Sistemas de Ayuda a la Decisión

Transcripción

1 Sistemas de Ayuda a la Decisión El Proceso de Decisión Luis Daniel Hernández Molinero Dpto. Ingeniería de al Información y las Comunicaciones Facultad de Informática Universidad de Murcia correo-e: ldaniel@um.es 16 de septiembre de 2008 LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

2 1 Sistemas de Preferencias 2 Escalas de Medida Sistemas de Representación Tipos de Escalas 3 Cómo Valorar las Alternativas 4 Teoría de la Utilidad 5 Bibliografía LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

3 Contenidos 1 Sistemas de Preferencias 2 Escalas de Medida Sistemas de Representación Tipos de Escalas 3 Cómo Valorar las Alternativas 4 Teoría de la Utilidad 5 Bibliografía LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

4 Introducción Idea Intuitiva Un orden de preferencia entre las distintas alternativas y/o consecuencias reeja cuáles son más preferidas sobre otras. ¾qué es exactamente un orden de preferencias? ¾cuántos tipos existen?. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

5 Relaciones binarias Denición Denicion Una relación binaria R sobre un conjunto de objetos O es un subconjunto todas las parejas ordenadas posibles de los elementos de O. Notación: (a, b) R o bien arb Otras relaciones a partir de R Relación Complementaria R c Relación Simétrica R Relación Dual R d ar c b sii (arb) a Rb sii bra ar d b sii (bra) LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

6 Relaciones binarias I Propiedades Reexiva. Todo elemento de O está relacionado consigo mismo. oro, o O El símbolo léalo como para cualquier elemento, y el símbolo como perteneciente a. o O se leería para cualquier elemento o perteneciente a O. Irreexiva. Ningún elemento de O está relacionado consigo mismo. (oro), o O Simétrica. Para cualquier pareja (dos elementos relacionados) que se encuentra en R también podemos encontrar la pareja simétrica. Si arb, entonces bra, a, b O LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

7 Relaciones binarias II Propiedades Asimétrica. Para cualquier pareja (dos elementos relacionados) que se encuentra en R no se encuentra la pareja simétrica. Si arb, entonces (bra), a, b O Antisimétrica. Si una pareja y su simétrica se encuentran en la relación R es porque los elementos de la pareja son los mismos. Si arb, bra, entonces a = b a, b O Transitiva. Si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces se verica que a está relacionado con c. Si arb y brc, entonces arc a, b, c O LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

8 Relaciones binarias III Propiedades Negativamente Transitiva. Si a no está relacionado con b y b no está relacionado con c, entonces se verica que a no está relacionado con c. Si (arb) y (brc), entonces (arc) a, b, c O Completitud. Si cualquier dos elementos de O están relacionados en R. a, b O O bien se cumple arb, o bien se cumple bra, o amba La propiedad de completitud también se denomina la propiedad de comparabilidad o conexión, que, de cumplirse para una relación R, se dice que la relación R está conectada o que los elementos son comparables. Cuando se exige que los elementos a y b sean distintos se dice que la relación es débilmente conexa. Cuando a y b son elementos cualesquiera entonces se dice que la relación es fuertemente conexa. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

9 Relaciones binarias I Tipos Una relación asimétrica R dene los siguientes órdenes: 1 Orden débil estricto si además es negativamente transitiva. 2 Orden estricto si además es transitiva. 3 Orden lineal estricto si es un orden estricto conexo. Una relación transitiva R se llama 1 Orden si sólo cumple la propiedad transitiva. 2 Orden Parcial estricto si es un orden irreexivo. 3 Orden Fuerte estricto es un un orden parcial estricto completo. En ocasiones se llama simplemente orden fuerte. 4 Cuasi-orden (o preorden) si es un orden reexivo. 5 Orden parcial reexivo si es un preorden antisimétrico. 6 Relación de equivalencia si es un preorden antisimétrico. 7 Débil si es un orden completo. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

10 Relaciones binarias II Tipos 8 Orden débil reexivo si es un orden débil vericando reexividad. 9 Orden total si es un orden débil completo. 10 Orden total reexivo si es un orden total vericando reexividad. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

11 Sistemas de Preferencias I. Denicion Un sistema de preferencias entre objetos es una relación binaria que establece entre dos objetos cuál de ellos es más deseable (o preferido). Cada expresión verbal de preferencia se representa con un símbolo: más preferido al menos tan preferido Indiferente menos preferido tan preferido Por ejemplo, la relación se lee como: a b sii a es más preferido que b LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

