M o n o g r a f í a USO DE PLANILLA DE CALCULO (EXCEL) EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS

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1 Cátedra Diseño y Evaluación de Proyectos Agrodindustriales M o n o g r a f í a 5 USO DE PLANILLA DE CALCULO (EXCEL) EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS FUNCIONES FINANCIERAS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE AMORTIZACION DE PRESTAMOS Autores:. Dr. Abelardo Mario Ferrán Lic. Sebastián Lastiri Lic. Pablo Marek

2 Creado: Diciembre 2008 Versión actual: Marzo 2014 Cátedra de Diseño y Evaluación de Proyectos Agroindustriales Facultad de Agronomía Universidad Nacional de La Pampa Monografía realizada en el marco del plan de actividades de la carrera docente. INDICE 1. Introducción La ventana visible de la hoja de cálculo Barra de menús Barra de herramientas Barra de estado Cuadro de nombres Barra de fórmulas Aspectos operativos Desplazarse y moverse por la hoja de cálculo Introducción de formulas Formulas - Referencias absolutas y referencias relativas Usar funciones para calcular valores Introducir una fórmula que contenga una función Asistente para funciones Funciones financieras Factores financieros Diagrama de flujo de efectivo Funciones financieras en Excel Principales argumentos Funciones financieras más utilizadas. Factores de capitalización y actualización a interés compuesto Valor futuro de una suma presente. Factor de monto compuesto con pago simple o factor de capitalización Valor actual de una suma presente con pago simple. Factor de actualización Fórmulas de interés compuesto, relacionadas con series uniformes de pagos. Rentas o anualidades Factor de valor presente con serie de pagos iguales Factor de recuperación del capital con serie de pagos iguales Otras funciones financieras de Excel Tasa Numero de períodos Pago de intereses Pago principal Sistemas de amortización de préstamos

3 1.a. Con pago único de intereses al vencimiento del capital b. Con reembolso único y pago periódico de intereses a Sistema progresivo o francés b Sistema alemán o de cuota de capital constante c Sistema americano o de dos tasas BIBLIOGRAFÍA

4 1. Introducción Las técnicas para la realización de estudios de viabilidad se basan en la Teoría General de Sistemas, con desarrollo de modelos matemáticos. Estos se caracterizan no tanto por su complejidad, sino porque implica la realización de numerosas operaciones aritméticas. Además se hace más laboriosa la actividad de realizar cálculos, debido a que la evaluación de proyectos, es un proceso interactivo en el que van ocurriendo cambios a medida que se avanza en el estudio, a veces exigiendo la modificación de los valores de las variables, con las consecuencias de recalcular nuevamente todo o parte del modelo. Pero la amplia disponibilidad actual de tecnología informática facilita el trabajo; las planillas de cálculos de gran ductilidad para la confección de modelos matemáticos, cuentan con la ventaja de que se encuentra disponibles en todos los paquetes de software para oficina. La hoja de cálculo Excel de Microsoft es una aplicación integrada en el entorno Windows cuya finalidad es la realización de cálculos sobre datos introducidos en la misma, así como la representación de estos valores de forma gráfica. A estas capacidades se suma la posibilidad de utilizarla como base de datos. Excel trabaja con hojas de cálculo que están integradas en libros de trabajo. Un libro de trabajo es un conjunto de hojas de cálculo y otros elementos como gráficos, hojas de macros, etc. Cada una de las hojas de cálculo Excel es una cuadrícula rectangular que tiene filas y 256 columnas. Las filas están numeradas desde el uno y las columnas están rotuladas de izquierda a derecha de la A a la Z, y con combinaciones de letras a continuación. La ventana muestra sólo una parte de la hoja de cálculo. La unidad básica de la hoja de cálculo es una celda. Las celdas se identifican con su encabezamiento de columna y su número de fila. La hoja de cálculo se completa introduciendo texto, números y fórmulas en las celdas. Con Excel pueden hacerse distintos tipos de trabajos: Hojas de Cálculo, Bases de Datos y Gráficos, también Macros (un documento similar a una hoja de cálculo que contiene grupos de instrucciones para realizar tareas específicas). 2. La ventana visible de la hoja de cálculo La pantalla fundamental o ventana visible, muestra además de la hoja de cálculo descrita los siguientes elementos: 2.1. Barra de menús Se encuentran los menús que son desplegables que contienen listas de ordenes. Para seleccionar una se pulsa el nombre del menú que se abrirá y luego se pulsa la orden que se desee Barra de herramientas Proporcionan atajos para los comandos más comunes. Hay muchas barras de herramientas distintas, cada una de las cuales contienen varias herramientas individuales. 4

