APUNTES PARA CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS PARA LA CARRERA DE INGENIERIA EN INFORMÁTICA.

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1 TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC INGENIERIA EN INFORMÁTICA APUNTES PARA CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS PARA LA CARRERA DE INGENIERIA EN INFORMÁTICA. ELABORADO POR: Academia de Ciencias Básicas JULIO DE 2013 Ciencias Básicas 1

2 CONTENIDO Introducción 3 I.- Teoría de conjuntos Simbología de conjuntos Diagrama de Ven Euler Unión de conjuntos Intersección de conjuntos Complemento absoluto Complemento relativo 13 II.- Números Reales Propiedades de los números reales Propiedades de los signos Propiedades de los cocientes Leyes de los exponentes 23 III.- Algebra básica Términos algebraicos Reducción de términos algebraicos en ecuaciones Propiedades de las igualdades Operaciones con polinomios Suma de polinomios Multiplicación de polinomios División de polinomios Factorización de polinomios Funciones y sus graficas 33 IV.- Introducción Al Cálculo Diferencial Interpretación de la Derivada Método de los 4 pasos 40 V.- Ejercicios 44 VI.- Bibliografía 53 Pág. Ciencias Básicas 2

3 INTRODUCCIÓN Este compendio introductorio a las matemáticas para nivel superior tiene la finalidad de auxiliar a los alumnos de nuevo ingreso de la Licenciatura en Informática, a mejorar su comprensión de las bases matemáticas que posteriormente se verán aplicadas a través de los cursos semestrales que imparten los profesores de Ciencias Básicas, otro de los factores de interés es nivelar los conocimientos previos en materia de matemáticas, principalmente las habilidades para desarrollar operaciones algebraicas, operaciones lógicas de conjuntos y esencialmente el razonamiento de los esquemas operacionales de la matemática con el enfoque hacia la carrera profesional que han decidido tomar. En un principio se habla del ordenamiento lógico entre conjuntos, básicamente las operaciones de Unión e Intersección y los complementos Absoluto y Relativo, una vez definidos estos temas se aborda una pequeña pero significativa introducción a los números Reales, en donde se desarrollan operaciones básicas aritméticas empleando las leyes de los signos, seguido de lo anterior se desarrolla la teoría del Algebra tocando temas como operaciones algebraicas entre polinomios y la factorización de polinomios, y en la parte final se toca el tema Introductorio al Calculo Diferencial, en donde se explica el principio esencial que conduce a este tipo de operación matemática precisa. Como un nota final se propuso una sección de ejercicios resueltos de las etapas más importantes de este trabajo con el objetivo de brindar un panorama mas amplio de la aplicación de los conocimientos básicos para que al finalizar el curso propedéutico los alumnos se encuentren completamente preparados para adquirir nuevos conocimientos en el área de las ciencias exactas. Ciencias Básicas 3

4 SIMBOLOGÍA DE CONJUNTOS Є = Pertenece a = No Pertenece υ= Unión de Conjuntos Ո = Intersección de conjuntos A C = Complemento de conjunto A (Absoluto) A B o A/B = Complemento de 2 conjuntos (Relativo) : I = Tal que N = Números Naturales (Son todos los + enteros) Z = Números enteros (todos +, -) Q = Números Racionales (números fraccionarios positivos) ¾, 5/8, 2/2 R = Números Reales (Excepto números imaginarios -1= > = Mayor que < = Menor que = Mayor o Igual que = Menor o Igual que x = Intervalo abierto x = Intervalo cerrado x = Intervalo combinado ( ) = Intervalo abierto = Intervalo cerrado ( ó ) = Intervalo combinado U Conjunto Universal = Conjunto Vacío Números Reales Números Irracionales o enteros Z Números Racionales Q Enteros Negativos Enteros Positivos Ciencias Básicas 4

5 DIAGRAMA DE VENN EULER U U- Conjunto Universal A A Conjunto de elementos X * Conjunto Universal: Un conjunto que contiene todos los elementos de los conjuntos que intervienen en un análisis, se llama Conjunto Universal A U = Conjunto vacío sin elementos A = * Conjunto Vacío: Es el conjunto que no contiene elementos en su conjunto y que generalmente siempre es parte del Conjunto Universal FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO * Por Comprensión: Forma más compacta de expresar un conjunto, generalmente esta asociada a una relación de pertenencia y una segunda parte indicando las características de los elementos de un conjunto A = x N:x 2 5x +6 = 0 A = Denominación o nombre del conjunto Ciencias Básicas 5