12 Relaciones de preferencias Caulidades vs Cantidades Sistema de preferencia cualitativo Aquellos sistemas de preferencias que ordenan los objetivos, alternativas o resultados según el grado de deseabilidad subjetivo del decisor sin recurrir a valores numéricos. Sistema de preferencia cualitativo Aquellos sistemas de preferencias que ordenan los objetivos, alternativas o resultados según el grado de deseabilidad subjetivo del decisor recurriendo a valores numéricos. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

13 Obtención de Relaciones Conexas I 1 Partir de la relación para la que resulta difícil comprobar la propiedad de conexión. 2 Comprobar que la relación de indiferencia,, derivada de, es una relación de equivalencia (verica las propiedades reexiva, simétrica y transitiva). Nota: En los capítulos sucesivos se establece con más detenimiento cómo se obtiene la relación a partir de. 3 Agrupar aquellos objetos que son indiferentes entre sí. Cada uno de esos grupos recibe el nombre de clase de equivalencia. Matemáticamente lo que se hace es construir el conjunto cociente O = O/ de clases de equivalencia respecto de. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

14 Obtención de Relaciones Conexas II 4 Elegir un elemento de cada clase y construir un nueva relación de preferencia con los elementos seleccionados. Matemáticamente lo que se hace es denir una relación de preferencia sobre los representantes de cada clase. Es decir, se dene la relación (O, ) como: a b a b para algun a a y b b 5 Trabajar con la relación más que con la relación para comprobar la completitud. En esta nueva relación es presumible suponer que es transitiva (pero no hay garantías de que lo sea). LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

15 Contenidos 1 Sistemas de Preferencias 2 Escalas de Medida Sistemas de Representación Tipos de Escalas 3 Cómo Valorar las Alternativas 4 Teoría de la Utilidad 5 Bibliografía LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

16 Pasar de lo cualitativo a lo cuantitativo I Un conjunto relacional empírico. Conjunto de objetos empíricos, A = {a 1, a 2, a 3,...},con relaciones entre ellos, R 1, R 2, R 3,.... A = (A; R 1, R 2, R 3,...) Un conjunto relacional numérico. CSímbolos numéricos, N = {n 1, n 2, n 3,...}, con conjunto de relaciones y operaciones, S 1, S 2, S 3,.... N = (N; S 1, S 2, S 3,...) Una escala de medida. Función f : ARightarrowN, que asigna f (a j ) = n j, y preservar relaciones R i (a 1, a 2,..., a k ) S i (f (a 1 ), f (a 2 ),..., f (a k )) S i (n 1, n 2,..., n k ) LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

17 Pasar de lo cualitativo a lo cuantitativo II Denición (Ríos, et al) Si existe una escala de medida, f, entre un conjunto relacional empírico, A, y un conjunto relacional numérico, N, entonces a la terna (A, N, f ) se le llama una representación del sistema (empírico) A en el sistema (numérico) N mediante la escala f. Problema de la representación Buscar las condiciones para garantizar la existencia de representaciones. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

18 Pasar de lo cualitativo a lo cuantitativo III Problema de la unicidad Dadas las representaciones (A, N, f ) y (A, N, g) buscar una transformación φ que cumpla φ : f (A)RightarrowN tal que g = φ f Esto motiva el decir que f es la escala o que dene la representación de A en N: f es regular. Teorema Una escala f de una representación (A, N, f ) es regular sii para cualquier otra representación (A, N, g) y para cada par de objetos a 1, a 2 A, f (a 1 ) = f (a 2 ) se verica g(a 1 ) = g(a 2 ). LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

19 Tipos de Escalas elación que preservan Tipo de Escala Transformación Admisible Identidad Nominal Identidad φ(x) = x Orden Ordinal Monótona x < y φ(x) < φ(y Distancia Intervalar Lineal φ(x) = αx + β Origen de Razón Afín φ(x) = αx LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

20 Escala Nominal La que satisface los axiomas de identidad: Prop. Reexiva. Cualquier elemento a de A debe coincidir con si mismo (aca). Prop. Simétrica. Si a coincide con b, entonces b coincide con a (acb => bca). Prop. Transitiva. Si acb e bcc, entonces acc Prop. de Relación. a, b A o bien a coincide con b o bien a no coincide con b. Transformación admisible φ(x) = x LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

