PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

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1 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Avellaneda PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Guía de Ejercitación (ª parte) Autores: Mg. Lic. María Cristina Kanobel Lic. Andrea Alvarez Lic. Luis Garaventa Revisión de respuestas: Prof. Gabriel Romero Año 01

2 Unidad 4: Valor esperado-varianza- Suma de variables aleatorias 1. Sea una variable aleatoria discreta con la siguiente distribución de probabilidades: x 0 x p(x) p Si se sabe que E(X)= 5 4, calcule x 3 y p 3. Una fábrica embarca sus productos en camiones de dos tamaños distintos, uno de x 3 x 1 metros y el otro de x 3 x 9 metros. Si el 30 por ciento de los envíos se hacen con el camión de 9 metros y el resto con el de 1 metros, calculen el volumen medio embarcado por camión (consideren que los camiones van siempre llenos.) En un puesto de una feria se paga $4 para tener derecho a realizar un tiro al blanco. El puestero ofrece un premio igual al triple del puntaje obtenido en el blanco que muestra la figura. Un señor A se dispone a tirar y, según su experiencia en este juego, sus probabilidades de obtener un determinado puntaje son las siguientes: x p(x) a) Calculen E(X) b) Si Y la variable aleatoria que denota la ganancia del jugador: i. Construyan la distribución de Y ii. Calculen E(Y) de dos formas distintas. 4. Se contrata una póliza sobre un auto con las siguientes cláusulas: se paga $5000 por destrucción total o robo o $400 por destrucción parcial La probabilidad del suceso destrucción total es 0,04 y la de destrucción parcial Calculen el valor de la prima de seguros, considerando que para el cálculo de la prima, la ganancia esperada de la compañía debe ser cero. 5. El número N de casas residenciales que una dotación de bomberos puede atender depende de la distancia r (en cuadras) que una autobomba puede recorrer en un período especifico de tiempo. Si suponemos que N es proporcional al área de un círculo cuyo radio es r cuadras, entonces N C r donde C es una constante y r ( que es una variable aleatoria) es el número de cuadras que una autobomba puede recorrer en un intervalo de tiempo específico. Para una compañía dada C = 8, la 1 Mendenhall W. Introducción a la probabilidad y la estadìstica. Grupo Editorial Iberoamérica México 1987

3 distribución de probabilidad de r está dada en la siguiente tabla y p(r) = 0 para r<1 y para r>6. r p(r) 0,05 0,0 0,30 0,5 0,15 0,05 Encuentren el valor esperado del número de casas N que la dotación de bomberos puede atender. 6. Un juego de azar se considera un juego justo (fair play) cuando la ambos jugadores tienen la misma ganancia esperada. Adriana y María juegan un juego de apuestas que tiene las siguientes características: Se tiran un dado y una moneda. Si sale cara en la moneda y as en el dado, Adriana se lleva el pozo, en caso contrario se lo lleva María. Cuánto debe apostar María por cada peso que paga Adriana si se pretende que el juego sea justo? 7. Calculen la varianza y el desvío estándar de las siguientes variables aleatorias discretas: a) X = cantidad de paradas diarias de una máquina x p(x) 0,5 0,15 0,35 0,5 b) Y: Pasajeros por auto en una autopista y p(y) 0,40 0,30 0,15 0,10 0,05 8. Dos tiradores procuran alcanzar un blanco que tiene puntuaciones 1, 3, 5. El tirador X y el tirador Y tienen de acuerdo con sus antecedentes probabilidad de hacer blanco según las siguientes tablas: x p(x) y p(y) a) Calculen E(X) y E (Y). b) Calculen V(X) y V(Y) c) Se forma un equipo con los dos tiradores (los puntos individuales se suman). Construyan la distribución para la variable X+Y, y calculen E(X+Y) y V(X+Y) de dos formas distintas. 9. Calculen el valor esperado de una variable aleatoria Bernouilli usando la definición. Bueno C. y Garaventa L. Probabilidad y Estadística para profesores de Escuela Media (1996) INSPT Bs As. 3

4 10. Calculen la varianza y el desvío de una variable aleatoria Bernouilli usando la fórmula de cálculo de la varianza. 11. Calculen el valor esperado de una distribución binomial usando la propiedad del valor esperado de la suma de variables. 1. Calculen la varianza de una distribución binomial usando la propiedad de la varianza de la suma de variables independientes. 13. Sea una X variable aleatoria uniformemente distribuida en (a; b) a) Calculen el valor esperado usando la definición. b) Calculen la varianza y el desvío usando la fórmula de cálculo de la varianza Una variable aleatoria uniforme es tal que su valor esperado es 1 y su varianza. 3 Calcular P (9<x<11,5). 15. Una reciente encuesta señaló que a las 9 p.m. del sábado, 40% de la audiencia mira el canal A, 30% el canal B y 30% el canal C. En una muestra aleatoria de 10 televidentes, cuántos se esperaría que estuvieran viendo cada canal? 16. El número de averías por semana de una computadora es una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con media 0,4 a) Cuál es la probabilidad de que la computadora trabaje sin averías durante dos semanas consecutivas? b) Si se eligen al azar 5 computadoras, calculen la probabilidad de que al meno una de ellas trabaje sin averías durante tres semanas consecutivas. 17. El número de huracanes que llega a la costa oriental de los Estados Unidos por año, es una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson con valor medio 1.8. Hallar la probabilidad de que en un año dado: a) No lleguen huracanes b) ocurra no más de un huracán. 18. Si X es una variable aleatoria tal que f x kx para valores de X comprendidos entre - y y nula fuera del intervalo. Hallen E(X) y V(X). 19. Sabiendo que X es una v.a. exponencial negativa de parámetro, calculen: a) el valor esperado de la distribución usando la definición. b) la varianza usando la fórmula de cálculo. 0. El volumen de producción de cierto artículo es N(a, b). Si un 60% de los días se producen menos de 150 t, el 35% de los días se producen entre 150 y 160 toneladas, y en los mejores días se pasan las 160 t. a) Hallar a y b. 4

