Universidad Austral de Chile CARACTERIZACIÓN DEL REGIMEN DE MAREAS EN LA BAHÍA DE PUERTO CISNES

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1 Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniería Escuela de Ingeniería Naval PROFESOR PATROCINANTE: Sr: ROBERTO CASANOVA E. INSTITUTO DE CS. NAVALES Y MARITIMAS UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE CARACTERIZACIÓN DEL REGIMEN DE MAREAS EN LA BAHÍA DE PUERTO CISNES Tesis de Grado presentada como parte de los requisitos para optar al Titulo de Ingeniero Naval Mención: Transporte Marítimo MANUEL ALEJANDRO DÍAZ GÓMEZ VALDIVIA, CHILE 2009

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3 2 AGRADECIMIENTOS A mi familia, en especial a ti, Pato, por tu gran ayuda en el desarrollo de este trabajo. A ti Pame y mi Chonguito por su apoyo y paciencia todo este tiempo. A Carlos Molinet por su apoyo y su incansable pregunta Y las tesis, está lista?. A Sergio Rosales por su apoyo en el análisis de mis datos. A todos mis amigos en especial a Ronaldo, Pinocho, Chico Pato, Lucho. A todos mil gracias. En dos palabras puedo resumir cuanto he aprendido acerca de la vida: sigue adelante. Robert Frost

4 3 ÍNDICE RESUMEN... 6 ABSTRACT... 7 I. INTRODUCCIÓN... 8 II.- OBJETIVOS... 9 a) Objetivo General... 9 b) Objetivos Específicos... 9 CAPÍTULO I: CARACTERISTICAS GENERALES DE LAS MAREAS Fuerzas generadoras de mareas Constituyentes astronómicos de la marea Equilibrio mareal Amplitud de la marea Tipos de mareas Efectos meteorológicos Presión Atmosférica Vientos Precipitaciones, evaporación y escurrimiento Estaciones de medición CAPÍTULO II: INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN CAPÍTULO III: ANÁLISIS Y PREDICCIÓN DE MAREAS Método no Armónico Método Armónico Aplicación del Análisis Mareal CAPÍTULO IV: DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Y OBTENCIÓN DE DATOS Área de estudio Variables meteorológicas Variables Oceanográficas Obtención de Datos CAPÍTULO V: RESULTADOS Y CONCLUSIONES RESULTADOS Análisis Armónico Análisis no Armónico Fases Lunares CONCLUSIONES LITERATURA CITADA ANEXO

5 4 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1. Distribución de fuerzas de atracción de la Luna (línea fina), fuerzas centrífugas del sistema Tierra Luna (línea segmentada) y fuerzas generadoras de marea (línea roja) en diferentes puntos de la Tierra Figura 1.2. Componentes de la fuerza generadora de marea en un punto P Figura 1.3. Deflexión de la vertical resultante entre la fuerza generadora de marea y la fuerza de gravedad Figura 1.4. Efectos de fase lunar sobre la amplitud mareal (Vista desde el polo norte) Figura 1.5. Efectos de paralaje de la Luna y el Sol, sobre las amplitudes mareáles Figura 1.6. Efectos de la declinación lunar sobre la amplitud mareal Figura 1.7. Tipos de mareas Figura 1.8. Variaciones en los rangos y alturas de las mareas, donde la profundidad de la carta es el nivel de reducción de sondas Figura 2.1. Principales componentes de un mareógrafo del tipo presión de gas Figura 2.2. Principales componentes de un mareógrafo del tipo flotador Figura 2.3. Principales componentes de un mareógrafo del tipo acústico Figura 2.4. Principales componentes de un mareógrafo del tipo satelital Figura 3.1. Principales planos de la marea Figura 3.2. Principales componentes mareales Figura 4.1. a) Porción del mar interior del sur de Chile, mostrando el área de estudio, b) Perfil batimétrico Canal Puyuhuapi Figura 5.1. Alturas del Nivel de la Marea en zona de estudio registradas entre el 10 de Marzo y 12 de Abril de

6 5 ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1.1 Constantes Astronómicas para la Tierra, Luna y el Sol Tabla 1.2 Frecuencia y períodos de las variables astronómicas constantes Tabla 1.3 Períodos y frecuencias básicas de movimientos astronómicos Tabla 1.4 Constituyentes astronómicos de la marea más importantes agrupados por especies Tabla 5.1 Resultados Principales componentes Armónicos Tabla 5.2 Valores No Armónicos de la Marea Tabla 5.3 Fases de la Luna durante el periodo de estudio Tabla 5.4 Declinación de la Luna durante el periodo de estudio Tabla 5.5 Registro horario de las alturas de la marea en Puerto Cisnes. Desde el 10 de Marzo de 1994 a 12 de abril de Tabla 5.6 Constituyentes Armónicos de la Marea

7 6 RESUMEN Las mareas son los procesos más regulares que se presentan en los océanos, dados por el movimiento periódico de ascenso y descenso del nivel del mar. Esta onda de marea es fundamentalmente la manifestación de las fuerzas de atracción gravitacional que ejercen los cuerpos celestes sobre la Tierra en rotación, en especial la Luna y el Sol. Las respuestas del océano se manifiestan de diferentes formas frente a las fuerzas generadoras de mareas, distinguiéndose principalmente mareas de tipo diurnas, semidiurnas y mixtas. Los estudios de la propagación de la onda de marea en cuerpos de agua costeros se iniciaron ante la necesidad de utilizarlos como rutas de navegación y tienen como objetivo reproducir parámetros significantes, estables en el tiempo, que describen el régimen mareal del lugar de observación. Los parámetros son llamados frecuentemente constantes mareales, sobre la asunción implícita que las respuestas de las masas de agua hacia las fuerzas generadoras de mareas no cambian en el tiempo. En este trabajo se determinan el régimen de mareas, las constantes mareales armónicas y no-armónicas en una bahía del sur de Chile. Se realizaron mediciones horarias del nivel del mar con un mareógrafo MeterCraft entre marzo y abril de Los resultados muestran la presencia de un régimen de mareas semidiurno con amplitudes medias que variaron desde 1,16 m hasta los 2,93 m para bajamar y pleamar respectivamente, lo que concuerda con estudios realizados anteriormente en la zona. Se determinó un bajo coeficiente de amplitud como medida de la distorsión de la componente mareal semidiurna, lo cual revela la influencia del efecto de las aguas someras en la bahía. Las mayores amplitudes fueron registradas cuando se observó una combinación entre la fase nueva y la declinación lunar sur, mientras las menores amplitudes fueron registradas durante la fase Cuarto Menguante y la declinación lunar máxima norte. Más del 80% de la energía de la onda de marea es aportada principalmente por 6 (M 2, S 2, N 2, Q 1, O 1, K 1 ) de los 35 componentes armónicos obtenidos en el análisis.

