5 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Transcripción

1 5-1 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin 5 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Escalas: clases de escalas, escala gráfica, Construcción de la escala decimal de transversales. Semejanza: construir un polígono inversamente semejante a otro. Proporcionalidad. Figuras equivalentes: Triángulos y polígonos equivalentes, construcción de un polígono equivalente a otro pero que tenga un lado menos, construcción de un cuadrado equivalente a un círculo dado, construcción de un triángulo y un cuadrado equivalente a un pentágono, construcción del círculo equivalente a la elipse. Simetría: simetría central, simetría axial, construcción del segmento simétrico de otro dado respecto de un eje. Giros. INVERSIÓN: elementos que definen la inversión, rectas antiparalelas, Puntos, rectas y circunferencias dobles, inverso de un punto, teoremas, propiedades de las circunferencias inversas, aplicaciones de la inversión. TEMPORALIZACIÓN: 6 horas ESCALAS Es la relación de semejanza que existe entre el dibujo y el modelo natural. Esta relación se expresa por un quebrado cuyo numerador corresponde al tamaño del dibujo y el denominador al del objeto real.

2 Transformaciones en el plano 5-2 Clases de escalas Las escalas pueden ser: de reducción, de ampliación y natural o de igualdad. - Escala natural o de igualdad: - Escala de reducción: El dibujo tiene las mismas dimensiones que el original. Ej: 1/1, 1:1 El dibujo es menor que el original. Las más usadas son: en arquitectura e ingeniería: 1:5, 1:10, 1:20 para representar detalles; 1:50, 1:100, 1:200.en planos generales. En topografía y urbanismo: 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000, 1:2000, etc. En cartografía: 1:5000, 1:10000, 1:25000, 1:50000 Este tipo de escala se aplica a los objetos muy grandes que sólo pueden ser representados por medio de un dibujo más pequeño. Este cociente se indica por una fracción donde el numerador debe procurarse que sea la unidad y el denominador las veces que se ha reducido el objeto. Por ejemplo, la escala 1:10 indica que la representación en el papel es diez veces menor que la realidad. - Escala de ampliación: El dibujo es mayor que el original. 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1, etc. Es la relación o cociente utilizado para representar objetos pequeños por medio de un dibujo de mayor tamaño. Este cociente viene dado por medio de una fracción ordinaria cuyo denominador debe ser la unidad. De este modo, el numerador indica las veces que se ha ampliado el objeto. Por ejemplo, la escala 3:1 indica que cada unidad de medida real (1 metro, 1 centímetro, 1 milímetro, etc) vendrá dibujada tres veces mayor (3 metros, 3 centímetros, 3 milímetros, respectivamente). Una escala expresada en fracción puede convertirse en decimal dividiendo el numerador por el denominador. Ej: 6:8 = 0'75. A la inversa, una escala expresada en fracción decimal puede convertirse en fracción ordinaria tomando por numerador el decimal sin la coma y sin el cero y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga: Escala 0'75 = 75/100 =7'5/10 = 6/8

3 5-3 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin Consideraciones - Todas las escalas empleadas se indicarán en la rotulación, destacando la principal con caracteres de mayor tamaño. Las escalas secundarias, se indicarán también en las partes correspondientes del dibujo. - En general todo se dibujará a escala. Las cotas que no estén a escala se deben subrayar. - Sobre un plano dibujado a escala, las cifras de cota que se ponen son siempre las reales, es decir, las medidas reales de la pieza. Unidades empleadas En el dibujo de máquinas todas las medidas en milímetros. En dibujos de arquitectura, carpintería etc, todas las medidas se representan en metros y su fracción el centímetro. La base de la escala será el metro = 100 cm. En planos, mapas, etc se usan el decámetro, hectómetro, kilómetro, etc. según convenga. Escala gráfica. Fig.5.1 Es un segmento representativo de la unidad de medida (el metro) dibujado a escala. Generalmente este segmento se divide en diez partes iguales para representar los decímetros. Para obtener su magnitud se reduce el quebrado de la escala a número decimal, dividiendo su numerador por el denominador. Por ejemplo, la Fig.5.1 escala 1:2 indica que 0'5 metros en el dibujo representan un metro lineal, luego la escala gráfica se construirá con un segmento de 50 centímetros, para representar el metro. Como esta magnitud es excesiva, se dibuja una parte del metro; por ejemplo, un decímetro, que vendrá dado por una longitud de 5 cm. Cuando la escala viene dada por dos números distintos, la escala gráfica se obtiene basándonos en la proporcionalidad de segmentos según la construcción que describimos. Supongamos que se quiere construir la escala 5/7. Sobre una recta cualquiera se coloca una longitud equivalente a 5 cm. y se divide esta magnitud en 7 partes iguales, las cuales se numeran correlativamente a partir del origen. Estas divisiones representan los centímetros a la escala dada. Para completar la escala, se lleva a la izquierda del origen una de estas unidades que se subdivide en otras diez partes iguales para representar los milímetros. Este último segmento se denomina contraescala. De esta manera, si se quiere tomar por ejemplo una distancia de 47 mm, se colocará una punta del compás en el 4 y la otra en la séptima división de la contraescala.

