Sobre las soluciones de las ecuaciones en diferencias lineales. J. C. Abderramán Marrero 1

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1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, septiembre 2009 (pp 1 6) Sobre las soluciones de las ecuaciones en diferencias lineales J C Abderramán Marrero 1 1 Dpto Matemática aplicada a las Tecnologías de la Información, ETSI de Telecomunicación, Universidad Politécnica de Madrid, Avda Complutense s/n - Ciudad Universitaria, Madrid jcam@matupmes Palabras clave: Ecuación en diferencias lineal general, Función anidada, Hessenbergiano Resumen Representaciones explícitas de las soluciones de la ecuacíón en diferencias lineal son obtenidas, en términos de los coeficientes variables de la recurrencia, tanto en el caso general como en el problema de valor inicial Estas representaciones se basan en una combinación lineal de funciones anidadas de cocientes adecuados de coeficientes Las soluciones también pueden expresarse de forma compacta equivalente con el uso de determinantes hessenbergianos 1 Introducción Las ecuaciónes en diferencias lineales de orden k suelen expresadas en su forma normal, [2] k 1 y(n + k) = p k l (n)y(n + l) + g(n) (1) El término no homogéneo g(n), n 0, y los coeficientes p k l (n) dependen en general de n Puede existir dependencia de otros parámetros Es bien conocido que la solución general de (1) puede expresarse como y(n) = y c (n) + y p (n), con y p (n) una solución particular y y c (n) la solución general del caso homogéneo Si se incluyen las condiciones iniciales {y 0, y 1,, y k 1 }, donde se ha tomado el paso inicial z 0 = 0 sin pérdida de generalidad, tenemos un problema de valor inicial con solución única, análogo discreto al problema de Cauchy Las representaciones de sus soluciones para casos de coeficientes constantes con las raíces de la ecuación característica y en general usando métodos clásicos como 1

2 J C Abderramán Marrero variación de parámetros, coeficientes indeterminados o el uso del operador desplazamiento, son de aplicación limitada Cuando se conocen k 1 soluciones linealmente independientes, usando el determinante Casoratiano asociado puede obtenerse la otra solución linealmente independiente La obtención de aquellas k 1 funciones es, en general, un problema difícil Dentro la gran cantidad de trabajos que han tratado este problema, se pueden destacar los siguientes En [3, 6] se logran representaciones compactas de la solución de ecuaciones en diferencias lineales en forma de determinante Pese a su relevancia teórica, para la evaluación de estas representaciones se debe recurrir, en general, a la propia ecuación en diferencias lineal Otras representaciones explícitas equivalentes que sean directas y que no necesite información de las soluciones en los pasos anteriores presentan un mayor interés y dificultad Un avance en esta línea fue obtenido en [4] La ecuación en diferencias estaba expresada en una forma no normal equivalente La representación de su solución es por medio de combinaciones de productos de los coeficientes variables de la recurrencia e involucra ciertas ecuaciones diofánticas Resultando la representación de [4] relativamente explícita Si el término no homogéneo g(n) es idénticamente nulo, entonces la ecuación (1) resulta homogénea k 1 y(n + k) = p k l (n)y(n + l) (2) La representación relativamente explícita de la solución para el caso homogéneo puede verse en [5] De forma independiente a dicho trabajo, una representación equivalente basada en funciones anidadas de cocientes de coeficientes p k l (z), con z entero fue introducida en [1] Las estructuras anidadas se clasifican completamente, evitando las ecuaciones diofánticas de la representación de [5] Resulta una representación directa de las solución de (2) Si se toma el paso inicial z 0 = 0 y las condiciones iniciales {y 0, y 1,, y k 1 }, la representación queda, Las ψ (k,l) n = k 1 y(n) = y l 1 ψ n (k,l) l=1 + y k 1 ψ (k,0) n (3) ( n k ) ( i=0 p 1(i) δ l,0 φ (k,0) n + (1 δ l,0 ) ) l 1 j=0 α k j(l j 1)φ (k,l j) n Se introduce la delta de Kronecker Las funciones φ (k,l) n, para k > 1, son funciones anidadas de cocientes de coeficientes de la recurrencia lineal α sj (k j ), con índices naturales 2 s j k y 0 k j φ (k,l) n = n k l+1 2 m=0 m j=1 k k j 1 s j 1 s j =2 k j =2(m j)+s j +l 1 α sj (k j ) (4) 2