8 7 ABSTRACT The tides are the most regular processes that appear in the oceans because the periodic rises and falls in the sea level. This tidal wave is essentially the result of the forces of gravitational attraction of the celestial bodies on the ground in rotation, especially, Moon and Sun. The ocean s responses are shown in different ways before the generating forces of tides, distinguishing principally, diurnal, semidiurnal and mixed types. The studies of the spread of the tidal wave in coastal water bodies began before the necessity to use them as routes of navigation and their objective is to reproduce significant parameters, stable in the time, that describe the cycle of tides of the place of observation. The parameters are frequently called tidal constants, on the implicit assumption that the responses of the water masses towards the generating tidal force do not change over time. The cycle of tides, harmonic and non-harmonic tidal constants in a bay of the south of Chile were determined in this work. Hourly measurements of the sea level were realized by a Metercraft between March and April, The results show the presence of a semidiurnal cycle tide with average extents that varied from 1,16m up to 2,93m for low tides and high tides respectively, which agrees with studies realized previously in the zone. A low coefficient of extent was determined as a measure of the distortion of the semidiurnal tidal component, which reveals the influence of the effect of the shallow waters in the bay. The major extents were registered when a combination between the New Phase and the lunar south decline was observed, while the minor extents were registered during the Last Quarter Phase and the maxim lunar north declination. Over 80 % of the energy of a tidal wave is contributed principally by 6 (M2, S2, N2, Qi, O1, K1) of 35 harmonic components obtained through the analysis.

9 8 I. INTRODUCCIÓN En las últimas tres décadas, la zona de canales del sur de Chile ha sido testigo de un importante auge en el tráfico marítimo, fundamentalmente en lo referente a actividades de explotación de recursos pesqueros como en el ámbito turístico (Fierro et al, 1999). Dicho tráfico involucra tener un cabal conocimiento tanto de las señalizaciones marinas, accidentes morfológicos, como de las características más relevantes en la circulación de las aguas. En este ámbito, uno de los agentes de mayor importancia en los patrones de circulación dentro de estas zonas, lo constituyen los fenómenos asociados a la propagación de la onda de marea desde el océano Pacífico hacia las aguas interiores (Fierro et al, 1999). Los estudios de la propagación de la onda de marea en cuerpos de agua costeros se iniciaron ante la necesidad de utilizarlos como rutas de navegación. Los conocimientos adquiridos han permitido el aprovechamiento de las mareas como fuentes de energía, el diseño de estructuras costeras y el apoyo a estudio de impacto ambiental (Pugh, 1984 en Cerda, 1993). Al respecto estudios puntuales en la zona del canal Moraleda indican la fuerte influencia de éste forzante sobre la circulación, llegando a ser en algunos casos más importantes que aquellos derivados del aporte de agua dulce desde el interior de fiordos y glaciares (Salinas y Hormazábal, 1996 en Fierro et al, 1999). Estudios realizados en el canal Moraleda muestran una marea del tipo semidiurna mixta (Fierro et al. 1999), mientas que hacia el interior de los canales se evidencia un régimen mareal principalmente semidiurno, menos influenciada por el océano. En un principio se describe en general la dinámica de las ondas de marea, en cuanto a origen y respuesta oceánica, las perturbaciones de carácter meteorológico, tipos de estaciones de medición. De las observaciones del nivel del mar se calcularán las constantes armónicas, determinando el régimen mareal. Además se calcularán los principales planos mareales de acuerdo a las instrucciones oceanográficas nº 2 (SHOA, 1999).

10 9 II.- OBJETIVOS a) Objetivo General Estudiar el régimen de mareas en la bahía de Puerto Cisnes a través de datos registrados por el Servicio Hidrográfico y Oceanográfico de la Armada durante los meses de Marzo y Abril del año b) Objetivos Específicos Determinar las principales constantes mareales armónicas en la bahía de Puerto Cisnes. Determinar los valores no armónicos de la marea en la bahía de Puerto Cisnes. Caracterizar el régimen de mareas en la bahía de Puerto Cisnes.

11 10 CAPÍTULO I: CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LAS MAREAS

12 11 1. CARACTERISTICAS GENERALES DE LAS MAREAS Las mareas son los procesos más regulares que se presentan en los océanos. Deben su origen principalmente a la atracción gravitacional que ejercen la Luna y Sol sobre la Tierra. Ambos astros influencian más del 98 % de las variaciones del nivel del mar Fuerzas generadoras de mareas El fenómeno de las mareas es gobernado por la teoría de la gravitación universal, la que fue explicada por Sir Isaac Newton en Esta teoría establece que toda partícula material del Universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza directamente proporcional al producto de las masas de ambas partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir: F g m m 1 2 G (1.1.1) 2 r donde: F a m 1 y m 2 r : fuerza de atracción gravitatoria sobre cada partícula (N). : masas (kg). : distancia que separa ambas partículas (m). G : constante de gravitación universal (6, (N m 2 /kg 2 )) Esta fuerza actúa en la línea que une a ambas partículas y está dirigida hacia la partícula que ejerce la atracción. En el sistema Solar los planetas y sus satélites presentan movimientos orbitales anuales y mensuales respectivamente en torno a un centro de gravedad común, y por lo tanto experimentan fuerzas centrífugas que son proporcionales a sus masas, al cuadrado de sus velocidades angulares y a sus radios orbitales (Pugh, 1987). Para el caso de una partícula de masa m, esta fuerza se expresa matemáticamente como: F c 2 m a (1.1.2)