4 Construcción de la escala decimal de transversales. Fig.5.2 Transformaciones en el plano 5-4 Para obtener una mayor exactitud en la aplicación de una escala, puede construirse este tipo escala, en la cual se pueden apreciar perfectamente las décimas de la unidad adoptada. Fig.5.2 Ejemplo: E = 1:250. Se construye la escala gráfica 1 es a 250, tal como se explicó en el apartado anterior. Por los puntos de división se trazan perpendiculares a la escala y se toma una altura arbitraria h que se divide en 10 partes iguales; por estas partes se trazan paralelas a la línea de la escala y se unen las divisiones de la contraescala de tal forma que quede la división 0 con la 1; la 1 con la 2, etc.; se forman así triángulos rectángulos cuyas bases van aumentando en una décima de la unidad de la contraescala. Escala intermedia En ocasiones se necesita transformar un dibujo realizado a escala a otra escala diferente. Existirá entre las dos escalas antedichas una escala intermedia que responde a la siguiente fórmula: La escala intermedia se obtendrá pues al multiplicar la inversa de la escala del dibujo dado por la escala a la que vamos a reproducir el dibujo.

5 5-5 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin Sea un dibujo a escala 2:3 que queremos reproducir a escala 5:4. Triángulo universal de escalas. Fig.5.3 Por medio de un triángulo podemos construir las escalas más sencillas, tanto normalizadas como sin normalizar. Para fabricar la escala procederemos según los siguientes pasos: 1.- Partimos de la escala natural, es decir E 1:1 para lo que dibujamos una recta de 10 cm de largo, que dividimos centímetro a centímetro. 2.- Por su extremo izquierdo levantamos una perpendicular de longitud cualquiera. 3.- Tomamos un punto P cualquiera sobre la perpendicular trazada en el paso 2, y desde él unimos con las divisiones de la recta horizontal de 10 cm. 4.- Se coge el numerador de la escala sobre la recta con la escala natural y se lleva una perpendicular a ella hasta que corte la línea oblicua que parte de P y va a la división de la escala natural que marca el denominador. Si la escala es de reducción (menor que la unidad) levantamos la perpendicular por encima de la escala 1:1. Si la escala es de ampliación, a la inversa. 5.- Por el punto de corte de la perpendicular con la oblicua (paso 4) trazamos una horizontal con lo que nos quedará dividida en la escala buscada. Fig.5.3

6 Transformaciones en el plano 5-6 SEMEJANZA Dos figuras son semejantes (Fig.5.4) cuando tienen la misma forma pero diferente tamaño o lo que es lo mismo, cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. Además, cuando a una de las dos figuras que constituyen una homotecia, se le aplica un movimiento de giro o de simetría axial (o sus productos) se dice que existe "semejanza" ente la figura fija y la resultante del movimiento. Si el movimiento es un giro cuyo centro coincide con el de homotecia, se denomina rotohomotecia. No es necesario comprobar la proporcionalidad de todos los elementos lineales y la igualdad de los Fig.5.4 angulares, basta comprobarlo para algunos de ellos, cumpliéndose, entonces forzosamente para los demás. Cada manera de elegir los elementos para los que se cumple la proporcionalidad (en elementos lineales) o igualdad (en elementos angulares) se denomina "criterio de semejanza". Para construir un polígono semejante a otro se toma un punto cualquiera O exterior a él y se hacen pasar por dicho punto, rectas que lo unan con los vértices del polígono. Se toma un punto A' en el rayo OA, que cumpla la razón de semejanza, y basta ir trazando paralelas a los lados del polígono dado. Las figuras semejantes tienen que cumplir la razón de semejanza que se define de forma que: Un ejemplo de razón de semejanza podría ser: Si la razón de proporcionalidad de sus lados es k, la razón de proporcionalidad de 2 3. sus áreas es k, y la de sus volúmenes, k La semejanza conserva la forma de las figuras pudiendo ser su posición cualquiera en el plano. Ejemplo: Si la razón de semejanza fueran 2/3, se divide el segmento OA en 3 partes iguales (o las que indique el denominador) y se toman desde O tantas partes como indique el numerador. El resto de la figura se obtiene aplicando el caso general. Semejanza de triángulos Los criterios de semejanza, en el caso de los triángulos, son: 1.- Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno son proporcionales a los del otro.

7 5-7 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin 2.- Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno son proporcionales a dos lados del otro y el ángulo comprendido es igual. 3.- Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno son proporcionales a dos lados del otro y el ángulo opuesto a uno de ellos es igual, siendo ambos obtusángulos o acutángulos. 4.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos de uno iguales a dos ángulos del otro. Si los triángulos que se comparan son rectángulos, al tener ambos un ángulo igual (el ángulo recto), los criterios de semejanza son los siguientes: 1.- Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen la hipotenusa y un cateto de uno proporcionales a los del otro. 2.- Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen los catetos de uno proporcionales a los del otro. 3.- Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando un ángulo agudo de uno es igual a un ángulo agudo del otro. Si en un triángulo, rectángulo o no, se traza una recta paralela a uno de sus lados, se obtiene otro triángulo semejante al primero. Construir un polígono inversamente semejante a otro dado. Fig.5.5 La resolución adoptada en el ejercicio anterior es aplicable en la realización de una semejanza tomando las magnitudes correspondientes en sentido contrario, a partir del centro adoptado. Fig.5.5 PROPORCIONALIDAD Repaso: Dos magnitudes son proporcionales cuando estas varían de tal forma que su relación permanece constante Las magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto permanece constante., para que esta proporción sea válida se verificará AD=BC siendo los términos A y D los extremos y los B y C los medios.

