GEOMETRÍA Profesor: Fernando Ureña Portero

Transcripción

1 VECTORES EN EL ESPACIO Un sistema de c oordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coo rdenadas a lo s ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z ). Los ejes de co ordenadas determ inan t res planos coo rdenado s: XY, XZ e YZ. Estos planos co o rdenados dividen al espacio en o cho regiones llamadas oc tantes, en el primer o ctante las tres coo rdenadas son positivas. 1.- V E C T O R E N E L E S P A C I O U n v e c t or e n e l e s p a c i o e s c u a l q u i e r s e g m e n t o orient a d o q u e t i e n e s u orige n e n u n p u n t o y s u e x t r e m o e n e l o t r o. 2.- C O M P O N E N T E S D E U N V E C T O R E N EL E S P A C I O S i l a s c o o r d e n a d a s de A y B s o n : A ( x 1, y 1, z 1 ) y B ( x 2, y 2, z 2 ) L a s c oor d e n a d a s o c ompone n t e s d e l ve c t o r s o n l a s c o o r d e n a d a s d el e x t re m o m e n o s l a s c o o r de n a d a s d e l o r i ge n. E j e m p l o : D e t e r m i n ar l a c om p o n e n t e s d e l os v e c t ores q u e s e p u e d e n t r a z a r e l t r i á n g u l o d e v é r ti c e s A ( 3, 4, 0 ), B ( 3, 6, 3 ) y C ( 1, 2, 1 ). 3.- M Ó D U L O D E U N VECTOR : E l m ó d u l o d e u n v e c t or e s l a l ongitu d d e l s e g m e n t o o r i e n t a d o q u e l o d e f i n e. E l m ód u l o d e u n v e c t or e s u n n ú m e r o s i e m p r e p ositivo y s o l a m e n t e e l v e c t or n u l o t i e n e m ó d u lo c e r o C á l c u l o del módulo conociendo sus com p o n e n t e s E j e m p l o : D a d o s l o s v e c t o r e s, h a l l a r l o s m ó d u l o s d e y C á l c u l o del módulo conociendo las coorde n a d a s d e l o s p u n t o s 4.- D I S T A N C I A E N T R E D O S P U N T O S L a d i s t a n c i a e n t r e d os p u n t o s e s i g u a l a l m ódulo d e l v e c t or q u e t i e n e d e e x t re m o s d i c h o s p u n t o s. E j e m p l o : H a l l a r l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p u n t os A ( 1, 2, 3 ) y B ( 2, 3, 1 ) o e l m ó d ul o d el v e c t o r. -1-

2 5.- V E C T O R U N I T A R I O U n v e c t or u n i t a r i o t i e n e d e m ó d u l o l a u n i d a d. L a n o r m a l i z a c i ó n d e u n v e c t o r c o n s i s t e e n a s o c i a r l e o t ro v e ct or u n i t a r i o, d e l a m i s m a d i r e c c i ó n y s e n t i d o q u e e l v e c t o r d a d o, d i v i d iendo cada compo n e n t e d e l v e c to r p o r su módulo. 6.- O P E R A C I O N E S D E V E C T O R E S E N E L ESPACIO a) S u m a d e v e c t ores: P a r a s u m a r d os v e c t ore s s e s u m a n s u s r e s p e c t i v a s c ompone n t e s. E j e m p l o s : 1 ) D a d o s = ( 2, 1, 3 ), = ( 1, 1, 0 ), = ( 1, 2, 3 ), h a l l a r e l v e c t o r x = x = ( 4, 2, 6 ) + ( 3, 3, 0 ) ( 1, 2, 3 ) = ( 6, 3, 3 ) 2 ) D a d o s l o s v e c to r es, h a l l a r e l m ó d u l o de l v e c t o r. P r opieda d e s d e l a s u m a d e v e c t ores : A s ociativa + ( + ) = ( + ) + C on m u t a t i v a + = + E l e m e n t o neut r o + = E l e m e n t o opuest o + ( ) = b) P r odu c t o de un número real por un vector E l p r odu c t o de un número real k p o r u n v e c t or e s o t r o ve c t or : D e i g u a l d i r e c c i ó n que e l v e c to r y d e l m i s m o s e n t i d o q u e e l v e c t o r s i k > 0 o de s e n t i d o cont r a r i o d e l v e c t o r s i k <0. D e m ódulo las c o m p o n e n t e s d el v e c to r r esultante s e o bt i e n e n m u l t i pl i c a n d o p o r k las c o m p o n e n t e s d el v e c t o r ( k u 1, k u 2, k u 3 ). P r opieda d e s d e l p r odu c t o de un núme r o por un vector A s ociativa: k ( k ' ) = ( k k ' ) D i s t r i b u t i v a r e s p e c t o a la suma de vectores : k ( + ) = k + k D i s t r i b u t i v a r e s p e c t o a los escalares : ( k + k ' ) = k + k ' E l e m e n t o n e u t r o: 1 = E j e m p l o : D a d o = ( 6, 2, 0 ) d e t e r m i n a r d e m o d o q u e s e a 3. S o l : -2-

