Índice. 1. Visibilidad. Concepto y técnicas generales. 2. Eliminación de líneas ocultas

Transcripción

1 TEMA 8: Visibilidad

2 Índice 1. Visibilidad. Concepto y técnicas generales 2. Eliminación de líneas ocultas 1. Algoritmo del horizonte flotante 2. Eliminación de superficies poliédricas 3. Eliminación de superficies ocultas 1. Algoritmo del z-buffer 2. Algoritmo de línea de rastreo 3. Métodos basados en prioridad 4. Algoritmos para superficies curvas 5. Ray - tracing

3 Problema a resolver Una vez modelada la escena, compuesta por miles de polígonos, hay que visualizarla en pantalla Rendering: Proceso de generación automático de una imagen mediante la cual el modelo matemático de un objeto o escena llega a aparentar ser un objeto o una escena real Se divide en dos fases: determinación de las partes visibles de la escena simulación de las propiedades físicas de los objetos atendiendo a la interacción de la luz con las superficies para mostrar su color

4 Definición de visibilidad Sea S un conjunto de puntos de R3, y un observador Diremos que Q S es visible desde P si el segmento PQ no intersecta t a S PQ = R( t) = tq + (1 t) P t (0,1) Q 1 P P S Q es visible ibl si R( t) S t (0,1) Q 2 Se trata de un problema de cálculo de intersecciones Sería impracticable determinar la condición de visibilidad para cada punto de la escena Son infinitos puntos Para cada uno habría un montón de intersecciones Averiguar si un segmento intersecta al objeto S, posiblemente compuesto por miles de polígonos o superficies paramétricas, conlleva mucho cálculo Por tanto, los algoritmos no van a ser simples, y deberán sacarle el máximo partido a las propiedades específicas de cada escena

5 Visibilidad en objetos poliédricos Una propiedad interesante que cumplen muchos objetos poliédricos es: N Sea N la normal exterior de una de sus caras esta cara será visible si ( P Q) N > 0 Es decir, las caras visibles son las orientadas hacia el plano de proyección Esta propiedad sólo es cierta en un sentido N Esta propiedad también se cumple en la mayoría de superficies curvas Los puntos donde (P-Q)N=0 delimitan una linea llamada CONTORNO APARENTE Son todos los puntos Q en los que la recta PQ está sobre el plano tangente t en Q

6 Contorno aparente Para una superficie regular, los bordes también cuenta como contorno aparente Para un objeto poliédrico, el contorno no puede definirse en términos del vector normal, pues éste sólo existe en el interior de las caras Por lo tanto, sólo se produce sobre las aristas El problema es cuando queremos representar una superficie regular mediante curvas, donde d el contorno no queda correctamente dibujado Si se conoce el contorno aparente se podría dibujar como una curva más

7 Parte anterior y posterior Sea un punto Q invisible Por lo tanto, el segmento PQ intersecta a la superficie i en un número finito it de puntos, n Si n es impar Q pertenece a la parte posterior Si n es par Q pertenece a la parte anterior OJO: los puntos de la parte posterior son siempre invisibles,,y los anteriores pueden o no serlo Si la superficie posee normal en todos sus puntos, un punto pertenece a la cara posterior si N(P-Q)<0 En un objeto poliédrico, cada cara pertenecerá por completo a una de las dos partes: El signo de N(P-Q) es contante en el interior de una cara En las caras que estén de perfil ocurrirá que N(P-Q)=0

8 Parte anterior y posterior No se trata de elegir un punto sobre una superficie y determinar si pertenece o no a la parte posterior, sino al contrario: obtener de alguna manera la parte posterior de la superficie, para deducir que toda ella es invisible Para decidir si un punto pertenece o no a la parte posterior 1. Plano tangente a la superficie en Q 2. Sustituir P=(a,b,c) en la ecuación del plano 0 ) ( ) ( ) ( = + + z z n y y n x x n z y x ) ( ) ( ) ( ) ( Q P N b 3. Según el signo, sabremos si es posterior o no ) ( ) ( ) ( ) ( Q P N z c n y b n x a n z y x = + + Para un objeto poligonal se aplica el criterio a cada polígono Para un objeto poligonal, se aplica el criterio a cada polígono Si es negativo, el polígono completo es posterior