8 Transformaciones en el plano 5-8 Se llama proporción continua aquella en que dos términos se repiten: Primer procedimiento: (Fig.5.6) Dada una figura, constrúyase otra semejante o proporcional a ella de forma que la razón de semejanza entre ambas sea, por ejemplo, 5/7. Tenemos el polígono ABCD. Para construir el polígono proporcional al dado, siendo 5/7 la razón de semejanza se construye un triángulo rectángulo A'MN cuyos catetos están en la proporción 5 a 7; por ejemplo, se toma A'M = 70 mm y MN = 50 mm. Fig.5.6 A continuación llevamos el lado AB del polígono sobre el cateto MN, es decir, MB=AB y se traslada B, por medio de una paralela al cateto, hasta el punto x de la hipotenusa y éste, por medio de otra paralela al cateto, hasta B'. El segmento A'B' es el lado del polígono semejante al dado y proporcional al lado AB. Debemos respetar esta construcción para todos los lados y diagonales del polígono dado. De esta forma se van construyendo, uno a uno, todos los triángulos semejantes. Segundo procedimiento: (Fig.5.7) Obtenido el lado A'B' proporcional al lado AB como en el caso anterior y tomando A A' como centro, y sobre la figura dada, se trazan los radios polares 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sobre el radio 1 se toma el vértice B' distante de A la magnitud A'B'. A partir de B' se traza la paralela al lado BC. Tercer procedimiento: (Fig.5.8) (Por coordenadas) Se opera como en la igualdad de figuras. Fig.5.7 Si la razón de semejanza es 2:1 se toma es decir se reducen a la mitad las coordenadas y se obtiene el polígono F'. Fig.5.8

9 5-9 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin IGUALDAD En el plano, dos figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden. Esto supone que han de tener todos sus elementos iguales, tanto los lineales como los angulares. Si las figuras se encuentran representadas, generalmente no pueden trasladarse para su superposición, por lo que habría que comprobar la igualdad de todos sus elementos. Esto no es necesario, ya que la igualdad de algunos elementos, según el tipo de figuras, supone la igualdad de los demás. Esos elementos, cuya igualdad supone la de los demás, pueden escogerse de varias maneras para cada tipo de figuras, designándose cada una de las maneras como "criterio de igualdad". En el caso de los triángulos, los criterios o casos de igualdad son los siguientes: 1.- Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados de uno iguales a los del otro. 2.- Dos triángulos son iguales si tienen dos lados de uno iguales a dos lados del otro y el ángulo comprendido igual. 3.- Dos triángulos son iguales si tienen dos lados de uno iguales a dos lados del otro e igual el ángulo opuesto a uno de ellos, siendo los dos triángulos obtusángulos o acutángulos. 4.- Dos triángulos son iguales si tienen un lado de uno igual a un lado del otro y dos ángulos de uno iguales a dos ángulos del otro. Si los triángulos que se comparan son rectángulos, al tener ambos un ángulo igual (el ángulo recto), los criterios de igualdad son los siguientes: 1.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando los catetos de uno son iguales a los catetos del otro. 2.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando un cateto y la hipotenusa de uno son iguales a los del otro. 3.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando un cateto y el ángulo agudo contiguo/opuesto de uno son iguales a los del otro. 4.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando la hipotenusa y un ángulo agudo de uno son iguales a los del otro.

10 Transformaciones en el plano 5-10 FIGURAS EQUIVALENTES Se llaman figuras equivalentes las que tienen la misma superficie pero diferente forma. En el caso de perímetros curvos, con expresión analítica definida, para la determinación de la superficie, hay que recurrir al cálculo integral, o si se trata de curvas cualesquiera, a construcciones gráficas aproximadas. Pero en el caso de contornos polígonales, es fácil obtener figuras equivalentes sucesivas con número de lados decrecientes hasta llegar al triángulo y, finalmente, encontrar el cuadrado equivalente, pues su lado l es medio proporcional entre la base b y la mitad de la altura del triángulo hallado: 2 l = b x h/2 Triángulos y polígonos equivalentes: a) Dos triángulos de igual base y altura son equiva lentes. b) Un triángulo cualquiera puede siempre transformarse en un rectángulo de igual base y mitad altura o de base mitad e igual altura. c) Un cuadrilátero rectángulo, de lados a-b, puede siempre transformarse en un cuadrado de lado L, media geométrica entre a y b. Construcción de un polígono equivalente a otro pero que tenga un lado menos. Fig.5.9 Se traza una diagonal cualquiera que aisle un sólo vértice, por ej. FB. Se prolonga el lado BC hasta que corte a la paralela a la diagonal trazada desde A y obtenemos G. El polígono GCDEF es el equivalente al dado. Los triángulos ABF y GBF son equivalentes por tener la misma base e igual altura. Fig.5.9

11 5-11 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin Construcción de un cuadrado equivalente a un círculo dado (cuadratura del círculo). Fig.5.10 El área del círculo y del cuadrado tienen que ser iguales L = r L = r.r de lo que se deduce que el lado del cuadrado es media proporcional entre los segmentos r y r. Fig.5.10 En la figura, para construir la media proporcional, se toma sobre una recta cualquiera los segmentos r (rectificación de la semicircunferencia) y r. Esta rectificación es igual a la suma de los lados del triángulo y del cuadrado inscritos en ella. Trazamos una semicircunferencia de diámetro MN = r + r. El segmento AD = L es el lado del cuadrado buscado por ser la media proporcional entre los dos segmentos dados. Construcción de un triángulo y un cuadrado equivalentes a un pentágono. Fig.5.11 y 5.12 Para la construcción del triángulo equivalente (Fig.5.11) realizaremos, dos veces, lo explicado para la conversión de polígonos. Para la construcción del cuadrado equivalente (Fig.5.12) una vez transformado el pentágono en triángulo igualamos áreas de triángulo y cuadrado es decir, el lado del cuadrado es media proporcional entre los segmentos b y h/2. Construimos la media proporcional de estos dos segmentos determinando L. Figs.5.11 y 5.12

12 Transformaciones en el plano 5-12 Construcción del círculo equivalente a la elipse. Fig.5.13 Se igualan las áreas de las dos figuras y 2 2 tendremos r = ab r = ab Basta hallar la media proporcional entre los semiejes a y b de la elipse para obtener el radio r del círculo equivalente. En la fig. ON = OD = b y OB = a. Se traza la semicircunferencia de diámetro NB = ab y la tangente a ella, desde O, es el radio r = OP de la circunferencia equivalente a la elipse. Fig.5.13 Hallar un cuadrado equivalente a la suma de otros dos dados. Fig Se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos sean los lados respectivos de los cuadrados conocidos. La hipotenusa obtenida de este triángulo es el lado del cuadrado Aplicando el teorema de Pitágoras, l 3 = l 1 + l2 Fig Fig Hallar un cuadrado equivalente a la suma de otros tres. Fig Se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos sean los lados de dos de los cuadrado conocidos y sobre la hipotenusa de éste, tomada nuevamente como cateto, construir otro triángulo rectángulo cuyo otro cateto sea el lado del tercer cuadrado. La hipotenusa resultante es el lado del cuadrado suma.