6 = Contenido del conjunto x N = Relación de pertenencia (x N) = El valor de x pertenece a los números naturales x 2-5x+6= 0 Características de los elementos de A * Por extensión: A través de esta un conjunto se puede expresar elemento por elemento, algunos de los inconvenientes es que a veces un gran número de elementos requieren demasiado espacio para ser escritos. A = 3,6,9,12,15,17 Todos los elementos del Conjunto A A = x : x es divisor par de 5 A = B = x R:x>3 B = 4,5,6,7,8,9,10. C = x Є Z:2x 3 =0 C = D = x Є N: X 3 < 0 D = 0,1,2 X - 3 < < < < 0 E = x ER:x2 + 2 = 0 E = * Por Intervalos: Los intervalos están asociados a los signos de desigualdad, estos signos indican intervalos abiertos mediante los paréntesis () e intervalos cerrados mediante corchetes. Dependiendo del signo de desigualdad el intervalo puede expresar un número exacto (cerrado) o una aproximación al número en cuestión (abierto) ejemplo: X > 3 I I I I I A = , , A = ( 3, ) Intervalo abierto cuando Ciencias Básicas 6

7 se pone () es casi ejemplo casi 3 ( 3, ) X 3 A = 3, ) ) = exactamente de 3 3, ) Intervalo combinado -3 < x < 3 B I I I I I I I < -2 < 3 ( A ) A = ( - 3, 3 ) 3 x ó B = 3, -3 ó -3, 3-3 < x 3 C = (-3, 3 ó 3, -3) A x EN: -3 < x < 3 I I I I I I I A = 0, 3) A = 0, -3) ) -A = x EN: -1 x 6 A I I I I I I I I I I I I I A = 0, 6 ( B ) B = X ER: -6 x 6 B = (0, 6 UNIÓN DE CONJUNTOS La Unión de conjuntos A y B es un conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B. Simbólicamente la unión se expresa como: A υ B = X : X Є A ó X Є B Ciencias Básicas 7

8 A B υ AUB Los conjuntos son independientes o mutuamente excluyentes A B υ AUB ////// U AUB ///// A B B es un subconjunto de A A = a, e, i *AUB = a,e,i,o,u No se puede repetir elementos en una unión (repetido se le resta) A B U e i a o u Ciencias Básicas 8

9 A = 0,1,2 B = 3,4,5 AUB = 0,1,2,3,4,5 A B U A = X Є R: X <2 (2, - ) B = X Є R: X 3 (3, ) A B U (2,- ) 3, AUB = (2, - ), 3, A = X Є R: -1 x 2 A = -1,2 AUB = -1,5 B = X Є R: 0 x 5 B = 0,5 A l l l l l l l l l l B A B U -1, 5 Ciencias Básicas 9

10 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de los conjuntos A y B es un conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a A como a B. La intersección simbólicamente se expresa como A ՈB = X : X Є A y X Є B U U U A B A B A B A = 2,3,5 B = 1,3,5 AՈB = 3,5 AՈB U A B 1 A = 2,5) ( A ) I I I I I I I I B = (-1, ( B A ՈB = 2,3 A ՈB //// A B U 2,3 Ciencias Básicas 10

11 A = -,2 ( A B = (3,5) I I I I I I I I ( B ) AՈB= AՈB= A B U A = X Є N:X<4 A ) B = X ЄN:1<X <6 I I I I I I I I I I ( B ) AՈB= (1,4 = 2,3 U = N A (1,4) B Ciencias Básicas 11

12 PROPIEDADES UNIÓN INTERSECCIÓN Idempotencia AUA = A A Ո A = A Conmutativa AUB = BUA A Ո B = B Ո A Asociativa Distributiva AU (BUC) = (AUB) UC AU (B ՈC) = (AUB) Ո (AUC) A Ո (B ՈC) = (A ՈB) ՈC A Ո (BUC) (A ՈB) U (A ՈC) Complementaria AUA C = U A ՈA C = COMPLEMENTO ABSOLUTO El Complemento Absoluto o simplemente de A es el conjunto de elementos del conjunto universal que no pertenece a A. Complemento de A se denota como: AC = A Є U: x Є A AC ////// BC//////// Ac U U A A B A = X Є N:X es par Encontrar Ac A 2,4,6,7,10 Ac 1,3,5,7,9 A 2,4,6,8,10, 12,14,16,18 Ac U Ciencias Básicas 12

13 Si A = X Є R: -1 x < 1 Calcular Ac Ac= ( -, -1) 1, ) Ac ( -, -1) A 1, ) DIFERENCIA O COMPLEMENTO RELATIVO La diferencia de dos conjuntos A y B denota como A B y llamada también como el complemento relativo de B con respecto de A, es el conjunto de elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Simbólicamente la diferencia de conjuntos se expresa de la siguiente manera. A B = X Є A: X B B A A B U A B = ///// B A = ///// A B U Ciencias Básicas 13