9 Culling La eliminación de los polígonos pertenecientes a la parte posterior es un paso previo a muchos de los algoritmos de visibilidad CULLING En los objetos convexos, todos los puntos de la superficie anterior son visibles En los objetos cóncavos, la visibilidad depende mucho de la posición del observador Una solución puede ser dividir el objeto en varios objetos convexos

10 Concepto de prioridad Sean dos objetos A y B, y un plano de separación entre ellos, que divide la escena en dos semiespacios clusters Fijado un observador P, el cluster donde d él se encuentra define las prioridades id d de A y B Decimos que B tendrá mayor prioridad que A al encontrarse en el mismo cluster que P Ningún punto de B puede estar ocultado por algún punto de A Con esto se garantiza que la visibilidad de B es local y no depende de A A P B

11 Técnica de parcelación La situación anterior se generaliza para n objetos, parcelando la escena en clusters y asignando un valor de prioridad a cada objeto En un caso extremo, cada polígono de la escena puede definir un plano de separación Los planos pueden calcularse a priori, en la fase de modelado En algunas situaciones pueden existir problemas La solución pasa por partir un polígono en dos mitades

12 Método del pintor Es un procedimiento de resolución automática del problema de visibilidad cuando se conocen las prioridades de cada polígono Los polígonos se ordenan de menor a mayor prioridad, id d y se van dibujando d en ese orden El color de cada pixel corresponderá al del polígono dibujado en último lugar Funciona muy bien cuando se tienen objetos de distinto tipo, cada uno con su propio algoritmo de visibilidad Conociendo su prioridad relativa, se pueden dibujar por orden, cada uno con su algoritmo

13 Método del pintor. Ventajas y desventajas La gran desventaja es que existen pixels en la imagen que han sido pintados varias veces Eso significa que se ha empleado más tiempo en dibujarla que si se conociera de antemano su color final La gran ventaja es que no hay que calcular l las múltiples l intersecciones i entre los polígonos de la escena Ejemplo: una imagen x 768 llama 800 mil veces a la función PintaPixel(x,y). Supongamos que el algoritmo cambia en promedio el color de cada pixel 10 veces son 8 millones de llamadas a la función PintaPixel hay que ver si compensa a cambio de evitar el cálculo de intersecciones Hay que tener en cuenta que el calculo del color para pasárselo a la función PintaPixel puede ser muy costoso.

14 Técnicas de comparación Todos los algoritmos de visibilidad requieren la comparación entre diferentes objetos de la escena El objetivo es reducir el número de puntos que necesitan complejos cálculos l de intersecciones La forma más sencilla utilizar volúmenes de inclusión d R 2 R 1 Si d < R1 + R2 los polígonos no intersectan entre ellos! OJO: la comparación siempre es en el plano transformado

15 Téc. de comparación. Ventajas y desventajas Rápidamente se detectan objetos completos que no pueden intersectarse Para un objeto dado, sólo aquéllos cuyos volúmenes de inclusión intersecten, pasarán a la siguiente i etapa del proceso Los volúmenes de inclusión pueden referirse a objetos, a polígonos o incluso a lados La determinación de los volúmenes de inclusión es una técnica de pre-procesado Aí Así, podemos almacenar con la if información ió dl del objeto bjt sus coordenadas d (x,y,z) máxima ái y mínima, las cuales determinan un prisma de inclusión También puede almacenarse el volumen de cada cara mayor coste de almacenamiento menor tiempo empleado en resolver la visibilidad Ejemplo: sea una escena de 10 objetos, cada uno con lados Un algoritmo bruto calcularía 100 millones de intersecciones lado-lado Un algoritmo con volúmenes de inclusión haría 100 operaciones sólido-sólido, y luego, suponiendo una media de dos intersecciones por sólido 4 millones de intersecciones