13 5-13 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin Hallar un cuadrado de doble área que otro dado. Fig La diagonal del cuadrado dado es el lado del cuadrado solución. Es evidente que el cuadrado obtenido es de doble área que el conocido, toda vez que éste está constituido por dos triángulos rectángulos isósceles de hipotenusa igual a la diagonal, y aquél se encuentra formado por cuatro. Fig Dividir un triángulo en dos partes equivalentes por medio de una paralela a su base. Fig Otro enunciado: Dividir un triángulo en dos partes de forma que una tenga doble área que la otra por medio de una paralela a la base Con centro en O, punto medio de uno de los lados AC que no sea la base del triángulo conocido, se describe una semicircunferencia, determinando sobre la misma el punto medio M mediante la mediatriz a AC trazada por O. Haciendo centro en el vértice A y con radio AM describir un arco hasta cortar en F al lado AC, punto por el cual se traza la paralela a la base que divide al triángulo en dos partes equivalentes. Fig El triángulo AMC es un triángulo rectángulo. Según el teorema del cateto (el cateto es media proporcional entre 2 la hipotenusa y su proyección sobre ella) sabemos que AM = AO x AC y siendo AO=AC/2 y AF=AM resulta que AM = AC/2 x AC = AC /2 de donde AC = 2AF. En los triángulos semejantes ABC y ADF podemos establecer que y al ser estas magnitudes constantes e iguales puede establecerse que si hacemos 2 Sustituyendo el valor AC ya determinado,. De donde AN x BC = 2AP x DF que dividiendo entre dos resulta lo que indica que el área del triángulo dado ABC es doble que el del obtenido ADF como se quería demostrar.

14 Transformaciones en el plano 5-14 SIMETRÍA Se dice que dos figuras son simétricas respecto a un punto (centro de simetría) o a una recta (eje de simetría) cuando al girar una de ellas alrededor del centro o del eje, coincide con la otra. Simetría central. Fig.5.14 Dos puntos A y A' se dice que son simétricos respecto de un punto C, llamado centro de simetría, cuando están en línea recta con él y equidistan de dicho centro, CA = CA' = d. Estas dos condiciones las cumplen todas las parejas de puntos simétricos. En la figura se repite la operación, punto a punto; se unen los vértices 1, 2, 3,... etc. del polígono dado con el centro C de simetría y se toman C-1'= C-1, C-2'= C-2, etc. Los lados simétricos son paralelos. Fig.5.14 Simetría axial. La simetría axial o respecto de un eje, es, como la anterior, una relación geométrica que liga los puntos simétricos por dos condiciones: Un punto A y su simétrico A' están en la misma perpendicular al eje de simetría; los dos puntos A y A' equidistan del eje, estando uno a cada lado del mismo. De la predisposición o situación geométrica del mismo en el soporte o papel, la simetría puede ser vertical u horizontal. Construcción del segmento simétrico de otro dado respecto de un eje. Fig.5.15 Se tiene el segmento s cuyos extremos son A y B; el simétrico del A es A' y el simétrico de B es B'; el segmento s' que une A' y B' es el simétrico del s. En la simetría axial las parejas de rectas simétricas se cortan en un punto del eje de simetría. Fig.5.15

15 5-15 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin Si deseamos hallar el simétrico de una figura o polígono realizaremos este proceso para cada uno de los lados del polígono. GIROS El giro es una transformación homográfica definida por un centro de giro O, un ángulo de giro y un sentido de giro dado, de modo que un punto A se transforma en un punto A', siendo AO=A'O, el ángulo AOA'=a y el sentido AA' el indicado en los datos. Fig.5.16 La rotación del polígono puede realizarse en torno a su centro, a un punto interior, a un punto situado sobre un lado, a un vértice o a un punto exterior. Fig.5.17 El único punto doble es el centro de giro O, ya que su homólogo es el propio centro. No existen en general rectas dobles. Son dobles las circunferencias que tienen su centro en el centro de giro Fig.5.16 Fig.5.17

16 Propiedades de los giros. Transformaciones en el plano La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano y sus homólogos, es la misma en los giros. - En los giros se conservan los ángulos y las distancias. - Los giros transforman rectas en rectas, ya que a CA le corresponde C'A' obtenida girando dos cualesquiera de sus puntos. Girar la figura ABC 30, respecto del centro O, en sentido positivo antihorario. Fig.5.18 Únase la recta AO. Se construye un ángulo de 30 con vértice en O, siendo AO un lado y teniendo en cuenta que A se tiene que desplazar en sentido contrario a las agujas del reloj. El otro lado del ángulo será la recta OA'. Dibujamos la trayectoria de A trazando un arco de circunferencia de centro O y radio OA en el sentido indicado. La intersección de dicho arco con la recta OA' será el punto A' buscado. Fig.5.18