21 Escala Ordinal Además de la relación de coincidencia C (cuyo propósito es distinguir), impondremos en A una relación de precedencia P (cuyo propósito es ordenar). La combinación de las relaciones C y P dena una nueva relación binaria. a 1, a 2 A, Ejemplos: <,>, y. Transformaciones admisibles: a 1 coincide con a 2 (a 1 Ca 2 ) a 1 Ra 2 o bien a 1 precede a a 2 (a 1 Pa 2 ) x > y φ(x) > φ(y) LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

22 Escala Ordinal Obtención La escala es aconsejable para un conjunto de objetos A, que verican las siguiente características: 1 Los objetos de A se pueden dividir en clases. 2 Los objetos de la misma clase se consideran equivalentes respecto del atributo considerado. 3 Los objetos de distinta clase se pueden comparar y su comparación nos lleva a una relación de orden (entre clases). 4 La relación de orden verica la propiedad transitiva. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

23 Escala Ordinal Tipos Una escala está débilmente ordenada (o es de orden débil) cuando la ordenación R es un orden débil (reexiva, transitiva y conectada). Una escala está fuertemente ordenada (o es de orden estricto) cuando la ordenación P es estrictamente ordenada (transitiva y conectada). Intuitivamente: para un orden dado, se obtiene una escala débil cuando se puede producir coincidencia entre los elementos, mientras que en la fuerte dos elementos distintos no pueden tener el mismo valor (los empates no están permitidos). LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

24 Escalas Intervalares Cuando además de las ordenaciones entre los objetos se quiere que se preserve las diferencias que existen entre ellos. Es decir, f verica arb f (a) f (b) y (a b)r (c d) f (a) f (b) f (c) f (d) donde R es un orden débil entre los elementos de A y R es un orden débil entre las diferencias de los elementos de A. Ejemplo típico es la temperaturaen o C y o F. Transformaciones admisibles son: φ(x) = αx + β α 0 y verican la propiedad de que conservan el cociente de diferencias, es decir: φ(f (a 1 )) φ(f (a 2 )) φ(f (a 1 )) φ(f (a 2 )) = f (a 1) f (a 2 ) f (a 1 ) f (a 2 ) LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

25 Escalas de Razón Son escalas intervalares con un origen natural. Son las más restrictivas pero las más potentes. Este tipo de escalas procede de la física aplicada: peso, masas, intervalos de tiempo, altura, etc... Transformaciones admisibles: φ(x) = αx α > 0 y verican: φ(f (a 1 )) φ(f (a 2 )) = f (a 1) f (a 2 ) LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

26 Contenidos 1 Sistemas de Preferencias 2 Escalas de Medida Sistemas de Representación Tipos de Escalas 3 Cómo Valorar las Alternativas 4 Teoría de la Utilidad 5 Bibliografía LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

27 Situación de trabajo I Un conjunto de alternativas, X. Un conjunto de objetivos a cumplir con atributos {A 1, A 2,..., A n } que toman valores reales. Seleccionar una alternativa x de X produce un impacto en cada atributo que puede representarse matemáticamente mediante una función f i : f i : X A i R x f i (x) = f i donde f i es un valor que reeja el grado con que se alcanza el correspondiente objetivo del atributo A i. El vector numérico f (x) = (f 1, f 2,..., f n ) R n reeja el impacto de la alternativa x sobre todos los objetivos. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

28 Situación de trabajo II Matemáticamente, f (x) viene dada por una función vectorial: f : X F = A 1 A 2... A n R n x f (x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)) que reeje las preferencias del decisor en el sentido de que armar f (x) f (x ) sea equivalente a decir que x x. Con incertidumbre, deberá de pensar en las consecuencias: Para cada alternativa x y un estado de la naturaleza θ tendrá una consecuencia, c(x, θ), que producirá un efecto en cada atributo A i. impacto puede representarse mediante una función f i, pero ahora denida como: f i : X Θ A i R (x, θ) f i (c(x, θ)) = f i El vector numérico f (x, θ) = (f 1, f 2,..., f n ) θ R n reeja el impacto de la alternativa x sobre todos los objetivos para el estado de la naturaleza θ. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

29 Valoración de alternativas I Información Nula. Incapaz de comparar dos alternativas. max f (x) x X La mejor decisión, x, será aquella que verica f i (x ) f i (x) para cualquier atributo i = 1, 2,..., n. Información Completa. Capaz de comparar dos alternativas. Puede construir una función de valoración v : R n R que verique: f (x) f (x ) v(f (x)) > v(f (x )) La mejor alternativa es equivalente a resolver: max x X La mejor decisión, x, verica v(f (x)) = max v(f ) f F x = arg max v(f (x)) x X LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