16 Características de los algoritmos En general, no es posible determinar la visibilidad de puntos sobre una superficie utilizando directamente la definición Las superficies i con las que trabajamos no son conjuntos cualesquiera de R 3, sino que poseen propiedades: continuidad, convexidad, etc. Por lo tanto, si un punto es visible, los puntos de su entorno también lo serán propiedad de coherencia No existe un algoritmo de visibilidad universal El problema de visibilidad es complejo y costoso La misma escena llevaría entre 10 y 100 veces más de tiempo En una escena complicada se van a dar todos los casos degenerados Polígonos de perfil Vértices sobre la misma visual Los algoritmos deben ser lo más robustos posible

17 Clasificación de los algoritmos ELIMINACIÓN DE LÍNEAS OCULTAS Los primeros algoritmos de dibujo representaban las superficies por medio de curvas, y los poliedros mediante sus aristas Tenían que decidir qué puntos de la superficie debían representar para que el observador pudiese restituir visualmente el objeto dibujo técnico

18 Clasificación de los algoritmos ELIMINACIÓN DE SUPERFICIES OCULTAS La aparición de monitores en color o con niveles de gris permitió representar los objetos mediante manchas de color Las aristas ya no se dibujan, sino que se adivinan mediante los cambios bruscos de intensidad

19 Diferencias entre ambos Eliminación de líneas ocultas Eliminación de superficies ocultas

20 Algoritmo del Horizonte Flotante (1) Representa superficies del tipo z = f(x,y), sobre un recinto rectangular acotado La forma habitual es dibujar secciones de x e y constantes, paralelas a los planos xz e yz efecto de malla deformada por un volumen El algoritmo opera sobre los puntos ya transformados en perspectiva Se usa una técnica de parcelación Se asignan n prioridades id d a las secciones s de x constante, siendo S1 la más cercana al observador, y Sn la más lejana Realmente no es la técnica del pintor, ya que no es un algoritmo de superficies

21 Algoritmo del Horizonte Flotante (2) Para que un punto de S2 quede oculto, la visual con el observador debe intersectar S1 Cómo se puede calcular l esto sin mucho coste de computación? El punto S2 transformado tendrá menor altura que el punto S1 con la misma abcisa! Por la misma razón, todos los puntos de S2 que una vez transformados tengan mayor altura que el correspondiente sobre S1, serán visibles ibl En general, un punto sobre Sk será invisible si, en el plano de proyección, su altura es menor que la máxima ordenada dibujada en su abcisa De esta forma, el algoritmo va guardando una silueta o contorno aparente en cada iteración HORIZONTE FLOTANTE S2 S1

22 Algoritmo del Horizonte Flotante (3) Sería imposible disponer de la ecuación de la curva continua del horizonte La solución consiste en guardar un vector H con los valores para cada abcisa y H[x], x=0, 1, 2, La dimensión del vector será del ancho en pixels del canvas El vector se inicializa a cero y se va comparando y actualizando en cada iteración x No basta con hacerlo solamente con las secciones de x constante Hay que ejecutar de nuevo el algoritmo con las secciones de y constante

23 Algoritmo del Horizonte Flotante (4) Problema: cuando dos puntos sucesivos de una sección no tienen abcisas consecutivas S2 S1 Solución: deben actualizarse los valores intermedios del vector Se puede usar interpolación lineal Si dos valores consecutivos caen a ambos lados del horizonte, habrá que evaluar la altura entre medio

24 Algoritmo del Horizonte Flotante (5) Problema: si la cara posterior de la superficie baja por debajo del horizonte, también debe visualizarse Esto significa ifi que un punto sobre una sección también es visible ibl si su ordenada d es menor que la mínima dibujada hasta el momento Solución: usar otro vector G que guarde los valores mínimos del horizonte El test final de visibilidad para un punto (x,y) sería visible si y>h(x) ó y<g(x) y H[x], x=0, 1, 2, G[x], x=0, 1, 2, x

25 Algoritmo del Horizonte Flotante (6) Ejemplos de visualización:

26 Eliminación de objetos poliédricos (1) Casi cualquier objeto puede representarse por medio de superficies poliédricas B Algoritmo 1) Se determinan las caras anteriores y C posteriores D 2) Para cada arista se mira el carácter de sus dos E polígonos: 1) Si los dos son anteriores, la arista puede ser visible (A) 2) Si los dos son posteriores, la arista es invisible (B) 3) Si uno es anterior y otro posterior, entonces se mira si la arista es cóncava o convexa: A 1) Si es convexa puede ser visible (C) (E) 2) Si es cóncava es invisible (D)