14 A B U A B A = 1,2,3 A B = //// B = 2,3,5 B A = ///// U A B 5 A = 0,3 B = (1,4 AAB = /// (1,3 A B = /////// = 0,1 A B = /////// = (3,4 A I I I I I I I I I ( B A B U 0,1 (1,3 (3,4 Ciencias Básicas 14

15 A = ( -,0 A B = ( -,-1 //// B = -1, ) B A = 0, ) ( A I I I I I I I I B ) A B U (-,-1) 0, ) A = ( -, ½ ) B = (-3,2) C = 2,3 ( A ) I I I I I I I A-B = (-, ½ 1 2 ( B ) U A (-, -3 B A ՈC - ( A ) I I I I I I I I C A-C A-C = (-, ½) /// ( A ) I I I I I I I I C Ciencias Básicas 15

16 B-A B-A = 1/2, 2) //// ( B ) I I I I I I I ( A ) A B 1/2, 2) U C Ո B - C I I I I I I I I ( B ) U C B AUC AUC = (-, ½), 2,3 - ( A ) I I I I I I I I C U A C A = X Є N: -3 X 100 B = X Є N: -100 < X 3 C = X Є N: X >5 Encontrar: 1) AUB 2) A ՈB Ciencias Básicas 16

17 3) A-B 4) A-C 5) AUBUC 6) A Ո C 7) Ac 8) Ac ՈCc 9) (AUB) ՈC 10) Cc -B A = X Є N: -3 X 100 A = 0,100 I I I I I I I I I I I A B = X Є N: -100 < X 3 B = -100,3 I I I I I I I I I I ( B C = X Є N: X >5 B = 5, I I I I I I I I ( C ) 1) AUB /// A = (0,100 B = (-100, 3 ( B I I I I I I I A U A (0,100 (0,3) B (-100, 3 2) A Ո B //// A Ո B = 0,3 Ciencias Básicas 17

18 A = (0,100 B = (-100, 3 A I I I I I I I ( B A 0,3 B U 3) A-B //// A-B = (3,100 A = 0,100 B = (-100, 3 A I I I I I I I ( B A (3,100 B U 4) A-C ///// A-C = (0,5) A = 0,100 C = (5, ) A I I I I I I I I I I ( C ) A (0,5) C U 5) AUBUC //// AUBUC = (-100, ) A = 0,100 B = (-100, 3 C = (5, ) A I I I I I I I I I I I ( B ( C ) Ciencias Básicas 18

19 U A B C 6) A Ո C //// A Ո C= (5, 100 A = 0,100 C = (5, ) A B U (5, 100 7) Ac Ac= (100, ) A = 0,100 A U ) Ac= (100, 8) Ac ՈCc /// Ac ՈCc= ( ) A = 0,100 C = (5, ) U Ac Cc 9) (AUB) ՈC ///// (AUB) ՈC = (5,100 A = 0,100 Ciencias Básicas 19

20 B = (-100, 3 C = (5, ) A B U C 10) Cc B ///// Cc B (3,5 C = (5, ) B = (-100, 3 Cc C B PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES PROPIEDAD ADICIÓN MULTIPLICACIÓN Conmutativa a + b = b + c a * b = ba Asociativa (a+b) + c = a + (b+c) (ab)c = a(bc) Elemento Neutro 0 + a = a + 0 = a (a) 1 = 1 (a) = a Distributiva a( b + c ) = ab + ac PROPIEDADES DE LOS SIGNOS Adición (+a) + (+b) = a+b (+a) + (-b) = a-b (-a) + (-b) = -a-b (-a) + (+b) = -a+b ó b-a Ejemplos: Multiplicación (+a) (+b) = ab (+a) (-b) = -ab (-a) (-b) = ab (-a) (+b) = -ab 1) 12 + (-2) = 12-2 = 10 2) 2-3 (-2) = 2-3+2=1 Ciencias Básicas 20