3 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASES 1.- C O M B I N A C I Ó N LINEAL U n a c o m b i n a c i ón l i n e a l d e d o s o m á s v e c t o r e s e s e l v e c t or q u e s e o bt i e n e a l s u m a r e s o s v e c t ores m u l t i p l i c a d o s p o r s e n d o s e s c a l a r e s. C u a l q u i e r v e c t or s e p u e d e p o n e r c o mo c om b i n a c i ó n l i n e a l d e o t r o s q u e t e n g a n d i s t i n t a d i r e c c i ó n.. E s t a c om b i n a c i ón l i n e a l e s ú n i c a. 2.- V E C T O R E S L I N E A L M E N T E D E P E N D I E N T E S V a r i o s v e c t ores l i b r e s d e l pl a n o s e di c e q u e s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i h a y u n a c o m b i n a c i ón l i n e a l d e el lo s q u e es i g u a l a l v e c t or c e r o, s i n q u e s e a n c e r o t o do s l o s c oeficiente s d e l a c om b i n a c i ó n l i n e a l P r opiedade s a) S i v a r i o s v e c t ores s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s, e n t o n c e s a l m e n o s uno de e l lo s s e p u e d e e x p r esar como c ombinación lineal d e l o s d e má s. T a m b i é n s e c u m p l e e l r e ci p r o co : s i u n v e c t or e s c om b i n a c i ón l i n e a l d e o t ro s, e n t o n c e s t o do s l o s ve c t ores s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s. b) D o s v e c t o r e s del p l a n o s o n l i n e a lmente d e p e n d i e n t e s s i, y s ó l o s i, s o n p a r a l e l os. c) D o s v e c t ores l i b r e s d e l p l a n o =(u 1,u 2,u 3 ) y =(v 1,v 2,v 3 ) s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i s u s c o m p o n e n t e s s o n p r o p o r ci o n a l e s. (u 1,u 2,u 3 )=(kv 1,kv 2,kv 3 ) d ) T r e s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i =0 e ) D o s o m á s v e c t ores s o n c o p l a n a r i o s ( e s t á n o p e rt e n e c e n a l m i s m o pl a n o ) s i so n l i n e a l m e n te depe n d i entes E j e m p l o : 1) D e t e r mi n a r l o s v a l o r e s d e k p a r a q u e s e a n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s l o s v e c t o r e s. 2 ) E s c r i b i r c o m o c ombinación lineal d e, s i e n d o k e l v a l o r c a l c u l a d o. L o s v e c t o r e s s o n l i ne a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z q u e f o r m a n e s n u l o, e s d e c i r q u e e l r a n g o d e la matriz R ( A ) <

4 3.- V E C T O R E S L I N E A L M E N T E I N D E P E N D I E N T E S V a r i o s v e c t o r e s li b r es s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s s i n i n g u n o d e e l lo s p u e de s e r e s c r i t o c o mo c ombinación lineal d e lo s r e s t a n t e s. a 1 = a 2 = = a n = 0 L o s v e c t ores l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s t i e n e n d i s t i n t a d i r e c c i ó n y s u s c ompone n t e s n o s o n p r op orcionales. 0 E j e m p l o : 1. E s t u d i a r s i s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s o indepe n d i e n t e s l o s v e c t o r e s : = ( 2, 3, 1 ), = ( 1, 0, 1 ), = ( 0, 3, 1 ) a ( 2, 3, 1 ) + b ( 1, 0, 1 ) + c ( 0, 3, 1 ) = ( 0, 0, 0 ) R ( M ) = 2 n = 3 S i s t e m a c ompati b l e i n d e t e r m i n a d o. E l s i s t e m a t i e n e i nf i n i t a s s o l u c i o n e s, p o r t a n t o lo s v e c t o r e s s o n d e p e n d i e n t e s. l i n e a l m e n t e 4.- B A S E S T r e s v e c t o r e s c o n d i s t i n t a d i r e c c i ó n f o r m a n u n a b a s e, si c u a l q u i e r v e c t or d e l e s p a c i o v e c t orial s e p u e d e p o n e r c o m o combina c i ón lineal de e l lo s. L a s c oo r d e n a d a s d e l v e c t or r e s p e c t o a la b a s e s o n : B a s e or t o g on a l U n a b a s e e s ort og o n a l s i l o s v e c t o r e s de l a b a s e s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í B a s e or t o n or m a l U n a b a s e e s o r t o n o r m a l s i l o s v e c t o r e s d e l a b a s e s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í, y a d e m á s t i e n e n s o n v e c t ores unitarios ( m ó d u l o 1 ). { } E s t a b a s e f o r m a d a p o r l o s v e c t o r e s { } s e d e n o m i n a b a s e c a n ó n i c a. E j e m p l o : 2. P a r a q u é v a l o r e s d e a l o s v e c t o r e s f o r m a n u n a b a s e? a a - a a 2-2 ª (a- 1) 2 0 P ara a 1, l o s v e c t ores f o r m a n u n a b a s e. -4-