17 5-17 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin INVERSIÓN La inversión es una transformación geométrica en la que a todo punto A del plano se le hace corresponder otro punto A' alineado con el primero y con un punto fijo C llamado centro de inversión, de tal forma que el producto de sus distancias al centro es un valor constante y distinto de cero (K 0) llamado potencia de inversión, o razón de inversión. Es decir, CA.CA'= K Fig.5.19 Elementos que definen la inversión Una inversión puede definirse con: - el centro C y un par de puntos homólogos A y A'. De CA y CA' puede deducirse el valor de K. - el centro C, K y la posición de un punto A. La recta CA' se deduce de CA.CA'=k - los pares de puntos homólogos A-A' y B-B'. El centro C se deduce. Inversión positiva (Cuando K>0) Fig.5.20 Se llama así cuando los puntos homólogos A y A' están a un mismo lado del centro C. Inversión negativa (Cuando K<0) Fig.5.20 Se llama así cuando el centro C está entre los puntos A y A'. Es decir, tienen diferente sentido. La razón de inversión es negativa lo que no significa que CA.CA' de un resultado negativo, sino que CA y CA' tiene diferente sentido, por lo que a uno de ellos se le asigna un valor negativo. Fig.5.20

18 Transformaciones en el plano 5-18 Rectas antiparalelas. Fig.5.21 Sabemos, por el teorema de Thales, que al cortar a dos rectas concurrentes, r y s, en C por dos rectas paralelas a y b, se obtienen dos triángulos CAB y CA B semejantes por tener los tres ángulos iguales y los lados proporcionales. Por tanto Pero también se puede obtener una pareja de triángulos semejantes al cortar a dos rectas concurrentes r y s, por dos rectas no paralelas a y b, que se les denomina antiparalelas respecto de las r y s, y que a su vez, son antiparalelas de a y b. De lo anterior, y del análisis de la Fig.5.21 resulta: Fig.5.21 o lo que es lo mismo CA.CA =CB.CB, lo que demuestra que los puntos A y B tienen como inversos respectivos a los puntos A y B en una inversión de centro C, y que quedan incluidos todos en una circunferencia. Dos rectas concurrentes en C son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellas en sus puntos inversos. Puntos dobles. Fig.5.22 Se produce un punto doble, también llamado invariante, cuando en una transformación de un punto A en otro A', los dos puntos coinciden; es decir, cuando A A' En una inversión, si K>0 todos los puntos que distan del centro C una distancia K son puntos dobles. Al tratarse de puntos que se hallan a una distancia constante del centro de inversión, determinan una circunferencia cuyo centro es el de inversión, C, y su radio la raíz cuadrada de su potencia, K. Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia de puntos dobles, cpd o de autoinversión. Fig.5.22

19 5-19 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin En la inversión negativa no existen puntos dobles, ya que un punto y su inverso se encuentran a distinto lado de C, por lo que no pueden coincidir. Trazado de puntos dobles. Fig Dados el centro C, B y B' para hallar puntos dobles en una inversión dada, basta con trazar una circunferencia que pase por B y B' y trazar desde C, centro de inversión, las tangentes a dicha circunferencia. Los puntos de tangencia T y T serán puntos dobles, ya que aplicando la potencia de un punto respecto de una circunferencia se tiene 2 2 que CT 1 =CT 2 =K, y como CT1 CT 1' y CT2 CT 2' luego CT 1= K y CT = K 2 Fig.5.23 Figuras dobles Se dice que una figura es doble o autoinversa cuando está formada por puntos inversos de sí mismos. Esto no significa que esté formada por puntos dobles, sólo serán dobles si coinciden los puntos con sus inversos en el mismo lugar. Aunque la única figura doble que lo es punto a punto es la c.p.d., en una inversión hay una serie de elementos o figuras que son dobles porque el inverso de uno de sus puntos es otro punto que también pertenece a ella. Rectas dobles o que pasan por el centro de inversión Son dobles las rectas que pasan por el centro de inversión, aunque sólo dos de sus puntos son dobles, los que pertenecen también a la c.p.d. Fig.5.24 (caso 1) Fig.5.24 La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión C es ella misma es decir, la recta se transforma en ella misma, es doble r r'. Esto sólo ocurre cuando la potencia de inversión es positiva, K>0

20 Transformaciones en el plano ) - Si K>0 la recta tendrá sólo dos puntos dobles, a la distancia ± K de C. En el ejemplo A A' y B B' equidistan de C. El punto A está a distancia - K y el B a distancia + K. Aunque sólo tiene dos puntos dobles, la recta r es doble, pues sobre ella están los puntos y sus inversos. 2) - Si K<0 la recta no tiene puntos dobles, pues A y A' estarán siempre a distinto lado de C. Por ejemplo, para la inversión definida por K=-4 y CA=2 se tiene que CA'=-2, luego A y A' equidistan de C pero no coinciden. 3) - Cuanto más alejado esté el punto A del centro C, más cercano estará A' del centro C y viceversa; a más distancia del punto A' del centro C más cercano estará A de C. 4) - Si el punto A coincide con el centro C, su inverso A' estará en el infinito, pues a más cercanía del punto del centro de inversión más lejos tendrá su inverso. Circunferencias dobles o de autoinversión Caso primero. Fig.5.26 Dado un centro de inversión C, si tenemos una potencia de inversión K>0 se genera una circunferencia de autoinversión de puntos dobles (cpd) Para construirla basta trazar una circunferencia de radio= k con centro en C. Los puntos que disten de C esa distancia K son inversos de sí mismos, son puntos dobles. Todos los puntos de la circunferencia serán dobles y la circunferencia es doble (inversa de sí misma) y se llama cpd. Fig.5.26 Caso segundo. Fig.5.27 Si K<0 se genera una circunferencia autoinversa y doble, pero no de puntos dobles. Para construirla se traza una circunferencia de radio = -K. Los puntos que distan de C una distancia -K tienen por inversos otros puntos de la circunferencia diametralmente opuestos y a la distancia - -K del centro C. La circunferencia es autoinversa, doble pero sin puntos dobles. En el ejemplo, para K=-100 se tiene que k=-10. Si CA=10 CA'=-10. Fig.5.27