21 3) (4-3+(-2) (6+8-10) (4-3-2) (4) (-1) (4) = 4 4) (-7) (-3) + (3-3) (-2) 21 + (-6) (-2) = = 33 5) -3 (-9-4) -2 (10+20) -3 (13) -2 (30) = ) -21 ó multiplicación directa = = 21 PROPIEDADES DE LOS COCIENTES 1) a/b= c/d ó ad = cd (3) (12) = (9) (4) 2) ca / cb = c/c a/b = ab reducir términos semejantes 3) (a/b) (c/d) = ac/bd multiplicativo 4) a/b c/d = a/b / c/d = ad/bc = (a/b) (a/c)= ad/bc 5) a/b + c/b = ac/b 6) a/b + c/d = ad + bc/ bd 7) a/b c/d = ad bc / bd 8) +a/+b = +a/b 9) a/-b = a/-b = -a/b 10) a/-b = a/b Ciencias Básicas 21

22 2(-3/5) (2/1) (-3/5) = -6/5 (3/-5) + 2 (3/-5) + 2/1 = (3) (1) + (-5) (2) / (-5) (1) 3-10 / -5 = -7/-5 ó (3/-5) (10/5) = -7/5-2/4 (-1/4) + 3/8 (-4+6) = -2/1 (-1/4) + 3/8 ( -2/1) 2/4 + 6/8 -= (2) (8) (2) (6) / (4) (8) = / 32 = 40/ 32 5/4 ó 2/4 + 6/2 / 8/2= 2/4 + ¾ = 5/4 2/4 + ¾ = 5/4 ( 5/6-3) 2+5 (4/5 3) (5/6-3/1) 2/1 + 5/1 ( 4/5 3/1) (105/126 6/2) + (20/25 15/5) (5/6 18/6) + ( 4/5 15/5) (-13/6) (20/5) = (-13) (5) (6) (2) / (6) (5) = / 30 = -53 / 30 (5/6 18/6) = -13/6 (4/5 3/1)= 4/5 / 3/1 = 4/15 (-13/6) 2 = -26/6 (4/15) 3 = 12/15 26/6 + 12/15 = (26) (15) + (12)(6) / (6) (15) = / 90 = 3/8 3 / / = -53 /15 Ciencias Básicas 22

23 -an = (a) (a) (a) n = veces LEYES DE LOS EXPONENTES -(a/b) n = (a/b) (a/b). a n /b n -a n = 1 si a 0 - (an) (am) = a n+m (si es suma antes era multiplicación) -(a 2 ) (-a) 2 -a 2 +a = (4) (4) = = (5) (5) (5) = -125 Cualquier número (-) par siempre da (+) Cualquier número (+) non siempre da (-) (-2) 5 = 32 x2 calcular para X = 3 X = -3 -(3) 2 = -9 -(-3) 2 = -9 TÉRMINOS ALGEBRAICOS Cuando tenemos valores desconocidos (incógnitas) de por medio en expresiones matemáticas, se denomina entonces como expresión algebraica, estas expresiones constan de términos, los términos se consideran como las partes que se suman o se restan en una expresión algebraica: Expresión: x-3x-7 Término 4x, -3x, -7 4(x+3) +2x +5 (x-2) +1 x+3 / 2 + 4x 3 y 3 + x -6 x+3/2, 4x 3 y 3, x -6 Ciencias Básicas 23

24 El grado de una ecuación algebraica esta en función de la suma de los exponentes de cada uno de los términos, por ejemplo: 3x 2 Término de 2º grado -4x Término de 1º grado 6x 2 y 3 Término (2+3 = 5) 5º grado 3x0 Término de grado cero 3x -1 Los términos semejantes son aquellos que contienen las mimas incógnitas con el mismo grado, lo cual nos ayuda, a la reducción de términos, ejemplo: 3xy 5x son términos semejantes 1º grado 3x 2 y y -2x 2 y son términos semejantes 3º grado 3x 2 y 2y 2 no son términos semejantes Un ecuación algebraica es una proporción matemática de igualad, es decir que contienen una expresión matemática en ambos lados de la igualdad, ejemplo: x+ 4 = -7 x = -7-4 X = -11 Términos algebraicos 2x 2 - = -3x +5 Ecuación algebraica 2x + 3y + 27 = 28 Operación algebraica con 3 incógnitas de 1º grado Para la solución de ecuaciones algebraicas se expresan a continuación las siguientes características para el despeje de incógnitas x + a = b x = b-a ax = b x a = b x = b+a x = b/a = -b/a ax = b x= b/a -x/a = x/a = x = abx a+b Ciencias Básicas 24