13 12 donde: F c : fuerza centrifuga (N). ù : velocidad angular (s -1 ) a : radio orbital, que corresponde a la distancia entre la partícula y el centro de rotación en (m). La fuerza centrífuga actúa en dirección paralela y sentido opuesto a la línea que une a la partícula con el sentido de rotación. El equilibrio de este sistema requiere que la resultante de todas las fuerzas centrífugas sea de igual magnitud, dirección y sentido contrario a la resultante de todas las fuerzas de atracción centrípeta (Pugh, 1987). Si consideramos a la Tierra y la Luna como un sistema independiente, unidas por una cuerda gravitacional, girando en torno a su centro de gravedad (baricentro) con una frecuencia angular común ù, podemos apreciar la distribución de fuerzas centrífugas correspondientes a tal movimiento y la distribución de las fuerzas de atracción centrípeta debidas a la acción de la Luna en distintos puntos de la Tierra (Fig. 1.1). Durante el movimiento del sistema la Tierra es irrotacional y todas sus partículas describen órbitas del mismo tamaño, de manera que las fuerzas centrifugas son iguales en magnitud y dirección en cualquier punto de este planeta. Al mismo tiempo, las partículas terrestres experimentan fuerzas de atracción cuya magnitud y dirección dependen de sus posiciones relativas al satélite (declinación, ä). Como consecuencia de su distinta naturaleza, las fuerzas de atracción gravitacional y las fuerzas centrífugas no están balanceadas en todos los puntos de la Tierra. Las resultantes de estas fuerzas reciben el nombre de fuerzas generadoras de mareas.

14 13 Luna 12 Figura 1.1. Distribución de fuerzas de atracción de la Luna (línea fina), fuerzas centrífugas del sistema Tierra Luna (línea segmentada) y fuerzas generadoras de marea (línea roja) en diferentes puntos de la Tierra.

15 14 Considerando el sistema Tierra-Cuerpo tractor, en un punto cualquiera (P) sobre la superficie de la Tierra, la fuerza generadora de marea sobre una partícula de masa unitaria se expresará vectorialmente como: f(p) = f a (P) + f c (P) = M G ( MP ) 2 2 b (1.1.4) donde: f a relativo). f c relativo). M ù : fuerza de atracción en P (debida al Cuerpo tractor en movimiento : fuerza centrífuga (sistema Tierra Cuerpo tractor en movimiento : masa Cuerpo tractor. : velocidad angular de cada partícula sobre la Tierra (resulta del movimiento relativo del sistema Tierra Cuerpo tractor). M P : distancia entre el centro del Cuerpo tractor y la partícula en P. b : radio orbital (sistema Tierra-Cuerpo tractor). Los estudios de Newton demostraron que todas las partículas de la Tierra experimentan fuerzas centrifugas iguales en magnitud a la fuerza de atracción sobre una partícula de masa unitaria ubicada justo en su centro de masa. Considerando a la Tierra de forma esférica, podemos descomponer la fuerza residual o generadora de marea en P (Fig. 1.2): componente radial: f r (P) = f ar (P) - f cr (P) M M = G ( R cos ) 3 l a G 2 MP MP cos (1.1.5) componente tangencial: f t (P) = f at (P) - f ct (P) M M = G ( Rl sen a) G sen (1.1.6) 3 2 MP R l

16 15 donde: f ar : componente radial de la fuerza de atracción en P debida al Cuerpo Tractor. f cr : componente radial de la fuerza centrifuga del sistema Tierra Cuerpo Tractor. f at : componente tangencial de atracción en P debida al Cuerpo Tractor. f ct : componente tangencial de la fuerza centrifuga del sistema Tierra-Cuerpo Tractor. a : radio de la Tierra. R l : distancia entre los centros de la Tierra y el Cuerpo Tractor. è : distancia cenital del Cuerpo Tractor.

17 16 Figura 1.2. Componentes de la fuerza generadora de marea en un punto P.

18 17 Para un desarrollo más sencillo de las fuerzas generadoras de marea, se utiliza el concepto de potencial gravitacional de un cuerpo, y así en el trabajo de las fuerzas generadoras de marea se elimina una partícula de masa a una distancia infinita del cuerpo. El potencial en P sobre la superficie de la Tierra, debido a la luna es: G M m ( P) (1.1.7) MP Por convención en geodesia, la ecuación (1.1.7) se considera positiva. La ventaja de esta convención geodésica es que un incremento en el potencial gravitatorio sobre la superficie de la tierra produce un incremento del nivel del mar (Garland, 1965 en Pugh, 1987). Al igual que las fuerzas de atracción gravitacional, las fuerzas generadoras de marea en P se pueden expresar como el gradiente de una función escalar o potencial, Ù (P), que satisface la ecuación de Laplace. La solución de la ecuación de Laplace para el potencial de marea en coordenadas esféricas queda expresada en función de polinomios de Legendre zonales (Pugh, 1987): 2 2 M a a a ( P) G P2 (cos ) P3 (cos ) P4 (cos ) 3 2 R R l l Rl (1.1.8) donde: Ù (P): potencial productor de marea. P n (cos è): armónicos zonales o coeficientes de Legendre en función de cos è, de la forma: 1 2 P 2 (cos è): (3 cos 1) P 3 (cos è): (5 cos 3 cos ) P 4 (cos è): [35 cos (30 cos ) 3], etc.. 8 Debido a que el primer término de la ecuación (1.1.8) es el más importante del potencial generador de mareas, los demás términos pueden ser despreciados. Lo anterior, producto de que la razón a/r l es pequeña. De esta forma, el potencial generador de marea efectivo se expresa como:

19 a 2 ( P ) G M (3 cos 1) (1.1.9) 3 2 R l componentes vertical y horizontal: 3 M a 2 1 f r = 3 g (cos ) 3 r M 3 T R l M a f t = g ( sen2 ) 3 r 2 M R T l donde: g : aceleración de gravedad terrestre ( 9,8 m/s 2 ). M T : masa de la Tierra (kg.). Estas ecuaciones describen el movimiento de las fuerzas generadoras de marea ejercidas por un cuerpo tractor sobre la superficie de la Tierra. Las componentes verticales de las fuerzas producen pequeños cambios en el peso de un cuerpo, pero la componente horizontal de la fuerza también denominada fuerzas tractivas produce aceleraciones necesarias para desplazar las masas de aguas. Tabla 1.1 Constantes Astronómicas para la Tierra, Luna y el Sol. LUNA Masa Radio promedio Distancia media a la Tierra 7,35 x kg km km TIERRA Masa Radio ecuatorial Distancia media al Sol Distancia media del centro de la Tierra al Baricentro (sistema Tierra-Luna) 5,97 x kg km km km SOL Masa Radio 1,99 x kg km

