Estrategias de configuración de acciones políticas con valoraciones subjetivas. Búsqueda geométrica.

Transcripción

1 Estrategias de configuración de acciones políticas con valoraciones subjetivas. Búsqueda geométrica. Rodrigo, Javier López, M a Dolores Lantarón, Sagrario Caro, Raquel Resumen En este trabajo se ponen en práctica diversas técnicas de la Geometría Computacional para analizar un problema de toma de decisiones y configuración de estrategias políticas a lo largo de un mandato, en el que Gobierno y oposición perfilan sus propuestas de actuación sobre dos temas de relevante importancia para los ciudadanos. Se considera una componente variable, tanto en la importancia de los temas a tratar como en la presunción de las estrategias a tomar por los partidos. La finalidad del trabajo se centra en encontrar las estrategias óptimas a seguir por los dos partidos mayoritarios de un país permitiéndoles variar en un cierto grado sus propuestas. Además, el proceso tiene un carácter dinámico ya que se pretende que dichas propuestas vayan modificándose según las previsiones de actuación del partido contrario. Este enfoque junto con la consideración de componentes subjetivas representa la aportación del estudio. El tratamiento del problema se realiza desde un punto de vista geométrico y se desarrolla un algoritmo de búsqueda de estrategias óptimas. Palabras clave: Teoría de Juegos, Competición Política, Algoritmos de Búsqueda, Localización. 1 Introducción Este trabajo aborda la resolución de un tipo de problema de Economía Política ([17], 1999; [20], 2001) a través de herramientas geométricas ([19], 1985). Los puntos del plano, que se denomina plano de políticas, representan las diferentes opciones políticas sobre dos temas de importancia. Se asume que la distancia entre dos puntos da una idea sobre la afinidad de las políticas relativas a esos dos tópicos ([15],1987; [16], 2000). Como la importancia de los temas a tratar no tiene por qué ser igual, ni siquiera estar perfectamente determinada, se propone incorporar un parámetro en ella, la ponderación. Por la subjetividad de la valoración de la importancia de los temas, este parámetro introduce un aspecto variable que ha sido tratado también en distancias como la distancia relativa de Hamming de ponderación convexa ([10], 1996; [12], 1996; [8], 1980). En este trabajo, como enfoque alternativo se considera la distancia euclídea ponderada. La finalidad del estudio se centra en encontrar las estrategias óptimas a seguir por los dos partidos mayoritarios de un país (Gobierno y oposición) permitiéndoles variar en un cierto grado sus propuestas. Además el proceso tiene un carácter dinámico ya que se pretende que dichas propuestas vayan modificándose según las previsiones de actuación del partido contrario. Este enfoque junto con la consideración de componentes subjetivas representa la aportación del trabajo. En cualquier proceso de toma de decisiones, el modelo matemático empleado se verá afectado por los valores numéricos introducidos. Debemos ser conscientes de que la validez de los resultados puede depender de la asignación numérica a parámetros desconocidos, para los que sólo podemos tener en cuenta estimaciones o conjeturas. No obstante, el modelo presentado tiene en cuenta estos factores y arroja resultados fiables que pueden ser aplicados por los partidos políticos. La estructura del trabajo es la siguiente: El modelo y los preliminares del problema se desarrollan en la sección 2. Las estrategias de búsqueda de posiciones óptimas se tratan en la sección 3. La sección 4 presenta el algoritmo de búsqueda de esas estrategias óptimas. Departamento de Matemática Aplicada. E.T.S. de Ingeniería. Universidad Pontificia Comillas de Madrid Departamento de Matemática Aplicada de la E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos. Universidad Politécnica de Madrid, ma08@caminos.upm.es Departamento de Matemática Aplicada de la E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos. Universidad Politécnica de Madrid Departamento de Organización industrial. E.T.S. de Ingeniería. Universidad Pontificia Comillas de Madrid

