Área y volumen de una Esfera Esfera y Superficie Esférica Huso Esférico y Cuña Esférica. 798 Geometría 4 3 R3

Transcripción

1 En física, las ondas esféricas son ondas tridimensionales que se propagan a la misma velocidad en todas direcciones. Se llaman ondas esféricas porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas, cuyo centro coincide con la posición de la fuente de la perturbación en todas las direcciones. Un ejemplo de este tipo de ondas son las ondas sonoras que se propagan a través del aire en reposo. Otros ejemplos de ondas esféricas lo son las ondas luminosas y en general todo tipo de ondas electromagnéticas Esfera y Superficie Esférica Definición Sea «O» un punto cualquiera y sea «R» un número positivo arbitrario. Se llama esfera al cuerpo formado por todos aquellos puntos del espacio que no distan más de «R» del punto «O». El punto «O» se llama centro de la esfera y el número «R» se conoce como el radio de la esfera. er figura (a). La frontera de la esfera se denomina superficie esférica. Los puntos de la superficie esférica son aquellos puntos de la esfera que están a una distancia igual al radio. Toda sección de la esfera correspondiente al plano que pasa por su centro recibe el nombre de círculo máximo Área y volumen de una Esfera Respecto a la figura (b) se verifican las siguientes relaciones: 1... Área de la superficie esférica El área de una superficie esférica, denotada como SE, es igual al cuádruplo del área de un círculo máximo. SE R 1..B. olumen de la Esfera El volumen de una esfera es igual a / del área de círculo máximo multiplicado por la longitud del radio. E R 1... Huso Esférico y uña Esférica 1... Huso esférico Se llama huso esférico a la superficie esférica comprendida entre dos semiplanos secantes cuyo borde común es un diámetro. Si los semiplanos secantes forman un ángulo diedro de medida º, llamado amplitud, y el radio de la esfera es «R», entonces el área del huso esférico, denotado por HE, viene dado por: La esfera es un sólido geométrico que se genera por la rotación de un semicírculo que gira una vuelta completa alrededor de su diámetro, como se aprecia en la figuras (b) y (c). 1..1B. Teorema «Toda sección de la esfera correspondiente a un plano es un círculo y el centro de este círculo es el pie de la perpendicular trazada desde el centro de la esfera al plano secante». Fig. (a). HE º R 90º 1..B. uña esférica La cuña esférica es el sólido geométrico comprendido entre dos semiplanos secantes que tienen como borde común un mismo diámetro y el huso esférico. 798 Geometría Und. 1 uerpos Redondos 799

2 Si los semiplanos secantes forman un ángulo diedro de medida º, y el radio de la esfera es «R», entonces el volumen de la cuña esférica, denotado por E, viene dado por: E º R 70º 1... Partición de una Esfera Un plano secante divide a la esfera en dos sólidos llamados segmentos esféricos, y a la superficie esférica en dos porciones llamadas casquetes esféricos. Si el plano secante es diametral, los dos casquetes y los dos segmentos son iguales, y se llaman hemisferios. Si el plano secante no es diametral se tendrán un casquete y un segmento esférico mayor y menor, respectivamente, que un hemisferio. En ocasiones a los casquetes esféricos se les llama cascarones esféricos, cuando su interior es vacío Zona Esférica (ZE) Se llama zona esférica a la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos secantes. Por ejemplo en la figura, BD es una zona esférica. Estos planos cortan a la superficie esférica según dos círculos paralelos llamados bases de la zona. simismo la distancia entre los planos paralelos es la altura de la zona. Si «h» es la altura de la zona esférica, o del casquete, y «R» es el radio de la superficie esférica, entonces el área ZE de un casquete o de una zona esférica es la de la superficie lateral de un cilindro recto de igual altura y radio: ZE Rh 1..B. Segmento Esférico (SEG) Es un sólido geométrico definido como la porción de esfera comprendida entre dos planos secantes y paralelos, o bien, la porción de esfera comprendida entre una zona esférica y sus bases. Si a y b son los radios de las bases del segmento esférico BD, «h» su altura y «R» es el radio de la esfera, se cumple que: B1. Área total {Área total} {Área de la zona} {Área de las bases} ; Rh a b B. olumen SEG 1 SEG h h a b 6 El volumen de un segmento esférico está dado por: 1... asquete Esférico (E) Se llama casquete esférico a la parte de la superficie esférica obtenida al cortar a la esfera por un plano que no pasa por su centro. Si el plano secante es diametral, los casquetes obtenidos son congruentes y se denominan casquetes semiesféricos. Si el plano secante no pasa por el centro de la esfera se obtienen un casquete menor y un casquete mayor que un hemisferio. continuación analizamos el casquete de la Fig. (b) para determinar el área de su superficie y el volumen del segmento esférico limitado por el casquete y el plano secante. Para ello establecemos una relación entre el radio «R» de la esfera, la altura «h» del casquete y el radio «a» de la base del casquete: i) plicando el teorema de Pitágoras en el OMF de la Fig. (c): R (R h) a R a h... () h ii) Área del casquete esférico ( E ).- El valor de esta área es igual al área lateral de un cilindro recto cuya base es un círculo de radio «R» y su altura «h» es igual al del casquete: Y de (): E (a h ) iii) olumen del segmento esférico ( E ): h E a h 6 Y de (): E Rh E h ( R h) 800 Geometría Und. 1 uerpos Redondos 801