27 Eliminación de objetos poliédricos (2) 3) Se proyectan todos los vértices del objeto, incluyendo los vértices de las aristas invisibles ahora las aristas son líneas 2D 4) Para cada lado 2D visible: 1) Mirar si intersecta con alguno de los otros lados 2D. Si es así, el lado se divide en tramos (E E1 + E2) 2) Para cada tramo, éste será totalmente visible o invisible. Será invisible si se cumplen estas dos condiciones: 1) El punto medio es interior a algún polígono 2D 2) El plano que contiene en R3 a este polígono separa en semiespacios distintos al punto y al observador C Ejemplos Los tramos C y E1 no cumplen a) visibles El tramo A cumple a) pero no b) visible El tramo E2 cumple a) y b) invisible E1 E2 A

28 Eliminación de objetos poliédricos (3) La parte costosa del algoritmo es la fase 4.2 Para calcular si un punto es interior a un polígono se van sumando los ángulos entre cada pareja de vértices Para calcular si ambos puntos están a lados diferentes de un plano, se sustituyen las coordenadas de ambos en la ecuación del plano y se miran sus signos Es un algoritmo muy costoso, que requiere usar técnicas previas para acelerarlo Una escena con 400 caras y aristas, cada una con un promedio de 5 tramos, necesita comprobar puntos con cada uno de los 400 polígonos 2M intersecc! Problemas: no sirve para superficies que tengan una arista que sólo pertenezca a un polígono Cuando varios sólidos intersectan, se deben calcular antes las aristas del nuevo sólido

29 Eliminación de superficies ocultas Para representar un modelo con mayor grado de realismo hay que usar manchas de color En último extremo, la región más pequeña que puede ser coloreada individualmente es un pixel hay que determinar el color de cada pixel Estos algoritmos se dividen en dos etapas Detectar zonas de superficie que sean visibles Decidir la forma de colorear dicha zona El paso 2 no es tan trivial. Si asignásemos un color constante a cada superficie, el objeto parecería un pegote 2D La idea es que la aplicación determine el tono de color de cada cara de forma automática, de acuerdo a un criterio que simule el comportamiento de las fuentes de luz sobre el objeto

30 Algoritmo del z-buffer (1) Es el más popular, y es el que viene implementado en la mayoría de las tarjetas gráficas Necesita dos matrices: Frame buffer memoria de vídeo almacena en cada posición (x,y) el color correspondiente al pixel de coordenada (x,y) Z-buffer guarda la componente z del punto de la escena más cercano al observador que se proyecta sobre el pixel. Se supone que la escena ya ha sido proyectada, y z representa la profundidad Algoritmo: 1) Se inicializa la matriz Z a un número muy alto, y la matriz F con el color de fondo 2) Se eliminan las caras posteriores y se proyectan los vértices de las anteriores

31 Algoritmo del z-buffer (2) 3) Para cada polígono transformado: 1) Calcular los pixels que contiene relleno scanline 2) Para cada pixel, calcular la profundidad del polígono en dicho pixel Frame buffer Z-buffer Sea Ax + By + Cz + D = 0 la ecuación del plano del polígono 3D en relación con el sistema de referencia del ojo. Necesitamos convertirlo a la ecuación del plano transformado, donde x e y representen las coordenadas del pixel (u,v), y no la (x,y) del punto en 3D y (30,15) (100,30,80) x

32 Algoritmo del z-buffer (3) Recordando las ecuaciones de perspectiva Y Q=(x,y,z) p Z Q =(u,v) X Q =(u,v) Q=(x,y,z) p v p = y z v = p y z Z u = p x z u = p x z uz vz La ecuación del plano queda entonces: A + B + Cz + D = 0 p p Y de aquí deducimos la z a partir de las coordenadas de un pixel: z = pd Au + Bv + Cp