5 b) Si produce un volumen entre 160 y 140 toneladas, el fabricante gana $ 5000 por tonelada y pierde $600 si la producción diaria excede o no alcanza dicho rango. Calcular la ganancia diaria esperada. 1. La cantidad de kilómetros que recorre un camión por viaje contratado es una variable 1 aleatoria con función de densidad f x para valores de X comprendidos en el 400 intervalo 100 ; 500 km. Si la ganancia en $ está dada por G = 0,30X+50 (donde X es la cantidad de kilómetros recorridos), calcular la ganancia esperada y es desvío estándar de la ganancia por viaje.. Una máquina empaqueta cierto producto en dosis de peso Xi que está distribuida normalmente con media 5 gramos y desvío 4 gramos. Además el peso del paquete vacío es una variable aleatoria normal con media 5 g y desvío 0, gramos. Si se toma al azar un paquete completo hallar la probabilidad de que el peso se encuentre entre 9 y 31 gramos. 3. Para cierto proceso se usan tornillos y arandelas. El diámetro de los tornillos es N(10;1)mm y el de las arandelas N(9,0,95). Cuando un par elegido al azar no calza, se descartan tornillo y arandela. Hallar el porcentaje de pares descartados en este procedimiento. 4. Las manzanas que se producen en un huerto tienen un peso que es una variable normal con media 150 gramos y desvío 40 g. a) Si se toma una muestra de 50 manzanas y se las embolsa, hallar la probabilidad de que la bolsa completa supere los 8 kg. b) Si se eligen dos manzanas al azar, hallar la probabilidad de que la diferencia entre sus pesos sea inferior a 40 gramos. 5. Los tubos que produce una fábrica tienen una duración exponencial; negativa con varianza h². Se colocan 50 tubos de este tipo en un sistema de modo tal que al quemarse el tubo en uso se enciende automáticamente el siguiente (considerar nulo el tiempo entre que se apaga y se prende el siguiente tubo. Hallar la probabilidad de que el sistema falle después de los 7 años de funcionamiento. Actividades integradoras 6. Hallar el valor esperado y la varianza de la función f( x) 1/ 9x 0 x 3 / 3 1/ 9x 3 x 6 7. Analice si se cumple la siguiente afirmación: Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces V(X-Y) < V(X) ( 3 ) 3 Extraído del final de PyE- UTN FRA- 18/4/06 5

6 8. Los arribos a la cola de espera de un banco ocurren según Poisson de modo tal que la 1 probabilidad de que no haya arribos en 5 minutos es e. a) Calcular la cantidad esperada de personas que arriban a la cola en una hora. b) Si a las personas se les entrega un número, calcular la probabilidad de que el número 40 se haya entregado luego de las cuatro horas de iniciada la cola (recordar que el tiempo entre dos arribos según Poisson se distribuye según una exponencial negativa del mismo parámetro) c) Calcular entre las 40 personas que arribaron a la cola, la cantidad esperada de las que tardan más de 5 minutos en tener otro cliente detrás. 9. El peso de ciertos bultos es una variable aleatoria normal tal que el 16 % pesa mas de 50 Kg. y el,5% pesa menos de 44 Kg. Para transportarlas les cobran $10 por los que pesan mas de 5 Kg., $8 por los que pesan entre 5 y 46 Kg. y $5 por los que pesan menos de 46 Kg. Hallar el precio esperado de transporte por bulto. 30. Las mechas de widia que se producen en una fábrica tienen un diámetros que se distribuye según una N (5,0; 0,1)mm. Las mechas se envasan en estuches cilíndricos cuyo diámetro interior es N(5,1; 0,). Si se toma cinco pares al azar, calcular la probabilidad de en por lo menos uno de ellos, que la mecha quepa en el envase. 31. La duración de ciertos componentes tienen distribución exponencial con desvío de 000hs. Si la componente dura menos de 100hs produce un costo en la operatoria de$1000, si dura entre 100 y 1500 el costo es de $50, y si la duración es superior a 1500hs se considera nulo el costo. Hallar el costo medio de la operatoria. 3. Una envasadora automática de líquidos llena botellas de capacidad 1100 cm 3. La operación garantiza que el contenido neto, en el 95% de los casos, no es inferior a 1000 cm 3. Razones técnicas obligan a dejar libre un volumen de por lo menos 50 cm 3. La máquina está preparada para que la probabilidad de que esto no ocurra sea Cuál es la media y cuál es el desvío estándar del contenido neto suponiendo que está normalmente distribuido? 33. Los envases para una mecha de widia tienen un diámetro que se distribuye normalmente con media 8, y desvío 0,3 mm. Las mechas que se fabrican tienen un diámetro cuya distribución es N (8; 0,0).Si se toman al azar 50 pares mecha - envase, calcular la cantidad esperada de mechas que entran en su envase Es válido afirmar que si E(X) >0 entonces el recorrido de la variable aleatoria X está incluido en el conjunto de los números reales positivos? Justifique su respuesta. 5 4 Final P y E UTN FRA ( 8 / 05/ 07) 5 Final P ye UTN FRA ( 0/ 1/ 06) 6