25 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS EN ECUACIONES Si son términos iguales se pueden desarrollar entonces las operaciones algebraicas para reducir, por ejemplo: 1) 7 (2x -5) -3 (2x + 4) 7-2x + 5 6x -12-2x -6x x 2) 6(x+5) +2 (x+5) 6x x +10 6x +2x x +40 3) 4 (x -2y) + 3 ( x 2y ) -6x 4x 8y + 3x 6y 6x 4x + 3x 6x 8y -6y x 14 y 4) 2x 3(6y - 5 ) + 6y 3x 2x -18y y 3x 2x 3x -18y +6y +15 -x -12y + 15 ECUACIONES DE 1º GRADO 1) 2x + 4 = 9 Comprobación 2x = 9 4 x ( 5/x) + 4 = 9 2x= 5 5+4= 9 X = 5/2 9 = 9 2) -4 = 3 (x 5 ) + 2x -6 Comprobación -4 = 3x x -6-4 = 3 (17/5 5) + 2 (17/5) = 5x 21-4 = 3 (17/5 25/5) + (34/5) = 5x -4 = 3 (-8/5) + 34/ = 5x -4-24/5 + 34/5-6 x = 17/5-4 = = -4 Ciencias Básicas 25

26 PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES a = a propiedad reflexiva a = b b = a propiedad simétrica a = b y b = c y a = c propiedad transitiva a = b y b = c entonces a = c 3) 2x -8-3x = -2 (3x -5) -12 2x -8-3x = -6x x -3x +6x = x= 6 x= 6/5 4) 2/5 (x+3) +4 = 1/3 (x-4) -2/5x 6/5 + 4 = 1/3x 4/3-2/5x 1/3x = 6/5 4/3 4-1/3 2/5 = -5-6/15 = 11/15x = -2/15 60/15 = -11/15 = 62/15-11x = (-62/15) 15 x = 62 / 15 5) 2x +1 = 5x + 1 3x 2x-2x = x + 1 = 2x = 0 OPERACIONES CON POLINOMIOS POLINOMIO: Suma finita de términos donde cada uno de los términos representará el grado máximo del polinomio, para que sea un polinomio no debe existir exponentes radicales o exponentes negativos, por ejemplo: Monomio Binomio Polinomio 6x 1º grado x+4 1º grado x 2-2x+1 2º grado y5xyz 2 4º grado x 2 +6x 2º grado 6x 2 + 3xy + 2y2 2º grado x 2 y x 2 z 3º grado ½ x + 3y 6x 2 y 2 4º grado No son polinomios X 1/2 = 2 x 2x -1 = 2/x a m a n = a m+n a -m = 1/a m (a m ) n = a m-n Ciencias Básicas 26

27 a m /a n = a m-n a 0 = 1 (ab) m = a m b m (a/b) m = a m /b m 1) (x2y) 4 = (-x 24 y 24 ) = -x 8 y4 monomio de 12º grado 2) /4x 3 y -2 ) 3 = (4 3 x 33 y 23 )= 64x 9 y- 6 ó 64x 9 /y 6 3) (3/x 2 ) -2 = 3-2 / x -2-2 = 3 2 /x -4 = x 4 /9 monomio de 4º grado SUMA DE POLINOMIOS (4x 2 6x + 3) + (2x 2 + 5x -1) 4x 2 6x x2 + 5x -1 4x 2 + 6x + 3 4x 2 + 2x 2 + 6x + 5x ó + 2x 2-5x -1 6x 2 x +2 6x 2 x +2 2) (-x 2-2x+3) (x 2-3x+4) -x 2-2x x 2 +3x -4-2x 2 +x -1 (3x 2 y) 2 = 3 2 x 2.2 y 1.2 = 9x 4 y 2 (3x 2 ) (4xy) = (3-4) (x 2 x) (y) = 12 x3y 3) (3x 2 y-4xy +y) + (x 2 y + 2xy + 3y -2) 3x 2 y-4xy + y + x 2 y +2xy + 3y -2 4x 2 y 2xy + 4y -2 Ciencias Básicas 27

28 4) (-x 2 2x + 3) ( x 2 3x + 4) -x 2 2x+3 + -x 2 + 3x -4-2x 2 + x -1 5) (x 2 y 4xy 2 + 5) (2x 2 y -3y 2-4) x 2 y-4xy x 2 y-3y 2-4 x 2 y -4xy 2 + 3y 2 +1 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS a ( b + c + d ) = ab+ac+ad monomio trinomio ( a + b ) ( c + d ) = ac+ ad +bc + bd 2 binomios (a + b + c ) ( d + e ) = a+d ae + ab + be + cd + ce trinomio por binomio (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a-b) 2 = (a-b) = a 2 b 2 cuadrado de polinomios (a+b) (a-b) = a 2 -b 2 Producto de la suma y diferencia de dos términos semejantes. 1) 3x (4x 2 + 5x + 2) 12x x 2 + 6x 2) (3x + 2) (x-5)= 3x x -10 = 3x 2 13x -10 3) (2x 2 3y) 2 = (2x 2 ) 2 2(2x 2 ) (3y) + 3y 2 Ciencias Básicas 28