3 1..D. Sector Esférico (SE) Se llama sector esférico a la porción de esfera limitada por una superficie cónica, con vértice en el centro, y el casquete correspondiente. Ejemplo.- Un plano «P» es tangente en el punto «M» a una esfera de centro «O». Si «R» es un punto del plano «P», el radio de la esfera mide y OR 5; calcule MR. Por propiedad, sabemos que: En el OM P OM MR OMR aplicamos el Teorema de Pitágoras: x 5 x Teorema de Pappus y Guldinus El área lateral del sector esférico es el que se obtiene al sumar el área lateral de la superficie cónica con el área del casquete. Área total del Área de la Área del sector esférico superficie cónica casquete esférico En cuanto al volumen del sector esférico ( SE ) este viene a ser un tercio del producto del área del casquete correspondiente por la medida del radio entroide (G) «Es un punto característico de una figura cuya ubicación guarda relación directa con la equidistribución de los puntos que lo conforman». 1 SE E R Propiedades 1ra Propiedad.- Todo plano tangente a una esfera es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto. Fig (a) da Propiedad.- La recta que une el centro de una esfera y el de un círculo menor de la esfera es perpendicular al plano del círculo. ra Propiedad.- Planos equidistantes del centro de una esfera la cortan en círculos iguales. Fig. (b) 1..6B. Área de una superficie «El área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la curva generatriz por la distancia recorrida por el centroide de la curva al generar el área de la superficie». Si B es la longitud de una curva y x es la distancia de su centroide a un eje de giro dado, el área S de la superficie generada al dar una vuelta está dado por: S x B 80 Geometría Ejemplo.- Determinar el área de la superficie generada por: a) El segmento B respecto del eje «L». B m x 1,5 m S (1,5)() 1 Und. 1 uerpos Redondos 80

4 b) La semicircunferencia B respecto del eje «L» olumen R m () x 6 m S () 6 6 «El volumen que encierra una superficie de revolución es igual al producto del área generatriz por la distancia recorrida por el centroide del área al generar el volumen». Si S es el área de una figura cerrada y x es la distancia de su centroide a un eje de giro dado, el volumen generado por éste, al dar una vuelta, está dado por: 01.- El gráfico muestra un casquete esférico ubicado en una esfera de radio «R». ompletar el siguiente cuadro: 0.- La figura sombreada está conformada por un cuadrante y un rectángulo de modo que dicha figura gira 60º en torno a la recta L. L x S Ejemplo.- Determinar el volumen generado por: a) La región triangular B respecto del eje «L». B 6 m, B 8 m x B 6 m ( ) m b) El semicírculo B respecto del eje «L». R m ( ) x S () 9 m 9 6 m 0.- En el gráfico se muestra una semiesfera inscrita en un paralelepípero rectangular. I. alcule el volumen del paralelepípedo cuando el radio de la semiesfera mide.... II. alcule los dimensiones del paralelepípedo, cuando el volumen de la semiesfera es III. alcule el radio de la semiesfera, cuando el volumen del paralelepípedo mide I. alcule la diagonal del paralelepípedo, cuando el radio de la esfera mide.... Si es el volumen del sólido que se obtiene, completa el siguiente cuadro: 0.- De acuerdo al gráfico mostrado. ompleta el siguiente cuadro: 80 Geometría Und. 1 uerpos Redondos 805