3 Sobre las soluciones de las ecuaciones en diferencias lineales El término x es el mayor entero no mayor que x Por convenio el sumando m = 0 vale 1, además k 0 = n y s 0 = k Las k 1 clases de cocientes son, α sj (k j ) = p sj (k j ) s j 1 i=0 p 1(k j i) α sj (k j ) = ps j (k j) k j i=0 p 1(i) si s j 1 k j si k j < s j 1 Se comenta brevemente la notación empleada en (4) El término para m = 1 es una doble suma Los términos para m > 1 son multiplicaciones anidadas de dobles sumas de cocientes de coeficientes A continuación se representa la estructura anidada de manera más explícita, k n k s 1 =2 k 1 =2(m 1)+s 1 +l 1 m k j=1 α s1 (k 1) ( k j 1 s j 1 s j =2 k j =2(m j)+s j +l 1 k k 1 s 1 s 2 =2 k 2 =2(m 2)+s 2 +l 1 α sj (k j) = α s2 (k 2) ( ( k k m 1 s m 1 s m=2 k m=s m+l 1 α sm (k m) ))) La representation compacta equivalente de la solución (3), [1], y(n) = det H, es un hessenbergiano, [7], determinante de cierta matríz de Hessenberg con k + 1 bandas y de orden n k + 1 H = k l=1 y l 1p k+1 l (0) y γk p k (k 1) p 1(1) p k (k) p 1(n k 1) p 2(n k) 0 1 p 1(n k) (5) Los elementos de matríz son h 1,j = k i=1 δ k i,j l=j y l 1p k+j l (j 1) para la primera fila Para las siguientes filas, i 1, se tiene h i,j = δ i,j+1 + k 1 m=0 δ i,j mp 1+m (i + m 1) Se introduce la delta de Kronecker Si p k (n) 0 para todo n 0, la soluciones canónicas ψ n (k,l), l = 0, 1,, k 1, forman un conjunto fundamental de soluciones de (2) Su solución general puede ser expresada como una combinación lineal de las ψ n (k,l) Estas también tienen representaciones compactas equivalentes con determinantes de matrices de Hessenberg de k + 1 bandas 2 Una representación explícita de las soluciones para el caso general no homogéneo El método constructivo usado en [1] se aplica aquí a la solución general de la ecuación en diferencias (1) La representación de y(n) = y c (n) + y p (n) se resuelve seleccionando primero como solución particular y p (n) cuando la ecuación homogénea asociada sea indénticamente nula Esto es, y p (n) es la solución de un problema de valor inicial para (1), 3

4 J C Abderramán Marrero con condiciones iniciales nulas Las estructuras de las expresiones, explícita y compacta en forma de determinante de ψ n (k,0), [1], serán usadas en esta elección de y p (n) Se definen las soluciones desplazadas ψ (k,0) n,r+, con la misma estructura que ψ(k,0) n ; pero con los índices de paso desplazados hacia adelante r posiciones Las primeras k 1 funciones desplazadas son nulas ψ (k,0) 0,r+ = ψ(k,0) 1,r+ = = ψ(k,0) k 2,r+ = 0, la ψ(k,0) k 1,r+ = 1 Las funciones ψ(k,0) n,r+ y ψ(k,0) n tienen las mismas condiciones iniciales La representación explícita de ψ (k,0) n,r+ es, con la misma notación y convenios que en la ecuación (4), ( n k n,r+ = p 1 (i + r) ψ (k,0) i=0 ) 2 m=0 m j=1 k k j 1 s j 1 s j =2 k j =2(m j)+s j 1 α sj (k j + r) (6) Se detalla a continuación la representación hessenbergiana compacta de ψ (k,0) n,r+, con una matríz de Hessenberg de k + 1 bandas cuyos elementos son coeficientes de la recurrencia (2) n,r+ = det ψ (k,0) p 1(r) p k (k 1 + r) p 1(1 + r) p k (k + r) p 1(n k 1 + r) p 2(n k + r) 0 1 p 1(n k + r) (7) Los elementos de matríz son h i,j = δ i,j+1 + k 1 m=0 δ i,j mp 1+m (i + m 1 + r), con i, j = 1, 2,, n k + 1 Proposición 1 La solución particular y p (n), n k, de la ecuación en diferencias lineal de orden k, (1), con condiciones iniciales nulas, tiene la representación explícita, y p (n) = i=1 g(i 1)ψ (k,0) n i,i+ (8) Demostración 1 Por inducción sobre n k, usando (1) y cualquiera de las dos representaciones equivalentes (6), (7) de ψ (k,0) n,r+ Para la representación explícita de la solución general de la ecuación homogénea (2) tenemos un conjunto fundamental de soluciones, [1], formado por las funciones ψ n (k,l), l = 0, 1,, k 1 4