5 2.3. Barra de estado En ella se indican mensajes útiles según la acción que se está realizando en cada momento. Barra de Menús Figura 1 : pantalla fundamental Barra de herramientas Hoja Barra de estado 2.4. Cuadro de nombres Cuadro situado en el extremo izquierdo de la barra de fórmulas que identifica la celda seleccionada, el elemento de gráfico o el objeto de dibujo Barra de fórmulas Barra situada en la parte superior de la ventana que muestra el valor constante o fórmula utilizada en la celda activa. Para escribir o modificar valores o fórmulas, seleccione una celda o un gráfico, escriba los datos y, a continuación, presione ENTRAR. También puede hacer doble clic en una celda para modificar directamente los datos en ella. 5

6 3. Aspectos operativos 3.1. Desplazarse y moverse por la hoja de cálculo Para desplazarse por las celdas de una hoja de cálculo, haga clic en cualquier celda y la convertirá en la celda activa. Para ver en pantalla un área distinta de la hoja, utilice las barras de desplazamiento Introducción de formulas Los cálculos que se realizan en una hoja de cálculo se llevan a cabo mediante fórmulas. Para introducir una fórmula en una celda de Excel hay que empezar por un signo igual (=). Si en la fórmula se introducen referencias a celdas en lugar de valores en número se podrán ver actualizados los cálculos automáticamente cuando se modifique un dato en esa referencia Formulas - Referencias absolutas y referencias relativas Cuando en Excel introduce una fórmula que hace referencia a otra u otras celdas hay varias formas de hacerlo según el uso que vaya a hacer posteriormente de ella. Una referencia relativa indica la posición relativa de una celda con respecto a la que contiene la fórmula y cuando se copia en otra posición modifica y actualiza las posiciones. Son referencias posicionales. Una referencia absoluta es una introducción explícita y única de otra celda en un cálculo. Para trabajar con referencias absolutas se debe especificar escribiendo el signo $ delante de la letra de la columna y del número de fila. Por ejemplo $A$3 se refiere exclusivamente a la celda A3 y, al aplicar llenados -hacia abajo o hacia la derecha- u operaciones de copiar y pegar las referencias que tengan el signo $ delante no serán actualizadas. Para calcular los % respecto al total, debe hacerse referencia absoluta a la celda donde esta el total y fijarla de forma que al copiarla y llenar hacia abajo no se desplace la referencia y se llegue siempre a ese valor. También puede incluir referencias mixtas. Son referencias mixtas $C4 o C$4. En el primer caso la columna es absoluta y la fila relativa, y en el segundo caso la columna es relativa y la fila absoluta. 4. Usar funciones para calcular valores Las funciones son fórmulas que resuelven problemas generales y vienen incorporadas en el programa Excel; su característica principal es que de una manera rápida y sencilla ejecutan cálculos complejos. Las funciones dejan el resultado que calculan en la celda donde han sido escritas. Todas las funciones del Excel constan de tres partes: 6

7 1. El signo igual (=) que precede toda función para indicar que es una fórmula (cuando la función está empleada como argumento, es decir que está anidada dentro de otra función, no requiere el signo igual), 2. El nombre de la función, que tiene una ortografía definida y por lo tanto siempre debe escribirse de la misma manera, 3. Los argumentos pueden ser números, texto, valores lógicos como VERDADERO o FALSO, matrices, valores de error como #N/A o referencias de celda, pueden ser también constantes, fórmulas u otras funciones. Los argumentos tienen una sintaxis definida y por lo tanto siempre se deben escribir en el mismo orden. Estos van entre paréntesis separados por comas (o punto y coma, dependiendo de la configuración) y hacen referencia a los datos, celdas o rangos sobre los cuales operará la función. El siguiente es el formato general de una función: = NombreFunción(argumento_1,argumento_2,...,argumento_n) Por ejemplo, la función SUMA. 5. Introducir una fórmula que contenga una función 1. Haga clic en la celda en que desee introducir la fórmula. 2. Para iniciar la fórmula con la función, haga clic en Modificar fórmula en la barra de fórmulas. 3. Haga clic en la flecha hacia abajo que aparece junto al cuadro Funciones. 4. Haga clic en la función que desee agregar a la fórmula. Si la función no aparece en la lista, haga clic en Más funciones para obtener una lista de las funciones adicionales. 5. Introduzca los argumentos. 6. Una vez completa la fórmula, presione ENTRAR. 6. Asistente para funciones Excel, para introducir una función, cuenta además con el Asistente para Funciones, para lo cual basta con seleccionar la opción Función del menú Insertar en el menú de 7