21 5-21 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin Caso tercero. Fig.5.28 Cuando la potencia de inversión de un centro C respecto de una circunferencia es igual a la potencia de inversión de ella misma respecto de sus puntos A y A, la inversa de la circunferencia dada es ella misma, es doble pero no de puntos dobles. De lo anterior se deduce que cualquier circunferencia que pase por una pareja de puntos inversos Fig.5.28 es doble, aunque si la inversión es positiva, solo tiene dos puntos dobles, los que pertenecen a su vez a la c.p.d., M M y N N en la Fig.5.26 Determinación del inverso de un punto dado. Una inversión queda determinada por su centro C y su potencia de Inversión K. Sin embargo, para resolver problemas de inversión se puede partir también de otros datos. Caso 1.- Conociendo la circunferencia de puntos dobles (cpd): Si el punto está en ella, su inverso es él mismo (si k<0, el A' sería el simétrico del hallado respecto de C). Si el punto es exterior a esa circunferencia, Fig.5.29, para hallar el inverso A' unimos A con C. Desde A trazamos la tangente a la cpd, y por el punto de tangencia T trazamos una perpendicular a CA que la corta en A', inverso de A. Esta construcción se justifica por el teorema del cateto cuyo enunciado dice que: en un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Que aplicado al triángulo CTA se cumple: CA'. CA = CT. CT = K. K CA. CA' = K Por tanto, y como ya hemos apuntado anteriormente, los puntos interiores a la cpd tienen sus inversos en el exterior de la cpd, y viceversa. Fig.5.29 Si el punto dado B es interior a la c.p.d., se traza por B la perpendicular a la recta CB y por N, punto donde la citada perpendicular y la c.p.d. se cortan, se traza la

22 Transformaciones en el plano 5-22 tangente a ésta. El punto B, donde la tangente corta a la recta CB, es inverso del punto B dado Caso 2.- Punto inverso de otro conocido el centro C y un par A-A' no alineado con el primero. Primer procedimiento. Por rectas antiparalelas. Fig.5.30 Dados CA y CA' para hallar el inverso de un punto B dado, basta unir A con B y C con B. Se mide el ángulo que forma AB con la recta s y se traza por A' un ángulo con r. Donde corte a s estará el punto B'. Fig.5.30 Segundo procedimiento. Por potencia de un punto respecto de una circunferencia. Fig.5.31 Dados CAA' y B, para hallar B' se traza la circunferencia que pasa por A, A' y B. El punto B' buscado estará en la intersección de la secante CB con la circunferencia. La circunferencia tendrá su centro en el corte de las mediatrices de AA' y AB. La conclusión, aplicable también para un punto C, interior a la circunferencia, es: Fig.5.31 Dos pares de puntos homólogos A-A y B-B no alineados están en una circunferencia doble, pero no de puntos dobles y AB y A B son antiparalelas. - Si en una inversión sólo se dan C, A y la razón K, se inventa un CBB' de razón K, y se halla A' por el método explicado. Caso 3.- Punto inverso de otro alineado con un par de puntos conocidos A-A'. Se dan el centro C, los puntos inversos AA' y un punto B alineado con los anteriores. 1) Fig La circunferencia que pasa por BAA' no resuelve el problema pues ha degenerado en recta por la posición particular de los tres puntos. Para resolverlo, Fig.5.33, se busca un par de puntos inversos MM' que Fig.5.32

23 5-23 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin pasen por la circunferencia de AA'. Al ser CAA' y CMM' secantes cualesquiera, se cumple CA.CA'=CM.CM' 2) Hallada la circunferencia, el problema queda como en el caso de puntos no alineados. Usamos el par MM' y dibujamos la circunferencia que pasa por MM' y B. B' estará en la intersección de CB con la circunferencia. Inversa de una recta que no pasa por el centro C Fig.5.33 Ya hemos visto que una recta que pasa por el centro de inversión es doble, por tanto, su inversa es ella misma. La figura inversa de una recta que no pasa por el centro C de inversión es una circunferencia que pasa por el centro C, cuyo centro se halla en la perpendicular a la recta por el centro de inversión. 1) Si K>0 a) Fig Si K < CP, es decir, si la razón K es menor que la distancia del centro C a la recta r entonces la c.p.d. no corta a la recta. Para hallar la circunferencia inversa de r, dado un K=100, trazamos desde C una perpendicular a r y se obtiene el punto P. Se traza la cpd con centro en C, y desde P trazamos la tangente a la cpd. Desde el punto de tangencia T se lleva una perpendicular a CP para conseguir el punto P'. Fig.5.34 La circunferencia inversa de r es la circunferencia de diámetro P'C. b) Fig Si K > CP, la c.p.d. corta a la recta r. Trazada la cpd, el punto P queda interior a la misma. Para hallar el punto P' se traza la cpd que corta a r en A A' y B B'. Como la circunferencia inversa ha de pasar por CA y B, se hallan las mediatrices de CA y CB, que se cortan en el punto O, centro de la circunferencia inversa buscada. El punto P' estará sobre CP. - Para hallar el inverso de cualquier punto X que esté sobre la recta, unimos C con X y donde corte la prolongación de CX a la circunferencia estará X'. El mismo procedimiento seguiremos Fig.5.35