7 35. Sea 0 six 0 1 x F ( x) x si0 x 100 FDA de una v.a. continua, hallar su valor six 100 esperado y su varianza. 36. El tiempo de espera para la salida de un tren desde que se arriba a la estación puede explicarse mediante una distribución uniforme entre 0 y 30 minutos. Si una persona utiliza dicho servicio todos los días durante un mes, cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera supere los 10 minutos? La duración de ciertos tubos de luz tiene distribución exponencial con un desvío estándar de 1500 horas. Para cotizar una partida para la venta se procede de la siguiente manera: se toma un tubo y si la duración superior a las 1500 horas, el lote se cotiza a $ cada tubo, si se encuentra entre 1000 y 1500 horas, el lote se vende a $1,5 cada tubo y si la duración es inferior a las 1000 horas se vende como material de segunda a $0,50. a) Calcular la cotización esperada por tubo. b) Si se eligen al azar 50 tubos hallar la cantidad esperada de tubos que duran más de 1000 horas 38. Una máquina embotella líquido en forma automática. Las botellas tienen un volumen Y:N(1000,10) en cm³ y son llenadas desde un pico que entrega una cantidad de líquido X, siendo X:N(990,0) cm 3 a) En un proceso de llenado Cuál es la probabilidad de derramar líquido? b) Hallar la probabilidad de que de una muestra de 10 botellas más de 100 tengan 15 cm³ libres. 39. Una máquina produce tornillos cuyos diámetros se distribuyen normalmente con parámetros 3,3 y 0,05 mm. Los tornillos se acoplan con arandelas cuyo diámetro interior se distribuye normalmente con media 3,5 y desvío 0,05 mm. Si se toma un par tornillo-arandela al azar de la producción general, calcular la probabilidad de que el tornillo calce en la arandela. 40. Un ascensor está diseñado para un peso máximo de 300 kg. Si el peso de los hombres se distribuye normalmente con una media de 78 kg y un desvío standard de 7 kg mientras que el peso de las mujeres se distribuye según una normal con media 57 kg y un desvío de 6 k, cuál es la probabilidad de que al subir dos hombres y dos mujeres se sobrepase el peso permitido? 41. El espesor de una plancha metálica se distribuye uniformemente entre 5 y 7 mm. Si se apilan 100 planchas, cuál es la probabilidad de que la altura de la pila sea superior a 61 cm? 7 4. En relación con un experimento aleatorio se define una variable distribuida según: 6 Final PyE UTN FRA ( 1/ 08 / 07) 7 Extraído de Zanardi, Oílda: Introducción a la Teoría de Probabilidades e inferencia estadística, 7

8 f(x) = 0,75 (1-x) si -1<x<1 ( 0 fuera del intervalo) a. Calcular el valor medio y el desvío estándar de Y=4X-5 b. Hallar la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos en 36 observaciones independientes de X sea superior a 1,8. c. Calcular la cantidad esperada de veces, entre las 36 observaciones, que el valor de X es inferior a 0,5 43. Una máquina envasadora larga en cada impulsión de líquido una cantidad que es una variable aleatoria normal (k; 0,04k). Indicar si conviene más llenar un envase de un litro con cuatro impulsiones de valor medio 50 cm3 o con una sola de 1000 cm3, si se quiere minimizar la cantidad de envases con menos de 990 cm El consumo diario de combustible en una planta industrial es una variable aleatoria con media 35 litros y varianza 140 litros al cuadrado. Qué capacidad en litros deberá tener un tanque para satisfacer el consumo de 300 días con 90% de probabilidad? 45. La estatura de las personas que asisten a un gimnasio se distribuye normalmente. Se sabe que el 15.87% de las mismas no llegan a medir 1.50m mientras que el 34.46% supera 1.78m. Si se eligen dos personas al azar, calcular la probabilidad de la diferencia entre las alturas sea superior a 0 cm8 Respuestas a los ejercicios: 1. X 3 = 8 p 3 = 3/16. E(V) =66,6 3. a) E(X) = 1.5 b) i. Y = 3X - 4 Y P(y) ii. E(Y) = 3 E(X) 4 = Prima: María = 11 Adriana = 1 7. E(x)=1,60 V(x) = 1,4 E(y) =,1 V(y)= 1,39 8. a) E(X) = 3.6 V(X) = 1.64 b) E(Y) = 3.6 V(Y) = 3.4 c) X+Y P(X+Y) E(X+Y) = 7. V(X+Y) = Ejercicio extraído del Final PyE UTN FRA ( 1 / 08 / 07) 8