8 texto u oprimir el icono del Asistente para Funciones de la barra de herramientas estándar. Cualquiera de los dos sistemas que se utilice deja a disposición del usuario el Asistente para Funciones, que es una ventana con tres áreas: una para la categoría de funciones dentro de la cual se encuentra la categoría financieras; otra para seleccionar la función deseada; debajo de ellas se encuentra el área de ayuda donde se aprecian los argumentos de cada función y un corto resumen de los resultados que se obtienen con ella; por último el área de botones, en la cual una vez seleccionada la función a ejecutar se oprime el botón Aceptar y se despliega el segundo paso del Asistente. Paso uno del Asistente para Funciones: Paso dos del Asistente para Funciones 8

9 7. Funciones financieras Una operación financiera es aquella en la que ocurre un intercambio no simultáneo de capitales. Se produce una variación cuantitativa del capital como consecuencia del transcurso del tiempo y la tasa de interés. El interés es la compensación a pagar o recibir por el uso u otorgamiento de dinero. Las razones para la compensación son múltiples; siendo las más importantes las siguientes: 1. El dueño del dinero pierde la oportunidad de hacer otras transacciones o inversiones atractivas desde el punto de vista económico, de obtener un beneficio o renta. 2. Está sujeto al riesgo de perder sus recursos. La incertidumbre del futuro implica que las previsiones puedan llegar a no cumplirse. 3. Disminuyen los bienes que tiene a mano. Por su naturaleza el hombre tiende a asignar mayor valor al goce actual que al futuro, consumir hoy y no dentro de unos años. 4. Esta sujeto a procesos de devaluación, inflación, etc.. (Pérdida del valor del dinero). Estas razones nos permiten reconocer el valor del dinero en el tiempo, concepto fundamental en la evaluación de proyectos. La tasa de interés expresa el cambio en el valor del dinero conforme se mueve hacia adelante o atrás en el tiempo. Las inversiones producen flujos monetarios en diferentes momentos, generalmente ocurre un desembolso inicial, y momentos posteriores de ingresos y egresos. La comparación de estos flujos solo es posible si se analizan sobre una base equivalente. Se dice que dos situaciones son equivalentes cuando tienen el mismo efecto, el mismo peso o el mismo valor. La forma de hacer equivalentes los flujos monetarios es mediante la utilización de los factores financieros. 7.1 Factores financieros Considerando una operación financiera a interés compuesto: F = P (1+i) n ; F expresa el valor que asume el capital al final del período n, P es el capital o la suma de dinero al momento presente, la operación financiera se denomina capitalización y el factor (1+i) n se denomina factor de capitalización. Si el valor conocido es F P = F ( 1+ i) n La formula anterior representa la operación financiera de actualización, el valor calculado es el valor actual del capital (P) y 1 / (1+i) n se conoce como factor de actualización. Se dice que un pago futuro o una serie de pagos futuros es equivalente a un pago actual, si ese pago cubre exactamente el capital actual y los intereses implicados por el uso del dinero durante el tiempo en que se difiere el pago. 9

10 Los factores financieros permiten comparar en un determinado momento diversas sumas de dinero colocadas a igual tasa de interés originalmente consideradas en distinto tiempo. Los ingresos y egresos de un proyecto ocurren en forma permanente a través del tiempo, pero debido a la complejidad de representar esa realidad, se trabaja con modelos en que la vida del proyecto se divide en períodos que pueden ser meses, años, etc. Esta simplificación implica la necesidad de asignar estos ingresos y egresos al momento inicial o final de cada período. En la evaluación de proyectos se utilizan una serie de factores o funciones financieras derivadas de la formula de capitalización. Las fórmulas del cuadro 1 permiten calcular las cuotas de los préstamos, realizar la comparación de alternativas de inversión y otros cálculos financieros. Para su uso se deben tener en cuenta los siguientes conceptos y supuestos: 1. Momento es un instante en el tiempo. 2. Período es un lapso de tiempo que transcurre entre dos momentos. 3. El fin de un período es a su vez el comienzo del período próximo. 4. El valor inicial o P se produce al comienzo de un período, en un tiempo considerado presente, denominado momento El valor final o F ocurre al final del enésimo período a partir de un tiempo considerado presente (siendo n el número total de períodos). 6. Definimos anualidad o A como un pago simple dentro de una serie de pagos iguales realizados al final de cada período en consideración. Representa el flujo de efectivo al final de cada período. Cuando P y A intervienen, el primer A de la serie se produce un período después de P. Cuando F y A intervienen, el último A de la serie ocurre al mismo tiempo que F. 7. i es la tasa de interés efectiva por período. 8. n el número de períodos de la operación financiera. Diagrama 1: Esquema de momentos y períodos de la vida de una operación financiera Momento 0 Momento 1 Momento 2 Momento n Primer período Segundo período 10