20 Constituyentes astronómicos de la marea El sistema de fuerzas generadoras de mareas sobre la superficie de la Tierra varía constantemente como consecuencia de la rotación de la Tierra y el movimiento orbital del cuerpo tractor. Si se asume que estas variaciones son debidas a una pequeña inclinación rotatoria periódica del plano horizontal de la Tierra en cada punto sobre la superficie, el ángulo è o distancia cenital del cuerpo tractor debe ser expresado en variables astronómicas útiles: Declinación del cuerpo tractor al norte (o sur) del ecuador (ä) Latitud al norte de P (è P ), Angulo horario del cuerpo tractor (C P ), La ecuación estándar en trigonometría esférica que relaciona el ángulo è con los otros ángulos se expresa como: cos è = sen è P sen ä + cos è P cos ä cos C P (1.2.1) Sustituyendo (1.1.9) en (1.2.1) y reordenando los términos se obtiene: ( sen ) ( sen P ) M a 3 1 ( P) a g (( sen2 ) ( sen2 ) (cos )) 3 P C P (1.2.2) 2 M 2 2 T Rl ((cos ) (cos ) (cos 2 )) P C P 2 La expresión (1.2.2) muestra las propiedades esenciales del potencial de marea que varía con el tiempo, pero no es completamente satisfactoria, pues la declinación (ä), así como las distancias del cuerpo perturbador (r) son variables con el tiempo.

21 20 Un análisis armónico completo del potencial de marea requiere que Ù P sea expandido en una serie de funciones seno y coseno simples, con amplitudes constantes y frecuencias que son combinaciones lineales de las frecuencias básicas del sistema solar (Tabla 1.2). De este tratamiento Doodson obtuvo 390 constituyentes (Godin 1972). Tabla 1.2 Frecuencia y períodos de las variables astronómicas constantes Símbolo Descripción Frecuencia ( /h) Período L m Longitud lunar 0, ,321 días L s Longitud solar 0, ,242 días P m Longitud perigeo 0, ,847 años P s Longitud perihelio 0, años K Variación nodal -0, ,613 años Tabla 1.3 Períodos y frecuencias básicas de movimientos astronómicos. Período Frecuencia Velocidad angular Días solares F (Ciclos Ó (Grados por horas Símbolo Tasa de medios (dsm) por dsm) solares medias) en radianes cambio Día solar medio 1,00 1,00 15,00 ù 0 C s Día lunar medio 1,0351 0, ,4921 ù 1 C 1 Mes sideral 27,3217 0, ,5490 ù 2 S Año tropical 365,2422 0, ,0411 ù 3 H Perigeo lunar 8,85 0, ,0046 ù 4 P Años julianos Regresión de los nodos de la luna 18,61 0, ,0022 ù 5 N Perihelión ù 6 P

22 21 Tabla 1.4 Constituyentes astronómicos de la marea más importantes agrupados por especies. Frecuencia Coeficiente Nombre de mareas parciales Símbolo Horas solares Relativo (%) Componente de largo período Quincenal lunar M f 327,9 17 Mensual lunar M m 661,3 9 Semianual solar S sa Solar anual S a Componentes diurnas Declinación luni-solar K 1 23,93 58 Diurna lunar principal O 1 25,82 42 Diurna solar principal P 1 24,07 19 Elíptica lunar mayor Q 1 26,87 8 Componentes semidiurnas Lunar principal M 2 12, Solar principal S 2 12,00 47 Elíptica lunar mayor N 2 12,66 19 Declinación luni-solar K 2 11,97 13 En la práctica se usan principalmente seis constituyentes: M 2, S 2, N 2, K 2, K 1 O 1. El coeficiente relativo (%) expresa el tamaño de cada constituyente respecto al de la constituyente M 2. La teoría del equilibrio asume que la tierra está totalmente cubierta por agua y no considera los efectos de fricción en los movimientos de agua producto de la marea.

23 Equilibrio mareal En la teoría del equilibrio mareal se asume que la superficie libre del mar es nivelada por la acción combinada de la gravedad de la tierra y la fuerza generadora de la marea. Las atracciones de las fuerzas generadoras de mareas pueden considerarse como causantes de una deflexión de la vertical (Proudman, 1953; Franco, 1981 en Pugh, 1987) (Fig. 1.3). La fuerza es ( ) donde X esta en la dirección de los ángulos rectos de gravedad intacta. x Figura 1.3. Deflexión de la vertical resultante entre la fuerza generadora de marea y la fuerza de gravedad.

24 23 Considerando la magnitud de las fuerzas, tenemos: g x P tan / además: x tan Igualando ambas expresiones: 0 x x g P ó bien 0 P g x y análogamente para la componente y: 0 P g y Integrando encima de un área finita, tenemos: P g constante (1.3.1) Si al integrar el área, ésta corresponde a la superficie total del océano, el volumen se conserva, por lo tanto la constante es cero. Aplicando esta condición a la ecuación (1.2.2) del equilibrio de marea, tenemos: P P P o t C sen t C sen t C m m a ) cos ( 2 ) ( ) ( (1.3.2)

25 24 donde los coeficientes dependientes del tiempo son: C C a t) Rl 3 2 sen d 2 o ( a 3 2 t) ( sen 2 d )(cosc ) Rl 4 1( 1 P C 3 a 3 2 t) (cos d )(cos 2C ) Rl 4 2 ( 1 P Estos coeficientes caracterizan las tres principales especies de mareas: Largo período Diurnas con una frecuencia de un ciclo por día (cos C P ) Semidiurnas con una frecuencia de dos ciclos por día (cos 2 C P ). Las magnitudes de las tres especies de mareas son moduladas con un término en común, la distancia lunar R l. Las especies diurnas son moduladas en doble frecuencia con la declinación lunar, la amplitud es máxima cuando la declinación es máxima. Espacialmente estas tienen una amplitud máxima en latitudes de 45, y amplitud cero en los polos y el ecuador. Las variaciones norte y sur del ecuador están en fases opuestas. Las especies semidiurnas están también moduladas en doble frecuencia de la declinación lunar, pero es máxima cuando la declinación es cero. Esta tiene amplitud máxima en el ecuador y cero en los polos.