9 9. E(X)=p 10. V(X)=p(1 p) 11. E(X)= n.p 1. V(X)= n.p(1-p) 13. E(X)= (a + b) / V(X)= (b a) / , E(A)= 4; E( B)= 3; E(C)=3 16. a) P(x=0)= 0,449 b) P(x>1)= 0, a) P(x=0)= 0,1659 b) P(x<1)= 0, E(x)=0 19. E ( x) 0 x * e x dx xe x e x dxi 0 xe x 1 e x ( 1 ) 1 V ( x) E(( x E( x)) E( x xe( x) E ( x) E( x E( x) E( x) E ( x) E( x ) E ( x) E( x ) ) 0 xe x dx V ( x) a) b=7,14 a=148,1; b) G(x)= 364, 1. E(X) = 300 V(X)= 4188,0 E(G) =140 V(G)= 10,393. X: N(5;4) Q:N(5;0.) E(X+Y) = 30 V(X+Y) = P( 9 X+Q 31) = P(-0.5 Z 0.5) = T: N(10;1) A:N(9;0.95) E(T-A) = 1 V(T-A) = P (T A) = P ( T-A 0) = P(Z -0.7) = es decir: 76.4% 4. X: N(150;40) E(X 1 +X +...+X 50 ) = = 7500 V(X 1 +X +...+X 50 ) = ² P(X 1 +X +...+X ) = P( Z 1,77) = / ² = h² E(X) = 1/ = 1000 V(X) = 1/ ² = E(X 1 +X +...+X 50 ) = V(X 1 +X +...+X 50 ) = P(X 1 +X +...+X ) = P (Z 1,60) =0,0455 Respuestas a las actividades de integración: 9

10 Unidad 5: Estimación de parámetros 1. La distancia que recorre un camión de basura por viaje es una variable aleatoria normal con media 60 km y desvío 0 km. Si se toman los recorridos de 40 viajes, calcular la probabilidad de que la distancia promedio no exceda los 63 km.. El tiempo que un adolescente utiliza su mp3 en el día se distribuye uniformemente en el intervalo (1; 5) horas. Si se eligen 100 jóvenes al azar, hallar la probabilidad de que el tiempo medio utilizado sea superior a hs. 3. En un país dado, el ingreso promedio anual de una persona es $600 con una desviación estándar de $400. a) Si se toma una muestra aleatoria de 64 personas en este país, calcular la probabilidad de que el ingreso medio de la muestra exceda $6300. b) Si se toma una segunda muestra independiente de 64 personas, calcular la probabilidad de que ambas medias muestrales excedan $ La carga máxima (con un factor de seguridad generoso) para el elevador de un edificio de oficinas es 1000 kg. La distribución de frecuencias relativas de todos los hombres y mujeres que usan el elevador tiene distribución aproximadamente acampanada, con media igual a 75 kg. y desviación estándar de 17,5 kg. Cuál es el mayor número de personas que se debe permitir en el elevador si se quiere que el peso total exceda el peso máximo con una probabilidad menor que 0.01? 5. Se empaquetan 18 bombones en cajas de 10 gramos (peso constante). El peso de cada bombón es una variable aleatoria normal, con media gramos y desvío estándar,5 gramos. La inspección final pesa las cajas llenas y rechaza las que pesan menos de 500 gramos. a) Cuál es la probabilidad de no rechazar una caja en que por error se empaquetan 17 bombones? b) Cuál es la probabilidad de que sea rechazada una caja con 18 bombones? 9 6. Las bolsas que salen de una embolsadora de papas tienen un peso aleatorio que se distribuye normalmente de modo tal que el % de las bolsas pesa más de 63 kg y el 5% menos de 41,80 kg. En cuánto habría que modificar el desvío estándar para que el promedio de 10 bolsas elegidas al azar sea menor de 48 kg. como máximo el % de las veces? 7. Para efectuar un control de calidad en cierto supermercado sobre los paquetes de espinaca congelada se decide pesar 40 paquetes y aceptar el embarque si el peso promedio supera los 490 g. Si el fabricante envasa con una media de 500g y desvío de 50g, hallar la probabilidad de que el supermercado rechace el envío. 9 Magazanik, José (1997). Probabilidad y Estadística. Guía de Trabajos Prácticos. CEIT - FRBA 10