11 Cuadro 1: Relaciones de equivalencia de algunas ecuaciones financieras - Factor de monto compuesto con pago simple Capitalización Dado P, encontrar F F = P (1 + i) n - Factor de valor presente con pago simple - Actualización Dado F, encontrar P P = F (1 + i) -n - Factor de valor presente con serie de pagos iguales Dado A, Encontrar P - Factor de recuperación de capital con serie de pagos iguales Dado P, encontrar A Existen otras ecuaciones financieras, pero no tienen gran aplicación en proyectos de inversión. Las derivaciones matemáticas de las fórmulas más complejas de equivalencia financiera se pueden encontrar en los textos citados en la bibliografía, en el presente trabajo se explicara el uso de las mismas utilizando la planilla de calculo. 7.1 Diagrama de flujo de efectivo El diagrama de flujo de efectivo muestra el flujo del dinero recibido y los desembolsos en el tiempo. Es una herramienta gráfica que ayuda a comprender las operaciones financieras. El mismo puede construirse de acuerdo a las siguientes instrucciones: a. El tiempo se representa en el eje horizontal, de derecha a izquierda, en períodos uniformes (meses, trimestres, años, etc.) b. El dinero recibido y los desembolsos se representan por las flechas verticales (momentos) sobre el eje del tiempo para el dinero recibido (ingresos) y hacia abajo en desembolsos de dinero (egresos) Entradas de dinero (+) Salidas de dinero (-) FLUJO DE TIEMPO 11

12 8. Funciones financieras en Excel Principales argumentos. Los principales argumentos que utilizan las funciones financieras de Excel son los siguientes: ARGUMENTO Va Pago Nper Tasa Vf Tipo Período Estimar SIGNIFICADO Y OBSERVACIONES P en los términos financieros. Es el valor actual de una serie de pagos futuros iguales. Si este argumento se omite, se considerará 0. A en los términos financieros. Es el pago que se efectúa en cada período y que no cambia durante la vida de la anualidad. El Pago incluye el capital y el interés pero no incluye ningún otro cargo o impuesto. Este argumento debe tener signo contrario al de Va, para conservar las condiciones del flujo de caja: los ingresos se presentan con signo positivo y los egresos con signo negativo. n en los términos financieros. Es la cantidad total de períodos en una anualidad, es decir el plazo total del negocio. i en los términos financieros. Es la tasa de interés por período. Tener en cuenta que no es la tasa anual, si no la tasa nominal del período de pago expresada en términos decimales. Es importante mantener la uniformidad en el uso de las unidades con las que se especifica Tasa y Nper. F en los términos financieros. Es el valor futuro o el saldo en efectivo que desea lograr después de efectuar el último pago. Si el argumento Vf se omite, se asume que el valor es 0. Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencido y anticipado Defina tipo como Si el pago vence 0 ó se omite Al final del período 1 Al principio del período Especifica el número ordinal de la cuota que se está estudiando, que debe encontrarse en el intervalo comprendido entre 1 y Nper. Es una tasa de interés estimada para que Excel empiece las iteraciones en el cálculo de la tasa de interés de una serie uniforme. Si el argumento Estimar se omite, se supone que es 10%. 12

13 8.2. Funciones financieras más utilizadas. Factores de capitalización y actualización a interés compuesto Valor futuro de una suma presente. Factor de monto compuesto con pago simple o factor de capitalización Dado P, encontrar F F = P (1 + i) n Permite obtener el valor futuro de un una suma única de dinero presente. En planilla de cálculo podemos utilizar la fórmula o la función VF(tasa, nper, pago, va, tipo). Ejemplo 1: Se desea determinar el valor futuro de una inversión de $ al cabo de dos años si la TNA es del 14%, capitalizable mensualmente. Por formula: (1+0,14/12) 24 = ,71 Si se utiliza la formula de Valor futuro de la planilla de cálculo, se completan solamente los argumentos Va, Nper y Tasa. En este caso se ha calculado la tasa efectiva de la operación previamente; la tasa efectiva mensual, TEM: 0,14/12=0, Si se desea que las cifras en la hoja de cálculo sean positivas, el argumento Va debe introducirse con signo negativo, como se aprecia en el asistente para funciones (-B4). 13