29 4x 4 12x 2 y + 9y 2 (a-b) 2 = a 2 2ab + b 2 ó (a-b) (a-b) = (a.a) + (a) (b) + (-b) (a) + (-b) (-b) a 2 ab ab b = a 2-2ab + b 2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS 4x 2-8x / 2x = (4x 2-8x) 2x = 4x 2 / 2x 8x/2x = (2x 2 x-1) -4x +1 x +1 Comprobación (2x 4 ) 2x = 4x 2-8x 2x I 2x -4 4x 2 8x -4x 2 0-8x + 8x 0 ó 4x 3 6x 2 + 8x -3 = 4x 3 /2x 6x 2 /2x -3/2x = 2x 2 3x+4 2/3x 2x Comprobación 2x 2 3x +4 = 2x (2x 2 3x + 4-3/2x) 2x 4x 3 6x 2 + 8x -3 = 4x 3-6x 2 + 8x - 3 4x 3 = (2x) ( -3 /2x) 0-6x 2 = x 2 0+8x -8x 0-3 x 2 + 7x 10 / x+2 = x+5 x+5 x+2 x 2 +7x+ 10 Comprobación -x 2-2x (x+2) (x+5) 0 + 2x x 2 + 5x +2x +10 5x +10 x 2 + 7x x 2 5x +5 = 3x / 2x +3 2x + 3 3x 7 Ciencias Básicas 29

30 2x + 3 6x 2 5x +5 Comprobación:(2x + 3) (3x /2x+3) 6x 2 9x = 6x 2 14x + (2x) (26 / 2x+3) + 9x x + 5 (3) (26/2x+3) + 14x +21 = 6x 2 5x x / 2x / 2x = 6x 2 5x x + 78/ 2x+3 = 6x 2 5x = 6x 2 5x + 5 Ejercicios: 1) 6x 2 y - 12 x 3 y 2 + 9y 3 / 2xy 2 3xy 2xy 2 6x 2 y 12x 3 y 2 + 9y 3-6x 2 y 0-12x 3 y 2 +12x 3 y 2 3) 4x x 2 + 7x -3 2x y 3 2x 2 + 3x -1 2x +3 4x x 2 + 7x -3 Comprobación -4x 3 6 x 2 (2x+3) (2x 2 + 3x- 1) 0 + 6x 2 + 7x 4x 3 + 6x 2x + 6x 9x -3 6x 2 9x 4x x + 7 x-3 0-2x - 3 2x ) 2x 4 8x x 2 33x + 15 x 2 x x 2 6x + 3 x 2 x + 5 2x 4 8x x 2 33x x 4 + 2x 3-10x 2-6x 3 + 9x 2 33x + 6x 3 6x x 0 +3x 2 3x x 2 + 3x Ciencias Básicas 30

31 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS La factorización se puede considerar como lo contrario a la multiplicación de polinomios, el objetivo de la factorización es reducir los términos de una expresión algebraica, evitando al máximo tener un gran grado de la expresión. La factorización se desarrolla a partir de la propiedad distributiva.ejemplo: 1.-2x (x +3) 2.-15x4-5x3 +20x x2 (3x2 x+4 ) FORMULARIOS PARA LA FACTORIZACIÓN a2-b2 =(a + b ) (a-b)------diferencia de cuadrados a2+2ab+b2=(a+b)2 }trinomio al cuadrado a2-2ab+b2=(a-b)2 perfecto a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) ax+ay+bx+by= a(x+y) + b(x+y)=a+b(x+y) 3.-X2-36= (x+6) (x-6) 4.-x2+8x+16=(x) +2 (4)(x) +(4)2 Ciencias Básicas 31

32 5.-3x(5x-29 ) +4(5-2)= 15x2-14x-8 (5x-2) (3x+4) 15x2+20x-6x-8 15x-14x x2+9x+8x+12= (6x2-9x) (8x+12) 3x(2x+3) +4(2x+3) (2x+3)(3x+4)=6x2+8x+9x ax-x+a-1= (ax-x) + (a-1) x(a-1) +(1(a-1) (a-1) (a+1) 8.-3x2+4x-4 = (3x-2) (x+2) 3x2+6x-2x-4 3x+4x x6-4x2= (2x3-2x) (2x3-2x) Ciencias Básicas 32