26 Amplitud de la marea La diferencia en altura entre mareas altas y bajas consecutivas en un lugar determinado es conocida como amplitud mareal. Esta amplitud no es constante y está regulado por un fenómeno periódico relacionado con las posiciones del Sol y la Luna en relación a la Tierra. Diariamente la marea responde a tres variaciones, cada una asociada con un movimiento particular de la Luna Efectos de Fase Lunar El ciclo efectuado por la luna en un mes sinódico son cuatro: llena, tercer cuarto (menguante), nueva y primer cuarto (creciente)(fig. 1.4). La amplitud mareal normalmente esta regulada por la fase lunar. Cuando la Luna está en las posiciones de sicigia (fase nueva y llena), las atracciones gravitacionales de la Luna y el Sol actúan conjuntamente, produciéndose mareas de mayor amplitud, llamadas de sicigias. En las fases de menguante y creciente (cuadratura) de la Luna, las atracciones gravitacionales de la Luna y el Sol sobre las aguas son ejercidas perpendicularmente entre sí. Cada fuerza tiende en parte a contrarrestar a la otra. Las mareas altas son más bajas del promedio y las bajas son más altas. Estas mareas de amplitud disminuida se denominan mareas de cuadratura, de la palabra Griega scanty Efectos de Paralaje (de la Luna y el Sol) Dado que la Luna sigue un patrón elíptico (Fig. 1.5), la distancia entre la Tierra y la Luna varía a través del mes alrededor de km. Cuando la Luna está más cerca de la Tierra (perigeo), las fuerzas generadoras de mareas serán más altas de lo normal, por lo que se producirán mareas de mayor amplitud. Cuando la Luna se encuentra en apogeo, la fuerza de producción de marea lunar poseerá una menor amplitud. En el sistema Tierra-Sol, cuando la Tierra está en perihelio las amplitudes de marea aumentan, mientras que en afelio disminuyen. Cuando la combinación entre perigeo, perihelio y luna nueva o llena ocurren aproximadamente al mismo tiempo, dan como resultado amplitudes de marea considerablemente grandes. De igual

27 26 manera la ocurrencia simultánea entre apogeo, afelio y el primer o tercer cuarto de la Luna originará amplitudes de mareas considerablemente reducidas Efectos de Declinación Lunar El plano de la órbita de la Luna está inclinado 5º con respecto al plano de la órbita terrestre (eclíptica), permaneciendo muy cerca de ésta en su recorrido mensual. Esta inclinación permite una variación de 23,5 hacia el norte y sur del plano del ecuador de la Tierra. Esta variación incide directamente sobre la magnitud y dirección de las fuerzas generadoras de mareas, registrándose la máxima amplitud mareal en el punto de proyección (latitud) sobre la Tierra (Fig. 1.6). Las mareas que ocurren cuando la Luna se encuentra cercana al ecuador son conocidas como mareas ecuatoriales, mientras aquellas que ocurren cuando la Luna está cerca de su máxima declinación norte o sur son llamadas mareas tropicales Efectos de aguas someras La progresión de la onda de marea en aguas someras es modificada por los efectos de la fricción del fondo y otros procesos físicos. Estas distorsiones pueden ser expresadas como sumas o diferencias de simples constituyentes armónicos con velocidades angulares múltiples detallados en la Tabla 1.4. Como medida de la distorsión de la componente semidiurna principal se utiliza el coeficiente de amplitud (M4 / M2). Valores altos de este coeficiente indican una mayor influencia de aguas someras sobre la onda de marea y viceversa. Los efectos de fase lunar, paralaje y declinación influyen sobre todos los puntos de la Tierra, aunque no en igual magnitud. Por ejemplo, en Seatle el rango medio de la marea es aproximadamente 2,3 m. Sin embargo, podemos encontrar amplitudes mareales con rangos que varían desde menos de 1,5 m hasta más de 4,5 m.

28 27 Figura 1.4. Efectos de fase lunar sobre la amplitud mareal (Vista desde el polo norte). Figura 1.5. Efectos de paralaje de la Luna y el Sol, sobre las amplitudes mareáles.

29 28 Figura 1.6. Efectos de la declinación lunar sobre la amplitud mareal.

30 Tipos de mareas La respuesta del océano se manifiesta de diferentes formas frente a las fuerzas generadoras de mareas, distinguiéndose principalmente tres tipos de mareas. La frecuencia natural de la masa de agua es un factor decisivo en la respuesta que éste tenga sobre las fuerzas generadoras de mareas semidiurnas, diurnas y de largo período. Como consecuencia las mareas son consideradas como diurnas, semidiurnas y mixtas (Fig. 1.7). El Océano Pacifico, casi en su totalidad responde más a las fuerzas diurnas. De esta manera, las mareas de esta parte del planeta tienden a tener una fuerte componente diurna. En estas áreas, las mayores mareas están asociadas a las mayores declinaciones del Sol y la Luna, esto es, en los solsticios de verano e invierno. El Océano Atlántico tiende a tener mejor respuesta a fuerzas generadoras de marea semidiurnas, es decir dos altas y dos bajas por día. Las diferencias entre dos altas o dos bajas consecutivas es de magnitud pequeña, y son más influenciadas por las fases de la Luna que por la declinación de ésta. Las mayores mareas ocurren en sicigias, cerca de la Luna llena o nueva. Las menores mareas se producen en cuadratura, cerca de los cuartos. Las mayores mareas del año en estas áreas se producen en primavera, cerca del equinoccio, cuando el Sol y la Luna están sobre el ecuador. Las mareas mixtas, donde las fuerzas generadoras de mareas diurnas y semidiurnas son de importancia, tienden a caracterizarse por una gran desigualdad diurna en las pleamares o altas sucesivas. Este hecho puede provocar mareas muy grandes, las cuales son predominantes en Chile. Las mareas del tipo semidiurnas son generadas principalmente por M 2, S 2 y N 2. Estas tienen dos altas y dos bajas aproximadamente iguales en un día lunar. Las mareas diurnas son generadas principalmente por las constituyentes K 1, O 1, y P 1. Tienen una pleamar y una bajamar cada día lunar. Ocurren en áreas cercanas al ecuador, entre los trópicos. Sin embargo, existen unas notables excepciones dependiendo de la topografía local, como por ejemplo, en algunas zonas del Golfo de México.

31 30 Figura 1.7. Tipos de mareas.