24 Transformaciones en el plano 5-24 para hallar el inverso de un punto de la circunferencia; es decir uniremos Y' con C y donde corte a la recta estará Y. - El inverso de un punto del infinito de la recta r estará en el centro C de inversión. c) Si K = CP. Fig.5.36 Si la c.p.d. es tangente a la recta ( K=CP) entonces P P'. La circunferencia inversa de r será tangente a la recta r y a la cpd en el punto P P'. 2) Si K<0. Fig.5.37 Fig.5.36 Si la inversión es negativa ( K<0) el punto P' estará al otro lado de CP. En el ejemplo, -K = CP. Por ello, el punto P' está diametralmente opuesto al P respecto de la circunferencia de autoinversión. La circunferencia inversa buscada de diámetro CP' será siempre exterior a la recta sin que tenga por qué ser tangente a la recta r= -K Fig.5.37 Inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión C Al ser la inversión una transformación recíproca, La inversa de una circunferencia que pasa por el centro C de inversión, es una recta que no pasa por el centro C, y que es perpendicular a la recta que une el centro de inversión con el de la circunferencia. 1) El centro O de la circunferencia dada coincide con el centro C de inversión. Se traza la cpd y desde C una recta que corte a la circunferencia dada en A. Por el punto A' pasará la recta r' buscada. El punto A' se halla por el procedimiento descrito para hallar gráficamente el inverso de un punto. La recta r' CA

25 5-25 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin 2) Cuando la circunferencia de centro O pasa por el centro C de inversión, K<0 y CA y CA' no estarán en el mismo lado. La recta r' será siempre exterior a la circunferencia dada. No sirve de nada trazar la circunferencia de radio -K para hallar A'. Para hallar A' se trazan desde C dos puntos inversos B y B' con la razón dada, por ejemplo k=-150. Es decir, se elige un punto B sobre la circunferencia de radio r= -K, siendo B' el diametralmente opuesto. Se traza la circunferencia que pase por A, B y B' y el punto A buscado estará en la intersección de CA con la circunferencia auxiliar. La recta r' buscada pasará por A'. 3) Si el centro C de inversión es interior a la circunferencia dada, entonces es un caso de circunferencia que no pasa por C por lo que se aplicará para su resolución uno de los procedimientos desarrollados en el apartado siguiente. La circunferencia inversa pasará por los puntos dobles A A' y B B'; luego, la circunferencia dada O y su inversa O' serán secantes. Inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión C La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por él y que es, además de inversa, homotética con la primera. El inverso del centro de una circunferencia nunca es el centro de la circunferencia inversa. 1) Fig Se dan la circunferencia de centro O, el centro C de inversión y un K>0. Se dibuja la cpd. Se traza desde el centro C de inversión una tangente a la circunferencia dada, y se halla el inverso del punto T de tangencia obtenido. El centro de la circunferencia inversa buscada estará sobre la línea que une los centros y en la paralela al radio OT. Fig.5.38

26 Transformaciones en el plano ) Cuando la cpd corta a la dada, se obtienen dos puntos dobles de corte con la cpd, los A A' y B B'. Por estos puntos pasará lógicamente la circunferencia inversa buscada. Para hallar el centro de la circunferencia inversa, haremos el procedimiento anterior. Fig ) Si K<0 no existe la cpd. Luego para hallar T' podemos trazar la circunferencia de autoinversión Fig.5.39 de radio= -K y hacer un diámetro cualquiera BB'. Se traza la circunferencia que pase por T', B y B' y sobre esa circunferencia estará T'. El resto del proceso se realiza como en los casos anteriores, con la diferencia de que el centro de inversión C se encontrará entre las dos circunferencias. 4) Cuando la circunferencia tiene de centro el centro de inversión su inversa es una circunferencia concéntrica. Por tanto sólo se debe determinar el inverso de uno de los puntos de la circunferencia y con centro en el centro de inversión y radio hasta ese punto se obtiene la inversa de la circunferencia. Propiedades de las circunferencias inversas. Fig Las rectas que unen dos puntos BM y sus inversos B'M' situados respectivamente en dos circunferencias inversas, se cortan en su eje radical. Ello se deduce de la propia definición de eje radical. La circunferencia que pasa por los puntos BB' MM' es, según ha quedado anteriormente establecido, una circunferencia doble de la inversión. Las tangentes a dos circunferencias inversas en dos puntos inversos AA', forman iguales ángulos con la recta que los une y su punto de intersección se encuentra en el eje radical de ambas circunferencias. Tangencias simples por inversión Fig.5.40 Trazar la circunferencia tangente a una circunferencia y a una recta dadas, conocido el punto de tangencia (T) en la recta r. Caso primero. Fig.5.41 El centro de la circunferencia tangente estará necesariamente en un punto de la perpendicular a la recta levantada por el punto T.

27 5-27 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin Fig.5.41 Para hallarlo, se traza por el centro de la circunferencia O 1 una perpendicular a la recta r. Se une el punto de tangencia (T) con el extremo del diámetro lo que nos determinará un punto de corte T' en la circunferencia dada. Se une el centro O 1 con el punto de corte T' y se prolonga hasta que se interseccione con la perpendicular levantada a la recta desde el punto T. El punto de intersección será el centro O de la circunferencia pedida. 2 Trazar la circunferencia tangente a una circunferencia y a una recta dadas, conocido el punto de tangencia (T) en la circunferencia. Caso segundo. Fig.5.42 Fig.5.42 Es el caso inverso al anterior. 1 Se traza por el centro de la circunferencia O una perpendicular a la recta r. Se une el punto de tangencia (T) con el extremo del diámetro lo que nos determinará un punto de corte T' en la recta r dada.