5 PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL. APLICACIONES 1. PRODUCTO ESCAL AR El p r o d u c t o e s c a l a r de d o s v e ct o r e s e s u n n ú m e r o r e al q u e r e s u l t a al m u l t i p l i ca r e l p r oducto de su s m ód u l os por el cos e n o del ángulo q u e f orman E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l p r oducto escalar E j e m p l o : 3.- H a l l a r e l p r oducto e s c a l a r d e do s v e c to r e s c u y a s c o o r de n a d a s e n u n a b a s e o r t o n o r m al s o n : ( 1, 1 / 2, 3 ) y ( 4, 4, 1 ). ( 1, 1 / 2, 3 ) ( 4, 4, 1 ) = ( 1 / 2 ) ( 4 ) = = E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l m ódulo de u n v e c t or E j e m p l o : H a l l a r e l v a l o r d el m ódulo d e u n v e c t or d e c o o r d enadas = ( 3, 2, 5 ) e n u n a b a s e o r t o n o r m a l. S o l : E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l á n g u l o de dos vectores D e t e r mi n a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s v e c t o r e s = ( 1, 2, 3 ) y = ( 2, 4, 1 ) V e c t o r e s o r t o g o n a l e s o p e r p e n d i c u l a r e s D o s v e c t ores son or t og onales si su p r o d u c t o escalar es 0(s o n p e r p e n d i c u l a r e s ). E j e m p l o : C a l c u l a r l o s v a l o r e s x e y p a r a q u e e l v e ct o r ( x, y, 1 ) s e a o rt o go n a l a lo s v e c t o r e s ( 3, 2, 0 ) y ( 2, 1, 1 ) P r o p i e d a d e s d e l p r oducto escalar a. C onm u t a t i v a : b. A s o c i a t i v a : k ( c. D i s t r i b u t i v a : d. E l p r o d u c t o escalar de un vector no n u l o por sí mismo siemp r e e s p ositivo: I n t e r p r e t a c i ó n g e ométrica del producto escalar E l p r o d u c to d e d o s v e c t o r e s n o n u l o s e s i g u a l a l m ó d u lo de u n o d e e l lo s p o r l a p r o y ección del otro s o b re é l. O A ' e s l a p r o y e c c i ón d e l v e c t o r c o m o : -5- s o b r e, q u e l o d e n o t a m os

6 Ejemplo : D a d o s l o s v e c to r e s h a l l a r : 1. L o s m ó d u l o s de y : 2. E l p r o d u c t o e s c a l ar d e y e s : 3. E l á n g u l o q u e f o r m a n : 4. L a p r o y e c c i ó n d e l v e c t o r s o b r e : 5. L a p r o y e c c i ó n d e l v e c t o r s o b r e : 6. E l v a l o r d e m p a r a q u e l o s v e c t o r e s s e a n o r t o g o n a les. S o l : 2m = 0 m = - 9 / C o s e n o s D i r e c t ores E n u n a b a s e o r t o n or m a l, s e l l a m a n c ose n os d i r e c t o r e s d e l v e c t o r =(x,y,z), a l o s c o s e n o s d e l o s á n g u lo s q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l o s v e c t o r e s d e l a b a s e. E j e m p l o : D e t e r mi n a r l o s c ose n os d i r e c t ore s d e l v e c t o r ( 1, 2, 3 ). 2. P R O D U C T O V E C T O R I A L E l p r odu c t o v e c t or i a l de d os v e c t ore s e s o t r o v e c t o r c u y a d i r e c c i ón e s p e r p e n d i c u l a r a l o s d o s v e ct o r e s y s u s e n t i d o s e r í a i g u a l a l a v a n c e d e u n s a c a c orc h o s a l g i r a r d e a. S u m ódu l o e s i g u a l a : E l p r od u c t o v e c t orial s e p u e d e e x p r e s a r m e di a n t e u n d e t e r m i n a n t e : E j e m p l o : 1 ) C a l c u l a r e l p r odu c t o vectorial d e l o s v e c t o r e s de = ( 1, 2, 3 ) y d e = ( 1, 1, 2 ). -6-