32 31 Durante parte del mes lunar, alrededor del momento que la Luna cruza el ecuador (declinación pequeña), la marea es principalmente semidiurna. Cuando la declinación lunar está cercana a su valor máximo, las componentes diurnas pueden ser lo suficientemente importantes como para producir una pleamar y una bajamar diarias. Esto da origen a las mareas del tipo mezclado o mixto. En lugares donde las mareas pueden ser consideradas como semidiurnas, las componentes diurnas pueden ser notables cuando la declinación Lunar es grande. Entonces se habla de una importante desigualdad diurna. Contrariamente, cuando la declinación Lunar es cero, las mareas que son usualmente diurnas pueden tender a ser semidiurnas. A causa de estas combinaciones, un criterio muy útil para caracterizar el régimen de las mareas de un lugar es computar la razón de amplitudes de las principales constituyentes astronómicas de la marea, llamado factor de forma o courtier, de la forma siguiente: F H H K M 1 2 H H O S 1 2 En términos de F, las mareas pueden ser clasificadas aproximadamente como: F = 0 a 0,25 F = 0,25 a 1,25 F = 1,25 a 3,00 F = 3,00 semidiurna mixta, predominantemente semidiurna mixta, predominantemente diurna diurna.

33 Efectos meteorológicos Las condiciones meteorológicas que difieren del promedio, causan variaciones en altura y tiempo en las distintas fases de la onda de marea, especialmente los vientos fuertes y prolongados. Las altas o bajas presiones barométricas, que son muy difíciles de pronosticar, actúan en menor grado Presión Atmosférica Existe una inversa relación entre el nivel del mar y la presión atmosférica. Una baja presión barométrica producirá un incremento en el nivel del mar y viceversa. Un incremento en la presión atmosférica de un milibar puede producir una depresión de un centímetro. Esta respuesta del nivel del mar es llamado efecto de barómetro invertido. Para variaciones locales, se puede estimar de la siguiente manera: P A g donde: ÄP A = variación de la presión atmosférica con respecto a la media del lugar (en milibares). ñ = densidad del agua de mar (kg/m 3 ). g = aceleración de gravedad (9,8 m/s 2 ). æ = variación del nivel del mar (en centímetros) Vientos El efecto del viento sobre el nivel del mar es muy variable y depende en gran medida de la topografía del área. El principal efecto es la elevación del nivel de mar en dirección hacia la cual está soplando. Por ejemplo, vientos fuertes que soplen directamente hacia la costa, elevará el nivel del mar en ese lugar y causará mayores altas que las predichas, mientras, que los vientos que soplen desde la costa causarán el efecto inverso.

34 Precipitaciones, evaporación y escurrimiento Las precipitaciones y evaporación consideradas aquí son aquellas que ocurren en la superficie del mar, no aquellas que ocurren por drenaje en capas subterráneas. El escurrimiento es toda el agua que fluye hacia el mar del sistema en cuestión y de esta manera es el resultado neto de la precipitación, evaporación y absorción del agua en la superficie de la tierra. En un sistema de agua, la precipitación es un término positivo, la evaporación un término negativo y el escurrimiento usualmente un término positivo. En muchas regiones áridas, el escurrimiento podría ser un término negativo, en virtud de la absorción en estas tierras áridas. Si la proporción de entrada al sistema de la suma de las tres condiciones excede la proporción de salida a la boca, los niveles del mar deben elevarse y recíprocamente, si la proporción de salidas excede la proporción de entradas, los niveles del mar deben descender

35 Estaciones de medición A nivel internacional, la ubicación de las estaciones de mareas están organizadas de la siguiente manera: Estaciones estándar (principal o patrón) Aquellas donde se registran las variaciones del nivel del mar por un largo período de tiempo. Generalmente han operado por más de 19 años y se espera que operen continuamente en el futuro. Se usan para tener un registro continuo del nivel del mar en esa ubicación, logrando gran fiabilidad y precisión. Esto justifica su detallada planificación y selección de su ubicación Estaciones subordinadas (secundarias) Aquellas donde se registran las variaciones del nivel del mar por un corto período de tiempo. Las observaciones registradas por una estación secundaria usualmente no son útiles para una determinación independiente del comportamiento mareal del lugar, pero al ser comparada en forma apropiada y simultánea con una estación principal se obtienen resultados muy satisfactorios. En Chile, el Servicio Hidrográfico y Oceanográfico de la Armada (SHOA) es el servicio oficial, técnico y permanente del Estado para dirigir y controlar las observaciones de marea que se llevan a efecto a lo largo del litoral chileno, según Decreto Supremo n 192 del 06 de marzo de El SHOA publica anualmente Tablas de Marea en la costa de Chile. En esta publicación existen 20 Puertos Patrones y un gran número de Puertos Secundarios. Tablas de Marea, con la predicción diaria de la hora y altura de la pleamar y bajamar, sobre su respectivo plano de referencia o datum de referencia. Un datum se define como cualquier cantidad numérica, geométrica o juego de tales cantidades que sirven como un punto de la referencia para medir otras cantidades. Un datum de marea es un plano de referencia desde donde están hechas las mediciones de altura y profundidad (Hicks, 1985 en NOAA, 2001) (Fig. 1.8). Este datum determina los límites marinos. Uno de los niveles de referencia más importante es el entregado en las cartas náuticas, denominado nivel de reducción de sondas (N.R.S.). Es el plano al cual están referidas las sondas o profundidades de una localidad. Las necesidades de navegación

36 35 requieren que la carta náutica en la cual se insertan las sondas muestre la mínima profundidad que se puede encontrar en un punto, por lo tanto, usualmente se adopta como dátum de la carta algún nivel relacionado con las bajamares. Al no existir uniformidad en cuanto a la elección de este plano, se reconoció internacionalmente que el dátum de marea de la carta náutica debería ser un plano tan bajo que la marea rara vez descienda bajo él. Normalmente, el dátum de la carta náutica es también el dátum utilizado en las predicciones de marea que se incluyen en las tablas de marea. Cada país adopta el N.R.S. de acuerdo con las características del régimen de marea de sus costas. Dado que el tipo de marea que predomina en el litoral chileno corresponde al de marea semidiurna mixta, se adoptó para nuestras costas como nivel de reducción de sondas el plano determinado por la mayor bajamar en sicigias estando la Luna en el perigeo. Al igual que otros planos mareales, la exactitud que se obtenga en la determinación del N.R.S. dependerá de lo extenso del período durante el cual se observó la marea. De acuerdo a este criterio conservador, al disponerse de una serie de observación de la marea de corto período, una buena aproximación en la determinación del N.R.S. la entrega el nivel que alcanza la mayor bajamar observada en el período.