28 Transformaciones en el plano 5-28 Se une el centro O 1 con el punto de tangencia T y se prolonga hasta que se interseccione con la perpendicular levantada a la recta desde el punto T'. El punto de intersección será el centro O de la circunferencia pedida. 2 Trazar la circunferencia tangente a una circunferencia y a una recta dadas, conocido el punto de tangencia (T) en la recta r. Caso tercero. Fig.5.43 Se resuelve de la misma forma que el caso primero, pero teniendo en cuenta que se debe unir el punto de tangencia T con el otro extremo del diámetro. Fig.5.43 Trazar la circunferencia tangente a una circunferencia y a una recta dadas, conocido el punto de tangencia (T) en la circunferencia. Caso cuarto. Fig.5-44 Fig.5.44

29 5-29 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin Se resuelve de la misma forma que el caso segundo, pero teniendo en cuenta que se debe unir el punto de tangencia T' con el otro extremo del diámetro. Dibujar una circunferencia tangente a otras dos dadas conociendo el punto de tangencia T a una de ellas. Fig.5.45 Fig.5.45 Debemos reducir este ejercicio a un caso de trazado de una circunferencia tangente a una circunferencia y una recta dadas. Puesto que para obtener una circunferencia tangente a la dada O 2 su centro tiene que estar en la recta O2-T, esto es lo mismo que si trazáramos una circunferencia tangente a una recta r que a su vez sea tangente a la circunferencia de centro O 2 en el punto T. Con esto hemos conseguido reducir el ejercicio al caso primero. Lógicamente este ejercicio puede tener otra solución con sólo aplicar el caso tercero.

30 EJERCICIOS PROPUESTOS Transformaciones en el plano Realizar el motivo de la cerámica del claustro del IES. Liceo Caracense a escala 2:3 2.- Considérese un rectángulo OABC en el que OA=2AB. Hallar la figura inversa del triángulo ABC si el centro de inversión es O y el punto B es inverso de si mismo.

31 5-31 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin 3.- Construir la figura inversa del triángulo ABC, sabiendo que el punto A es inverso de sí mismo y que el centro de inversión es el punto de corte de las tangentes en B y C a la circunferencia circunscrita al triángulo. 4.- Hallar la transformada de la figura respecto de O mediante giro de 30 y homotecia 5/2 5.- Dada la inversión definida por el centro O y el par de puntos inversos A y A'. Determinar el inverso del punto P. (Selectividad. Madrid 1994) 6.- El punto A A' es inverso de sí mismo en una inversión de centro O. Hallar la figura inversa de la circunferencia C. (Selectividad. Madrid 1994) Ejercicio Hallar la figura inversa de la circunferencia dada, conociendo los inversos de dos de sus puntos AA' y BB'.

32 Transformaciones en el plano Construir una figura semejante a la dada pero que tenga el doble de área (PAU. Madrid 2007) Ejercicio Dadas dos posiciones de un mismo cuadrado, hallar el giro (centro y ángulo) que lleva uno sobre otro. Ejercicio 9

33 5-33 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO 4º 1.- Para determinar la figura afín se debe determinar, en primer lugar, la dirección de afinidad uniendo los puntos afines A-A'. Determinada la recta A-A' se trazan por distintos punto de la circunferencia rectas paralelas a la A-A'. Uniendo el punto A con otro punto cualquiera de la circunferencia obtendremos en su prolongación con el eje rectas homólogas que determinarán la figura afín de la circunferencia dada. 2.- Se plantea el ejercicio dibujando la circunferencia de radio 10 mm y el centro de homotecia situado a 40 mm del centro de ésta. Sabemos que la razón de homotecia es por lo que sustituyendo, rápidamente sabremos que: OA'=2 OA 2 x 40= 80 mm Colocando el centro de la circunferencia homóloga a 80 mm del centro de homotecia y con radio igual a la perpendicular trazada a la recta homóloga estará resuelto el ejercicio.

34 Transformaciones en el plano Se trazan por los vértices A y C, rectas homólogas paralelas a la dirección de afinidad BB'. Los puntos afines se hallan como en el ejercicio Se traza por el centro de homología O una recta hasta un punto cualquiera del infinito M' que tendrá su punto homólogo M en la recta límite RL. Uniendo el punto M con un punto cualquiera de la figura dada, obtendremos, paso a paso, el homólogo del triángulo ABC. Ejercicio Dado que se dan dos puntos homólogos, basta prolongar hasta el eje, y paso a paso, un lado del triángulo del que se conozca un vértice y su homólogo.

35 5-35 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin 6.- Sean O el centro de homología, e el eje y RL la recta límite de la circunferencia exterior a ella para que se transforme en elipse. Trácese por O una recta cualquiera (OA), la cual corta a RL en el punto A, desde el que se trazan las tangentes Aa 1 Aa 2 a la circunferencia en los puntos T 1 y T 2, respectivamente. Prolongando la cuerda T1-T 2 se obtiene sobre la RL el punto B, desde el cual volvemos a trazar las tangentes Bb 1 y Bb 2 a la circunferencia en los puntos T 3 T 4. Unidos estos puntos entre sí queda determinada la cuerda T 3 T 4 que, de igual modo, cortará la RL en A. Estas dos cuerdas son las rectas homólogas de dos diámetros conjugados de la elipse, luego las direcciones OA y OB son paralelas a los diámetros conjugados que se tratan de obtener. Obtengamos por el procedimiento general descrito los homólogos de T 1, T 2, T 3, T 4 con lo cual tendremos definidos dos diámetros conjugados de la elipse. El punto T 1' se ha obtenido en la intersección de la recta trazada por OT 1 con la paralela a OA trazada por a 1, T 4' en la intersección de OT 4 con la paralela a OB por b, y así sucesivamente. La elipse está con ello definida y se traza geométricamente. 2

36 Transformaciones en el plano Ejercicio Ejercicio 8