11 8. En diferentes ocasiones se tomaron los tiempos que un operario tarda para realizar una tarea, obteniéndose los siguientes resultados: Estimar la media y la varianza muestral. 9. La tabla siguiente da la resistencia a la tracción FT y la dureza Brinell HB de diez probetas de cierto tipo de acero: FT HB a) Estimar la resistencia media de las probetas a la tracción FT y la dureza Brinell b) Hallar un intervalo de confianza al 90% en cada caso. 10. Decir V o F. Justificar: a) La media muestral para un tamaño n dado es un número fijo. b) El desvío muestral es un estimador insesgado 11. Sabiendo que ˆ es un estimador insesgado del parámetro q, analizar si también lo es k ˆ, donde k es una constante. 1. La producción de un tipo de lámparas tiene un desvío de 1400 horas. Se toma una muestra de 36 lámparas que dieron en promedio una duración de 1600 hs. Hallar un intervalo de confianza del 98% para la duración media. 13. Una maquina llena botellas de litro de gaseosa. Se toma una muestra de 35 botellas y se calcula un contenido promedio de 950cm 3. Suponiendo un desvío 35cm 3, hallar un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional. 14. Para estimar el peso de unas manzanas, se tomo una muestra de 50 manzanas, se las peso y se obtuvo un peso medio de 15gr, con un desvío de 0gr. a) Hallar un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de las manzanas que se producen. b) Si se conociera que el desvío de los pesos de las manzanas es 15gr, calcular el tamaño de la muestra necesario para estimar el peso medio con un intervalo de confianza del 95% de precisión 10 gr. 15. Un investigador esta convencido de que su equipo de medición posee una variabilidad medida por un desvío estándar de. Al realizar el experimento registró observaciones de 9,8; 3.0, 4.8, 4.1, 5., 4,9 y 10.. Hallar un intervalo de confianza para el desvío estándar poblacional al 98% Puede sacar alguna conclusión? 16. El diámetro de los tornillos que se fabrican en una planta es una variable aleatoria. Estimar el desvío estándar al 95% de confianza, si se cuenta con la siguiente muestra:

12 17. Un genetista se interesa en el porcentaje de hombres africanos que tiene cierto trastorno sanguíneo. Para ello se observan 100 hombres, de los cuales 4 padecen la enfermedad. Hallar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de hombres africanos que tienen ese desorden sanguíneo. 18. El diámetro de los tornillos que se producen en una fábrica se distribuyen normalmente con desvío estándar de 0,1 mm. Cuántos tornillos habría que relevar para estimar el diámetro promedio mediante un intervalo de confianza del 99% cuyo error de estimación no supere los 0,5 mm? 19. Analizar la validez de las siguientes afirmaciones: a. Los extremos de un intervalo de confianza es una variable aleatoria b. La longitud de un intervalo de confianza al p% para la media poblacional tiene longitud fija. 0. Un contratista ha construido un gran número de casas de aproximadamente el mismo tamaño y precio. Si se conociera que el desvío en el precio de las casa es de $400, de que tamaño debería tomarse una muestra para estimar el precio promedio con un intervalo de confianza del 90% que tenga un error menor a $00? Actividades de integración: 1. La duración (en horas) de ciertas baterías, se distribuye según una exponencial negativa con desvío 00 hs. Si se eligen 49 elementos al azar: a. Calcular la probabilidad de que el promedio de duraciones no se aparte de la media en más de 190 hs. b. Hallar la varianza de la cantidad de elementos que siguen funcionando después de 10hs. Deduzca la expresión del intervalo de confianza de nivel 1-α para la varianza de una variable aleatoria normal. Indique claramente los supuestos teóricos que sustentan su demostración 3. Una encuesta de 400 seres humanos, produjo 80 para los que el ojo derecho es el ojo dominante. Estime la fracción de la población total cuyo ojo derecho es el dominante por medio de un intervalo de confianza del 95%. 4. Explique por qué X es un buen estimador puntual del valor medio poblacional Se calcula que la media de los promedios de 36 alumnos de la UTN FRA del último año es de 8.3. Hallar el intervalo de confianza del 99% para la media general de los alumnos del último año. Los registros históricos indican un desvío de la población de 0.3 puntos. 10 Teórico extraído del Final P y E UTN FRA ( 0 / 1 / 06) 1

13 6. Se toman 100 muestras de tamaño n de una población normal de la cual se conoce el valor de. Con los valores obtenidos se construyen 10 intervalos de confianza de probabilidad 1. Qué características tienen en común y qué diferencias los intervalos obtenidos? Se toma una muestra aleatoria de tamaño 3 para estimar la media de una población y se define el estimador ˆ x1 x 3x3. Analizar si es insesgado y explicar 6 porque x es más eficiente que el estimador definido. 8. Sabiendo que a 1 y a son estimadores insesgados del parámetro a, analizar si el promedio entre ellos es otro estimador insesgado de menor varianza. 9. Se pretende estimar la media con el intervalo (174; 196) al 98% de confianza. Si el desvío es 1 de que tamaño era la muestra que permitió dicha estimación? 30. La cantidad de km por que transitan los autos en una ciudad está normalmente varía según una distribución normal. Con una muestra aleatoria de 41 automóviles que dio una media de 910km y un desvío insesgado de 9,6km se construyó un intervalo de confianza cuyo extremo superior fue de 9155 km. Cual fue el nivel de confianza? 31. Para estimar la proporción de piezas que se fabrican que tienen fallas, se toman 150 piezas, de las cuales 0 están falladas. Construir un intervalo de confianza del 95% para la proporción 3. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus baterías duran en promedio, 3 años con una varianza de 1 año. Si 6 de estas baterías tienen duraciones de y 4. años, construir un intervalo de confianza de 95% para la varianza. Respuestas a las actividades: 1. X: N(60;0) E( X ) = 60 V( X ) = 0²/40 P( X 63) = P( Z 0.95) = a) 0.08; b) a) 0.546; b) a) 0; b) FT: IC μ =(40.17;4.3); HB: IC μ =(10.6;15.4) 11 Teórico extraído del Final P y E UTN FRA ( 1/ 08 / 07) 13