5 05.- En el gráfico mostrado el círculo gira 60º alrededor de la recta «L» En el gráfico el hexágono regular gira en torno a la recta L. Prob. 01 Sea S x el área de la semiesfera, donde: a. uál es el volumen del sólido generado, cuando R = y d =?... b. Si R = y el área de la superficie generada es 96. uánto mide «d»?... c. Si R = d y el área de la superficie generada es 6. uál es el volumen del sólido generado? En el gráfico se muestra un rombo el cual gira en torno a la recta L. Escribir () o (F), según las proposiciones sean verdaderas o falsas. I. El perímetro del hexágono mide 1. ( ) II. El área del hexágono mide. ( ) III. La distancia del centro de gravedad hacia el eje mide. ( ) I. El área de la superficie generada es 8. ( ). El volumen del sólido generado es 96. ( ) 08.- En el gráfico mostrado «P» es un plano secante a la esfera, de modo que la sección determinada es un círculo y «d» es la distancia del centro de la esfera a dicho plano. alcular el volumen de una esfera, sabiendo que éste es numéricamente igual al área de su superficie. Representando gráficamente la esfera, según condición del problema: (esf.) = S (esf.) Simplificando: R = (esf.) R R = () = 6 Prob. 0 S x = S L + S B S x = R + R S x = R alcular el radio de la esfera que se puede construir con el material fundido de dos esferas de radios 1 y. Graficamos la condición de equivalencia de las esferas pequeñas y de la obtenida por fundición: Según condición del problema: Prob. 0 alcular el área total de una semiesfera cuyo radio mide «R». x (1) () x = (1) + () = 9 x = 9 orrelaciona ambas columnas coherentemente. a. Distancia del centro de gravedad al eje. ( ) 0 b. Perímetro del rombo. ( ) 88 c. Área del rombo. ( ) 6 d. Área de la superficie generada. ( ) e. olumen del sólido generado. ( ) 0 ompletar el siguiente cuadro: Tengamos en cuenta que la semisuma tiene una base la cual es el círculo máximo de la esfera: Prob. 0 Dos esferas sólidas de radios «r» y «r» se funden para formar un cilindro circular recto de radio básico igual a «r». alcular la altura del cilindro. Graficamos y ubicamos los datos del problema: 806 Geometría Und. 1 uerpos Redondos 807

6 De acuerdo a la condición: r ( r ) ( r ) h 1r = 9r h Prob. 06 La sección producida en una esfera por un plano secante, dista 5 del centro y tiene 1 de área. alcular el área de la superficie esférica. Graficamos la esfera y así también la sección circular determinada por el punto secante: Sean: e : olumen de la esfera c : olumen del cono Siendo el volumen del segmento esférico, entonces: 1 1 h ha... (1) 6 Del gráfico: h = 5 = y a = Reemplazando en (1): 1 () 1 ()() 6 = 5 h = r x : olumen del cilindro Prob. 09 Prob. 05 Una semicircunferencia de diámetro 6, gira 90º alrededor de su diámetro. alcular el área de la superficie generada. Esquematizando el problema y ubicando datos tenemos: Reconociendo la superficie sombreada como un huso esférico de área «S», entonces: (6) S R 90º 90º 90º S = 6 La sección producida es un círculo de radio «r». Por condición del problema: Se observa en el r = 1 r = 1 OHB que: R = 5 + r = R = 169 Nos piden: S (esf) = R Prob. 07 S (esf) = 676 Un cono circular recto y una esfera se encuentran inscritos en un cilindro circular recto. Si la suma de los volúmenes del cono y de la esfera es 100, calcular el volumen del cilindro. Elaboramos el gráfico que se ajuste a las condiciones del problema: Luego: Entonces: e R y e c R R 1 c R ( R) De donde: R = (1) Nos piden: x = R (R) = R... () omparando (1) y () obtenemos: Prob. 08 x = 100 Una esfera de radio 5 es intersectada por un plano que dista del centro. alcular el volumen del menor segmento esférico determinado. En la esfera graficamos la sección circular menor producida por el plano secante: alcular el volumen del sólido generado por el círculo mostrado. De acuerdo al gráfico y a las condiciones del problema: plicamos el Teorema de Pappus-Goulding: = () () = 16 Prob. 10 alcular el área total de una semiesfera, en la cual se encuentra inscrito un cubo de arista y una de sus caras descansa en la base del cilindro. 808 Geometría Und. 1 uerpos Redondos 809

