Soluciones de un sistema elíptico hamiltoniano con pesos

Transcripción

1 Soluciones de un sistema elíptico hamiltoniano con pesos Pablo L. De Nápoli - Universidad de Buenos Aires (trabajo en colaboración con Irene Drelichman y Ricardo Durán) pdenapo@dm.uba.ar

2 Resumen En este trabajo estudiamos el siguiente sistema hamiltoniano con pesos en R n : { u + u = x a v p 2 v v + v = x b u q 2 u y probamos que bajo ciertas condiciones en los parámetros, el sistema admite infinitas soluciones radiales.

3 La Historia del Problema (Resultados Previos)

4 Exponente crítico Es bien conocido que la ecuación u = u p 2 u en un dominio acotado Ω R n (n 3) admite soluciones (positivas) si 2 < p < 2 = 2n n 2s En cambio si p 2 y Ω es estrellado, la identidad de Pohozaev implica que no existen soluciones soluciones (de clase C 2 ).

5 La ecuación de Henón Comenzamos con la ecuación escalar: u = x a u p 1 en una bola Ω R n, con condiciones de Dirichlet. W. M. Ni (Indiana Math., 1982) probó que existen soluciones radiales positivas si 2 < p < 2 + 2a n 2 := 2 a Es decir que la presencia del peso x a cambia el exponente crítico. Ni obtuvo sus soluciones aplicando el teorema del paso de la montaña en el espacio H 1 0,rad (Ω).

6 La ecuación escalar en R n P. Sintzoff (2005) probó la existencia de infinitas soluciones radiales de u + x a u = x b u p 1, u H 1 rad(r n ) en el caso n 3,p > 1, 2 < p < 2 + 2a n 2, 2b (1 + p 2 ) a < (n 1) La condición de subcriticalidad aparece debido a la inmersión compacta H 1 0,rad (Rn ) L p (R n, x a dx) si p < 2 a (Rother (1990)).

7 Qué sucede para el sistema? Consideremos ahora un sistema, { u = x a v p 2 v v = x b u q 2 u en un dominio acotado Ω R n. Supondremos que: p,q > 2, 1 p + 1 q < 1 (condición de superlinealidad)

8 Estructura Hamiltoniana Este sistema tiene una estructura Hamiltoniana, es decir existe una función H que permite escribirlo en la forma { u = Hv ( x,u,v) de hecho v = H u ( x,u,v) H(x,u,v) = x b u q q + x a v p p Lo que permite obtener soluciones como puntos críticos de una funcional. Φ(u,v) = u v H(x,u,v) Ω Ω

9 Espacios Fraccionarios Si trabajáramos en H 1 (Ω) H 1 (Ω) obtendríamos las mismas restricciones que antes. Sin embargo es posible obtener un resultado mejor trabajando en espacios de Sobolev fraccionarios E s (Ω) E t (Ω) donde E s (Ω)= dominio de A s, A s = ( ) s/2, Elegimos s,t con 0 < s,t < n 2 tales que s + t = 2, y consideramos la funcional Φ(u,v) = A s ua t v H(x,u,v) Ω Ω

10 Hipérbola Crítica (sin pesos) Usando esta idea, en el caso sin pesos (a = b = 0), D. G. de Figueiredo y P. Felmer (Trans. AMS,1994). e independientemente J. Hulshof y RCAM. van der Vorst (J. Funct. Anal. 1993), obtuvieron soluciones cuando (p,q) está por debajo de una hipérbola crítica 1 p + 1 q > 1 2 n q < 2n n 4, p < 2n n 4 si n 5 T. Bartsch y D. G. de Figureiredo (1998) probaron la existencia de infinitas soluciones utilizando un sofisticado teorema de minimax basado en la teoría de Lusternik schnirelmann ("Fountain theorem").

11 Sistemas en R n En el mismo trabajo, T. Bartsch y D. G. de Figureiredo prueban la existencia de una infinidad de soluciones radiales para el problema { u + u = v p 2 v v + v = u q 2 u en R n (bajo las mismas restricciones). En el caso de R n el operador pseudodiferencial A s = ( + I) s/2 se define por medio de la transformada de Fourier  s u(ω) = (1 + ω 2 ) s/2 û(ω) y E s = H s (R n ) (espacios de Sobolev usuales.

12 Problema con pesos En el caso de un dominio acotado D. G. de Figueiredo, I. Peral y J. Rossi (Annali di Matematica Pura ed Applicata, 2008) probaron la existencia soluciones bajo las siguientes restricciones: 1 p + 1 q < 1, n + a p + n + b q > n 2 2(n + b) 2(n + a) q <, p < si n 5 n 4 n 4 La presencia de los pesos cambia la hipérbola crítica.

13 Nuestros Resultados

14 Pregunta Qué sucede para el problema con pesos en R n? { u + u = x a v p 2 v v + v = x b u q 2 u necesitamos un teorema de inmersión con pesos para espacios de Sobolev fraccionarios (D. G. de Figueiredo, I. Peral y J. Rossi usan el teorema de inmersión usual más la desigualdad de Hölder, pero esto no funciona si el domio no es acotado debido a que los pesos x c no son integrables).

15 Teorema de Inmersión con pesos Supongamos que 0 < s < n 2, 2 < q < 2 c = 2(n+c) n 2s 2s < c < (n 1)(q 2) 2 entonces tenemos una inmersión compacta H s rad(r n ) L q (R n, x c dx)

16 Ideas de la prueba Utilizamos un resultado de acotación L p L q para la transformada de Hankel (también llamada de Fourier-Bessel) de L. De Carli (2006). Este operador es el análogo a la transformada de Fourier para funciones radiales: û(ω) = (2π) n/2 ω n/2+1 0 u(r)r n/2 J n/2 1 (r ω ) dr Para probar la compacidad de la inmersión, utilizamos el resultado previo de P. L. Lions (1982): la inmersión H s rad(r n ) L p (R n ) es compacta si 2 < p < 2 = 2n n 2s.

17 Teorema de Existencia Supongamos que los parámetros p,q,a,b cumplen las siguientes condiciones: (1) p,q > 2, 1 p + 1 q < 1 0 < a < (2) (3) (n 1)(p 2) 2 n + a p, 0 < b < + n + b q > n 2 (n 1)(q 2) 2 2(n + b) 2(n + a) (4) q <, p < si n 5 n 4 n 4 el sistema admite infinitas soluciones radiales.

18 Ideas de la prueba La prueba se basa en utilizar el teorema abstracto de minimax de T. Bartsch y D. G. de Figureiredo (1998). Las restricciones del enunciado permiten elegir s y t tales que 0 < s,t < n/2, s + t = 2 y que tengamos las inmersiones compactas: H s rad(r n ) L q (R n, x b dx), H t rad(r n ) L p (R n, x a dx) La compacidad de la inmersión permite probar la condición de compacidad sobre la funcional que se necesita (una variante de la condición de Palais-Smale).