5 Sobre las soluciones de las ecuaciones en diferencias lineales k 1 y c (n) = λ l ψ n (k,l) (9) Los coeficientes λ l de la combinaciòn lineal (9) son números complejos arbitrarios De (8), (9), la representación explícita de la solución general de (1) es inmediata k 1 y(n) = λ l ψ n (k,l) + i=1 g(i 1)ψ (k,0) n i,i+ (10) 21 Representación de las soluciones para el problema de valor inicial La elección hecha para la solución particular y para el conjunto fundamental de soluciones nos va a permitir resolver el problema de valor inicial de (1), con condiciones iniciales {y 0, y 1,, y k 1 }, sustituyendo adecuadamente los coeficientes de (9) por sus valores iniciales asociados, λ l = y l 1 para l = 1,, k 1 λ 0 = y k 1 Por sencillez en la notación, se definen aquí g( 1) = y k 1 y ψ (k,0) n,0+ = ψ(k,0) n Corolario 1 La solución y(n), n k, para el problema de valor inicial de la ecuación en diferencias lineal de orden k, (1), con condiciones iniciales {y 0, y 1,, y k 1 }, tiene la siguiente representación explícita, k 1 y(n) = l=1 y l 1 ψ n (k,l) + i=0 g(i 1)ψ (k,0) n i,i+ (11) 3 Representación en forma de determinante para la solución del problema de valor inicial En analogía al caso homogéneo, las representaciones explícitas de la sección anterior, ecuaciones (8), (10) y (11), tienen un expresión compacta equivalente con determinantes de ciertas matrices de Hessenberg de orden n k + 1 El único cambio respecto al caso homogéneo es la inclusión de la solución particular y p (n) elegida La expresiòn en forma de determinante de y p (n) se obtiene de la unicidad del problema de valor inicial para (1) Proposición 2 La solución particular y p (n), n k, de la ecuación en diferencias lineal de orden k, (1), con condiciones iniciales nulas, tiene la representación compacta en forma de determinante y p (n) = det G, con la matriz de Hessenberg G, G = g(0) g(1) g(k) g(n k) 1 p 1(1) p k (k) p 1(n k 1) p 2(n k) 0 1 p 1(n k) (12) 5

6 J C Abderramán Marrero Demostración 2 Por inducción sobre n k, usando la recurrencia (1) con las condiciones iniciales nulas Los elementos de matríz son g 1,j = g(j 1) para la primera fila Para las siguientes filas, i 1, los elementos son g i,j = h i,j, idénticos al caso homogéneo De (5) y (12), desarrollando ambos determinantes por la primera fila y agrupando términos, se obtiene la representación compacta en forma de determinante de la solución al problema de valor inicial con condiciones iniciales arbitrarias Corolario 2 La solución y(n), n k, para el problema de valor inicial de la ecuación en diferencias lineal de orden k, (1), con condiciones iniciales {y 0, y 1,, y k 1 }, tiene la representación compacta y(n) = det Y, con la matriz de Hessenberg Y = g(0) + k l=1 y l 1p k+1 l (0) g(k 1) + y k 1 p k (k 1) g(k) g(n k) 1 p 1(1) p k (k) p 1(n k 1) p 2(n k) 0 1 p 1(n k) (13) Los elementos de matriz son y 1,j = g(j 1) + k i=1 δ i,j k l=j y l 1p k+j l (j 1) para la primera fila Para las siguientes filas, i 1, son los mismos elementos que en el caso homogéneo y i,j = h i,j Las matrices G y Y tienen las filas con k + 1 bandas, a excepción de la primera, donde se incluyen los términos no homogéneos Esta es la única diferencia de la representación compacta en el caso general respecto del caso homogéneo Agradecimientos El autor agradece al profesor Carlos Vega Vicente sus comentarios y sugerencias en la redacción de este trabajo Financiado parcialmente con una ayuda de UPM - CAM Referencias [1] J Abderramán Marrero Explicit representation of the solutions of Linear Homogeneous Difference Equations with variable coefficients, ICDEA 2008 Conference Estambul - Turquía Submitted (2009) [2] S N Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Third ed, Springer Verlag, New York, (2005) [3] R K Kittappa, A representation of the solution of the nth order linear difference equation with variable coefficients, Linear Algebra Appl, 193 (1993), [4] R K Mallik, Solutions of linear difference equations with variable coefficients, J Math Anal Appl, 222 (1) (1998), [5] R K Mallik, On the solution of a Linear Homogeneous Difference Equation with variable coefficients, SIAM J Math Anal, 31 (2) (2000), [6] H Rizvi, Solution of a generalized linear difference equation, J Austral Math Soc B 22 (1981), [7] R Vein and P Dale, Determinants and their applications in Mathematical Physics, Springer Verlag, New York, (1999) 6