7 2 ) D a d o s l o s v e c t o res, h a l l a r e l p r o d u c t o v e c t orial de d i c h o s v e c t o r e s. C o m p r o b a r q u e e l v e c t o r h a l l a do es ort og onal a y. E l p r o d u c t o v e c t o ri a l d e x e s o r t o go n a l a l o s v e c t o r e s y Á r e a d e l P A R A L E L O G R A M O G e o m é t ri c a m e n t e, el m ód u l o d e l p r o d u c t o v e c t orial d e d o s v e c t o r e s c o i n c ide c on e l á r e a d e l p a r a l e l ogramo q u e t i e n e p o r l a d o s a e s o s v e c t o re s. E j e m p l o : D a d o s l o s v e c t o r e s de y, h a l l a r e l á r e a d e l p a r a l el ogramo que tiene por lado s l o s v e c t o re s de y Á r e a d e u n T R I Á N G U L O U n t r i á n g u l o e s l a mi t a d de u n p a r a l e l ogra m o, p o r t a n to, s u á r e a s e r á E j e m p l o : D e t e r mi n a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o c u y o s v é r t i c e s s o n : A ( 1, 1, 3 ), B ( 2, 1, 5 ) y C ( 3, 3, 1 ). P o r t a n t o : P r opiedade s d e l P r oducto V e c t o r i a l 1. A n t i - c o n m u t a t i v a : x = - x 2. H o m o g é n e a : ( x ) = ( ) x = x 3. D i s t r ibutiva : x ( ) = x + x 4. El p r odu c t o v e c t orial d e d o s v e c t or e s // e s i g u a l a l v e c t or n u l o. x = 0 5. E l v e c t o r p r od u c t o v e c t orial e s p e r p e n d i c u l a r a c a d a v e c t o r : a y a. -7-

8 3. P R O D U C T O M I X T O e s i g u a l a l p r o d u c t o e s c a l a r d e l p r i m e r v e c t or por el produ c t o vectorial d e l os otros dos. E l p r odu c t o mixt o s e r e p r e s e n t a p o r [ u, v, w ]. E l p r odu c t o m i x t o d e l o s v e c t o re s, E l p r o d u c t o m i x t o de 3 v e c t o re s e s i g u a l a l d e t e r m i n a n t e que t i e n e p o r f i l as l a s c o o r d e n a d a s d e di c h o s v e c t o r e s r e s p e ct o a u n a b a s e ort onormal. E j e m p l o : C a l c u l a r e l p r o d u c t o m i x t o d e l o s v e c t o r e s : V olumen del P A R A L E L E P Í P E D O E l v a l o r a b s o l u to d el p r od u c t o m i x t o r e p r e s e n t a el v olumen d e l p a r a l e l e p í p e d o c u y a s a r i s t a s s o n 3 v e c t o r e s q u e c o n c u r r e n e n u n m i s m o v é r t i ce. Eje m p l o : H a l l a r e l v olumen del paralelepípedo f o r m a d o p o r lo s v e c t o r e s : V olumen de un T E T R A E D R O E l v olumen de un tetraedr o e s i g u a l a d e l p r od u c t o mixto, e n v a l o r a b s o l u t o. E j e m p l o : O b t e n e r e l v olumen del tetraedro c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s : A ( 3, 2, 1 ), B ( 1, 2, 4 ), C ( 4, 0, 3 ) y D ( 1, 1, 7 ) P r o p i e d a d e s d e l p r oducto mixto a) E l p r od u c t o m i x t o n o v a r í a s i s e p e r m u t a n c i r c u l a r m e n t e s u s f a c t o r e s, p e r o c a m b i a d e s i g n o s i é st o s s e t r a s p o n e n. b) S i 3 v e c t ore s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s, e s d e c i r, s i s o n c oplanarios, e l p r od u c t o mixto vale