14 En el diagrama de flujo de efectivo siguiente se representa la operación financiera realizada. F? = , P = $ Valor actual de una suma presente con pago simple. Factor de actualización Dado F, encontrar P P = F (1 + i) -n Devuelve el valor actual de un valor único en el futuro, a una tasa de interés constante. Se utiliza la siguiente función de Excel: VA(tasa, nper, pago, vf, tipo) Ejemplo: Un señor desea acumular en tres años $ , si el banco paga 15% efectivo anual capitalizable en forma semestral en los depósitos de ese monto. Cuanto debe depositar en la cuenta? Primero se debe calcular la tasa equivalente: (1+0,15) 1/2-1=0, Esta es la tasa efectiva semestral. Luego se calcula el valor actual: (1+0,07238) -6 = ,45 En el diagrama de flujo siguiente se observa la operación financiera donde la incógnita es el valor actual. F = P? = $ ,45 14

15 Recuérdese que cuando se plantea una tasa efectiva que capitaliza en períodos inferiores al enunciado, debe calcularse la tasa equivalente y no la proporcional Fórmulas de interés compuesto, relacionadas con series uniformes de pagos. Rentas o anualidades1 Se define a rentas o anualidades como a un conjunto de capitales con diferimientos periódicos, o sea que cada capital se recibe en un período distinto aunque los períodos deben ser constantes 2. Una sucesión de pagos que se producen con intervalos equidistantes en el tiempo 3. Existen numerosas variantes de rentas en la vida real entre las que podemos citar las cuotas que se abonan por los préstamos que otorgan las entidades financieras, los depósitos que se realizan en los fondos de pensión y jubilación, el flujo de fondos de un proyecto de inversión, las cuotas que se abonan en un contrato de lessing, y en muchos otros casos donde exista una corriente de pagos. Como es un capitulo amplio, aquí solamente se explicarán algunos tipos de rentas relacionadas con la evaluación de proyectos. Existen rentas o anualidades vencidas, adelantadas o diferidas; para el uso en proyectos vamos a tratar solamente las anualidades vencidas. 1 Si bien es muy usado el termino anualidades como sinónimo de rentas, las corrientes de pagos pueden ser, diarias, mensuales, trimestrales, etc. 2 Pol Santadreu. Matemática Financiera 3 López Dumrauf, Guillermo 15

16 Factor de valor presente con serie de pagos iguales Permite conocer el valor actual de una serie de pagos iguales vencidos. Dado A, Encontrar P Ejemplo: Un banco ha pactado con un productor un préstamo en 10 cuotas semestrales iguales vencidas de $ ,891 a una TNA del 15 %. Cuanto le ha prestado el banco? 10 ( 1+ 0,075) 1 Por formula: P = ,891 = ,75 ( 1+ 0,075) En el siguiente diagrama de flujo del inversionista se aprecia el cálculo financiero de actualización de una serie uniforme de cuotas vencidas, para el banco el sentido de las flechas es inverso. Se utiliza la siguiente función de Excel: VA(tasa, nper, pago, vf, tipo) 16

17 Factor de recuperación del capital con serie de pagos iguales. Devuelve el pago periódico de una anualidad basándose en pagos constantes y en una tasa de interés constante. Dado P, encontrar A Ejemplo, si se solicita un crédito de $ para ser cancelado en 36 cuotas bimestrales iguales (seis años), a una tasa nominal anual del 17 % bimestre vencido, el valor de cada cuota se puede calcular: 0,02833 ( 1+ 0,02833) : ( 1+ 0,0,2833) 1 A = 1.116,797 El diagrama de flujo muestra en forma grafica el procedimiento anterior. 17

18 En Excel se utiliza la siguiente función: PAGO(tasa, nper, va, vf, tipo) Se omite VF. La respuesta que arroja esta función es equivalente a VA y a VF, dadas las condiciones que se plantean en los períodos, la tasa y la cuota 8.4. Otras funciones financieras de Excel Tasa Devuelve la tasa de interés por período de pago de una anualidad; esta tasa es la que hace equivalente el pago constante con el valor presente o con el valor futuro. TASA(nper, pago, va, vf, tipo, estimar) Por ser la tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva, si se desea convertir a tasa anual debe tenerse cuidado con la fórmula que se 18