7 Dado que el cono es equilátero, entonces: Graficamos y ubicamos los datos, además reconocemos que el centro «O» de la base de la semi esfera lo es también de la base del cubo. B B demás: P PB En el POB de 0º y 60º: R = Reemplazando: S S.E. = R = () Sea «R» la longitud del radio, en el tendremos: demás: Nos piden: R = + (O) O O R ( ) R = 6 S T = R = (6) S T = 18 OB Prob. 1 S S.E. = 16 Una región rectangular BD, gira entorno a D, si: B = y B = 6, calcular el volumen del sólido generado. Reconocemos que «G» es el centro del rectángulo y «d» la distancia de este al eje de rotación: Sea «O» el centroide de la región cuadrada BD, luego: Sea «G» el centroide del triángulo B, luego el área de la figura generada será: Prob. 15 S (F.G.) = ( )(9) S (F.G.) = alcular el volumen del sólido generado por la región correspondiente a un tríangulo equilátero de 6 de lado, que gira 60º alrededor de uno de sus lados. Prob. 11 alcular el área de la superficie de una esfera que está inscrita en un cono equilátero cuya generatriz es de de longitud. Elaboramos el gráfico y ubicamos los datos: Por el Teorema de Pappus Goulding: x = S (BD) d De la figura: OD El volumen del sólido generado será: (S.G.) () ( ) (S.G.) = 6 Esquematizamos el problema según su condición: Donde: S (BD) = 6 = y d = Prob. 1 Luego: x = Prob. 1 x = 96 En un triángulo equilátero B de lado 6, se traza la altura BH. alcular el área de la figura generada por dicho triángulo al girar en torno a una recta paralela a BH y que dista de ella 9. Según el Teorema de Pappus-Goulding: Donde: = S (B) d S 6 ( B) 9 alcular el volumen del sólido generado por el cuadrado BD al girar entorno a. Graficamos y ubicamos los datos del problema: Del gráfico: d BH 810 Geometría Und. 1 uerpos Redondos 811

8 Luego: 9 = 5 Luego: 9 x x = 6 Prob. 16 Determinar la distancia del centroide de un semicírculo a su diámetro, si éste mide R. Sea «G» el centroide del semicírculo y GO = d es la distancia buscada. l girar el semicírculo se determina una esfera de volumen: R En el BD de 0º y 60º: D y mdb 0º En el OHD de 0º y 60º: d Luego: (S.G.) ()( ) ( ) Prob. 18 (S.G.) = Un semicírculo cuyo diámetro B mide 6, gira entorno a B. alcular el volumen del sólido generado. Prob. 19 Las diagonales y BD de un rombo BD miden 6 y 8 respectivamente. La prolongación de interseca en «P» a una recta paralela a BD. Si: B = P, calcular el área de la superficie generada por dicho rombo al girar 60º entorno a. Graficamos la situación problémica donde indicamos los datos del mismo: El volumen del sólido generado ( (S.G.) ) es: (S.G.) = a d... (1) En el OHD de 15º y 75º: En (1): (S.G.) d a 6 d ( 1) a ( 1) a a a ( 1) Por Pappus: Prob. 17 R (S.G.) d R R d d = R Graficamos y ubicamos los datos del problema: Luego: d = O + P = + 5 = 8 S x = (BD) d (BD) = 5() = 0 y d = 8 Luego: S x = 0 8 Prob. 0 S x = 0 omo: a = (S.G.) = ( + 1) Prob. 1 La región triangular mostrada B, gira alrededor del eje, si: BH = y =. alcular el volumen del sólido generado. Un rectángulo BD, gira en torno a una recta que pasa por «D» y forma 0º con D, si: B = y BD =. alcular el volumen del sólido generado. plicando el Teorema de Pappus- Goulding: x = S (d) Un cuadrado de lado gira en torno a una recta que contiene a un vértice y forma con uno de sus lados 0º. alcular el volumen del sólido generado. Sea «L» la recta que sirve como eje de giro y «O» el centroide del rectángulo: Donde: S = 9 R d Elaboramos el gráfico correspondeinte en donde ubicamos los datos del problema: Trazamos la mediana BM del triángulo B. 81 Geometría Und. 1 uerpos Redondos 81