14 10. a) No b) No 11. No 1. IC μ =( ;143.67) 13. IC μ =(934.77;965.3) 14. a) IC μ =(117.4;13.58) ; b) n=9 15. IC=(1.7;7.4) 16. C σ = (1.9;3.99) 17. C p = (0.13;0.35) 18. n = n =11 Respuestas de las actividades de integración: 1. a) 1; b) Resuelto en clase 3. IC p =(0.655;0.745) 4. Es insesgado, consistente y eficiente 5. IC μ =(8.171;8.49) 6. Tienen la misma longitud; los extremos varían 7. Es insesgado; x tiene menos varianza 8. Es insesgado; tiene menor varianza 9. n = % 31. IC p =(0.08;0.18) 3. IC = (0.5;3.8) 14

15 Unidad 6: Test de hipótesis 1. La resistencia a la rotura de los cables producidos por un fabricante tiene una media de 800 kg y una desviación estándar de 40 kg. Se afirma que mediante una nueva técnica en el proceso de fabricación esta resistencia puede ser incrementada. Para probar esto se ensaya una muestra de 50 cables y se encuentra que su resistencia media es de 80 kg. Admitiendo que la nueva técnica no modifica la desviación estándar, puede decirse, al nivel de significación del 1%, que hay un aumento en la resistencia media?. Los paquetes de azúcar de 1 kg se distribuyen normalmente con media 1000 gramos y desvío 15 gramos. Tras varios controles, se sospecha que hay problemas con la envasadora ya que el peso de los envases difiere mucho del peso esperado. Se selecciona una muestra cuyos pesos fueron: 990, 988, 1007, 100,950, 930, 1090, 110, 998, Avalaría la sospecha con un nivel de significación del 5%? 3. Los directivos de una empresa sostienen que, con el sistema de premios que estableció, el salario de bolsillo promedio excede los $750. Se sospecha que esto no ocurre. Para poder efectuar el reclamo, el sindicato toma una muestra aleatoria de 31 salarios que dieron una media de $745 con un desvío de $18. Podría el sindicato refutar las afirmaciones de la empresa con un nivel de significación del 10%? 4. El llenado de ciertas botellas se realiza automáticamente, resultando que el volumen se distribuye normalmente con un desvío estándar de 10 cc. Se presume que el contenido medio de las botellas es inferior a 995 cc. a) Apoyaría esta suposición, con un 5 % de probabilidad de error, si para una muestra aleatoria de 1 botellas el contenido medio fue de 993 cc? 1 b) Calcule la potencia si μ =980 c) Idem c) para μ =994. Qué conclusiones se pueden sacar? 5. Se acusa a una empresa de discriminación en sus prácticas de contratación. En el juicio, un jurado comete un error tipo II al no encontrar que la empresa es culpable. Escriba las hipótesis nula y alternativa que se plantearon y justifique su respuesta. 6. Un sociólogo afirma que la proporción de familias en las que sólo uno de los dos padres trabaja supera el 40%. Para ello se tomó una muestra de 400 familias de las cuales en 180 de los casos trabajaba solamente uno de los dos padres. Proveen estos datos suficiente evidencia para avalar la posición del sociólogo, con un nivel de significación del 5%? Para ciertos caños de desagüe se especifica que su diámetro no puede tener un desvio mayor a 5 mm. Una muestra de 15 caños dio una media de 117 mm y un desvío de 8 mm. Se puede afirmar con un nivel de significación del 5% que el desvío de los diámetros es superior al especificado? 1 Extraído de Zanardi, Introducción a la Teoría de probabilidades e Inferencia Estadística, UTN FRA 13 Ejercicio extraído del Final P y E UTN FRA ( 8/ 05/ 07) 15