9 1.- ECUACIONES DE LA RECTA MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. LA RECTA EN EL ESPACIO S e a P(x 0,y 0,z 0 ) e s u n p u n t o d e l a r e c t a r y =(a, b,c) s u v e c t o r d i r e c t o r, e l v e c to r t i e n e i g u a l d i r e c ci ó n q u e, l u e g o e s i gual a m u l t i pl i c a do p o r u n e s c a l a r : O b s e r v a n d o l a f i g u r a, u n a r e c t a e n e l e spacio q u e d a d e t e r mi n a d a p o r u n p u n t o d e e ll a P (x 0,y 0,z 0 ) y u n v e c t o r d i r e ct o r. L o s di s ti n t o s t ipos d e e c u a c i o n e s q u e po d e mo s e s t a b lecer a p a r t i r de s u c a r á c t e r v e c t o r i a l : I)E c u a c i ón V E C T O R I A L : (x,y,z)= ( x 0, y 0, z 0 )+ II) E c u a c i o n es P A R A M É T R I C A S : { II I) E c u a c i ón C O N T I N U A : IV) E c u a c i ón G E N E R A L o I M P L Í C I T A : L o h a c e m o s a p a r t i r d e l a E c u a c i ó n C o n t i n u a, r e s o l v i e n do d o s i g u a ldades y ordenando l a s v a r i a b l e s, q u e d a n d o : { c o m o i n t e r se c c i ó n d e d o s p l a n o s, do n d e s o n l a s c o o r d e n a d a s d e lo s vectores no r m a l e s d e l o s p l a n o s. N otas a tener e n c u e n t a e n r e l a c i ón a la ecuación General de la recta : a) O b t e n c i ó n d e l v e c to r d i r e c to r d e u n a r e c t a a p a r t i r d e l a e c u a c i ón ge n e r a l : E l v e c t o r d i re c t o r e s p e r pe n d i c u l a r a l o s v e c t o re s n o r m a les d e l o s p l a n o s, lo c a l c u l a m o s a p a r t i r de l p r o d u c to v e c t o ri a l: b ) P a s a r d e l a e c u a c i ó n G e n e r a l a l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t ri c a s : B a s t a c o n r e s o l v e r el s i s tema de e c u a c i ones f o r m a d o e n l a ecuación g e n e r a l, o r d e n a n d o l a s s o l u c io n e s, p u e s t o q u e e s u n s i s t e m a c ompatible indeterminado. c) O b t e n e r u n p u n t o d e l a r e c t a : F i j a m o s el v a lo r d e u n a d e l a s i n c ó g n i t a s, p. e. z = 0, y r e s o l v emos el s i s t e m a de e c u a c i o n e s r e s u l t a n te obteniendo, p.e., el valor de las otras do s i n c ó g n i t a s, x e y. -9-

10 E j e m p l o : -10-

11 3. H a l l a r l a s e c u a c i ones p a r a m é t r i c a s, e n f o r m a c ontinua e i m p l í c i t a d e l a r ecta q u e p a s a p o r e l p u n t o A = ( 1, 2, 1 ) y c u y o v e c t o r d i r e c to r e s = ( 4, 5, - 1). 4. H a l l a r l a s e c u a c i ones p a r a m é t r i c a s, e n f o r m a c ontinua e i m p l í c i t a d e l a recta q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 1, 0, 1 ) y B ( 0, 1, 1 ). C a l c u l a m o s s u v e c t o r d i r e c t o r : 5. S e a r l a r e c t a d e e c u a c i ó n : P e r t e n e c e n a r l o s p u n t o s A ( 0, 2, 2 ) y B ( 3, 2, 6 )? 6. D a d a l a r e c t a : H a l l a r l a s e c u a c i o n e s e n f o r m a c o n t i n u a y p a r a m é t r i c a. = ( 1, - 5, 3 ) u = ( 1, - 5, 3 ) S E c u a c i ó n c o n t i n u a : E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s : -11-

12 EL PLANO EN EL ESPACIO 1.- ECUACIÓN DE UN PLANO EN EL ESPACIO 1.1. Ecuación vectorial Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección. Para que el punto P pertenezca al plano el vector tiene que ser coplanario con y. = (x-x 0,y-y 0,z-z 0 )= (u 1,u 2,u 3 )+ (v 1,v 2,v 3 ) (x,y,z)=(x 0,y 0,z 0 )+ (u 1,u 2,u 3 )+ (v 1,v 2,v 3 ) 1.2. Ecuaciones paramétricas del plano Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad: (x,y,z)=(x 0+ u 1+ + v 1,y 0+ u 2 + v 2,z 0+ u 3 + v 3 ) Esta igualdad se verifica si: { 1.3. Ecuación general o implícita del plano Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema: { Este sistema tiene que ser compatible determ inado en las incógnitas y Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero. Desarrollamos el determinante y obtenemos la ecuación general de plano: Ax+By+Cz+D=0-12-