33 Algoritmo del z-buffer (4) 3) Para cada polígono transformado: 1) Calcular los pixels que contiene relleno scanline 2) Para cada pixel, calcular la profundidad del polígono en dicho pixel con la ecuación del plano transformado Frame buffer Z-buffer Lo siguiente es mirar para ese pixel cómo es la z Si z < Z(u,v) el polígono es más cercano al observador que los encontrados hasta ahora hacemos Z(u,v) = z y F(u,v) = color(x,y,z) Si z > Z(u,v) el polígono está más lejos que algún otro Lo bueno de esta condición ió es que es fácil de añadir al código del algoritmo de relleno de scan-line, de forma que se puede implementar por hardware para ejecutarse rápidamente

34 Algoritmo del z-buffer (5) El algoritmo va procesando secuencialmente todos los polígonos, y al finalizar la matriz F contiene la imagen final Frame buffer Z-buffer Frame buffer Z-buffer

35 Algoritmo del z-buffer (6) Ventajas del método: El tiempo de ejecución no depende de la complejidad de la escena, sino sólo de su parte visible iibl Puede utilizarse cualquier tipo de objeto No se necesitan algoritmos de intersección ió El coste es O(n), en lugar de O(n 2 ) como la gran mayoría Óptimo para ser implementado en hardware

36 Algoritmo de línea de rastreo (1) Si se intersecta la escena con un plano horizontal, correpondiente a una línea de barrido (scan-line) de la pantalla, aparecen polígonos 2D y z z x x a x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b Ahora para esa línea, obtenemos varios intervalos SPANS (a,x 1 ), (x 1, x 2 ). (x 7, b)

37 Algoritmo de línea de rastreo (2) Para cada span: z 1. Si no contiene ningún elemento pintamos color de fondo 2. Si sólo contiene 1 segmento pintamos del color de ese polígono x 3. Si hay más de 1 segmento pintamos con el color del más cercano a x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b Para calcular cuál, testeamos la componente z en la mitad del span X = (x 4 + x 5 ) / 2 Z = f (x, y k ) x x 4 x 5

38 Algoritmo de línea de rastreo (3) El algoritmo anterior es rápido y potente, pero ineficiente, pues en cada línea de barrido debe calcular la intersección del plano con toda la escena Existe una versión optimizada, i similar il al algoritmo de relleno scan-line Creamos una tabla de aristas (ya proyectadas en 2D) Cada arista viene representada por cinco valores Coordenada y del punto más alto Coordenada x del punto más bajo Inversa de la pendiente y max x 1/m pol Identificador del polígono al que pertenece Puntero a otra arista en la misma scan-line Además existe una tabla de polígonos, con estos valores Identificador Ecuación del plano Color Flag in / out pol (A,B,C,D) color in/out

39 Algoritmo de línea de rastreo (4) Se crea un vector vacío, con tantas posiciones como filas tenga la pantalla, y se coloca cada arista en la posición de la scan-line del punto más bajo Todo esto se hace en preproceso, y es bastante t rápido y B E D DE CB C F FD FE A AB AC x

40 Algoritmo de línea de rastreo (5) La gran ventaja ahora es que en cada scan-line, sólo comparo con las aristas que me hacen falta Además, no necesito calcular l ninguna intersección, ió ya que las coordenadas d se deducen d a partir de las de la iteración anterior y B E (AB, DE) se activa pol. azul (DE, CB) se activa pol. rojo test de profundidad D (CB, FE) se desactiva pol. azul C F (, AB) no hay polígono (AB, AC) se activa pol. azul (AC, FD) se desactiva pol. azul (FD, FE) se activa pol. rojo A (, AB) no hay polígono x (AB, AC) se activa pol. azul (AC, ) se desactiva pol. azul

41 Métodos basados en prioridad (1) Una vez transformados los polígonos, se ordenan según la máxima profundidad de cada uno No es exactamente t la definición i ió de propiedad, d pero se calcula l muy rápido El algoritmo es similar a la técnica del pintor los polígonos se procesan en orden En la etapa k, los polígonos P1, P2,, Pk-1 ya han sido correctamente t dibujados, d y hay que ver si Pk está bien ordenado, o hay que moverlo hacia delante z P j P i Inicialmente, P i estaría ordenado en la lista por delante de P j