16 8. En una fábrica de gaseosas se afirma que, durante el proceso de llenado, se desperdician muchos litros de gaseosa por mes con un desvío de 300 litros. Se implementó durante 10 meses una modificación en el proceso que reduciría la pérdida de líquido pero no así su variabilidad. Para tomar una decisión seleccionaron sendas muestras de diez meses elegidos al azar con uno y otro proceso. Los datos fueron los siguientes: con el proceso anterior se obtuvo una media de14900 litros con un desvío de 350 litros, en cambio con el actual, la media fue de l con un desvío de 400 l Se podría afirmar, con un nivel de significación del 5%, que el nuevo proceso minimizaría la pérdida? 9. Se presume que el volumen promedio, en ml, colocados por una máquina (I), es menor que el análogo para otra máquina (II). Se supone que el contenido se distribuye normalmente. Se hicieron 10 observaciones de la máquina (I) obteniendo un volumen promedio de 3,6 ml con un desvío de 0,3 ml y para la máquina (II) se hicieron 1 observaciones las que dieron un contenido promedio de 33 ml con un desvío standard de 0,35 ml. Qué conclusión sacaría con un riesgo de decidir mal del 1 %? Hacer los supuestos necesarios. 14 Actividades integradoras: 10. Suponga que un médico alergista desea probar la hipótesis de que, no menos del 30% de la población es alérgica a ciertos derivados de la leche. Plantee las hipótesis explicando de qué forma podría cometer un error tipo I 11. Una panificadora ha implementado un nuevo proceso de fermentación para preparar panes con salvado de trigo a fin de reducir su nivel calórico. Se seleccionaron al azar sendas muestras de dichos panes que fueron analizadas para determinar su contenido calórico antes y después de la implementación del nuevo proceso. Una muestra de 3 panes con el proceso antiguo dio un a media de 1330 calorías con un desvío de 38 calorías mientras que otra muestra de 50 panes elaborados con el nuevo proceso dio un promedio de 155 calorías y un desvío de 15 calorías. Se proporcionan pruebas suficientes para concluir que el número medio de calorías de dicho pan ha disminuido desde que se implementó el nuevo proceso? Utilice un nivel de significación del 5 % e indique los supuestos necesarios para la validez de la prueba. 1. En el boletín de la Asociación Americana del Corazón, Hypertension, investigadores reportan que los individuos que practican la meditación trascendental (MT) bajan su presión sanguínea de manera significativa. Si una muestra aleatoria de 5 hombres practicantes de MT meditan, en promedio, 8,5 horas a la semana con un desvío de,5 horas, esto sugiere que, en promedio, las personas que hacen MT utilizan más de 8 horas por semana? Utilice un nivel de significación del 5% Extarído de Zanardi, Introducción a la Teoría de Probabilidades e inferencia estadística, UTN FRA 15 Extraído de Walpole, Myers, Probabilidad y Estadística para ingenieros, Editorial Prentice Hall 16

17 13. Se duda que las longitudes de los clavos producidos por dos fabricantes, sean, en promedio, iguales. Se supone que estas longitudes se distribuyen normalmente con un desvío de 0,04cm. Se dispone de una muestra aleatoria de cada uno, que dieron medias de 3,9 y 4,0 cm sobre 16 y 1 observaciones respectivamente. Se podría afirmar, con un 5 % de probabilidad de equivocarse en la decisión, que efectivamente existe la diferencia sospechada? El voltaje de salida de un circuito eléctrico es de 130. Una muestra de 40 lecturas independientes del voltaje de este circuito arrojó una media muestral de 18,6 y una desviación standard de,1. Se podría afirmar que el voltaje de salida es inferior al estipulado? Utilice un nivel de significación del 5 % En una fábrica de gaseosas el encargado de producción afirma que se desperdician en promedio no más de litros de gaseosa por mes con un desvío de 450 litros Se puede corroborar esta afirmación sobre la base de una muestra de 10 meses elegidos al azar en los últimos cinco años, que dio un promedio de litros con un desvío de 500 litros? (usar un nivel de significación del 5%) 16. Se dice que una máquina expendedora de gaseosas está fuera de control si el desvío de los contenidos excede 1,15 decilitros. Si una muestra aleatoria de 5 bebidas de esta máquina tiene un desvío insesgado de,03 decilitros, esto indica que, con un nivel de significación del 5 %, la máquina está fuera de control? Suponga que los contenidos se distribuyen de forma aproximadamente normal Una empresa que vende productos de limpieza para la ropa afirma que un nuevo removedor de manchas eliminará más de 70 % de las manchas en las que se aplica. Para verificar esta afirmación, una cadena de tintorerías que pretende adquirir el producto, utilizará el removedor de sobre 1 manchas elegidas al azar. Si se eliminan menos de 11 manchas tomará la decisión de no adquirir el nuevo producto. a) Evalúe el nivel de significación utilizado b) Evalúe β si el porcentaje de manchas que se eliminan es del 90%. 18. Se desarrolla un transistor de bajo ruido para uso en productos de cómputo. Se afirma que su nivel medio de ruido será menor que los,5 db de los productos que se utilizan actualmente. a. Especifique las hipótesis apropiadas para verificar la afirmación b. Se obtiene una media de 1,8 db y un desvío (s.) de 0,8 db a partir de una muestra de 16 transistores. Para qué nivel de significación sería posible realizar la afirmación? 16 Extraído de Zanardi, Introducción a la Teoría de probabilidades e inferencia estadística, UTN FRA 17 Extraido de Wackerly,Mendenhall, Estadística Matemática con aplicaciones, Editorial Thompson 18 Extraído de Walpole, Myers, Probabilidad y Estadística para ingenieros, Editorial Prentice Hall 17