19 emplee, según se quiera calcular la tasa nominal o efectiva anual. Tasa se calcula por iteración y puede no tener solución. Si los resultados de las iteraciones de la función tasa no convergen en 0, después de 20 iteraciones, como resultado se devuelve el valor de error # NUM!. El argumento estimar es opcional y en caso de omitirse las iteraciones inician en 10%. Tomando el ejemplo utilizado para explicar la función pago, conociendo este valor (el de la cuota bimestral), calculamos el interés. Para ello se debe introducir el valor de la cuota con signo negativo (o de valor contrario al VA). En este caso nos da una tasa de 0, que multiplicada por 6 bimestres, da una tasa nominal anual del 17 % Numero de períodos Devuelve la cantidad de períodos que debe tenerse una inversión para que sea equivalente a una serie de pagos periódicos iguales. NPER(tasa, pago, va, vf, tipo) La unidad de tiempo en la que se expresa la respuesta de la función Nper es la misma que se emplee para la tasa de interés. 19

20 Pago de intereses Devuelve el monto del interés pagado por una inversión o un crédito en un período determinado, basándose en pagos periódicos constantes y en una tasa de interés constante. PAGOINT(tasa, período, nper, va, vf, tipo) A los argumentos tradicionales de las funciones de series se agrega el argumento período que representa el número ordinal de la cuota que se está analizando. En las series uniformes el valor futuro y el valor presente son equivalentes a una serie de pagos periódicos iguales que se realizan durante un tiempo determinado y que estos pagos incluyen dos componentes: a. el interés sobre el saldo de la inversión o del crédito b. el abono a capital de la inversión o del crédito El primer componente se calcula con la función Pagoint (pago de interés) y el segundo componente con la función Pagoprin (pago del principal o capital) Pago principal Devuelve el monto abonado al capital de una inversión o de un crédito en un período determinado, considerando pagos periódicos constantes y en una tasa de interés constante. PAGOPRIN(tasa, período, nper, va, vf, tipo) 9. Sistemas de amortización de préstamos Un préstamo es una operación, regulada mediante un contrato, en la que un prestamista entrega un capital acordado a un prestatario y en la cual este se compromete a devolver la cantidad de capital prestada en un vencimiento o una serie de vencimientos pactados y a pagar el costo por el uso del dinero, denominado intereses, costo del capital o carga financiera (además de comisiones y otros gastos) correspondiente a dicha operación. La amortización de un préstamo, es el procedimiento que permite extinguir una deuda y supone el pago del capital y los intereses producidos por éste. Existen distintas formas de amortización; en este apéndice se explicaran las amortizaciones financieras a interés compuesto, con cuotas constantes y vencidas. Estas se clasifican: 1. Con reembolso único. a. Con único pago de intereses al vencimiento del capital b. Con pago periódico de intereses. 2. Con reembolso mediante rentas o series uniformes. a. Sistema francés b. Sistema alemán c. Sistema americano 20

21 Datos a tomar en cuenta: P o Va: Monto del crédito. Tasa o i : Tasa de interés. Cuando la amortización no sea anual se debe calcular la tasa proporcional para el período de amortización. Plazo, Nper o n : Es la cantidad total de períodos de la operación financiera. Período de amortización: mensual, trimestral, etc. Período de gracia: plazo sobre el que no se amortiza capital, aunque normalmente se devengan intereses. 1.a. Con pago único de intereses al vencimiento del capital El cálculo del pago se realiza mediante la capitalización por interés compuesto: F = P (1 + I) n 1.b. Con reembolso único y pago periódico de intereses. El cálculo del pago se realiza en forma directa: 2.a Sistema progresivo o francés F = P + P i Se basa en el pago de cuotas constantes a períodos regulares de tiempo. Las cuotas están compuestas por una parte destinada a amortizar capital y una a pagar intereses. Se denomina progresivo por que a medida que se avanza en los periodos la parte de la cuota destinada a pagar capital va creciendo y la destinada a intereses decreciendo. Los intereses decrecen por que se calculan sobre saldos deudores. El valor de la cuota se halla calculando la anualidad o pago conociendo el valor inicial P: Ejemplo: Un préstamo de $ pagadero en 8 cuotas con un período de gracia y un interés del 3 %. Método: 1. se calcula el valor del pago o A 2. Para el período de gracia se calculan solamente intereses. 3. A la cuota del primer período de amortización se le descuentan los intereses calculados sobre el capital al comienzo del período; la diferencia corresponde a la cuota de amortización del capital que se descuenta del saldo, cuyo resultado pasa a formar el capital del período siguiente. 21