2 2 El modelo El problema es una adaptación a este nuevo planteamiento de modelos de la literatura ([1], 2006; [13], 2007). Dicha adaptación se hace de la siguiente forma: Se consideran el plano de políticas definido a partir de dos ítems de actual relevancia, dos partidos políticos que adoptan políticas en esos dos ítems, representadas por los puntos t 1 y t 2 y la localización de n tipos de votantes representados por los puntos v 1,..., v n ([20], 2001). Con la consideración de la mediatriz adecuada a la distancia considerada, es posible calcular el número de votantes que elegirían a cada uno de los partidos por proximidad o afinidad a su política. Se acepta que cada partido puede alterar su política en un cierto entorno con el objetivo de obtener el mayor número posible de seguidores. La finalidad es encontrar las situaciones óptimas que le garantizan ese mayor número de seguidores. Suponiendo que ese partido elegiría una de esas posiciones, se desea determinar cuál sería la respuesta del otro partido, es decir, la estrategia óptima a preparar para la posible propuesta de su oponente. Este planteamiento puede ser visto como una versión discreta del Juego de Voronoi. En este juego, dos jugadores se localizan en el plano con la finalidad de ganar el mayor área posible ([11], 2003; [7], 2003; [18], 2004; [6], 2004). En el presente trabajo dos puntos se localizan con el propósito de ganar el mayor número posible de puntos de un conjunto dado, en lugar de mayor área. Modelos similares de localización se han planteado en diferentes campos como la organización industrial, tratamiento de imágenes, movimientos de robots, etc. También se han dado modelos de estrategia óptima para la localización de los partidos en trabajos de la Economía Política. La mayoría de ellos consideran la población como un continuo ([2], 2001). En este artículo, la nueva visión consiste en el trabajo con una población discreta, así como en la aplicación de técnicas de la Geometría Computacional adaptada al problema y en la consideración de entornos y distancias ponderadas y parámetros de incertidumbre. Se considera que a lo largo del periodo electoral existe un debate sobre dos temas detectados de interés en la sociedad. Se asume que cada uno de ellos tiene importancia distinta lo que se representa a través de una ponderación. Sea la política adoptada por Gobierno y oposición en cada uno de los dos temas representada como los puntos t 1 = ( t 1 1, t2) 1 y t2 = ( t 2 1, t2) 2 y sean vi = ( v1, i v2) i con i = 1,..., n, las coordenadas que representan las preferencias respecto a estos temas de los n tipos de votantes de una cierta población. Se define en el juego planteado la función de utilidad de una política t j para cada tipo v i como: γ (t j, v i ) = d (t j, v i ) 2 donde d (t j, v i ) representa la distancia euclídea ponderada entre la postura ( ) 2 ( 2. política t j y el tipo v i : d (t j, v i ) = α v1 i tj 1 + (1 α) v2 2) i tj El parámetro α (0, 1) mide la importancia de cada uno de los temas a tratar. Las funciones de ganancia en el juego presentado vienen dadas por: Π 1 (t 1, t 2 ) = número de puntos v i tales que d (v i, t 1 ) d (v i, t 2 ), Π 2 (t 1, t 2 ) = número de puntos v i tales que d (v i, t 1 ) > d (v i, t 2 ) = n Π 1 (t 1, t 2 ), si t 1 t 2. El conjunto de puntos del primer partido será el formado por aquellos tipos que están más cerca de la posición t 1 que de la del segundo partido. { Para localizar estos tipos se utiliza la mediatriz del segmento que une t 1 y t 2. Ésta está dada por: (x, y) R 2 /α ( ) x t 1 2 ( ) 1 + (1 α) y t 1 2 ( ) 2 = α x t 2 2 ( ) } 1 + (1 α) y t Dado que la política es un proceso dinámico, con respuestas de cada partido a las propuestas presentadas por su opuesto, plantearemos el juego de elección de posturas políticas a seguir por cada partido de la siguiente manera: Partiendo de las propuestas planteadas por los partidos mayoritarios de un país sobre los temas a tratar, el partido gobernante busca una estrategia óptima que le acerque al mayor número posible de ciudadanos dentro de un entorno que representa su flexibilidad ideológica. Por su parte, la oposición espera esta reacción del Gobierno y prepara otra estrategia distinta en su entorno de flexibilidad para encontrar la mejor respuesta a cualquiera de las posibles posiciones óptimas tomadas por el Gobierno. Se entra así en una evolución de las posiciones de los partidos dentro de unos entornos de flexibilidad. Estos tipos de juegos secuenciales ya han sido estudiados, con otras técnicas, en el caso continuo ([20], 2001). Los entornos de flexibilidad también se verán afectados por la ponderación otorgada a cada tema. Se definen como: Definición 2.1. Partiendo { de la posición inicial de cada partido, i = 1, 2, se define su entorno de flexibilidad como: N i = (x, y) R 2 /α ( ) x x i 2 ( ) } 1 + (1 α) y x i 2 2 R 2 i, donde R i con i = 1, 2, representa el grado de flexibilidad de cada partido, es decir, N i es la región interior de la elipse de centro la postura inicial adoptada por el partido y semiejes Ri R α y 1 α i. Se observa que a menor trascendencia de uno de los temas a considerar, por ejemplo en el primero (α más cercano a cero) la flexibilidad que el partido puede llevar a cabo en él es mayor. Este compor-