42 Métodos basados en prioridad (2) El algoritmo para cada iteración k sería: z Si z min (P k ) > z max (P k+1 ) P k está bien colocado z min z max P k Si no, hay realizar más comprobaciones, ordenadas de menor a mayor dificultad P k+1 Desde que se incumpla uno P k está bien colocado 1. Son disjuntos P k y P k1 k+1 en x? 2. Son disjuntos P k y P k+1 en y? 3. Está P k por detrás del plano de P k1 k+1? 4. Está P k+1 por delante del plano de P k? 5. Son disjuntas sus proyecciones sobre XY? Si todas las preguntas son negativas, se intercambian P k con P k+1 en la lista, y se vuelven a hacer las comprobaciones para el nuevo P k

43 Métodos basados en prioridad (3) Existen casos en los que se entra en un bucle Hay que saber detectarlos, y romper un polígono por el plano que contiene a otro Se usa mucho en simuladores de vuelo y de coches, donde los elementos del fondo tienen un orden fijo y conocido de antemano

44 Algoritmo para superficies curvas

45 Trazado de rayos (ray-tracing) La filosofía es totalmente distinta a los anteriores algoritmos No utiliza propiedades de coherencia, tratando cada punto individualmente Es de los más costosos, pero permite escenas con objetos de cualquier tipo Simula con facilidad reflexiones, refracciones, sombras, texturas, transparencias, etc. Se supone conocido el plano de proyección en el espacio, ya discretizado en pixels El procedimiento consiste en lanzar rayos a través de cada pixel, propagándolos a través de la escena, hasta que intersecten un objeto El primer punto detectado determina el color del pixel

46 Ray-tracing (2) Cuando se definió la visibilidad, se consideraba un punto Q sobre un objeto, y se trataba de deducir si era visible o no, y cuál era su proyección Ahora es al revés conozco la proyección, y quiero ver qué punto de la escena se proyecta sobre él Sea F(x,y,z)=0 la ecuación de un objeto Sea (a,b,c) las posición del ojo v Para cada pixel se define el vector v que va del ojo a ese pixel r = <r x, r y, r z > La ecuación del rayo será (x,y,z) = (a,b,c) + t (r x, r y, r z ) Para cada objeto calculamos las intersecciones F(a+tr x, b+tr y, c+tr z ) = 0 (a,b,c)

47 Ray-tracing (3) Al resolver la intersección t, pueden salir 0, 1 ó varias intersecciones Si no existe ninguna, es que el rayo no intersecta el objeto Si sólo existe una, ése es el punto que nos interesa Si existen varias, habrá que coger la solución positiva más pequeña Cuando tenemos las intersecciones calculadas con todos los objetos, nos quedamos con el valor positivo más pequeño La ventaja es que el cálculo de intersecciones para cada tipo de objeto diferente puede ser una rutina distinta En ocasiones harán falta algoritmos numéricos para hallar las intersecciones

48 Ray-tracing (4) A veces, un sólido tiene un rango limitado de sus variables en la ecuación implícita F(x,y,z) = 0 Por ejemplo, un polígono viene dado d por la ecuación del plano Ax + By + Cz + D = 0, junto con la restricción de que sus puntos están en el interior Solución: 1. Evaluamos la intersección con el plano 2. Testeamos si el punto pertenece al interior del polígono

49 Ray-tracing (5) En definitiva, el algoritmo no sigue el proceso usual: Transformación de Vista no hace falta, ya que se conoce la posición del observador (a,b,c), el plano de proyección, y la posición ió de los objetos Recorte no hace falta, ya que al buscar soluciones con los rayos que van a los pixels, los objetos que caigan fueran del volumen de vista nunca intersectará con ninguno Proyección es automática, ya que cada rayo indica en qué punto hay que proyectar Visibilidad se resuelve automáticamente al elegir el valor mínimo de t El problema es que es muy costoso Ejemplo: una imagen 1024 x 768 pixels necesita rayos que lanzar, y cada uno debe intersectarse con n objetos (y aún no hemos hablado nada de calcular el color!!) Ventajas: Visualiza realísticamente superficies regulares Permite incorporar modelos de iluminación para simular fenómenos ópticos Permite trabajar ajar con cualquier tipo de objetos

50 Ray-tracing (6)