22 MONTO 1000 TASA 0,03 PERIODOS DE AMORTIZACIÓN 8 PERIODOS DE GRACIA 1 PERIODO CAPITAL CUOTA INTERES AMORTIZACIÓN SALDO 0 $ 1.000,00 1 $ 1.000,00 $ -30,00 $ -30,00 $ 1.000,00 2 $ 1.000,00 $ -142,46 $ -30,00 $ -112,46 $ 887,54 3 $ 887,54 $ -142,46 $ -26,63 $ -115,83 $ 771,71 4 $ 771,71 $ -142,46 $ -23,15 $ -119,30 $ 652,41 5 $ 652,41 $ -142,46 $ -19,57 $ -122,88 $ 529,52 6 $ 529,52 $ -142,46 $ -15,89 $ -126,57 $ 402,95 7 $ 402,95 $ -142,46 $ -12,09 $ -130,37 $ 272,59 8 $ 272,59 $ -142,46 $ -8,18 $ -134,28 $ 138,31 9 $ 138,31 $ -142,46 $ -4,15 $ -138,31 $ -0,00 Total de intereses pagados $ -169,65 Total cuotas $ ,65 2.b Sistema alemán o de cuota de capital constante Las cuotas están compuestas también por una parte destinada a amortizar capital y una a pagar intereses. En este caso la cuota capital es constante y la de intereses es decreciente, dando como resultado una cuota total decreciente. La cuota capital surge de dividir la deuda por el número de periodos de amortización del capital: P/n. Los intereses se calculan sobre saldos deudores. Ejemplo: ídem anterior. MONTO 1000 TASA 0,03 PERIODOS DE AMORTIZACIÓN 8 PERIODOS DE GRACIA 1 PERIODO CAPITAL CUOTA INTERES AMORTIZACIÓN SALDO 0 $ 1.000,00 1 $ 1.000,00 $ 30,00 $ 30,00 $ 1.000,00 2 $ 1.000,00 $ 155,00 $ 30,00 $ 125,00 $ 875,00 3 $ 875,00 $ 151,25 $ 26,25 $ 125,00 $ 750,00 4 $ 750,00 $ 147,50 $ 22,50 $ 125,00 $ 625,00 5 $ 625,00 $ 143,75 $ 18,75 $ 125,00 $ 500,00 6 $ 500,00 $ 140,00 $ 15,00 $ 125,00 $ 375,00 7 $ 375,00 $ 136,25 $ 11,25 $ 125,00 $ 250,00 8 $ 250,00 $ 132,50 $ 7,50 $ 125,00 $ 125,00 9 $ 125,00 $ 128,75 $ 3,75 $ 125,00 $ 0,00 Total de intereses pagados $ 165,00 Total cuotas $ 1.165,00 22

23 2.c Sistema americano o de dos tasas Este sistema consiste en pagos periódicos que cubren solamente los intereses. El total de la deuda se abona al vencimiento del plazo estipulado con un solo pago. Con el fin de evitar el problema de disponer de una sola vez del monto de la deuda se pueden efectuar depósitos para constituir un capital que sea igual a deuda a abonar. Generalmente los intereses de la cuota del capital depositado difiere de la tasa del crédito. Ejemplo: un préstamo de $ a pagar en 10 anualidades con un interés del 12 % anual y 7 % para fondo de capital. VA 1.000,00 i 0,12 i` 0,07 Nper 10 Pago $ -72,38 Años Cuota de Interés Capital Capital Pago Anualidad Amortización del fondo Pendiente de intereses a pagar ,00 1 $ 72,38 $ 72,38 927,62 120,00 192,38 2 $ 72,38 $ 5,07 $ 149,82 850,18 120,00 192,38 3 $ 72,38 $ 10,49 $ 232,69 767,31 120,00 192,38 4 $ 72,38 $ 16,29 $ 321,35 678,65 120,00 192,38 5 $ 72,38 $ 22,49 $ 416,22 583,78 120,00 192,38 6 $ 72,38 $ 29,14 $ 517,74 482,26 120,00 192,38 7 $ 72,38 $ 36,24 $ 626,36 373,64 120,00 192,38 8 $ 72,38 $ 43,84 $ 742,58 257,42 120,00 192,38 9 $ 72,38 $ 51,98 $ 866,94 133,06 120,00 192,38 10 $ 72,38 $ 60,69 $ 1.000,00 0,00 120,00 192,38 Método: 1. Se calcula el valor del pago o A a partir del valor final. Debe recordarse que se debe calcular cuando se debe depositar periódicamente para llegar al final de la operación financiera con el monto total del capital prestado. Esta función, devuelve el valor futuro de una inversión, equivalente a pagos constantes que se hacen periódicamente y a una tasa de interés constante. Se utiliza la función de Excel VF(tasa, nper, pago, va, tipo). 2. El capital se constituye con el acumulado las cuotas de amortización mas los intereses generados. En el período 10 se acumulo el capital a devolver. 3. Se calcula el interés del fondo sobre el capital aplicado la tasa del 7 %. 4. Se calcula el pago de intereses sobre el monto prestado. 5. La anualidad a pagar se calcula como la suma de los intereses y la cuota de amortización. 23