37 36 Figura 1.8. Variaciones en los rangos y alturas de las mareas, donde la profundidad de la carta es el nivel de reducción de sondas.

38 37 CAPÍTULO II: INSTRUMENTOS Y METODOS DE REGISTRO MAREAL

39 38 2. INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Existen diversas formas de registrar los cambios en el nivel de mar, desde la sencilla escala o regla de marea usada por los egipcios hace miles de años, hasta instrumentos sofisticados, tales como altímetros satelitales La escala de marea Es una regla graduada en metros, decímetros y centímetros o bien en pies y décimos de pies. Se coloca verticalmente próxima al mareógrafo y en ella se lee directamente la altura del nivel del mar El mareógrafo Es un instrumento que registra y mide oscilaciones del nivel del mar. Los hay de distintos tipos: presión de gas, flotador, acústicos, electromagnéticos y satelitales. A continuación se describirá brevemente el funcionamiento algunos de ellos: Presión de gas El principio de funcionamiento del mareógrafo de presión de gas está basado en la transformación de la presión ejercida por la columna de agua sobre el transductor, usando la relación básica hidrostática P = P A + ñgd donde P es la presión medida a la profundidad del transductor, P A es la presión atmosférica actuando sobre la superficie del agua, ñ es la densidad media de la columna de agua, g es la aceleración de gravedad y D es la profundidad donde se encuentra el transductor (Fig. 2.1).

40 Flotador El mareógrafo de flotador consta básicamente de un mecanismo registrador en la parte superior, en donde se encuentra un cilindro que contiene el papel donde se van registrando los niveles observados, además, posee una polea y contrapeso unido directamente al flotador. Todo esto dentro de un tubo vertical abierto en la parte inferior, para eliminar grandes oscilaciones que puedan producir las olas y así registrar sólo la marea se construye una entrada cónica (Fig. 2.2) Acústico El mareógrafo acústico funciona básicamente como un ecosonda invertido, basado en la medición del tiempo de viaje de pulsos acústicos reflejados verticalmente desde la interfase aire/agua (Fig. 2.3) Satelitales Los altímetros satelitales son radares que transmiten cortos pulsos hacia la tierra bajo ellos. El tiempo de retorno de la señal después de la reflexión del pulso en la superficie terrestre indica la altura del satélite, si es conocida la velocidad de propagación de la onda. Lo anterior es sólo el primer paso para determinar la altimetría desde un satélite. La meta es la altura de la superficie del mar (SSH) relativa al geoide (h). El geoide es una superficie equipotencial, por definición normal a la fuerza de gravedad efectiva, la cual incorpora fuerzas de rotación, la gravitación de la tierra sólida y también el océano y atmósfera y la altura de la superficie del mar sobre éste tiene información oceanográfica (Fig. 2.4). El geoide es la superficie equipotencial al nivel medio del mar, entonces si el océano en cualquier lugar estuviera en equilibrio, su superficie definiría al geoide. Por lo tanto la altura sobre o bajo el geoide es un parámetro que contiene información oceanográfica acerca de corrientes o mareas. La forma de la tierra se considera como aproximadamente elíptica con un radio ecuatorial de km y un radio polar de km. Sin embargo, debido a distribución de masas desigual, el geoide verdadero se desvía en altura en distancias de 50 m del elipsoide de referencia.

41 40 La distancia medida sólo relaciona la SSH con la órbita del satélite. Entonces ésta última debe ser determinada con relación al elipsoide de referencia en el mismo grado de exactitud que las medidas de distancia que se quieren obtener. Esto es llevado a cabo mediante equipos LASER, PRARE (Precise Range And Range Rate Equipment) y DORIS (Doppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellite). La red de seguimiento DORIS se compone en la actualidad de 51 estaciones terrenas, distribuidas en más de 30 países. La homogénea distribución de las estaciones alrededor del mundo permite una cobertura de la órbita de Topex/Poseidon, superior al 80%.

42 41 Figura 2.1. Principales componentes de un mareógrafo del tipo presión de gas.

43 42 Figura 2.2. Principales componentes de un mareógrafo del tipo flotador.

44 43 42 Figura 2.3. Principales componentes de un mareógrafo del tipo acústico.

45 44 Figura 2.4. Principales componentes de un mareógrafo del tipo satelital.

46 45 CAPÍTULO III: ANÁLISIS MAREAL

47 46 3. ANÁLISIS Y PREDICCIÓN DE MAREAS El análisis de datos registrados por observaciones del nivel del mar tiene los siguientes propósitos: a. Provee una base para futuras predicciones de marea. b. Una valiosa ayuda a la navegación. c. Secundariamente, el resultado del análisis puede ser interpretado científicamente en términos de la hidrodinámica del mar y su respuesta a las fuerzas mareales. Un análisis proporciona parámetros qué pueden trazarse para describir las características de la marea de una región. El proceso de análisis reduce miles de números, por ejemplo en un año de registro horario del nivel del mar consiste en 8760 valores, a unos pocos números significativos que contienen la esencia del registro (Godin, 1972). Un análisis de mareas tiene como objetivo reproducir parámetros característicos, estables en el tiempo, que describen el régimen mareal del lugar de observación. Los parámetros son llamados frecuentemente constantes mareales, sobre la asunción implícita que las respuestas de las masas de agua hacia las fuerzas generadoras de mareas no cambian en el tiempo. La asunción anterior es válida para un tiempo prolongado de observaciones. En la práctica, mediciones realizadas por períodos determinados de tiempo, a menudo, un año, un mes o unos cuantos días, al ser analizados entregan valores aproximados a las constantes reales. Se mencionarán y luego describirán brevemente dos métodos básicos de análisis de mareas. El primero, llamado método no armónico. El segundo método, es generalmente el más usado para predicciones y trabajos científicos, llamado análisis armónico.

