u c ] 2 ] (u [ u h ) 2 cc u c + u h u ch [u c ] 2 = u cu hc u h u hh (u c ) 2 u cc u 2 h + u cu h u ch [u c ] 3. d 2 c dh 2 = [ uhh u 2 c + u cc u 2 h 2u ] cu hc u h [u c ] 3. (16) u hh u 2 c + u cc u 2 h 2u hu c u hc < 0 por lo que d 2 c dh 2 > 0. 13

14 Este es el caso relevante desde el punto de vista económico: si subo mucho el consumo de bienes es esperable que también suba la utilidad marginal de consumir un poco más de ocio. Sin embargo también podemos probar que si u hc < 0, la condición de concavidad (8) va a implicar que la curva de indiferencia es convexa. Para finalizar la prueba, el supuesto de que la función de utilidad es cóncava (esto es, se cumple la condición (8)) implica (u ch ) 2 < u cc u hh. De modo que si u hc < 0 tenemos 1 0 < u ch < u ccu hh. Por lo tanto, el término del numerador de la ecuación (16) (sin el signo negativo) satisface u hh (u c ) 2 + u cc (u h ) 2 + 2u h u c ( u hc ) < u hh (u c ) 2 + u cc (u h ) 2 + 2u h u c ucc u hh = ( u hh u c u cc u h ) 2 < 0. Esta desigualdad junto con (16) implican d 2 c dh 2 > 0 independientemente del signo de u ch. Por lo tanto, la curva de indiferencia es convexa. 1 Esto sale de resolver la desigualdad x 2 M : M x M. 14