24 o Cuando la tasa de interés del fondo de capital iguala a la tasa de interés del crédito, el sistema americano es en sus resultados igual al francés. o Cuando la tasa de interés del fondo de capital es menor a la tasa de interés del crédito, resultará conveniente el sistema francés. o Cuando la tasa de interés del fondo de capital es mayor a la tasa de interés del crédito, resultará conveniente el sistema americano. BIBLIOGRAFÍA Botteon, C; Ferrá, C.. (2006) Elementos de matemática financiera para la evaluación de proyectos. Serie Estudio 47. Facultad de Ciencias Económicas. Universidad Nacional de Cuyo. Argentina. Canada, J.; Sullivan, W.; White, J.. (1997). Análisis de la inversión de capital para ingeniería y administración. 2º Ed.. Prentice-Hall Hispanoamericana S.A.. México Catapult Inc. (1995). Microsoft Excel 5 para Windows, paso a paso. Editorial McGraw Hill. España. López Dumrauf, G.. (2006) Cálculo Financiero Aplicado. 2 edición. La Ley. Argentina. Santandreu, P.. (1998). Matemática Financiera. Gestión España 24

25 Apéndice I - Repaso de Matemáticas Financieras en Planilla de cálculo. 1. Se invierten $ en un plazo fijo que produce el 22 % anual durante 5 años. Si no se realiza ningún retiro y se paga interés compuesto: a. Cuánto podrá retirar al finalizar el 5 año? b. Cuánto se podrá retirar si capitaliza mensualmente? c. Cuál es la tasa efectiva de la operación? 2. Si se necesita disponer de $ dentro de tres años para cubrir un vencimiento. a. Cuánto debe depositarse hoy por una sola vez, en una cuenta de ahorro que ofrece una tasa de interés del 25 % anual. b. Cuánto debe depositarse hoy por una sola vez, en una cuenta de ahorro que ofrece una tasa de interés del 25 % anual. Que capitaliza mensualmente? c. Cuál es la tasa efectiva de la operación? 3. Si hoy se deben 10 cuotas de $ , calculadas a 2,76 % mensual. a. Cuánto se debe pagar hoy, para cubrir la totalidad de la deuda? 4. Existe la posibilidad de diferir la compra con una tarjeta de crédito por valor de $ ,00, en 12 cuotas iguales, a 2,76 % mensual. a. Cuál es el valor de la cuota? b. Construya un cuadro de amortizaciones. 5. Se desea saber cuanto se dispondrá en una cuenta de ahorro al final de 18 meses, si se depositan $ 8.000,00 mensuales y se paga una TNA del 30 %. 6. Se desea saber la cuota mensual necesaria para ahorrar $ ,00 al cabo de 36 meses, a una tasa del 2,5 % mensual. 7. Para adquirir una cosechadora, un productor agropecuario utiliza el siguiente esquema de financiamiento: El 11 de Abril accede a un crédito bancario de $ a una Tasa Nominal Anual (TNA) del 15% de capitalización mensual, cancelable en 36 pagos fijos mensuales iguales y vencidos. El 11 de Junio del mismo año accede a otro crédito por $ a una TNA 18% de capitalización mensual, cuya devolución se realizará en 15 pagos fijos cuatrimestrales y vencidos. El 11 de Agosto del mismo año se compra la cosechadora, completando el financiamiento con un crédito de la concesionaria por $ El mismo tiene implícita una TNA 12% de capitalización mensual, que se cancelará en 12 pagos bimestrales vencidos e iguales. En virtud de la estructura de financiamiento descripta anteriormente se solicita saber el monto total adeudado inmediatamente después de haber realizado el pago de las cuotas que vencieron el día 11 de Octubre del año de referencia. Nota: Se supone que han sido pagadas todas las cuotas dentro de su plazo de vencimiento. 25