9 Sea «G» el baricentro del B y «d» su distancia al eje de rotación, luego empleando el Teorema de Pappus: En el cuadrado BD: BG GD En el DHP de 5º: DH HP x = S (B) d... (1) De donde: d 5 S B () Sea S x el área de la superficie generada: Luego: S x = (BD) d Sea «G» el centroide de la región B y «d» su distancia al eje. Por el Teorema de Pappus-Goulding: x d x = 1d... (1) Donde BHM ~ GTM: Prob. d k d = 1 k x = 1 Un círculo gira en torno a una recta coplanar (ver figura) si: MN = 7. alcular el volumen del sólido generado. Sea «x» el volumen pedido. Luego por el Teorema de Pappus- Goulding: x ( S ) (OK)... (1) Entonces: OK = 8 S () 9 Reemplazando en (1): x = 9 8 Prob. x = 1 Determinar el volumen del sólido generado por una región triangular rectangular B que gira entorno a B, si: B = 6, B = 8 y = 10. Donde: BM ~ TG d k k d =... () Reemplazando () y () en (1): Prob. x = ()()() x = 96 Un cuadrado BD gira en torno a una recta exterior paralelo a. D prolongado interseca en «P» a. alcular el área de la superficie generada, si: PD = y B = 6. Prob. 5 S x = ( 5 ) S x = 0 Las diagonales de un rombo miden 6 y 8. alcular el área de la superficie generada por dicho rombo al girar 60º alrededor de uno de sus lados. Graficamos el rombo y el eje de rotación que contiene a D. Elaboremos el gráfico correspondeinte según las condiciones del problema: onstruimos el gráfico según la condición del problema: Del gráfico y según el Teorema de Pappus- Goulding: S x = (BD) d... (1) En el OD: D = 5 y d, 5 En el gráfico, trazamos OK tal que: 81 Geometría OK = 8 Und. 1 uerpos Redondos Reemplazando en (1): S x = (0)()(,) S x =

10 Prob. 6 Prob. 7 Prob. 8 Prob. 9 alcular el volumen del sólido generado por la región cuadrada BD al girar entorno a. En la figura, B = 1, B = 15 y = 1. alcular el volumen del sólido generado por la región B al girar alrededor de. alcular el volumen del sólido generado por la región cuadrada BD al girar entorno a. Si los lados de un romboide están en la razón de a 7. alcular la razón de los volúmenes de los sólidos que se obtienen mediante la rotación de la región limitada por dicho romboide en torno a sus lados adyacentes. Elaboramos el gráfico y ubicamos datos: Ubicamos el centro «G» del cuadrado y tra- Ubicamos el centroide «G» (baricentro) de la región B y trazamos GG' (GG = d) Sea BD G zamos GT de modo que GT = d. Del dato: sean: B = k y D = 7 De la figura: PD DQ (.L..) P DQ PD Q Y en el PD: a = 5 En el trapecio PQ: d 7 Luego: x = S (BD) d (5) x x = Por Teorema de Pappus-Goulding: x = S B d... (1) Por el Teorema de Herón: S(B) 1(1 1)(1 1)(1 15) Por propiedad: S (B) = 8 d Reemplazando en (1): x = 8 1 x = 016 De la figura reconocemos que «G» el centroide de la región BD y «d» su distancia a. En el cuadrado BD: BG = GD = En el GHD de 0º y 60º: d Luego el volumen «x» pedido será: x ( ) x = 16 También sean: 1 el volumen generado por el romboide al girar sobre y el volumen generado por el romboide al girar sobre. Por teorema del Pappus - Gulding: demás: 1 = S BD y 1 = (k)(x) y... (1) = S BD x = (7k)(y) x... () Dividimos (1) y (): Geometría Und. 1 uerpos Redondos 817