3 tamiento es lógico ya que en temas de gran relevancia, los partidos deben mantenerse más cercanos a su postura ideológica inicial. A lo largo del trabajo se supone que los entornos de cada partido son disjuntos, es decir, N 1 N 2 = Ø. Esto asegura el que los partidos no ofrezcan las mismas políticas. 2.1 Clasificación de los votantes por regiones El entorno de flexibilidad de cada partido le asegura cierto número de votantes sea cual sea la posición tomada por su oponente dentro de su entorno. De esta forma, los puntos del conjunto de votantes se clasifican en tres regiones: Votantes seguros para el primer partido. Votantes seguros para el segundo partido. Votantes indecisos que pueden ser captados por aquel partido que se situé en la zona adecuada de su entorno. Estos votantes pueden ser decisivos y hacia ellos debe orientarse la campaña y las propuestas políticas. A continuación se determinan e interpretan las regiones. Figura 1. Puntos que el primer partido captura siempre: Los puntos (v i1, v i2 ) que pertenecen al conjunto: {(x, y) / max {[(x, y), (c 1, c 2 ), / (c 1, c 2 ) N 1 ]} d [(x, y), N 2 ]} La frontera de este conjunto es: α (x x 2 1 )2 + (1 α) (y x 2 2 )2 α (x x 1 1 )2 + (1 α) (y x 1 2 )2 = R 1 + R 2 Los votantes seguros para el primer partido resultan aquellos que se sitúan en la región limitada por esta curva en la que se encuentra el partido. Puntos que el segundo partido captura siempre: Los puntos (v i1, v i2 ) que pertenecen al conjunto: {(x, y) / max {[(x, y), (c 1, c 2 ), / (c 1, c 2 ) N 2 ]} d [(x, y), N 1 ]} La frontera de dicho conjunto es: α (x x 1 1 )2 + (1 α) (y x 1 2 )2 α (x x 2 1 )2 + (1 α) (y x 2 2 )2 = R 1 + R 2 Los votantes seguros para el segundo partido serán aquellos que se sitúan en la región limitada por esta curva en la que se encuentra el partido. Los votantes indecisos serán aquellos que se sitúan entre las dos curvas determinadas anteriormente. Figura 1: Regiones de captación de votantes. La consideración de pesos en la distancia como un medidor de la importancia de los temas tratados, resulta relevante. Las curvas que delimitan las regiones que clasifican los votantes van cambiando y por tanto cambian las regiones de captación según los pesos. La figura 2 ilustra estas regiones para el caso particular donde las posiciones iniciales de los partidos coinciden en alguno de los temas tratados. Por ejemplo ( ( x 1 1, x2) 1 = (0, 0), x 2 1, x2) 2 = (2, 0), R1 = R 2 = 1 2 y α varía de 0.2 a 0.9 con paso 0.1.

4 En estos casos uno de los temas no resulta relevante ya que los dos partidos están inicialmente de acuerdo en él (en el ejemplo se trata del segundo tema). Es este caso, un mayor peso y por tanto, una mayor trascendencia del primer tema, representa que la región de votantes seguros para cada partido aumenta, conteniendo a las regiones que corresponden a pesos inferiores. Con ello el número de votantes indecisos desciende en función de la importancia que tenga el tema considerado. Figura 2: Regiones para la captación de conjuntos de votantes cuando los partidos coinciden en alguna de las políticas a ofrecer y se varía el peso. 3 Estrategias para la búsqueda de posiciones óptimas 3.1 Búsqueda de posiciones óptimas para el partido gobernante El resultado presentado por los autores en [1], 2006 donde se considera la distancia euclídea, puede ser generalizado en este caso con la siguiente proposición: Proposición 3.1. Una postura óptima t 1 para el primer partido, para una posición dada t 2 del segundo, siempre se encuentra en la frontera de N 1 y en el arco de la elipse localizado entre los puntos p, p intersección con las rectas tangentes a la elipse desde t 2 (parte visible de N 1 desde t 2 ). Figura 3. Figura 3: p, p delimita una zona donde se localiza el arco de máxima captación para t 1. Dentro del arco definido en la proposición 1, llamamos A a la región de máxima captación de votantes por parte del primer partido. El proceso a seguir para la determinación de A se basa en el cálculo de la zona de máxima intersección entre dicho arco y los conjuntos {(x, y) R 2 /α (x v i1 ) 2 + (1 α) (y v i2 ) 2 α ( t 2 1 v i1 ) 2 + (1 α) ( t 2 2 v i2 ) 2 } con i = 1,..., n.