18 c. Explique, en el contexto del problema qué conclusión puede extraerse acerca del nivel de ruido de esos transistores. d. Explique, en el contexto del problema, el significado de cometer un error de tipo II. Respuestas a las actividades: 1) Sí (Z=3,53) ) Se puede avalar la sospecha ( Z=,06) 3) Se pueden refutar las afirmaciones ( t=-,97) 4) a) No. (Z=-0,69) b) 1 1 c) 1 0, ) Ho = No es culpable 6) Sí. (Z=-,04) 7) Sí ( 35, 84 ) 8) Es posible afirmar que el nuevo proceso reduce las pérdidas 9) Se puede afirmar que el volumen promedio de la máquina 1 es menor al de la máquina ( t=-,83) Respuestas a las actividades de integración 10) Comete un error de tipo I decidiendo erróneamente que no menos del 30% de la población es alérgica. 11) Las pruebas no son suficientes. (t=1,477) 1) La muestra no es suficiente para sugerirlo ( t=0,33) 13) Sí. (Z=-6,55) 14) Sí, (t=-4,1) 15) No. (t=-0,70) 16) Sí. 74, 78 17) a) 0, 085 b) 0, 34 18) a) Se puede realizar la afirmación con un nivel de significación de hasta 0,005. b) Se puede afirmar que el nivel de ruido es inferior a,5 db, con un nivel de significación de hasta aproximadamente 0,005 c) No poder afirmar que el nivel de ruido es inferior a,5 db cuando en realidad lo es. 18

19 Guía de revisión para el segundo parcial. 1. Los envases para una mecha de widia tienen un diámetro que se distribuye normalmente con media 8, y desvio 0,3 mm. Las mechas que se fabrican tienen un diámetro cuya distribución es N(8;0,0). a) Si se toma al azar un par mecha-envase, calcular la probabilidad de que la mecha no quepa en el envase. b) Si se toman al azar de un lote grande 50 envases, calcular la probabilidad de que el diámetro promedio difiera de la media en no más de 0,1 mm 19. Las manzanas que se producen en un huerto tiene distribución normal con media 100 gramos y desvío 0 gramos a) Hallar la probabilidad de que una bolsa con 50 manzanas pese más de 5,3 kg. (Considerar despreciable el peso de la bolsa) b) Si se toman dos manzanas, hallar la probabilidad de que la diferencia entre ambas no sobrepase los 10 gramos. 3. El peso de ciertos bultos es una variable aleatoria normal tal que el 16% pesa más de 50 kg. y el,5% pesa menos de 44 kg. Para transportarlos les cobran $10 por los que pesan más de 5 kg., $8 por los que pesan entre 5 y 46 kg. y $5 por los que pesan menos de 46 kg. Hallar el precio esperado de transporte por bulto 4. Se quiere probar que ciertas componentes duran, en promedio, más de 1500 horas. Para ello se toma una muestra de 30 que dan un promedio de 1550 horas y un desvío de 75 horas. (Si se supone que la distribución de la duración es aproximadamente normal) Hallar un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional. 5. El tiempo que tarda un operario en hacer una tarea tiene distribución normal con desvío estándar 10 minutos. Una muestra aleatoria arrojó los siguientes valores: a) Cuántos operarios deberían relevarse si se quisiera estima el tiempo promedio con un intervalo de confianza del 99% con un error menor que minutos? b) Si se desconociera la varianza y se quisiera usar la muestra para construir un intervalo de confianza del 99% cuáles serían los extremos? 6. La duración de ciertos componentes tienen distribución exponencial con desvío 000 horas. Si la componente dura menos de 100 horas, produce un costo en la operatoria de $1000. Si dura entre 100 y 1500 el costo es de $500 y si dura más de 1500 horas, se considera el costo nulo Hallar el valor esperado y el desvío estándar del costo de operatoria. 7. Los bujes producidos por un torno tienen un diámetro distribuído normalmente. Se afirma que el diámetro medio supera 11.9 mm. Aceptaría esta afirmación con una probabilidad de equivocarse del 1% en base a la siguiente muestra aleatoria: 1.4; 1.94; 1.4; 1.3? 19 Extraido del Final PyE UTN FRA (5/ 1/ 0) 19

20 8. El diámetro de las arandelas que producen en una fábrica es una variable aleatoria normal con media 4 mm. Que valor debería tomar el desvío estándar para que el porcentaje de arandelas con diámetro menor que 3,75 mm no exceda el %? 9. Sea una botella de 450 cm 3. La maquina envasadora envía una cantidad de líquido que es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad: k. x x 500 f ( x) 0 otrox a) Entre 50 botellas que se llenaron, calcular la cantidad esperada con menos de 10 cm 3 libres. b) Si se toman 30 botellas, calcular la probabilidad de que el contenido promedio no supere los 440 cm Para estimar la proporción de piezas que se fabrican que tiene fallas se toman 150 piezas y se encuentra entre ellas que 0 de ellas están falladas. Construir un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional. 11. El peso de los ovillos que produce una máquina se distribuye normalmente. Se obtuvo la siguiente muestra aleatoria: 13, 115, 119, 16, 17, 11, 117, 17. a) Hallar un I.C. de 99% para el peso medio de los ovillos. Respuesta guía de revisión para el segundo parcial 1. a) 0,546 b) 0,736.a) 0,014 b) 0, E(P)=7, (15;1578) sigma es desconocido 5. a) n=165 b) (7,115; 33,85) 6. σ=480,30 7. Deberán construir el intervalo de confianza y con la muestra dada y analizar si el valor del diámetro medio que se postula pertenece o no al intervalo obtenido. 8. σ=0, a) E(K)=0, b) (0,078; 0,1877) 11. ( 115,7; 19,53) 0

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