11 Prob. 0 Una región paralelográmica BD gira entorno a. alcular el volumen del sólido generado, si: B = 5, D = 8 y m 5º. Elaboramos el gráfico y ubicamos los datos: Por el Teorema de Pappus-Goulding: demás, x = S (BD) d...(1) S (BD) = 8 =...() BTD: d...() Reemplazando () y () en (1): x = x = alcular el volumen de una esfera de radio igual a. ) 6 B) 0 ) 0 D) E) El volumen de una esfera es numéricamente igual al triple del área de la superficie esférica. alcular el radio. ) 6 B) 7 ) 8 D) 9 E) Siendo área de una superficie esférica igual 1, calcular el volumen de la esfera. ) 88 B) 1 ) 196 D) 10 E) alcular el volumen de la esfera inscrita en un cubo cuya longitud de su arista es igual a 6. ) 0 B) 18 ) 6 D) 0 E) alcular el área de la esfera circunscrita a un cubo de área total igual a 7. ) B) 8 ) 0 D) E) alcular el volumen de la esfera inscrita en un cilindro recto de volumen 00. ) 100 B) 150 ) 00 D) 50 E) Una esfera cuyo radio mide es equivalente a un cono circular recto cuyo radio de la base mide. alcular la medida de la altura del cono. ) 1 B) 8 ) D) 6 E) alcular el volumen de la cuña esférica mostrada. ) 9 B) 10 ) 1 D) 15 E) alcular el área del casquete esférico mostrado. ) 9 B) 10 ) 1 D) 15 E) Si el triángulo B gira en torno a, calcular el área de la superficie generada. ) 88 B) 1 ) D) 196 E) Geometría Und. 1 uerpos Redondos 819

12 11.- Si el rectángulo BD gira en torno a, calcular el área de la superficie generada. ) 8 B) 90 ) 98 D) 100 E) Un círculo de radio «R», gira en torno de una recta tangente a ella. alcular el volumen del sólido generado. ) R B) R ) R D) R E) 8 R 1.- alcular el volumen del segmento esférico. ) 5/ B) 50/ ) 6 D) 8 E) Dos esferas tangentes exteriores de radios 1 y, se apoyan en un plano horizontal. uál es la distancia entre sus puntos de apoyo con el plano? ) 9 B) 1 ) 18 D) 15 E) Un plano secante a una esfera determina una sección de 5de área. Si el radio de la esfera es igual a 1, a qué distancia del centro se trazó el plano secante? ) 9 B) 10 ) 11 D) 1 E) alcular el volumen del sólido generado por un triángulo equilátero de lado «a» que gira alrededor de una recta que contiene a uno de sus lados. ) a D) a B) a E) a 8 ) a 17.- Del gráfico, calcule el área de la superficie generada por el rectángulo BD al girar 60º, entorno a. Si: (B) = (D) = (DE) = 6. ) 70 B) 60 ) 50 D) 0 E) El rombo BD gira en torno a ; BD, además: O = O = M =, calcular el área de la superficie generada. ) 00 B) 0 ) 0 D) 60 E) BD es un cuadrado. alcular el volumen del sólido generado por la región cuadrada al girar 60º, alrededor de. ) 6 B) 6 6 ) 50 D) 16 E) En la figura B es diámetro del círculo máximo de la esfera. alcular el área de la superficie esférica, sabiendo además: = 6, m B 60º. ) 1 B) 8 ) 7 D) 5 E) De una esfera cuya área es «S», se han obtenido dos semiesferas. alcular el área correspondiente a una de las semiesferas. ) S B) S/ ) S/ D) S/ E) S/.- alcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar en torno a. ) 6 B) 7 ) 8 D) 90 E) alcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar en torno a. ) 1 B) 7 ) 6 D) 60 E) 88.- alcular el volumen de la esfera mostrada. ) 0 B) ) 0 D) 6 E) Si el cuadrado BD gira en torno a, además D = M, calcular el área de la superficie generada. ) 60 B) 0 ) 00 D) 60 E) Si el paralelogramo BD gira en torno a. demás: B + B = 1 y =, calcular el área de la superficie generada. ) 1 B) 10 ) 1 D) 150 E) alcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar en torno a. ) 1150 B) 100 ) 150 D) 100 E) 1 80 Geometría Und. 1 uerpos Redondos 81