5 Figura 4: El arco marcado representa la zona de captación para t 1 de los puntos v 1, v 2 en la frontera de N Estrategias de respuesta para la oposición Como el partido de la oposición supone que a partir de su propuesta inicial, el Gobierno elegirá una postura que le garantiza un mayor número de seguidores, situada en A, la idea ahora es preparar la estrategia de respuesta adecuada. Para ello se supone que seguirá la postura más conservadora, es decir, debe encontrar la posición óptima, la que le garantice un mayor número de seguidores, sea cual sea la posición del primer partido dentro de esa región óptima. Proposición 3.2. Dentro de N 2, llamamos B a la región de máxima captación de votantes por parte del segundo partido suponiendo que el primero se sitúa en A. La región B se calcula como la máxima intersección { entre N 2 y los entornos centrados en los votantes y de radio la mínima distancia de estos a A: (x, y) R 2 /α (x v i1 ) 2 + (1 α) (y v i2 ) 2 (d (v i, A)) 2}, con i = 1,..., n. Calculo de la distancia de v i a A: La distancia de un punto exterior a un entorno se alcanza en la intersección del segmento que une el punto con el centro del entorno y la frontera de dicho entorno. Por tanto, si el segmento que une v i con el centro de N 1 interseca a A (parte de la frontera del entorno), la distancia de v i a A se alcanza en ese punto intersección. En otro caso se alcanza en uno de los extremos de A. 4 El algoritmo Se desarrolla un algoritmo que permite obtener las regiones A y B de máxima captación de votantes para cada partido. 4.1 Cálculo de la región A En este apartado, se desarrolla el algoritmo que permite obtener A. Se trata de una adaptación del algoritmo presentado en [1], La complejidad de dicho algoritmo en el peor de los casos es O (n log n) ([4], 1997). Procedimiento: Paso 1: Encontrar p y p (proposición 1). Definir un contador c con valor inicial c = 0. Paso 2: Sea L una lista vacía y m otro contador con valor m = 0. Para cada punto v i, se encuentran los puntos de intersección de la frontera de N 1 y la frontera del entorno elíptico centrado en v i que pasa por t Si no existe intersección por estar N 1 contenido en el entorno elíptico centrado en v i que pasa por t 2, se incrementa m en una unidad. 2. Si no existe esa intersección porque los conjuntos son disjuntos, se mantiene el valor m.

6 3. Si existen dos puntos de intersección fuera de la parte visible de N 1 desde t 2, se incrementa m en una unidad. 4. En cualquier otro caso: (a) Si los dos puntos pertenecen a la parte visible de N 1 desde t 2, entonces se incluyen los dos puntos en L. (b) Si x i pertenece a la parte visible y x i no, se incluye x i en L. (c) Si x i pertenece a la parte visible y x i no, se incluye x i en L y se incrementa c en una unidad. Paso 3. Se ordenan los puntos de la lista L según el ángulo respecto t 1 (en el sentido horario). Paso 4. Sea c = c + m y x = p. Se avanza en la lista L realizando lo siguiente a cada elemento: 1. Si se encuentra un elemento x i se toma c = c + 1, y si c > m entonces se hace m = c y x = x i 2. Si se encuentra un x i, se hace c = c 1. Nota: Si x i y x i coinciden por ser tangentes las elipses consideradas, se toma x i previo a x i en la lista L. Cuando el algoritmo completa la ejecución, el contador m indica el máximo número de puntos v i que el primer partido puede ganar. El extremo inicial del arco de N 1 donde este partido debe localizarse, es el punto almacenado en la variable x, y el extremo final es el punto que sigue al anterior en la lista L. 4.2 Cálculo de la región B Se desarrolla un algoritmo que permite obtener la región B y que obtiene el máximo número de votantes del segundo partido para cualquier posición del primero en A. La idea del algoritmo es la siguiente: Para todos los puntos (v i1, v i2 ), se considera D i, un entorno elíptico centrado en (v i1, v i2 ) y radio la distancia de (v i1, v i2 )a A. Se determina la máxima intersección de D i, i = 1,..., n que interseque con N 2. Un procedimiento para obtener dicha intersección se puede realizar a través del siguiente algoritmo desarrollado por los autores: Procedimiento: Input: el entorno