13 1.4. Vector normal El vector es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano. Si P(x 0, y 0, z 0 ) es un punto del plano, el vector es perpendicular al vector y, por tanto, el producto escalar : Ax+By+Cz+D=0 De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal Ecuación canónica o segmentaria del plano Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por: Donde Ejem p l o s 1 ) H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e l p l a n o q u e p a s a p o r e l p u n t o A ( 1, 1, 1 ) y t i e n e c o m o v e c t o r e s d i re c to re s a y. { - 2 x + 3 y + 5 z - 6 = 0 2 ) H a l l a r l a s e c u a c i ones p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e l p l a n o q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 1, 2, 3 ) y B ( 3, 1, 4 ) y c o n t i e n e a l v e c t o r = ( 0, 0, 1 ). { x + 4 y - 7 = 0 3 ) H a l l a r l a s e c u a c i ones p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e l p l a n o q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 1, 1, 1 ), B ( 0, 1, 1 ) y C ( 4, 3, 2 ). { 8 x + 7 y - 4z- 3 = 0-13-

14 4 ) S e a e l p l a n o d e e c u a c i ones p a r a m é t r i c a s : { S e p i d e c o m p r o b a r s i l o s p u n t o s A ( 2, 1, 9 / 2 ) y B ( 0, 9, 1 ) p e r t e n e c e n a l p l a n o. H a l l a m o s l a e c u a c i ó n d e l p l a n o : - 5 x + 7 y + 3 z - 9 = / A ( - 1)- 9 0 B 5 ) H a l l a r l a e c u a c i ón s e g m e n t a r i a d e l p l a n o q u e p a s a po r l o s p u n t o s A ( 1, 1, 0), B ( 1, 0, 1 ) y C ( 0, 1, 1 ). - x - y - z + 2 = 0 D i v i d iendo por 2 obt e n e m o s l a e c u a c i ón segmenta r i a : 6. H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l a re c t a r, q u e pasa p o r e l p u n t o ( 1, 0, 0 ) y e s p e rp e n d i cular a l p l a n o x y z + 2 = 0. P o r s e r l a r e c t a p e r p e n d i c u l a r a l p l a n o, e l v e c t or n o r m a l d e l p l a n o,, s e r á e l v e c t o r d i re c to r d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1, 0, 0 ). 7. H a l l a r l a e c u a c i ón d e l p l a n o q u e p a s a p o r el p u n t o A ( 2, 0, 1 ) y c o n ti e n e a l a r e c t a d e e c u a c i ó n : D e l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a o b tenemos el punto B y e l v e c t o r. -14-

15 POSICIONES RELATIVAS 1. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS 1.1. Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas Si: r(a) = rango de la matriz de los coeficientes. r'(a )= rango de la matriz ampliada. Las posiciones relativas de dos rectas vienen dadas por la siguiente tabla: Posición r(a) r'(a ) Cruzadas 3 4 Secantes 3 3 Paralelos 2 3 Coincidentes Rectas definidas por un punto y un vector Si la recta r viene determinada por A(x 1,y 1,z 1 ) y =(u 1,u 2,u 3 ) y la recta s por B(x 2,y 2,z 2 ) y =(v 1,v 2, v 3 ), la posición relativa de r y s viene dada por la posición de. a) Si hay dos posibilidades: a.1. Rectas coincidentes si. a.2. Rectas paralelas si b) Si hay otras dos posibilidades: b.1. Rectas secantes si b.2.rectas que se cruzan si. -15-

16 Ejemplos Hallar la posición relativa de las rectas r y s. 1. En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas. Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes. Determinamos el rango de la matriz ampliada. Comparamos los rangos Las dos rectas se cruzan. 2. Las dos rectas son secantes. -16-

17 2. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO 1. La recta viene definida por dos planos secantes Sean la recta: { y el plano. Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema: Si: r(a) = rango de la matriz de los coeficientes. r'(a )= rango de la matriz ampliada. Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dadas por la siguiente tabla: Posición r(a) r'(a ) Recta contenida en el plano 2 2 Recta y plano paralelos 2 3 Recta y plano secantes La recta viene definida por un punto y un vector Sea una recta definida por el punto A y el vector y un plano cuyo rector normal es.. Las posiciones relativas de la recta y el plano son: Posición A Recta contenida en el plano = 0 Recta y plano paralelos = 0 Recta y plano secantes 0 Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos Recta y plano secantes -17-