33 10.-18x4-3x3-6x2= 3x2(3x-2)(2x+1) 11.-a2+7ª+12 =(a+4) (A+3) = A+3 a2+8ª+16 (A+4)(A+4) A+4 FUNCIONES Y SUS GRAFICAS -Coordenadas del plano cartesiano: eje y (ordenadas) 2o cuadrante 1er cuadrante (-, +) (+, +) eje x (abscisas) 3er 4º cuadrante cuadrante (-, -) (+, -) origen Ciencias Básicas 33

34 x < 0 x > 0 y > 0 y > 0 x < 0 x > 0 y < 0 y < 0 Y y1 línea Incremento recta y y2 X Incremento x Ciencias Básicas 34

35 Y2 Decremento Y Y2 X Incremento x M= M= m= 2 m=2 m=0 m=-1 m=1 m=-1/2 m=1/2 m=0 Ciencias Básicas 35

36 m1=(x1,y1) (-2,5) m2=(x2,y2) ( 1,1) m1= (x2,y2) m2=(x1,y1) m1= 1-5 = -4 = -4 m2= 5-1 = 4 = 4 1-(-2) º (2, 10) 0 (5,6) m= 10-5 = 5/0 º º (10,6 ) 2-2 º (2,5) 0 m= 6-6 =0/ m2 m1 Ciencias Básicas 36

37 Encontrar la recta que pasa por el punto (1, 3 ) si m=2 m = (y2-y1) (x2 x1) y2-y1= m(x2-x1) y2-3 =2 (x2-1) y-302x-2 y02x-2+3 =2x+1 se sustituye: y = (mx b) x =1 y =2 (-1) + 1 y =-2+1 y = -1 (-1,-1) (1,3) -2x+y -1=0 (-1-1) Ciencias Básicas 37

38 Graficar y encontrar: 4y=8-3x 1.- x = 0 y = 3/4(0)-2) y = (0,2) y=8-3x 2.- x= 2 y=3/4 (2)-2) y= (2,-1/2) -4 y=3/4 x x=4 y=3/4 (4)-2) y= (4,1) º m=3/4 3x-4=8 Ciencias Básicas 38

39 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL Para entender fácilmente el cálculo diferencial se tiene que tener conocimiento de algunos conceptos como: Incrementos o decrementos El incremento de una variable se da a través de una diferencia y el cambio de valor de ella misma. Ejemplo: X - incremento de x x=x2 -x1 (delta x) y=y2-y1 En algunos casos el valor del incremento puede ser negativo, entonces se conoce como decremento x X=12 incremento de x Y =-3 decremento de y Variable independiente y variable dependiente Una variable independiente es aquella que obtiene valores dentro de los límites establecidos. La variable dependiente obtiene los valores en función de la variable independiente.ejemplo: Variable dependiente--- y=x2 ----variable independiente X=10 y=12 y=(10) (10) =100 Ciencias Básicas 39

40 DERIVADA La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la variable independiente cuando tiende a ser cero. La derivada existe a partir de la interpretación geométrica siguiente: Línea secante y Y1 Q º Y2 P X1 x2 Línea tangente Por lo tanto por definición el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto. MÉTODO DE LOS 4 PASOS La derivada se obtiene mediante la aplicación del método de los cuatro pasos: 1.-se sustituye el valor de la variable dependiente por: x1 - x y - y 2.- se resta ahora el valor inicial de la función de x y se obtiene: Ciencias Básicas 40

41 f(x) y 3.- ahora se divide todo entre x y x 4.-se calcula el limite cuando x----0 lim x 0 Derivar y=x2 1.- y + y = (x+ ) y =-x2 y=x2+2x x + ( x)2 3.- y = 2x + ( x)2 x x x y =2x + x x Ciencias Básicas 41

42 0 4.- y = lim (2x + x) x y = 2x x Existen diferentes formas de expresar una derivada dependiendo del autor se puede encontrar que: Y y = = dy = d y= d f(x) =Dx fw = f (x) X dx dx dx Formulas para derivar las constantes: 1.-dc =0 dx 2.- dx = 1 dx 3.- d (u +v +w) = d u +dv -dw dx d x dx dx 4.- d (cv ) = c dv dx dx 5.-d (u v) = u dv + v du dx dx dx 6.-d (vn) =n v dx n-1 dv dx n d (xn) = nx Ciencias Básicas 42

43 dx du dv 8.- d ( u )= v dx - v dx dx (v) v2 du 9.- d (u) dx dx (c ) c Ciencias Básicas 43

44 EJERCICIOS Ciencias Básicas 44

45 UNIÓN A = { X R: -3 X < 6} B = { X N : X > -5} C = { X R : 2 < X < 12} ) A = [ -3, 6] B = [ 0, ) A B = [ -3, ) A = [ 0, 6) B = [ -3, 12) A C = [ -3, 12) INTERVALO Ciencias Básicas 45