N 2 y las n elipses D 1,..., D n, que suponemos no tangentes a N 2, ninguna de ellas contenida en N 2 (este caso no se puede dar en nuestro planteamiento), no todas disjuntas de N 2, ni todas conteniendo a N 2 (en estos dos últimos casos la zona de máxima intersección será N 2, y la máxima intersección 0 y n respectivamente) Paso 1: Intersecamos las fronteras de D 1 y N 2, y hallamos los dos puntos de intersección a 1, b 1 (si las fronteras son disjuntas ir al paso 3). Paso 2: Aplicamos el algoritmo de la sección 4.1. para encontrar la zona de máxima intersección de D 2,..., D n en el arco de D 1 que une a 1 con b 1 dentro de N 2, y el número de elipses, k 1, que intersecan en ese arco. Paso 3: Repetimos los pasos 1 y 2 para D 2,..., D n Paso 4: Tomamos, de las zonas halladas en el paso 2, aquéllas en las que se alcanza el max i=1,...,j k i, donde j es el número de elipses que tienen frontera no disjunta con N 2. Para ello se crea una lista L con los puntos α i, β i, extremos de los arcos obtenidos en el paso 2. Los arcos en la lista L no siguen ningún tipo de ordenación. Paso 5: Se deben obtener todas las regiones acotadas por los arcos obtenidos en el paso 4 o aquellas zonas acotadas por arcos obtenidos en el paso 4 y la frontera de N 2. Existen dos posibilidades: 1. La zona a encontrar está delimitada únicamente por los arcos obtenidos en el paso 4. (a) Se toman los puntos extremos que delimitan el primer arco no utilizado de la lista L. Llámense p1, p2. Se marca el arco como utilizado.

7 (b) Se hace una búsqueda del punto p1 entre los extremos del resto de arcos no utilizados de la lista. Sea el arco de extremos α i, β i en el que se encuentra la equivalencia, siendo por ejemplo p1 = α i, entonces se asigna nuevo valor a p1 (p1 β i ). (c) Se repite el proceso de búsqueda las veces necesarias hasta que p1 = p2. (Región cerrada) 2. La zona a encontrar está delimitada por los arcos obtenidos en el paso 4 y por el entorno N 2. (a) Se toman los puntos extremos que delimitan el primer arco no utilizado de la lista L. Llámense p1, p2. Se marca el arco como utilizado (idéntico a 5.1.a) (b) Se hace una búsqueda del punto p1 entre los extremos del resto de arcos no utilizados de la lista. Si se encuentra en algún extremo de arco, se sigue el proceso detallado en 5.1.b., continuando hasta que p1 no se encuentre en ningún extremo de arco no utilizado, entonces p1 pertenece al entorno N 2, llámese pb1, asignándose a p1 el valor p2. (p1 p2) (c) De nuevo se realiza la búsqueda de p1 entre los extremos del resto de arcos no utilizados, siguiendo el proceso indicado en 5.2.b. En ese momento, el punto p1 es punto del entorno B, llámese pb2. El arco pb1, pb2, del entorno N 2 pertenece a la zona de máxima intersección. (Región cerrada) Output: Las regiones halladas en el paso 5 son las zonas de máxima intersección en N 2 del conjunto de elipses, siendo la máxima intersección: max i=1,...,j k i + 1. Observación 4.1. La complejidad del algoritmo viene dominada por la aplicación n veces del algoritmo para el cálculo de la región A, presentado en la sección 4.1. Como éste tiene complejidad n log n, la complejidad del algoritmo desarrollado es n 2 log n. Puede observarse que el procedimiento presentado tiene la misma complejidad que el desarrollado por [3], 1979 para el cálculo de máxima intersección de un conjunto de círculos, constituyendo así una alternativa para el mismo en el caso de elipses. En cualquier caso existe un algoritmo que calcula la máxima intersección por medio de la construcción de un arreglo de círculos, ligeramente más rápido ([9], 1992; [21], 1995, [5], 2005). No obstante, el aquí desarrollado resulta más fácil de implementar y por ello más práctico. 