18 Ejemplos Hallar la posición relativa de la recta y el plano : 1. En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas. Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes. Determinamos el rango de la matriz ampliada. Comparamos los rangos La recta y el plano se cortan en un punto. 2. La recta está contenida en el plano. -18-

19 3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Dados los planos: {. Y sean: r(a) = rango de la matriz de los coeficientes. r'(a )= rango de la matriz ampliada. Las posiciones relativas de dos planos vienen dadas por la siguiente tabla: Posición r(a) r'(a ) Secantes 2 2 Paralelos 1 2 Coincidentes 1 1 Ejemplos 1. Estudiar la posición de los siguientes planos: Como él sistema es compatible indeterminado, los dos planos son secantes, es decir, se cortan en la recta: 2. Estudiar la posición de los siguientes planos: Los dos planos son paralelos. 3. Estudiar la posición de los siguientes planos: Los dos planos son coincidentes. -19-

20 4. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS Dados los planos: Y sean: R(A) = rango de la matriz de los coeficientes. r'(a )= rango de la matriz ampliada. Las posiciones relativas de los tres planos vienen dadas por la siguiente tabla: Posición r(a) r'(a ) 1. Planos secantes en un punto Planos secantes dos a dos. 2.2 Dos planos paralelos y el tercero 2 3 secante 3.1 Planos secantes y distintos 3.2 Dos planos coincidentes y unosecante Planos paralelos y distintos dos a dos 4.2 Planos paralelos y dos coincidentes Planos coincidentes Planos secantes en un punto r=3, r'=3 2.1 Planos secantes dos a dos. r = 2, r' = 3 Los tres planos forman una superficie prismática. 2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante r = 2, r' = 3 Dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales. 3.1 Planos secantes y distintos r = 2, r' = Dos planos coincidentes y uno secante r = 2, r' = 2 Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales. -20-

21 4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos r = 1, r' = Planos paralelos y dos coincidentes r = 1, r' = 2 Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales. 5. Planos coincidentes r = 1, r' = 1 Ejemplos Hallar la posición relativa de los planos: 1. Los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie prismática. 2. Los tres planos se cortan en un punto. -21-

22 3. El segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a ellos, por tanto los tres planos se cortan en una recta. 4. El primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a ellos. -22-

23 PUNTOS EN EL ESPACIO 1.-DIST AN CIA E N TRE DOS P UNTOS DEL ESP ACIO L a d i st a n c i a e n t r e d os puntos e s i g u a l a l m ó d u l o d e l v e c t o r q u e t i e n e d e e x t r e m os dichos pun t o s. d(p,q)= 2.-COORDENAD AS DEL P U NTO MEDIO DE UN SEGMENT O S e a n A ( x 1, y 1, z 1 ) y B ( x 2, y 2, z 2 ) l o s e x t r e m o s de u n s e g m ento, e l p u n t o m e d i o d e l s e g me n t o v i e n e dado por: E j e m p l o D a d o s lo s p u n t o s A (3, 2, 5 ) y B ( 3, 1, 7 ), h a l l a r l a s c oo r de n a d a s d e l p u n t o med i o d e l s e g me n t o q u e d e terminan. 3.-COORDENAD AS DEL BARICE NTRO D E UN TRIÁNG UL O S e a n A ( x 1, y 1, z 1 ), B ( x 2, y 2, z 2 ) y C ( x 3, y 3, z 3 ) l o s v é r t i c e s d e u n t r i á n g u l o, l a s c oor d e n a d a s d e l b a r i c e n t r o s o n : E j e m p l o S e a n A = ( 2, 1, 0 ), B = ( 1, 1, 1 ) y C = ( 4, 1, 2 ) l o s v é r t i ce s d e u n t r i á n g u l o. D e t e r m inar las coordenadas del b a r i c e n t r o. 4.-PUNTOS ALINE ADOS T r e s o m á s p u n t o s e s t á n a l i n e a d o s s i e s t á n e n u n a m i s m a r e c t a, y p o r t a n t o e l r a n g o de los vector e s d e t e r m i n a d o s po r e l lo s e s 1. Ejemplo Comprobar si los p u n t o s A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) están a l i n e a dos. Por tanto, lo s p u n t o s n o e s t á n a l i n e a d o s. 5.-PUNTOS COPLANAR IOS D o s o m á s v e c t ores s o n c oplanarios s i s o n l i n e al m e n t e d ep e n d i e n t e s, y p o r t a n t o s u s c om p o n e n t e s s o n p r oporcion a l e s y s u r a n g o e s 2. D o s o m á s p u n t os s o n c oplana r i os, s i l o s v e c t o r e s d e t e rm i n a d o s p o r e ll o s t a m b i é n s o n c oplana r i os. E j e m p l o 1. C o m p r o b a r s i l o s p u n t o s A ( 1, 2, 3 ), B ( 4, 7, 8 ), C ( 3, 5, 5 ), D ( 1, 2, 3 ) y E ( 2, 2, 2 ) s o n c o p l a n a r i o s. L o s p u n t os A, B, C, D y E s o n c oplanarios s i : -23-