46 A = { X R: 4> X > -6} B = { X N : 7 X 3} C = { X R : -15 < X < -12} A = ( -6, 4) B = [ 7, ) A B = { } A = ( -6, 4) C= (-15, -2) A C = (-6, -2 ) Complemento absoluto Ciencias Básicas 46

47 A={x N :x es vocal} encontrar Aс A={a,e,i,o,u } Ac = {b, c,d,f } b f U c Ac d A= {x N : es par} U 7 A={2, 4,6,8.} 5 1 Ac={1,3,5,7 } 3 Ac A={x N:x > 5} 5 4 U A={6,7,8,9 } Ac ={5,4,3,2,1 } 1 3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Conmutativa de adición: = Ciencias Básicas 47

48 Conmutativa de multiplicación: 4. 2 = 2. 4 Asociativa de adición: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) Asociativa de multiplicación: 4. (2. 9) = (4. 2). 9 Distributiva de multiplicación sobre adición: 4. (2 + 9) = PROPIEDADES DE LOS SIGNOS Multiplicación: (-8)(-2)(-5) = -80 (-3)(+2)(-5)(1) =+30 (-3)(-25)(-54)(-84) = + 340,200 Ciencias Básicas 48

49 (-3)(16)(3)(35)(-3) = +15,520 (-24)(-12)(-84) = - 24,192 Adición: (+5)+(2) = +17 (-6)+(-3) = -9 (+7 )+ (-4) = +3 (-5 )+ (+2 ) = -3 TÉRMINOS ALGEBRAICOS 18x 2 termino de segundo grado -6x termino de primer grado 10x y 4 termino (1+4=5) quinto grado 3x 0 termino de o grado propiedades de conscientes 1) 5-2 (5) (-2) = -10 = (2) (4) 8 4 2) (3 ) + 2 = (3) (1) + (-5) (2) = 3-10 = -7 = (-5) (1) )-2 (-1) + 3 (-4+6) = (2) = (2) +2(10) = = 46 = 5 1(8) Ciencias Básicas 49

50 SUMA DE POLINOMIOS EJEMPLO 1 = 1/2x 4 + 5x 3-3x 2 + x 6 y 1/2x 4 3x 3 +4/3x 2-3x + 2 = 2x 3 5/3x 2-2x - 4 EJEMPLO 2 (3x4 5x2 + 7x ) (x3 + 2x2 11x + 3) = 3x 4 + x 3-3x 2 4x +3 EJEMPLO 3 (2x 3-4x 2 +7x 8) (-4x 3-3x 2-5x +9) (-3x 3 + 8x 2 + 3x -2) = -5x 3 + x 2 +5x -1 OPERACIONES CON POLINOMIOS EJEMPLO 1 ( x 2 + x + 5 ) - ( 3x 2 - x - 7 )= (x 2 + x + 5) + ( - 3x 2 + x + 7 )= 2x 2 + 2x + 12 ( x 2-3x 2 ) + ( x + x ) + ( 5 + 7)= EJEMPLO2 (11-2y + 5y 2 ) - (- y y 2 )= (11-2 y + 5y 2 ) + ( y + 6-4y 2 )= 17 - y + y 2 ( ) + ( - 2y + y ) + ( 5y 2-4y 2 ) DE MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 1.-5x(6x-8)=30x-40x 2.-6ab(3ab+4a+5b)=18a 2 b 2 +24ab 2 +30ab 2 Ciencias Básicas 50

51 3.- 4(a+1/2)=2.8 COMPROBACION 4a+4/2=2.8 4(1.2+1/2)=2.8 4a+2= /2=2.8 4a=2.8+2= =2.8 a=4.8/4 2.8=2.8 a=1.2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS 1.- 9x 2-12x= 3x RESPUESTA 3x -4 3x 9x 2-12x -9x x +12x X 4-3X 3 +5X 2-6X+10= X-2 RESPUESTA 2X 3 +X 2 +7X+8 X-2 2X 4-3X 3 +5X 2-6X+10-2X 4 +4X 4 X 3 +5X 2 -X 3 +2X 2 7X 2-6X -7X 2 +14X Ciencias Básicas 51

52 8X+10-8X Ciencias Básicas 52

53 BIBLIOGRAFÍA MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA INTERNACIONAL THOMSON S.T. TAN ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES MC. GRAW HILL 4ª EDICIÓN W. KEITH NICHOLSON CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL LIMUSA WILLIAM ANTHONY GRANVILLE Ciencias Básicas 53