13 8.- alcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar en torno a. ) 00 B) 0 ) 0 D) 50 E) alcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar en torno a. ) R D) R 7 B) R 5 E) R 8 ) R 6.- Una esfera de radio «R», se encuentra inscrita en un prisma regular triangular de volumen 16 u. Determinar el volumen de la esfera. ) 5 B) 18 ) 7 D) 7 E) 6.- qué distancia del centro de una esfera se debe trazar un plano, de modo que el área de la sección determinada sea igual a la diferencia entre las áreas de los dos casquetes esféricos formados, además el radio de la esfera mide ( 5 ) cm. 6.- alcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar en torno a. ) 1650 B) 1500 ) 10 D) 160 E) alcule el volumen del sólido generado por la región BD al girar 60º alrededor de. Si: D = 15. ) 7500 B) 700 ) 600 D) ) 5 B) ) 8 1 D) 75 E) En la figura: «G» es el centroide de la región BD. alcular el valor de «x». ) 80 B) 0 ) 6 D) 0 E) alcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar en torno a. ) 88 B) 88 ) 1 D) 16 E) alcular el volumen de la esfera máxima que se puede inscribir en una semiesfera de radio «R». ) 0,5 cm B) 5 cm ) cm D) 1 cm E) 1,5 cm.- El radio de la base de un cono de revolución es 1 m y el radio de la esfera circunscrita al cono mide 5 m. alcular el volumen del segmento esférico formado por la base del cono y la esfera. ) 6 B) 18 ) 6 D) 9 E) Un hexágono regular BDEF, cuyo lado mide «a», gira en torno a una recta que contiene a F. alcular el volumen del sólido engendrado. ) 9 a B) D) a E) a 7 a ) a E) En un triángulo B: B = 1, B = 15 y = 1. alcular el volumen del sólido generado por la región triangular B al girar una vuelta alrededor de. ) 67 B) 670 ) 688 D) 667 E) En un rombo BD: m B 60, por «D» se traza una recta «L» que forma 0º con D. alcular el volumen del sólido generado por el rombo al girar 60º alrededor de «L»; la distancia a «L» es 1. ) 6 B) 6 ) 6 D) 1 E) 0.- alcular el área de la superficie generada por el cuadrado al girar en torno a, B = y B. ) a b a b D) a b ab ( a b) B) ab a b E) a b ab ) ab.- En la figura: «G» centroide del cuadrante OB. alcular «x». ) R B) R ) 1 R D) R 5 E) 5 R.- alcular el volumen del sólido engendrado por el triángulo equilátero B. 8 Geometría Und. 1 uerpos Redondos 8

14 ) 16 B) 8 ) 10 D) 1 E) 1.- En la figura, BD es un cuadrado de lado. alcular la distancia del centroide de la figura sombreada a D. ) 10 B) 1 ) 1 D) 5 E) Determinar el volumen del sólido engendrado por la región sombreada. ) 9 B) 10 ) 1 D) 1 E) Las bases de un trapecio isósceles miden y 6 metros respectivamente. alcular la longitud del lado no paralelo, si la razón del volumen y la superficie generado por el trapecio al girar una vuelta en torno a la base mayor es igual a la razón del área de la región trapecial y su respectivo perímetro. ) 6 m B) 7 cm ) 8 m D) 10 m E) 1 m 8.- En un romboide BD: B = 1 y B =. Si el volumen del sólido generado por la región paralelográmica BD al girar en torno a B es 1 m. alcular el volumen del sólido generado por la misma región al girar en torno a B. ) m B) m ) m D) 5 m E) 6 m LES ) ( 1) B) ( ) ) ( ) D) ( 1) E) ( ) 6.- alcular el área de la esfera mostrada B 17 0 D D 0 E 1 B 0 05 E B D 07 E 15 D E D E B 1 E D B 1 D 5 B Geometría