24 L os pu n t o s A, B, C, D y E n o son coplanarios. Ejemplos -24-

25 HAZ DE PLANOS 1. HAZ DE PLANOS PARALELOS Dos planos son paralelos si los coeficientes A, B y C (de x, y, z respectivamente) de sus ecuaciones son proporcionales pero no lo son sus términos independientes. Todos los planos paralelos a uno dado admiten una ecuación de la forma: Ax+By+Cz+k=0, k Ejemplo Hallar el plano que pasa por el punto (3, 1,2) y es paralelo a x+2y-3z-5=0. 2. HAZ DE PLANOS SECANTES DE EJE r Se llama haz de planos secantes de eje r al conjunto de todos los planos que contienen a la recta r. Si r viene definida por sus ecuaciones implícit as: la ecuación del haz de planos de eje r viene dada por la igualdad: (Ax+By+Cz+D)+k(A x+b y+c z+d )=0 La expresión del haz de planos secantes nos permite hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto y por la intersección de otros dos. Ejemplo Hallar en la ecuación del plano que pasa por el punto P(3, 2, 3) y pertenece al haz de planos de eje en la recta: Solución: Hacemos que el punto P -25-

26 Ejemplos -26-

27 ÁNGULO ENTRE RECTAS Y PLANOS 1.ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS El ángulo que forman dos rectas es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas. Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales, es decir: r s u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 =0 Ejemplos Hallar el ángulo que forman las rectas:

28 2. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos. Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son o rtogonales, es decir: 1 2 A 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0 Ejemplo Hallar el ángulo que forman los planos: 3. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO El ángulo que forman una recta r, y un plano, es el ángulo formado por r con su proyección r' ortogonal sobre. El ángulo que forman una recta y un plano es igual al complementario del ángulo agudo que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano. Si la recta r y el plano son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales. -28-

29 Ejemplos 1. Determinar el ángulo que forman la recta y el plano x+y-1=0. 2. Hallar el ángulo que forman la recta y el plano 2x-y+3z+1=0. 3. Obtener el ángulo formado por el plano y la recta siguientes: -29-

30 DISTANCIA ENTRE RECTAS Y PLANOS 1. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA La distancia de un punto, P, a una recta, r, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta. Ejemplos 1. Hallarla distancia desdeel punto P(1,3, 2) a la recta. 2. Hallar la distancia desde el punto P(1,2,3) a la recta. 2. DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS La distancia de una recta r, a otra paralela s, es la distancia desde un punto A cualquiera de r a s. -30-

31 3. DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común. Sean (A, ) y (B, ) [punto, vector director] las determinaciones lineales de las rectas r y s. Los vectores, determinan un paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas r y s. El volumen de un paralelepípedo es V=A b h. Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a: Ejemplo Hallar la mínima distancia entre las rectas: A(-8,10,6), =(2,3,1) B(1,1,1), =(-1,2,4) =(9,-9,-5) 4. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO La distancia de un punto, P, a un plano, es la menor de la distancia (mínima) desde el punto a los infinitos puntos del plano. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano. Sean P(x 0,y 0,z 0 ) y Ax+By+Cz+D=0 Ejemplo 1. Hallar la distancia del punto P(3, 1, 2) a los planos 1 2x+y-z+1=0 y 2 2y-3=0. 2. Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al plano. -31-

32 5. DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro. También se puede calcular de esta otra forma: Ejemplo 1. Calcular la distancia entre los planos 1 2x-y-2z+5=0 y 2 4x-2y-4z+15=0. Los dos planos son paralelos. Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal. -32-

33 ÁREAS Y VOLÚMENES 1.-ÁREAS DE PARALELOGRAMOS Y TRIÁNGULOS Ejemplos En esta actividad puedes calcular el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro. -33-

34 2.-VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDOS Y TETRAEDROS Ejemplos -34-

35 Rectas cruzadas. Calcular la perpendicular común -35-