30 Valoración de alternativas II Información Parcial. Discernir preferencias sobre las alternativas considerando sólo algunos atributos. Podrá construir una función de valoración w : F R n R m con m < n que verica: f (x) f (x ) w(f (x)) > w(f (x )) y la mejor alternativa vendrá resolviendo el problema: max w(f ) f F La mejor decisión, x, la que verica w i (f (x )) w i (f (x)) para cada componente i = 1, 2,..., m. Note la diferencia entre v y w. Mientras que v toma valores en R (es un número), w toma valores en R m (es un vector de números). LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

31 Contenidos 1 Sistemas de Preferencias 2 Escalas de Medida Sistemas de Representación Tipos de Escalas 3 Cómo Valorar las Alternativas 4 Teoría de la Utilidad 5 Bibliografía LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

32 Teoría de la Utilidad Teoría de la Utilidad Tiene como objetivo encontrar funciones que valoren las alternativas reejando las preferencias del decisor. Encontrar una función que reeje las preferencias v : F R f (x) v(f (x)) f (x) f (x ) v(f (x)) v(f (x )) o, con más precisión: f (x) f (x ) v(f (x)) < v(f (x )) f (x) f (x ) v(f (x)) = v(f (x )) LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

33 Funciones Descomponibles Función Descomponible Se dice que una función de preferencias v : F = A 1... A n R es descomponible o separable si existen n-funciones v i : A i R y una función V : v 1 (A 1 )... v n (A n ) R vericando v(f ) = v(f 1,..., f n ) = V [v 1 (f 1 ),..., v n (f n )] Decisiones f Valoracion de objetivos Valoracion conjunta X A 1... A n v R x f (x) = (f 1,..., f n ) v(x) v(f (x)) (v 1 (f 1 ),..., v n (f n )) V F (v 1,..., v n ) LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

34 Tipos de Funciones Descomponibles I Descomposición aditiva. o más formalmente, v(f (x)) = v 1 (f 1 ) + v 2 (f 2 ) + + v n (f n ) v(f ) = n λ i v i (f i ) i=1 donde para cada atributo i, v i es su correspondiente función valor, λ i > 0 es una constante que reeja el peso o la fuerza del atributo en la función de preferencias v y además se verica que n i=1 λ i = 1. LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

35 Tipos de Funciones Descomponibles II Descomposición cuasiaditiva (o aditivo-multiplicativa). La función v se descompone como: v(f ) = n n n λ i v i (f i ) + λ i,j v i (f i )v j (f j ) + i=1 + n n i=1 j>i k>j i=1 j>i n λ i,j,k v i (f i )v j (f j )v k (f k ) + +λ 1,2,...,n v 1 (f 2 )v 2 (f 2 )... v n (f n ) LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

36 Tipos de Funciones Descomponibles III Descomposición multiplicativa, que responde a la expresión: v(f ) = n n n λ i v i (f i ) + µ λ i λ j v i (f i )v j (f j ) + i=1 +µ 2 n n i=1 j>i k>j i=1 j>i n λ i λ j λ k v i (f i )v j (f j )v k (f k ) + +µ n 1 λ 1 λ 2 λ n v 1 (f 2 )v 2 (f 2 )... v n (f n ) Cuyos parámetros λ i y µ verican: 1 + µ = (1 + µλ 1 )(1 + µλ 2 ) (1 + µλ n ) y n λ i 1 i=1 LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

37 Contenidos 1 Sistemas de Preferencias 2 Escalas de Medida Sistemas de Representación Tipos de Escalas 3 Cómo Valorar las Alternativas 4 Teoría de la Utilidad 5 Bibliografía LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38

38 Para más lecturas Se han tomado como referencias principales: Sixto Rios Insua, Concepción Bielza Lozoya, Alfonso Mateos Caballero. Fundamentos de los Sistemas de Ayuda a la Decisión. Ra-Ma, 2002 Orfelio G. León Tomar Decisiones Difíciles. Mc Graw Hill, Vira Chankong, Yacov Y. Haimes Multiobjetive Decision Making: Theory and Methodology. Vol 8.. North-Holland LuisDanielHM (DIIC. Fac. Informática) SAD:El Proceso de Decisión 16 de septiembre de / 38