5 Conclusiones En este trabajo se aborda el diseño de estrategias políticas óptimas ante cualquier cambio importante de la situación en la que resulta necesario flexibilizar las exigencias. El estudio se realiza a través de un modelo geométrico discreto basado en técnicas de la Geometría Computacional. Es sabido que conceptos de la Geometría Computacional pueden ser aplicados a algunos campos de la Economía, permitiendo resolver ciertos problemas en el área de la Economía Política. En este estudio, las técnicas empleadas presentan una nueva visión donde las aportaciones más relevantes se centran, por un lado en la consideración subjetiva y variable de la importancia de los elementos a tratar en cada momento de la actualidad política de cada país, por otro en la consideración de entornos que representan la flexibilidad política que los partidos pueden permitirse en cada uno de los temas a tratar. Dicha flexibilidad también se ve afectada por un factor de importancia para dichos temas que puede considerarse indeterminado o impreciso. Estas técnicas desarrolladas permiten diseñar estrategias de respuesta jugando con las opciones que el adversario político es probable que vaya a realizar. Además, se da un algoritmo que obtiene las soluciones óptimas para la captación máxima de votantes en ese proceso de variación de propuestas, por medio del cálculo de la zona de máxima intersección en un conjunto de elipses. Aunque existen algoritmos para hallar la región de máxima intersección en un arreglo de curvas de complejidad ligeramente inferior al presentado, éste presenta la ventaja de resultar más sencillo de implementar. Referencias [1] M. Abellanas, I. Lillo, M. López y J. Rodrigo. Electoral strategies in a dynamical democratic system: geometric models. European Journal of Operational Research 175, , 2006.

8 [2] H. Ahn, S. Cheng, O. Cheong, M. Golin, y R. Oostrum. Competitive Facility Location along a Highway. 7th Annual International Computing and Combinatory Conference 2108 of LNCS, [3] J.L. Bentley y T.A. Ottmann. Algorithms for reporting and counting geometric intersections. IEEE Trans Comput. C-28, , [4] M. de Berg, M. van Kreveld, M. Overmars y O. Schwarzkopf. Computational Geometry, Algorithms and Applications. Springer. New York, [5] S. Cabello, J.M. Díaz-Báñez, S. Langerman, C. Seara y I. Ventura. Reverse facility location problems. In Proceedings of the XI EGC 05, , [6] O. Cheong, S. Har-Peled, N. Linial y J. Matousek. The One-Round Voronoi Game. Discrete and Computational Geometry 31 (1), , [7] F. Dehne, R. Klein y R. Seidel. Maximizing a Voronoi Region: The Convex Case. Lectures Notes in Computer Science. Proc ISAAC 2518; , [8] D. Dubois y H. Prade. Fuzzy sets and Systems. Theory and Applications. Academic Press, New York, [9] H. Edelsbrunner, L. Guibas, J. Pach, R. Pollack, R. Seidel y M. Sharir. Arrangements of curves in the plane-topology, combinatorics and algorithms. Theoretical computer science, 92, , [10] T.A. Estlin y R.J. Mooney. Multistrategy learning of search control for partial-order planning. In Proceedings of the Thirteenth National Conference on Artificial Intelligence AAAI Press/MIT Press volume I, , [11] S. Fekete y H. Meijer. The One-Round Voronoi Game Replayed. Workshop on Algorithms and Data Structures, Springer Lecture Notes in Computer Science 2748, , [12] F. Herrera, V. Herrera y J.L. Verdegay. A model of consensus in group decision making under linguistic assessments. Fuzzy Sets and Systems 78, 73-87, [13] I. Lillo, M. López y J. Rodrigo. A Geometric study of the Nash equilibrium in a weighted case. Applied Mathematical Sciences 55 (1), , [14] H. Llavador. Voting with preference over margins of victory. Mathematical Social Science. Doi: / J.mathsocsci , [15] A. Okabe y A. Suzuki. Stability of Spatial Competition of Many Firms in a Bounded Two- Dimensional Space. Environment and Planning A 19, , [16] A. Okabe, B. Boots, K. Sugihara, y S. Chiu. Spatial Tessellations Concepts and Applications of Voronoi diagrams. John Wiley and Sons. Chichester, [17] T. Persson y G. Tabellini. Political Economics and Public Finance. NBER Working Papers Series. Handbook of Public Economics, vol III, [18] F. Plastria y E. Carrizosa. Optimal location and design of a competitive facility. Mathematical Programming 100, , [19] F. Preparata y M. Shamos. Computational Geometry. An introduction. Springer-Verlag. New York, [20] J. Roemer. Political Competition. Harvard University Press, [21] M. Sharif y P.K. Agargual. Davenport-Schinzel sequences and their geometric applications. Cambridge University Press, 1995.