48 Método no Armónico Los valores no-armónicos de la marea corresponden al conjunto de parámetros que permiten describir cabalmente el comportamiento de la marea en una localidad cualquiera, siendo inferidos directamente de las observaciones efectuadas en terreno (SHOA, 1999). La observación del ascenso y descenso periódico del nivel del mar, se realiza ya sea utilizando diversos tipos de mareógrafos automáticos o mediante dispositivos que requieren la atención constante de un observador que controle a intervalos discretos la altura de la marea, dispositivos conocidos como mareómetros, entre los que se destaca la conocida regla de marea. Independientes del sistema de observación utilizado, los datos registrados deben ser sometidos previamente a un control de calidad que asegure la validez científica de la información que pueda ser deducida de los mismos. Cada uno de estos valores tiene su importancia y su aplicación en los cálculos de mareas, prestando un valioso apoyo al navegante y permitiendo al ingeniero la determinación de planos de referencia y rangos de marea necesarios en la construcción de obras civiles, donde las condiciones de este fenómeno constituyen un factor de importancia Planos de referencia mareal Es la técnica más simple y antigua de análisis de mareas, que relaciona el tiempo de la marea alta semidiurna del lugar con el tiempo de paso de la luna. El intervalo del paso lunar entre luna nueva y llena, y la siguiente marea alta es conocido como el establecimiento local. La edad de la marea es un término antiguo pero útil, usado hasta los días de hoy, aplicado al intervalo de tiempo entre la luna nueva y luna llena, y el tiempo del rango máximo de la marea en sicigia, que usualmente es alrededor de dos días. Algunos parámetros mareales no armónicos tales como Pleamar Media en Sicigia son usados en éste método. La ventaja de los parámetros no armónicos es la facilidad de su determinación y aplicación. Su limitación incluye la dificultad de usarlo en trabajos científicos y el hecho de que ellos contienen información insuficiente para un cabal análisis y un esquema de predicción. Éste método fue desarrollado sobre una matemática básica por Sir John Lubbock en El método consiste en relacionar los tiempos y alturas de la marea alta y marea baja con el transito de la luna. Correcciones son aplicadas a edad de la marea, declinación de la luna y el sol, y sus distancias (paralaje, en términos astronómicos).

49 48 Figura 3.1. Principales planos de la marea.

50 Método Armónico Los elementos esenciales de un análisis armónico es la asunción que las variaciones mareales pueden ser representadas como un número finito N, de términos armónicos de la forma: H n cos (ù n t - g n ) (3.2.1) donde H n es la amplitud; ù n es la velocidad angular, que se relaciona al período T n por T n =2ð/ù n ; g n es el retraso de la fase sobre el equilibrio mareal con respecto al meridiano de Greenwich en este caso es llamado G n. El uso del equilibrio de mareas como una referencia para análisis mareal es una de las funciones más importantes. Para un correcto desarrollo matemático, tanto el retraso de fase como la velocidad angular serán expresados en radianes. A menudo, en notación mareal el retraso de la fase g n está expresado en grados. La velocidad angular ù n, está determinada por una expansión de la teoría del equilibrio de mareas en similares términos armónicos: la velocidad de aquellos términos se encuentra para tener la forma general: ù n = i a ù 1 + i b ù 2 + i c ù 3 + i d ù 4 + i e ù 5 + i f ù 6 (3.2.2) donde los valores de ù 1 a ù 6 son las velocidades angulares ya definidas en la tabla 3 (y sus respectivas tasas de cambios C l, s, h, p, N y p ), y los coeficientes i a a i f son pequeños enteros, usualmente en un rango de -2 a 2. Las amplitudes y fases son parámetros determinados por análisis, que definen las condiciones mareales del lugar de observación. El retraso de la fase g n esta definida, relativa a la fase de los términos armónicos de la expansión de la teoría del equilibrio mareal, que tiene la misma velocidad angular, ó n (ù n medido en radianes); por convención estas fases del equilibrio mareal están expresadas relativas al meridiano de Greenwich. Supongamos que la luna gira continuamente en un círculo ecuatorial alrededor de la tierra a una distancia constante, con la tierra rotando debajo cada 24 horas. Las mareas sobre la tierra tendrían dos valores máximos (mareas altas y bajas) para cada período de rotación, o sea 24 horas y 52 minutos. Cada marea individual seguirá a la anterior con un intervalo de 12 horas y 25 minutos y cada marea alta tendrá la misma amplitud.

51 50 El armónico simple, que representa esas mareas, es llamado M 2. La convención del nombre es que M representa a la luna (Moon en inglés) y el subíndice 2 muestra que es de la especie mareal semidiurna y se produce aproximadamente dos veces diariamente. Si el sol, también está sobre el plano del ecuador, se aplican los mismos principios para tener una marea semidiurna, con un período de 12 horas. Estas dos mareas solares en un día están representadas por el símbolo S 2, usando la misma convención. Ahora tenemos dos constituyentes mareales. La combinación de estos, M 2 y S 2 producen el ciclo de mareas. En un caso simple en que ambos, la luna y el sol, se muevan en órbitas circulares ecuatoriales relativas a la tierra, la supuesta marea combinada podría ser representada por cuatro parámetros, el tiempo de marea alta de la luna y el sol y las amplitudes de ambas mareas. En nuestro sistema son las amplitudes y fases de los constituyentes armónicos mareales M 2 y S 2. La siguiente etapa es como podemos asociar el concepto de constituyentes armónicos con un desarrollo de los movimientos reales de la luna y el sol. Los movimientos reales de la luna y el sol, norte y sur del ecuador y sus variaciones en distancia y velocidades angulares, pueden ser considerados marealmente como la combinación de efectos de una serie de satélites fantasmas o virtuales. Estos satélites son de varias masas, se mueven en varios planos y a varias velocidades. Cada satélite por lo tanto tiene una marea simple, que es representada por una amplitud y una tiempo de marea alta. En la práctica podemos expandir las expresiones astronómicas matemáticamente para la declinación (d l y d s ) y la distancia (r l y r s ) para determinar los períodos y amplitudes teóricas de términos extras. El primer paso necesario en el desarrollo de un análisis armónico, es una expansión de la teoría de equilibrio de mareas, en una serie de términos armónicos, a partir de la expresión (3.12) y una completa formulación para la distancia, declinación y ángulo horario. Considerando la expansión del término de la forma: ã (1 + á cos ù x t) cos ù y t y, aplicando identidades trigonométricas básicas, tenemos: cosy t cos( x y ) t cos( y x) t (3.2.3) 2 2